1-2回归分析.

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第1章 1.1(二) 回归分析

2
即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了 99.98%.
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（二）
小结
本课时栏目开关
研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判
^ ^ ^
断它们是否线性相关，是否可以用线性回归模型来拟合数据．然后通过图形来分析残差特性，用残差e 1，e 2，„，e
填一填·知识要点、记下疑难点
§ 1.1（二）
本课时栏目开关
1．如果两个变量不呈现线性相关关系，常见的两个变量间的关系还有指数关系、二次函数关系． 2．两个变量间的非线性关系可以通过对解释变量的变换(对数变换、平方变换等)转化为另外两个变量的线性关系． 3．比较不同模型的拟合效果，可以通过残差平方和的大小，
研一研·问题探究、课堂更高效
§ 1.1（二）
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线 y＝c1ec2x 的周围，于是令 z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
本 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 课时画出散点图如图所示．栏目开关
＋a
①函数 y＝ebx＋a 的图象：
②处理方法：两边取对数得 ln y＝ln ebx a，即 ln y＝bx＋a.令 z
＋
＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出 b，a.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
§ 1.1（二）
(2)对数曲线型 y＝bln x＋a ①函数 y＝bln x＋a 的图象：

2019-2020学年高中数学(人教B版选修1-2)教师用书：第1章 1.2 回归分析

1.2 回归分析1.会用散点图分析两个变量是否存在相关关系.(重点)2.会求回归方程、掌握建立回归模型的步骤，会选择回归模型.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 线性回归模型阅读教材P 10～P 12，完成下列问题. 1.回归直线方程其中b ^的计算公式还可以写成b ^＝∑xiyi －n x － y －∑x 2i －n x －2.2.线性回归模型y ＝bx ＋a ＋εi ，其中εi 称为随机误差项，a 和b 是模型的未知参数，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量.设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系.根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，则下列结论中正确的是________(填序号).(1)y 与x 具有正的线性相关关系；(2)回归直线过样本点的中心(x －，y －)；(3)若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ； (4)若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg.【解析】回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，(1)正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x －，y －)，(2)正确；依据回归方程中b ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^相应变化约0.85个单位，(3)正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定结论，故(4)不正确. 【答案】 (1)(2)(3) 教材整理2 相关性检验阅读教材P 13～P 15例3以上部分，完成下列问题. 1.相关系数(1)作统计假设：x 与Y 不具有线性相关关系；(2)根据小概率0.05与n －2在附表中查出r 的一个临界值r 0.05； (3)根据样本相关系数计算公式算出r 的值；(4)作统计推断.如果|r |>r 0.05，表明有95%把握认为x 与y 之间具有线性相关关系.如果|r |≤r 0.05，没有理由拒绝原来的假设.1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求回归直线方程前必须进行相关性检验.( )(2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强.( ) (3)若相关系数r ＝0，则两变量x ，y 之间没有关系.( )【解析】 (1)正确.相关性检验是了解成对数据的变化规律的，所以求回归方程前必须进行相关性检验.(2)错误.相关系数|r |越接近1，线性相关程度越强；|r |越接近0，线性相关程度越弱. (3)错误.若r ＝0是指x ，y 之间的相关关系弱，但并不能说没有关系.【答案】 (1)√ (2)× (3)× 2.下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④【解析】函数关系和相关关系的区别为前者是确定性关系，后者是非确定性关系，故①②正确；回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一种方法，故③错误，④正确.【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型](1)①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y^＝b^x ＋a ^，可以估计和观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4(2)如果某地的财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^＋ε(单位：亿元)，其中b ^＝0.8，a^＝2，|ε|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过________亿.【自主解答】 (1)①反映的是最小二乘法思想，故正确.②反映的是画散点图的作用，也正确.③解释的是回归方程y ^＝b ^x ＋a ^的作用，故也正确.④是不正确的，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以发现两变量的关系.(2)由题意可得：y ^＝0.8x ＋2＋ε，当x ＝10时，y ^＝0.8×10＋2＋ε＝10＋ε，又|ε|≤0.5，∴9.5≤y ^≤10.5.故今年支出预计不会超过10.5亿. 【答案】 (1)C (2)10.51.在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，然后利用最小二乘法求出回归直线方程.2.由线性回归方程给出的是一个预报值而非精确值.3.随机误差的主要来源.(1)线性回归模型与真实情况引起的误差； (2)省略了一些因素的影响产生的误差； (3)观测与计算产生的误差.[再练一题]1.下列有关线性回归的说法，不正确的是________(填序号).【导学号：37820002】①自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x ，y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程.【解析】只有具有线性相关的两个观测值才能得到具有代表意义的回归直线方程. 【答案】 ④为研究拉力x (N)对弹簧长度y (cm)的影响，对不同拉力的6根弹簧进行测量，测得如下表中的数据：(1)(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近，求y 与x 之间的回归直线方程. 【精彩点拨】作散点图→得到x ，y 有较好线性关系 →代入公式求得线性回归方程【自主解答】 (1)散点图如图所示.(2)将已知表中的数据列成下表：∴回归直线方程为y ^＝0.18x ＋6.34.1.散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析.2.求回归直线方程时，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.[再练一题]2.本题条件不变，若x 增加2个单位，y ^增加多少？【解】若x 增加2个单位，则 y ^＝0.18(x ＋2)＋6.34 ＝0.18x ＋6.34＋0.36，故y ^增加0.36个单位.[探究共研型]探究1 【提示】非线性回归问题有时并不给出经验公式.这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决.其一般步骤为：探究2 已知x 和y 之间的一组数据，则下列四个函数中，哪一个作为回归模型最好？①y ＝3×2x －1； 2③y ＝4x;④y ＝x 2.【提示】观察散点图中样本点的分布规律可判断样本点分布在曲线y ＝3×2x －1附近.①作为回归模型最好.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：(1)(2)如果一名在校男生身高为168 cm ，预测他的体重约为多少？【精彩点拨】先由散点图确定相应的函数模型，再通过对数变换将非线性相关转化为线性相关的两个变量来求解.【自主解答】 (1)根据表中的数据画出散点图，如下：由图看出，这些点分布在某条指数型函数曲线y ＝的周围，于是令z ＝ln y ，列表如下：由表中数据可求得z 与x 之间的回归直线方程为z ^＝0.693＋0.020x ，则有y ^＝e 0.693＋0.020x . (2)由(1)知，当x ＝168时，y ^＝e 0.693＋0.020×168≈57.57，所以在校男生身高为168 cm ，预测他的体重约为57.57 kg.两个变量不具有线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型，如，我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则变换后样本点应该分布在直线z ＝bx ＋a (a ＝ln c 1，b ＝c 2)的周围.[再练一题]3.有一个测量水流量的实验装置，测得试验数据如下表：【解】由表中测得的数据可以作出散点图，如图.观察散点图中样本点的分布规律，可以判断样本点分布在某一条曲线附近，表示该曲线的函数模型是Q ＝m ·h n (m ，n 是正的常数).两边取常用对数，则lg Q ＝lg m ＋n ·lg h ，令y ＝lg Q ，x ＝lg h ，那么y ＝nx ＋lg m ，即为线性函数模型y ＝bx ＋a 的形式(其中b ＝n ，a ＝lg m ).由下面的数据表，用最小二乘法可求得b ^≈2.509 7，a ^＝－0.707 7，所以n ≈2.51，m ≈0.196.[构建·体系]1.下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归方程必过点( )A.(2，3) C.(2.5，4)D.(2.5，5)【解析】线性回归方程必过样本点的中心(x －，y －)，即(2.5，4)，故选C. 【答案】 C2．在两个变量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同的模型．它们的相关指数R 2如下，其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型1的相关指数R 2为0.98B ．模型2的相关指数R 2为0.80C ．模型3的相关指数R 2为0.50D ．模型4的相关指数R 2为0.25【解析】相关指数R 2越接近于1，则该模型的拟合效果就越好，精度越高．【答案】 A3.如图1-2-1所示，有5组(x ，y )数据，去掉________这组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大.图1-2-1【答案】D(3，10)4.为了考查两个变量Y与x的线性相关性，测是x，Y的13对数据，若Y与x具有线性相关关系，则相关系数r绝对值的取值范围是________.【导学号：37820003】【解析】相关系数临界值r0.05＝0.553，所以Y与x若具有线性相关关系，则相关系数r 绝对值的范围是(0.553，1].【答案】(0.553，1]5.某种产品的广告费支出x与销售额Y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)对两个变量进行相关性检测；(3)求回归直线方程.【解】(1)散点图如图所示(2)计算各数据如下：r ＝ 1 380－5×5×50（145－5×52）（13 500－5×502）≈0.92，查得r 0.05＝0.878，r >r 0.05，故有95%的把握认为该产品的广告费支出与销售额之间具有线性相关关系.(3) ，，于是所求的回归直线方程是y ^＝6.5x ＋17.5.我还有这些不足：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。

高中选修1-2回归分析和独立性检验知识总结与联系

高中选修1-2回归分析和独立性检验知识总结与联系-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx ====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑选修1-2第一部分变量间的相关关系与统计案例【基础知识】一、回归分析1.两个变量的线性相关：判断是否线性相关 ①用散点图(1)正相关：在散点图中,点散布在从左下角到右上角的区域.对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.(2)负相关：在散点图中,点散布在从左上角到右下角的区域,两个变量的这种相关关系称为负相关.(3)线性相关关系、回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线. ②用相关系数r(3)除用散点图外，还可用样本相关系数r 来衡量两个变量x ，y 相关关系的强弱，ni ix y nx yr -•=∑当r ＞0，表明两个变量正相关，当r ＜0，表明两个变量负相关，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |0.75>时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系． 2.回归方程：两个变量具有线性相关关系，数据收集如下：可用最小二乘法得到回归方程ˆy bx a =+,其中3．回归分析的基本思想及其初步应用(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的研究方法步骤是画出散点图，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报．(2)对n 个样本数据(x 1，y 1)、(x 2，y 2)、…、(xn ，yn )，(,)x y 称为样本点的中心．样本点中心一定落在回归直线上。

4、回归效果的刻画：用相关指数2R来刻画回归的效果，公式是2 2121()1()ni iiniiy yRy y==-=--∑∑2R的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果好二．独立性检验的基本思想及其初步应用题型一相关关系的判断【例1】对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是()A.r2<r4<0<r3<r1B. r4<r2<0<r 1<r3C. r4<r2<0<r3<r1D. r2<r4<0<r1<r3【变式1】根据两个变量x ，y 之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．题型二线性回归方程【例2】在2013年元旦期间，某市物价部门对本市五个商场销售的某商品一天的销售量及其价格进行调查，五个商场的售价x 元和销售量y 件之间的一价格x 9 9.5 10 10.5 11销售量y11 10 8 6 5 y 关于商品的价格x 的线性回归方程为________．(参考公式：b ^= ，a ^＝y －b ^x )【变式3】为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高x /cm 174 176 176 176 178儿子身高y /cm175 175 176 177 177则y 对x 的线性回归方程为( )． A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1C ．y ＝88＋12x D ．y ＝176题型三独立性检验【例4】通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线由K 2＝n (ad －dc )(a ＋b )(c ＋d)(a ＋c )(b ＋d )，算得K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：A. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B. 有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C. 在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D. 在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关【变式2】某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分附 K 2巩固提高1.下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )；④在一个2×2列联表中，由计算得K 2＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系；其中错误的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 32.已知回归直线斜率的估计值为1.23，样本点的中心为点(4,5)，则回归直线的方程为( ) A. y ^＝1.23x ＋4 B. y ^＝1.23x ＋5 C. y ^＝1.23x ＋0.08 D. y ^＝0.08x ＋1.23 3.从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A. 1.30 B. 1.45 C. 1.65 D. 1.804.根据上表可得回归直线方程：y ＝0.56x ＋a ，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A. 70.09 kgB. 70.12 kgC. 70.55 kgD. 71.05 kg5.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．6．利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为事件A 和B 有关系，则具体计算出的数据应该是( )A ．k≥6.635B ．k ＜6.635C ．k≥7.879D ．k ＜7.8797．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如下表：非统计专业统计专业男13 10女7 20为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中数据得到，k＝50（13×20－10×7）220×30×23×27≈4.844，因为k＞3.841，所以确定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．与销售额（单位：百万元）之间有如下对应数据：（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；（3）试预测广告费支出为百万元时，销售额多大？9.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（3）已知该厂技改前吨甲产品的生产能耗为吨标准煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤(参考数值：)9．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生60 20 80北方学生10 10 20合计70 30 100(1)甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系学生，其中2名习惯甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．10、我市某校某数学老师这学期分别用两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班（人数均为人，入学数学平均分和优秀率都相同，勤奋程度和自觉性都一样）。

2014年人教A版选修1-2课件 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用

150 155 160 165 170 175 180
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生, 其身高和体重数据如下表所示: 1 2 3 4 5 6 7 8 编号 165 165 157 170 175 165 155 170 身高 64 61 43 59 体重/kg 48 57 50 54 由最小二乘法得求根据女大学生的身高预报体重的回归方程 , 并预报一名 n n n 1 1 身高为 172 cm 的女大学生的体重 . xi , y = yi . x = x y n x y i i n i =1 n i =1 i = 1 由身高预报体重解: b= n ,, 则以身高为自变量 x, 体重为 2 2 得 b ≈0.849, x n x 因变量 y , 画出散点图 . i 70 i =1 a= 85.712. 60 由图看出样本点呈条状 a = y bx . 50 分布, 于是得回归直线的方程为身高和体重有较好的 ˆ40 y = 0.849x 85.712. 30 线性相关关系. ˆ = 60.316. 20 当 x=172 时, y 10 设回归直线为 y=bx+a. 0 ∴ 预计这位大学生的体重大约 60 kg. 150 155 160 165 170 175 180
例1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生, 其身高和体重数据如下表所示: 编号身高体重/kg 1 2 3 4 5 6 7 8 165 165 157 170 175 165 155 170 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据女大学生的身高预报体重的回归方程, 并预报一名身高为 172 cm 的女大学生的体重. 解: 由身高预报体重, 则以身高为自变量 x, 体重为因变量 y, 画出散点图. 70 60 由图看出样本点呈条状 50 分布, 身高和体重有较好的 40 30 线性相关关系. 20 10 设回归直线为 y=bx+a. 0

《应用回归分析》课后题答案[整理版]

《应用回归分析》课后题答案[整理版] 《应用回归分析》部分课后习题答案第一章回归分析概述 1.1 变量间统计关系和函数关系的区别是什么, 答:变量间的统计关系是指变量间具有密切关联而又不能由某一个或某一些变量唯一确定另外一个变量的关系，而变量间的函数关系是指由一个变量唯一确定另外一个变量的确定关系。

1.2 回归分析与相关分析的联系与区别是什么, 答:联系有回归分析和相关分析都是研究变量间关系的统计学课题。

区别有a.在回归分析中，变量y称为因变量，处在被解释的特殊地位。

在相关分析中，变量x和变量y处于平等的地位，即研究变量y与变量x的密切程度与研究变量x与变量y的密切程度是一回事。

b.相关分析中所涉及的变量y与变量x全是随机变量。

而在回归分析中，因变量y是随机变量，自变量x可以是随机变量也可以是非随机的确定变量。

C.相关分析的研究主要是为了刻画两类变量间线性相关的密切程度。

而回归分析不仅可以揭示变量x 对变量y的影响大小，还可以由回归方程进行预测和控制。

1.3 回归模型中随机误差项ε的意义是什么, 答:ε为随机误差项，正是由于随机误差项的引入，才将变量间的关系描述为一个随机方程，使得我们可以借助随机数学方法研究y与x1,x2…..xp的关系，由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。

1.4 线性回归模型的基本假设是什么,答:线性回归模型的基本假设有:1.解释变量x1.x2….xp是非随机的，观测值xi1.xi2…..xip是常数。

2.等方差及不相关的假定条件为{E(εi)=0 i=1,2….Cov(εi,εj)=,σ^23.正态分布的假定条件为相互独立。

4.样本容量的个数要多于解释变量的个数，即n>p.1.5 回归变量的设置理论根据是什么,在回归变量设置时应注意哪些问题,答:理论判断某个变量应该作为解释变量，即便是不显著的，如果理论上无法判断那么可以采用统计方法来判断，解释变量和被解释变量存在统计关系。

选修1-2,回归分析课件

利用 r 样本
求出 n n 2 2 相关系数 ( xi X ) ( yi Y )
i 1 i 1
(x
i 1
n
i
X )( yi Y )
判断r的绝对值与1的接近程度，从而判断出 x,y是否具有较强的线性相关性。若具有较强的线性相关性则选用线性回归方程模型求解，否则，根据经验选用别的模型建立函数模型！根据10组数据求得：r=0.9998;可见x,y的线性关系很强
总偏差平方和＝
（y
i 1
n
i
Y)
2
如例1中的总偏差平方和为354
问题：
那么“总偏差平方和”中又有多少来自于随机误差？观测值和它在回归直线上相应位置的差异叫：
残差＝
ei yi y i
2 （yi y i ) i 1 n
残差平方和＝
残差平方和－－－－刻划随机误差效应
必修3回顾
确定对象
收集数据数据分析简单随机抽样
统计的步骤
抽样方法
系统抽样
分层抽样
统计图表
条形图折线图直方图茎叶图用样本频率分布估计总体分布用样本的数字特征估计总体的数字特征
用样本估计总体
现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？
两个变量的关系
函数关系
线性相关相关关系非线性相关
检验拟合效果
两变量几乎不相关；
③ ︱r︱>0.75时表示有很强的相关关系。
用线性回归方程y=bx+a进行回归分析会有误差吗？怎样体现误差产生的影响？
用下面的线性回归模型：y=bx+a+e 解释更客观。
e表示随机误差; a、b是模型的未知参数。

苏教版数学高二数学 1.2《回归分析》基础训练(苏教版选修1-2)

1．下列变量之间是线性相关关系的是________． ①人的身高与视力；②角的大小与所对的圆弧长； ③收入水平与纳税水平；④某地人的出生率与树林覆盖率．解析：②为确定性关系，①④不具有线性相关关系．答案：③2．散点图在回归分析过程中的作用是________． ①查找个体个数；②比较个体数据大小关系； ③探究个体分类；④粗略判断变量是否线性相关．解析：散点图在回归分析中，能粗略判断变量间的相关关系．答案：④3．已知x ，y 之间的一组数据：x 1.081.121.191.28y2.25 2.37 2.40 2.55 y 与x 之间的线性回归方程y ＝a ＋b x 必过定点________．解析：由已知可知线性回归方程一定过定点(x ，y )，因此求出x ＝1.1675，y ＝2.3925，故填(1.1675,2.3925)．答案：(1.1675,2.3925)4．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________个单位．解析：线性回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中a ^，b ^的意义是：以a ^为基数，x 每增加1个单位，y 相应地平均增加b ^个单位．答案：减少2.5一、填空题1．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②样本取值的范围会影响回归方程的适用范围；③回归方程得到的预报值，是预报变量的精确值．其中正确的是________．解析：回归方程反映的是两个线性相关变量间的相关关系，它能预测变量的值，但不是精确值．答案：②2．关于相关系数r 的临界值r 0.05的说法：①临界值r 0.05是一个定值；②若|r |≤r 0.05，则否定假设H 0，表明有95%的把握认为x ，y 具有较强的线性相关关系；③若|r |＞r 0.05，则没有理由拒绝假设H 0，即没有充分的理由认为y 与x 之间有线性相关关系；④临界值r 0.05不是一个定值，它的值可由检验水平0.05及n －2在附表中查到．其中正确的序号为________．解析：②中应改为“|r |＞r 0.05”；③中应改为“|r |≤r 0.05”才正确；①、④矛盾，其中④中的表述正确．答案：④3．如图所示，有5组(x ，y )数据，去掉一组数据后，要使剩下的4组数据的相关系数最大，应去掉________点．解析：由散点图可知，D 点偏离最远，所以去掉D 点后，剩下4组数据的相关系数最大．答案：D4．若某地财政收入x 与支出y 满足线性回归方程y ＝bx ＋a ＋e (单位：亿元)，其中b ＝0.8，a ＝2，|e |≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，年支出预计不会超过________亿．解析：代入数据得y ＝10＋e ，因为|e |≤0.5，所以|y |≤10.5，故不会超过10.5亿．答案：10.55．(2011年高考广东卷)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：时间x 12345命中率0.4 0.5 0.6 0.6 0.4小李这5天的平均投篮命中率为________；用线性回归分析的方法，预测小李每月6号打篮球6小时的投篮命中率为________．解析：小李这5天的平均投篮命中率 y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝0.5.可求得小李这5天的平均打篮球时间x ＝3.根据表中数据可求得b ^＝0.01，a ^＝0.47，故回归直线方程为y ^＝0.47＋0.01x ，将x ＝6代入得6号打6小时篮球的命中率约为0.53. 答案：0.5 0.536．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．解析：由斜率的估计值为 1.23，且回归直线一定经过样本点的中心(4,5)，可得y ^－5＝1.23(x －4)，即y ^＝1.23x ＋0.08.答案：y ^＝1.23x ＋0.087．(2011年高考山东卷改编)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x (万元)4235销售额y (万元) 49 26 39 54 根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为________．解析：∵x ＝4＋2＋3＋44＝72，y ＝49＋26＋39＋544＝42，又y ^＝b ^x ＋a ^必过(x ，y )，∴42＝72×9.4＋a ^，∴a ^＝9.1.∴线性回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1.∴当x ＝6时，y ^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．答案：65.5万元8．观测两相关变量得如下数据：x－1－2－3－4－553421 y －9 －7 －5 －3 －1 1 5 3 79根据表中数据可得y 与x 之间的线性回归方程是________．(填序号)①y ^＝12x －1；②y ^＝x ；③y ^＝2x ＋13；④y ^＝x ＋1.解析：由表中数据可求得x ＝0，y ＝0，所以填②. 答案：②9．(2011年高考陕西卷改编)设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是________．①x 和y 的相关系数为直线l 的斜率； ②x 和y 的相关系数在0到1之间；③当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同；④直线l 过点(x ，y )．解析：因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关程度越强，所以①②错误．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数不一定相同，所以③错误．因为回归直线一定过样本点的中心，所以④正确．答案：④ 二、解答题10．某矿山采煤的单位成本y 与采煤量x 有关，其数据如下：采煤量/千克 289298316322327329 329 331 350 单位成本/元43.5 42.9 42.1 39.6 39.138.5383837(1)作出散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程(结果保留3位小数)．解：(1)作出散点图，如图所示．(2)由图表可得x ≈321.222，y ≈39.856，∑i ＝19x 2i ＝931337，∑i ＝19x i y i ＝114892.7.所以b ^＝∑i ＝19x i y i －9x y∑i ＝19x 2i －9(x )2≈－0.123，a ^＝y －b ^x ≈79.366.故y 对x 的回归直线方程为y ^＝－0.123x ＋79.366.11．一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器运转速度的变化而变化，下表为抽转速x (转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y (件)11 9 8 5(1)利用散点图或相关系数r 的大小判断变量y 对x 是否线性相关？为什么？ (2)如果y 对x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(最后结果精确到0.001，参考数据：656.25≈25.617,16×11＋14×9＋12×8＋8×5＝438,162＋142＋122＋82＝660,112＋92＋82＋52＝291)解：(1)x ＝12.5，y ＝8.25，∑4i ＝1(x i －x )(y i －y )＝25.5， ∑4i ＝1(x i －x)2∑4i ＝1(y i －y )2＝656.25≈25.617，∴r 0.05≈0.995，由检验水平0.05及n －2＝2，在附录1中查得r 0.05＝0.950，因为0.995>0.950，∴y 与x 具有线性相关关系．(2)∑4i ＝1(x i －x )2＝35， ∴b ^≈0.729，a ^＝y －b ^x ≈－0.863. ∴线性回归方程为y ^＝0.729x －0.863. (3)0.729x －0.863≤10，解得x ≤14.901，故机器运转速度应在每秒14转之内．12．下表为某百货公司1～6月份销售量与利润之间的数量关系：月份1月2月3月4月5月6月现从具有线性相关关系这六组数据中选取4组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．(1)根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问所得线性回归方程是否理想？解：(1)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，∑5i ＝2x i y i ＝11×25＋13×29＋12×26＋8×16＝1092，∑5i ＝2x 2i ＝112＋132＋122＋82＝498，∴b ^＝∑5i ＝2x i y i －4x －y －∑5i ＝2x 2i －4x 2＝1092－4×11×24498－4×112＝3614＝187， a ^＝y －b ^x ＝24－187×11＝－307.所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝187x －307.(2)当x ＝10时，y ＝187×10－307＝1507，此时|1507－22|<2；当x ＝6时，y ＝187×6－307＝787，此时|787－12|<2.所以所得的线性回归方程是理想的．。

高中数学第一章统计案例 1.2 回归分析学业分层测评新人教B版选修1-2-新人教B版高二选修1

1.2 回归分析(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是( ) A.预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上 B.解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上 C.可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上 D.可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上【解析】结合线性回归模型y ＝bx ＋a ＋ε可知，解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上，故选B.【答案】B2.在回归分析中，相关指数r 的绝对值越接近1，说明线性相关程度( ) A.越强 B.越弱 C.可能强也可能弱D.以上均错【解析】 ∵r ＝∴|r |越接近于1时，线性相关程度越强，故选A. 【答案】A3.已知x 和y 之间的一组数据x 0 1 2 3 y1357则y 与x 的线性回归方程y ＝b x ＋a 必过点( ) A.(2，2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0 C.(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4 【解析】 ∵x －＝14(0＋1＋2＋3)＝32，y －＝14(1＋3＋5＋7)＝4，∴回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，4.【答案】D4.已知人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为y ^＝0.577x －0.448，如果某人36岁，那么这个人的脂肪含量( )【导学号：37820004】A.一定是20.3%B.在20.3%附近的可能性比较大C.无任何参考数据D.以上解释都无道理【解析】将x ＝36代入回归方程得y ^＝0.577×36－0.448≈20.3.由回归分析的意义知，这个人的脂肪含量在20.3%附近的可能性较大，故选B.【答案】B5.某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如下表所示，根据表中数据可得回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中的b ^＝10.6.据此模型预测广告费用为10万元时的销售额为( )万元万元D.113.9万元【解析】由题表中数据得x －＝3.5，y －＝43.由于回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过点(x －，y －)，且b ^＝10.6，解得a ^＝5.9，所以线性回归方程为y ^＝10.6x ＋5.9，于是x ＝10时，y ^＝111.9. 【答案】C 二、填空题6.已知x ，y 的取值如下表所示，由散点图分析可知y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝0.95x ＋2.6，那么表格中的数据m 的值为________.【解析】x －＝04＝2，y －＝4＝4，把(x －，y －)代入回归方程得11.3＋m4＝0.95×2＋2.6，解得m ＝6.7.【答案】 6.77．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．【解析】根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.【答案】 18.调查了某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)，调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：y ^＝0.254x ＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.【解析】以x ＋1代x ，得y ^＝0.254(x ＋1)＋0.321，与y ^＝0.254x ＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元.【答案】 0.254 三、解答题9.关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2.23.85.56.57.0如由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求：(1)线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【解】 (1)x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5，于是a ^＝y －－b ^x ＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为：y ^＝b ^x ＋a ^＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ^＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.10.在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的回归方程.【解】作出变量y 与x 之间的散点图如图所示.由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系.设y ＝k x，令t ＝1x ，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表：t 4 2 1 0.5 0.25 y1612521作出y 与t 的散点图如图所示.由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系.又t －＝1.55，y －＝7.2，∑5i =1t i y i ＝94.25，∑5i =1t 2i ＝21.312 5，b ^＝∑5i =1t i y i －5t －y －∑5i =1t 2i －5t －2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8，∴y ^＝4.134 4t ＋0.8.即y 与x 之间的回归方程为y ^＝4.134 4x＋0.8.[能力提升]1.对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归直线方程为y ^＝0.8x －155.则实数m 的值为( )C.8.4D.8.5【解析】依题意得x －＝15×(196＋197＋200＋203＋204)＝200，y －＝15×(1＋3＋6＋7＋m )＝17＋m 5，因为回归直线必经过样本点的中心，所以17＋m5＝0.8×200－155，解得m ＝8，选A.【答案】A2.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：A.y ＝x －1B.y ＝x ＋1C.y ＝88＋12xD.y ＝176【解析】因为x －＝174＋176＋176＋176＋1785＝176，y －＝175＋175＋176＋177＋1775＝176，而回归方程经过样本中心点，所以排除A ，B ，又身高的整体变化趋势随x 的增大而增大，排除D ，所以选C.【答案】C3.以模型y ＝c e kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z ＝ln y ，其变换后得到线性回归方程z ＝0.3x ＋4，则c ＝________.【导学号：37820005】【解析】由题意得：ln(c e kx)＝0.3x ＋4， ∴ln c ＋kx ＝0.3x ＋4， ∴ln c ＝4，∴c ＝e 4. 【答案】e 44.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.图122(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程. 由于d ^＝＝108.81.6＝68，，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.。

北师大版高中数学选修1-2 同步练习：第1章 1 第2课时可线性化的回归分析

第一章 §1 第2课时A 级基础巩固一、选择题1．由一组数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )得到的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^,则下列说法不正确的是( B )A ．直线y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x ,y )B ．直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1,y 1)(x 2,y 2)…(x n ,y n )中的一个点C ．直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率为∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2D ．直线y ^＝b ^x ＋a ^和各点(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )的偏差是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线2．对于指数曲线y ＝ae bx,令u ＝lny,c ＝lna,经过非线性化回归分析之后,可以转化成的形式为( A ) A ．u ＝c ＋bx B ．u ＝b ＋cx C ．y ＝b ＋cxD ．y ＝c ＋bx[解析] 对方程y ＝ae bx 两边同时取对数,然后将u ＝lny,c ＝lna 代入,不难得出u ＝c ＋bx. 3．某学校开展研究性学习活动,某同学获得一组实验数据如下表：x 1.99 3 4 5.1 6.12 y1.54.047.51218.01对于表中数据,A ．y ＝2x －2 B ．y ＝(12)xC ．y ＝log 2xD ．y ＝12(x 2－1)[解析] 代入检验,当x 取相应的值时,所得y 值与已知数据差的平方和最小的便是拟合程度最高的． 4．下列数据符合的函数模型为( D )x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y22.6933.383.63.844.084.24.3A ．y ＝2＋3xB ．y ＝2e xC ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋lnx[解析] 分别将x 的值代入解析式判断知满足y ＝2＋lnx. 二、填空题5．在两个变量的回归分析中,作散点图的目的是__从散点图中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合__；相关系数是度量__两个变量之间线性相关程度__的量．6．若回归直线方程中的回归系数b ＝0时,则相关系数r 的值为__0__.[解析] 若b ＝0,则∑i ＝1nx i y i －n x y ＝0,∴r ＝0.三、解答题7．某工厂今年1～4月份生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件．为了估测以后每个月的产量,可用函数y ＝ae bx来模拟该产品的月产量y(万件)与月份x 的关系,求模拟函数．[解析] 设μ＝lny,c ＝lna,则μ＝c ＋bx.∑i ＝14x i ＝10,∑i ＝14μi ＝0.759 5,∑i ＝14x 2i＝30,∑i ＝14μ2i ≈0.201 2, ∑i ＝14x i μi ＝2.411,x ＝2.5,μ≈0.189 9,相关系数r ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x)2∑i ＝14μ2i －4(μ)2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52×0.201 2－4×0.189 92≈0.959 7,相关程度较强．b ＝∑i ＝14x i μi －4xμ∑i ＝14x 2i －4(x )2≈2.411－4×2.5×0.189 930－4×2.52＝0.102 4,c ＝μ－b x ≈0.189 9－0.102 4×2.5＝－0.066 1,所以μ＝－0.066 1＋0.102 4x,y ＝e－0.066 1＋0.0102 4x.B 级素养提升一、选择题1．我国1990—2000年的国内生产总值如下表所示：A ．y ＝ae kxB ．y ＝a ＋bxC ．y ＝ax bD ．y ＝ae bx[解析] 画出散点图,观察可用y ＝a ＋bx 刻画国内生产总值发展变化的趋势．2．设由线性相关的样本点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3),…,(x n ,y n ),求得的回归直线方程为y ^＝bx ＋a,定义残差e i ＝y i －y ^i ＝y i －bx i －a,i ＝1,2,…,n,残差平方和m ＝e 21＋e 22＋…＋e 2n .已知甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：则哪位同学的试验结果体现A ．甲 B ．乙 C ．丙D ．丁[解析] r 越接近1,相关性越强,残差平方和m 越小,相关性越强,故选D ．二、填空题3．若一函数模型为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0),则作变换t ＝__(x ＋b 2a )2 才能转为y 是t 的线性回归方程．[解析] ∵y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a(x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a ,∴令t ＝(x ＋b 2a )2,则y ＝at ＋4ac －b24a,此时y 为t 的线性回归方程．4．若x 、y 满足则可用来描述__y ＝2e __. [解析] 画出散点图,形如y ＝a·e bx,其中a≈2,b≈1. ∴y ＝2e x. 5．若x 、y 满足x 0.1 0.2 0.3 0.5 1 2 3 4 5 y2096420.940.650.510.45则可用来描述x 与y 之间关系的函数解析式为__y ＝2x.[解析] 画出散点图,观察图像形如y ＝b x ,通过计算知b≈2,∴y ＝2x .三、解答题6．如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震次数为N,试建立N 对x 的回归方程,并表述二者之间的关系.震级 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 地震数 28 381 20 380 14 795 10 695 7 641 5 502 3 842 2 698 震级 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 地震数 1 919 1 356 973 746 604 435 274 206 震级 6.2 6.4 6.6 6.8 7 地震数14898574125[解析] 由表中数据得散点图如图1.从散点图中可以看出,震级x 与大于或等于该震级的地震次数N 之间呈现出一种非线性的相关性,随着x 的减少,所考察的地震数N 近似地以指数形式增长．于是令y ＝lgN.得到的数据如下表所示．图1x 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 y 4.453 4.309 4.170 4.029 3.883 3.741 3.585 3.431 x 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6 y 3.283 3.132 2.988 2.873 2.781 2.638 2.438 2.314 x 6.2 6.4 6.6 6.8 7 y2.1701.9911.7561.6131.398x图2从散点图2中可以看出x 和y 之间有很强的线性相关性,因此由最小二乘法得a≈6.704,b≈－0.741,故线性回归方程为y ＝－0.741x ＋6.704.因此,所求的回归方程为：lgN ＝－0.741x ＋6.704,故N ^＝10－0.741x ＋6.704.7．下表所示是一组试验数据：x 0.5 0.25 16 0.125 0.1 y64138205285360(1)作出散点图,并猜测y 与x 之间的关系； (2)利用所得的函数模型,预测x ＝10时y 的值．[解析] (1)散点图如图所示,从散点图可以看出y 与x 不具有线性相关关系．根据已有知识发现样本点分布在函数y ＝b x ＋a 的图像的周围,其中a,b 为待定参数．令x′＝1x ,y′＝y,由已知数据制成下表：序号i x i ′ y i ′ x′2i y′2i x′i y′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64 81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑301 052220275 9907 790x ′＝6,y ′＝210.4,故∑i ＝15x ′2i－5(x ′)2＝40,∑i ＝15y ′2i －5y ′2＝54 649.2,r ＝779 0－5×6×210.440×54 649.2≈0.999 7,由于r 非常接近于1,∴x′与y′具有很强的线性关系,计算知b≈36.95,a ＝210.4－36.95×6＝－11.3, ∴y′＝－11.3＋36.95x′,∴y 对x 的回归曲线方程为y ＝36.95x －11.3.(2)当x ＝10时,y ＝36.9510－11.3＝－7.605.C 级能力提高1．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积(m 2) 115 110 80 135 105 销售价格(万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程,并在散点图中加上回归直线； (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150m 2时的销售价格． [解析] (1)数据对应的散点图如下图所示：(2)x ＝15∑5 i ＝1x i ＝109,l xx ＝∑5i ＝1 (x i －x )2＝1 570,y ＝23.2,l xy ＝∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝308. 设所求回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则b ^＝l xy l xx ＝3081 570≈0.196 2,a ^＝y －b ^x ＝1.816 6.故所求回归直线方程为y ^＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2),当x ＝150 m 2时,销售价格的估计值为 y ^＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．2．某商店各个时期的商品流通率y(%)和商品零售额x(万元)资料如下：散点图显示出x 与y ,流通率y 决定于商品的零售额x,体现着经营规模效益,假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋bx .试根据上表数据,求出a 与b 的估计值,并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．[解析] 设u ＝1x,则y≈a＋bu,得下表数据：进而可得n ＝10,u ≈0.060 4,y ＝3.21,∑i ＝110u 2i －10u 2≈0.004 557 3, ∑i ＝110u i y i －10uy ≈0.256 35,b≈0.256 350.004 557 3≈56.25, a ＝y －b·u ≈－0.187 5,所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x .当x ＝30时,y ＝1.687 5,即商品零售额为30万元时,商品流通率为1.687 5%.。

《回归分析的基本思想及其初步应用》课件10(人教A版选修1-2)

复习、变量之间的两种关系
问题1：正方形的面积y与正方形的边长x之间的函数关系是确定性关系 y = x2 问题2：某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -------有一个确定性的关系？例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：
施化肥量x 15
20
施化肥量
30 40 50
x
Q(a,b)= (yi - bxi - a)2 取最小值时,a,b的值.
i=1
推导过程请阅读P92
ˆ +a 最小二乘法：y ˆ ˆ = bx
n (xi -x)(yi -y) b= ˆ i=1 = n 2 (xi -x) i=1 ˆ a=y-bx. ˆ
r∈[-1,-0.75]--负相关很强; r∈[0.75,1]—正相关很强; r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; r∈[0.3, 0.75]—正相关一般; r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;
相关系数
施化肥量x 15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y 330 345 365 405 445 y 水稻产量 500
··
20
·
·
· · ·
施化肥量
30 40 50
x
探索2：在这些点附近可画直线不止一条，哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。
500
y
水稻产量
450
400 |yi - yi |
350 300 10
n
· · ··
(xi ,yi )
) (xi ,y i
· · ·

回归分析二

bi 表示假定其他变量不变，当 xi 每变动一个单位时，y 的平均平均变动值
二元回归方程的直观解释
二元线性回归模型 y
y b 0 b1 x1 b 2 x2
(观察到的y)
b0
回归面
}
i
x2 (x1,x2) x1
E ( y) b 0 b1 x1 b 2 x2
估计的多元回归方程
•直到方程内没有变量可被剔除，方程外没有
变量可被引进为止。
[Options 子对话框]设置回归分析的一些选项
•不分析任一选入的变量
有缺失变量值的记录,而
•不分析具体进入某变量无论该缺失变量最终是
时有缺失值的记录. 否进入模型.
•用于决定是否在模型中
包括常数项，默认选中。
如何选择自变量进入模型
回归系数的推断
(置信区间)

回归系数在(1-)%置信水平下的置信区间为
ˆ t (n p 1)s ˆ b i 2 b
回归系数输出结果的分析
F检验与t检验的结果出现矛盾

当F检验通过时，某些自变量的回归系数没有通过t检验，并不一定意味着这些自变量对因变量就没有影响以上情况可能是由于自变量之间存在较大的相关性所导致的。
第四节多重共线性 (Multi Collinearity)
一. 多重共线性及其所产生的问题二. 多重共线性的判别三. 多重共线性问题的处理
多重共线性及其产生的问题
多重共线性
(multicollinearity)
1.
2.
3.
回归模型中两个或两个以上的自变量彼此线性相关时，回归方程中的自变量就会互相削弱各自对应变量的边际影响，使本身的回归系数下降而其标准误扩大。当自变量之间是非线性相关时，不一定产生严重的多重共线性问题多重共线性带来的问题有

2024_2025学年高中数学课时跟踪检测一回归分析含解析北师大版选修1_2

课时跟踪检测（一）回来分析1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强( )A．－0.91 B．0.25C．0.6 D．0.86解析：选A 在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．依据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0 得到的回来方程为y＝bx＋a，则( )A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某高校的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，依据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回来方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回来直线过样本点的中心(x，y)C．若该高校某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该高校某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回来直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回来直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；依据回来直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回来分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元) 6.27.58.08.59.8 依据上表可得回来直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－b x.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若全部样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：依据样本相关系数的定义可知，当全部样本点都在直线上时，相关系数为1. 答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了比照表：________．解析：∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).(1)(2)求回来方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y 的值．解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线旁边，因此，x ，y 之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b ＝∑i ＝15x i －x－y i －y－∑i ＝15x i －x－2＝6.5，a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回来方程为y ＝17.5＋6.5x .(3)x ＝10时，y ＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)．即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)908483807568(1)求回来直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预料在今后的销售中，销量与单价仍旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250, 故y ＝－20x ＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应探讨中，得到如下数据表：碳含量x (%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20 ℃时电阻(Ω)1518192122.623.626解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46， a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回来方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．。

第二章回归分析中的几个基本概念

第二章回归分析中的几个基本概念1. 回归模型（Regression Model）：回归模型是回归分析的基础，用来描述两个或多个变量之间的关系。

回归模型通常包括一个或多个自变量和一个或多个因变量。

常用的回归模型有线性回归模型和非线性回归模型。

线性回归模型是最简单的回归模型，其中自变量和因变量之间的关系可以用一条直线来表示。

线性回归模型的表达式为：Y=β0+β1*X1+β2*X2+...+βn*Xn+ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示回归系数，ε表示误差项。

2. 回归系数（Regression Coefficients）：回归系数是回归模型中自变量的系数，用来描述自变量对因变量的影响程度。

回归系数可以通过最小二乘法估计得到，最小二乘法试图找到一组系数，使得模型的预测值和实际观测值的误差平方和最小。

回归系数的符号表示了自变量与因变量之间的方向关系。

如果回归系数为正，表示自变量的增加会使因变量增加，即存在正向关系；如果回归系数为负，表示自变量的增加会使因变量减少，即存在负向关系。

3. 拟合优度（Goodness-of-fit）：拟合优度是用来评估回归模型对样本数据的拟合程度。

通常使用R方（R-squared）来度量拟合优度。

R 方的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合程度越好。

R方的解释是，回归模型中自变量的变异能够解释因变量的变异的比例。

例如，如果R方为0.8，表示模型中自变量解释了因变量80%的变异，剩下的20%可能由其他未考虑的因素引起。

4. 显著性检验（Significance Test）：显著性检验用于判断回归模型中自变量的系数是否显著不为零，即自变量是否对因变量有显著影响。

常用的方法是计算t值和p值进行检验。

t值是回归系数除以其标准误得到的统计量。

p值是t值对应的双侧检验的概率。

如果p值小于给定的显著性水平（通常是0.05），则可以拒绝原假设，即认为回归系数显著不为零，即自变量对因变量有显著影响。

回归分析教案1选修1—2

1.2回归分析教学目标：通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

教学重点：通过对典型案例的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。

教学过程一、变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系,设随机变量与变量之间存在线性相关关系,则由试验数据得到的点(,)将散布在某一直线周围,因此,可以认为关于的回归函数的类型为线性函数,即,下面用最小二乘法估计参数、b,设服从正态分布,分别求对、b的偏导数,并令它们等于零，得方程组解得其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程,称为回归系数,对应的直线称为回归直线.顺便指出,将来还需用到,其中为观测值的样本方差.二、现在讨论线性相关的显著性检验中最简便、最常用的一种方法，即相关系数的显著性检验法.我们早在前面的学习中知道，变量与的相关系数是表示与之间线性相关关系的一个数字特征，因此，要检验随机变量与变量之间的线性相关关系是否显著，自然想到考察相关系数的大小，若相关系数的绝对值很小，则表明与之间的线性相关关系不显著，或者它们之间根本不存在线性相关关系；当且仅当相关系数的绝对值接近1时，才表明与之间的线性相关关系显著，这时求关于的线性回归方程才有意义.在相关系数未知的情况下，可用样本相关系数r作为相关系数的估计值，参照相关系数的定义，并用样本均值与样本方差分别作为数学期望与方差的估计值，定义与的样本相关系数如下:因此，根据试验数据(,)，得到的值后可进一步算出样本相关系数r的值. 若使用的是具有线性回归计算功能的电子计算器时，把所有试验数据(,)逐对存入计算器中，则可直接算出r的值.由于样本相关系数r是相关系数的估计值，所以，r的绝对值越接近1，与之间的线性相关关系越显著. 当r>0时，称与正相关；当r<0时，称与负相关. 而当r的绝对值接近0时，则可认为与之间不存在线性相关关系.三、例1．在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的试验，得数据如下（单位：kg）1x2）检验相关系数r 的显著性水平：r=∑∑∑===---7171222271)7)(7(7i i i i i ii y y x x yx yx =)3.39971132725)(3077000(3.3993078717522⨯-⨯-⨯⨯-≈0.9733，在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度7-2=5相应的相关数临界值r 0 05=0.754＜0.9733，这说明水稻产量与施化肥量之间存在线性相关关系.3）设回归直线方程a bx y +=ˆ，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 71227177计算a ，b ，得b=75.430770005.399307871752≈⨯-⨯⨯- a=399.3-4.75×30≈257，则回归直线方程25775.4ˆ+=x yx例2．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间由如下一组数据：归直线方程.1）画出散点图：x2）r=∑∑∑===---1211212222121)12)(12(12i i i i i ii y y x x yx yx=18.534.1754.243120.997891-⨯⨯=在“相关系数检验的临界值表”查出与显著性水平0.05及自由度12-2=10相应的相关数临界值r 0 05=0.576<0.997891, 这说明每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间存在线性相关关系.3）设回归直线方程a bx y+=ˆ，利用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=∑∑==xb y a x x y x y x b i i i i i 121221211212,计算a ，b ，得b ≈1.215, a=x b y -≈0.974，∴回归直线方程为：974.0215.1ˆ+=x y课堂小节：本节课学习了回归的基本思想、方法及其初步应用课堂练习：略课后作业：第7页习题A:1,2，3，4,5。

1.1.1《回归分析》课件(新人教版A选修1-2) 公开课一等奖课件

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附赠中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目的星星那样遥不可及。但实际上他们和我们每一个同学都一样平凡而普通，但他们有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处就是在学习方面有一些独到的个性，又有着一些共性，而这些对在校的同学尤其是将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
y a bx
其中a+bx是确定性函数，是随机误差
注：产生的主要原因：
(1)所用确定性函数不恰当； (2)忽略了某些因素的影响； (3)观测误差。
对于线性回归模型
y a bx
应注意以下两个问题： I 模型的合理性； II 在模型合理的情况下，如何估计a,b.
8
8 4.50 21.06 13.08 168.5 64 560.1 204
3、回归分析的基本步骤:
画散点图
求回归方程
预报、决策
1. 2. 3. 4.
数学３——统计画散点图求出b,a的值。求回归直线方程用回归直线方程解决应用问题
思考：在时刻x=9s时，质点运动位置一定是22.6287cm吗？ 4、线性回归模型
选修1-2
（一）
必修3(第二章统计)知识结构
收集数据
(随机抽样)
整理、分析数据估计、推断用样本估计总体变量间的相关关系
简单随机抽样
分层抽样
系统抽样
用样本的频率分布估计总体分布
用样本数字特征估计总体数字特征

stata工具变量二阶段回归结果解读

一、介绍在经济学和社会科学中，研究者经常面临内生性问题，即某些变量可能同时影响解释变量和被解释变量，在回归分析中会引起估计量偏误。

为了解决内生性问题，研究者可以使用工具变量方法来进行分析。

而在使用Stata软件进行工具变量二阶段回归分析时，需要对回归结果进行准确解读，以确保研究结论的科学性和可靠性。

二、Stata中工具变量二阶段回归的基本步骤1. 数据准备：需要将数据导入Stata软件中，并对数据进行清洗和预处理，以确保数据的准确性和完整性。

2. 第一阶段回归：在进行工具变量回归之前，需要进行第一阶段回归，即使用工具变量对内生变量进行回归。

在Stata中，可以使用ivreg命令进行第一阶段回归，该命令可以同时进行内生变量的工具变量选择和回归分析。

3. 二阶段回归：在完成第一阶段回归后，可以使用ivreg2命令进行工具变量二阶段回归，该命令可以输出各项回归结果，包括工具变量系数、内生变量系数和其他控制变量系数等。

三、Stata工具变量二阶段回归结果的解读在Stata中进行工具变量二阶段回归后，需要对回归结果进行准确解读，以得出科学可靠的研究结论。

1. 工具变量系数的解读：工具变量系数反映了工具变量对内生变量的影响程度，其显著性检验结果可以帮助研究者判断所选择的工具变量是否有效，从而保证工具变量回归的可靠性。

2. 内生变量系数的解读：内生变量系数反映了内生变量对被解释变量的影响程度，其显著性检验结果可以帮助研究者判断内生变量的影响是否显著，从而得出相应的研究结论。

3. 控制变量系数的解读：除了工具变量和内生变量外，工具变量二阶段回归模型中还包括其他控制变量，其系数反映了控制变量对被解释变量的影响程度，研究者需要注意对控制变量系数进行解读，以准确评估其对研究结果的影响。

4. 残差分析：在进行工具变量二阶段回归后，研究者还需要对回归残差进行分析，以验证回归模型的合理性和稳健性，包括残差的正态性、异方差性和自相关性等。