单位脉冲函数及傅里叶变换的性质

点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的
方式加以解决.
0 t0
给函数序列
源自文库
d
(t
)
1
0t ，
d(t)
1/
0 t
定义
d
(t)
lim
0
d
(t
)
0
t 0。 t0
O
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
d (t)d t lim
0
d
(t)d t
lim
0
1 dt 1
0
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛选性质)
d (t) f
(t)d t
f
(0) 及
d (t
t0 )
f
(t)d t
f
(t0 ) .
（f
t 为连续函数）
(2) d函数为偶函数，即d (t) d (t) .
| f (t) | dt
例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函 数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用 单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅 氏变换.
例4 求正弦函数f (t)=sin0t的傅氏变换。
F () F[ f (t)]
sin
0t
eit
d
t
ei0t e j0t eitd t 1 (ei(0 )t ei(0t ) d t
F 1[AF() BG()] AF 1[F()] BF 1[G()]
2. 位移性质:
若F[ f (t)] F ()，t0 ,0为实常数，则
F [ f (t t0 )] e jt0 F ( )， F 1[F ( 0 )] e j0t f (t)
或F[e j0t f (t)] F ( 0 )
( )
1
2
,
t 0 u(t)
1 2
1
2
1,
t
0
7.2 Fourier变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了
叙述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅 氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件, 在 证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质:
F[af (t) bg(t)] aF[ f (t)] bF[g(t)]
2
1
2
2d
0
1
2
jd
1
2
2d
0
1
2
jd
d
1
2
jd
0
1
0 2
jd
0 .
像函数的微分性：
F() jF[tf (t)] 或F[tf (t)] jF()
F (n) () ( j)nF[tn f (t)] 或F[tn f (t)] jnF (n) ()
由上面两个函数的变换可得
eitd t 2d ()
e d t i(0 )t
2d
(
0 )
注 在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满 足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
t0 t0
则 f (t) g(t) sin 0t.
而 F [g(t)] e at eitdt 1
0
a i
所以 F[ f (t)] i [
1
1
]
2 a i( 0 ) a i( 0 )
2 0
0
(a
i
)2
3. 相似性：
若F[ f (t)] F ()，a 0,则
F[ f (at)] 1 F ( ) ; F 1[F (at)] 1 f ( t )
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) q(0) lim 1
t 0
t
t0 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能
够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进
一称为狄拉克(Dirac)的函数, 简单记成d-函数:
d
t
0
t0 t 0
有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如
d (t) 1
1
2d ()
e j0t 2d ( 0 )
u(t)
1 d () j
et2
2 e 4
例2 利用傅氏变换的性质求d (tt0), ej0t 的傅氏变换.
因 d (t) 1, 由位移性质得 d (t t0 ) e jt0
由 1 2d (),得 ej0t 2d ( 0 )
由卷积的定义有
t0
; , 0, .
t0
0
t
f1(t) f2(t)
f1( ) f2 (t ) d
0
t
0 t e e (t )d 0 et t e d
0
0
et 1 e 1 et et
二、卷积定理：
F[ f g] F[ f ]F[g] F () G()
t
eisds 2d .
证法2：若F()=2d (), 由傅氏逆变换可得
f (t) 1
2d
() eitd
eit
1
2
0
例2 证明ei0t 和2d ( 0 )构成一个傅氏变换对。
证：f (t) 1 F () eitd
2
1
2
2d
(
0
)
eit d
eit
0
ei0t .
即ei0t 和2d ( 0 )构成了一个傅氏变换对。
作业
习题十四 1 2 3 4 6
aa
aa
证明：
F[ f (at)]
1
f
(at
)e
jt
dt
s
at
a
1
a
j s
f (s)e a ds,
j s
f (s)e a ds,
1
j s
f (s)e a ds
1
F( )
a
aa
a0 a0
4.微分性：
原像函数的微分性：
若F[ f (t)] F ()，且 lim f (t) 0,则 t
单位脉冲函数及其傅氏变换 Fourier变换与逆变换的性质
7.1.3单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就 会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
二、d-函数的傅氏变换为:
F[d (t)] F ()
d
(t) eitd t
eit
1
t 0
于是d (t)与常数1构成了一傅氏变换对.
d (t) F 1[1] 1 eitd eitd 2d (t)
2
例1 证明：1和2d ()构成傅氏变换对.
证法1：F 1
1
eit dt
s
2
1
j
e jt d
1 1
2 2
cos
t
j
j
sin
t
d
1 1
2 2
sin t
d
1 2
1
sin t d 0
1 1
2 2
sin t
d
1 2
1
sin t d 0
sint
0
d
2, 2,
t 0
t0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
j
d
复习：
F () f (t)eitdt
f (t) 1 F ()eitd
2
傅氏变换 傅氏逆变换
f (t)FF1 F ()
f (t) F() 傅氏变换对
若F[ f (t)] F(),则F 1[F()] f (t)；
若F 1[F()] f (t),则F[ f (t)] F()
f (t)称为原像函数，F ()称为像函数。
卷积定义： f (t) g(t)
f ( )g(t )d
说明： f1(t) f2 (t)是关于t的函数；
卷积的基本运算规律：
•交换律：f g g f
•加法分配律：f g h f g f h •结合律：f g h f g h
例1 求下列函数的卷积：
0 f1(t) et
F[
f
(t) sin 0t]
i [F (
2
0)
F (
0 )]，
证明：F[ f
(t)cos 0t]
1F[ f 2
(t )ei 0t
f
(t)ei0t ]
1 [F (
2
0 )
F (
0 )]
例1 求指数衰减震荡函数
0
f (t) eat sin 0t
t 0 的傅氏变换. t0
解：
令
0 g(t) eat
5.积分性：
设F[ f (t)] F ()，若 lim t f (s)ds F(0) 0,则 t
t
F[
f (s)ds]
1 F () .
j
6. 帕塞瓦尔(Parserval)等式
设F[ f (t)] F ()，则有
f (t)2 d t 1 F () 2 d .
2
实际上, 只要知道下面五个傅里叶变换, 则很 多傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里 叶变换的性质导出.
例3 若 f (t)=cos0t u(t), 求其傅氏变换。 解：u(t) 1 d () j
e e j0t
j0t
f (t) u(t)
2
F ()
1 2
j(
1
0 )
d (
0 )
j(
1
0 )
d (
0 )
j 02 2
[d (
2
0 ) d (
0 )]
一、卷积的定义及运算规律
F[ f (t)] jF()
一般地，若 lim f (k) (t) 0 k 0,1,2,L , n 1,则 t F f (n) (t) j n F ()
像函数的微分性：
F() jF[tf (t)] 或F[tf (t)] jF()
F (n) () ( j)nF[tn f (t)] 或F[tn f (t)] jnF (n) ()
2i
2i
1 2d
2i
(
0 )
2d (
0)
i
d
(
0)
d
(
0).
sin 0t
t
|F()|
0 O
0
例
5
单位阶跃函数
u(t
)
0, t 1, t
0 0
,
证明：
F[u(t)] 1 d ().
j
证：
F
1
1
j
d
()
1
2
1
j
d
()
e
jt d
1
2
d () e jt d 1
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0) 进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流 i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数, 则
q(t
)
0, 1,
t 0; t 0.
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
dt
t 0
t
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在 普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
t et e（ ） d
0
当t 0时，f1(t) f2(t)
t et e（ ） d
0
t
et t e d et 1 e
0
0
1
et et
0
t0
故
f1 (t )
f2 (t)
1
et et
t0
例1 求下列函数的卷积：
0 t0
0
f1(t) et t 0 , f2 (t) et
t0
0
t 0 , f2 (t) et
t0
; , 0, .
t0
解： Q
0 0或t 0
f1( ) f2 (t ) e(a ) t
0且t- 0
f1( ) f2(t ) 0的区域如右图所示：
当t 0时，f1(t) f2(t) 0
0
t
当t 0时，f1(t) f2(t)
或：F 1[F () G()] f g 化简卷积运算
F[ f g] 1 F[ f ]F[g] F () G() 2
或：F 1[F () G()] 2 f g 化简傅氏变换
（可用于化简卷积运算和傅氏变换）
例2 求 f t e j0ttu t 的傅氏变换。
F [ f (t)] F [e j0ttu(t)] 1 F[e j0t ] F[tu(t)]
证明：F[ f (t t0 )]
f
(t
t0 )e jtdt
s t t0
f (s)e j (st0 )ds
e jt0 f (s)e jsds e j t0 F ( )
推论：
若F[ f (t)] F ()，
则
F[
f
(t) cos 0t]
1 [F (
2
0)
F (
0 )]，