《伽罗瓦与群论》精品PPT课件
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。
哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。
】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。
他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。
我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。
这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。
遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。
伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。
可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。
伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。
让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。
埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。
）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。
第六章 群论
1824年到1826年，挪威数学家阿贝尔提出阿贝尔定理：一般 高于四次的方程不可能代数求解。
在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方 程的可解性问题，在研究中已经涉及到了群的一些思想和特殊结果， 只是阿贝尔没能意识到，也没有明确地构造方程根的置换集合。 阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判 定已知方程是否可用根式求解的问题。
6
对称性最为神奇的一点：和物理世界中的守恒一一对应。
物理学定律是不因时间的流逝而改变的，换言之它在时间变换下对称； 而这个对称性可以直接推导出物理学中最重要的定律之一：能量守恒； 物理学定律又不随着空间的位置而改变，这个对称性又能推出另一条 同样关键的定律：动量守恒。 二十世纪最伟大的数学家之一艾米· 诺特（Emmy Noether）女士发现： 每一个物理上的守恒量必然伴随着数学上的对称性。
5
“群论”最早考虑的是五次以上方程解法的问题， 但是今天它的应用场合已被大大拓展，最大用途是 关于“对称性”的研究，所有具有对称性的东西， 群论都能派上用场。 只要在发生了变换之后有什么东西还维持不变，就 是对称的。
几何体当然可以是对称的：一个圆左右翻转后还是圆，旋 转180度后还是圆，所以它在这两种变换下是对称的。 非几何体的抽象概念：比如f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2这个函数， 无论怎么调换x、y、z的位置，都是不变的；或者sin(t)， 用t+2π代替t，也是不变的。
10
定理6.1 ： 一个半群(S , )，如果它有一个子代数系统
子集、运算相 同，且封闭
(M , )，则该子代数也是一个半群。
群论第二章ppt
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G 1, 1 乘法为普通数乘法，单位元素为1 e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 空间矢量 r 作用 er r ar r e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 e, a 构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
11
§2.1 群的概念
给出乘法表如下表：从表中看出，群中元素任一个u乘 积 ug a ， 给出并且仅一次给出G所有元素，满足重排定理。 e a b c d f —— |—————————————— e | e a b c d f a | a e d f b c b | b f e d c a c | c d f e a b d | d c a b f e f | f b c a e d 后面看到重排定理大大限制了互相不同构有限群数目。还 可以证明，阶数为相同素数的有限群都同构。三客体置换群 S 3 与平面正三角形对称群D3 同构。
a G
ae ea a
4
§2.1 群的概念
2. 乘法表与群示例
如果我们知道群中每两个元素的乘积，则群 结构就确定了。这乘积可以排列成一个乘法 表，例如G中有元素e,a,b,c,d，乘法表为 e a b c d e ee=e ea=a b c d
a b c d ae=a aa b c d ba ca da ab bb cb db ac bc cc dc ad ba cd dd
群的基本概念
3、 (AB)-1 = B-1 A-1 证明: ∵ (AB)-1 = (AB)-1E = (AB)-1AA-1 E = (AB)-1 AEA-1 = (AB)-1A （BB-1）A-1
3, 单位元（不变元素）E,
EA = AE = A
4, 逆元A-1, A A-1 = A-1 A = E
二、 群的性质:
1、 E-1 = E ,
单位元 E 的逆元仍为E,
证：（1）E-1 E= E E-1 = E （令：A=E， 由A-1 A = A A-1 =E ） （2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ） 由（1）和（2） E = E-1
年迈的泊松感到难于理解
• 由于论文中出现了“置换群”等崭新的数 学概念和方法，泊松感到难于理解。几个 月后，他将论文退还给伽罗瓦；嘱咐写一 份详尽的阐述送来，可是，伽罗瓦已经没 有时间了。
• 在大学里，伽罗瓦由于积极参加资产阶级 革命活动，被学校开除了。
伽罗瓦预感到死亡即将来临
• 1831年5月和7月，他又因参加游行示威活动两次被 捕入狱，遭受路易--菲利浦王朝的迫害，直到1832 年4月29日，由于监狱里流行传染病，伽罗瓦才得 以出狱。
他盯上了著名的世界数学难题
• 不久，伽罗瓦的眼睛盯上了：高次方程的求根公 式问题。
• 16世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人， 发现了三次方程的求根公式。这个公式公布后没 两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求 根公式。当时，数学家们非常乐观，以为马上就 可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程 的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也 找不出一个这样的求根公式。
人教版高中数学选修3-1数学史选讲《第七讲千古谜题伽罗瓦的解答》
一 . 三次、四次方程求根公式的发现
2.世界上最早的数学竞赛
Ⅰ.意大利研究三次方程的高手塔尔塔利亚. Ⅱ.科拉向塔尔塔利亚发起的挑战，提出两个三次方 程的问题.
塔尔塔利亚 （1499—1557）
Ⅲ.塔尔塔利亚的努力得到三次方程的一般解法.
失落的公式命名
一 . 三次、四次方程求根公式的发现
3.张冠李戴
三.伽罗瓦与群论
2.伽罗瓦的群论 群的例子 整数集加通常的加法 去零实数集加通常的乘法
( Z , )
( R* , )
你能验证上述两个例子是群吗？
四.古希腊三大几何问题的解决
伽罗瓦理论
Ⅰ.化圆为方，即求作一个正方形与给定的圆的面积相等.
Ⅱ.三等分角，即把任意角分成三等份.
Ⅲ.倍立方，即求作一个正方形，使其体积是已知正方体体积的两倍. 这些问题的难度在于，作图 只能用直尺和圆规。
历程回顾思考
Ⅰ.代数方程求解的追逐本身是一部完整的历史.
Ⅱ.感受的天才数学家们为接受人类智慧的挑战而坚 持不懈的努力. Ⅲ.先有数学问题才有数学，数学在解决问题中发展.
主要内容
三次、四次方程
高次方程
代数方程
三大几何问题
伽罗瓦与群论
背景铺垫
我们在初中就学过了怎样求解一元二次方程
ax bx c 0(a 0) x1,2
2
b b2 4 ac 2a
古巴比伦时代初步掌握方法，直到公元9世 纪，阿拉伯数学家花拉子米才彻底对一元二次 方程给出一般的求根公式。
三.伽罗瓦与群论
1.伽罗瓦的传奇人生
定理：代数方程可解当且仅当它的伽罗瓦群是可解群 完败富二代
偏科数学
超时代思维 自学成才
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论用群论的方法来研究代数方程的解的理论。
在19世纪末以前，解方程一直是代数学的中心问题。
早在古巴比伦时代，人们就会解二次方程。
在许多情况下，求解的方法就相当于给出解的公式。
但是自觉地、系统地研究二次方程的一般解法并得到解的公式，是在公元9世纪的事。
三次、四次方程的解法直到16世纪上半叶才得到。
从此以后、数学家们转向求解五次以上的方程。
经过两个多世纪，一些著名的数学家，如欧拉、旺德蒙德、拉格朗日、鲁菲尼等，都做了很多工作，但都未取得重大的进展。
19世纪上半叶，阿贝尔受高斯处理二项方程(p为素数)的方法的启示，研究五次以上代数方程的求解问题，终于证明了五次以上的方程不能用根式求解。
他还发现一类能用根式求解的特殊方程。
这类方程现在称为阿贝尔方程。
阿贝尔还试图研究出能用根式求解的方程的特性，由于他的早逝而未能完成这项工作。
伽罗瓦从1828年开始研究代数方程理论(当时他并不了解阿贝尔的工作)，他试图找出为了使一个方程存在根式解，其系数所应满足的充分和必要条件。
到1832年他完全解决了这个问题。
在他临死的前夜，他将结果写在一封信中，留给他的一位朋友。
1846年他的手稿才公开发表。
伽罗瓦完全解决了高次方程的求解问题，他建立于用根式构造代数方程的根的一般原理，这个原理是用方程的根的某种置换群的结构来描述的，后人称之为“伽罗瓦理论”。
伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。
在几乎整整一个世纪中，伽罗瓦的思想对代数学的发展起了决定性的影响。
伽罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。
戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。
随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。
1940年前后，美国数学家雅各布森开始研究非交换环的伽罗瓦理论，并成功地建立了交换域的一般伽罗瓦理论。
伽罗瓦
家庭背景1811年10月25日，伽罗瓦出生于法国巴黎郊区拉赖因堡伽罗瓦街的第54号房屋内.他的父亲尼古拉·加布里埃尔·伽罗瓦,参与政界活动,属自由党人，是拿破仑的积极支持者.主持过供少年就学的学校，任该校校长.又担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴. 他的母亲玛利亚·阿代累达·伽罗瓦, 是当地法官的女儿，她聪明而有教养，是伽罗瓦的启蒙老师,为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础.数学天赋1823年l0月,年满12岁伽罗瓦，考入了有名的路易·勒·格兰皇家中学. 他不满足呆板的课堂灌输，自己去找最难的数学原著研究，一些老师也给他很大帮助.在一些老师的眼里，尽管伽罗瓦具有“杰出的才干”，但这位体格柔弱的少年却被认为“为人乖僻、古怪，过分多嘴”.他不满意内容贫乏，编排琐碎的教科书，对老师只注重形式和技巧的的讲课形式也深感失望.他在后来的一封信中曾大为感慨地写道：“不幸的年轻人要到什么时候才能不整天听讲或死记听到的东西呢？”十五岁的伽罗瓦毅然抛开教科书，直接向数学大师的专著求教.著名数学家勒让德尔的经典著作《几何原理》，使他领悟到清晰有力的数学思维内在的美.学习拉格朗日的《论数值方程解法》和《解析函数论》，使他的思维日趋严谨.接着，他又一口气读完了欧拉与高斯的著作，这些数学大师的著作使他感到充实，感到自信：“我能够做到的，决不会比大师们少！”.论文第一次被丢失1828年，17岁的伽罗瓦开始研究方程论，创造了“置换群”的概念和方法，解决了几百年来使人头痛的数学问题.伽罗瓦最重要的成就，是提出了“群”的概念，用群论改变了整个数学的面貌.1829年5月，伽罗瓦在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国科学院. 负责审查这篇论文的是当时法国数学家泰斗柯西和波松.柯西是当时法国首屈一指的数学家,他一向是很干脆和公正的，但偶然的疏忽却带来了损失.伽罗瓦向科学院送交论文时，他未能及时作出评价，以致连手稿也给遗失了.论文第二次被丢失1829年7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了,这给了伽罗华很大的触动，他的思想开始倾向于共和主义.1829年10月25日,伽罗瓦听从里夏尔老师的劝告,作为预备生进入师范大学学习. 进入师范大学后的一年对伽罗瓦来说是最顺利的一年，伽罗瓦写了几篇大文章，并提出自己的全部著作来应征科学院的数学特奖.主持审查论文的是当时数学界权威人士、科学院院士——傅立叶,然而很不凑巧，傅立叶在举行例会的前几天病世了.人们在傅立叶的遗物中找不到伽罗瓦的数学论文,就这样，伽罗瓦的论文第二次被丢失了.论文被否定伽罗瓦没有灰心，又继续研究自己所得的新成果.第三次写成论文，即《关于用根式解方程的可解性条件》.1831年，法兰西科学院第三次审查伽罗瓦的论文，主持这次审查的是科学院院士波松,总算幸运，这一次论文没有丢失.但论文中用了“置换群”这个崭新的数学概念和方法，以致像波松那样赫赫有名的数学家一下子也未能领会，结果，最后一次得到波松草率的评语“不可理解”而被否定了。
伽罗瓦
他首先提出了根的置换概念，主意 到每个方程都可以与一个置换群（伽罗 瓦群）联系起来，方程实际上是一个其 对称性可用群的性质描述的系统．这样， 伽罗瓦就把方程的根式问题转化为群论 问题来解决，而且他最终以群论为工具， 为方程的根式解问题提供了全面而透彻 的解答．
伽罗瓦是一位天才的数学家，他在少 年时期就直接阅读了数学大师们的专著， 如勒让德德经典著作《几何原理》，拉格 朗日的《解数值方程》《解析函数论》， 还有欧拉、高斯和柯西等的数学著作，打 下了坚实的数学基础．
1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附 近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤 判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的 青年抬到医院。第二天早晨十点，这个可怜的 年轻人离开了人世,数学史上最年轻、最富有创 造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学 家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年， 他就是伽罗华。
中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
• 里夏尔帮助伽罗华于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应 用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个 定理的证明》，并说服伽罗华向科学院递送备忘录。1829年，伽罗 华在他中学学年快要结束时，把他研究的初步结果的论文提交给法国 科学院。 • 1829年7月2日，正当伽罗华准备入学考试时，他的父亲由于受不了 天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。这给了伽罗华很大的触动，他的 思想开始倾向于共和主义。其后不久，伽罗华听从里夏尔的劝告决定 进师范大学，这使他有可能继续深造，同时生活费用也有了着落。 1829年10月25日伽罗华被作为预备生录取入学。 • 进入师范大学后的一年对伽罗华来说是最顺利的一年，1828年他的 科学研究获得了初步成果。伽罗华写了几篇大文章，并提出自己的全 部著作来应征科学院的数学特奖。但在这里，他又一次遭到了新挫折： 伽罗华的手稿原来交给科学院常任秘书傅立叶，傅立叶收到手稿后不
伽罗瓦群与高次方程的代数解
伽罗瓦群与高次方程的代数解 李阳年轻的数学家伽罗瓦倒在一场决斗之中生前遭遇了种种的不平和不公在伽罗瓦理论中高于四次本文即将以一种简约的方式向大家介绍这个重要结论的求证过程伽罗瓦理论高次方程不可解我们接触到了一次和二次方程当方程的次数超过二次的时候直到１５世纪末但是不久和四次方程的解决方案指寻找到代数解然而欣喜过望的人们 其后的三百年间拉格朗日等人的努力相继以失败告终在１８２４年一般的五次方程或更高次代数方程的根而最终的明确论断其人随后死于决斗数学史上的一大悲剧数学的发展史上真是多灾多难伽罗瓦解决这个问题的基础理论是他发现的关于群和域的概念高次方程是否有代数解高次方程的一般方程不可能用根号求解让我们一起来探讨整个求证的过程可解群如果存在某个正规群列Ｇ１Ｇｒ＝１它的每个因子群ｉ＝０，１，ｒ－１ 例 如Ｓ３Ａ３１中故Ｓ３是可解群Ａ４Ｋ４１中Ｋ４／１都是交换群 然而进一步的证明却让人张口结舌ｎＳｎ和Ａｎ都不是可解群证明略这将是导致高次方程不可解的根本原因详情参阅1998年 详情参阅［美］H1990年 参考任何一本关于群和域的专著都可以扩域如果Ｆ和Ｅ是两个域ＥＦ是Ｅ的子域是任一域的子域一个方程的求根总是在某个域中进行的但可能在某个扩域中有根设ＥＦＫ是三个域 分裂域Ｆ的包含ｆ（ｘ）所有根的最小扩域Ｅ称为ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域分裂又称设Ｋ是Ｆ的有限扩域Ｆ［ｘ］中的任一ｎ次不可约多项式或者ｎ个根都在Ｋ中域Ｆ的任一有限正规扩域Ｋ称为Ｆ的伽罗瓦扩域域Ｅ到Ｅ自身的同构满射称为Ｅ的自同构所以域的自同构必把＋的单位元１变为１保持一切有理数不变即６｜Ｑ＝１Ｑ域Ｅ的自同构全体关于变换的乘法成群记为Ａｕｔ Ｅ对于特殊的自同构集合Ｇａｌ Ｅ／Ｆ＝｛б｜бａб＝ａ， 任取ａ其中每一个б都不变Ｆ中的任意数称为扩域Ｅ／Ｆ的伽罗瓦群ｆ（ｘ） ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域是Ｅ记为Ｇｆ 任一６III. 伽罗华基本定理我们把Ｉｎｖ Ｇ＝｛ａ｜ａ＝ａ，任取Ｆ｝称为Ｇ的不变子域Ｓ２＝｛Ｋ｜Ｋ是Ｅ的包含Ｆ的子域｝Ｇ＝Ｇａｌ Ｅ／Ｆ Ｈ → σＩｎｖ Ｈ是Ｓ１到Ｓ２的双射Ｓ１和Ｓ２之间存在如下伽罗瓦对应 Ｈ１Ｈ２ ＜＝＞ Ｉｎｖ Ｈ１Ｉｎｖ Ｈ２ Ｈ是Ｇ的正规子群 ＜＝＞ Ｉｎｖ Ｈ 是Ｆ的正规扩域且有 Ｇａｌ（Ｉｎｖ Ｈ／Ｆ）同构于Ｇ／ＨＦＩｎｖ Ｇ为两个伽罗瓦映射伽罗瓦对应图记号说明把Ｅ是Ｆ的扩域简记为Ｅ／Ｆ把多项式ｆ（ｘ）的次数记为ｄｅｇ ｆ（ｘ）把Ｇ的不变子域记为Ｉｎｖ Ｇ看了那么多的概念那么 第一步显然可以用根号来求解，Ｘ１＝ ＋ 普遍来讲ａ，ｂ，ｃａ不为０则扩域Ｆ（）包含了方程的所有根根塔由依次对前一域中的某数添加根号组建的塔ＱＱ（）对于三次方程了四次方程将ｆ（ｘ）的根全部包含在内根塔有部分方程根塔由于相邻的两层相等ｆ（ｘ）＝ ｘ３－２＝０的解为：ｘ１＝ＱＱ（）Ｑ（，）如ｆ（ｘ）＝ ｘ５－２＝０由此建立的对应根塔为Ｑ（）Ｑ（）Ｑ（）一个方程是否可以用根号求解可以利用其根塔的存在与否来判定 ¹ÅµäÊýѧÄÑÌâÓëÙ¤ÂÞÍßÀíÂÛ1986年根号求解让我们重新定义１的多项式称ｆ（ｘ）＝０在Ｆ上可用根号求解设ｆ（ｘ）是某一首项系数为满足以下条件１即ＦＥＫ２Ｆ２ＦｒＦｒ＋１ ＝ Ｋ（ｄｉ）ｎｉ＝ａｉｉ＝１，２，对应的自然数集｛ｎ１，ｎ２，，ｎｒ｝称为此根塔的根次数集（如根塔２３｝５｝）添加到Ｆｉ上而得的单代数扩域中每个数都可由Ｆｉ中的数经过有限系数属于Ｆｉ，即Ｆｉ＋１次的加减乘除和开ｎｉ次方得出因而也在Ｋ中经过有限次的加减乘除和开根号运算表示随后它所依据的标准 第三步两个十分重要的已证明的结论我们引入设ｎ是某个确定的自然数１Ｆ，ａ不为０则Ｇａｌ Ｅ／Ｆ必是ｍ阶循环群 如果Ｅ是域Ｆ的这样一个伽罗瓦扩域则必存在ｄ使ｄｒ＝ａ这个定理说明了这样一个事实只要基域Ｆ含有ｎ次本原根即ｆ（ｘ）＝ｘｎ－ａ的伽罗瓦群必是ｍ阶循环群反之定理２ｆ（ｘ）＝ ｘｎ－１在Ｆ上的分裂域为Ｅ 以上两个定理在判定规则证明中起了重要的作用 设Ｆ为域则ｆ（ｘ）＝０可用根号求解 ＜＝＞ Ｇｆ是可解群 一根据我们的定义知存在Ｆ的某个扩域Ｋ我们可以假定根塔４中的Ｋ是伽罗瓦扩域但Ｋ的正规闭包（记为Ｋａ）必是Ｆ的伽罗瓦扩域且仍有ＦＥＫＫａ证明略 设根塔４中所有根次数ｎ１，ｎ２，，ｎｒ 的最小公倍数是ｎ把ｚ添加到根塔４中的每个域上取ｉ＝１ 那么根塔４又可以得到Ｋ（ｚ）／Ｆ的一个根塔 Ｆ＝Ｋ０Ｋ１ＫｒＫ（ｚ）＝Ｋｒ＋１ Ｋ１＝Ｆ（ｚ）＝Ｋ０（ｚ）（ｄｉ）ｎｉＫｉ，Ｉ＝１，２，，ｒ所以Ｋ必是某个ｇ（ｘ） 因为ｚ是ｎ次本原根ｎ－１） 因而Ｋ必是Ｆ的伽罗瓦扩域ｚｉ＝０，１，，ｒ则Ｋｉ＝Ｉｎｖ Ｈｉ，Ｉ＝０，１，，ｒ这里１是Ｈ０的单位元群由定理二知对于任一ｉ（ｉ＝１，由于Ｋｉ中已包含了ｎｉ次本原根ｚｎ／ｎｉＫｉ［ｘ］在Ｋｉ上的分裂域Ｇａｌ Ｋｉ＋１／Ｋｉ也是交换群由Ｋｉ＋１／Ｋｉ是正规扩域知Ｈｉ＋１是Ｈｉ的正规子群所以Ｈ０＝Ｇａｌ Ｋ（ｚ）／Ｆ是可解群其中Ｅ是ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域＝Ｇａｌ Ｋ（ｚ）／Ｅ所以是Ｈ０的正规子群所以商群Ｇ也是可解群综上可知则Ｇｆ是可解群充分性 设ｆ（ｘ）在Ｆ上的分裂域为Ｅ设｜Ｇ｜＝ｎ任取ｎ次本原根ｚＥ上 Ｆ＝Ｆ１Ｆ２＝Ｆ（ｚ）Ｋ＝Ｅ（ｚ）所以ｆ（ｘ）在Ｆ２上的分裂域为Ｅ（ｚ）＝Ｋ而Ｆ２＝Ｆ（ｚ）已经是Ｆ的根号扩域故只须要构造一个从Ｆ２到Ｋ的根塔就行了Ｈ＝Ｇａｌ Ｋ／Ｆ２同构于Ｇ＝Ｇａｌ Ｅ／Ｆ的某个子群故Ｈ也是有限可解群Ｈ２ＨｒＨｒ＋１＝１ 其中每个合成因子群Ｈｉ／Ｈｉ＋１都是素数ｐｉ阶循环群ｉ因为Ｋ是Ｆ２的伽罗瓦扩域Ｈ＝Ｈ１ＨｉＨｒＨｒ＋１＝１ Ｆ２ＦｉＦｒＦｒ＋１＝Ｋ 必有Ｈｉ＝Ｇａｌ Ｋ／Ｆｉ＋１， Ｇａｌ Ｆｉ＋２／Ｆｉ＋１同构与Ｈｉ／Ｈｉ＋１ 因为Ｆ２＝Ｆ（ｚ）中已经包含了所有的ｐｉ次本原根ｚｎ／ｐｉ根据定理一Ｆｉ＋２，使得 ＝Ｆｉ＋１（ｄｉ＋１），（ｄｉ＋１）ｐｉ Ｆｉ＋２故而得到根塔Ｆ２Ｆｒ＋１Ｆｒ＋２＝Ｋ 根次数依次为ｎ，ｐ１，ｐ２，且Ｋ＝Ｅ（ｚ）包含了ｆ（ｘ）在 综合以上可知判定定理得证由前面的引导概念我们可以有以下结论 一个ｎ次多项式ｆ（ｘ）的伽罗瓦群Ｇｆ在ｎ＝３或ｎ＝４的时候是可解群而当ｎ＞４的时候故而不能用根号求解高于四次的一般代数方程不可能用根号求解V. 结语伽罗瓦的证明成为数学史上重要的里程碑他研究数学的时间仅有短短的五年却成为了跨时代的超越伽罗华将他的一篇论文提交给法国科学院审查当时负责审查的数学家泊阿松最后结论居然是其朋友舍瓦利叶按照他的遗愿将其发表在中也就是１８４６年１８８２）领悟到这些演算中迸发出的天才思想刘维尔最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的上 １９３１年卷入了一场所谓的决斗伽罗瓦腹部中弹年仅２１岁成为人类科学史上的一大悲剧因此而停滞良久数学珍宝历史文献精选卡尔达诺大术李文林 主编科学出版社 ［２］ 徐诚浩 著复旦大学出版社 ［３］ ［美］Ｈ１９９０年域论１９９７年抽象代数学： 域论及伽罗瓦理论１９８７年伽罗华理论基础１９８９年伽罗瓦传商务印书馆 。
伽罗瓦理论 第二版
伽罗瓦理论第二版
S.H.文特劳勃著
伽罗瓦理论是一个漂亮的数学理论,著名的古希腊三大几何作图名题(尺规三等分角、化圆为方、立方倍体)由于这个理论的诞生而获得解决,是人们乐于称道的一段数学佳话。
本书是关于这个理论的专著。
作者采用E.Artin于1944年提出的一种方法,从线性代数的观点论述了理论的基本结果和主要应用,较为详细地研究了特征0和正特征两种情形的域及其可分和不可分扩张,着重讨论了代数数域(即有理数域的有限扩张),还讨论了无限代数扩张的伽罗瓦理论及超越扩张。
书的前身是作者在美国Lehigh大学给出的研究生课程的讲稿,初版于2006年。
德国数学评论认为该书为研究生提供了经典域论和伽罗瓦理论的现代的标准素材。
现版本除个别章节有局部修改外,主要变化是新加了第6章(超越扩张)。
各章内容如下:1?币?论,通过Q上多项式的分解用“非正式”的方式给出伽罗瓦理论的基本思想,提供背景材料;2?备?出域论和伽罗瓦理论的基本结果,这里的论述只假定读者具备线性代数的预备知识,主要目的是证明伽罗瓦理论的基本定理;3.应用基本理论研究对称函数域和对称多项式环,确定有限域的结构,讨论Abel扩张和Kummer域;4?弊?论有理数域
的扩张,讨论了分圆多项式和分圆域,研究尺规作图问题并证明Gauss定理,还包括Q的扩张的伽罗瓦群及其实际计算,以及方程的根式可解性和Abel定理;5-6?笔怯蚵鄣慕献?门的材料,如可分和不可分扩张、正规扩张、代数闭包、无限伽罗瓦扩张及超越扩张。
还有三个关于群论和初等数论的附录。
本书可作为大学有关专业高年级学生及研究生的教材,也可供科研人员参考。
朱尧辰,研究员
(中国科学院应用数学研究所)。
群论第二章ppt
§2.1 群的概念
（3),存在单位元素 集合中存在一个单位元素或称恒等元素 (Identity Element)而且只存在一个单位元素e
e∈G
(4), 集合总任何元素的逆元素在集合中，a 的逆元 1 为 a −， 有 aa −1 = a −1a = e a −1 ∈ G a −1 是唯一的。 在一定乘法规则下满足以上四条的具有代数结构的集合称 为群。在四条中没有要求满足交换律，如果一个群其元素乘 法满足交换律称为交换群或Abel群 群元的数目称为群的阶，记为g。g为有限称为有限群。元 素无限称为无限阶群。群元可数的无限群为离散无限群，而 群元素不可数的称为连续群。
5
§2.1 群的概念
显然只有群元素比较少时这乘法表才排得出来，在乘法表 中每列与每行，每个元素出现一次，也仅一次，这为乘法表 的重排定理。 若群是Abel群（交换群），则乘法表中对主对角线是对称 的。下面给出几个例子 例1 G = {1, −1} 乘法为普通数乘法，单位元素为1 = e ,a=-1逆元素为 自 己，其乘法定律 ee=e, aa=e, ea=ae=a, 这群在量子力学中很重要，这群与空间反演相对应，三维 v v v v v 空间矢量 r 作用 er = r ar = − r v v e保持 r 不变的恒等变换 a 使 r 反演的反演变换，则 {e, a}构成反演群。 我们称群G与反演群同构。
16ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
子群, §2.2 子群 同态和同构
2. 同态与同构 定义2.3。若从群G到群F上存在一一对应的映射， 定义 且在映射中群代数结构不变，即乘法规则不变，即 G中两元素乘积的映射等于两元素映射到F的乘积， G F 称群G与群F同构。 φ g• •f 记 G ≅ F 映射称同构映射。 g • •f g •f 即 Φ ：G → F •
伽罗瓦与群论PPT人教版1
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
（1）（封闭性）集合中任意两个元素的积仍 属于该集合 （2）（结合性）运算满足结合律，即
(a*b)*c = a*(b*c)
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
（3）（存在单位元）集合中存在单位
元 e，对集合中任意元素 a,满足
e*a =a*e =a
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
（4）（存在逆元） 对集合中任一元素 ,存
在唯一元素 a , 使得 a1
a-1 *a = a*a-1 = e
则G连同它的运算﹡称为一个群，记做
（G, ﹡）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
阿贝尔解决了一般的5次或5次以 上的方程不能公式求解问题，但是遗 留问题：判定一个具体数字系数的高 次代数方程能否用根号求解的准则问 题？
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
还记得上节课我们讲的对于 形如
an xn an1xn1 ... a1x1 a0 0
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
2.伽罗瓦的群论
伽罗瓦最主要的贡献是提出了“群 （group）”的概念，用群彻底解决了代 数方程可解性的问题.现在把这一理论称
为伽罗瓦理论.
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
伽罗瓦与群论PPT人教版1（精品课件 ）
1830年，在著名的数学杂志《数学科学 通报》上先后两次发表了三篇论文.
伽罗瓦
伽罗瓦埃瓦里斯特·伽罗华（Eacute;variste Galois，公元1811年~公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出重要贡献的数学家，他的工作为群论（一个他引进的名词）奠定了基础；在父亲自杀后，他放弃投身于数学生涯，注册担任辅导教师，结果因撰写反君主制的文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。
伽罗华死于一次近乎自杀的决斗，引起了后人的种种猜测。
可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。
他被公认为是数学史上两个最具浪漫主义色彩的人物之一1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。
第二天早晨十点，这个可怜的年轻人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。
后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年，他就是伽罗华。
数学世界的顽强斗士19世纪初，有一些数学问题一直困扰着当时的数学家们，而如何求解高次方程就是其中之一。
历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。
关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。
到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。
在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576年)问到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。
所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560年)解出。
这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。
群论第二章A精品PPT课件
BA AB C （∵若 AB A 或 AB B ，则 A E 或 B E ）
同理 AC CA B, BC CB A
V ——Abel群（四阶反演群）
5）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成
R3 连续群
6）置换群（permutation group） 原来的位置
1 2 3 n
[( AB)1( AB)]B1A1
B1 A1
试讨论以下集合是否构成群： 1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法
4 n n 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法
5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘
2.1.2 群的种类
有限群（finite group），群元个数有限 群
ⅰ）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C。
乘法表示：
C4 E A B C
E
A
E A
AB BC
C E
E,
C4 ,
C42 ,
C43
,
绕某固定轴转 2
,
,
2
,
3
2
B B C E A 1,i,1,i
C CE AB
生成元：A；{A, A2, A3, A4}
C4 ——Abel群
(四阶循环群）
真子群的条件:
1 存在单位元
2 任意元素的逆元素也在这一子集内
3 任意两元素的乘积也在这一子集内
例： C3v群中， E, ,C32 ,C3, C32 , C3 中 E,C32 ,C3 构成真子群。
沿A轴反演
顺时针赚120º
E,
E,C32
E,C3
y
A'(0,1)
《伽罗瓦与群论》课件-优质公开课-人教A版选修3-1精品
11
§1,1 对称性的意义
Wigner指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正 算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒 律，如时间反演，但会带来其它的限制。 如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则 我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不变。例如 研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时， 相互作用哈密顿量不变则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结 果可以利用量子场论计算给出。 在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利 用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不 清，相互作用H写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反 平行于束方向极化，其散射微分截面相等。 对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我 们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应 中有以下选择定则 Q 0 。
16
§1.3
对称性的分类
另一类严格对称性是在总体规范变换下的不变性，或称第一类规范不变 性。这种对称性联系着电荷（Q）守恒，重子数（B）守恒与轻子数（L） 守恒， 所谓规范变换，在学习电磁场理论时有一个例子，电磁规律具有 Lorentz规范不变性，就是当利用矢势 A 和标势Ф描述电磁场时， A和Ф 做以下变换; 1 A A , c t χ是任一标量函数，给出同样的电场强度和磁场强度。就说电磁 规律在Lorentz规范变换下具有不变性。这种规范变换意味着静电势的零 点可以任意取。则在电荷守恒下能量守恒。 重子数守恒也是一种规范变换下的不变性，即重子数规范变换下具有 不变性，即当 e iB 时系统的性质不变。因系统的相互作用能
伽罗瓦 介绍
伽罗瓦河北师范学院邓明立伽罗瓦，E．(Galois，Evariste)1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎．数学．伽罗瓦的父亲N．G．伽罗瓦(Galois)是法国资产阶级革命的支持者，为人正直厚道．他在1815年拿破仑发动“百日政变”期间，当选为拉赖因堡市的市长．伽罗瓦的母亲是一位当地法官的女儿，聪明而有教养，但个性倔强，甚至有些古怪．她是伽罗瓦的启蒙老师，为他的希腊语和拉丁语打下了基础，并且把她自己对传统宗教的怀疑态度传给了儿子．1823年10月，12岁的伽罗瓦离别双亲，考入路易·勒格兰皇家中学，开始接受正规教育．在中学的前两年，他因希腊语和拉丁语成绩优异而多次获奖；但在第三年(1826)，伽罗瓦对修辞学没有下足够的功夫，因而只得重读一年．在这次挫折之后，他被批准选学第一门数学课．这门课由H．J．韦尼耶(Vernier)讲授，他唤起了伽罗瓦的数学才能，使他对数学发生了浓厚的兴趣．他一开始就对那些不谈推理方法而只注重形式和技巧问题的教科书感到厌倦，于是，他毅然抛开教科书，直接阅读数学大师们的专著．A．M．勒让德(Legendre)的经典著作《几何原理》(Eléments de géo－me tre，1792)，使他领悟到数学推理方法的严密性；J．L．拉格朗日(Lagrange)的《解数值方程》(Rélution deséquations nume－riques，1769)、《解析函数论》(Théorie des fonctions analytiques，1797)等著作，不仅使他的思维更加严谨，而且其中的思想方法对他的工作产生了重要的影响；接着他又研究了L．欧拉(Euler)、C．F．高斯(Gauss)和A．L．柯西(Cauchy)的著作，为自己打下了坚实的数学基础．学习和研究数学大师的经典著作、是伽罗瓦获得成功的重要途径．他深信自己能做到的，决不会比他们少．他的一位教师说：“他被数学的鬼魅迷住了心窍．”然而，他忽视了其他学科，导致了他首次(1828)报考巴黎综合工科学校失败．1828年10月，伽罗瓦从初级数学班升到L．P．E．里查德(Richard)的数学专业班．里查德是一位年轻而富有才华的教授，并且具有发掘科学英才的敏锐判断力和高度责任感．他认为伽罗瓦是最有数学天赋的人物，“只宜在数学的尖端领域中工作”．于是，年仅17岁的伽罗瓦开始着手研究关于方程理论、整数理论和椭圆函数理论的最新著作．他的第一篇论文“周期连分数的一个定理的证明”(Démonstration d’un théoréme sur les fractionscontinues périodiques)，于1829年3月发表在J．D．热尔岗(Gergonne)主办的《纯粹与应用数学年刊》(Annales de Mathé－matiques Pures et Appliquées)上，它更为清楚地论述和说明了欧拉与拉格朗日关于连分式的结果．据伽罗瓦说，他在1828年犯了和N．H．阿贝尔(Abel)在8年前犯的同样错误，以为自己解出了一般的五次方程．但他很快意识到了这一点，并重新研究方程理论，他坚持不懈，直到成功地用群论阐明了这个带普遍性的问题．1829年5月25日和6月1日，他先后将他的两篇关于群的初步理论的论文呈送法国科学院．科学院请柯西做论文的主审．然而，一些事件挫伤了这个良好的开端，而已在这位年轻数学家的个性上留下了深深的烙印．首先，伽罗瓦的父亲由于受不了保守的天主教牧师的恶毒诽谤于7月2日自杀身亡．之后不到一个月，伽罗瓦参加了巴黎综合工科学校的入学考试，由于他拒绝采用主考官建议的解答方法，结果又遭失败．最后他不得已报考了高等师范学院，于1829年10月被录取．柯西审核的伽罗瓦的论文，新概念较多，又过于简略，因此柯西建议他重新修改．1830年2月，伽罗瓦将他仔细修改过的论文再次呈送科学院，科学院决定由J．B．J．傅里叶(Fourier)主审．不幸，傅里叶5月份去世，在他的遗物中未能找到伽罗瓦的手稿．1830年4月，伽罗瓦的论文“关于方程代数解法论文的分析”发表在B．D．费吕萨克(Férussac)的《数学科学通报》(Bulle－tetin des Sciences Mathématiques)上．同年6月，他又在同一杂志上发表了两篇论文——“关于数值方程解法的注记”和“数的理论”，这期杂志上还刊登着柯西和S．D．泊松(Poisson)的文章，这充分说明了伽罗瓦已在数学界赢得了声誉．伽罗瓦进入师范学院一年，正当他做出卓越的研究工作之时，法国历史上著名的1830年“七月革命”爆发了．伽罗瓦作为一名勇敢追求真理的共和主义战士，反对学校的苛刻校规，抨击校长在“七月革命”期间的两面行为．为此，他于1830年12月8日被校方开除．于是，他便根据自己的意志投身于政治活动．1831年5月9日，在一个共和主义者的宴会上，伽罗瓦举杯对国王进行了挑衅性的祝酒，于第二天被捕．罪名是教唆谋害国王生命的未遂罪．6月15日被塞纳陪审法院释放．在此期间，伽罗瓦继续进行数学研究．他于1831年1月13日开了一门关于高等代数的公开课，以讲授自己独创的学术见解谋生．但是，这个设想并未获得多大成功．1831年1月17日，他向科学院呈送了题为“关于方程根式解的条件”的论文，这次负责审查论文的是泊松和S．F．拉克鲁瓦(Lacroix)．虽然泊松认真地审阅了它，可得出的结论却是“不可理解”．在他们给科学院的报告中说：“我们已经尽了最大努力来研究伽罗瓦的证明，他的推理显得不很清楚，到目前为止，我们还不能对它作出正确评价，因为有说服力的证明还没有得到．因此，在这篇报告中，我们甚至不能给出他的证明思想．”最后，泊松建议伽罗瓦进一步改进并详细阐述他的工作．1831年7月14日，伽罗瓦率众上街示威游行时，再次被捕，他被关押在圣佩拉吉监狱．他在狱中顽强地进行数学研究，一面修改他关于方程论的论文，研究椭圆函数，一面着手撰写将来出版他著作时的序言．1832年3月16日，由于宣布霍乱正在流行，伽罗瓦被转移到一家私人医院中服刑．他在那里陷入恋爱，后因爱情纠纷而卷入一场决斗．4月29日，伽罗瓦获释．5月29日，即决斗的前一天，伽罗瓦给共和主义者的朋友们写了绝笔信．尤其在给A．舍瓦列耶(Cheralier)的信中，表明他在生命即将结束的时候，仍在整理、概述他的数学著作．第二天清晨，在冈提勒的葛拉塞尔湖附近，他与对手决斗，结果中弹致伤后被送进医院．1832年5月31日，这位未满21岁的数学家与世长辞了．伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题．人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗瓦理论．它已成为近世代数学的最有生命力的一种理论．群论起源于代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果．对于方程论，拉格朗日有过卓越的概括．在1770年前后，他利用统一的方法(现在称为拉格朗日预解式方法)，详细分析了二次、三次、四次方程的根式解法，提出了方程根的排列置换理论是解决问题的关键所在．他的方法对于求解低次方程卓有成效，但对一般的五次方程却没有任何明确的结果，致使他对高次方程的求解问题产生了怀疑．P．鲁菲尼(Ruffini)于1799年首次证明了高于四次的一般方程的不可解性，但其证明并不完善．在1824—1826年，阿贝尔修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明了一般的五次或五次以上的代数方程不可能有根式解．其间，高斯于1801年建立了分圆方程理论，解决了二项方程的可解性问题，这对于伽罗瓦理论的创立至关重要．1815年，柯西对于置换理论的发展做出了贡献．固然高于四次的一般方程不能有根式解，但是有些特殊类型的方程(如二项方程、阿贝尔方程割仍然可以用根式求解．因此，全面地刻画可用根式求解的代数方程的特性问题，乃是一个需要进一步解决的问题．伽罗瓦的理论正是在这样的背景上发展起来的．伽罗瓦继承和发展了前人及同时代人的研究成果，融会贯通了各流派的数学思想，并且凭着他对近代数学概念特性的一种直觉，超越了他们．他系统地研究了方程根的排列置换的性质，首次定义了置换群的概念，他认为了解置换群是解决方程理论的关键．在1831年的论文中，伽罗瓦把具有封闭性的置换的集合称为“群”．当然，这只是抽象群的一条重要性质而已．群是近代数学中最重要的概念之一，它不仅对数学的许多分支有深刻的影响，而且在近代物理、化学中也有许多重要的作用．因此，群的概念需要以高度抽象的形式来表达．现在公认群是元素间存在二元运算(例如乘法)并具有下列四条性质的集合：(1)(封闭性)集合中任意两个元素的乘积仍属于该集合；(2)(结合性)乘法满足结合律，即(a·b)·c=a·(b·c)；(3)(存在单位元)集合中存在单位元I，对集合中任意元素a满足I·a=a·I=a；(4)(存在逆元)对集合中任一元素a，存在唯一元素a-1，使得a-1·a=a·a-1=I．伽罗瓦是利用群论的方法解决代数方程可解性问题的．他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与它的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗瓦群．对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗瓦群中的每个置换都使该函数的值不变．反过来，如果伽罗瓦群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的．因此，一个方程的伽罗瓦群完全体现了它的根(整体)的对称性．伽罗瓦的思想方法大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域(现在称之为方程的伽罗瓦域)，这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗瓦群．这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题．这是伽罗瓦工作的重大突破．具体说来，假设方程x n+a1x n-1+a1x n-2+…+a n-1x+a n=0的系数生成的域为F，E是方程的伽罗瓦域，它是将方程的根添加到F上所生成的域，现在称之为伽罗瓦扩张．让G表示方程的伽罗瓦群．这个方程是否可用根式求解的关键问题是：数域F是否可以经过有限次添加根式而扩张为根域E．也就是说是否存在有限多个中间域：F1，F1，…，F s-1，F s=E，使F=F0F1F1…F s=E．其中每个F i都是由F i-1添加F i-1中的数的根式所生成的扩域．不妨假定，F是含有这个方程的系数及1的各次方根的最小域，且每次所添加的根式均为素数次根．那么，这样的中间域Fi与Fi-1之间有何关系呢？伽罗瓦经过认真的研究，认为关键取决于使Fi-1保持不变的Fi的自同构变换群的结构．可以证明，这样的自同构群是素数阶的循环群，且阶数为[Fi∶Fi-1]．域上的自同构群概念的引入，使域与群发生了联系．即建立了伽罗瓦域的子域与伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系．事实上，保持F=F0的元素不动的E的每个自同构决定方程根的一个置换，它属于伽罗瓦群G；反之，G中每个置换引起E的一个自同构，它使F的元素不动．这样就建立了E的自同构群和方程的伽罗瓦群之间的同构．由此建立E的子域(包含F)和G的子群之间的一一对应：保持子域Fi元素不动的G中全部置换构成G的一个子群Gi，让Gi与Fi对应，而且反过来也可用Gi来刻划Fi，即Fi是E中对Gi的每个置换保持不动的元素全体．伽罗瓦还利用方程根的n！值的线性系数θ(n表示方程根的个数)来定出方程的伽罗瓦群．虽然这种计算并非易事，但的确给出了计算伽罗瓦群的一种方法，而且伽罗瓦在这里给出了域扩张的本原元素的概念．在代数方程可解性的研究中，伽罗瓦的主要思想是对给定方程的系数以及经过有限次扩张的中间域给出了一个群的序列，使得每个扩域相对应的群是它前一个域相应的群的子群．伽罗瓦基本定理就描述了中间域与伽罗瓦群的子群之间的对应关系．利用这种关系，可由群的性质描述域的性质；或由域的性质描述群的性质．因此，伽罗瓦的理论是域与群这两种代数结构综合的结果．伽罗瓦的工作主要基于两篇论文——“关于方程根式解的条件”和“用根式求解的本原方程”．这两篇论文于1846年由J．刘维尔(Liouille)编辑出版．此后，人们便开始介绍和评价伽罗瓦的工作，他的思想方法逐渐为人们所接受．在这些论文中，伽罗瓦将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念．当伽罗瓦将二项方程作为预解方程研究时，他发现其相应的置换子群应是正规子群且指数为素数才行．正规子群概念的引入及其性质和作用的研究，是伽罗瓦工作的又一重大突破．属于伽罗瓦的另一个群论概念是两个群之间的同构．这是两个群的元素之间的一一对应，使得如果在第一个群中有a·b=c，则对第二个群的对应元素，有a′·b′=c′．他还引进了单群和合成群的概念．一个没有正规子群的群是单群，否则是合成群．他表述了最小单群定理：阶是合成数的最小单群是60阶的群．伽罗瓦还利用正规子群判别已知方程能否转化为低次方程的可解性问题．用现代语言可将他的思想方法描述如下：首先定义正规子群的概念，即群G的子群N叫做G的正规子群，是指对于每个g∈G，g－1Ng=N；其次是寻找极大正规子群列，确定极大正规子群列的一系列合成因子．如果一个群所生成的全部合成因子都是素数，伽罗瓦就称这个群为可解的．他利用可解群的概念全面刻画了用根式解方程的特性，给出了判别方程可解性的准则：一个方程可用根式解的充要条件是这个方程的伽罗瓦群是可解群．虽然这一准则不能使一个确定方程的精确求解更为简单，但它确实提供了一些方法，可以用来得出低于五次的一般方程，以及二项方程和某些特殊类型方程的可解性的有关结果，还可以直接推导出高于四次的一般方程的不可解性．因为一般的n次方程的伽罗瓦群是n个文字的对称群Sn；当n＞4时，n次交错群An是非交换的单群(不可解)，An又是Sn的极大正规子群．由此可推出Sn 是不可解的．既然对于所有这样的n值，都存在其Sn是伽罗瓦群的n次方程，所以一般的高于四次的方程不可能得到根式解．在“关于方程代数解法论文的分析”中，伽罗瓦提出了一个重要定理(未加证明)：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数．伽罗瓦用它判别特殊类型方程的根式解问题．他所研究的这种方程，现在称之为伽罗瓦方程，是阿贝尔方程的推广．在“数的理论”一文中，伽罗瓦用现在所谓的“伽罗瓦虚数”对同余理论作了推广并将之应用于研究本原方程可用根式求解的情况．关于伽罗瓦虚数，在伽罗瓦之前只知道特征0的域，如有理数域、实数域、复数域等，伽罗瓦在这篇论文中给出了一类新的域，即伽罗瓦域，现在称为有限域，它们是素数特征的城．有限域在现在通讯中的重要作用是尽人皆知的．伽罗瓦的数学遗作，首次(1846)发表在刘维尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)上．1897年，E．皮卡(Picard)再次出版了《伽罗瓦数学手稿》(Ocuvres mathématiques d’Evariste Galois)．之后，J．塔涅伊(Tannery)编辑的《伽罗瓦的手稿》(Manuscriste d’Evariste Galo－is)于1908年正式出版．1962年，R．布尔哥涅(Bourgne)和J．P．阿兹拉(Azra)编辑出版了带有评论性的典型版本《伽罗瓦数学论文全集》(Ecrists et mémoires mathématiques d’EvaristeGalois)，它汇集了伽罗瓦所有已发表的著作，以及绝大部分还保存的数学提纲、信件和原稿．这些史料证实了伽罗瓦的数学研究，与他对数学本质尤其对数学方法的追求、探索是密不可分的，展示了他对现代数学精神的远见卓识．从中精选出的有关数学观、方法论的原文，已成为当今研究的方向．伽罗瓦不仅研究具体的数学问题，而且研究能概括这些具体成果并决定数学长期发展及人们思维方式转变的新理论——群论．由此还发展了域论．D．希尔伯特(Hilbert)曾把伽罗瓦的理论称为“一个明确的概念结构的建立”．这种理论，对于近代数学、物理学、化学的发展，甚至对于20世纪结构主义哲学的产生和发展，都发生了巨大影响．正象E．T．贝尔(Bell)所说的：“无论在什么地方，只要能应用群论，从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐，群的概念是近世科学思想的出色的新工具之一．”伽罗瓦还是头一位有意识地以结构研究代替计算的人．他使人们从偏重“计算”研究的思维方式转变为用“结构”观念研究的思维方式，他的理论是群与域这两种代数结构综合的结果．在他的论文序言部分明确表述了这种思想，他提出：“使计算听命于自己的意志，把数学运算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类——这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路．”这种深邃的数学思想，已明显地具有现代数学的精神．伽罗瓦“‘把数学运算归类”这句话，毫无疑问是指现在所谓群论．群的功能正是将所研究的对象进行分类，而不管研究对象本身及其运算的具体内容，它是在错综复杂的现象中探讨共同的结构．一般说来，一个抽象的集合不过是一组元素而已，无所谓结构，一旦引进了运算或变换就形成了结构；所形成的结构中必须包含着元素间的关系，这些关系通常是由运算或变换联系着的．“把数学运算归类，而不是按照它们的外部特征加以分类”，其思想实质是：数学由研究具体的数和形的外部特征转变成研究一般的、抽象的结构．伽罗瓦对代数结构的探索，深化了人们关于数学研究对象的认识——按照这种观念，数学的研究对象不是孤立的量，而是数学的结构．从自发到自觉转变的意义上说，伽罗瓦已经处于近代数学的开端．他为19世纪数学家们提出的问题及任务，导致了公理方法的系统发展和代数基本结构的深入研究．因此，伽罗瓦是近世代数学的创始人．伽罗瓦在数学上做出了巨大的贡献，他在数学观、认识论方面也有不少独立的见解．他认为科学是人类精神的产物，与其说是用来认识和发现真理，不如说是用来研究和探索真理．科学作为人类的事业，它始于任何一个抓住它的不足并重新整理它的人．伽罗瓦指出：“科学通过一系列的结合而得到进展，在这些结合中，机会起着不小的作用，科学的生命是无原由的、没有计划的(盲目的)，就像交错生长的矿物一样．”在数学中，正像在所有的科学中一样，每个时代都会以某种方式提出当时存在的若干问题，其中有一些迫切的问题，它们把最聪慧的学者吸引在一起，这既不以任何个人的思想和意识为转移，也不受任何协议的支配．伽罗瓦向往着科学家之间的真诚合作，认为科学家不应比其余的人孤独，他们也属于特定时代，迟早要协同合作的．伽罗瓦的奠基性工作及其思想中孕育的开创精神，并未得到他同时代人的充分赏识和理解，其原因不是人为的偏见，而是当时人们认识上的不足．直到伽罗瓦去世14年后的1846年，刘维尔编辑出版了他的部分文章；1866年，J．A．塞雷特(Serret)出版的《高等代数教程》(第三版)(Cours d’algébre superieure)，澄清了伽罗瓦关于代数方程可解性理论的思想，建立了置换理论；1870年，C．若尔当(Jordan)出版的《置换和代数方程专论》(Traitédes substitutions et deséquations algébriques)，全面介绍了伽罗瓦的理论．从此，群论和伽罗瓦的全部工作才真正被归入数学的主流．伽岁瓦的理论导致了抽象代数学的兴起．。
群论在信号处理中的应用
群论在信号处理中的应用1 引言1.1 群论的历史与背景群论是法国传奇式人物埃瓦里斯特•伽罗瓦（Evariste Galois，1811～1832）的发明。
伽罗瓦是一位天才的数学家，但刚过 20 岁就不幸死于一场愚蠢的决斗。
伽罗瓦在决斗的前一夜，还在匆匆完成他的伟大数学创造。
他创建了群论，并用群论证明了代数方程能用根式求解的条件，证明了一般的五次和五次以上代数方程不能通过有限次加、减、乘、除和开方来精确求解。
群在抽象代数中具有基本的重要地位：许多代数结构，包括环、域和模等可以看作是在群的基础上添加新的运算和公理而形成的。
群的概念在数学的许多分支都有出现，而且群论的研究方法也对抽象代数的其它分支有重要影响。
群论的重要性还体现在物理学和化学的研究中，因为许多不同的物理结构，如晶体结构和氢原子结构可以用群论方法来进行建模。
于是群论和相关的群表示论在物理学和化学中有大量的应用。
1.2 群的定义以及基本性质首先来简要说明一下群的定义[2]：设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a*b)*c=a*(b*c)；Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有 e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有 a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。
Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使 a^(-1)*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：（1）封闭性：若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;（2）结合律成立：任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);（3）单位元存在：存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;（4）逆元存在：任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从上两式看出，ψ和 Fˆψ满足同一方程要求
Hˆ FˆHˆFˆ 1,或有HˆFˆ FˆHˆ
（1.5）
上式表明，一个变换是对称变换的必要而充分的条件是这变换算符与 系统的Hamilton算符对易。
在量子力学中，全同粒子是不可区分的，当两个粒子交换时，系统的 Hamilton量不变，因此，在任何情况下，全同粒子的置换变换是对称变 换。
10
§1,1 对称性的意义
1.3，对称性与守恒定律
在物理学的研究中，守恒定律具有非常重要的作用。人们经常观测到 某些物理量在变化过程中总是不变的，这些量就是守恒量。守恒定律与 对称性之间有密切关系。
关于守恒定律与对称性之间的联系，最早由Jacobi在1842年所注意， 他用拉氏函数描述经典力学系统时，从拉氏函数在平移下不变，导出线 动量守恒。在转动运动下不变，给出角动量守恒。1887年schatz从拉氏 函数的时间平移不变，得到能量守恒。
伽罗瓦与群论
1
2
3
4
5
§1,1 对称性的意义
在非相对论量子力学，经常使用外场的概念，外场存在使系统对称 性降为外场的几何对称性，全同粒子的置换对称性对多体问题是重要的。 因此，这两种对称性对于原子，原子核，分子和固体系统的理论，具有 重要的意义。 1.2，对称变换
在量子力学中，一个系统的状态用波函数ψ（r）来描述，现考查在 空间变换和粒子的置换变换下波函数的导出形式，以及对称变换的条 件。
和反演
x 1 0 0 x y 0 1 0 y z 0 0 1 z
当坐标空间发生变化时，系统的状态波函数ψ也会发生变化，变为
， 在 r fr 处的值即为ψ在r处的值，可写为
( fr) (r)
7
§1,1 对称性的意义
若将fr记为r，r就变为 f 1r ，上式可以写为
11
§1,1 对称性的意义
Wigner指出，在量子力学中，对称变换都对应一个幺正算符或反幺正 算符，对幺正算符则伴随守恒律，若在反幺正变换下就没有明确的守恒 律，如时间反演，但会带来其它的限制。
如果描述粒子相互作用的哈密顿量，在一个幺正变换下是不变的，则 我们能看到系统的散射矩阵在这变换下也不变，即反应截面不变。例如 研究两个极化电子束的散射，当极化电子束平行与反平行于束方向时， 相互作用哈密顿量不变则马上可以推出这两种反应截面相同。当然这结 果可以利用量子场论计算给出。
现在人们都习惯用Hamilton量而不是用拉氏函数讨论对称性与守恒定 律的联系，因它在量子力学中更为方便。不管在经典力学还是量子力学 中，线动量，角动量和能量的守恒都来自Hamilton量在平移、转动和时 间平移下的对称性，更暜遍地说，物理系统的任一个守恒定律都对应哈 密顿量在相应变换群下是不变的。反过来不能说一种对称性一定存在一 个守恒定律，例如时间反演对称性就没有相应的守恒定律。
以推出平移算符的显式为
Fˆ (a)
e
i
a.Pˆ
其中 Pˆ 是动量算符。
8
§1,1 对称性的意义
当f为空间转动时，取转动矢量为 ，它的方向为转轴方向，θ是
转角的大小，Fˆ 为转动算符。其显式为
Fˆ ( ) e i .Lˆ
，
其中, Lˆ 为角动量算符。
对给定系统，变换是否对称变换要由系统的运动方程在 Fˆ 作用下是
(r) ( f 1r)
（1.2）
波函数ψ（r）变为 (r) 的变换，也可以用一个算符 Fˆ 来表示，
记为
(r) Fˆ (r)
也可写为 Fˆ (r) ( f 1r) ，这式可以看成算符 Fˆ 的定义。
当f为空间反演时，Fˆ 便是宇称算符，Fˆ (r) (r) ， 当f是空间平移时，Fˆ 是平移算符，从（1.2）式出发，利用泰勒展开可
12
§1.2, 对称性与群
一个几何图形或物理系统的对称性可以用它的对称变换 的集合来描述，这对称变换集合具有明显的数学性质：
1) 任何两个对称变换接连发生（相乘）所得变换仍是一 个对称变换；
2） 当几个对称变换相继连续发生时，在不改变次序的 条件下，可以将其随意组合（结合律）；
3）恒等变换是对称变换（单位元素）; 4) 对称变换的逆变换也是对称变换。 具有以上性质的集合，数学中称为群。因此，对称变换的性 质可以利用群来研究。
14
§1.2, 对称性与群
空间转动可以连续变化，它是连续群。如果群元素都可以 表示为一组参数的函数，而且函数可微，这群称为李群，李 群在物理学中广泛使用。
在有些情况下，相互作用性质不清，真实的哈密顿量写不出来，但利 用对称性也能预言某些结果，例如，质子质子的散射，核力的细节不 清，相互作用H写不出来，但利用对称性仍然能预言极化质子平行与反 平行于束方向极化，其散射微分截面相等。
对称性的讨论还能给出某些跃迁过程的选择定则，这些选择定则使我 们能预言反应是否能发生。例如，在任何反应中，总电荷守恒，即反应 中有以下选择定则 Q 0 。
用f表示坐标空间的一个变化，它使r变成 记为
r fr
f 可以是平移a，绕z轴转θ角，或对原点的反演，具体表示为：
平移 x x ax , y y a y , z z az
6
§1,1 对称性的意义
绕z轴转动
x cos y sin
z 0
sin cos
0
0 x 0 y 1 z
否改变来决定，即要看ψ和 Fˆψ是否满足同一方程，设ψ满足Schrodinger 方程，
i Hˆ
t
（1.3）
Hˆ 是系统的Hamilton算符。
9
§1,1 对称性的意义
假定 Fˆ 是一个与t无关的算符，将其作用在方程（1.3）的两边，得
i (Fˆ ) FˆHˆFˆ 1 (F 对称性与群
例如，绕定点的空间转动，它有以下性质; (1) 一个物体连续进行两次转动，一定相当从开始 到末了绕某轴的一次转动； (2) 如果连续完成三次转动，它可以先完成前一次 转动然后完成一个等于后两次的转动，也可以先 完成等于前两次转动再完成后一次转动，即转动 变换满足结合律； (3) 转动角度为零为恒等变换，相当单位元素； (4) 如果绕某轴转动θ角，一定可以绕同轴转动-θ而 复原，第二次转动为第一次转动的逆元素。 这样所有的转动的集合构成一个群，称为转动群， 记为SO（3）。