福建师大附中高一上期末数学试卷实验班解析版

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2019-2020学年福建省福州市福建师大附中高一上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年福建省福州市福建师大附中高一上学期期末数学试题一、单选题1．方程3log 3x x +=的解为0x ，若0(,1),x n n n N ∈+∈，则n =（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()3log 3f x x x =+-，∵()()311320,22log 20f f =-=-<=-+<,()33log 310f ==>. ∴函数()f x 在区间()2,3上有零点。

∴2n =。

选C 。

2．如图，若OA a =，OB b =，OC c =，B 是线段AC 靠近点C 的一个四等分点，则下列等式成立的是（）A ．2136c b a =- B ．4133c b a =+ C ．4133c b a =- D ．2136c b a =+ 【答案】C【解析】利用向量的线性运算即可求出答案. 【详解】13c OC OB BC OB AB ==+=+()141333OB OB OA OB OA =+-=-4133b a =-.故选C . 【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．3．有一组试验数据如图所示：则最能体现这组数据关系的函数模型是（） A ．21x y =- B ．21y x =- C ．22log y x = D ．3y x =【答案】B【解析】将x 的数据代入依次验证各模型对应的y 值，排除偏差较大的选项即可得到结果. 【详解】当 2.01x =时， 2.01213y =-≈，22.0113y =-≈，22log 2.012y =≈，32.018y =≈当3x =时，3217y =-=，2318y =-=，22log 34y =<，3327y == 可知,C D 模型偏差较大，可排除,C D ；当 4.01x =时， 4.012115y =-≈，24.01115y =-≈当 5.1x =时， 5.12131y =-≈，25.1124y =-≈可知A 模型偏差较B 模型偏差大，可排除A ，选择B 故选：B 【点睛】本题考查根据数据选择函数模型，关键是能够通过验证得到拟合度最高的模型，属于基础题.4．已知,a b 是不共线的向量，2,2,,A AB a b a b R C λμλμ=-=+∈，若,,A B C 三点共线，则,λμ满足（） A ．2λμ+= B ．1λμ=-C ．4λμ+=D ．4λμ=-【答案】D【解析】根据平面向量的共线定理即可求解。

福建师大附中2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)

福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：（1）本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一、选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 与 -2002º终边相同的最小正角是( ) A ．158ºB ．100ºC ．78ºD ． 22º2.已知角的终边上有一点 P的坐标是(1,-，则cos α的值为( )A ．-1B.2C ．33D ．13-3.已知[ x ] 表示不超过实数 x 的最大整数，若 0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则[0x ]=（）A.1B ．2C ．3D ．44.一个钟表的分针长为 10，经过 35 分钟，分针扫过图形的面积是（）A.353π B ．1753π C ．3153π D ．1756π5..设 D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则（） A.1433AD AB AC=- B ．4133AD AB AC=+ C.1433AD AB AC =-+ D ．4133AD AB AC =- 6. 函数2lg(2cos 1)y x =-的定义域是（） A. |22Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ B. |Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ 时间： 120 分钟满分： 150 分命题：审核：C. 3|Z 44x k x k k ππππ⎧⎫++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ D. 3|22Z 44x k x k k ππππ⎧⎫-++⎨⎬⎩⎭＜＜，∈ 7. 已知某函数的图象如右图，则该函数解析式可能是（）A.y 2xx =B.x22y =- C.y x e x =- D.22y x x =- 8.下列函数中，以2π未周期，2x π=为对称轴，且在(0,)2π上单调递增的函数是（）A.y sin(2)2x π=-B.y 2cos()2x π=+C.y 2sin sin x x =+D.y tan()24x π=+9.为了得到函数cos 2y x =-的图像，可将函数sin y x =图象上所有的点（）A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移2π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度C 横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移2π个单位长度D 横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移4π个单位长度10.已知向量a ， b 不共线，若对任意x R ∈，恒有a xb a b -≥-成立，则有（）A. a b ⊥B. ()a a b ⊥-C. ()()a b a b +⊥-D.()b a b ⊥- 11.函数lg 0()sin ,0x x f x x x π⎧=⎨⎩,＞＜的图象上关于原点对称的点共有（）对A.7B.8C.9D.1012.若△ABC 外接圆圆心为O ，半径为4，且220,OA AB AC ++=则CA CB ∙的值为（） A.14B.D.2Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：每小题 5 分，共 30 分. 13.若5sin()=613πα-，则cos()3πα+= ____________ 14.若向量(,1)a m =与向量(2,)b m m =-的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是________ 15.函数 ()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>>=在一个周期内的图象如图所示， M 、N 分别是最高点、最低点，且满足OM ON ⊥(O 为坐标原点)，则()f x =__________16.定义：若a ，b 是不共线的向量，且OP xa yb =+，则称有序数对(,)x y 为点 P 相对应于基底a ，b 的坐标．已知单位向量12,e e 的夹角为 60，点 P 相对应于12,e e 的坐标为(-1，3)，则OP =________. 17.已知函数4,0()2,0xkx x f x x -+≥⎧=⎨⎩＜，若方程(())20f f x -=恰有三个实数根，则实数，k 的取值范围是_______________.18.如图所示，边长为 1的正方形P ABC 沿 x 轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B 恰好能经过原点．设动点P 的纵坐标关于横坐标的函数解析式为()y f x =，则对函数 ()y f x = 有下列判断：① 函数()y f x = 是偶函数； ②()y f x =是周期为 4 的函数；③函数 ()y f x =在区间[10，12] 上单调递减；④函数 ()y f x = 在区间[1，1] 上的值域是[1] 其中判断正确的序号是．(写出所有正确结论的序号)三、解答题:5 小题，共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.已知锐角α的终边与单位圆的交点为)10P m ( I ) 求sin α的值；( II ) 求式子222sin 4cos sin cos cos ααααα--的值．20.已知向量(cos ,sin )a θθ= (其中02θπ≤≤)，1(,2b =-； ( I ) 当//a b 时，求θ的值；( II ) 当|||ka b a kb -=+时，（其中0k >），求a b ∙的取值范围； (Ⅲ) 在( II )中，当a b ∙取最小值时，求θ的值.21.某同学作函数 ()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><在[[0,]π这一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：( I ) 请将上表数据补充完整，并求出()f x 的解析式； ( II ) 作出 ()f x 在该周期内的图象；(Ⅲ) 若()f x 在区间[,]a b 上的值域是3[,3]2-，求b a -的最大值和最小值. 22. 已知某物体的温度θ（单位：摄氏度）关于时间t （单位：分钟）的变化规律是：122(0)t t m t θ-=⋅+≥( I ) 如果2m =，求经过多少时间，物体的温度为 5 摄氏度；( II ) 若物体的温度总不低于 2 摄氏度，求m 的取值范围. 23.已知函数sin cos sin cos ()2x x x xf x ++-=( I) 证明：π不是 ()f x 的周期；(II) 若()f x 关于x a =对称，写出所有 a 的值；设在 y 轴右侧的对称轴从左到右依次为12x ,,,,,n a x a x a === 求123()f a a a ++；(Ⅲ) 设22sin g()0)cos xx m x m=+＞，若存在实数,αβ，使()()f g αβ=成立，求m 的取值范围福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学参考答案一、选择题：二、填空题： 13.513 14.()122-∞-⋃⋃∞，（-2,0）（，+）15.5()sin(2)4f x x =+ππ17.122⎛⎤-- ⎥⎝⎦， 18.①②④ 三、解答题:19. （10 分）解：( I ) 由已知得，cos 10α=，且α为锐角，故sin α=（II ）由于2222sin 4cos tan 4sin cos cos tan 1ααααααα--=--且sin tan 7cos ααα==代入得，原式=15220. （12分）解：(I) 当//a b 时，有1cos sin 22θθ=-，从而tan θ=又02θπ≤＜，故2=3θπ或53π( II ) |ka b a kb -=+得，322ka ba kb -=+，展开得，222222362k a ka b b a ka b k b -⋅+=+⋅+，又221a a b b ====，代入化简得，2111(1)()44a b k k k k⋅=+=+（其中0k >）；从而由基本不等式得，11242a b ⋅≥⨯=，当且仅当1k =时取等号.另一方面1,a b a b ⋅≤=故a b ⋅的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦（III ）当a b ⋅取最小值时，即12a b ⋅=时，设,a b 的夹角为β，则1c o s 2a b a b β⋅==，又[0,]βπ∈，从而3πβ= 而向量b 所在的终边对应的角可取为23π，故=3πθ或π.21.(12分)（1）由表可得，A =3，周期T =π，故22T πω==，再将最高点,33⎛⎫⎪⎝⎭π代入得，23sin()=33πϕ+，又由于2πϕ＜，故=6πϕ-；因此故()3sin(2)6f x x π=- (2)图略(3)由于()f x 是周期函数，不妨取上图中这个周期研究当0a =，3b π=时，b a -有最小值，是3π当0a =，3b π2=时，b a -有最小值，是23π22.（12分）解：（1）如果112,2222(2)2t t t tm θ-==⋅+=+ 当=5θ时， t 15222t+=令21t x =≥，则152x x +=，即22520x x -+=，解得2x =或12x =（舍），此时1t =. 所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度.（2）物体的温度总不低于2摄氏度，即1=m 222t t θ-⋅+≥恒成立，亦即2112()22t tm ≥-恒成立. 令(]10,12t x =∈，则22()m x x ≥-恒成立，因为22112()2()22x x x -=--+，所以当12x =时，2max 1[2()]2x x -=，故12m ≥，即当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是1[,)2+∞法二：1222t t m θ-=∙+≥恒成立，即2(2)2220t tm ∙-∙+≥，令2[1,)tx =∈+∞，即2220m x x ∙-+≥在[1,)+∞上恒成立，则0m >，故对称轴10x m=>. 当101m <≤时，须满足220m -+≥，解得1m ≥；当11m >时，须满足，解得112m ≤<；综上，12m ≥.23.（14分）（1）假设π是()f x 的周期，则(0)()f f π=，但(0)1f =，()0f π=，(0)()f f π≠，矛盾，所以假设不成立，故π不是()f x 的周期.（2）cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x x f x x x x<⎧=⎨≥⎩，作出其函数图像，观察图像得知：,4a k k Z ππ=+∈，则14a π=，254a π=，394a π=，所以123154a a a π++=，则. 12315()()4f a a a f π++==（3）cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x x f x x x x<⎧=⎨≥⎩，()f x 的值域为[. 2221cos 1()1cos cos x mg x x m x m-+==--++由2cos [0,1]x ∈，可知()g x 的值域为1[m.为了让()f x 的值域和()g x 的值域的交集不为空集，只要12m ≥-，即m ≤因此当0m <≤α，β，使()()f g αβ=.。

福建师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(附解析)

福建师大附中2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一.选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.与 -2002º终边相同的最小正角是( )A. 158ºB. 100ºC. 78ºD. 22º【答案】A【解析】【分析】把写成形式，则即为所求。

【详解】，与终边相同的最小正角是故选【点睛】本题主要考查了终边相同的角，熟练掌握终边相同的角之间相互转换的规则是解决本题的关键，属于基础题。

2.已知角的终边上有一点 P的坐标是，则的值为( )A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案【详解】角的终边上有一点的坐标是则,故选【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，只需结合定义即可求出结果，属于基础题。

3.已知表示不超过实数的最大整数，是方程的根，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的零点的范围，进而判断的范围，即可求出.【详解】由题意可知是的零点，易知函数是（0，）上的单调递增函数，而，，即所以，结合的性质，可知.故选B.【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题。

4.一个钟表的分针长为 10，经过 35 分钟，分针扫过图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可。

【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础5..设 D为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合已知条件，运用向量的加减法运算求出结果【详解】如图所示，，故选【点睛】本题主要考查了平面向量的加法，减法以及其几何意义，属于基础题，注意数形结合。

福建省福州市福建师大附中2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析

第ⅠⅠ卷
12、①. ②.6
【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“ ”时取等号.而运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.
【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“ ”时取等号，，当且仅当“ ”时取等号.
故答案为：，6.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.
【详解】（1）
，
因为，所以，
则，
，
所以的最大值为；的最小值为；
（2）当时，
，
当时，，
，
当时，；
，
综上：在区间上的解析式为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
18．函数在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点，也在该图象上，且
（1）求的解析式；
（2）的图象向左平移1个单位后得到的图象，试求函数在上的最大值和最小值
19．已知函数 .
（1）求在闭区间的最大值和最小值；
（2）设函数对任意，有，且当时， .求在区间上的解析式.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，且 .
设，则，所以，
所以；
（2）因为对任意恒成立，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，
作出函数的图象如下图示：
由图可知，在上单调递增，所以，即恒成立，
令，，，
则函数在上单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围 .

福建省福建师范大学附属中学2025届数学高一上期末教学质量检测模拟试题含解析

出结果.
【详解】当 x 1时，令 f x 1 0 ，得 a x 1 1 0 ，即 x 1 a 1 ，该方程至多两个根；
2
2
当 x 1时，令 f x 1 0 ，得 2x a2 1 0 ，该方程至多两个根，
因为函数 y f x 1恰有 4 个不同的零点，
所以函数 y f x 1在区间 ,1和1, 上均有两个零点，
C. x N, 2x x 1 D. x N, 2x x 1
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
8
4
A.
B.
3
3
C. 8 2 3
D. 4 2 3
10．给定下列四个命题：
.①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；
【详解】若 a 1，则 a2 1，所以“ a 1”是“ a2 1”的充分条件；
若 a2 1，则 a 1或 a 1，所以“ a 1”不是“ a2 1”的必要条件；
因此，“ a 1”是“ a2 1”的充分不必要条件.
故选：B
【点睛】本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
则其体积为V 1 2 2 2 1 1 2 2 2 8 .
2
32
3
故选：A.
10、D
【解析】利用线面平行和垂直，面面平行和垂直的性质和判定定理对四个命题分别分析进行选择
【详解】
当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故①错误；由平面与平面垂直的判定可知②正
确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故③错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(解析版)附答案

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(附答案)一、选择题1．已知直线方程34)y x --，则这条直线的倾斜角是（） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【答案】C【解析】试题分析：由题意得，直线的斜率为k =tan α=60α= ，故选C ．【考点】直线的倾斜角．2．在空间直角坐标系中，点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是（） A ．(1,3,6)- B ．(1,3,6)-- C ．(1,3,6)-- D ．(1,3,6)-- 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据空间直角坐标系，可得点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是(1,3,6)--，故选D ．【考点】空间直角坐标系．3．已知α，β是平面，m ，n 是直线．下列命题中不．正确的是（） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m β，则α⊥β 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，A 中，若//,m n m α⊥，则有直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，所以是正确的；B 中，若//,m n ααβ= ，则m 与n 平行或异面，所以是不正确的；C 中，若,m m αβ⊥⊥，则由平面与平面平行的判定定理得//αβ，所以是正确的；D 中，,m m αβ⊥⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，所以是正确的．【考点】空间中线面位置的判定．4．已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（）ÌA ．m=0B ．m=1C ．m=0或m=1D ．m=0或m=1- 【答案】C【解析】试题分析：由12l l ⊥，得(1)1(2)0m m m ⨯++⨯-=，解得0m =或1m =，故选C ．【考点】两直线垂直的应用．5．正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与CN 所成的角是（）A ．0 B ． 90 C ． 45 D ．60【答案】B 【解析】试题分析：取A A '的中点为E ，连接BE ，则直线B M '与CN 所成角就是直线B M'与BE 所成的角，由题意得得B M BE '⊥，所以异面直线M B '与CN 所成的角是90，故选B ．【考点】异面直线所成的角．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A ．6π BC ．3πD ．12π【答案】B【解析】试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即2R =所以R =，所以求得体积为334433V R ππ==⨯=．【考点】球的组合及球的体积的计算．7．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1关于直线20x y --=对称的圆的方程为（） A ．22(4)(1)1x y -++= B ．22(4)(1)1x y +++= C ．（x+2）2+（y+4）2=1 D ．22(2)(1)1x y -++= 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为()1,2，设圆心()1,2关于直线20x y --=的对称点为(,)P x y ，则2111122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得4,1x y ==-，所以对称圆方程为22(4)(1)1x y -++=．【考点】点关于直线的对称点；圆的标准方程．8．已知实数,x y满足22(5)(12)25,x y ++-= ）A ．5B ．8C ．13D ．18 【答案】B【解析】试题分析：=(,)P x y 到原点的距离，所以的最小值表示圆()()2251225x y ++-=上一点到原点距离的最小值，又圆心()5,12-到原点的距离为13=的最小值为138R -=，故选B ．【考点】圆的标准方程及圆的最值．9．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：连接11AC 交11B D 于点O ，连接BO ，因为长方体中，，所以1C O ⊥平面11BDD B ，所以1C BO ∠为1BC 与平面11BDD B 所成角，因为11112C O A C ==，1BC ，所以111sin C O C BO BC ∠===，故选D ．1111D C B A ABCD -2==BC AB 11=AA 1BC D D BB 11635525155101111D C B A ABCD -2==BC AB1A 1A【考点】直线与平面所成角的求解．10．已知点()()4,0,0,2B A －，点P 在圆()()5=4+3-:22－y x C ，则使090=∠APB 的点P 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：设(,)P x y ，要使90APB ∠=，只需P 到AB 中点(1,2)-的距离为12AB ==，而圆上的所有点到AB 中点距离范围为，即，所以使090=∠APB 的点P 的个数只有一个，就是AB 中点与圆心连线与圆的交点．【考点】点与圆的位置关系．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为6480π+，则r =（）A ．1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】 C【解析】试题分析：由几何体的三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体的一个半球和一个半圆柱，所以其表面积为22222111422254222S r r r r r r r r πππππ=⨯+++⨯+=+，又因为该几何体的表面积为1620π+，即22546480r r ππ+=+，解得4r =．【考点】几何体的三视图；体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用和几何体的体积的计算与应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的空间想象能力和运算能力，求解三视图问题时，要牢记三是的规则“长对正，高平齐、宽相等”，得到原结合体的形状，再根据几何体的体积公式求解几何体的体积，本题的解答中通过给定的三视图可得该几何体为一个半球和半个圆锥拼接的几何体，通过计算半球的体积和半个圆柱的体积，从而得到给几何体的体积． 12．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（）A ．//m n 且n 与圆O 相离B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交【答案】A【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab -，所以//n m ，圆心到直线n，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，r >，所以直线n 与圆相离，故选A ．【考点】直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．二、填空题13．不论k 为何值，直线(21)(2)(4)0k x k y k ----+=恒过的一个定点是__________．【答案】(2,3)【解析】试题分析：由题意得，直线(21)(2)(4)k x k y k ----+=，可化为(21)(24)0k x y x y ---+-=，解方程组240210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得2,3x y ==，所以直线恒经过点(2,3)．【考点】直线方程．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1C BD C --的正切值为．【解析】试题分析：设正方体111A B C D A B C D -的棱长为a ，则111,BD DC BC CD BC CC a ======，取BD 的中点O ，连接1,OC OC ，则1COC ∠就是二面角1C B DC --的平面角，因为12CO BD ==，所以1t a n 2C O C ∠．【考点】二面角的求解．15．点P （4，－2）与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是．【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】试题分析：设圆上任意一点为11(,)A x y ，AP 中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，代入224x y ＋＝得22(24)(22)4x y -++=，化简22(2)(1)1x y -++=，所以轨迹方程为22(2)(1)1x y -++=．【考点】轨迹方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的求解，属于基础题，着重考查了代入法求解轨迹方程，其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键．本题解答中通过设圆上任意一点为11(,)A x y ，表示AP 中点为(),x y ，确定出A 与AP 中点坐标之间的关系112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，再代入圆的方程，化简即可得到动点的轨迹方程． 16．若直线x y k +=与曲线y =k 的取值范围是．【答案】11k k -≤<=或【解析】试题分析：曲线y =(1,0)A -时，直线y x k =-+与半圆只有一个交点，此时1k =-；当直线过点(1,0),(0,1)B C 时，直线y x k =-+与半圆有两个交点，此时1k =；当直线y x k =-+与半圆相切时，只有一个公共点，k =11k -≤<或k =x y k +=与曲线y =个公共点．【考点】直线与圆的方程的应用．17．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于．【答案】【解析】试题分析：由题意得，不妨设棱长为2，如图，在底面内的射影为的中心，故DA =由勾股定理得13A D ==，过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC所成角，且1B E =，作1A S AB ⊥于中点S，所以111ABC A B C -1A ABC ABC △1ABABC 31A ABC ABC △1AS =，所以1AB ==，所以与底面所成角的正弦值为1sin 3B AE ∠==．【考点】直线与平面所成的角．18．若直线被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为的倾斜角可以是①；②；③；④105︒；⑤120︒；⑥165︒其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）【答案】④或⑥【解析】试题分析：由题意得，两直线12,l l之间的距离为d ===线被两平行线1:0l x y +=与2:0l x y +=所截得的线段的长为m 与直线0x y +=的夹角为45，所以直线的倾斜角可以是105︒或165︒．【考点】两平行线之间的距离；直线的夹角．【方法点晴】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式的应用及两直线的位置关系的应用，属于中档试题，解答的关键是根据两平行线之间的距离和被截得的线段的长，确定两条直线的位置关系（夹角的大小），本题的解答中，根据平行线之间的距离和被截得的线段长为确定直线m 与两平行线的夹角为45，从而得到直线m 的倾斜角．三、解答题19．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(14)A ,-，(21)B ,--，(23)C ,．1ABABC m m 15 45 60 m m（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）在∆ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程；（3）求ACD ∆的面积．【答案】（1）(3,8)；（2）5190x y +-=；（3）8．【解析】试题分析：（1）设AC 的中点为M ，则由M 为AC 的中点求得17(,)22M ，设点D 坐标为(,)x y ，由已知得M 为线段BD 中点，求D 的坐标；（2）求得直线CD 的斜率CD k ，可得CD 边上的高线所在的直线的斜率为15-，从而在ACD ∆中，求得CD 边上的高线所在直线的方程；（3）求得CD ，用两点式求得直线CD 的方程，利用点到直线的距离公式，求得点A 到直线CD 的距离，可得ACD ∆的面积．试题解析：（1）），点坐标为（则边中点为设2721,M M AC 设点D 坐标为（x ，y ），由已知得M 为线段BD 中点，有[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-27212122y x 解得⎩⎨⎧==83y x 所以D （3，8）（2）所以CD 边上的高线所在直线的斜率为15-故CD 边上的高线所在直线的方程为14(1)5y x -=-+，即为5190x y +-= （3）(2,3),(3,8)C D由C ，D 两点得直线CD 的方程为：570x y --=【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式． 20．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：面平面；（3）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接AC ，直线证明//EF PA ，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA ⊥面PDC ，进而转化为证明,PA PD PA DC⊥⊥，可证PAD ∆为等腰直角三角形，可得PA AD ⊥；由面PAD ⊥面ABCD 的性质及正方形ABCD 的性质可证CD ⊥面PAD ，得CD PA ⊥；（3）设PD 的中点为M ，连接,EM MF ，则EM P D ⊥，由此可知PD ⊥平面EFM ，则EM F ∠是二面角的平面角，通过解Rt FEM ∆可得所求二面角的正切值．试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点，为中点∴在中，//，且平面，平面 ∴（2）证明：面面，平面面又为正方形，且平面平面，∴，又是等腰直角三角形，又，且、面面又面，面面（3）解：设的中点为，连结，，则，由（2）知面面，是二面角的平面角P ABCD -ABCD a PAD ⊥ABCD PA PD AD ==E F PC BD EF PAD PAB ⊥PDC B PD C --B PD C --ABCD AC BD F = F AC E PC CPA ∆EF PA PA ⊆PAD EF ⊄PAD PAD EF 平面// PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD = ABCD ∴CD AD ⊥CD ⊂ABCD CD ⊥PAD CD PA ⊥2PA PD AD ==∴PAD ∆∴PA PD ⊥CD PD D = CD PD ⊆ABCD ∴PA ⊥PDC PA ⊆PAB ∴PAB ⊥PDC PD M EM MF EM PD ⊥EF ⊥PDC ∴EF PD ⊥∴PD ⊥EFM ∴PD MF ⊥∴EMF ∠B PD C --B在中，【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的求解．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m ，拱圈内水面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示．（1）建立适当平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m 2.45≈）【答案】（1）400；（2）0.9．【解析】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，确定,,A B D 三点的坐标，根据CD CB =，求解圆心坐标，从而得到圆的方程；（2）代入4x =，可得7.6y ≈米，可判断桥拱宽为8m 的地方距离正常水位时水面的宽度，通过比较可判断船是否通过．试题分析：（1）解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱圈最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A ，B ，D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C 在y 轴上，故可设C （0，b ）．因为|CD|=|CB|，所以8b -12b =-．所以圆拱所在圆的方程为： 2222(12)(812)20x y ++=+==400（2）当x=4时，求得y ≈7．6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7．60m ，距涨水后的水面约5．6m ，因为船高6．5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6．5-5．6=0．9（m ）以上，船才能顺利通过桥洞．【考点】圆的方程及其应用．22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠= ．Rt FEM ∆124EF PA a ==1122EM CD a ==4tan 12a EF EMF EM a ∠===（1）证明：1AB AC ⊥；（2）若2AB CB ==，1AC =111ABC A B C -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）由题目给出的边的关系，可取AB 的中点O ，连接1,OC OA ，通过证明AB ⊥平面1OAC ，即可证明1AB AC ⊥；（2）在三角形1OAC 中，由勾股定理得到1OA OC ⊥，再根据1OA AB ⊥，得到1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求解体积．试题解析：（1）取AB 的中点O ，连接OC 、1OA 、1A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ⊥，由于AB=AA 1，∠BA A 1=600，故,AA B ∆为等边三角形，所以OA 1⊥AB ．因为OC ⋂OA 1=O ，所以AB ⊥平面OA 1C ．又A 1C ⊆平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．（2）由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形， 12AA B 都是边长为的等边三角形，所以22111111,OC OA AC OA OC OA OC OA AB ===+⊥⊥ 又=A C ，故又111111111,--= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯= 因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC 的体积【考点】直线与平面垂直的判定与性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质和几何体的体积的计算，属于中档试题，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解答此类问题的关键是把线线垂直的证明转化为线与面垂直，利用线面垂直的性质证明1AB AC ⊥；第2问中，利用线面垂直，确定几何体的高是解答三棱锥的体积的是求解几何体体积的一个难点．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:16C x y +=和圆222:(7)(4)4C x y -+-=．（1）求过点(4,6)的圆1C 的切线方程；（2）设P 为坐标平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）512520x y -+=或4x =；（2）1(4,6)P 或2362(,)55P ．【解析】试题分析：（1）设出切线方程()64y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求解k 的值，从而确定切线的方程；（2）设出直线1l 的方程，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，确定,a b 的值，从而得到点的坐标．试题解析：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为()64y k x -=-，则圆心1C 到切线的距离4d ==，解得512k =所以切线的方程为：512520x y -+=;若切线的斜率不存在，则切线方程为4x =，符合题意．综上所述，过P 点的圆1C 的切线方程为512520x y -+=或4x =．（2）设点(,)P a b 满足条件，不妨设直线1l 的方程为：()(0)y b k x a k -=-≠，即0(0)kx y b ak k -+-=≠，则直线2l 的方程为：1()y b x a k-=--，即0x k y b k a +--=．因为圆1C 的半径是圆2C 的半径的2倍，及直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离是圆2C 的圆心到直线2l 的距离的2倍，2=整理得 214(28)ak b a b k -=-+-从而214(28)ak b a b k -=-+-或214(28)b ak a b k -=-+-，即(28)214a b k a b -+=+-或(28)214a b k a b +-=-++，因为k 的取值有无穷多个，所以2802140a b a b -+=⎧⎨+-=⎩或2802140a b a b +-=⎧⎨-++=⎩，解得46a b =⎧⎨=⎩或36525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，这样点P 只可能是点1(4,6)P 或点2362(,)55P ．经检验点1P 和点2P 满足题目条件．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式和方程问题的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系求解圆的切线方程及利用点到直线的距离公式和方程解问题的综合应用，属于难度较大的试题，并着重考查了转化的思想方法和计算能力．本题的解答中设出直线1l 的方程，根据垂直关系，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，是解答一个难点，平时应重视圆的转化思想在求解圆的方程中的应用．。

【解析版】福建师大附中-2013学年高一上学期期末考试数学试题

福建师大附中2012-2013学年高一（上）期末考试数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求），即点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．线线垂直6．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）==时有最小值的最小值为7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）的长度是直观图中梯形的高的×=2倍，故其面积是梯形2的面积为22=9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球\\B10．（5分）（2009•宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该为圆内一点得到：＜＞12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．（5分）过点A（a，4）和B（﹣1，a）的直线的倾斜角等于45°，则a的值是．=．故答案为：．14．（5分）直线kx﹣y+1=3k，当k变化时，所有直线都通过定点（3，1）15．（5分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是2．16．（5分）两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0间的距离是．=故答案为：17．（5分）集合A={（x，y）|x2+y2=4}，B={（x，y|（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2）}，其中r ＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是3或7．18．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A﹣BD﹣C，有如下四个结论：①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成60°的角④AB与CD 所成的角为60°；其中正确结论是①②④（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6题，满分60分）19．（8分）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．==20．（10分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），点D是线段AB上的动点．（1）求AB所在直线的一般式方程；（2）当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程．=，y=）21．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，点P为DD1的中点．（1）求证：直线BD1∥平面PAC；（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．依题意得，中，22．（10分）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．（1）建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；（2）为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．x=x=23．（10分）如图，四面体ABCD中，O．E分别为BD．BC的中点，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值．AB=AD=且，且斜边上的中线∴24．（10分）已知圆x2+y2﹣2ax﹣6ay+10a2﹣4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．r=2r=2，r=2=2，±44四、附加题.（10分）25．设M点是圆C：x2+（y﹣4）2=4上的动点，过点M作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．是否存在点M，使得线段DE 被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．则由题意得，，化简得：处的切线方程为轴的交点坐标为由题意知，，与。

精品解析：【百强校】福建师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一.选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.与-2002º终边相同的最小正角是( )A. 158ºB. 100ºC. 78ºD. 22º【答案】A【解析】【分析】把写成形式，则即为所求。

2.已知角的终边上有一点P的坐标是，则的值为( )A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案【详解】角的终边上有一点的坐标是则,故选【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，只需结合定义即可求出结果，属于基础题。

4.一个钟表的分针长为10，经过35 分钟，分针扫过图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可。

【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础5..设D为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合已知条件，运用向量的加减法运算求出结果【详解】如图所示，，故选【点睛】本题主要考查了平面向量的加法，减法以及其几何意义，属于基础题，注意数形结合。

福建省福州市福建师大附中2022年高一上数学期末考试试题含解析

a
a
∴b= a＞0，c= 2a＞0，∴ a = 1 ， b = 1 c 2 c2
故关于 x 的不等式 cx2+bx+a＞0，即 x2+ 1 x 1 ＞0，即（x+1）（x 1 ）＞0，
22
2
故 x＜ 1 或 x＞ 1 ，
2
故关于
x
的不等式
cx2+bx+a＞0
的解集是
，
1
1 2
，
，
故答案为
列出不等式组求解，即可得出结果.
【详解】因为函数 f (x) log1 x2 ax 3a 在区间[2, ) 是减函数，
2
所以只需二次函数 y x2 ax 3a 在区间[2, ) 是增函数，且 x2 ax 3a 0 在[2, ) 上恒成立；
所以有：
a 2
2
，解得 4 a 4；
故选:B 【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法,属于基础题. 6、D 【解析】求出 g(x)解析式，作出 g(x)图像，根据图像即可求解﹒
【详解】由题得
g x
sin
2x
3
，
g xmax
1，
g
x min
1，
∵ g x1 g x2 1 x1 x2 ，∴ g x1 ＝1 且 g x2 ＝－1 或 g x1 1且 g x2 ＝1，
5、B
【解析】在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, AC∥A1C1,所以 D1 A1C1 为异面直线 AC 与 A1D1 所成的角,由此能求出结果.
【详解】因为 AC∥A1C1,所以 D1 A1C1 为异面直线 AC 与 A1D1 所成的角,
因为 D1A1C1 是等腰直角三角形,所以 D1A1C1 45 .

【精品】2017-2018学年福建师大附中高一(上)期末数学试卷(逐题解析版)

2017-2018学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β3．（5分）已知直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1且l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣14．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣115．（5分）在正四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k 的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．28．（5分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（）A．B．C．D．9．（5分）直线y=x+m与曲线=x有公共点，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．[﹣4，4] C．[﹣4，4] D．[﹣4，4]10．（5分）已知圆C1（x+2）2+（y﹣1）2=1，圆C2（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上有四个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣10，10）D．（﹣10，﹣2）∪（2，10）12．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点二、填空题：每小题5分，共30分.13．（5分）设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点C距离为．14．（5分）已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为．15．（5分）已知实数a，b满足（x+5）2+（y﹣12）2=16，那么的最小值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m ∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．17．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）18．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=，BC=2，则三棱锥P ﹣ABC外接球的表面积为．三、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C 在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．20．（12分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求AE与平面BDE所成角的大小；（3）求三棱锥D﹣BEF的体积．21．（12分）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度EF=4m，拱高OM=6m，现有一艘船宽为4m，水面以上高4.5m（平顶），这条船能否从桥下通过？22．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与等边三角形PAD所在平面互相垂直，点E，F分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面EBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PFB？若存在，指出点N的位置，并证明结论；若不存在，说明理由．23．（12分）已知点A是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，点B的坐标是（﹣2，﹣4），线段AB中点的轨迹为M．（1）求轨迹M的方程；（2）斜率为1的直线l交轨迹M于P，Q两点．设点D（1，﹣2）．①若OP⊥OQ，求直线l的方程；②当△DPQ面积取最大值时，求直线l的方程．2017-2018学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷答案与解析一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】由题意可知，直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，设其倾斜角为α，由tanα=﹣，可得直线x+y+1=0的倾斜角．【解答】解：设其倾斜角为α，∵直线x+y+1=0的斜率为k=﹣，∴tanα=﹣，又α∈[0°，180°），∴α=120°．故选：C．【点评】本题考查直线的倾斜角，着重考查直线的倾斜角与斜率间的关系，属于基础题．2．（5分）设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m⊥α，n⊥β且α⊥β，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n 都平行的平面，则所得平面与α、β都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论．对于C、通过直线与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥β且α∥β，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m与n一定不平行，否则有α∥β，与已知α⊥β矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确．对于C，根据面面垂直的性质，可知m⊥α，n⊂β，m⊥n，∴n∥α，∴α∥β也可能α∩β=l，也可能α⊥β，故C不正确；对于D，若“m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β”，则“α∥β”也可能α∩β=l，所以D不成立．故选：B．【点评】本题考查直线与平面平行与垂直，面面垂直的性质和判断的应用，考查逻辑推理能力，基本知识的应用题目．3．（5分）已知直线l1：2x+ay=2，l2：a2x+2y=1且l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1 B．0 C．﹣1 D．0或﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：当a=0时，直线l1：x=1，l2：2y=1，此时满足l1⊥l2，∴a=0适合题意；当a≠0时，直线直线l1：2x+ay=2化为y=﹣+，可得斜率，l2：a2x+2y=1化为y=﹣，可得斜率k2=﹣．∵l1⊥l2，∴k1k2=﹣（﹣）=a=﹣1，解得a=﹣1，综上可得：a=0或a=﹣1．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．4．（5分）若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=（）A．21 B．19 C．9 D．﹣11【分析】化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值．【解答】解：由C1：x2+y2=1，得圆心C1（0，0），半径为1，由圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，∴圆心C2（3，4），半径为．∵圆C1与圆C2外切，∴，解得：m=9．故选：C．【点评】本题考查两圆的位置关系，考查了两圆外切的条件，是基础题．5．（5分）在正四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【分析】由A1B∥D1C，得∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成角，由此能求出异面直线A1B与AD1所成角的正弦值．【解答】解：在正四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD中，设AA1=2AB=2，∵A1B∥D1C，∴∠AD1C是异面直线A1B与AD1所成角，AD1=CD1=，AC=，∴cos∠AD1C==．∴sin∠AD1C==．∴异面直线A1B与AD1所成角的正弦值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（5分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k 的取值范围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]【分析】由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．【解答】解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．∴k的取值范围是．故选：D．【点评】本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A．3 B．2 C．2 D．2【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA===2，故选：B．【点评】本题考查了三视图的问题，关键画出物体的直观图，属于基础题．8．（5分）已知三棱柱A1B1C1﹣ABC的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（）A．B．C．D．【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B1到平面ABC1的距离．【解答】解：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（，，1），A（0，0，0），B（，，0），C1（0，1，1），=（，，1），=（，，0），=（0，1，1），设平面ABC1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣），∴点B1到平面ABC1的距离：d===．故选：A．【点评】本题考查点到平面的距离的求法，考查线线平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．9．（5分）直线y=x+m与曲线=x有公共点，则实数m的取值范围是（）A．[﹣4，4]B．[﹣4，4] C．[﹣4，4] D．[﹣4，4]【分析】由x=，化简得x2+y2=16，且x≥0，可知这个曲线应该是半径为4，圆心是（0，0）的半圆，化出图象，数形结合即可求出实数m的取值范围．【解答】解：由x=，化简得x2+y2=16，且x≥0，∴该曲线是半径为4，圆心是（0，0）的半圆，如图：直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣，当直线y=x+m经过点（0，4）时，m=4．∴直线y=x+m与曲线=x有公共点，则实数m的取值范围是[，4]．故选：C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．（5分）已知圆C1（x+2）2+（y﹣1）2=1，圆C2（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求出圆C1，C2的圆心坐标和半径，作出圆C1关于x轴的对称圆，连结，则与x轴的交点即为P点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点，|PM|+|PN|的最小值为||﹣（3+1）．【解答】解：由圆，圆，知圆C1的圆心为（﹣2，1），半径为1，圆C2的圆心为（3，4）半径为3．如图，圆C1关于x轴的对称圆为圆（x+2）2+（y+1）2=1．连结，交x轴于P，则P为满足使|PM|+|PN|最小的点，此时M点为PC1与圆C1的交点，N为PC2与圆C2的交点．最小值为||﹣（3+1），而||=，∴|PM|+|PN|的最小值为．故选：C．【点评】本题考查了圆方程的综合应用，考查了利用对称关系求曲线上两点间的最小距离，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上有四个不同点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣10，10）D．（﹣10，﹣2）∪（2，10）【分析】求出圆心和半径，比较半径和2，圆上有四个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离应小于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，若圆上有四个不同的点到直线l：x﹣y+b=0的距离为2，则圆心到直线的距离d=＜，∴﹣2＜b＜2，∴b的取值范围是（﹣2，2），故选：A．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．12．（5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为菱形，M是PC上的一个动点，若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是（）A．MD⊥MB B．MD⊥PCC．AB⊥AD D．M是棱PC的中点【分析】由已知得BD⊥PA，BD⊥AC，从而BD⊥平面PAC，进而BD⊥PC．由此得到当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，平面MBD⊥平面PCD．【解答】解：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，∴BD⊥PA，BD⊥AC，∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD．而PC属于平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．故选：B．【点评】本题考查面面垂直的条件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．二、填空题：每小题5分，共30分.13．（5分）设A（3，4，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB中点M到点C距离为．【分析】求出A，B的中点M的坐标，然后利用距离公式求解即可．【解答】解：设A（3，4，1），B（1，0，5），则AB中点M（2，2，3），∵C（0，1，0），∴M到点C距离为：=．故答案为：．【点评】本题考查空间点的坐标的求法，距离公式的应用，考查计算能力．14．（5分）已知过点M（﹣3，0）的直线l被圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，那么直线l的方程为x=﹣3或5x﹣12y+15=0．【分析】设直线方程为y=k（x+3）或x=﹣3，根据直线l被圆圆x2+（y+2）2=25所截得的弦长为8，可得圆心到直线的距离为3，利用点到直线的距离公式确定k值，验证x=﹣3是否符合题意．【解答】解：设直线方程为y=k（x+3）或x=﹣3，∵圆心坐标为（0，﹣2），圆的半径为5，∴圆心到直线的距离d==3，∴=3，∴k=，∴直线方程为y=（x+3），即5x﹣12y+15=0；直线x=﹣3，圆心到直线的距离d=|﹣3|=3，符合题意，故答案为：x=﹣3或5x﹣12y+15=0．【点评】本题考查了待定系数法求直线方程，考查了直线与圆相交的相交弦长公式，注意不要漏掉x=﹣3．15．（5分）已知实数a，b满足（x+5）2+（y﹣12）2=16，那么的最小值为6．【分析】推导出，（0≤θ＜2π），从而==2，进而当sinθ+γ）=﹣1时，取最小值为6．【解答】解：∵实数a，b满足（x+5）2+（y﹣12）2=16，∴，（0≤θ＜2π），∴===2，∴当sinθ+γ）=﹣1时，取最小值为6．故答案为：6．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查圆的参数方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m ∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．17．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是3寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．【点评】本题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是基础题．18．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=2，AB=AC=，BC=2，则三棱锥P ﹣ABC外接球的表面积为13π．【分析】根据已知利用正弦定理和余弦定理求出底面半径，及球心距，代入球的表面积公式，可得答案．【解答】解：∵AB=AC=，BC=2，∴cosA==，则sinA=，故底面ABC的外接圆半径r==，由PA⊥平面ABC，PA=2，得：球心到底面ABC的距离d=1，故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4π=13π，故答案为：13π．【点评】本题考查的知识点是球的体积和表面积，难度中档．三、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．（12分）如图，已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C 在直线l：x﹣2y+2=0上．（Ⅰ）求AB边上的高CE所在直线的方程；（Ⅱ）求△ABC的面积．【分析】（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2），利用斜率计算公式、点斜式即可得出．（II）由得C（4，3），利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（I）由题意可知，E为AB的中点，E（3，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）且k CE=﹣=1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴CE所在直线方程为y﹣2=x﹣3，即x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）由得C（4，3），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴|AC|=|BC|=，AC⊥BC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴S=|AC|•|BC|=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）△ABC【点评】本题考查了斜率计算公式、点斜式、两点之间的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20．（12分）如图，ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求AE与平面BDE所成角的大小；（3）求三棱锥D﹣BEF的体积．【分析】（1）由AC⊥BD，得DE⊥平面ABCD，从而AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．（2）设AC∩BD=O，连接AE，EO，由AC⊥平面BDE，得∠AEO是AE与平面BDE所成角，由此求出AE与平面BDE所成角．=V B﹣DEF，由（3）推导出平面ADEF⊥平面ABCD，从而AB⊥AD，三棱锥D﹣BEF的体积V D﹣BEF此能求出结果．【解答】证明：（1）∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD，DE⊂平面BDE，BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．…（4分）解：（2）设AC∩BD=O，连接AE，EO，∵AC⊥平面BDE，∴EO是直线AE在平面BDE上的射影，∴∠AEO是AE与平面BDE所成角，…（6分）在Rt△EAD中，EA==2，AO=，∴在Rt△EOA中，sin∠AEO==，∴∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成角为30°．…（8分）（3）∵DE⊥平面ABCD，DE⊂平面ADEF，∴平面ADEF⊥平面ABCD，∴AB⊥AD，∵平面ADEF∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADEF，…（10分）=V B﹣DEF===．…（12分）∴三棱锥D﹣BEF的体积V D﹣BEF【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（12分）如图是某圆拱桥的示意图，水面跨度EF=4m，拱高OM=6m，现有一艘船宽为4m，水面以上高4.5m（平顶），这条船能否从桥下通过？【分析】建立适当的平面直角坐标系xOy，利用坐标表示出点F、M，设出圆的标准方程并求出，再利用圆的方程判断这条船是否能从桥下通过．【解答】解：以EF所在直线为x轴，以OM所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy．则有F（2，0），M（0，6）；…（2分）由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为x2+（y﹣b）2=r2；∵F（2，0），M（0，6）在圆上∴；…（6分）解得，b=﹣2，r2=64；∴圆的方程是x2+（y+2）2=64；…（8分）当x=2时，（y+2）2=36；∵y＞0，∴y=4＜4.5 …（11分）∴这条船不能从桥下通过．…（12分）【点评】本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题．22．（12分）如图，正方形ABCD所在平面与等边三角形PAD所在平面互相垂直，点E，F分别为PC，AD的中点．（1）求证：PA∥平面EBD；（2）试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PFB？若存在，指出点N的位置，并证明结论；若不存在，说明理由．【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，则PA∥OE，由此能证明PA∥平面EBD．（2）取AB的中点N，连接CN，交BF于点M，推导出CN⊥BF，PF⊥AD，从而PF⊥平面ABCD，进而PF⊥CN，CN⊥平面PBF，由此能证明存在N为AB的中点，使得平面PCN⊥平面PFB．【解答】证明：（1）连接AC交BD于点O，连接OE．…（1分）∴O为AC的中点，∵点E为PC的中点，∴PA∥OE，…（3分）∵OE⊂平面EBD，PA⊄平面EBD，…（4分）∴PA∥平面EBD．解：（2）存在N为AB的中点，使得平面PCN⊥平面PFB．…（6分）证明：取AB的中点N，连接CN，交BF于点M，由正方形ABCD可知，△ABF≌△BCN，∴∠ABF=∠BCN，∵∠CNB+∠BCN=90°，∴∠CNB+∠ABF=90°，∴CN⊥BF，…（8分）∵平面ABCD⊥平面PAD，PF⊥AD，平面ABCD∩平面PAD=AD，PF⊂平面PAD，∴PF⊥平面ABCD，∵CN⊂平面ABCD，∴PF⊥CN，…（10分）∵BF、PF⊂平面PBF，BF∩PF=F，…（11分）∴CN⊥平面PBF，∵CN⊂平面PCN，∴平面PCN⊥平面PBF．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点的位置的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、几何体的内切球的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23．（12分）已知点A是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，点B的坐标是（﹣2，﹣4），线段AB中点的轨迹为M．（1）求轨迹M的方程；（2）斜率为1的直线l交轨迹M于P，Q两点．设点D（1，﹣2）．①若OP⊥OQ，求直线l的方程；②当△DPQ面积取最大值时，求直线l的方程．【分析】（1）设点M（x，y），点A（x0，y0）是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，根据线段AB中点的轨迹为M．结合中点坐标可得轨迹方程．（2）①设出直线方程，设而不求的思想，根据OP⊥OQ，即可求解．②设圆心（1，﹣2）到直线y=x+m的距离为d，即AB=2，那么△DPQ面积S=，转化为二次函数问题，即可求解．【解答】解：（1）设点M（x，y），点A（x0，y0），依题意得，即∵点A（x0，y0）是圆C：（x﹣4）2+y2=36上的动点，∴（x0﹣4）2+y02=36∴（2x+2﹣4）2+（2y+4）2=36整理可得（x﹣1）2+（y+2）2=9∴轨迹M的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2=9；（2）①假设存在直线l，设y=x+mA（x1，y1），B（x2，y2）∵OP⊥OQ，∴x1•x2+y1•y2=0由，得2x2+2（m+1）x+m2+4m﹣4=0，由△＞0得，．x1+x2=﹣m﹣1，∴y1•y2=（x1+m）（x2+m）=∴x1•x2+y1•y2=0即m2+3m﹣4=0解得：m=1或m=﹣4；∴直线l的方程为y=x+1或y=x﹣4②设圆心（1，﹣2）到直线y=x+m的距离为d∴AB=2∴△DPQ面积S===此时d==解得：m=0或m=﹣6，∴直线l的方程为y=x或y=x﹣6．【点评】考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．。

福建师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)

福建师大附中2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

福建师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(含解析)

福建师大附中2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

数学---福建师大附中2016-2017学年高一(上)期末试卷(解析版)

福建师大附中2016-2017学年高一（上）期末数学试卷一、选择题：每小题5分，共65分.在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求.1．直线的倾斜角为（）A．30o B．150o C．60o D．120o2．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤3．下列说法正确的是（）A．截距相等的直线都可以用方程表示B．方程x+my﹣2=0（m∈R）不能表示平行y轴的直线C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1=tanθ（x﹣1）D．经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线方程为4．已知两直线l1：x+my+4=0，l2：（m﹣1）x+3my+3m=0．若l1∥l2，则m的值为（）A．0 B．0或4 C．﹣1或D．5．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中正确的是（）A．m⊥α，α⊥β，m∥n⇒n∥βB．m∥α，α∩β=n⇒n∥mC．α∥β，m∥α，m⊥n，⇒n⊥βD．m⊥α，n⊥β，m∥n⇒α∥β6．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设直线A1B与平面A1DCB1所成角为θ1，二面角A1﹣DC﹣A的大小为θ2，则θ1，θ2为（）A．45o，30o B．30o，45o C．30o，60o D．60o，45o7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=18．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（）A．7 B．6 C．4 D．29．若直线y=x+m与曲线有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．10．在梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2．将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A． B． C． D．2π11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36 B．54+18 C．90 D．8112．如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，△PDC，△PBC，△P AB，△PDA为全等的等边三角形，E、F分别为P A、PD的中点，在此几何体中，下列结论中错误的为（）A．直线BE与直线CF共面B．直线BE与直线AF是异面直线C．平面BCE⊥平面P ADD．面P AD与面PBC的交线与BC平行13．如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ1，θ2（θ1，θ2均不为0）．若θ1=θ2，则动点P的轨迹围成的图形的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题5分，共25分.14．已知球O有个内接正方体，且球O的表面积为36π，则正方体的边长为．15．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是．16．无论λ取何值，直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0必过定点．17．已知圆心为C（0，﹣2），且被直线2x﹣y+3=0截得的弦长为，则圆C的方程为．18．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是．①EF∥平面ABCD；②平面ACF⊥平面BEF；③三棱锥E﹣ABF的体积为定值；④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30o．三、解答题：要求写出过程，共60分.19．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y ﹣6=0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程．20．如图，△ABC为等边三角形，EA⊥平面ABC，EA∥DC，EA=2DC，F为EB的中点．（Ⅰ）求证：DF∥平面ABC；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面AEB．21．已知线段PQ的端点Q的坐标为（﹣2，3），端点P在圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=4上运动．（Ⅰ）求线段PQ中点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程．22．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，CC1=2AC=2．（Ⅰ）求三棱锥C1﹣CB1A的体积；（Ⅱ）在线段BB1上寻找一点F，使得CF⊥AC1，请说明作法和理由．23．已知圆M（M为圆心）的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线P A、PB，切点为A、B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）求证：经过A、P、M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．参考答案一、选择题：每小题5分，共65分.在给出的A，B，C，D四个选项中，只有一项符合题目要求.1．D【解析】设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）．则tanθ=﹣，∴θ=120°．故选：D．2．A【解析】方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选A．3．D【解析】对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程表示，故错；对于B，当m=0时，方程x+my﹣2=0（m∈R）表示平行y轴的直线x=2，故错；对于C，经过点P（1，1），倾斜角为θ=900的直线方程不能写成y﹣1=tanθ（x﹣1），故错；对于D，∵x1≠x2，∴直线的斜率存在，可写成，故正确；故选：D．4．A【解析】①当m=0时，两条直线分别化为：x+4=0，﹣x=0，此时两条直线相互平行，因此m=0．②当m≠0时，两条直线分别化为：y=﹣x﹣，y=﹣x﹣1，由于两条直线相互平行可得：﹣=﹣，且﹣≠﹣1，此时无解，综上可得：m=0．5．D【解析】对于A，m⊥α，α⊥β，m∥n⇒n∥β或n⊂β，不正确；对于B，m∥α，m⊂β，α∩β=n⇒n∥m，不正确；对于C，α∥β，m∥α，m⊥n⇒n、β位置关系不确定，不正确；对于D，m⊥α，m∥n，∴n⊥α，∵n⊥β，∴α∥β，正确，故选D．6．B【解析】连结BC1，交B1C于O，连结A1O，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直线A1B与平面A1DCB1所成角θ1，∵BO=A1B，∴θ1=30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°．故选：B．7．A【解析】由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，故选：A．8．B【解析】底面ABC的面积设为S，则侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，水的体积为：，当底面ABC水平放置时，液面高为h，水的体积为：Sh=，可得h=6．9．D【解析】表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．作出曲线的图象，在同一坐标系中，再作出斜率是1的直线，由左向右移动，可发现，直线先与圆相切，再与圆有两个交点，直线与曲线相切时的m值为，直线与曲线有两个交点时的m值为1，则1．故选D．10．C【解析】由题意可知旋转后的几何体如图：将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积：=．故选：C．11．B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，前后侧面的面积为：3×6×2=36，左右侧面的面积为：3××2=18，故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．故选：B．12．C【解析】画出几何体的图形，如图，由题意可知，A，直线BE与直线CF共面，正确，因为E，F是P A与PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直线BE与直线CF是共面直线；B，直线BE与直线AF异面；满足异面直线的定义，正确．C，因为△P AB是等腰三角形，BE与P A的关系不能确定，所以平面BCE⊥平面P AD，不正确．D，∵AD∥BC，∴AD∥平面PBC，∴面P AD与面PBC的交线与BC平行，正确．故选C．13．D【解析】由题意，PE=BE cotθ1，PF=CF cotθ2，∵BE=CF，θ1=θ2，∴PE=PF．以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，设E（﹣，0），F（，0），P（x，y），则（x+）2+y2=[（x﹣）2+y2]，∴3x2+3y2+5ax+a2=0，即（x+a）2+y2=a2，轨迹为圆，面积为．故选：D．二、填空题：每小题5分，共25分.14．【解析】设正方体的棱长为x，则=36π，解得x=．故答案为．15．【解析】∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高h=2×sin60°=．16．（﹣3，3）【解析】直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由，求得x=﹣3，y=3，可得直线经过定点（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．17．x2+（y+2）2=25【解析】由题意可得弦心距d==，故半径r==5，故圆C的方程为x2+（y+2）2=25，故答案为：x2+（y+2）2=25．18．①②③④【解析】如图：对于①，∵面ABCD∥面A1B1C1D1，EF⊂面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故正确；对于②，动点E、F运动过程中，AC始终垂直面BEF，∴平面ACF⊥平面BEF，故正确；对于③，三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值，A到面BEF的距离为定值，故其体积为定值，故正确；对于④，令上底面中心为O，当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，可求解∠OBC1=300，故正确．故答案为：①②③④三、解答题：要求写出过程，共60分.19．解（1）因为AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD 的斜率为﹣3又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y﹣1=﹣3（x+1）．3x+y+2=0．（2）∵M为矩形ABCD两对角线的交点，则点M到直线AB和直线DC的距离相等∵DC∥AB∴可令DC的直线方程为：x﹣3y+m=0（m≠﹣6）M到直线AB的距离d==∴M到直线BC的距离即：=∴m=2或﹣6，又∵m≠﹣6∴m=2∴DC边所在的直线方程为：x﹣3y+2=020．（1）证明：取AB的中点G，连结FG，GC，∵在△EAB中，FG∥AE，，∵DC∥AE，，∴DC∥FG，FG=DC，∴四边形DCGF为平行四边形，则FD∥GC，又∵FD⊄平面ABC，GC⊂平面ABC，∴FD∥平面ABC；（2）证明：∵EA⊥面ABC，CG⊂平面ABC，∴EA⊥GC，∵△ABC为等边三角形，∴CG⊥AB，又EA∩AB=A，∴CG⊥平面EAB，∵CG∥FD，∴FD⊥面EAB，又∵FD⊂面BDE，∴面BDE⊥面EAB．21．解（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），则代入轨迹E的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；（Ⅱ）设Q（﹣2，3）关于x轴对称点Q'（﹣2，﹣3）设过Q'（﹣2，﹣3）的直线ℓ：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0 ∵，（5k﹣5）2=k2+125（k2﹣2k+1）=k2+124k2﹣50k+24=0，（3k﹣4）（4k﹣3）=0，∴或，∴反射光线所在，即4x﹣3y﹣1=0，即3x﹣4y﹣6=0．22．解（Ⅰ）取BC中点E连结AE，在等边三角形ABC中，AE⊥BC，又∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1CC1⊥面ABC，面BB1CC1∩面ABC=BC，∴AE⊥面BB1CC1，∴AE为三棱锥B1﹣ACC1的高，又∵AB=AC=BC=1，∴，又∵底面CC1B1为直角三角形，∴===1，∴三棱锥C1﹣CB1A的体积=．（Ⅱ）作法：在BB1上取F，使得，连结CF，CF即为所求直线．证明：如图，在矩形BB1C1C中，连结EC1，∵，，∴，∴Rt△C1CE∽Rt△CBF，∴∠CC1E=∠BCF，又∵∠BCF+∠FCC1=90°，∴∠CC1E+∠FCC1=90°，∴CF⊥EC1，又∵AE⊥面BB1C1C，而CF⊂面BB1C1C，∴AE⊥CF，又∵AE∩EC1=E，∴CF⊥面AEC1，又∵AC1⊂面AEC1，∴CF⊥AC1．23．解（1）设P（2m，m），由题可知，即（2m）2+（m﹣2）2=4，…解得：故所求点P的坐标为P（0，0）或．…（2）设P（2m，m），MP的中点，因为P A是圆M的切线所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：…化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故解得或即（0，2）和（）．…。

福建师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

福建师大附中 2018-2019 学年上学期期末考试高一数学试卷试卷说明：本卷共三大题，23 小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）一.选择题：每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.与-2002º终边相同的最小正角是( )A. 158ºB. 100ºC. 78ºD. 22º【答案】A【解析】【分析】把写成形式，则即为所求。

2.已知角的终边上有一点P的坐标是，则的值为( )A. -1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函数的定义即可求出答案【详解】角的终边上有一点的坐标是则,故选【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，只需结合定义即可求出结果，属于基础题。

3.已知[ x] 表示不超过实数x的最大整数，若是方程的根，则[]=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B4.一个钟表的分针长为10，经过35 分钟，分针扫过图形的面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析题意可知分针扫过图形是扇形，要求这个扇形的面积需要得到扇形的圆心角和半径，再代入扇形的面积公式计算即可。

【详解】经过35分钟，分针走了7个大格，每个大格则分钟走过的度数为钟表的分针长为10分针扫过图形的面积是故选【点睛】本题主要考查了求扇形面积，结合公式需要求出扇形的圆心角和半径，较为基础5..设D为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合已知条件，运用向量的加减法运算求出结果【详解】如图所示，，故选【点睛】本题主要考查了平面向量的加法，减法以及其几何意义，属于基础题，注意数形结合。

2023届福建省师范大学附属中学高一上数学期末经典试题含解析

A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．函数，若最大值为，最小值为，，则的取值范围是______.
14．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________
15．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为________
16．把函数的图像向右平移后，再把各点横坐标伸长到原来的2倍，所得函数解析式是______
∴ ，，，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于函数奇偶性的判断，同时需要注意到奇函数在定义域上如果有最值，那么最大值和最小值一定是互为相反数.
14、
【解析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“ ”的妙用，求得，解不等式即可得解.
【详解】根据题意先求得最小值，
由于小王的全年税前收入为180000元，
按照旧税率，小王的个人所得税为：
元
按照新税率，小王的个人所得税为：元
且元，
小王比原来每年少交12960元个人所得税.
【小问2详解】
①按照表1，假设个人全年应纳税所得额为x元，可得：
，
.
②按照表2中，级数3，；
按照级数2，；
显然，
所以应该参照“级数3”计算.
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
21、（1）2；（2）见解析
【解析】：（1）利用奇函数定义f（-x）=-f（x）中特殊值求a的值；
（2）按按取点，作差，变形，判断的过程来即可

2022-2023学年福建省福州市师大附中高一上数学期末调研试题含解析

故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.
10、D
【解析】利用函数的奇偶性的定义逐一判断即可.
【详解】A，因为函数定义域为：，且，所以为奇函数，故错误；
B，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；
C，，因为函数定义域为：R，，而，所以函数为非奇非偶函数，故错误；
由，
得
，
所以若要不等式恒成立，
只要，即，
解得，所以 .
故答案为：
14、
【解析】由题意根据数形结合，只要，并且对称轴在之间，，解不等式组即可
【详解】由题意，要使函数区间上有两个零点，
只要，即，解得，故答案为
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，函数零点的分布，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组，常见的形式有考虑端点值处函数值的符号，对称轴与所给区间的关系，对称轴处函数值的符号等，属于中档题.
（2）求点的坐标．
19．已知是偶函数，是奇函数，且，
（1）求和的表达式；
（2）若对于任意的，不等式恒成立，求的最大值
20．已知函数 .
（1）求的单调区间；
（2）若，且，求值.
21．设函数是定义在R上的奇函数.
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）若，且在上的最小值为2，求实数k的取值范围.
16．已知的顶点、、，试求：
（1）求边的中线所在直线方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
17．已知A，B，C为的内角.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：；
（3）设，且，，，求证：
18．已知的顶点，边上的高所在直线的方程为，边上中线所在的直线方程为

2022-2023学年福建师范大学大附属中学数学高一上期末质量检测试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5、A
【解析】首先根据解析式求值，结合奇函数有即可求得
【详解】∵x> 0时，＝x2＋
∴ ＝1＋1＝2
又为奇函数
∴
故选：A
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，结合解析式及函数的奇偶性，求目标函数值
6、A
【解析】
根据三角函数的定义计算可得结果.
【详解】因为，，所以，
所以 .
故选：A
7、B
【解析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的条件列出方程，即可求解.
C. D. 或 .
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．已知集合，，则集合中子集个数是____
14．函数，则 ________
15．设函数，若函数在上的最大值为M，最小值为m，则 ______
16．已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的直径为________
C.锐角三角形D.钝角三角形
4．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A.
B.
C.
D.
5．已知函数为奇函数，且当x> 0时，＝x2＋，则等于（）
A.－2B.0
C.1D.2
6．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，那么的值是（）

2021-2022学年福建师范大学附属中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年福建师范大学附属中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．与-2022°终边相同的最小正角是（） A ．138° B ．132° C ．58° D ．42°【答案】A【分析】根据任意角的周期性，将-2022°化为360k ϕ︒⋅+(0360)ϕ︒<<︒，即可确定最小正角.【详解】由-2022°3606138=-︒⨯+︒，所以与-2022°终边相同的最小正角是138°. 故选：A2．设3log 7a =， 1.12b =， 3.10.8c =，则（） A ．b a c << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b <<【答案】C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断a ，b ，c 的范围即可比较的大小. 【详解】因为3331log 3log 7log 92a =<=<=，即12a <<， 1.11222b =>=，即2b >， 3.1000.80.81c <=<=，即01c <<，所以c a b <<，故选：C.3．最小正周期为2π，且在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的函数是（）A ．y = sin x + cos xB ．y = sin x - cos xC ．y = sin x cos xD ．y =sin cos xx【答案】B【分析】选项A 、B 先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项C 先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项D 直接利用正切函数图象的性质去判断即可.【详解】对于选项A ,sin cos y x x =+π4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π2π1T ==, 单调递增区间为()πππ2π2π+242k x k k -≤+≤∈Z ，即()3ππ2π2π+44k x k k -≤≤∈Z ，该函数在3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项A 错误；对于选项B ,sin cos y x x =-π2sin 4x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最小正周期为2π2π1T ==, 单调递增区间为()πππ2π2π+242k x k k -≤-≤∈Z ，即()π3π2π2π+44k x k k -≤≤∈Z ，该函数在π3π,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项B 正确；对于选项C ,1sin cos sin 22y x x x ==，最小正周期为2ππ2T ==,单调递增区间为()ππ2π22π+22k x k k -≤≤∈Z ，即()ππππ+44k x k k -≤≤∈Z ，该函数在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为单调递增，则选项C 错误；对于选项D ,sin tan cos x y x x ==，最小正周期为πT =,在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭为单调递增，则选项D 错误；故选：B .4．已知1? 2?sin α + 32cos α = 4? 5?，则sin 43πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．-235B ．235 C ．- 4? 5?D ．4?5?【答案】C【分析】应用辅助角公式可得4sin()35πα+=，再应用诱导公式求目标三角函数的值.【详解】由题设，4sin()35πα+=，而44sin()sin()sin()3335πππαπαα+=++=-+=-.故选：C5．函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D【详解】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D.【解析】三角函数图像与性质6．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆-嫦娥五号返回：舱之所以能达到如此髙的再入精度，主要是因为它釆用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似(如图所示).现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s ，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于60m/s ，则至少还需要“打水漂”的次数为（）(参考数据：取lg2≈0.301， lg3≈0.477)A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【分析】设石片第n 次“打水漂”时的速率为vn ，再根据题设列不等式求解即可. 【详解】设石片第n 次“打水漂”时的速率为vn ，则vn ＝11000.9n -⨯. 由11000.960n -⨯<，得10.90.6n -<，则()1ln0.9ln0.6n -<，所以ln0.6lg0.6lg2lg310.2221 4.826ln0.9lg0.92lg310.046n +--->==≈≈--，故 5.826n >，又*N n ∈，所以至少需要“打水漂”的次数为6. 故选：C7．设函数f (x )=()212log ,0log ,0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是（）A ．()()1,00,1-B ．()(),11,-∞-+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃【答案】C【分析】由于a 的范围不确定，故应分0a >和0a <两种情况求解. 【详解】当0a >时，0a -<，由()()f a f a >-得212log log a a >，所以22log 0a >，可得：1a >，当0a <时，0a ->，由()()f a f a >-得()()122log log a a ->-，所以()22log 0a -<，即01a <-<，即10a -<<，综上可知：10a -<<或1a >. 故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数，解不等式的关键是对a 的范围讨论，分情况解，属于中档题.8．若方程x 2 +2x +m 2 +3m = m cos(x +1) + 7有且仅有1个实数根，则实数m 的值为（） A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-4【答案】A【分析】令22()(1)cos(1)38f x x m x m m =+-+++-，由对称轴为1x =-，可得(1)0f -=，解出m ，并验证即可.【详解】依题意，22(1)cos(1)380x m x m m +-+++-=有且仅有1个实数根. 令22()(1)cos(1)38f x x m x m m =+-+++-，对称轴为1x =-. 所以(1)f -=2280m m +-=，解得2m =或4m =-.当4m =-时，2()(1)4cos(1)4f x x x =+++-，易知()f x 是连续函数，又(1)4cos 20f =<，(2)54cos30f =+>，所以()f x 在[1,2]上也必有零点，此时()f x 不止有一个零点，故4m =-不合题意；当2m =时，2()(1)2cos(1)2f x x x =++++，此时()f x 只有1x =-一个零点，故2m =符合题意. 综上，2m =. 故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数22()(1)cos(1)38f x x m x m m =+-+++-，求出()f x 的对称轴，利用对称的性质得出()10f -=. 二、多选题9 ） A ．2sin15°cos15° B ．2sin 215°-1C ．23tan151tan 15︒-︒D ．()1tan1521tan15+︒-︒【答案】CD【分析】A 、B 应用二倍角正余弦公式化简求值；C 、D 根据同角三角函数的商数关系及平方关系、二倍角正余弦及正切公式化简求值. 【详解】A ：2sin15°cos15°1sin 302=︒=，不合题设；B ：2sin 215°-12(12sin 15)cos30=--︒=-︒=，不合题设；C ：23tan153tan 301tan 152︒=︒=-︒D ：2221tan15cos15sin15cos 15sin 15cos302(1tan15)2(cos15sin15)2(cos15sin15)2(1sin30)+︒︒+︒︒-︒︒====-︒︒-︒︒-︒-︒，符合题设. 故选：CD10．已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，满足()π6f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，，则以下结论正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线π6x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间()0,π上有两个零点【答案】ABD【分析】根据条件分别计算出函数的周期，以及ω的值，利用函数在π6x =处取得的最大值，求出ϕ值，最后利用对称性以及零点的性质分别判断即可. 【详解】设()f x 的周期为T ，由已知得()f x 的最大值为1，∵， ∴222π16224T +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得πT =，则A 正确；又∵2ππT ω==∴2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，又∵()f x 在π6x =处取得最大值， ∴()ππ22π 62k k ϕ⨯+=+∈Z ，即()π2π 6k k ϕ=+∈Z ，又∵π02ϕ<<，∴当0k =时，π6ϕ=，∴ π()sin(2)6f x x =+，∴对称轴为()πππ+ 622x k k +=∈Z ，即ππ26k x =+，当0k =时，π6x =，则B 正确；πππ5π033()sin(2)sin 66f =+=≠⨯，∴()f x 不关于点π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故C 错误；当0πx <<时，则ππ13π2666x <+<，即当π2π6x +=或π22π6x +=时()0f x =，即()f x 在区间()0,π上有两个零点，故D 正确；故选：ABD ．11．已知O 为坐标原点，点A (1，0)，P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，-sin β)，P 3(cos （α + β）， sin （α + β）)，则（） A ．OP 1 = OP 2 B ．AP 1= AP 2 C ．P 1P 2 = AP 3 D ．P 2P 3 = AP 1【答案】AC【分析】利用向量的坐标公式，结合同角三角函数的平方关系及三角恒等变换求各选项线段对应向量的模长，判断是否相等即可.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=-，则222212||cos sin cos (sin )||OP OP ααββ=+=+-=，正确； B ：1(cos 1,sin )AP αα=-，2(cos 1,sin )AP ββ=--，则1||(cos AP =2||(cos AP =1||AP 、2||AP不一定相等，错误； C ：12(cos cos ,sin sin )PP βαβα=---，3(cos()1,sin())AP αβαβ=+-+，则12||(cos PP =3||[cos(AP =12||PP =3||AP ，正确； D ：23(cos()cos ,sin()sin )P P αββαββ=+-++，1(cos 1,sin )AP αα=-，则23||[cos(P P =1||(cos AP =23||P P 、1||AP 不一定相等，错误；故选：AC12．高斯是世界最具盛名的数学家之一，一生成就极为丰硕，以他们名字“高斯”命名的成果有110个之多，属数学家之最，其中有“高斯函数”的定义为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y = [x ]称为高斯函数，例如[ -2.9] = -3，[2.6] = 2.已知函数f (x ) = sin|x | + |sin x |，函数g (x ) = [ f (x )]，则（） A ．g (x )的值域是{0，1，2} B ．g (x )是周期函数C ．g (x )的是偶函数D ．h (x ) = π·g (x ) - 2x 只有一个零点【答案】ACD【分析】根据题意，结合正弦函数的图象变换性质分析函数()f x 的图象，据此依次分析选项是否正确，综合可得答案．【详解】解：根据题意，()sin |||sin |f x x x =+，其定义域为R ，有()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数，对于0x >，当22k x k πππ<<+时，()2sin f x x =，当222k x k ππππ+<<+时，()0f x =，又由()f x 为偶函数，而()[()]g x f x =，则()f x 、()g x 的图象如图，据此依次分析选项：对于A ，易得()f x 的值域为[0，2]，则()[()]g x f x =的值域为{0，1，2}，A 正确；对于B ，sin ||x 不是周期函数，|sin |x 为周期函数，则()f x 不是周期函数，函数()g x 也不是周期函数，B 错误；对于C ，()f x 为偶函数，则()[()][()]()g x f x f x g x -=-==，函数()g x 为偶函数，C 正确；对于D ，函数()()2h x g x x π=⋅-的零点个数就是函数2y x π=与函数()g x 的交点的个数，设2()h x x π=，当0x =时，(0)0h =，当2x π=时，()12h π=，则2y x π=与()h x 只有(0,0)的1个交点，即()()2h x g x x π=⋅-只有一个零点，D 正确，故选：ACD ．三、填空题13．如图，扇形AOB 的周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______.【答案】2【分析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论．【详解】设半径为R ，则26R R +=，2R =，所以弧长为2l R ==，面积为1122222S lR ==⨯⨯=．故答案为：2． 14．若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan2α___________．【答案】34【分析】只需对分子分母同时除以cos α，将原式转化成关于tan α的表达式，最后利用方程思想求出tan α．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．【详解】解：sin cos 1sin cos 2αααα+=-∴sin 11cos sin 21cos αααα+=-，即tan 1tan 112αα-+=，tan 3α∴=-22tan 63tan 21tan 194ααα-∴===-- 故答案为：34【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．15．已知函数()()23log 2f x x ax a =-+在(1,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为____ .【答案】[]1,2-【分析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得a 的范围．【详解】解：函数23()log (2)f x x ax a =-+在(1,)+∞上单调递增，∴函数2()2t x x ax a =-+ 在(1,)+∞上单调递增，且()0t x >， ∴12(1)10at a ⎧⎪⎨⎪=+⎩，解得12a -，即[]1,2a ∈-，故答案为：[]1,2-．16．若1sin 4π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭= _________ .【答案】78【分析】分析π26α+和π6α-的关系可知ππ26π226αα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎛⎫⎭⎣= ⎪⎝⎭⎦+，然后用余弦的二倍角公式求解即可.【详解】∵1sin 4π6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππsin 262α⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πcos 26α⎛⎫=- ⎪⎝⎭2π12sin 6α⎛⎫=-- ⎪⎝⎭11216=-⨯78=.故答案为：78.17．函数f (x ) = sin x - 2cos x+ θ，则tan θ= _________ .【答案】12--0.5【分析】应用辅助角公式有())f x x ϕ=-tan 2ϕ=，由正弦型函数的性质可得322k πθπϕ=++，Z k ∈，再应用诱导公式求tan θ. 【详解】由题设，()cos cos sin ))f x x x x ϕϕϕ=-+=-tan 2ϕ=，令()0f x =，可得sin()1x ϕ-=-，即322x k ππϕ=++，Z k ∈，所以322k πθπϕ=++，Z k ∈，则311tan tan 2tan ,Z 22tan 2k k ππθπϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=++=+=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-18．正实数a ，b ，c 满足a + 2-a = 2，b + 3b = 3，c + 4log c = 4，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为 _________ . 【答案】b a c <<c a b >>【分析】利用指数的性质及已知条件求a 、b 的范围，讨论c 的取值范围，结合对数的性质求c 的范围【详解】由220a a -=->⇒02a <<⇒1214a -<<⇒722(1,)4a a -=-∈，由330b b =->⇒03b <<，又330b b =->⇒01b <<，当01c <<时，4log 40c c =-<，显然不成立；当1c =时，4log 0413c =≠-=，不成立；当1c >时，4log 40c c =->⇒14c <<⇒40log 1c <<⇒34c <<；综上，b a c <<. 故答案为：b a c << 四、解答题19．（1）计算：2log 351log 125lg21000-++；（2）化简：sin(2)cos()sin()223sin()cos()cos()2πππαααππαααπ-++-++--. 【答案】（1）23；（2）1【分析】（1）由题意利用对数的运算性质，计算求得结果．（2）由题意利用诱导公式，计算求得结果．【详解】解：（1）2log 351112log 125lg2331000333-++=-++=．（2）sin(2)cos()sin()sin (sin )cos 2213sin sin (cos )sin()cos()cos()2πππααααααπαααπαααπ-++-⋅-⋅==-⋅⋅--++--． 20．某同学作函数f (x ) = A sin(ωx +ϕ)0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的简图时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并求出f (x )的解析式； (2)若f (x )在区间(m ，0)内是单调函数，求实数m 的最小值. 【答案】(1)表格见解析，()3sin(2)6f x x π=-(2)6π-【分析】（1）由题意，根据五点法作图，利用正弦函数的性质，补充表格，并求出函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的单调性，求出实数m 的最小值．【详解】(1)解：作函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0>ω，||)2πϕ<的简图时，根据表格可得，3A =，124312πππω⨯=-，2ω∴=．结合五点法作图，2012πϕ⨯+=，6πϕ∴=-，故函数的解析式为()3sin(2)6f x x π=-．列表如下：(2)解：因为0m x <<，所以22666m x πππ-<-<-，若()f x 在区间(,0)m 内是单调函数，则262m ππ--，且0m <，解得06m π-<，故实数m 的最小值为6π-． 21．已知函数()2x f x =，2()45h x x x m =-+，g (x )与f (x )互为反函数.(1)若函数(())y g h x =在区间(32,2)m m -+内有最小值，求实数m 的取值范围； (2)若函数y = h (g (x ))在区间(1，2)内有唯一零点，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)4453m <<； (2)305m <<.【分析】（1）根据二次函数的性质研究()0h x >情况下的单调性和值域，根据对数复合函数的单调性及其开区间最值，列不等式求参数范围.（2）将问题化为()0h x =在(0,1)内有唯一零点，利用二次函数的性质求参数范围即可. 【详解】(1)由题设，2()log g x x =，22()45(2)54h x x x m x m =-+=-+-，所以()g x 在定义域上递增，()h x 在(,2)-∞上递减，在(2,)+∞上递增，又(())y g h x =在(32,2)m m -+内有最小值，当16200m ∆=-<，即45m >时，y 在(,2)-∞上递减，(2,)+∞上递增，此时()h x 的值域为[54,)m -+∞，则2[log (54),)y m ∈-+∞；所以32232222m m m m -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，可得4453m <<；当16200m ∆=-≥，即45m ≤时，(())y g h x=在(,2-∞上递减，(2)+∞上递增，此时(0,)+∞是()h x 值域上的一个子区间，则R y ∈；所以开区间(32,2)m m -+上不存在最值. 综上，4453m <<. (2)由(1,2)x ∈，则2()log (0,1)g x x =∈，要使(())y h g x =在 (1，2)内有唯一零点，所以()0h x =在(0,1)内有唯一零点，又()h x 开口向上且对称轴为2x =，所以(0)50(1)530h m h m =>⎧⎨=-<⎩，可得305m <<.22．已知有半径为1，圆心角为a （其中a 为给定的锐角）的扇形铁皮OMN ，现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.方案1：如图1，裁剪出的矩形ABCD 的顶点A ，B 在线段ON 上，点C 在弧MN 上，点D 在线段OM 上；方案2：如图2，裁剪出的矩形PQRS 的顶点P ，S 分别在线段OM ，ON 上，顶点Q ，R 在弧MN 上，并且满足PQ ∥RS ∥OE ，其中点E 为弧MN 的中点.(1)按照方案1裁剪，设∠NOC = θ，用θ表示矩形ABCD 的面积S 1，并证明S 1的最大值为1tan 22a ；(2)按照方案2裁剪，求矩形PQRS 的面积S 2的最大值，并与（1）中的结果比较后指出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形. 【答案】(1)()111cos 22sin 2tan S a a aθ=--，证明见解析； (2)()2max tan 4aS =，方案1可以裁剪出面积最大的矩形.【分析】（1）分别用含有θ的三角函数表示,AD AB ，写出矩形的面积，利用三角函数求最值；（2）利用（1）的结论，根据对称性知，矩形PQRS 的最大面积为tan 4a，然后利用作差法比较大小即可【详解】(1)在图1中，NOC θ∠=，()0,a θ∈，sin sin AD BC r θθ===，cos cos OB r θθ==，sin cos tan tan AD AB OB OA OB a aθθ=-=-=-， ()1sin 11cos21cos2111sin cos sin2sin2sin2sin cos2cos tan 2tan 2tan 2tan 2sin 2tan S a a a a a a aθθθθθθθθθ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当2aθ=时，矩形ABCD 的最大面积为1111tan 2sin tan 22a a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得证.(2)在图（2）中，设OE 与边PS ，QR 分别交于点G ，H ，由（1）的结论，可得矩形PQHG 的最大面积为1tan 24a，根据对称性知，矩形PQRS 的最大面积为tan4a . 因为a 为锐角，所以0,48a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，于是0tan tan 148a π<<<.因此，322tantan 144tan tan tan 022441tan 1tan 44aaa a a a a-=-=>--. 故按照方案1可以裁剪出面积最大的矩形，其最大面积为1tan 22a.23．在① f (x )是偶函数；②,04π⎛⎫⎪⎝⎭是f (x )的图象在y 轴右侧的第一个对称中心；③ f (x )相邻两条对称轴之间距离为2?π.这三个条件中任选两个．．，补充在下面问题的横线上，并解答.已知函数f (x ) = sin(ωx +ϕ)(ω > 0，0 < ϕ < π)，满足________. (1)求函数f (x )的解析式； (2)将函数y = f (x )的图象向右平移π4?个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y = g (x )；若函数F (x ) = f (x ) + k g (x )在(0，nπ)内恰有2021个零点，求实数k 与正整数n 的值. 【答案】(1)()cos 2f x x = (2)1k =-，1347n =．【分析】（1）根据三角函数的图象和性质，求出ω 和ϕ的值即可，（2）根据函数图象变换关系，求出()g x 以及()F x 的解析式，根据函数零点性质建立方程进行讨论求解即可．【详解】(1)解：①()f x 是偶函数；②(4π，0)是()f x 的图象在y 轴右侧的第一个对称中心；③()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π．若选择①②，由①()sin()f x x ωϕ=+是偶函数，2πϕ∴=．即()sin()cos 2f x x x πωω=+=，由②(4π，0)是()f x 的图象在y 轴右侧的第一个对称中心；则42ππω=，得2ω=，即()cos 2f x x =．选择①③：由①()sin()f x x ωϕ=+是偶函数，2πϕ∴=．即()sin()cos 2f x x x πωω=+=，由③知：()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π． ∴22T π=，即T π=，则2ππω=，则2ω=，则()cos 2f x x =．若选②③：③知：()f x 相邻两条对称轴之间距离为2π． ∴22T π=，即T π=，则2ππω=，则2ω=，则()sin(2)f x x ϕ=+，由②(4π，0)是()f x 的图象在y 轴右侧的第一个对称中心；24πϕπ∴⨯+=，得2ϕπ=，则()sin(2)cos 22f x x x π=+=，综上()cos 2f x x =．(2)解：依题意，将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位，得cos2()cos(2)sin 244y x x x ππ=-=-=，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到sin y x =，可得()sin g x x =，所以2()cos 2sin 2sin sin 1F x x k x x k x =+=-++，当0k =时，()cos 2F x x =，则()F x 在(0,)n π内的零点个数为偶数个， ()F x 在(0,)n π内恰有2021个零点，为奇数个零点，故0k ≠，令()0F x =，可得22sin sin 10x k x --=，令sin [1t x =∈-，1]，则2210t kt --=，△280k =+>，则关于t 的二次方程2210t kt --=必有两个不等的实根，1t ，2t ，且1212t t =-，则1t ，2t 异号，①当10||1t <<，且20||1t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间(0，)(*)n n N π∈均有偶数个根，从而22sin sin 10x k x --=在区间(0，)(*)n n N π∈有偶数个根，不符合题意； ②当10||1t <<，且2||1t >时，则方程1sin x t =在区间(0,)n π有偶数个根，2sin x t =无解，从而方程22sin sin 10x k x --=在(0,)n π有偶数个根，不合题意．同理，当20||1t <<且1||1t >时，从而方程22sin sin 10x k x --=在(0,)n π有偶数个根，不合题意．③当11t =，2102t =-<，当(0,2)x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以关于x 的方程22sin sin 10x k x --=在(0,2)π有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x k x --=在(1346,1347)ππ只有一个根，在区间(1347,1348)ππ上无实解，方程2sin x t =在区间(1346,1347)ππ上无实解，在区间(1347,1348)ππ上有两个根．所以关于x 的方程22sin sin 10x k x --=在区间(0,1347)π上有2020个根．在区间(0,1348)π上有2022个根．不合题意． ④当11t =-时，则212t =，当(0,2)x π∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以关于x 的方程22sin sin 10x k x --=在(0,2)π上有三个根，由于202136732=⨯+，则方程22sin sin 10x k x --=在(0,1347)π上有36732019⨯=个根．由于方程1sin x t =在区间(1346,1347)ππ上无实数根，在区间(1347,1348)ππ上只有一个实数根．由于方程2sin x t =在区间(1346,1347)ππ上有两个实数根，在区间(1347,1348)ππ上只有一个实数根．因此关于x 的方程22sin sin 10x k x --=在(0,1347)π上有2021个根，在区间(0,1348)π上有2022个根，因此22(1)(1)110k k ⨯----=+=．所以解得1k =-，1347n =．。