2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09(解析版)

2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷09

数学试题I

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

1. 函数y ＝x －1的定义域为A ，函数y ＝lg(2－x)的定义域为B ，则A∩B ＝____________． 答案：[1，2)

解析：易知A ＝[1，＋∞)，B ＝(－∞，2)，A∩B ＝[1，2)．

2. 已知⎝⎛⎭

⎫1＋2i 2

＝a ＋bi(a 、b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝__________． 答案：－7

解析：∵ 2i ＝－2i ，∴ (1＋2i

)2＝(1－2i)2＝－3－4i ，∴ a ＝－3，b ＝－4，a ＋b ＝－7. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 29－y 2m

＝1的一个焦点为(5，0)，则实数m ＝________． 答案：16

解析：由题知a 2＋b 2＝9＋m ＝25，∴ m ＝16.

4. 样本容量为100的频率分布直方图如图所示，由此估计样本数据落在[6，10]内的频数为________．

(第4题)

答案：32

解析：[6，10]内的频数为100×0.08×4＝32.

5. “φ＝π2

”是“函数y ＝sin(x ＋φ)的图象关于y 轴对称”的__________条件． 答案：充分不必要

解析：当φ＝π2时，y ＝sin(x ＋π2)＝cosx 为偶函数，当y ＝sin(x ＋φ)为偶函数时，φ＝kπ＋π2

， 6. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－1，S 3＝6，则S 6＝________．

答案：39

解析：由题设知a 1＝－1，a 2＋a 3＝7，从而d ＝3，从而a 6＝－1＋5d ＝14，S 6＝(－1＋14)×62

＝39. 7. 函数y ＝1lnx

(x≥e)的值域是________． 答案：(0，1]

解析：y ＝1lnx

为[e ，＋∞)上单调递减函数，从而函数值域为(0，1] 8. 执行下面的程序图，那么输出n 的值为____________．

答案：6

解析：由题知流程图执行如下：

第1次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，S ＝1，第2次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝3，S ＝3，第3次 ⎩⎪⎨⎪⎧n ＝4，S ＝7，第4次 ⎩

⎪⎨⎪⎧n ＝5，S ＝15， 第5次 ⎩

⎪⎨⎪⎧n ＝6，S ＝31.停止输出n ＝6. (第8题)

9. 在1，2，3，4四个数中随机地抽取1个数记为a ，再在剩余的三个数中随机地抽取1个数记为b ，

则“a b

是整数”的概率为____________． 答案：13

解析：由题设可求出基本事件如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)．

其中a b 整数的个数为4，从而所求概率为43×4＝13

. 10. 已知△ABC 为等腰直角三角形，斜边BC 上的中线AD ＝2，将△ABC 沿AD 折成60°的二面角，连结BC ，则三棱锥CABD 的体积为____________． 答案：233

解析：如下图所示：

作BC 中点E ，连结DE 、AE ，则易知BC ⊥平面ADE ， 从而V CABD ＝13

S △ADE ·BC ，又DE ＝3，AE ＝7， 从而V CABD ＝13×12×2×3×2＝23

3. 11. 直线y ＝kx 与曲线y ＝2e x 相切，则实数k ＝__________．

答案：2e

解析：设切点(x 0，2ex 0)，则切线方程为y ＝2ex 0(x －x 0)＋2ex 0，又切线过点(0，0)，得x 0＝1，从而切点为(1，2e)，从而k ＝2e.

12. 已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →·BC →＝2，OB →·CA →＝3，则OC →·AB →＝____________．

答案：－5

解析：由题设知OA →(OC →－OB →)＝2，OB →(OA →－OC →)＝3，两式相加得OA →·OC →－OB →·OC →＝5，即OC →·(OA →－OB →)

＝5，从而OC →·AB →＝－5.

13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________．

答案：14

解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14

. 14. 已知x 、y ∈R ，满足2≤y≤4－x ，x≥1，则x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1

的最大值为____________． 答案：103

解析：由题易知x 2＋y 2＋2x －2y ＋2xy －x ＋y －1＝（x ＋1）2＋（y －1）2（x ＋1）（y －1）＝x ＋1y －1＋y －1x ＋1，令t ＝y －1x ＋1

，则由线性规划知t ∈[13，1]，从而t ＋1t ∈[2，103

]． 二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且

tanB tanA ＋1＝2c a

. (1) 求角B ；

(2) 若cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13

，求sinA 的值． 解：(1) 由tanB tanA ＋1＝2c a 及正弦定理，得sinBcosA cosBsinA ＋1＝2sinC sinA

，(2分) 所以sinBcosA ＋cosBsinA cosBsinA ＝2sinC sinA

， 即sin （A ＋B ）cosBsinA ＝2sinC sinA ，则sinC cosBsinA ＝2sinC sinA . 因为在△ABC 中，sinA≠0，sinC≠0，

所以cosB ＝12

.(5分) 因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3

.(7分) (2) 因为0＜C ＜2π3

， 所以π6＜C ＋π6＜5π6

. 因为cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝13

， 所以sin(C ＋π6)＝223

.(10分) 所以sinA ＝sin(B ＋C)＝sin ⎝⎛⎭

⎫C ＋π3 ＝sin ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫C ＋π6＋π6(12分) ＝sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6cos π6＋cos(C ＋π6)sin π6