增长曲线预测PPT演示文稿
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趋势曲线模型预测法幻灯片PPT
区别为：
（１）预测模型的参数计算方法不同。
（２）线性预测模型中的时间变量取值不同。
（３）模型适应市场的灵活性不同。
（４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
1984 2 474 948 4
1985 3 508 1524 9
1986 4 541 2164 16
总和 0 3636 2092 60
yˆ t
264.52 299.39 334.26 369.13 404.00 438.87 473.74 508.61 543.48 3636
yt yˆt (yt yˆt)2
S115(yd2 2yd13yd 4yd15yd2)
1 T15(yn4 2yn3 3yn2 4yn15yn)
这三点的横坐标也应取加权平均值，即：
t1
1(122334455)1 132
15
33
2 n1 2 3n7
t2
d 3
2
3
6
t3
(n2)2n4 33
五项加权平均时，三点的坐标为：
M 1 ( 1 3 ,R ) 1 M , 2 ( 3 n 6 7 ,S )M , 3 ( n 3 4 ,T )
第二节 多项式曲线模型预测法
多项式曲线预测模型的一般形式为：
y ˆ t a b c t 2 t d 3 e t4 t
二次抛物线预测模型为：y ˆt ab tc2t
二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一 常数： 2 y ˆ y ˆt y ˆt 1 2 c
2、用三点法确定待定系数
预测值
（１）预测模型的参数计算方法不同。
（２）线性预测模型中的时间变量取值不同。
（３）模型适应市场的灵活性不同。
（４）随时间推进，建模型参数的简便性不同。
直线趋势延伸模型较适合趋势发展平衡的预测对 象的近期、中期预测；平滑技术建立的线性模型 更适合趋势发展中有波动的预测目标的短期、近 期预测。
1984 2 474 948 4
1985 3 508 1524 9
1986 4 541 2164 16
总和 0 3636 2092 60
yˆ t
264.52 299.39 334.26 369.13 404.00 438.87 473.74 508.61 543.48 3636
yt yˆt (yt yˆt)2
S115(yd2 2yd13yd 4yd15yd2)
1 T15(yn4 2yn3 3yn2 4yn15yn)
这三点的横坐标也应取加权平均值，即：
t1
1(122334455)1 132
15
33
2 n1 2 3n7
t2
d 3
2
3
6
t3
(n2)2n4 33
五项加权平均时，三点的坐标为：
M 1 ( 1 3 ,R ) 1 M , 2 ( 3 n 6 7 ,S )M , 3 ( n 3 4 ,T )
第二节 多项式曲线模型预测法
多项式曲线预测模型的一般形式为：
y ˆ t a b c t 2 t d 3 e t4 t
二次抛物线预测模型为：y ˆt ab tc2t
二次抛物线预测模型的特点是二阶差分为一 常数： 2 y ˆ y ˆt y ˆt 1 2 c
2、用三点法确定待定系数
预测值
运营数据及增长曲线PPT
效果评估：对优 化后的产品进行 效果评估，验证 优化是否有效
数据驱动的营销策略
定义：基于数据 分析制定营销策 略，以实现业务 增长和用户获取。
优势：精准定位 目标用户，提高 营销效果和转化 率。
实施步骤：收集 数据、分析数据、 制定策略、实施 策略、评估效果。
注意事项：确保 数据准确性和完 整性，定期更新 策略以适应市场 变化。
完成转化的过程
分析方法：对比不同时间段、 不同渠道、不同用户群体的转
化率数据，找出增长点
作用：帮助企业了解用户行为， 优化产品或服务，提高转化率
实践案例：某电商企业通过 分析转化率增长曲线，发现 用户在购物车环节的流失率 较高，于是优化购物车功能，
最终提高了转化率
数据驱动决策
章节副标题
数据对业务的影响
数据驱动决策： 通过数据分析， 制定更科学、合 理的业务决策
提升运营效率： 数据监控和分析， 优化业务流程， 提高运营效率
发现潜在机会： 通过数据挖掘， 发现市场和用户 需求，寻找新的 商业机会
风险预警：及时 发现业务异常， 预防潜在风险
数据驱动的运营策略
定义：基于数据 分析制定和调整 运营策略的方法
未来产品发展方向
人工智能技术：提升 产品智能化水平，满
足用户个性化需求
区块链技术：提升产 品安全性，保障用户
数据隐私
物联网技术：实现产 品与智能家居、智能
硬件的互联互通
5G技术：提升产品 传输速度，为用户提 供更流畅的使用体验
未来市场拓展计划
目标市场：明 确公司未来的 目标市场和发
展方向
拓展策略：制 定具体的市场 拓展策略和计 划，包括产品 推广、渠道拓
用户增长
种群的增长曲线ppt课件
2、建立模型： t年后种群数量为：Nt＝ N0λt 。
3、模型中各参数的意义： N0为该种群的起始数量，t为时间，Nt表 示t年后该种群的数量，λ表示该种群数量 是一年前种群数量的倍数。
2019年12月28日星期六
5
种群增长的“J”型曲线
例1：我国自1000—1990年以来的人口统计数据如下表，请根据提 供的数据完成下面的练习：
2019年12月28日星期六
14
计划地采伐或猎捕。这样，既可以获得最 大效益，又不会影响动植物资源的再生。 （2）有效控制有害的动物： 降低 环境容纳量 来控制。
2019年12月28日星期六
9
种群增长的“S”型曲线
提示：对家鼠等有害动物的控制，可以采取器械捕杀、药物捕杀等 措施。从环境容纳量的角度思考，可以采取措施降低有害动物种群 的环境容纳量，如将食物储藏在安全处，断绝或减少它们的食物来 源；室内采取硬化地面等措施，减少它们挖造巢穴的场所；养殖或 释放它们的天敌，等等。
（1）在右侧曲线图中表示出中国人口近1000年里的增长情况：
2019年12月28日星期六
6
种群增长的“S”型曲线
3、种群增长的增长率：
种群增长的“S”型曲线中每一点的切线的斜率
。
增长率最高的点是 K/2
。
4、种群增长“S”型曲线的应用： （1）有效地保护和利用野生动植物资源 以及发挥人工养殖场的最大经济效益：因 为种群的增长率在 K/2 时达到最大，所 以当种群的数量达到 K/2 时，就应该有
2019年12月28日星期六
3
3、实例分析
曲线图 优点是：直观在反映出种群数量的增长趋势。 缺点是：曲线图表示的数学模型不够精确。
2019年12月28日星期六
3、模型中各参数的意义： N0为该种群的起始数量，t为时间，Nt表 示t年后该种群的数量，λ表示该种群数量 是一年前种群数量的倍数。
2019年12月28日星期六
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种群增长的“J”型曲线
例1：我国自1000—1990年以来的人口统计数据如下表，请根据提 供的数据完成下面的练习：
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计划地采伐或猎捕。这样，既可以获得最 大效益，又不会影响动植物资源的再生。 （2）有效控制有害的动物： 降低 环境容纳量 来控制。
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种群增长的“S”型曲线
提示：对家鼠等有害动物的控制，可以采取器械捕杀、药物捕杀等 措施。从环境容纳量的角度思考，可以采取措施降低有害动物种群 的环境容纳量，如将食物储藏在安全处，断绝或减少它们的食物来 源；室内采取硬化地面等措施，减少它们挖造巢穴的场所；养殖或 释放它们的天敌，等等。
（1）在右侧曲线图中表示出中国人口近1000年里的增长情况：
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6
种群增长的“S”型曲线
3、种群增长的增长率：
种群增长的“S”型曲线中每一点的切线的斜率
。
增长率最高的点是 K/2
。
4、种群增长“S”型曲线的应用： （1）有效地保护和利用野生动植物资源 以及发挥人工养殖场的最大经济效益：因 为种群的增长率在 K/2 时达到最大，所 以当种群的数量达到 K/2 时，就应该有
2019年12月28日星期六
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3、实例分析
曲线图 优点是：直观在反映出种群数量的增长趋势。 缺点是：曲线图表示的数学模型不够精确。
2019年12月28日星期六
根据种群增长的S型曲线PPT课件
第30页/共57页
下图表示接种到一定容积培养液中的酵母菌生 长曲线图，曲线中哪段表示由于有限空间资源的限
制使种内斗争增加（ D）
A．CD段（增长速度慢） B．DE段（速度加快） C．EF段（变化速率加快） D．FG段（速度逐渐变慢）
第31页/共57页
下列对阴影部分的解释正
确的是（ C ）
①环境中影响种群增长的阻力 ②环境中允许种群增长的最大值 ③其数量表示种群内迁出的个体数 ④其数量表示通过生存斗争被淘汰的个体数
对于压在小方格界线上的酵母菌应取相邻 两边及顶角计数。
第28页/共57页
练习 B
第29页/共57页
建构种群增长数学模型的方法包括以下步骤：
1.提出合理的假设
C
2.对模型进行检验或修正
3.用适当的数学形式对事物的性质进行表达
4.观察研究对象，提出问题
A.1234 B.2314
C.4132 D.4123
种群经过一定时间的增长后， 数量趋于稳定的增长曲线，称为 “S”型曲线．
第7页/共57页
种群数量达到K值时， 种群— 增长停止
种群数量在 K/2值时， 种群— 增长最快
种群数量小于K/2值时 种群— 增长逐渐加快
种群数量大于K/2值时 种群— 增长逐渐减慢
第8页/共57页
A
K/2
S型曲线 增长率曲线
重要因素：人类的活动
第18页/共57页
探究
培养液中酵母菌种群数量的变化
第19页/共57页
第20页/共57页
❖ 单细胞真核生物 ❖ 属于兼性厌氧型微生物，有氧时产生二氧化碳和水；
无氧时产生二氧化碳和酒精。 ❖ 用液体培养基培养酵母菌，种群的增长受培养基的
根据种群增长的S型曲线课件
曲线的斜率
表示种群增长速度的变化 ，斜率越大表示增长速度 越快。
03
种群增长的s型曲线模型
种群数量与时间的关系
初始阶段
种群数量增长缓慢，随着时间的推移 ，种群数量开始加速增长。
对数增长阶段
平台阶段
种群数量达到环境容纳量（K值）后 ，增长速度逐渐减缓，最终趋于稳定 。
种群数量以对数方式增长，增长速度 不断加快。
综合应用和实践
将研究成果应用于实践，需要综合考虑多种因素，如经济、社会、环境等，以便制定综合 性的应用方案和实践计划。
THANKS
感谢观看
林业规划
在林业生产中，S型曲线模型有助于我们制 定合理的造林计划和采伐策略。通过预测树 木种群的增长趋势，我们可以确定最佳的种 植密度和采伐周期，从而实现森林资源的可 持续利用和生态平衡。同时，S型曲线模型 还可以帮助我们评估不同林业经营措施对种 群动态的影响，为林业可持续发展提供科学
依据。
05
S型曲线模型的未来研究方向
。
疾病和寄生
疾病和寄生生物是种群增长的另 一个重要影响因素。它们可能导 致种群数量ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ减少，尤其是在种
群密度较高时。
种群增长的数学模型
指数增长模型
指数增长模型是一种理想化的模型，假设种群在没有环境 限制的情况下呈几何级数增长。该模型通常适用于种群的 初始增长阶段。
Malthus模型
Malthus模型是描述种群增长的简单数学模型，它基于指 数增长假设，但忽略了资源限制和竞争的影响。
3
生态恢复和保护
为了保护种群和生态系统，需要进一步研究种群 动态与环境变化的相互作用，以便制定有效的生 态恢复和保护措施。
种群动态的人工调控和优化管理
第二节增长系数法ppt课件
2
4
解：
（1）求Fo0和FD0 Fo10=P1/O10=16/8=2 FD10=A1/D10=16/8=2 Fo20=P2/O20=28/14=2 FD20=A2/D20=28/14=2 Fo30=P3/O30=40/10=4 FD30=A3/D30=40/10=4
（2）求修正系数Li0和Lj0 Li10=O10/∑t1j0·FDj0=8/(4*2+2*2 +2*4)=0.4 Li20=O20/∑t2j0·FDj0=14/(2*2+8*2 +4*4)=0.389 Li30=O30/∑t3j0·FDj0=10/(2*2+4*2 +4*4)=0.357
用原矩阵乘产生增长系数，得到新矩阵如表1所示：
D O
1 2 3
合计 预测值
1
23.436 12.614 5.538 41.588
39.3
2
9.650 68.475 6.923 85.048
90.3
3
5.514 10.812 23.538 39.865
36.9
合计
38.6 91.9 36.0 166.5
一、增长系数法原理
（Growth Factor Method）
假设在给定
ti0j
的条件下，预测未来年份
t
N ij
。
增长系数算法
第1步
令当前计算次数m=0，开始计算；
第2步
给定现状OD表中 timj 、Oim、Dmj 、T m及未
来年份OD表中的 Pi 、Aj 、X 。
第3步
求出各小区的产生与吸引交通量的增
第5步 收敛判定
O m1 i
t m1
ij
第讲增长曲线模型（精品）
1第12讲增长曲线模型王孟成Email：*******************Blog: /u/2142257021增长曲线模型在心理学、教育学和社会学等社会科学领域，以及在医学和自然科学领域对事物发展进程的研究也常是研究者关注的焦点。
例如，在教育学领域，教育学者对学生阅读能力随年级增加而增长的情况。
在心理学领域，发展心理学家对人格特质随年龄增长而变化的趋势的研究。
在医学领域，研究者观查癌细胞增殖变化的时间进程。
MLM vs. LGCM对于此类问题，不同学科发展出不同的方法。
在心理学领域，研究者在结构方程模型框架内发展出潜在增长曲线模型(Latent Growth Curve Models, LGCM; Kaplan, 2000)或潜在曲线模型(Latent Curve Model, LCM; e.g., Meredith & Tisak, 1990; Bollen& Curran, 2006)。
统计和生物统计学领域发展了随机系数模型(e.g., Laird & Ware, 1982)。
教育学领域则提出了多水平模型(Multilevel Modeling, MLM; e.g., Bryk& Raudenbush, 1987; Goldstein, 2003)或分层线性模型(Hierarchical Linear Modeling, HLM)。
尽管这些方法在形式上有所差异，但在统计原理上则大同小异。
LGCM和MLM相比各有优点和长处，在有些条件下两者等同(e.g., Curran, 2003; MacCallum, Kim, Malarkey, & Kiecolt-Glaser, 1997; Raudenbush, 2001)，但LGCM在功能上要灵活一些，而且在多数结构方程建模软件上均可实现(e.g., AMOS, LISREL, MPLUS, EQS)。
第十一章 增长型曲线外推预测
18
8
9
97 -2
25
7 -1.0 4
98 -1 30.5 5.5 -1.5 1
99 0
35 4.5 -1.0 0
00 1
38
3 -1.5 1
01 2
40
2 -1.0 4
02 3 39.5 -0.5 -2.5 9
03 4
38 -1.5 -1.0 16
• 例2：某市91年 97年某产品的产量时间 序列资料如下表所示，试预测98年的产量。
2.简单指数型增长曲线
（1）模型：yt=abt ,其中a 、b为参数 可将其线性化：lgyt=lga+tlgb
（2）特征： Ut yt yt1 b 1
yt 1
yt 1
3.修正指数型增长曲线
(1)模型：yt=k+abt , 其中k 、a 、b为参数 (b>0)，该曲线描绘了发展过程有 饱和现象的一种增长现象
(2)特征： 1）lgut依时间变化成线性变化规律；
4.双指数曲线
（1）模型：yt abtct2 , 其中a 、b 、c为参数，t为时间变量
• 可将其变化为：lgyt=lga+tlgb+t2lgc
• 也称为对数抛物线；
(2)特征：
• 1） • •
ut 依时间变化成线性变化规律 yt （ut=yt’)
• 4. 应用举例：P167
三 .参数估计
• (1)三和法：就是将整个时间序列等分为 三组，再对每组数据求和来估计参数的 方法。
• 下面以龚伯资曲线模型为例学习此法 • （修正指数曲线模型也适用）
• 龚伯资曲线模型： yt kabt
• 可变化为： lgyt=lgk+btlga • 形似修正指数曲线
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且长期趋势基本上呈线性趋势变化时，用此法。
3
模型：
1、常用法
n
n
Yˆ a bx最小二乘法，使Q= e2i (Yi a bx)2最小化
i=1
i1
a
b
Yi b xi
n
n
n xiYi xi n xi2 ( xi
Yi )2
Yˆt ,简便法：a
b
a
bt Y n tY t 2
13
b n
3 yt 2 yt
2 y t 1 y t
a
2 yt
b 1 1 yt b (b n 1) 2
K
1
(
n
1
yt
ab
bn 1 )
b 1
14
三、例题：设某企业某产品最近六年的销售量 如下。试配合修正指数曲线并预测市场饱和点。
T 销售量Y（T） 局部总数 销售量发展速度
4
特点：
1、预测目标的时间序列资料逐期增减量 大体相等，长期趋势呈线性，反映平均变 动水平。
2、参数用最小二乘法求得，对时间序列 内各数据同等对待，反映平均变动过程。
3、可中、长期预测。
5
三、曲线趋势延伸法特点:
不同形状的曲线变动趋势，长期趋势预测. 趋势模型:
Y f (t)
有增长上限的曲线趋势模型一般包括三种:修 正指数模型、龚帕兹曲线模型、皮尔曲线
T 24
作业：分析该产品的销售量处在什么阶 段，并预测该产品1999年的销售量。
年份 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
T
0
1 23 45 6
销售量 260 330 430 550 653 736 800
1996
1997
T
7
8
847
881
25
二、1、皮尔曲线（Logistic)：
Yˆt Kabt,KYˆt abt,ln(KYˆt)ln(a)tlnb 令 Yˆt ln(KYt),Aln(a),Blnb, YˆtABt,最 小 二 乘 法， aeA,beB
10
2、当k,a,b为未知数时，模型无法线性化，不 能用此法，可用三和值法或三点法估计参数。
时间序列 Y t N个数据。
延伸法。
该曲线用以配合一种常见的发展趋势，这种趋 势表现为初期的增长速度较慢，然后增长速度 逐渐加快，达到一定程度后，增长量虽然还有， 但增长率逐次降低，终至平复。其时间序列在 算术尺度上呈现不对称的S形。适应于描述耐用 消费品的市场需求变化和寻找产品更新换代恰 当时机的决策分析。
20
2、运用条件：
常被用于商品的需求预测。
6
第一节 修正指数曲线预测
一、修正指数曲线数学模型及特性分析：可以
描述一种常见的经济现象的发展趋势，这种趋 势表现为时间序列初期增长速度快，随后增长 速度逐渐减慢，而增长量的增长速度，大体上 各期相等，最后趋向于某一个正的常数极限。
7
预测模型：
Y ˆtK at或 bY ˆtK abet
遇到预测目标销售额历史资料发展趋势变 动呈S形增长曲线，又必须考虑发展过程 极限值（市场潜量或最大销售量）的影响 时，就必须采取反映S形曲线的预测模型。
21
b n
3 ln yt 2 ln yt
2 ln yt 1 ln yt
ln a (
2 ln yt
b 1 1 ln yt ) b(b n 1) 2
0 150
1 180
330
120
2 204
113
3 224
428
110
4 240
107
5 253
493
105
增长量
30 24 20 16 13
增长百分比
80 83 80 81
15
N=6*1/3=2
b 493428 0.6632 0.8144 428330
a
(428
330)
0.8144 1 0.8144(0.6632 1)2
ln
K
1 n
b(b n 1)
1 ln yt
b 1
ln a
22
4、曲线特点
1、当T趋近与无穷大，Y 趋近于K时，K为曲线的 极限值。
2、龚帕兹曲线的一阶差 分的环比 近似为一常数。
lnyt /lnyt1
3、此曲线为非对称曲线。
23
Y K------------------------------------------
Y e(Lt )常写Y成K abt
（式K中et，ae，b）
（k0，0<a<1，0<b<1），
18
ln Yˆt ln k bt ln a, 式中， Yt为历史发展 t时期产品销 售额（量）； t为观察期的 某时间周期； k，a，b参数； k为产品发展过程中市场 极限量。
19
是根据预测目标的历史时间数列，拟合 此曲线，建立方程进行预测的一种趋势
，当K0，a0，0b1时，Y值随着T的增 加而增加，终趋近于K，K是渐近线，从 经济意义上讲，K就是市场饱和点。可利 用此模型预测产品的市场饱和点与市场占 有率。
8
(1)K>0,a<0,0<b<1;(2)k>0,a>0,0<b<1
9
模型参数的估计：
1、当增长上限K为已知时，用最小二乘法估计 其余的a,b.
第五章 增长曲线预测(趋势 外推)
一般来说，增长曲线预测比其他时间 序列的趋势预测更符合客观经济现象 的发展规律，其预测准确度高，可以 得到满意的预测结论。
1
趋势延伸法可分为直观法、直线趋势延伸 法、多次曲线趋势延伸预测法、指数曲线 趋势法、龚帕兹曲线趋势法。
2
一、直观法
绘图工具，直观判断。 二、直线趋势延伸法 预测目标的时间序列资料逐期增（减）量大体相等，
b
n
3
1 yt
2
1 yt
1 2 yt
1 1 yt
Yˆt
K
1 ab
t
， a (Biblioteka 21 yt1
160.4
k 1 (330(160.4)0.8144 0.66321 310.5
2
0.8144 1
16
Y ˆt31 .50 (16 .4)* 0 (0.81)t44
可以看到市场饱和点为310.5万件，该产品 第六年市场的占有率为81.5%。
17
第二节 龚帕兹曲线预测
1、龚帕兹曲线模型：
11
二、修正指数曲线的参数估 计（三和值法）：
将时间序列的数据均匀的分为三段， 每段n各数据，再分别求和，然后求 出三个参数。
12
n
bn 1
1Yt
Yt
t 1
nk
ab
, b 1
2
2n
Yt
t n 1
nk
ab n1
bn 1 ,
b 1
3
3n
Yt
t 2 n 1
nk
ab 2n1
bn 1 b 1
3
模型：
1、常用法
n
n
Yˆ a bx最小二乘法，使Q= e2i (Yi a bx)2最小化
i=1
i1
a
b
Yi b xi
n
n
n xiYi xi n xi2 ( xi
Yi )2
Yˆt ,简便法：a
b
a
bt Y n tY t 2
13
b n
3 yt 2 yt
2 y t 1 y t
a
2 yt
b 1 1 yt b (b n 1) 2
K
1
(
n
1
yt
ab
bn 1 )
b 1
14
三、例题：设某企业某产品最近六年的销售量 如下。试配合修正指数曲线并预测市场饱和点。
T 销售量Y（T） 局部总数 销售量发展速度
4
特点：
1、预测目标的时间序列资料逐期增减量 大体相等，长期趋势呈线性，反映平均变 动水平。
2、参数用最小二乘法求得，对时间序列 内各数据同等对待，反映平均变动过程。
3、可中、长期预测。
5
三、曲线趋势延伸法特点:
不同形状的曲线变动趋势，长期趋势预测. 趋势模型:
Y f (t)
有增长上限的曲线趋势模型一般包括三种:修 正指数模型、龚帕兹曲线模型、皮尔曲线
T 24
作业：分析该产品的销售量处在什么阶 段，并预测该产品1999年的销售量。
年份 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995
T
0
1 23 45 6
销售量 260 330 430 550 653 736 800
1996
1997
T
7
8
847
881
25
二、1、皮尔曲线（Logistic)：
Yˆt Kabt,KYˆt abt,ln(KYˆt)ln(a)tlnb 令 Yˆt ln(KYt),Aln(a),Blnb, YˆtABt,最 小 二 乘 法， aeA,beB
10
2、当k,a,b为未知数时，模型无法线性化，不 能用此法，可用三和值法或三点法估计参数。
时间序列 Y t N个数据。
延伸法。
该曲线用以配合一种常见的发展趋势，这种趋 势表现为初期的增长速度较慢，然后增长速度 逐渐加快，达到一定程度后，增长量虽然还有， 但增长率逐次降低，终至平复。其时间序列在 算术尺度上呈现不对称的S形。适应于描述耐用 消费品的市场需求变化和寻找产品更新换代恰 当时机的决策分析。
20
2、运用条件：
常被用于商品的需求预测。
6
第一节 修正指数曲线预测
一、修正指数曲线数学模型及特性分析：可以
描述一种常见的经济现象的发展趋势，这种趋 势表现为时间序列初期增长速度快，随后增长 速度逐渐减慢，而增长量的增长速度，大体上 各期相等，最后趋向于某一个正的常数极限。
7
预测模型：
Y ˆtK at或 bY ˆtK abet
遇到预测目标销售额历史资料发展趋势变 动呈S形增长曲线，又必须考虑发展过程 极限值（市场潜量或最大销售量）的影响 时，就必须采取反映S形曲线的预测模型。
21
b n
3 ln yt 2 ln yt
2 ln yt 1 ln yt
ln a (
2 ln yt
b 1 1 ln yt ) b(b n 1) 2
0 150
1 180
330
120
2 204
113
3 224
428
110
4 240
107
5 253
493
105
增长量
30 24 20 16 13
增长百分比
80 83 80 81
15
N=6*1/3=2
b 493428 0.6632 0.8144 428330
a
(428
330)
0.8144 1 0.8144(0.6632 1)2
ln
K
1 n
b(b n 1)
1 ln yt
b 1
ln a
22
4、曲线特点
1、当T趋近与无穷大，Y 趋近于K时，K为曲线的 极限值。
2、龚帕兹曲线的一阶差 分的环比 近似为一常数。
lnyt /lnyt1
3、此曲线为非对称曲线。
23
Y K------------------------------------------
Y e(Lt )常写Y成K abt
（式K中et，ae，b）
（k0，0<a<1，0<b<1），
18
ln Yˆt ln k bt ln a, 式中， Yt为历史发展 t时期产品销 售额（量）； t为观察期的 某时间周期； k，a，b参数； k为产品发展过程中市场 极限量。
19
是根据预测目标的历史时间数列，拟合 此曲线，建立方程进行预测的一种趋势
，当K0，a0，0b1时，Y值随着T的增 加而增加，终趋近于K，K是渐近线，从 经济意义上讲，K就是市场饱和点。可利 用此模型预测产品的市场饱和点与市场占 有率。
8
(1)K>0,a<0,0<b<1;(2)k>0,a>0,0<b<1
9
模型参数的估计：
1、当增长上限K为已知时，用最小二乘法估计 其余的a,b.
第五章 增长曲线预测(趋势 外推)
一般来说，增长曲线预测比其他时间 序列的趋势预测更符合客观经济现象 的发展规律，其预测准确度高，可以 得到满意的预测结论。
1
趋势延伸法可分为直观法、直线趋势延伸 法、多次曲线趋势延伸预测法、指数曲线 趋势法、龚帕兹曲线趋势法。
2
一、直观法
绘图工具，直观判断。 二、直线趋势延伸法 预测目标的时间序列资料逐期增（减）量大体相等，
b
n
3
1 yt
2
1 yt
1 2 yt
1 1 yt
Yˆt
K
1 ab
t
， a (Biblioteka 21 yt1
160.4
k 1 (330(160.4)0.8144 0.66321 310.5
2
0.8144 1
16
Y ˆt31 .50 (16 .4)* 0 (0.81)t44
可以看到市场饱和点为310.5万件，该产品 第六年市场的占有率为81.5%。
17
第二节 龚帕兹曲线预测
1、龚帕兹曲线模型：
11
二、修正指数曲线的参数估 计（三和值法）：
将时间序列的数据均匀的分为三段， 每段n各数据，再分别求和，然后求 出三个参数。
12
n
bn 1
1Yt
Yt
t 1
nk
ab
, b 1
2
2n
Yt
t n 1
nk
ab n1
bn 1 ,
b 1
3
3n
Yt
t 2 n 1
nk
ab 2n1
bn 1 b 1