1-2回归分析.
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1
一元线性回归
2
变 量 间 的 关 系
非 确 定 性 关 系
第7.1节 一元回归分析模型
确定性关系或函数关系y=f(x) 人的身高和体重 实变量 x 家庭的收入和消费 非确定性关系 商品的广告费和销售额 粮食的产量和施肥量 随机变量 Y 股票的价格和时间 学生的期中和期末考试成绩,…
如果对于任何已知的x值,变量y和按某个概率取某些 特殊的值,则x和y之间的关系为随机的.回归分析就是
起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的.
20
21
Y
Yi
ei
=来自残差 SRF
y i =总离差
ˆ Y i
ˆi y
=来自回归
Y
Xi
X
22
y的样本变差的分解
=0
23
其中
故
反映了回归自变量变差的贡献 反映了其它因素的影响 残差平方和
24
回 归 平 方 和
即
离差平方和=回归平方和+残差平方和 lyy = U + Q
0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
n-2 0.05
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.553 0.532 0.514 0.479 0.482 0.468 0.456 0.444 0.433 0.413
建立的标准曲线为
A 0.040 41.667c
18
B
0.6
Data: Data1_B Model: LineMod Equation: y = a*(x-b) Weighting: y No weighting Chi^2/DoF = 0.00074 R^2 = 0.98102 a b 41.66667 -0.00096 ? .34594 ? .00063
0.01
0.526 0.515 0.505 0.496 0.487 0.478 0.470 0.463 0.456 0.449
35
例题 为了研究某一地区土壤与农作物中某痕量元素含量之间的相关关 系，取土样与生长在该土壤中的作物进行分析，测定该痕量元素的含 量(µ g)如下：
试样号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(土样中) 33.5 27.0 36.0 32.0 19.5 11.0 29.0 21.5 23.0 17.0 y(作物中) 0.24 0.15 0.23 0.19 0.16 0.11 0.20 0.16 0.17 0.13
一种处理变量与变量之间关系的数学方法。
3
基本思想
采集样本信息(xi,yi)
(x,y)
回归分析 回归方程 散点图
回归方程的显著性检验
对现实进行预测与控制
4
二、回归分析所能解决的问题
（1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果 存在的话，找出她们之间合适的数学表达式 （2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变 量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确度 （3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的 相互关系等等
0.5
0.4
A
0.3
，
0.2
0.1
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
铜氨离子浓度c/10-3mol/L
19
三、回归方程检验方法
（一）方差分析法
回顾方差分析的基本特点： 把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平 变化引起的波动，另一部分反映由于存在试验误差而引起 的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引
14
解：按回归方程有关参数的计算公
式，计算可得：
15
解：按回归方程有关参数的计算公式，计算 可得：
校正曲线的回归方程∶Y=0.039＋3.94X
16
被测组分的含量
被测组分的含量为：
将测得的被测组分的吸光度0.242代入：
X=（ 0.242－ 0.039）/3.94=0.052（mg）
25
26
27
（二）相关系数检验法
28
29
y
30 x
y
r 0
y
r 0
x
x
31
32
33
34
相关系数临界值表 n-2 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576
用分光光度法测定SiO2的含量时， 得到有关的数据如下：
X SiO2 （mg） 0 0.02 0.04 0.06 0.268 0.08 0.359 0.10 0.435 0.12 0.511
Y 吸光度 0.032 0.135 0.187
试求校正曲线的回归方程，并求吸光
度为0.242的被测物含量。
答：校正曲线的回归方程为∶
Y=0.039＋3.94X
被测物的含量为0.052mg。
17
例题：用分光光度法测定氨溶液中的铜氨离子，以水参比，在 600nm测定铜氨显色溶液的吸光度A，得到结果如下： c/mol/L 0.002 0.003 0.005 0.008 0.012 A 0.12 0.14 0.27 0.40 0.52 试根据所得到的数据建立吸光度A与铜氨离子浓度c之间的回归方程。
Fra Baidu bibliotek
6
一元线性回归分析，只要解决： （1）求变量x与y之间的回归直线方程 （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量 的取值
7
二、一元线性回归方程的确定
8
称为残差
9
10
11
12
1 回归直线一定通过（
，
）点
2 对所有直线点来说误差最小。 13
0.01
0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537
n-2 0.05
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.413 0.404 0.396 0.388 0.381 0.374 0.367 0.364 0.355 0.349
题解：将有关的数据代入公式，计算建立的标准曲线为
1 n n xy x y n i 1 i 1 i 1 1 2 x x n i 1 i 1
n n 2 n
b
0.00275 41.667 0.000066
a y bx 0.290 41.667 0.006 0.040
一元线性回归
2
变 量 间 的 关 系
非 确 定 性 关 系
第7.1节 一元回归分析模型
确定性关系或函数关系y=f(x) 人的身高和体重 实变量 x 家庭的收入和消费 非确定性关系 商品的广告费和销售额 粮食的产量和施肥量 随机变量 Y 股票的价格和时间 学生的期中和期末考试成绩,…
如果对于任何已知的x值,变量y和按某个概率取某些 特殊的值,则x和y之间的关系为随机的.回归分析就是
起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的.
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Y
Yi
ei
=来自残差 SRF
y i =总离差
ˆ Y i
ˆi y
=来自回归
Y
Xi
X
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y的样本变差的分解
=0
23
其中
故
反映了回归自变量变差的贡献 反映了其它因素的影响 残差平方和
24
回 归 平 方 和
即
离差平方和=回归平方和+残差平方和 lyy = U + Q
0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
n-2 0.05
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0.553 0.532 0.514 0.479 0.482 0.468 0.456 0.444 0.433 0.413
建立的标准曲线为
A 0.040 41.667c
18
B
0.6
Data: Data1_B Model: LineMod Equation: y = a*(x-b) Weighting: y No weighting Chi^2/DoF = 0.00074 R^2 = 0.98102 a b 41.66667 -0.00096 ? .34594 ? .00063
0.01
0.526 0.515 0.505 0.496 0.487 0.478 0.470 0.463 0.456 0.449
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例题 为了研究某一地区土壤与农作物中某痕量元素含量之间的相关关 系，取土样与生长在该土壤中的作物进行分析，测定该痕量元素的含 量(µ g)如下：
试样号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x(土样中) 33.5 27.0 36.0 32.0 19.5 11.0 29.0 21.5 23.0 17.0 y(作物中) 0.24 0.15 0.23 0.19 0.16 0.11 0.20 0.16 0.17 0.13
一种处理变量与变量之间关系的数学方法。
3
基本思想
采集样本信息(xi,yi)
(x,y)
回归分析 回归方程 散点图
回归方程的显著性检验
对现实进行预测与控制
4
二、回归分析所能解决的问题
（1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果 存在的话，找出她们之间合适的数学表达式 （2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变 量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确度 （3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的 相互关系等等
0.5
0.4
A
0.3
，
0.2
0.1
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
铜氨离子浓度c/10-3mol/L
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三、回归方程检验方法
（一）方差分析法
回顾方差分析的基本特点： 把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平 变化引起的波动，另一部分反映由于存在试验误差而引起 的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引
14
解：按回归方程有关参数的计算公
式，计算可得：
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解：按回归方程有关参数的计算公式，计算 可得：
校正曲线的回归方程∶Y=0.039＋3.94X
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被测组分的含量
被测组分的含量为：
将测得的被测组分的吸光度0.242代入：
X=（ 0.242－ 0.039）/3.94=0.052（mg）
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（二）相关系数检验法
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y
30 x
y
r 0
y
r 0
x
x
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相关系数临界值表 n-2 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.997 0.950 0.878 0.811 0.754 0.707 0.666 0.632 0.602 0.576
用分光光度法测定SiO2的含量时， 得到有关的数据如下：
X SiO2 （mg） 0 0.02 0.04 0.06 0.268 0.08 0.359 0.10 0.435 0.12 0.511
Y 吸光度 0.032 0.135 0.187
试求校正曲线的回归方程，并求吸光
度为0.242的被测物含量。
答：校正曲线的回归方程为∶
Y=0.039＋3.94X
被测物的含量为0.052mg。
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例题：用分光光度法测定氨溶液中的铜氨离子，以水参比，在 600nm测定铜氨显色溶液的吸光度A，得到结果如下： c/mol/L 0.002 0.003 0.005 0.008 0.012 A 0.12 0.14 0.27 0.40 0.52 试根据所得到的数据建立吸光度A与铜氨离子浓度c之间的回归方程。
Fra Baidu bibliotek
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一元线性回归分析，只要解决： （1）求变量x与y之间的回归直线方程 （2）判断变量x和y之间是否确为线性关系 （3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量 的取值
7
二、一元线性回归方程的确定
8
称为残差
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1 回归直线一定通过（
，
）点
2 对所有直线点来说误差最小。 13
0.01
0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537
n-2 0.05
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 0.413 0.404 0.396 0.388 0.381 0.374 0.367 0.364 0.355 0.349
题解：将有关的数据代入公式，计算建立的标准曲线为
1 n n xy x y n i 1 i 1 i 1 1 2 x x n i 1 i 1
n n 2 n
b
0.00275 41.667 0.000066
a y bx 0.290 41.667 0.006 0.040