《正多边形和圆》练习题

A.
答案： A
3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积
S3、 S4、S6 之间的大小关系是 ( )
A.S 3>S4>S6
B.S6>S4>S3
C.S 6>S3>S 4
思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大
.
D.S 4>S 6>S3
答案： B
4.已知⊙ O 和⊙ O 上的一点 A( 如图 24-3-1).
1. 正六边形的两条平行边之间的距离为 1，则它的边长为 ( )
3
A.
6
3
B.
4
23
C.
3
3
D.
3
思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为 答案： D
3
1，所以边心距为 0.5,则边长为
.
3
2.已知正多边形的边心距与边长的比为
1 ，则此正多边形为 (
)
2
A. 正三角形
B. 正方形
C.正六边形
D. 正十二边形
3
思路解析：因为正 n 边形的外角为 360 ，一个内角为 ( n 2) 180 ，
n
n
所以由题意得 360 = 2 · (n 2) 180 ，解这个方程得 n=5.
n3
n
答案： 5
2.同圆的内接正三角 形与内接正方形的边长的比是 ( )
D,AD=4, 那么
6
3
6
4
A.
B.
C.
D.
2
4
3
3
思路解析：画图分析 ,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选
24.3 正多边形和圆
5 分钟训练 (预习类训练 ,可用于课前 )
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正
n 边形的边长与半径之比 ( )
A. 扩大了一倍
B. 扩大了两倍
C.扩大了四倍
D. 没有变化
思路解析：由题意知 圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆
内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化 .
, 于是他又喊了 30 美
那人买到鹦鹉很高兴 ,可是他突然想到 :我花了那么多钱才买到这鹦鹉 大了吗 ?于是他就去问老板 :“老板 ,你这只鹦鹉会不会说话啊 ?”
,如果它不会说话那我不就亏
接着他听到鹦鹉大叫 :“不会说话 ?!你以为刚刚是谁在跟你喊价啊 ?!”
30 分钟训练 (巩固类训练 ,可用于课后 )
.
解 ： 设 此 正 多 边 形 的 边 数 为 n ， 则 各 内 角 为 ( n 2) 180 ， 外 角 为 360 ， 依 题 意 得
思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选
B.
答案： B
3.已知正六边形的半径为 3 cm，则这个正六边形的周长为 思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用 答案： 18
__________ cm. P6＝ 6an 求出周长 .
4.(2010 上海浦东新区模拟 )正多边形的一个中 心角为 36 度 ,那么这个正多边形的一个内角等于
快乐时光
有一位爱鸟人士 ,他特别喜欢鹦鹉 ,有一天 ,他经过一间鸟店发现里面正在拍卖一只鹦鹉 鹉毛色很好决定要买 ,于是他喊道 :“我愿意出 10 美金买下这只鹦鹉 !”
,他见那只鹦
接着有人喊价 :“我愿意出 20 美金 !”那位爱鸟人士不愿把那只鹦鹉拱手让人 金 .可是另一个声音像在跟他作对 ,一直到那位爱鸟人士叫了 200 美金时才停 .
____ _______度 . 答案： 144.
5.如图 24-3-2，两相交圆的公共弦 AB 为 2 3 ，在⊙ O1 中为内接正三角形的一边，在⊙
六边形的一边，求这两圆的面积之比 .
Biblioteka BaiduO2 中为内接正
图 24-3-2 思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 可.
R3 与 R6 的平方比即
答案： D
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为
A.3∶ 2∶ 1
B.4 ∶3∶ 2
() C.4∶2∶ 1
D.6 ∶ 4∶ 3
思路解析： 如图， 设正三角形的边长为
a，则高 AD=
3
a，外接圆半径 OA=
3
3
a，边心距 OD= a，
2
3
6
所以 AD ∶OA ∶ OD=3 ∶ 2∶ 1.
答案： A
n
n
答案： 8
5.(2010 上海静安检测 )已知△ ABC 的周长为 BC=__________. 思路解析 : 由切线长定理及三角形周长可得 .
20,△ ABC 的内切圆与边
AB 相切于点
答案 :6
10 分钟训练 (强化类训练 ,可用于课中 )
1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的
2
时，此时该正 n 边形有 _________条对称轴 .
解：设正三角形外接圆⊙
O1 的半径为 R3，正六边形外接 圆⊙ O2 的半径为 R6，由题意得 R3=
3
AB ，
3
R6=AB ，∴ R3∶ R6＝ 3 ∶ 3.∴⊙ O1 的面积∶⊙ O2 的面积＝ 1∶3.
6.某正多边形的每个内角比其外角大 100°，求这个正多边形的边数 .
思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求
3.正 五边形共有 __________ 条对称轴，正六边形共有 __________ 条对称轴 . 思路解析：正 n 边形的对称轴与它的边数相同 .
答案： 5 6
4.中心角是 45°的正多边形的边数是 __________.
思路解析：因为正 n 边形的中心角为 360 ，所以 45° = 360 ，所以 n=8.
⑤顺次连结 A、 E、 F、 C、G、H 各点 . 六边形 AEFCGH 即为⊙ O 的内接正六边形 .
(2) 证明：连结 OE、 DE.
∵∠ AOD ＝ 360 ＝90°，∠ AOE ＝ 360 ＝ 60°，
4
6
∴∠ DOE＝∠ AOD －∠ AOE ＝ 30° .
∴ DE 为⊙ O 的内接正十二边形的一边 .
(1) 作⊙ O 的内接正方形 ABCD 和内接正六边形 AEFCGH ；
(2) 在(1) 题的作图中，如果点 E 在弧 AD 上，求证： DE 是⊙ O 内接正十二边形的一边 .
图 24-3-1
思路分析：求作⊙ O 的内接正六 边形和正方形，依据定理应将⊙ O 的圆周六等分、四等分，而正六边
形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分
.要证明 DE 是⊙ O 内接正十二边形
的一边，由定理知，只需证明 DE 所对圆心角等于 360°÷ 12＝ 30° .
(1) 作法： ①作直径 AC;
②作直径 BD ⊥ AC;
③依次连结 A、 B、C、 D 四点 ,
四边形 ABCD 即为⊙ O 的内接正方形 ;
④分别以 A 、C 为圆心， OA 长为半径作弧，交⊙ O 于 E、 H、 F、 G;