2019年山东潍坊中考数学试题含详解

山东省潍坊市二〇一九年初中学业水平考试考试时间：120分钟 满分：120分{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 12小题，每小题3分，共36分． {题目}1．（2019年山东潍坊T1）2019的倒数的相反数是（ ）A ．－2019B ．－12019C ．12019D ．2019{答案}B{}本题考查了倒数与绝对值的概念，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为倒数．2019的倒数是12019，12019的相反数是－12019．{分值}3{章节:[1-1-2-3]相反数} {考点:相反数的定义} {考点:倒数} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:1-最简单}{题目}2．（2019年山东潍坊T2）下列运算正确的是（ ） A ．3a ×2a=6a B ．a 8÷a 4=a 2 C ．－3(a －1)=3－3a D ．(31a 3)2=91a 9{答案}C{}本题考查了整式的运算、去括号与幂的运算性质，解题的关键是正确按照各运算法则与性质进行计算．3a ×2a=6a 2，故A 错误；a 8÷a 4=a 4，故B 错误；－3(a －1)=－3a+3=3－3a ，故C 正确；(31a 3)2=91a 6，故D 错误． {分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:去括号}{考点:单项式乘以单项式} {考点:同底数幂的除法} {考点:积的乘方} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:1-最简单}{题目}3．（2019年山东潍坊T3）“十三五”以来，我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程．截止去年9月底，各地已累计完成投资1.002×1011元．数据1.002×1011可以表示为（ ） A ．10.2亿 B ．100.2亿 C ．1002亿 D ．10020亿 {答案}C{}本题考查了科学记数法表示数的知识．科学记数法a ×10n 中，a 的整数位数只有1位．当原数的绝对值≥10时，确定n 的方法是：①把已知数的小数点向左移动的位数即为n 值；②n 等于原数的整数位数减1．当原数的绝对值＜1时，确定n 的方法是：①把已知数的小数点向右移动几位数，n 就为负几；②n 等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的那个0）的相反数． 对于含有计数单位并需转换单位的科学记数法，利用1亿=1×108，1万=1×104，1千=1×103来表示，可使问题简化．本题中1.002×1011=1.002×103×108=1002亿． {分值}3{章节:[1-1-5-2]科学计数法}{考点:由科学计数法推导原数}{类别:常考题}{类别:易错题}{难度:1-最简单}{题目}4．（2019年山东潍坊T4）如图是由10个同样大小的小正方体摆成的几何体．将小正方体①移走后，则关于新几何体的三视图描述正确的是（）A．俯视图不变，左视图不变B．主视图改变，左视图改变C．俯视图不变，主视图不变D．主视图改变，俯视图改变{答案}A{}本题考查了识别几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的平面图形，合称三视图，属于正投影．三视图的主要特征是：长对正、高平齐、宽相等．该题中．将小正方体①移走后，只有主视图发生改变，左视图与俯视图均未改变．{分值}3{章节:[1-29-2]三视图}{考点:几何体的三视图}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}5．（2019年山东潍坊T5）利用教材中时计算器依次按键下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（）A．2.5 B．2.6 C．2.8 D．2.9{答案}B{}本题考查了利用计算器进行开方运算，能读懂计算器的按键功能是关键．该题利用计算器计算7的值，利用计算器计算显示7=2.645751311，最接近的一个是 2.6．也可以通过笔算获解，因为(7)2=7，2.52=6.25，2.62=6.76，2.82=7.84，所以与7最接近的一个数是2.6．{分值}3{章节:[1-6-3]实数}{考点:计算器求算术平方根}{类别:常考题}{难度:1-最简单}{题目}6．（2019年山东潍坊T6）下列因式分解正确的是（）A．3ax2－6ax=3(ax2－2ax) B．x2+y2=(－x+y)(－x－y)C．a2+2ab－4b2=(a+2b)2D．－ax2+2ax－a=－a(x－1)2{答案}D{}本题考查了因式分解．把一个多项式分解因式时一般先提公因式，然后再考虑套用公式，分解因式一定要彻底．选项A分解不彻底，选项B中x2+y2无法分解，选项C中应为a2+4ab+4b2=(a+2b)2，选项D中，－ax2+2ax－a=－a(x2－2x+1)=－a(x－1)2，故D正确．{分值}3{章节:[1-14-3]因式分解}{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－完全平方式}{类别:常考题}{类别:易错题} {难度:2-简单}{这 ） A ．97.5 2.8 B ．97.5 3 C ．97 2.8 D ．97 3 {答案}B{}本题考查了求一组数据的中位数与方差，解题的关键是掌握中位数的概念与方差的求解公式．表格中给出的10个数据已经按大小顺序排列，处于中间位置的第5、6个数分别是97、98，它们的平均数是97.5，所以该组数据的中位数是97.5；这组数据的平均数为1010049829729594+⨯+⨯+⨯+=97，故这组数据的方差为S 2=101[(94－97)2+(95－97)2×2+(97－97)2×2+(98－97)2×4+(100－97)2]=101(9+8+0+4+9)=101×30=3，故选择B ．{分值}3{章节:[1-20-2-1]方差}{考点:加权平均数（频数为权重）} {考点:中位数} {考点:方差} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}8．（2019年山东潍坊T8）如图，已知∠AOB ．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ． 下列结论中错误的是（ ）A ．∠CEO =∠DEOB ．CM =MDC ．∠OCD =∠ECD D ．S 四边形OCED =21CD ·OE{答案}C{}本题考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质（等腰三角形的性质与判定），以及图形面积．由作图过程可知OE 是∠AOB 的平分线，且OC=OD ，CE=DE ，故△COE ≌△DOE ，OE 为线段CD 的垂直平分线，因此，选项A 、B 、D 均正确．由于OC 不一定与CE 相等，故四边形CODE 一定是筝形，但不一定是菱形，所以∠OCD 与∠ECD 不一定相等．故选项C 错误． {分值}3{章节:[1-13-2-1]等腰三角形}{考点:与角平分线有关的作图问题}OABCDEM{考点:全等三角形的判定SSS} {考点:三线合一}{考点:垂直平分线的判定} {考点:垂直平分线的性质} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}9．（2019年山东潍坊T9）如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，△ADP 的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）{答案}D{}本题考查了动点函数图象的识别．当点P 由点B 运动到点C 时，即0≤x ≤3时，y =21AD·AB=21×3×2=3；当点P 由点C 运动到点D 的过程中，△ADP 的面积为y 慢慢变小，即当3＜x ＜5时，y ＝×3×（5﹣x ）＝－33x +215，此时y 随x 的增大而减小．只有选项D 符合题意．{分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:合并同类项} {考点:积的乘方}{考点:单项式乘以单项式} {考点:同底数幂的除法} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:3-中等难度}{题目}10．（2019年山东潍坊T10）关于x 的一元二次方程x 2+2mx+m 2+m=0的两个实数根的平方和为12，则m 的值为（ ）A ．m=－2B ．m=3C ．m=3或m=－2D ．m=－3或m=2 {答案}A{}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．设方程的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，得x 1+x 2=－2m ，x 1x 2=m 2+m ．则2221x x =(x 1+x 2)2－2x 1x 2=(－2m)2－2(m 2+m)=4m 2－2m 2－2m=2m 2－2m=12，即m 2－m －6=0，(m －3)(m+2)=0，解得1 2 34 1 2 3 4 x yO 51 23 4 1 2 3 4 x yO 5123 4 1 2 3 4 x yO 5P ABC1 2 341 2 3 4 x yO 5m 1=3，m 2=－2．又∵△= (2m)2－4(m 2+m)=－4m ＞0，即m ＜0，∴m =3不合题意，舍去，∴m =－2． {分值}3{章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件放回} {类别:常考题} {类别:易错题} {难度:4-较高难度}{题目}11．（2019年山东潍坊T11）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD =CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =53，DF =5，则BC 的长为（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．16{答案} C{}本题考查了在圆周角定理及推论，相似三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，综合性较强．原题给出的线段AD=DC 得出圆周角相等；连接BD 后倒角得出AF=DF=5，再运用sin ∠CAB =53，计算出线段EF 的长度，再用射影定理就可以得出结论．连接BD ，因为AD=CD ，∠DCA=∠DAC=∠DBA ；因为AB 是直径，所以∠ADB=90°，DE ⊥AB ，所以∠DBA=∠ADE ；所以∠ADE=∠DAC ，有DF=AF=5；在AEF Rt △中sin ∠CAB =53，得出EF=3，所以DE=8，由∠ADE ＝∠DBE ，∠AED ＝∠BED ，得△ADE ∽△BDE ，得DE 2=EA ·EB ，8：BE ＝4：8，BE=16，∴AB=20；在Rt △ABC 中，sin ∠CAB =53，解得BC=20×53=12．{分值}3{章节:[1-24-1-4]圆周角}{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形的性质} {考点:圆周角定理}{考点:直径所对的圆周角} {考点:解直角三角形}{考点:特殊角的三角函数值} {考点:射影定理}{类别:常考题} {难度:4-较高难度}{题目}12．（2019年山东潍坊T12）抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1．若关于x 的一元二次方程x 2+bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x ＜4的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．2≤t ＜11 B ．t ≥2 C ．6＜t ＜11 D ．2≤t ＜6 {答案}A{}本题考查了二次函数与一元二次方程综合的知识，方程有实数根可转化为二次函数与直线有交点，画图函数的图像可以有效帮助解决问题．因为对称轴是x=1，所以b=－2，抛物线的式为y=x 2－2x+3，方程x 2－2x+3－t =0有实数根，可以转化为函数y=x 2－2x+3与y=t 有交点，当x=4时，y=11；y=t 向下平移时，平移到函数最低点时，t=2，所以t 的取值范围是2≤t ＜11． {分值}3{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:抛物线与一元二次方程的关系} {考点:代数选择压轴} {类别:高度原创} {难度:4-较高难度}{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分． {题目}13．（2019年山东潍坊T13）若2x =3，2y =5，则2x +y = ． {答案}15{}本题考查了同底数幂的乘法的逆用．由2x =3，2y =5，得2x +y =2x ·2y =3×5=15． {分值}3{章节:[1-14-1]整式的乘法} {考点:同底数幂的乘法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}14．（2019年山东潍坊T14）当直线y=(2－2k)x+k －3经过第二、三，四象限时，则k 的取值范围是 ． {答案}1＜k ＜3{}本题考查了一次函数图象与系数的关系．当直线y=(2－2k)x+k －3经过第二、三，四象限时，有⎩⎨⎧<-<-.03,022k k 解得1＜k ＜3． {分值}3{章节:[1-19-2-2]一次函数} {考点:平面直角坐标系} {考点:解一元一次不等式组}{考点:一次函数与一元一次不等式} {考点:一次函数的图象} {类别:常考题} {难度:2-简单}{题目}15．（2019年山东潍坊T15）如图，Rt △AOB 中，∠AOB =90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y =x 1（x ＞0）与y =x5-（x ＜0）的图象上，则tan ∠BAO 的值为 ．{答案}11{}本题考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的性质以及锐角三角函数的知识．如图，过点A 作AC ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，则∠BDO =∠ACO =90°，由反比例函数k 的几何意义，得S △BDO =25，S △AOC =21．∵∠AOB =90°，∴∠BOD +∠DBO =∠BOD +∠AOC =90°，∴∠DBO =∠AOC ，又∵∠BDO =∠OCA =90°，∴△BDO ∽△OCA ，∴S △BOD ：S △OAC =25：21=(OA OB )2，∴OAOB=5，∴tan ∠BAO =OAOB=5．{分值}3{章节:[1-28-3]锐角三角函数} {考点:反比例函数的几何意义}{考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:相似三角形面积的性质} {考点:正切} {类别:常考题} {类别:思想方法} {难度:3-中等难度}{题目}16．（2019年山东潍坊T16）如图，在矩形ABCD 中，AD =2．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A ′，折痕为DE ．若将∠B 沿EA ′向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B ′，则AB = ．{答案}3{}本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形与一元一次方程等知识．在矩形ABCD 中，∠ADC =∠C =∠B =90°，AB =DC ．由翻折可知，∠AED =∠A 'ED =∠A 'EB =60°，∴∠A 'DE =∠ADE =30°，∴∠A 'DC =30°=∠A 'DB '，又∠A 'B 'D =∠B =∠C ，DA '＝DA '，∴△DB 'A '≌△DCA '（AAS ），∴DC =DB '．在Rt △ADE 中，tan30°=AD AE，即33=2AE ，解得AE =332．∴DE =334．设AB =DC =DB '=x ，则B 'E =BE =x －332，即有x －332+x =334，解得x =3．{分值}3{章节:[1-18-2-1]矩形}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {考点:全等三角形的性质} {考点:矩形的性质} {考点:解直角三角形}{考点:解一元一次方程（移项）} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}{题目}17．（2019年山东潍坊T17）如图，直线y =x +1与抛物线y =x 2－4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，S △P AB = ．{答案}512 {}本题综合考查了二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称与最短路径问题、解一元二次方程、待定系数法等知识．解方程x +1=x 2－4x +5，得x 1=1，x 2=2，分别代入y =x +1，得y 1=2， y 2=3，∴A(1，2)，B(4，5)． 作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，此时△P AB 的周长最小，点A ′的坐标为（－1，2）．设直线A ′B 的函数式为y =kx +b ，有⎩⎨⎧=+=+-,54,2b k b k 解得k =53，b =513，∴直线A ′B 的函数式为y =53x +513，与y 轴的交点P 的坐标为（0，513）．直线y =x +1与y 轴的交点C 的坐标为（0，1），则PC =513－1=58，于是S △P AB =S △PBC －S △P AC =21×58×4－21×58×1=516－108=512．{分值}3{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质} {考点:待定系数法求一次函数的式} {考点:解一元二次方程－因式分解法} {考点:其他二次函数综合题} {考点:坐标系中的轴对称} {考点:最短路线问题} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {类别:思想方法} {难度:4-较高难度}{题目}18．（2019年山东潍坊T18）如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点O ，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l 0，l 1，l 2，l 3，…都与x 轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l 0与y 轴重合．若半径为2的圆与l 1在第一象限内交于点P 1，半径为3的圆与l 2在第一象限内交于点P 2，…，半径为n +1的圆与l n 在第一象限内交于点P n ，则点P n 的坐标为 ．（n 为正整数）{答案}(n ，12+n ){}本题考查了平面直角坐标系内点的排列规律、圆的切线的判定、勾股定理等知识．如图，分别连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，由题意可知A 1、A 2、A 3均为切点．在Rt △OA 1P 1中，OA 1=1，OP 1=2，∴A 1P 1=2121OA OP -=2212-=3， 同理，A 2P 2=2223-=5，A 3P 3＝2234-=7，……，∴P 1的坐标为（ 1，3），P 2的坐标为（ 2，5），P 3的坐标为（3，7），……AyOxBP A ′ C按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，22)1(n n -+），即（n ，12+n ）．{分值}3{章节:[1-17-1]勾股定理} {考点:切线的判定} {考点:勾股定理} {考点:代数填空压轴} {类别:常考题} {类别:发现探究} {难度:4-较高难度}{题型:4-解答题}三、解答题：本大题共7小题，共66分．{题目}19．（2019年山东潍坊T19）已知关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-ky x y x 2,532的解满足x ＞y ，求k 的取值范围．{}本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组与一元一次不等式的方法步骤是解决该类问题的关键，有时把握整体，解法更为简捷．如本题直接把两个方程相减得x －y=5－k ，由此求k 的取值范围更方便灵活． {答案}解：方法一：⎩⎨⎧=-=-k y x y x 2,532②①①－②，得x －y=5－k ．∵x ＞y ，∴5－k ＞0，∴k ＜5． 方法二：⎩⎨⎧=-=-k y x y x 2,532②①①－②×2，得y =5－2k ，代入②，得 x －2(5－2k )=k ，解得x =10－3k ． ∵x ＞y ，∴10－3k ＞5－2k ， －k ＞－5，解得k ＜5． {分值}5{章节:[1-9-2]一元一次不等式}{考点:选择合适的方法解二元一次方程组} {考点:解一元一次不等式} {类别:思想方法} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{题目}20．（2019年山东潍坊T20）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多．为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB =200米，坡度为1:3；将斜坡AB 的高度AE 降低AC =20米后，斜坡AB 改造为斜坡CD ，其坡度为1:4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）{}本题考查了解直角三角形的相关知识．根据条件AB=200和坡度比可以求出AE 的长度，进而知道线段CE 的长度，再根据第二个坡度在Rt △CDE 中利用∠D 的三角函数值求CD 的长度．{答案}解：在Rt △ABE 中，∵tan ∠ABE=1:3，∴∠ABE=30°．∵AB=200，∴AE=100．∵AC=20，∴CE=100－20=80．在Rt △CDE 中，∵tan ∠D=1:4， ∴sin ∠D=1717，∴1717=CD CE ． ∴CD=8017(米)．答：斜坡CD 的长是8017米． {分值}6{章节:[1-28-1-2]解直角三角形}{考点:解直角三角形的应用－坡度}{考点:特殊角的三角函数值}{类别:常考题}{难度:2-简单}{题目}21．（2019年山东潍坊T21）如图所示，有一个可以自由转动的转盘，其盘面分为4等份，在每一等份分别标有对应的数字2，3，4，5．小明打算自由转动转盘10次，现已经转动了8次，每一次停止后，小明将指针所指数字记录如下：次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 第9次 第10次数字3 5 2 3 34 35 （1）求前8次的指针所指数字的平均数．（2）小明继续自由转动转盘2次，判断是否可能发生“这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，说明理由．（指针指向盘面等分线时为无效转次．）{}本题考查了统计中的加权平均数与概率．（1）利用加权平均数公式直接计算即可；（2）前8次总和为28，若要10次的平均数在3.3与3.5之间，则需要后两次的和在5和7之间，再画出树状图或列表求解．{答案}解：（1）8422543++⨯+⨯=3.5． 答：前8次的指针所指数字的平均数为3.5．（2）能发生．ACEB D图2若这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，则所指数字之和应不小于33，且不大于35．而前8次的所指数字之和为28，所以最后两次的所指数字之和应不小于5，且不大于7．第9次和第10次指针所指数字如下表所示： 第10次 第9次2 3 4 5 2 (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)3 (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)4 (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)5 (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)第9次和第10次指针所指数字树状图如下：一共有16种等可能结果，其中指针所指数字之和不小于5，且不大于7的有9种结果，其概率为：P =169． 因此，这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5”的概率为169． {分值}9{章节:[1-25-2]用列举法求概率}{考点:加权平均数（频数为权重）}{考点:两步事件放回}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}22．（2019年山东潍坊T22）如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接DG ，过点A 作AH ∥DG ，交BG 于点H ．连接HF ，AF ，其中AF 交EC 于点M ．（1）求证：△AHF 为等腰直角三角形．（2）若AB =3，EC =5，求EM 的长．{}本题综合考查了正方形和三角形的有关性质，能在正方形背景中识别出三角形全等和三角形相似是解决本问题的关键．第（1）问证明△AHF 是等腰直角三角形，只需要证明线段HA =HF ，∠AHG =90°即可．第（2）问容易识别出△EFM ∽△ADM ，根据对应线段成比例就可以求出线段EM 的长度． {答案}解：（1）证明：∵四边形ABCD ，四边形ECGF 都是正方形，∴AD ∥CG ，AH ∥DG ，∴四边形ADGH 为平行四边形，AD =HG ．∵AD =BC ，∴BC =HG ，∴BC +CH =HG +CH ，即BH =CG ．∴GF =BH ．在△ABH 和△HGF 中，AB =HG ，∠B =∠HGF ，BH =GF ，∴△ABH ≌△HGF ．∴∠BAH=∠GHF ，AH=HF ．∵∠BAH +∠BHA =90°，∴∠GHF +∠BHA =90°．∴∠AHF =90°．∴△AHF 为等腰直角三角形．（2）∵AB =3，EC =5，∴AD =CD =3，CE =EF =5．∴DE =2．∵AD ∥EF ，∴53==EF AD EM DM ． ∴EM =85DE =45． {分值}10{章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定}{考点:正方形的性质}{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}{考点:直角三角形两锐角互余}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:由平行判定相似}{考点:等腰直角三角形}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}23．（2019年山东潍坊T23）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．）{}本题考查了分式方程与二次函数的实际应用．（1）解题的关键在于找到等量关系，根据题目中给出的条件，去年和今年的产量之间的关系，去年和今年价格之间的关系，去年和今年销售金额之间的关系，设出未知数，就可以列出方程；（2）属于常见的二次函数利润问题，能根据价格与销售量之间的关系列出函数关系式，根据二次函数关系式就可以求出函数的最大值．{答案}解：（1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x 元，由题意，得1100000%)201(100000+-+x x =1000． 解之，得x 1=24，x 2=－5(舍去)．答：今年这种水果每千克的平均批发价为24元．（2）设每千克的平均销售价为m 元，由题意，得w=(m －24)(300+180×341m -)=－60(m －35)2+7260． ∵－60＜0，∴当m=35时，w 取得最大值为7260．答：当每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元． {分值}10{章节:[1-22-3]实际问题与二次函数}{考点:其他分式方程的应用}{考点:商品利润问题}{类别:常考题}{难度:3-中等难度}{题目}24．（2019年山东潍坊T24）如图1，菱形ABCD 的顶点A ，D 在直线l 上，∠BAD =60°，以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB ′C ′D ′．B ′C ′交对角线AC 于点M ，C ′D ′交直线l 于点N ，连接MN ．（1）当MN ∥B ′D ′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B ′D ′交AC 于点H ，交直线l 与点G ，延长C ′B ′交AB 于点E ，连接EH ．当△HEB ′的周长为2时，求菱形ABCD 的周长．{}本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，旋转等知识．（1）由MN ∥B ′D ′易得MB ′=ND ′，再通过证明AB ′M ≌△AD ′N 得∠B ′AM ＝∠D ′AN ，即可解决问题；（2）首先根据旋转证明出△AB ′E ≌△AD ′G ，再进一步证明△AHE ≌△AHG ，得EH =GH ，B ′D ′=2，即可菱形ABCD 的周长．{答案}解：（1）∵MN ∥B ′D ′，∴D C B C D N B M ''''=''． 又∵C ′B ′=C ′D ′，∴MB ′=ND ′．在AB ′M 和△AD ′N 中，∴AB ′=AD ′，∠AB ′M =∠AD ′N ， B ′M =D ′N ，∴△AB ′M ≌△AD ′N ，∴∠B ′AM =∠D ′AN ．又∵∠D ′AN =α，∴∠B ′AM =α．∴∠B ′AM =∠BAB ′=21∠BAC =41∠BAD =15°． 即α=15°．（2）在△AB ′E 和△AD ′G 中，∠AB ′E =∠AD ′G ，∠EAB ′=∠GAD ′，AB ′=AD ′，∴△AB ′E ≌△AD ′G ，∴EB ′=GD ′，AE =AG ．在△AHE 和△AHG 中，AE =AG ，∠EAH =∠GAH ，AH =AH ，∴△AHE ≌△AHG ，∴EH ＝GH ．∵△HEB ′的周长为2，∴EH +EB ′+HB ′=2，∴GH +GD ′+B ′H =2，∴B ′D ′=BD =2，∴菱形ABCD 的周长为8．{分值}13{章节:[1-18-2-2]菱形}{考点:菱形的性质}{考点:全等三角形的判定SAS}{考点:全等三角形的判定ASA,AAS}{考点:平行线分线段成比例}{考点:旋转的性质}{考点:几何综合}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}{题目}25．（2019年山东潍坊T25）如图，在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，点A （4，0），点B （0，4），△ABO 的中线AC 与y 轴交于点C ，且⊙M 经过O ，A ，C 三点．（1）求圆心M 的坐标；（2）若直线AD 与⊙M 相切于点A ，交y 轴于点D ，求直线AD 的函数表达式；（3）在过点B 且以圆心M 为顶点的抛物线上有一动点P ，过点P 作PE ∥y 轴，交直线AD 于点E ．若以PE 为半径的⊙P 与直线AD 相交于另一点F ．当EF =45时，求点P 的坐标．{}本题综合考查了在坐标系中解决抛物线和圆的有关问题．第（1）问因为点M 是AC 的中点，容易得出点M 的坐标；第（2）问的关键在直线AD 和圆相切，相切就有直径垂直于切线，根据相似三角形的知识可求出线段OD 的长度，进而求出点D 点坐标；第（3）问中，抛物线的顶点是M ，可以根据顶点式求出抛物线的式．设出P 点坐标，再利用Rt △EHP ∽Rt △DOA 构建一元二次方程模型求解．{答案}解：（1）∵AC 是△ABO 的中线，∴点C 的坐标为（0，2）．∵∠AOC=90°，∴线段AC 是⊙M 的直径，∴点M 为线段AC 的中点， ∴圆心M 的坐标为（2，1）．（2）∵AD 与⊙M 相切于点A ，∴AC ⊥AD ，∴Rt △AOC ∽Rt △DOA ，∴21==OD OA OA OC ． ∵OA=4，∴OD=8．∴点D 的坐标为（0，－8）．设直线AD 的函数表达式为y =kx +b ，可得⎩⎨⎧=-+=.8,40b b k ∴k=2，b=－8．∴直线AD 的函数表达式为y =2x －8．（3）设抛物线为y=a(x －2)2+1，且过点（0，4），∴4=a(0－2)2+1，∴a=43． 所以，抛物线的关系式为y =43x 2－3x +4． 设点P (m ，43m 2－3m +4)，则点E (m ，2m 2－8)，∴PE =43m 2－5m +12． 过点P 作PH ⊥EF ，垂足为H ，∵PE ∥y 轴，∴Rt △EHP ∽Rt △DOA ， ∴548==AD OD PE EH ． ∴EH=52×(43m 2－5m +12)． ∵EF=45，∴25=52×(43m 2－5m +12)． 化简，得3m 2－20m +28=0， 解之，得m 1=2，m 2=314． 所以点P 的坐标为(2，1)或(314，319)． {分值}13{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系} {考点:待定系数法求一次函数的式} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {考点:二次函数y ＝ax2+bx+c 的性质} {考点:切线的性质}{考点:直径所对的圆周角}{考点:圆与相似的综合}{考点:圆与函数的综合}{考点:二次函数与圆的综合} {考点:代数综合}{考点:几何综合}{类别:常考题}{难度:5-高难度}。