单自由度阻尼强迫振动

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稳态响应解的向量表示
kX
F0
cω X
mω 2 X
X= F0
ωt
ωt − φ
Reference
( k − mω ) + ( cω )
2 2
2 X 0ωn
2
cω , φ = tan 2 k − mω
−1
X=
(ω
2 n
−ω
2 2
) + ( 2ζω ω )
n
2
2ζωn ω , φ = arctan 2 ωn − ω 2
&& − mx = − mω 2 X sin (ωt − φ + π )
− kx = −kX sin (ωt − φ ) & −cx = −cω X sin (ωt − φ + π 2 )
注意: 惯性力方向与位移一致，回复力方向与位移反向。 注意 惯性力方向与位移一致，回复力方向与位移反向。阻力垂直于回复 力。 10
(
)
0
x
0
10
20
30
40 t (s)
50
60
70
80
23
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能量平衡
激励力在稳态强迫振动一个周期内做功： 激励力在稳态强迫振动一个周期内做功：
∆E1 =
∫ Fdx = ∫
2π ω
0
F0 sin ωtX ω cos (ωt − φ ) dt
1 2π ω = F0 X ω ∫ sin ( 2ωt − φ ) + sin φ dt 0 2 = π F0 X sin φ
（7） ）
要使式（ ）恒成立， 要使式（7）恒成立，则有
2 2 (ωn − ω 2 ) X cos φ + 2ζωn ω X sin φ = X 0ωn 2 − (ωn − ω 2 ) X sin φ + 2ζωn ω X cos φ = 0
（8） ）
5
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求解微分方程
Q
β
1 记： Q = β Ω=1 = 品质因子 2ξ
在共振峰的两侧取与 β = Q / 2 对应的两点 ω1 ，ω2
Q/ 2
2ξ
∆ω = ω 2 − ω1 带宽
ω1 1 ω2 ωn ωn
Ω
ωn Q与 ∆ω 有关系 ： Q = 与 ∆ω
阻尼越弱， 越大 越大， 阻尼越弱，Q越大，带 宽越窄， 宽越窄，共振峰越陡峭
（6） ） 4
2 = X 0ωn sin ωt
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求解微分方程
经三角函数运算将式（ ） 经三角函数运算将式（6）写为
2 (ωn − ω 2 ) X cos φ + 2ζωnω X sin φ sin ωt 2 + − (ωn − ω 2 ) X sin φ + 2ζωn ω X cos φ cos ωt 2 = X 0ωn sin ωt
Ω
2 3
当阻尼很小时（ 当阻尼很小时（ ζ 1）， 放大因子在频率比为1时近 放大因子在频率比为 时近 似取极大值 1 Ω = 1, β max = 2ζ 15
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
1 时（ω << ωn）
5 4
β
ξ
0 0.1
（1）当 Ω ）
21
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相频曲线
相位差
180
φ
φ = arctan
2ζΩ 1 − Ω2
90
（1）当 Ω ） 相位差 （2）当 Ω ）
1 时（ ω
ω n）
φ ≈ 0 位移与激振力在相位上几乎相同
1 时（ ω
0 0
Ω
1 2 3
ωn ）
π
φ ≈ π 位移与激振力反相
（3）当 Ω ≈ 1 时（ ω ≈ ωn ） ） 共振时的相位差为 ，与阻尼无关 2 22
11
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稳态响应解的向量表示
kX
F0
cω X
mω 2 X
（1）当 Ω ）
ωt
ωt − φ
Reference
1时
阻尼力和惯性力较小，主要是弹簧回复力与外力平衡。 φ → 0 ，阻尼力和惯性力较小，主要是弹簧回复力与外力平衡。
12
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稳态响应解的向量表示
cω X kX
F0
5 4
β
ξ
0
0.1
（4）当 Ω ≈ 1 时（ω ≈ ω n ） ） 对应于较小 ξ 值， β 迅速增大 当 ξ =0 结论： 结论：共振
3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
β →∞
振幅无穷大
Ω
2 3
但共振对于来自阻尼的影响很敏感， 但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 Ω =1 附近的区域内 ，增加阻尼使振幅明显下降
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第六讲 单自由度线性阻尼系统强迫振动
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引言
x t
无阻尼系统： 无阻尼系统： 共振振幅随时间无限增大
无阻尼系统共振建立过程
x
0
t
0 10 20 30 40 t (s) 50 60 70 80
阻尼系统： 阻尼系统： 共振振幅随时间有限增大
x
阻尼系统共振建立过程
2
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常数A 由初始条件确定， ， 由式（ ）确定。 常数 ，B由初始条件确定，X，φ 由式（9）确定。 由初始条件确定 对应于初始条件 可确定常数A 可确定常数 ，B
（12） ）
& & x ( 0 ) = x0 , x ( 0 ) = x0
（13） ）
A = x0 + X sin φ 1 & B = ω ( x0 + ζωn x0 + ζωn X sin φ − ω X cos φ ) d
x = X sin (ωt − φ ) & x = ω X cos (ωt − φ ) = ω X sin (ωt − φ + π 2 ) && = −ω 2 X sin (ωt − φ ) = ω 2 X sin (ωt − φ + π ) x
注意: 速度和加速度的相位分别领先位移 度和 度和180度，即位移向量与速度 注意 速度和加速度的相位分别领先位移90度和 度 向量垂直，位移向量与加速度向量反向。 向量垂直，位移向量与加速度向量反向。 弹簧回复力： 弹簧回复力： 阻尼力： 阻尼力： 惯性力： 惯性力：
（3） ）
x1 = e −ζωnt ( A cos ωd t + B sin ωd t )
其中， 其中， ωd = 1 − ζ
2
（4） ）
ωn
。 特解可表示为 （5） ）
x2 = X sin (ωt − φ )
将式（ ）代入运动方程（ ） 将式（5）代入运动方程（2）得
(ω
2 n
− ω 2 ) X sin (ωt − φ ) + 2ξωnω X cos (ωt − φ )
14
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幅频曲线
放大因子
β=
X = X0
1
(1 − Ω ) + ( 2ζΩ )
2 2
2
（16） ）
β
5 4 3 2 1 0 0 1
ξ
0 0 .1
由 dβ = 0，可求放大因子 dΩ 取极大值时对应的频率比
0.25 0.375
0.5 1
Ω = 1 − 2ζ 2 1 β max = 2ζ 1 − ζ 2
mω 2 X
ωt
Reference
φ
（2）当 Ω = 1 时 ）
φ=
π
，外力用于克服阻尼力，惯性力与弹簧回复力平衡。 外力用于克服阻尼力，惯性力与弹簧回复力平衡。
2
13
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稳态响应解的向量表示
cω X
mω X
2
kX
F0
ωt
Reference
φ
（3）当 Ω ）
1时
φ → π ，惯性力比较大，外力主要克服惯性力。 惯性力比较大，外力主要克服惯性力。
阻尼力在稳态强迫振动一个周期内做功： 阻尼力在稳态强迫振动一个周期内做功：
∆E2 =
& ∫ −cxdx = − ∫
2π ω
0 2
c X ω cos (ωt − φ ) dt
2 2
1 2π ω = −cX ω ∫ cos ( 2ωt − 2φ ) − 1 dt 0 2 = −π cX 2ω
（1） ）
运动微分方程可改写为
2 2 && + 2ζωn x + ωn x = X 0ωn sin ωt & x
（2） ） 3
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求解微分方程
方程（ ）的通解包含两部分：齐次通解（ 方程（2）的通解包含两部分：齐次通解（F=0）和特解 ）
x = x1 + x2
在亚临界阻尼情形下（ ），齐次通解为 在亚临界阻尼情形下（ ζ < 1 ），齐次通解为
（14） ）
7
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求解微分方程
因此， 因此，对应于该初始条件的解为
& x0 + ζωn x0 −ζωnt sin ωd t x=e x0 cos ωd t + ωd
−ζωnt
自由振动（初始条件） 自由振动（初始条件） 自由振动（简谐激励） 自由振动（简谐激励）
1 时（ ω
5
β
ξ
0
0.1
（2）当 Ω ）
ωn）
4 3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
激振频率相对于系统固有 频率很高
β ≈0
结论： 结论：响应的振幅很小
Ω
2 3
x = X sin(ωt −φ) = β X0 sin(ωt −φ)
17
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
运动微分方程
Newton’s Law
&& mx = ∑ F && & mx = F0 sin ωt − kx − cx
由牛顿第二定律， 由牛顿第二定律，可知运动微分方程
&& & mx + cx + kx = F0 sin ωt
引入记号 ωn =
F k c c ,ζ = = , X0 = 0 m 2mωn 2 mk k
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共振
当
ω = ωd = ω n 1 − ζ
2
对应于初始条件
2 & & x ( 0 ) = x0 , x ( 0 ) = x0
时，有
φ≈
π
X≈
X0 2ζ
由式（ ）可见，这时运动方程（ ） 由式（15）可见，这时运动方程（1）的近似解为 X X ζ x ≈ − 0 1 − e −ζωn t cos ωt + 0 e−ζωn t sin ωt 2ζ 2ζ 1 − ζ 2
5 4
β
ξ
0
0.1
（3）在以上两个区域 ）
Ω 1
Ω 1
3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
Ω
2 3
曲线较为密集， 对应于不同 ξ 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 曲线较为密集 结论： 结论：系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
18
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
ζωn sin φ − ω cos φ + Xe sin ωd t sin φ cos ωd t + ωd （15） ） + X sin (ωt − φ ) 稳态强迫振动
8
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稳态响应解的向量表示
9
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稳态响应解的向量表示
稳态响应： 稳态响应： 速度： 速度： 加速度： 加速度：
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能量平衡
由于： 由于：
F0 sin φ = kX 0 =
2ζωnω
(ω
2 n
2 n
−ω
2 2
2 2
) + ( 2ζω ω )
n 2 n
2
2 mωn 2ζωnω X 0
(ω
−ω
) + ( 2ζω ω ) (ω
（9） ）
(
) (
ωn
X0
2 2
)
（10） ）
引入频率比 Ω = ω
X=
(1 − Ω ) + ( 2ζΩ )
2
,来自百度文库φ = arctan
2ζΩ 1 − Ω2
（11） ） 6
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求解微分方程
因此，微分方程（ ） 因此，微分方程（2）的通解为
x = e −ζωnt ( A cos ωd t + B sin ωd t ) + X sin (ωt − φ )
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
5 4
β
ξ
0
0.1
1 （4）当 ξ > ） 时 2
振幅无极值
β max =
1
β <1
3 2 1 0 0 1
0.25 0.375 0.5 1
Ω
2 3
2ζ 1 − ζ 2
20
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品质因子
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
3 2
0.25 0.375
0.5 1
激振频率相对于系统固有 频率很低
1 0 0 1
β ≈1
Ω
2 3
结论：响应的振幅 X 与静位移 X0 相当 结论：
x = X sin(ωt −φ ) = β X0 sin(ωt −φ )
16
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稳态响应的特性
β=
1 (1 − Ω 2 ) 2 + (2ξΩ) 2
解方程（ ） 解方程（8）得
2 2ζωnω X 0ωn X sin φ = 2 2 2 2 (ωn − ω ) + ( 2ζωnω ) (ωn2 − ω 2 ) X 0ωn2 2 X cos φ = 2 2 2 (ωn − ω ) + ( 2ζωnω ) 2 X 0ωn 2ζωn ω X= , φ = arctan 2 2 2 ωn − ω 2 2 2 ωn − ω + 2ζωn ω