高二数学演绎推理综合测试题
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为 _________ ．【答案】【解析】根据题意，第一个式子的左边是1，只有1个数，其中1=2×1-1，第二个式子的左边是从2开始的3个数的和，其中3=2×2-1；第三个式子的左边是从3开始的5个数的和，其中5=2×3-1；第四个式子的左边是从4开始的7个数的和，其中7=2×4-1；以此类推，第n个式子的左边是从n开始的（2n-1）个数的和，右边是求和的结果；所以第n个等式为：.【考点】归纳推理.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点.以上推理中（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】∵大前提是：“对于可导函数，如果，那么是函数的极值点”，不是真命题，因为对于可导函数，如果，且满足当x＞x0时和当x＜x时的导函数值异号时，那么x=x是函数f（x）的极值点，∴大前提错误，故选A．【考点】演绎推理的基本方法．3.已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为、、，由得，类比得四面体的体积为V，四个面的面积分别为,则内切球的半径R=_________________【答案】【解析】设球心为O，分别连结四个顶点与球心O，将四面体分割成底面面积分别为高为R的三棱锥，其体积分别为，，，，由V=+++得，R=.考点:类比推理4.下面使用的类比推理中恰当的是（）A．“若，则”类比得出“若，则”B．“”类比得出“”C．“”类比得出“”D．“”类比得出“”【答案】C【解析】A：等式的基本性质要求同时除以的是不为0的数或式，∴A错误；B：，由乘法分配律不能类比到乘法结合律，∴B错误；C：这是等式的基本性质的类比，∴C正确；D：不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质，∴D错误.【考点】类比推理.5.推理：因为平行四边形对边平行且相等，而矩形是特殊的平行四边形，所以矩形的对边平行且相等．以上推理的方法是（）A．合情推理B．演绎推理C．归纳推理D．类比推理【答案】B【解析】每个演绎推理部有两个前提，即大前提（概括性的一般原理）和小前提（对个别事物的判断）、根据两个前提之间的关系做出新判断（推理），得出结论。
高二数学 2.1.2演绎推理练习 新人教A版选修1-2
2．1.2 演绎推理基础梳理1．演绎推理．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．2．演绎推理的一般模式——“三段论”，包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．基础自测1．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是(B)A．① B．② C．③ D．①②解析：此推理的小前提是“三角形不是平行四边形”．故选B.2．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提是(B)A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形解析：易知此推理的大前提是矩形都是对角线相等的四边形．故选B.3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是(D)A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理C．使用了“三段式”，但大前提错误 D．使用了“三段式”，但小前提错误解析：此推理使用了“三段式”，但小前提错误．故选D.4．在△ABC中，AC＞BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD＞∠BCD.①证明：在△ABC 中，∵CD⊥AB，AC＞BC；②∴AD＞BD；③∴∠ACD＞∠BCD.则在上面证明过程中错误的是③(只填序号)．解析：AD，BD不在同一个三角形中，③错误．（一）“三段论”的表示形式(1)符号表示．大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.(2)集合表示．若集合M的所有元素都具有性质P，集合S是集合M的一个子集，那么S中所有元素也具有性质P.由此可见，应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．有时为了叙述简洁，如果大前提或小前提是显然的，那么可以省略．(二)合情推理与演绎推理的区别与联系区别：从推理形式和推理所得的结论上讲，二者有差异．合情推理演绎推理归纳推理合情推理推理形式由部分到整体或由个别到一般的过程由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论的正确性结论不一定正确，有待进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，结论一定正确1．在推理证明中，证明命题的正确性采用演绎推理，而合情推理不能用作证明．2．在证明中，演绎推理的基本规则是：(1)在证明过程中，论题应当始终同一，不得中途变更．违反这条规则的常见错误是偷换论题．(2)论据不能靠论题来证明．论题的真实性是靠论据来证明的，如果论据的真实性又要靠论题来证明，那么结果什么也没有证明．违反这条规则的逻辑错误叫做循环论证．(3)论据要真实，论据是确定论题真实性的理由．如果论据是假的，那就不能确定论题的真实性．违反这条规则的逻辑错误叫做虚假论据．(4)论据必须能推出论题．证明是特殊的推理，因而证明过程应该合乎推理形式，遵守推理规则．论据必须是推出论题的充足理由，否则，论据就推不出论题．违反这条规则的逻辑错误，叫做不能推出．3．应用“三段论”来证明问题时，首先应明确什么是大前提和小前提．若题干中没有，则应先补出大前提，然后再利用“三段论”证明．1．三段论“①已有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③所以这艘船是准时起航的．”中“小前提”是(B )A ．①B ．②C ．①②D ．③2．下列三段可以组成一个“三段论”，则小前提是(D )①因为指数函数y ＝a x (a ＞1)是增函数；②所以y ＝2x 是增函数；③而y ＝2x是指数函数． A ．① B ．② C ．①② D ．③解析：根据“三段论”的原理，可知选D .3．设a ＝(x ，4)，b ＝(3，2)，若a ∥b ，则x 的值是(D )A ．－6 B.83 C ．－83 D ．6解析：∵a ∥b ，∴x 3＝42，∴x ＝6.4．因为中国的大学分布在全国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提 所以北京大学分布在全国各地．结论 (1)上面的推理正确吗？为什么？ (2)推理的结论正确吗？为什么？ 解析：(1)推理形式错误．大前提中的M 是“中国的大学”它表示中国的所有大学，而小前提中的M 虽然也是“中国的大学”，但它表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，故推理的结论错误．(2)由于推理形式错误，故推理结论错误．1．下面说法正确的有(C )①演绎推理是由一般推理到特殊推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①③④正确，②错误的原因是：演绎推理的结论要为真，必须前提和推理形式都为真．2．△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF ∥BC ，这个问题的大前提为(A )A ．三角形的中位线平行于第三边B ．三角形的中位线等于第三边的一半C ．EF 为中位线D ．EF ∥CB解析：易知该推理是一个正确的三段论，所以选C. 3．“由于所有能被6整除的数都能被3整除，18是能被6整除的数，所以18能被3整除．”这个推理是(C )A ．大前提错误B ．结论错误C ．正确的D ．小前提错误解析：易知该推理是一个正确的三段论，所以选C. 4．下列推理是演绎推理的是(A )A ．M ，N 是平面内两定点，动点P 满足|PM |＋|PN |＝2a ＞|MN |，得点P 的轨迹是椭圆B ．由a 1＝1，a n ＝2n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积为πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇解析：B 是归纳推理，C 、D 是类似推理，只有A 是利用椭圆的定义作为大前提的演绎推理．5．在不等边三角形中，a 边最大，要想的到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是(C )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 26．对于任意实数a ，b ，c ，定义Γ(a ，b ，c )满足Γ(a ，b ，c )＝Γ(b ，c ，a )＝Γ(c ，a ，b )关系式，则称Γ(a ，b ，c )具有轮换对称关系．给出如下四个式子：①Γ(a ，b ，c )＝a ＋b ＋c ；②Γ(a ，b ，c )＝a 2－b 2＋c 2；③Γ(x ，y ，z )＝x 2(y －z )＋y 2(z －x )＋z 2(x －y )；④Γ(A ，B ，C )＝2sin C cos(A －B )＋sin 2C (A ，B ，C 是△ABC 的内角)．其中具有轮换对称关系的个数是(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：C 因为a ＋b ＋c ＝b ＋c ＋a ＝c ＋a ＋b ，故①具有轮换对称关系；因为a 2－b 2＋c 2＝b 2－c 2＋a 2未必成立，故②不具有轮换对称关系；因为x 2(y －z )＋y 2(z －x )＋z 2(x －y )＝y 2(z－x )＋z 2(x －y )＋x 2(y －z )＝z 2(x －y )＋x 2(y －z )＋y 2(z －x )，故③具有轮换对称关系；因为2sin C cos(A －B )＋sin 2C ＝2sin C [cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝4sin A sin B sin C ，故④具有轮换对称关系，故选C. 7．“ 一切奇数都不能被2整除，35不能被2整除，所以35奇数．”把此演绎推理写成“三段论”的形式．大前提：________________________， 小前提：________________________， 结论：__________________________．答案：不能被2整除的整数是奇数 35不能被2整除 35是奇数8．已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x，若实数m ，n 满足f (m )＞f (n )，则m ，n 的大小关系是________．解析：当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x为减函数，∵a ＝5－12∈(0，1)，∴函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x为减函数．故由f (m )＞f (n )，得m ＜n . 答案：m ＜n9．关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |＝(x ≠0)，有下列命题：①其图像关于y 轴对称；②当x ＞0时，f (x )为增函数；③f (x )的最小值是lg 2；④当－1＜x ＜0，或x ＞1时，f (x )是增函数；⑤f (x )无最大值，也无最小值．其中正确结论的序号是________．解析：易知f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，①正确．当x ＞0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵g (x )＝x ＋1x 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，故②不正确，而f(x)有最小值lg 2，∴③正确，④也正确，⑤不正确．答案：①③④10．将下列演绎推理写成“三段论”的形式．(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行；(2)菱形对角线互相平分；(3)函数f(x)＝x2－cos x是偶函数．解析：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，大前提海王星是太阳系中的大行星，小前提海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．结论(2)平行四边形对角线互相平分，大前提菱形是平行四边形，小前提菱形对角线互相平分．结论(3)若对函数f(x)定义域中的x，都有f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，大前提对于函数f(x)＝x2－cos x，当x∈R时，有f(－x)＝f(x)，小前提所以函数f(x)＝x2－cos x是偶函数．结论11．已知a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，当|x|≤1时，|f(x)|≤1，证明|c|≤1，并分析证明过程中的三段论．证明：∵|x|≤1时，|f(x)|≤1.x＝0满足|x|≤1，∴|f(0)|≤1，又f(0)＝c，∴|c|≤1.证明过程中的三段论分析如下：大前提是|x|≤1，|f(x)|≤1；小前提是|0|≤1；结论是|f(0)|≤1.►品味高考1．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则f(x)为准偶数函数．下列函数中是准偶数函数的是(D)A．f(x)＝x B．f(x)＝x2C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)解析：由f(x)＝f(2a－x)知f(x)的图像关于x＝a对称，且a≠0，A，C中两函数无对称轴，B中函数图像的对称轴只有x＝0，而D中当a＝kπ－1(k∈Z)时，x＝a都是y＝cos(x ＋1)的图像的对称轴．故选D.2．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)”的是(C)A．幂函数 B．对数函数C．指数函数 D．余弦函数解析：对于指数函数f(x)＝a x(a＞0，a≠1)，则有f(x＋y)＝a x＋y＝a x·a y＝f(x)·f(y)．3．对于n∈N*，将n表示为n＝a k×2k＋a k－1×2k－1＋…＋a1×21＋a0×20，当i＝k时，a i＝1，当0≤i≤k－1时，a i为0或1.定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n＝1；否则b n＝0.(1)b2＋b4＋b6＋b8＝________；(2)记c n为数列{b n}中第m个为0的项与第m＋1个为0的项之间的项数，则c m的最大值是________________________________________________________________________．解析：(1)2＝1×21＋0×20，∴b2＝1；4＝1×22＋0×21＋0×20，∴b4＝1；6＝1×22＋1×21＋0×20，∴b6＝0；8＝1×23＋0×22＋0×21＋0×20，∴b8＝1.∴b2＋b4＋b6＋b8＝3.(2)设{b n}中第m个为0的项为b t(t∈N*)，即b t＝0，将t写成二进制数，则有两种情形：①t的二进制数表达式为：，则t＋1的二进制数表达式中“1”的个数的变化数可能为奇数，也可能为偶数．若变化数为奇数，则b t＋1＝1，且t＋1用二进制数表示为：，于是t＋2用二进制数表示为：，即b t＋2＝0；若变化数为偶数，则b t＋1＝0.这时c m的最大值为1.②t的二进制数表达式为，则t＋1用二进制数表示为，即b t＋1＝1，则t＋2的二进制数形式中“1”的变化数为奇数或偶数．若变化数为奇数，则t＋2用二进制数表示为：，即b t＋2＝0；若变化数为偶数，则t＋2用二进制数表示为，即b t＋2＝1，于是t＋3用二进制数表示为：，即b t＋3＝0.这时c m的最大值为2.综合①②，c m的最大值为2.答案：(1)3 (2)2。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.从1＝12 2＋3＋4＝32 3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．【答案】【解析】第一个式子左边一个数，从1开始；第二个式子左边三个数，从2开始；第三个式子左边5个数，从3开始，第个式子左边有个数，从，右边为中间数的平方；因此一般规律为．【考点】归纳推理的应用．2.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误;（2）小前提错误;（3）推理形式正确;（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P，M是S，M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.3.在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为＝________．【答案】.【解析】在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比，将这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB交于E，则类比的结论为根据面积类比体积，长度类比面积可得：.【考点】类比推理.4.给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于= ．【答案】1-．【解析】由已知中的等式：；；，我们可以推断：对于=1-．【考点】归纳推理．5.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过、、三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.【答案】A【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.【考点】推理证明6.观察各式：，则依次类推可得；【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.7.已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点是函数的图象上任意不同两点，则类似地有_________________成立．【答案】【解析】由于函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立;而函数的图象上任意不同两点的线段总是位于A、B两点之间函数图象的下方,类比可知应有：成立．【考点】类比推理．8.观察下列等式:,…,根据上述规律,第五个等式为______________．【答案】【解析】由规律得：第四个等式为；第五个等式为．【考点】归纳推理．9.如图(1)有面积关系：＝，则图(2)有体积关系：＝________.【答案】【解析】过点p作直线平面PAC，平面PAC,;因为，所以由（1）类比得===【考点】类比法.10.下面使用的类比推理中恰当的是（）A．“若，则”类比得出“若，则”B．“”类比得出“”C．“”类比得出“”D．“”类比得出“”【答案】C【解析】A：等式的基本性质要求同时除以的是不为0的数或式，∴A错误；B：，由乘法分配律不能类比到乘法结合律，∴B错误；C：这是等式的基本性质的类比，∴C正确；D：不能由幂的乘方类比到和的乘方也有类似性质，∴D错误.【考点】类比推理.11.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数.则=_____，=___________．【答案】37【解析】,,,可得第4幅图，第n幅图.【考点】类比推理.12.用演绎法证明函数是增函数时的小前提是A．增函数的定义B．函数满足增函数的定义C．若，则D．若，则【答案】B【解析】∵证明y=x3是增函数时，依据的原理就是增函数的定义，∴用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提是：增函数的定义，小前提是函数f（x）=x3满足增函数的定义．故选B．【考点】演绎推理的基本方法．13.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是A．2B．4C．6D．8【答案】C【解析】通过图形可以看出，中间的每一个数都等于其肩上的两个数之和，所以a=3+3=6,故答案为C.【考点】归纳推理.14.设定义在R上的函数满足，，则＝．【答案】3【解析】把代入得，进一步知所以.【考点】推理与证明.15. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 .【答案】 465【解析】由题意得：，所以200的所有正约数之和为.【考点】类比推理.16.观察下列各式：，，，，，，则（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．17.观察下列各式：，，，，，，则（）A．28B．C．D．【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．18.演绎推理“因为对数函数是增函数，而函数是对数函数，所以是增函数”所得结论错误的原因是（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．大前提和小前提都错误【答案】A【解析】大前提错误，对数函数当时，为增函数，当时，为减函数．【考点】演绎推理，对数函数的性质．19.已知数列2,5,11,20，x,47，合情推出x的值为()A．29B．31C．32D．33【答案】C【解析】观察可知，可得，即.【考点】合情推理,数列的定义.20.若函数，则对于，【答案】【解析】当时，，则当时，故【考点】归纳推理21.观察下列等式：＋＝；＋＋＋＝；＋＋＋＋＋＝；则当且时，＋＋＋＋＋＋＝________(最后结果用表示)．【答案】【解析】观察可知：＋＋＋=（＋）＋（＋）=（＋）＋（＋），有项，＋＋＋＋＋＝（＋）＋（＋）＋（＋）＝（＋）＋（＋）＋（＋），有项，因此＋＋＋＋＋＋共有项，利用倒序求和：＋＋＋＋＋+【考点】归纳猜想22.记为有限集合的某项指标，已知，，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若，（结果用含的式子表示）.【答案】【解析】法一（相邻项的变化关系式）：因为，，进而得到根据数列中的累加法可得到，所以；法二（每一项与集合元素的个数的联系）：，所以可猜想.【考点】1.合情推理中的归纳推理；2.累加法.23.下列推理是归纳推理的是( )．A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理24.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．【答案】1＋＋＋…＋>【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>25.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．【答案】猜想成立【解析】在△DEF中(如图)，由正弦定理得.于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想成立．26.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形【答案】C【解析】根据题意，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的为平行四边形的运用，故可知答案为C.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
苏教版数学高二 选修1-2测评演绎推理
学业分层测评(五)第2章 2.1.2 演绎推理(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.“所有金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电”这种推理方法属于________.【答案】演绎推理2.“若∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°”若将其恢复成完整的三段论后，大前提是________________.【答案】两直线平行，同旁内角互补3.已知函数f(x)＝a-12x＋1，若f(x)为奇函数，则a＝______________.【解析】∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝a-120＋1＝0，∴a＝12.【答案】1 24.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况.四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好.”乙说：“我们四人中有人考得好.”丙说：“乙和丁至少有一人没考好.”丁说：“我没考好.”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了.【解析】甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确，故答案为乙，丙.【答案】乙，丙5.若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________.【解析】 ①a ＝0时，有2<0，显然此不等式解集为∅.②a ≠0时需有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a 2-8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2，所以0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2].【答案】 [0,2]6.(2016·聊城高二检测)已知f (1,1)＝1，f (m ，n )∈N *(m ，n ∈N *)，且对任意m ，n ∈N *都有：①f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，②f (m ＋1,1)＝2f (m,1).给出以下三个结论：(1)f (1,5)＝9.(2)f (5,1)＝16.(3)f (5,6)＝26其中正确结论为________.【解析】 由条件可知，因为f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，且f (1,1)＝1，所以f (1,5)＝f (1,4)＋2＝f (1,3)＋4＝f (1,2)＋6＝f (1,1)＋8＝9.又因为f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，所以f (5,1)＝2f (4,1)＝22f (3,1)＝23f (2,1)＝24f (1,1)＝16，所以f (5,6)＝f (5,1)＋10＝24f (1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确.【答案】 (1)(2)(3)7.(2016·“江南十校”联考)已知两定点M (-1,0)，N (1,0)，若直线上存在点P ，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”，给出下列直线，其中是“A型直线”的是________(填序号).①y＝x＋1；②y＝2；③y＝-x＋3；④y＝-2x＋3.【解析】由题意知点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是x24＋y23＝1.①直线与坐标轴的交点(0,1)，(-1,0)都在椭圆内，易知直线与椭圆相交，交点即为P，故为“A型直线”；同理④也为“A型直线”；②直线显然与椭圆没有交点(2>3)，所以不是“A型直线”；③把y＝-x＋3代入x24＋y23＝1并整理得7x2-24x＋24＝0.Δ＝(-24)2-4×7×24<0，所以y＝-x＋3不是“A型直线”.【答案】①④8.“如图2-1-15，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”.图2-1-15证明：在△ABC中，因为CD⊥AB，AC>BC，①所以AD>BD，②于是∠ACD>∠BCD.③则在上面证明的过程中错误的是________(填序号).【解析】由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误.【答案】③二、解答题9.用三段论证明通项公式为a n＝cq n(c，q为常数，且cq≠0)的数列{a n}是等比数列.【证明】 设a n ＋1，a n 是数列中任意相邻两项，则从第二项起，后项与前项的比是同一个常数的数列叫等比数列(大前提)，因为a n ＋1a n＝cq n ＋1cq n ＝q (常数)(小前提)， 所以{a n }是等比数列.(结论)10.已知a >0且函数f (x )＝2x a ＋a 2x 是R 上的偶函数，求a 的值.【解】 由于f (x )是偶函数，所以f (-x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，即2-x a ＋a 2-x ＝2x a ＋a 2x ，所以1a ·2x ＋a ·2x ＝2x a ＋a 2x ，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫a -1a (2x -2-x )＝0，必有a -1a ＝0.又因为a >0，所以a ＝1.[能力提升]1.在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1-y )，若不等式(x -a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立，则a 的取值范围是________.【解析】 由定义，得(x -a )(1-x -a )<1，∴x 2-x ＋a -a 2＋1>0对x ∈R 恒成立，故Δ＝1-4(a -a 2＋1)<0，∴-12<a <32.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12，32 2.若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋…＋f (2 016)f (2 015)＝________.【解析】 ∵f (a ＋b )＝f (a )f (b )，a ，b ∈N *令b ＝1，则f (a ＋1)f (a )＝f (1)＝2.∴f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2 016)f(2 015)＝2，∴原式＝2＋2＋…＋21 008个2＝2 016.【答案】 2 0163.在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图2-1-16中△ABC 是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.图2-1-16(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是___________________；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数.若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答).【解析】(1)由图可知四边形DEFG是直角梯形，高为2，下底为22，上底为2，所以梯形面积S＝(2＋22)×22＝3.由图知N＝1，L＝6.(2)取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S＝4，N＝1，L＝8，结合△ABC，四边形DEFG可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧4b＋c＝1，a＋6b＋c＝3a＋8b＋c＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1，b＝12，c＝-1，S＝1×71＋12×18-1＝79.【答案】(1)3,1,6(2)794.在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝4a n-3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{a n -n }是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.【解】 (1)证明：因为a n ＋1＝4a n -3n ＋1， 所以a n ＋1-(n ＋1)＝4(a n -n )，n ∈N *. 又a 1-1＝1，所以数列{a n -n }是首项为1，且公比为4的等比数列.(2)由(1)可知a n -n ＝4n -1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n -1＋n .所以数列{a n }的前n 项和S n ＝4n -13＋n (n ＋1)2.(3)证明：对任意的n ∈N *，S n ＋1-4S n ＝4n ＋1-13＋(n ＋1)(n ＋2)2- 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤4n -13＋n (n ＋1)2＝-12(3n 2＋n -4)≤0. 所以不等式S n ＋1≤4S n ，对任意n ∈N *皆成立.。
高中数学 212演绎推理测试 新人教B版选修2-2
演绎推理一、选择题1．对归纳推理的表述不正确的一项为哪一项〔〕Ａ．归纳推理是由局部到整体的推理Ｂ．归纳推理是由个别到一般的推理Ｃ．归纳推理是从争辩对象的全体中抽取局部进展观看试验，以取得信息，从而对整体作出推断的一种推理Ｄ．归纳推理是由一般到特殊的推理答案：Ｄ2．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是〔〕Ａ．归纳推理Ｂ．演绎推理Ｃ．类比推理Ｄ．特殊推理答案：Ｃ3．用演绎法证明函数是增函数时的大前提是〔〕Ａ．增函数的定义Ｂ．函数满足增函数的定义Ｃ．假设，那么Ｄ．假设，那么答案：Ａ4．数列，那么数列的第项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｄ5．类比“等差数列的定义”给出一个新数列“等和数列的定义”是〔〕Ａ．连续两项的和相等的数列叫等和数列Ｂ．从其次项起，以后第一项与前一项的差都不相等的数列叫等和数列Ｃ．从其次项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等和数列Ｄ．从第一项起，以后每一项与前一项的和都相等的数列叫等数数列答案：Ｃ6．观看数列，那么数将毁灭在此数列的第〔〕Ａ．21项Ｂ．22项Ｃ．23项Ｄ．24项答案：Ｃ二、填空题7．将函数为增函数的推断写成三段论的形式为．答案：〔大前提〕指数函数是增函数；〔小前提〕是底数大于1的指数函数；〔结论〕为增函数．8．在平面，到一条直线的距离等于定长〔为正数〕的点的集合，是与该直线平行的两条直线．这一结论推广到空间那么为：在空间，到一个平面的距离等于定长的点的集合，是．答案：与该平面平行的两个平面9．从入手，你推想与的大小关系是．答案：时，；时，10．假设数列满足，且，那么此数列的通项公式为 ．答案：11．由图〔1〕有面积关系：，那么由图〔2〕有体积关系 ．答案：12．把这些数叫做三角形数，这是由于这些数目的点子可以排成一个正三角形〔如下面〕，那么第七个三角形数是 ．答案：28三、解答题13．用三段论证明：通项为〔为常数〕的数列是等差数列．证明：由于数列是等差数列，那么，其中为常数，由，得为常数，所以，以〔为常数〕的数列是等差数列．14．设有数列〔1〕问10是该数列的第几项到第几项？〔2〕求第100项；〔3〕求前100项的和．解：将数列分组，第一组一个“1”；其次组两个“2”，第三组三个“3”；第四组四个“4”，如此下去；〔1〕易知“10”皆毁灭在第十组，由于前九组中共有：项，因此10在该数列中从第46项到第55项；〔2〕由，即成立的最大自然数为13，又，因此第100项为14；〔3〕由〔2〕知前100项的和为：．15．设是集合中全部的数从小到大排列成的数列，即，将数列各项依据上小下大，左小右大的原那么写成如右的三角形数表：〔1〕写出这个三角形数表的第四行、第五行；〔2〕求．解：用记号表示的取值，那么数列中的项对应的也构成一个三角表：第一行右边的数是“1”；其次行右边的数是“2”；第三行右边的数是“3”；于是第四行右边的数便是“4”，第五行右行的数自然就是“5”了．而左边的那个数总是从“0”开头逐个递增．因此〔1〕第四行的数是：；；；；第五行的数是：；；；；．〔2〕由，知在第十四行中的第9个数，于是．演绎推理一、选择题1．以下说法正确的选项是〔 〕Ａ．由归纳推理得到的结论确定正确Ｂ．由类比推理得到的结论确定正确3 5 6 9 10 12Ｃ．由合情推理得到的结论确定正确Ｄ．演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论确定正确答案：Ｄ2．写出数列的一个通项公式是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ3．关于平面对量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得以下结论：①；②；③；④；⑤由，可得．以上通过类比得到的结论正确的有〔〕Ａ．2个Ｂ．3个Ｃ．4个Ｄ．5个答案：Ａ4．假设平面上个圆最多把平面分成个区域，那么个圆最多把平面分成区域的个数为〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｂ5．菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等，以上三段论推理中错误的选项是〔〕Ａ．大前提Ｂ．小前提Ｃ．推理形式Ｄ．大小前提及推理形式答案：Ｃ6．三条直线三个平面．下面四个命题中正确的选项是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案：Ｃ二、填空题7．观看，，请写出一个与以上两式规律违反的一个等式：．答案：8．数列中，，试推想出数列的通项公式为．答案：9．，观看以下几式：，，类比有，那么．答案：10．假设，，，，那么的大小关系为．答案：11．通过圆与球的类比，由“半径为的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为．”猜想关于球的相应命题为．答案：关径为的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为12．类比平面上的命题〔m〕，给出在空间中的类似命题〔n〕的猜想．〔m〕假设的三条边上的高分别为和，内任意一点到三条边的距离分别为，那么．〔n〕．答案：从四周体的四个顶点分别向所对的面作垂线，垂线长分别为和．为四周体内任意一点，从点向四个顶点所对的面作垂线，垂线长分别为和，那么类比所得的关系式是．三、解答题13．设对有意义，，且成立的充要条件是．〔1〕求与的值；〔2〕当时，求的取值范围．解：〔1〕因，且对于，有，令，得；令，得．〔2〕由条件，得，又，由，得．由成立的充要条件是，所以有14．设是上的偶函数，求的值．解：是上的偶函数，，对于一切成立，由此得，即．又，．15．如下图，点为斜三棱柱的侧棱上一点，交于点，交于点．〔1〕求证：；〔2〕在任意中有余弦定理．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．〔1〕证明：，，平面．〔2〕解：在斜三棱柱中，有，其中为平面与平面所组成的二面角．平面．上述的二面角为．在中，，由于，，，有。
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题(有答案)
【高二】高二数学推理与证明综合检测综合测试题（有答案）第二章推理与证明综合检测时间120分钟，满分150分。
一、(本大题共12个小题，每小题5分后，共60分后．在每小题得出的四个选项中，只有一项就是合乎题目建议的)1．锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等同于底乘坐低的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等同于底乘坐低的一半．以上推理运用的推理规则是( )a．三段论推理小说b．假言推理c．关系推理小说d．完全归纳推理[答案] d[解析] 所有三角形按角分，只有锐角三角形、rt三角形和钝角三角形三种情形，上述推理穷尽了所有的可能情形，故为完全归纳推理．2．数列1,3,6,10,15，…的关系式公式可能将就是( )a.a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈n*)b.a1＝1，an＝an－1＋n(n∈n*，n≥2)c.a1＝1，an＋1＝an＋(n－1)(n∈n*)d.a1＝1，an＝an－1＋(n－1)(n∈n*，n≥2)[答案] b[解析] 记数列入{an}，由未知观测规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，所述当n≥2时，an比an－1多n，可以得关系式关系a1＝1，an－an－1＝n(n≥2，n∈n*)．3．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )a．大前提错误b．小前提错误c．推理小说形式错误d．不是以上错误[答案] c[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选c.4．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈n*)时，检验n ＝1，左边马热里角的项是( )a．1b．1＋2c．1＋2＋3d．1＋2＋3＋4[答案] d[解析] 当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故高文瑞d.5．在r上定义运算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1对任意实数x都成立，则( )a．－1＜a＜1b．0＜a＜2c．－12＜a＜32d．－32＜a＜12[答案] c[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)?(x＋a)<1的简化形式，再求其恒成立时a的取值范围．(x－a)?(x＋a)<1?(x－a)(1－x－a)<1即x2－x－a2＋a＋1>0不等式恒设立的充要条件就是δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0即4a2－4a－3<0解得－126．未知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )a．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13b．f(n)中共存有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14c．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13d．f(n)中共存有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14[答案] d[解析] 项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故高文瑞d.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )a．大于0b．小于0c．不大于0d．不大于0[答案] d[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－a2＋b2＋c22≤0.数学分析2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab＋bc＋ac ＝ab＜0，确定a、b、c，挑选d.8．已知c＞1，a＝c＋1－c，b＝c－c－1，则正确的结论是( )a．a＞bb．a＜bc．a＝bd．a、b大小不定[答案] b[解析] a＝c＋1－c＝1c＋1＋c，b＝c－c－1＝1c＋c－1，因为c＋1>c>0，c>c－1>0，所以c＋1＋c>c＋c－1>0，所以a9．若凸k边形的内角和为f(k)，则凸(k＋1)边形的内角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等于( )a．f(k)＋π2b．f(k)＋πc．f(k)＋32πd．f(k)＋2π[答案] b[解析] 由凸k边形到凸(k＋1)边形，增加了一个三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.10．若sinaa＝cosbb＝coscc，则△abc就是( )a．等边三角形b．存有一个内角就是30°的直角三角形c．等腰直角三角形d．存有一个内角就是30°的等腰三角形[答案] c[解析] ∵sinaa＝cosbb＝coscc，由正弦定理得，sinaa＝sinbb＝sincc，∴sinbb＝cosbb＝coscc＝sincc，∴sinb＝cosb，sinc＝cosc，∴∠b＝∠c＝45°，∴△abc是等腰直角三角形．11．若a＞0，b＞0，则p＝(ab)a＋b2与q＝ab?ba的大小关系就是( )a．p≥qb．p≤qc．p＞qd．p＜q[答案] a若a＞b，则ab＞1，a－b＞0，∴pq＞1；若0＜a＜b，则0＜ab＜1，a－b＜0，∴pq＞1；若a＝b，则pq＝1，∴p≥q.12．设立函数f(x)定义如下表中，数列{xn}满足用户x0＝5，且对任一的自然数均存有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝( )x12345f(x)41352a.1b．2c．4d．5[答案] c[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2021＝x3＝4，故应选c.二、题(本大题共4个小题，每小题4分后，共16分后．将恰当答案填上在题中横线上)13．半径为r的圆的面积s(r)＝πr2，周长c(r)＝2πr，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr.①①式需用语言描述为：圆的面积函数的导数等同于圆的周长函数．对于半径为r的球，若将r看做(0，＋∞)上的变量，恳请你写下类似①式的式子：______________________________，你写给的式子需用语言描述为__________________________．[答案] 43πr3′＝4πr2；球的体积函数的导数等于球的表面积函数．14．未知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈n*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k＋1)－f(2k)＝________.[答案] 12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1[解析] f(2k＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋1f(2k)＝1＋12＋13＋ (12)f(2k＋1)－f(2k)＝12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋1.15．观察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.两式的结构特点可以明确提出一个悖论的等式为________________．[答案] si n2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34[解析] 观测40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，由此猜想：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝34.可以证明此结论是正确的，证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα?cos(30°＋α)＝1－cos2α2＋1＋cos(60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋12[cos(60°＋2α)－cos2α]＋12sin(30°＋2α)－12＝1＋12[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋12sin(30°＋2α)－12＝34－12sin(30°＋2α)＋12sin(30°＋2α)＝34.16．设p就是一个数集，且至少所含两个数，若对任一a、b∈p，都存有a＋b、a－b、ab、ab∈p(除数b≠0)，则表示p就是一个数域．比如有理数集q就是数域；数集f＝{a＋b2a，b∈q}也就是数域．存有以下命题：①整数集是数域；②若有理数集q?m，则数集m必为数域；③数域必为无限集；④存有无穷多个数域．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ③④[解析] 考查理解、分析等学习能力．①整数a＝2，b＝4，ab不是整数；②如将有理数集q，添上元素2，得到数集m，则取a＝3，b＝2，a＋b?m；③由数域p的定义言，若a∈p，b∈p(p中至少所含两个元素)，则存有a＋b∈p，从而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必所含无穷多个元素，∴③对．④设x是一个非完全平方正整数(x>1)，a，b∈q，则由数域定义知，f＝{a＋bxa、b∈q}必是数域，这样的数域f有无穷多个．三、答疑题(本大题共6个小题，共74分后．求解应允写下文字说明、证明过程或编程语言步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.澄清：a2＋b2＋c2≥13.[证明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相乘得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥13.18．(本题满分12分后)证明以下等式，并从中概括出来一个一般性的结论．2cosπ4＝2，2cosπ8＝2＋2，2cosπ16＝2＋2＋2，……[证明] 2cosπ4＝2?22＝22cosπ8＝21＋cosπ42＝2?1＋222＝2＋22cosπ16＝21＋cosπ82＝21＋122＋22＝2＋2＋2…19．(本题满分12分)已知数列{an}满足a1＝3，an?an－1＝2?an－1－1.(1)谋a2、a3、a4；(2)求证：数列1an－1是等差数列，并写出数列{an}的一个通项公式． [解析] (1)由an?an－1＝2?an－1－1得an＝2－1an－1，代入a1＝3，n依次值域2,3,4，得a2＝2－13＝53，a3＝2－35＝75，a4＝2－57＝97.(2)证明：由an?an－1＝2?an－1－1变形，得(an－1)?(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，即1an－1－1an－1－1＝1，所以{1an－1}是等差数列．由1a1－1＝12，所以1an－1＝12＋n－1，变形得an－1＝22n－1，所以an＝2n＋12n－1为数列{an}的一个通项公式．20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上以增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负根．[解析] (1)证法1：余因子x1，x2∈(－1，＋∞)，何不设x10，且ax1>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x2)－f(x1)＝x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝(x2－2)(x1＋1)－(x1－2)(x2＋1)(x1＋1)(x2＋1)＝3(x2－x1)(x1＋1)(x2＋1)>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋1>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝axlna＋x＋1－(x－2)(x＋1)2＝axlna＋3(x＋1)2∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋3(x＋1)2>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒设立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)数学分析1：设立存有x0<0(x0≠－1)满足用户f(x0)＝0则ax0＝－x0－2x0＋1，且0∴0故方程f(x)＝0没负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)①若－1②若x00，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)0，即方程f(x)＝0无负根．21．(本题满分12分后)我们晓得，在△abc中，若c2＝a2＋b2，则△abc就是直角三角形．现在恳请你研究：若cn＝an＋bn(n＞2)，问△abc为何种三角形？为什么？[解析] 锐角三角形∵cn＝an＋bn(n＞2)，∴c＞a,c＞b，由c就是△abc的最小边，所以必须证△abc就是锐角三角形，只需证角c为锐角，即为证cosc＞0.∵cosc＝a2＋b2－c22ab，∴必须证cosc＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：an＋bn＝cn，于是将①等价变形为：(a2＋b2)cn－2＞cn.②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴cn－2＞an－2，cn－2＞bn－2，即cn－2－an－2＞0，cn－2－bn－2＞0，从而(a2＋b2)cn－2－cn＝(a2＋b2)cn－2－an－bn＝a2(cn－2－an－2)＋b2(cn－2－bn－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cosc＞0，c就是锐角，△abc为锐角三角形．22．(本题满分14分)(2021?安徽理，20)设数列a1，a2，…an，…中的每一项都不为0.证明{an}为等差数列的充份必要条件就是：对任何n∈n＋，都存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1.[分析] 本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路就是利用裂项议和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明] 先证必要性．设立数列{an}的公差为d.若d＝0，则所述等式似乎设立．若d≠0，则1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝1da2－a1a1a2＋a3－a2a2a3＋…＋an＋1－ananan＋1＝1d1a1－1a2＋1a2－1a3＋…＋1an－1an＋1＝1d1a1－1an＋1＝1dan＋1－a1a1an＋1＝na1an＋1.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设立所述的等式对一切n∈n＋都设立．首先，在等式1a1a2＋1a2a3＝2a1a3两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设ak＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观测如下两个等式1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＝k－1a1ak，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1ak－1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1②将①代入②，得k－1a1ak＋1akak＋1＝ka1ak＋1，在该式两端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak.将ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈n，都有an＝a1＋(n－1)d，所以{an}是公差为d的等差数列．证法2：(轻易证法)依题意存有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝na1an＋1，①1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＋1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋1.②②－①得1an＋1an＋2＝n＋1a1an＋2－na1an＋1，在上式两端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③同理只须a1＝nan－(n－1)an＋1(n≥2)④③－④得2nan＋1＝n(an＋2＋an)即an＋2－an＋1＝an＋1－an，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈n*均成立．所以{an}是等差数列．。
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析
高二数学合情推理与演绎推理试题答案及解析1.观察下列式子：根据以上式子可以猜想：A．B．C．D．【答案】C【解析】由可以发现：每一项不等式右边的分子恰好构成一个以3为首项以2为公差的等差数列，分母恰好构成一个以2为首项以1为公差的等差数列，此项为2013项所以此时右边为.【考点】归纳推理.2.观察下列等式23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，53=21+23+25+27+29，，若类似上面各式方法将m3分拆得到的等式右边最后一个数是131，则正整数m等于_________．【答案】11【解析】由题意可知131是按规律加的第个奇数，因此，解得m=11或m=-12（舍），答案为11.【考点】归纳推理与等差数列的通项公式3.观察分析下表中的数据：多面体面数（）顶点数（)棱数（)569猜想一般凸多面体中，所满足的等式是_________.【答案】【解析】对三棱锥，5+8-9=2，对五棱锥，6+6-10=2，对立方体，6+8-12=2，可归纳得.【考点】归纳推理4.观察下列各式：则______;【答案】123【解析】此题为推断题，观察可发现每一个结果（第三个起）为前面两个结果之和.类此计算可得：123.【考点】观察推断能力.5.观察以下个等式：照以上式子规律：写出第个等式，并猜想第个等式；用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【答案】（1）;（2）【解析】（1）根据题目给我们的几个式子易得出结论；（2）先猜想第n个式子为，当n=1,n=k时的式子成立，然后利用规纳总结也成立，即可证明．试题解析：（1）第6个等式为 2分（2）猜想：第个等式为 4分下面用数学归纳法给予证明：①当时，由已知得原式成立； 5分②假设当时，原式成立，即 6分那么，当时，故时，原式也成立 11分由①②知，成立 13分【考点】1，学生对规律的把握2，学生对规纳总结方法的应用．6.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则=_______.【答案】【解析】由题意得：【考点】归纳猜想7.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则=_______。
【高二】演绎推理综合测试题(有答案)
新县高中2013级历史学科导学案（26）课百花齐放百家争鸣同步学案（人教版必修3）学习目标引领课标知道我国“百花齐放,百家争鸣”的方针,讨论在贯彻“双百”方针过程中取得的经验和教训。
重点“双百”方针及其贯彻中的经验教训。
难点“双百”方针遭遇曲折的原因。
【问题思考】1．“双百”方针的内涵是什么？2．“文革”时期，“双百”方针遭到曲折的原因有哪些？3．“文革”结束后，出现“文艺的春天”的原因有哪些？探究一“双百”方针的提出1．材料下图是毛泽东题写的“百花齐放，百家争鸣”。
1956年4月28日，毛泽东在中共中央政治局扩大会议上提出：“百花齐放，百家争鸣”，应该成为我国发展科学、繁荣文学艺术的方针。
5月26日，中共中央宣传部部长陆定一在怀仁堂作了《百花齐放，百家争鸣》的讲话，对中共中央确定的这个方针作了全面阐述。
问题“双百”方针是在什么情况下提出来的？2．问题全面建设社会主义时期提出的“百家争鸣”与春秋战国时期的“百家争鸣”有何不同？3．材料在当代中国，发展先进文化，就是发展面向现代化、面向世界、面向未来的，民族的、科学的、大众的社会主义文化——立足于改革开放和现代化建设的实践，着力于世界文化发展的前沿，发扬民族文化的优秀传统，汲取世界各民族的长处，在内容和形式上积极创新，不断增强中国特色社会主义文化的吸引力和感召力。
——江泽民《全面建设小康社会，开创中国特色社会主义事业新局面》问题“双百”方针有何现实意义？探究二“双百”方针的实施1．问题新中国成立以来，文学艺术创作出现了哪两个高峰？简述产生这两个高峰的主要原因。
2．问题“百花齐放，百家争鸣”是中国共产党根据“国家需要迅速发展经济和文化的迫切需求”而提出的一个基本方针。
但是，从1957年开始，直到“文化大革命”结束，这一方针却没有得到很好的落实。
在贯彻“双百”方针过程中有哪些经验和教训？一、选择题1．下图所示邮票中文学艺术方针在建国后首次提出的背景包括()①中国社会主义社会矛盾已经消失②三大改造基本完成③大规模经济建设已开始④知识分子还未能在社会主义建设中发挥更大作用A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④2．在1956年中共中央召开的关于知识分子问题会议上，周恩来讲到必须“采取一系列有效的措施，最充分地动员和发挥现有知识分子的力量……以适应国家对知识分子的不断增长的需要”。
高中数学 第二章《合情推理与演绎推理》综合测试 新人教B版选修2-2
高中推理与证明综合测试题新课标选修（2-2）一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ）Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥Ｃ．n 为正奇数Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ）Ａ．4857b b b b +>+Ｂ．5748b b b b +>+Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<， ，则可归纳出式子为（ ）Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<- ≥Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+ ≥Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++< ≥Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+ ≥答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n +=+Ｂ．120nS mS S m n +=+==答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ）Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）Ａ．假设a b c ，，都是偶数Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=- ····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ）Ａ．21k +Ｂ．2(21)k +Ｃ．211k k ++Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x x a a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ）①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+；②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-；③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-；④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③Ｂ．②④Ｃ．①④Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ）Ａ．22005Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论125101743611189871219161514132014．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n n f >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ．答案：111121222k k k ++++++ 15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BDBC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCDS SS=△△△·是一个真命题．证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥．因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥．又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·．于是22111222ABCBCMBCDSBC AE BC EM BC ED S S⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点．求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，．N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形，CDAB ∴∥，且CD AB =．ENAM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ，MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线，CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ，AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫⎪⎝⎭·，正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l ，得11π4>．因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a cac +，2b cbd +，所以122a cb dac bd ++++=≤，这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··，又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+，于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++ 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>，所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++ ．（1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++ ．则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++ 111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦．因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++．所以当1n k =+时不等式也成立．由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++ ，所以a 的最大值等于25．高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（ ）Ａ．“若22m n =··，则m n =”类比得出“若00m n =··，则m n =”Ｂ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“()a b c ac bc =··”Ｃ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“(0)a b a bc c c c+=+≠”Ｄ．“()n n n pq p q =·”类比得出“()n n n p q p q +=+”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）Ａ．25Ｂ．66Ｃ．91Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ）Ａ．①Ｂ．②Ｃ．③Ｄ．①和②答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ）Ａ．1Ｂ．12+Ｃ．123++Ｄ．1234+++答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos 2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（ ）Ａ．分析法Ｂ．综合法Ｃ．分析法和综合法综合使用Ｄ．间接证法答案：Ｂ6<成立，则a b ，应满足的条件是（ ）Ａ．0ab <且a b >Ｂ．0ab >且a b>Ｃ．0ab <且a b <Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b<答案：Ｄ7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）Ａ．三角形Ｂ．梯形Ｃ．平行四边形Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）Ａ．有两个内角是钝角Ｂ．有三个内角是钝角Ｃ．至少有两个内角是钝角Ｄ．没有一个内角是钝角答案：Ｃ9．用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为（ ）Ａ．41412156325(35)k k k +++++·Ｂ．441223355k k ++··Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++答案：Ａ10．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ）Ａ．212r Ｂ．212l Ｃ．12rlＤ．不可类比答案：Ｃ11．已知1m >，a =，b =，则以下结论正确的是（ ）Ａ．a b >Ｂ．a b <Ｃ．a b =Ｄ．a ，b 大小不定答案：Ｂ12．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=， ，可以得出的一般结论是（ ）Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-答案：Ｂ二、填空题13．已知21111()12f n n n n n=++++++ ，则()f n 中共有 项．答案：21n n -+14．已知经过计算和验证<，<+<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式 ．答案：当20m n +=时+15．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．答案：265n a n =-16．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题17．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数．设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++．24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a 一定是偶数．18．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列)n b n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++= 也是等差数列．证明如下：设等差数列{}n a 的公差为d ，则12nn a a a b n+++= 11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列．19．已知a b c >>，且0a b c ++=，求证<．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证<r ，即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<，即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．20．用三段论方法证)a b c ++++．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提），)b a b ++（两次省略了大前提，小前提），)b c +)c a >+，)a b c +++．（省略了大前提，小前提）21．由下列不等式：112>，111123++>，111312372++++> ，111122315++++> ， ，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1111()23212n n n *++++>∈-N ．用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，112>，猜想成立；（2）假设当n k =时，猜想成立，即111123212k k++++>- ，则当1n k =+时，111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+- ，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．22．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++ 对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立．令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+ 对一切正整数n 都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=- ，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+ 2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++ 424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·．由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，斜边AB上的高为h，则有结论h2=，运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，且三棱锥的直角顶点到底面的高为h，则有结论：．【答案】h2=【解析】如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱，三棱锥P-ABC的高为PD=h，连接AD交BC于E，∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC，PE⊂平面PBC，∴PA⊥PE，PA⊥BC，∴AE⊥BC，PE⊥BC,=【考点】类比推理．2.设点C在线段AB上（端点除外），若C分AB的比，则得分点C的坐标公式，对于函数上任意两点，，线段AB必在弧AB上方．由图象中的点C在点C′正上方，有不等式成立．对于函数的图象上任意两点，，类比上述不等式可以得到的不等式是_________ ．【答案】.【解析】根据函数的图像可知，函数上任意两点A（a，a2），B（b，b2），线段AB必在弧AB上方，设C分AB的比，则得分点C的坐标公式由图像中点C在点C′上方可得成立.据此我们从图像可以看出：函数的图像是向下凹的，类比对数函数可知，对数函数的图像是向上凸的，分析函数的图像，类比上述不等式，可以得到的不等式是.【考点】类比推理．3.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数，第个三角形数为.记第个边形数为（），以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数可以推测的表达式，由此计算 .【答案】【解析】事实上我们可以换种方式来表达这些多边形数，如：，，，，从中不难发现其中的规律：就是表示以为首相，为公差的等差数列前项的和，即有，所以.【考点】推理知识和等差数列知识的综合.4.①由“若a，b，c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；②在数列{an }中，a1＝0，an＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中，正确的个数为()A．0B．1C．2D．3【答案】【解析】①显然错误,向量没有结合律;②根据,可构造出,即,可得,该数列是公比为2,首项是的等比数列,所以其通项公式为,可得,正确;③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三个侧面的面积之和大于底面面积.正确.【考点】向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.5.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图的规律拼成若干个图案，则第4个图案中有白色地面砖________________块．【答案】18【解析】由图形间的关系可以看出，第1个图案中有白色地面砖6块，第4个图案中有白色地面砖6+4块，第4个图案中有白色地面砖6+24块，第4个图案中有白色地面砖6+34块，故答案为18块.【考点】归纳推理.6.观察下列各式：，，，，，，则（）A．28B．C．D．【答案】B【解析】观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第八项．继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，，第十项为47，即．【考点】归纳推理．7.若函数，则对于，【答案】【解析】当时，，则当时，故【考点】归纳推理8.当成等差数列时，有当成等差数列时，有当成等差数列时，有由此归纳，当成等差数列时，有．如果成等比数列，类比上述方法归纳出的等式为______________．【答案】【解析】根据等差数列与等比数列类比是升级运算，因此在等差数列种有，如果成等比数列，则．【考点】本题考查类比推理、等差和等比数列的类比．9.观察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________(n∈N＋)．【答案】1＋＋＋…＋>【解析】3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋＋＋…＋>10.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA、SB、SC和底面ABC，所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面SBC，SAC，SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．【答案】猜想成立【解析】在△DEF中(如图)，由正弦定理得. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想成立．11.对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解式：，，，；，，；，；按此规律，的分解式中的第三个数为 ____ ．【答案】【解析】解：根据题意：所以＝故答案应填：【考点】合情推理.12.下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线平面，直线平面；所以直线直线，在这个推理中（）A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误【答案】D【解析】如果直线平行于平面，则这条直线只是与平面内的部分直线平行，而不是所有直线，所以大前提错误，当直线平面，直线平面时，直线与直线可能平行，也可能异面，故结论错误，选D.【考点】演绎推理.13.观察按下列顺序排列的等式：，……，猜想第（）个等式应为_ _.【答案】【解析】这是一个归纳推理的问题，要想从一部分个体具有的性质来猜想一般情形具有的性质，需要对给出的等式进行认真观察，发现其中变化的规律，从而作出正确的猜想，等式左边第一部分与9相乘的数从0开始逐渐增加1，等式左边的第二部分从1开始逐渐增加1，等式右边从1开始，逐渐增加10，所以可猜想第个等式为.【考点】归纳推理.14.把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形，则第七个三角形数是()A．21B．28C．32D．36【答案】B【解析】原来三角形数是从l开始的连续自然数的和．l是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，10是第四个三角形数，15是第五个三角形数…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．解：原来三角形数是从l开始的连续自然数的和． l是第一个三角形数， 3是第二个三角形数， 6是第三个三角形数， 10是第四个三角形数， 15是第五个三角形数，…那么，第七个三角形数就是：l+2+3+4+5+6+7=28．故选B．【考点】合情推理点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，注意总结规律15.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，若，则是函数的极值点.因为在处的导数值，所以是的极值点. 以上推理中A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确【答案】A【解析】根据极值点的概念可知：若，则不一定是函数的极值点，∴本题的推理中大前提错误，故选A【考点】本题考查了演绎推理的概念点评：演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实，结论完全蕴涵于前提之中。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于A．演绎推理B．类比推理C．合情推理D．归纳推理【答案】A【解析】解：因为“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于演绎推理，从一般到特殊点思想，选A2.若数列的通项公式，记，试通过计算的值，推测出 .【答案】【解析】因为,所以. 3.在平面几何中,有射影定理：“在中,, 点在边上的射影为,有.”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有.”【答案】【解析】根据类比的规则，三角形类比三棱锥，边类比成面.所以.4.把正整数1,2,3,4,5,6,……按某种规律填入下表，261014按照这种规律继续填写，2011出现在第______行第______列.【答案】【解析】观察规律：（1，2，3，4），（5，6，7，8）…每4个为一周期，2012是第502组最后一个，处于中间一行，故2011在前一列最后一行，即第3行；而（1，2，3，4），（5，6，7，8）…从列数来看，为每3列为一周期，4为第一列，2012位于3+5023=1509列，故2011在第1508列。
5.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为( ) A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】A【解析】直线平行于平面,则平行于平面内所有直线显然错误.因为直线与平面内的直线可能平行也可能异面.6.将1，2，3，…，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数（）A．6种B．12种C．18种D．24种【答案】A【解析】由题意可知1，2，9的位置是确定的.其它位置有6种方法.7.在等差数列中，有，类比上述性质，在等比数列中，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：因为在等差数列中，有，类比上述性质，和对应积，因此在等比数列中，8.无限循环小数为有理数，如：，… 观察＝，＝，＝，…，则可归纳出＝_____ ___.【答案】【解析】解：无限循环小数为有理数，如：，…观察＝，＝，＝，…，则可归纳出＝9.观察下列式子：，，，… ，根据以上式子可以猜想：.【答案】【解析】解：因为根据已知关系式，可知，分母为项数，分子为项数的2倍减1，则那么猜想10.下列正确的是（▲）A．类比推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由特殊到一般的推理C．归纳推理是由个别到一般的推理D．合情推理可以作为证明的步骤【答案】C【解析】此题考查几种推理的概念；类比推理是有共同属性的两种事物之间的推理，归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理与归纳推理都是合情推理，但结论不一定正确，演绎推理是从一般到特殊的推理，所以C正确。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.设等差数列的前n项和为则成等差数列.类比以上结论有:设等比数列的前n项积为则，，成等比数列．【答案】【解析】当数列是等差数列时成立，所以由类比推理可得：当数列是等差数列时应为.【考点】类比推理.2.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出与的关系式，（Ⅲ）根据你得到的关系式求的表达式.【答案】（Ⅰ）41（Ⅱ）f(n+1)-f(n)=4n（Ⅲ）f(n)=2n2-2n+1【解析】（Ⅰ）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，从而得出f（5）；（Ⅱ）将（Ⅰ）总结一般性的规律：f（n+1）与f（n）的关系式，（Ⅲ）再从总结出来的一般性的规律转化为特殊的数列再求解即得．试题解析：（Ⅰ）f(1)=1,f(2)=5,f(3)=13,f(4)=25, 2分f(5)=25+4×4=41. 4分（Ⅱ）f(2)-f(1)=4=4×1. f(3)-f(2)=8=4×2,f(4)-f(3)=12=4×3, f(5)-f(4)=16=4×4, 6分由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n. 8分（Ⅲ）f(2)-f(1)=4×1, f(3)-f(2)=4×2, f(4)-f(3)=4×3, f(n-1)-f(n-2)=4·(n-2), f(n)-f(n-1)=4·(n-1) 10分f(n)-f(1)="4[1+2+" +（n-2）+（n-1)]=2(n-1)·n,f(n)=2n2-2n+1 12分【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．3.已知……根据以上等式，可猜想出的一般结论是____．【答案】．【解析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第个等式，等式左边为个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从到，分母为，右式为；将规律表示出来可得答案．【考点】归纳推理．4.设ΔABC的三边长分别为、、，ΔABC的面积为，则ΔABC的内切圆半径为，将此结论类比到空间四面体：设四面体S—ABCD的四个面的面积分别为，，，，体积为，则四面体的内切球半径= ．【答案】【解析】根据类比原理，ΔABC的面积为，四面体的体积为，因此【考点】类比5.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数，则=_______。
高二数学合情推理与演绎推理试题
高二数学合情推理与演绎推理试题1.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）是他们刺绣最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第个图形包含个小正方形.（Ⅰ）求出的值；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出与之间的关系式，并根据你得到的关系式求出的表达式；（Ⅲ）求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）因为由上式规律，所以得出因为（Ⅲ）当时，,则【考点】本题主要考查归纳推理，“裂项相消法”。
点评：中档题，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。
归纳推理问题，往往与数列知识相结合，需要综合应用数列的通项公式、求和公式等求解。
2.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（）①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③【答案】C【解析】平面中的边类比到立体中的边或面，平面中的两线夹角类比到立体中的棱的夹角或两面的夹角【考点】归纳类比点评：归纳类比题目要根据被类比的事物的特征找到他们相似相通的地方加以迁移变换3.“因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提为（）A．矩形都是对角线相等的四边形B．正方形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形【答案】A【解析】解：因为“因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，那么前提必须是矩形具有该性质，所以以上推理的大前提矩形都是对角线相等的四边形，选A4.在中，两直角边分别为，设为斜边上的高，则，类比此性质，如图，在四面体P—ABC 中，若PA，PB，PC两两垂直，且长度分别为，设棱锥底面上的高为，则得到的正确结论为 .【答案】【解析】解：由平面图形的性质类比猜想空间几何体的性质，一般的思路是：点到线，线到面，或是二维到三维由题目中Rt△ABC中两直角边为a、b，斜边c上的高为h，则中的结论是二维的边与边的关系，类比后的结论应该为三维的边与边的关系，故可猜想：，故答案为：．5.对于……大前提……小前提所以……结论以上推理过程中的错误为（）A．大前提B．小前提C．结论D．无错误【答案】B【解析】小前提错误，因为没说明x>0.6.下面使用类比推理正确的是（）.A．“若,则”类推出“若,则”B．“若”类推出“”C．“若”类推出“（c≠0）”D．“” 类推出“”【答案】C【解析】解：A.“若,则”类推出“若,则”，结论错误。
高二选修数学推理的练习题
高二选修数学推理的练习题高二选修数学推理练习题在高二选修数学中，推理是一项重要的技能。
通过解决练习题，我们可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
下面是一些高二选修数学推理的练习题，帮助你巩固这个技能。
练习题一：条件语句推理1. 如果一个整数可以被6整除，那么它一定可以被3整除吗？2. “如果下雨，那么地面湿润。
”这个条件语句是真还是假？3. 如果一个三角形是等边三角形，那么它一定是等腰三角形吗？练习题二：逻辑推理1. 玛丽是学霸，所有学霸都喜欢阅读。
那么玛丽一定喜欢阅读吗？2. 如果2x + 1 = 5, 那么x = 2吗？3. 所有鸟都有翅膀，企鹅没有翅膀。
那么企鹅是不是鸟？练习题三：数学推理1. 如果一个数是偶数，那么它的平方也是偶数吗？2. 如果一个数的平方是偶数，那么这个数一定是偶数吗？3. 如果a > b，并且b > c，那么a > c吗？练习题四：反证法证明：根号2是一个无理数。
解答：假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值：根号2 = p/q (p和q互质)根据等式两边平方可得：2 = p^2 / q^2将上述等式变形得：p^2 = 2q^2由此可以得知p^2为偶数，因此p也为偶数，即p = 2k (k为整数)将p = 2k代入上式得：(2k)^2 = 2q^2，整理得4k^2 = 2q^2进一步化简可得2k^2 = q^2，由此可得q也为偶数由于p和q都为偶数，与p和q互质相矛盾，所以假设不成立，根号2是一个无理数。
练习题五：归谬法判断下列推理是否成立：如果成立，请给出推理步骤；如果不成立，请解释为什么。
1. 如果小明喜欢数学，那么他在数学竞赛中会得奖。
小明在数学竞赛中得奖了，所以他喜欢数学。
2. 如果今天下雨，那么我会带伞。
我带了伞，所以今天一定下雨了。
以上是一些高二选修数学推理的练习题，通过解答这些题目，你可以锻炼自己的推理能力和逻辑思维能力。
希望这些练习对你有所帮助！注意：请不要直接复制本文中的答案，而是尝试亲自解答练习题，然后对照参考答案检查解答的正确性。
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选修2-2 2.1.2 演绎推理
一、选择题
1．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是()
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析]由大前提、小前提、结论三者的关系，知大前提是：矩形是对角线相等的四边形．故应选B.
2．“①一个错误的推理或者前提不成立，或者推理形式不正确，②这个错误的推理不是前提不成立，③所以这个错误的推理是推理形式不正确．”上述三段论是()
A．大前提错
B．小前提错
C．结论错
D．正确的
[答案] D
[解析]前提正确，推理形式及结论都正确．故应选D.
3．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()
A ．类比推理
B ．归纳推理
C ．演绎推理
D ．一次三段论
[答案] C
[解析] 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
4．“因对数函数y ＝log a x (x >0)是增函数(大前提)，而y ＝log 13x
是对数函数(小前提)，所以y ＝log 13x 是增函数(结论)”．上面推理的
错误是( )
A ．大前提错导致结论错
B ．小前提错导致结论错
C ．推理形式错导致结论错
D ．大前提和小前提都错导致结论错
[答案] A
[解析] 对数函数y ＝log a x 不是增函数，只有当a >1时，才是增函数，所以大前提是错误的．
5．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形”中的小前提是( )
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②
[答案] B
[解析]由①②③的关系知，小前提应为“三角形不是平行四边形”．故应选B.
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的”中的小前提是()
A．①
B．②
C．①②
D．③
[答案] B
[解析]易知应为②.故应选B.
7．“10是5的倍数，15是5的倍数，所以15是10的倍数”上述推理()
A．大前提错
B．小前提错
C．推论过程错
D．正确
[答案] C
[解析]大小前提正确，结论错误，那么推论过程错．故应选C.
8．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()
A．正确
B．推理形式正确
C．两个自然数概念不一致
D．两个整数概念不一致
[答案] A
[解析]三段论的推理是正确的．故应选A.
9．在三段论中，M，P，S的包含关系可表示为()
[答案] A
[解析]如果概念P包含了概念M，则P必包含了M中的任一
概念S，这时三者的包含可表示为；
如果概念P排斥了概念M，则必排斥M中的任一概念S，这时
三者的关系应为．故应选A.
10．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是() A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
二、填空题
11．求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是a 有意义时，a ≥0，小前提是log 2x －2有意义，结论是________．
[答案] log 2x －2≥0
[解析] 由三段论方法知应为log 2x －2≥0.
12．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a 2＋b 2≥2ab ，
∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab .
[答案] 若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c
[解析] 由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a 2＋b 2，故大前提为：若a ≥b ，则a ＋c ≥b ＋c .
13．(2010·重庆理，15)已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x
＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2010)＝________.
[答案] 12
[解析] 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1)
即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1) ①
令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②
由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)，
即f (x －1)＝－f (x ＋2)
∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)
∴f (x )＝f (x ＋6)
即f (x )周期为6，
∴f (2010)＝f (6×335＋0)＝f (0)
对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得
4f (1)f (0)＝2f (1)，
∴f (0)＝12即f (2010)＝12. 14．四棱锥P －ABCD 中，O 为CD 上的动点，四边形ABCD 满足条件________时，V P －AOB 恒为定值(写出一个你认为正确的一个条件即可)．
[答案] 四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等
[解析] 设h 为P 到面ABCD 的距离，V P －AOB ＝13S △AOB ·h ，
又S △AOB ＝12|AB |d (d 为O 到直线AB 的距离)．
因为h 、|AB |均为定值，所以V P －AOB 恒为定值时，只有d 也为定值，这是一个开放型问题，答案为四边形ABCD 为平行四边形或矩形或正方形等．
三、解答题
15．用三段论形式证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，则∠B＝∠C.
[证明]如下图延长AB，DC交于点M.
①平行线分线段成比例大前提
②△AMD中AD∥BC小前提
③MB
BA
＝MC
CD
结论
①等量代换大前提
②AB＝CD小前提
③MB＝MC结论
在三角形中等边对等角大前提
MB＝MC小前提
∠1＝∠MBC＝∠MCB＝∠2结论
等量代换大前提
∠B＝π－∠1∠C＝π－∠2小前提
∠B＝∠C结论
16．用三段论形式证明：f(x)＝x3＋x(x∈R)为奇函数．
[证明]若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数大前提
∵f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f(x)小前提
∴f(x)＝x3＋x是奇函数结论
17．用三段论写出求解下题的主要解答过程．
若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，求实数a的值．
[解析]推理的第一个关键环节：
大前提：如果不等式f(x)＜0的解集为(m，n)，且f(m)、f(n)有意义，则m、n是方程f(x)＝0的实数根，
小前提：不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，且x＝－1与x＝2都使表达式|ax＋2|－6有意义，
结论：－1和2是方程|ax＋2|－6＝0的根．
∴|－a＋2|－6＝0与|2a＋2|－6＝0同时成立．
推理的第二个关键环节：
大前提：如果|x|＝a，a＞0，那么x＝±a，
小前提：|－a＋2|＝6且|2a＋2|＝6，
结论：－a＋2＝±6且2a＋2＝±6.
以下可得出结论a＝－4.
18．设A(x1，y1)、B(x2，y2)两点在抛物线y＝2x2上，l是AB的垂直平分线．
(1)当且仅当x1＋x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
(2)当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围．
[解析] (1)F ∈l ⇔|F A |＝|FB |⇔A 、B 两点到抛物线的准线的距离相等．
∵抛物线的准线是x 轴的平行线，y 1≥0，y 2≥0，依题意，y 1，y 2不同时为0.
∴上述条件等价于
y 1＝y 2⇔x 21＝x 22⇔(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝0.
∵x 1≠x 2，∴上述条件等价于x 1＋x 2＝0，即当且仅当x 1＋x 2＝0时，l 经过抛物线的焦点F .
(2)设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为y ＝2x ＋b ；过
点A 、B 的直线方程为y ＝－12x ＋m ，所以x 1，x 2满足方程2x 2＋12x －
m ＝0，得x 1＋x 2＝－14.
A 、
B 为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式Δ＝14＋
8m >0，即m >－132.设AB 的中点N 的坐标为(x 0，y 0)，则
x 0＝12(x 1＋x 2)＝－18，
y 0＝－12x 0＋m ＝116＋m .
由N ∈l ，得116＋m ＝－14＋b ，于是
b ＝516＋m >516－132＝932.
即得l 在y 轴上截距的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫932，＋∞.。