例谈寻找等量关系的方法

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一个量算两次——例谈列方程解应用题

美籍匈牙利数学家乔治 ·波利亚在《数学的发现》中 ,给出了四个具体的解题模式 : 双轨迹模式、笛卡儿模式、递归模式和叠加模式.
其中笛卡儿模式来源于笛卡儿的“万能方法 ”. 笛卡儿曾经设想过所谓的“万能方法 ”, 即认为按照以下的模式就可以有效地解决一切问题 :第一 , 把任何问题都转化为数学问题 ; 第二 , 把任何数学问题转化为代数问题 ; 第三 ,把任何代数问题归结为解方程. 波利亚指出 ,笛卡儿的设想在某些情况下并不适用 , 因此不能被看成是一种万能的方法 ; 但是尽管笛卡儿的设想最后并未成功 ,仍然不失为一个伟大的思想 . 事实上 , 在波利亚看来 , 笛卡儿所给出的是一个十分有用的思维模式 ,而通常所谓的“代数方法 ”则可看成笛卡儿模式的典型例子.
笛卡儿模式就是指通过“列方程、解方程 ”去解决问题 ,正如波利亚所指出的 , 列方程的关键就在于应当
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清楚地认识到“一个方程就是用两种不同的方式去表示同一个量 ”. [ 1] 另外 , 在有多个未知量的情况下 , 我
们又应当认识到 :一个方程只表示了一个部分条件. 对笛卡儿模式可以推广 :“在条件的分款没有被翻译成一
40 % ,乙种矿石含铁 25 % ,问两种矿石各取多少千克熔
化后 ,可以得到含铁 35% 的铁矿石 ? 分析从题目中可以看出 ,甲乙两种矿石的总的
含铁量就是熔化后铁矿石的含铁量 ; 另外 , 甲、乙两种
一个量算两次这种方法的优点是可以简化找等量
关系 ,只要在题目中确定一个量 ,并用两种方法表示出
来 ,中间用等号连接即可 . 例 1 一队学生去校外参加劳动 ,以 4千米 /时的

例谈方程思想在解题中的应用

数学篇学思导引方程思想就是以方程的观点去分析和研究问题，通过挖掘问题的数量关系，把繁难、陌生的问题转化为简单、熟悉的方程或方程组问题，然后运用所学的方程知识达到顺利解题的目的.用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理构造方程(组).这种思想在代数及几何问题中有着广泛的应用.一、方程思想在解代数题中的应用在解答某些代数式化简、求值、证明问题时，若按照常规思路难以下手时，同学们不妨转变思维视角，从方程思想入手，把已知等式看作是有关某些字母的方程，或将已知、结论中的代数式设为辅助元，构造适当的方程或方程组，将问题转化为方程或方程组问题，从而实现轻松解题.例1设m +2n -8p =0，2m -3n +5p =0，则5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值为.分析：此题直接求值难度较大，若能把已知条件中的两个等式看作是关于m ，n 的方程组，通过解方程组得出m ，n ，p 三者的关系，则可以使问题快速得解.解：由题意可得{m +2n -8p =0,2m -3n +5p =0,解方程组可得{m =2p ,n =3p .当p =0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2的值不存在；当p ≠0时，5m 2+4n 2+3p 210m 2-9n 2+8p 2=20p 2+36p 2+3p 240p 2-81p 2+8p 2=59p 233p 2=5933.例2证明不论a 为何实数，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有三个偶数.分析：本题不易直接证明.若能利用方程思想，设a 2-4a +4a 2+1=t ，把代数式转化为关于a 的方程，再运用根的判别式，得出代数式的取值范围，即可使问题得证.证明：设a 2-4a +4a 2+1=t ，则a 2-4a +4=ta 2+t (a 2+1≠0)，即(t -1)a 2+4a +(t -4)=0.当t =1时，即a =34时，代数式a 2-4a +4a 2+1的值不是整数.所以上述方程可以看作是关于a 的二次方程.因为a 为实数，所以△=16-4(t -4)(t -1)≥0，化简可得t 2-5t ≥0，解得0≤t ≤5，即0≤a 2-4a +4a 2+1≤5，显然，代数式a 2-4a +4a 2+1的可能值中，最多有0，2，4这三个偶数.评注：方程思想是转化思想的具体体现.许多代数问题借助方程思想均可以实现转化，从而快速找到解题突破口.同学们在平时的解题过程中，不要形成思维定势，局限于常规解法，要及时转变思路，结合题目的结构特点，灵活运用方程知识去思考、分析并解答问题.二、方程思想在解几何题中的应用几何问题中有许多的几何计算题，这些计算题所涉及的几何量之间蕴含着一定的数量关系.在解题时，同学们要仔细审题，结合已知条件、图形特点、几何定理、公式等，挖掘几何量之间的数量关系，合理设出未知数，列27数学篇出方程或方程组，将几何问题转化为代数问题，然后利用方程思想巧妙解题.例3如图，已知正方形EFGH的边长为12,M是GH的中点，EM的垂直平分线NO交EF的延长线于N，MN交FG于Q，求FQ与GQ的长.分析：本题涉及几何量之间的数量关系，对此可以采用方程思想求解.很多同学在设未知数时，直接设所求的目标线段FQ=x,GQ=12-x，再通过Rt△FQN∽Rt△GQM，用x的代数式表示出FN的长.显然，该求解过程较为复杂.若能设FN=x，则EN=12+x，MP=6+x，这样易求出MN、FN的长，再利用Rt△FQN∽Rt△GQM，得出FQ与GQ的比值，即可求出FQ与GQ的长度.所以，结合题中特殊的线段位置关系，本题宜采用间接设元来求解.解：如图所示，过N作NP⊥EN与HG的延长线交于P.设FN=x，那么EN=12+x，MP=6+x.由题意可知，在Rt△MNP中，MN2=MP2+NP2.因为MN=EN，NP=FG=EH，所以(12+x)2=(6+x)2+122，解得x=3，即FN=3.因为Rt△FQN∽Rt△GQM，所以FQGQ=FN GM=36=12，即GQ=2FQ，又FQ+GQ=FG=12，所以FQ=4，GQ=8.评注：在利用方程思想求解几何计算题时，关键是要找出几何量之间的等量关系，选取恰当的几何量作为未知数，建立方程或方程组.有的几何量之间的等量关系从已知中不易获得，这就需要结合图形，挖掘潜在的隐含条件，考虑以某个几何量为桥梁，间接设元，以降低求解的难度.一般地，当题目涉及线段长度或角度比、三角形周长与面积、特殊的图形位置关系时，常常采取间接设元法.总之，方程思想不仅是数学中的基本思想，更是破解数学问题的重要工具.同学们在解题的过程中，要注意根据题意，建立合适的方程或者方程组，灵活运用方程思想，将问题转换为方程问题来解答.上期《〈一次函数〉巩固练习》参考答案1.B；2.C；3.D；4.C；5.D；6.k>0；7.225；8.增大；9.-2；10.y=1.2x+10(0<x≤10)11.（1）y=2x-5；（2）点(-1,-5)不在该函数的图象上．12.解：（1）轿车出发时，两车相距60×1.4＝84（km），（2）若轿车比货车提前0.6小时到达乙地，则C（4.4，300），设线段BC对应的函数表达式为y＝kx+b，将C（4.4，300），B（1.4，0）代入得：ìíî4.4k+b=300,1.4k+b=0,，解得ìíîk=100,b=-140,∴线段BC对应的函数表达式为y＝100x-140；由图象可知，a小时轿车追上货车，∴100a-140＝60a，解得a＝3.5，∴a的值为3.5；（3）∵轿车出发1.6h，与货车的距离小于12km，∴ìíî1.6v-(1.4+1.6)×60<12,(1.4+1.6)×60-1.6v<12,解得：105＜v＜120，∴轿车速度v的取值范围是105＜v＜120．学思导引28。

浅谈新教材中的“解决问题”教学

浅谈新教材中的“解决问题”教学“解决问题”是新课程教材的一项重要内容,这些内容选材来源于生活,表达形式鲜活灵动,在编排及教学要求上发生了很大的变化。

如何以现行教材为依托,探索解决实际问题教学的基本策略,是我们亟须思考的问题。

下面结合笔者的教学实践,谈几点粗浅认识。

一、化难为易,启动思路数学知识的系统性很强,新知识总是在已有的知识基础上发展而来的。

所以在学习新的问题前,可把新的问题分解成几道简单的问题做铺垫,从而引出解答新问题的思路。

如例题:小明读一本120页的故事书,第一天读了全书的1/3,第二天读了余下的1/4,还剩多少页没读?先把此题拆开编成4道简单的问题,作为新课前的复习。

1.小明读一本120页的故事书,第一天读了全书的1/3,第一天读了多少页?2.小明读一本120页的故事书,第一天读了40页,还剩多少页?3.小明第一天读一本故事书剩下80页,第二天又读了剩下的1/4,第二天读了多少页?4.小明读一本120页的故事书,第一天读了40页,第二天读了20页,还剩多少页没读?学生解答完这4道题后,我又把这4道题组合成原例题。

这一拆一组再经启发,学生发现:根据小明读一本120页的故事书,第一天读了全书的1/3,求出第一天读的页数;知道总页数和第一天读的页数,又能求出剩下的页数;知道剩下的页数和第二天读了余下的1/4,能求出第二天读的页数;最后根据小明读一本120页的故事书,第一天读了40页,第二天读了20页,就能求出还剩多少页没读。

在分析数量关系的过程中,逐步引出用综合法解决问题的思路。

这样不仅使学生清楚地认识到一道复杂的问题是由几道简单地问题组成的,更重要的是从中引出了解决问题的思路和方法。

二、设疑点拨,理清思路学生解决问题时对两种和两种以上的解题思路会发生混淆,这就需要教师根据实际情况在他们疑惑不解的时候适当地点拨,帮助学生理清解题思路。

例如:学生学习列方程解应用题往往思路不清,不习惯找应用题中的数量间的相等关系。

《《认识方程》-学习心得[优秀范文五篇]》

《《认识方程》-学习心得[优秀范文五篇]》第一篇：《认识方程》-学习心得《认识方程》-学习心得胥口中心小学郭琴非常有幸参加了9月21号在苏州国际外语学校举办的中国教育梦，全国小学数学好课堂教学观摩活动。

给我印象最深刻的应该是早上上课的刘松老师。

他以幽默的语言，丰富的肢体动作，生动地组织教学。

在这堂课上，老师真的只是在为学生创设一个平台，让学生来自己学习，获取自己还没掌握的知识。

这节课上很多问题都是学生提出，然后由学生回答。

我从没听过这样一堂课，70%都是生生互动。

“认识方程”这一堂课结束，连我们老师都意犹未尽，更何况学生们呢。

而且学生们掌握都很扎实，学生们恋恋不舍，最后他只好让上课学生的老师把这帮学生弄走。

在我心底不由得产生佩服，名师果然是名师。

刘松老师的课《方程的意义》，确定了从一般到特殊的教学思路，教师在和学生轻松的谈话中，引导学生通过自主提出问题，师生共同达成了本节课的学习目标。

大胆放手让学生自学，通过讨论、交流、反馈等活动，使教学重点得以突出，难点得以突破，教学目标得以落实。

整节课刘老师用语不多，含蓄幽默，善于点拨，善于引导，处处在启发学生；学生活动科学、充分、和谐，真是和风细雨、润物无声。

令所有与会教师再一次领略了专家这种深厚的教学功底。

刘松老师课堂教学的给我还有一点深刻的印象就是与学生的关系融洽，气氛和谐，他发自内心地尊重学生，宽容和理解学生，不断追求自己的教学特色。

他浑然天成、自成一体的“人课合一”的教学氛围让学生们感觉上课时又不象在上课，好像在玩，在做游戏，在唠嗑，在休闲……，说不在上课又恰恰在上课。

就是在这样学生最舒服、最惬意、最放松、最兴奋的自然状态中让学生获得了体验，增长了知识，提高了技能，发散了思维，丰富了情感。

接下来刘老师在演讲中有一句话让我也一下子就记住了。

“给予不在乎数量的多少，而在于别人是否需要。

施怨不在乎深浅，而在于是否伤了别人的心。

”我想真的是这样，学生学习也是如此，学生缺乏哪一方面的知识，我们作为教师就应该给予他们这方面的需求，而不是自己想给什么就让学生来接受，这才是真正有意义的学习。

例谈解二元一次方程组中的数学思想方法

例谈解二元一次方程组中的数学思想方法成晓明解二元一次方程组的基本思想是消元，求解的主要方法是代入消元法和加减消元法.但是对于一些比较特殊的方程组，仅有这些方法是不够的，下面结合一些典型的例题进行分析，向同学们介绍几种解二元一次方程组常用的思想方法.一、转化思想例1解方程组5x+y=6，①3x-2y=1.②【解析】观察方程组中x、y的系数的特点，可以将方程①变形为y=6-5x③，然后将③代入②，消去y，得到关于x的一元一次方程，先求出x，进而再求出y的值.或者将方程①×2+②消去y，然后得到关于x的一元一次方程求解.例2解方程组7x-11y=7，①17x-13y=-7.②【解析】观察方程组中x、y的系数，既不简单，也不存在倍数关系，用代入消元法和加减消元法数据都相对复杂，再次观察系数，发现①+②可得24x-24y=0，化简得x=y③，再利用代入消元法求解就非常简单了.说明：转化思想就是将复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识、研究新问题的常用的基本方法.解二元一次方程组实际上就是通过“消元”（代入消元、加减消元）的手段化“二元”为“一元”.二、整体思想例3解方程组3x-2（x+2y）=3，①11x+4（x+2y）=45.②【解析】方程①和②中都含有（x+2y），可以将（x+2y）看作一个整体，①×2+②，从而消去（x+2y），达到消去y的目的.例4解方程组3x+2y-2=0，①■-2x=-3.②【解析】方程①和②中都含有（3x+2y），可以将（3x+2y）看作一个整体，把方程①变形为3x+2y=2③，然后将方程③代入方程②，从而消去（3x+2y），达到消去y的目的.说明：解数学题时，我们往往习惯于从问题的局部出发，将问题分解成若干个小问题，然后逐一解决.然而这种思考方法常常导致解题过程繁杂，运算量大.这时可将注意力和着眼点放在其问题的整体上，突出对问题整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握并解决问题，这就是整体思想.三、数形结合思想例5如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，求其中每一个小长方形的面积.【解析】图形中隐含着长和宽的两个关系：一是每块小长方形地砖的长是宽的3倍，二是长与宽的和为60厘米，由此可以设未知数并列方程求出地砖的长和宽，进而求出每一个小长方形的面积.例6小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的矩形，如图（1）所示.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形.咳！怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！你能求出小长方形的长和宽吗？【解析】本题中有两个未知量：长方形的长与宽，而小明和小红的两个拼图恰好给出了两个等量关系：图1中得到：长×3=宽×5，图2中得到：宽×2-长=2，由此可以设未知数并列方程求出长方形的长和宽，说明：数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化.几何问题代数化.上面所举的两例都是巧妙地运用拼图，建立起小长方形的长与宽的关系，将数与形有机结合起来，突破了用语言描述数量关系的常规，突出了数形结合思想的应用.四、类比思想例7已知方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.请你用较简便的方法解方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9.【解析】如果将方程组2（a-1）-3（b+2）=1，3（a-1）+5（b+2）=12.9中的（a-1）、（b+2）看做是一个整体，那么a-1=x，b+2=y，因为方程组2x-3y=1，3x+5y=12.9的解是x=2.3，y=1.2.所以a-1=2.3，b+2=1.2.这样就可以求出方程组的解了.说明：在平时的数学学习中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习，类比思想其实就是知识的迁移，就是一类问题的解决方法对另一类问题的影响，在学习的过程中，我们应当注意迁移意识的培养.例8有同学在解方程组22x+27y=4，7x+9y=3时，采用了如下的解法：原方程组化为x+3（7x+9y）=4，①7x+9y=3.②将②代入①得x+3×3=4，所以x=-5，把x=-5代入②求得y=■，所以原方程组的解为x=-5，y=■.请你用这种方法解方程组3x+5y=2，①11x+20y=6.②【解析】方程②可以变形为4（3x+5y）-x=6③，然后把方程①代入方程③，这样就可以达到消去y的目的.说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想.类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使知识的记忆变得自然和顺畅，从而可以激发起学习的创造力.五、换元思想例9解方程组4（x+y）-5（x-y）=2，■+■=6.【解析】设x+y=m，x-y=n，则原方程组可变形为关于m、n的方程组4m-5n=2，■+■=6.方程组形式较为简单，可以先求出m、n，再求出x、y.说明：换元法通过用一个字母表示一个整体的方法进行变量的替换，将问题进行转化，从而起到化繁为简、化难为易的目的.。

如何理解和把握“数量关系”主题的

加法意义减法意义乘法意义除法意义分量+分量=总量单价×数量=总价速度×时间=路程落实核心素养：推理意识、模型意识、符号意识、应用意识第一阶段第二阶段常见数量关系运算律计算公式其他关系模型应用第三阶段图1马云鹏：小学阶段“数量关系”主题主要包访谈课标如何理解和把握10量关系模型解决问题，并运用字母表示数量关系，进一步解决较复杂的问题。

经过这样的系列过程来提高学生分析和解决问题的能力，形成初步的模型意识和应用意识。

吴正宪：刚才马老师列举了小学数学中常见数量关系的模型，其实小学数学中大多数问题都可以利用这两个模型及其拓展和组合进行分析和解决。

加法可以作为合并、移入、增加、继续往前数等的模型，减法可以作为剩余、比较、往回数、减少或加法逆运算等的模型，乘法可以作为相等的数的和、面积计算、倍数、组合等的模型，除法可以作为平均分配、比率或乘法逆运算等的模型。

教学中要以核心概念“和”为统领，让学生感受加法就是把几个部分合并成一个整体，减法就是从整体中去掉若干个部分求还剩的部分，乘法就是把几个相同的部分合并成一个整体，除法就是从整体中减去若干个相同的部分。

在这样的梳理过程中，学生不仅理解了加、减、乘、除的意义，巩固了加、减、乘、除之间的运算关系；还能进一步感受乘法是相同加数累加的简便运算，除法是连续减去几个相同数的简便运算，沟通了加、减、乘、除意义之间的关联，建立起以加法为核心的加、减、乘、除的整体内容结构，发展了学生结构化的数学思维，为后续的问题解决奠定思维基础。

访谈者：“用字母表示”原来在“式与方程”主题中，这次调整后方程内容整合到第四学段，而对这一内容也表述为“在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性”，这一表述的含义是什么呢？马云鹏：新课标将“用字母表示”调整到“数量关系”主题，突出了字母不是简单地表示一个数，而是可以用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系或规律，增强了用字母表示的一般化表达，是从算术思维到代数思维的拓展。

《实际问题与方程》教学反思

《实际问题与方程》教学反思《实际问题与方程》教学反思11.重视同学思维的进展，做到一题多解。

本例题是行程中相遇问题，为了能让同学一题多解，我先引导同学利用线段图关怀同学分析数量关系，找出等量关系式：速度和×相遇时间=总路程，然后依据等量关系式列出方程。

之后让同学想想你还能用其他方法解决问题吗？然后同学依据自己画的线段图找出了等量关系：小林行驶的路程+小云行驶的路程=总路程，从而列出方程。

在解题的过程中同学还会用总路程÷速度和=相遇时间以及用总路程－甲行驶的路程=乙行驶的路程等，准时的表扬赐予同学莫大的鼓舞。

2.教材解读不够深化。

本例题是求时间点的`问题，老师在引导同学解答问题的过程中不够精准，没有求出具体的时间点。

3.板书不够规范。

解方程应用题首先写解：设什么什么，后面应当写上单位。

4.课堂没有面对全体。

由于老师想完成教学内容，对于平常的学困生关注不够。

今后的努力方向：钻研教材，分析学情，接受更合适的教学手段调动同学学习的乐观性。

不断的学习提升自身的业务素养。

对学困生多点辅导，让他们也能有所获。

《实际问题与方程》教学反思2同学在解方程的基础上进一步学习用方程解决实际问题，通过我的教学实践和教学反思，我觉得“重视关键句分析训练，让同学感悟方程的思想。

”解决实际问题首先要引导同学分析题目的条件和问题，找出题目中的关键句，依据关键句找出题目中的直接的相等关系，这样可以便于同学列出方程，解答问题。

由于我知道我们现在的数学课堂教学对等量关系式的训练不够重视，于是我课前谈话中用了很多时间对等量关系式的写法进行了训练。

先从倍数关系，再到相差关系，然后两种关系合并，要求同学分别写出等量关系式，为本节课的教学打下良好的基础。

为了突出依据关键句写等量关系式，我出示例题后，直接问：“三句话中你觉得哪一句最重要，为什么？”让同学依据“20xx年的东北虎只数比20xx年的3倍还多100只，写出三种等量关系，有三种关系式就对应着三种解法，哪一种关系式最简洁想到。

六年级数学列方程解应用题技巧与学习建议

六年级数学列方程解应用题技巧与学习建议列方程解应用题是一个难点，这一部分内容融入了等式的性质，以及四则运算各部分的关系，有助于同学们对所学的算术知识进行巩固和加深理解。

如何应用方程来解应用题呢?小编今天给大家收集了相关资料，快来看看吧!六年级数学列方程解应用题技巧一、首先是审题，确定未知数。

审题，理解题意。

就是全面分析已知数与已知数、已知数与未知数的关系。

特别要把牵涉到的一些概念术语弄清，如同向、相向、增加到、增加了等，并确立未知数。

即用x表示所求的数量或有关的未知量。

在小学阶段同学们遇到的应用题并不十分复杂，一般只需要直接把要求的数量设为未知数，如：“学校图书馆里科技书的本数比文艺书的2倍多47本，科技书有495本，文艺书有多少本?”在这道题目中只有“文艺书的数量”不知道，所以只要设“文艺书的数量”为未知数x就可以了。

二、寻找等量关系，列出方程是关键。

“含有未知数的等式称为方程”，因而“等式”是列方程必不可少的条件。

所以寻找等量关系是解题的关键。

如上题中“科技书得本数比文艺书的2倍多47本”这是理解本题题目意思的关键。

仔细审题发现“文艺书本数的2倍加上47本就是科技书的本数”故本题的等量关系为：文艺书本数的2倍+47=科技书的本数。

上题中的方程可以列为：“2x+47=495”三、解方程，求出未知数得值。

解方程时应当注意把等号对齐。

如：2x+47=4952x+47-47=495-47 ←应将“2x”看做一个整体。

2x=4482x÷2=448÷2x=224四、检验也是列方程解应用题中必不可少的。

检验并写出答案.检验时，一是要将所求得的未知数的值代入原方程，检验方程的解是否正确;二是检查所求得的未知数的值是否符合题意，不符合题意的要舍去，保留符合题意的解.1)将求得的方程的解代入原方程中检验。

如果左右两边相等，说明方程解正确了。

如上题的检验过程为：检验：把x=224代入原方程。

左边=2×224+47 右边=495=495因为左边=右边，所以x=224是方程2x+47=495的解。

初中方程找等量关系的口诀

初中方程找等量关系的口诀
1.抓住关键句，寻找等量关系：
●找到题目中的“等于”、“比…多”、“比…少”、“是…的几倍”、“一共”、
“相差”等关键词汇，这些往往暗示着等量关系的存在。

●例如：“小明和小红共收集了100个瓶子”，其中的“共”字就提示了等
量关系。

2.运用数量关系式建立等量关系：
●根据常见数学模型建立等式，如：工作总量=工作效率×工作时间、
路程=速度×时间、总价=单价×数量、总产量=单产量×面积等。

●如题目描述的是某个具体问题的情景时，可以利用这些公式来构建
等量关系。

3.根据图形或线段图找等量关系：
●对于几何问题，通过画出线段图、面积图等可视化工具，直观地展
示出各个部分之间的数量关系。

●比如在解梯形面积问题时，可以通过梯形面积公式（上底+下底）×
高÷2建立等量关系。

4.应用代数思想抽象化处理：
●把未知量用字母表示，并根据题意列出方程，通过运算求解。

●例如：“已知甲车速度为每小时38千米，两车相遇时，它们走过的
路程之和等于总路程237千米。

”可以设乙车速度为X，得到等量关
系式（38+X）×3=237。

总结起来就是：
•关键句里抓等式，
•数量关系建模快，
•几何图形显关系，
•未知字母列方程。

浅谈列方程解应用题中如何找等量关系

二、用常见的数量关系作为等量关系常见的数量关系有：单价 ×数量＝总价；速度 × 时间一路
程；工效 ×时间一工作总量，单产量 × 数量一总产量等数量关系，可根据这些数量关系直接写出等量关系，列出方程。例如：甲乙两地相距２６０千米，一辆客车从甲地到乙地，每小时行７５千米，一辆货车从乙地开往甲地，两车同时出发，２小时后相遇，货车每小时行多少千米？根据行程问题的数量关系，每小时行驶的路程 ×相遇时间行驶的总路程这个关系式列方程，解：设货车每小时行Ｘ千米，根据题意得：（７５＋Ｘ） ×２ —７５三、用题中的关键词句找等量关系很多应用题都有体现数量关系的句子，解题时，只要找到这种关键语句，理解关键语句的含义，就能正确找出等量关系。
各有多少千克？根据题意，可以画出下面的线段图：
Ｚ。参爱：
甲袋ｌ
从图中很容易得出：甲袋重量一乙袋重量一５千克
五、运用不变量找等量关系
、
方程学生在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面
原有的大米重量一吃了的大米重量运进的大米重量一剩下的大米重量当然确定等量关系的方法不只以上几种上述几种类型只是列方程解应用题的普遍形式要准确寻找等量关系还必须认真分析具体的题型切不可照搬模式主观臆断

《方程》教案4篇

《方程》教案4篇《方程》教案篇1课前准备教师准备多媒体课件教学过程⊙谈话揭题1．谈话导入。

我们学过了关于方程的哪些知识？(结合学生的回答板书) 预设生1：方程的意义。

生2：方程与等式的关系。

生3：解方程的方法。

生4：用方程知识解决实际问题。

……2．揭示课题。

同学们说得很全面，这节课我们就来系统地复习有关方程的知识。

(板书课题：方程)⊙回顾与整理1．方程。

(1)什么是方程？它与算术式有什么不同？明确：①含有未知数的等式叫作方程。

②算术式是一个式子，由运算符号和已知数组成。

方程是一个等式，在方程里的未知数可以参与运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。

(2)什么是方程的解？使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

(3)什么是解方程？求方程的解的过程叫作解方程。

(4)解方程的依据是什么？①等式的性质。

②加减法和乘除法各部分之间的互逆关系。

(5)课件出示教材80页“回顾与交流”3题。

①组织学生分组讨论解方程的步骤和方法，以及哪些地方需要注意。

②指名到黑板前进行板演。

③全班交流并说一说自己是怎么解的。

2．列方程解决实际问题。

(1)列方程解应用题的步骤。

学生小组交流并集体汇报，然后教师明确：①弄清题意，确定未知数并用x表示；②找出题中数量间的相等关系；③列方程，解方程；④检验并写出答语。

(2)列方程解应用题的关键及找等量关系的方法。

①列方程解应用题的关键是什么？列方程解应用题的关键是找出题中的等量关系，根据等量关系列方程解答。

②你知道哪些找等量关系的方法？预设生1：根据关键性词语找等量关系。

生2：根据常见的四则混合运算的意义及各部分之间的关系找等量关系。

生3：根据常见的数量关系找等量关系。

生4：根据计算公式找等量关系。

(3)课件出示教材80页“回顾与交流”4题。

教师引导学生先找出各题的等量关系，再列方程自主解决问题。

《方程》教案篇2教学目标：1.知识与技能：结合具体的问题，使同学们学会用解方程和用方程解决具体的问题。

三年级上册数学教案智慧广场：等量代换_青岛版

三年级上册数学教案5教学内容: 青岛版教材P58-59，聪慧广场：等量代换。

教学目标:1. 知识与能力：结合具体问题，初步体验等量代换的思想方法，了解等量代换思想方法的核心是依照数量间相等的关系进行替换，并能用等量代换的思想方法解决日常生活中的简单问题。

2. 过程与方法：通过观看、操作、摸索、交流、分析等活动，培养推理能力和语言表达能力，进展思维能力。

3. 情感态度价值观：经历解决问题的过程，感受等量代换与生活的紧密联系及应用价值；体验成功，增强自信心。

重点、难点：教学重点：准确找到等量关系，把握等量代换的方法，能够运用方法解决生活中的相关问题。

教学难点：引导学生经历观看、摸索、交流、分析等活动，发觉等量代换问题的本质，培养学生的推理能力。

教学预备教师预备：课件。

学生预备：练习本教学过程（一）新课导入：1.谈话：同学们，你们听过“曹冲称象”的故事吗？【出示图片，简单讲述故事】2.谈话：曹冲用了一个什么巧妙的方法来称象的？预设：用石头来代替大象；把大象换成石头来称……小结：大伙儿说的不错，用石头“代替”大象，这么一“换”，难题就解决了。

这节课上我们看看能不能也用上这种好方法。

看看谁像曹冲一样聪慧。

设计意图：课前由富有乐趣的情境导入新课的学习，吸引学生的注意力，激发学生的学习爱好，激发了解决问题的欲望。

（二）探究新知一、创设情境，提出问题1．谈话：认真观看情境图，你能得到哪些数学信息？出示聪慧广场情境图：预设：▲+●=12，▲=●+●+●（板贴）2．追问：依照情境图你能提出什么数学问题呢?预设：●和▲各表示几呢？（板贴问题）3．追问：你们能解决那个问题吗？下面，我们能够用小卡片动手摆摆看，也能够动手画一画，待会儿我们一起进行交流。

教师放手让学生独立摸索，给学生充分的时刻考虑。

二、合作交流，探究新知（一）组内交流，感悟方法谈话：请同学在小组中交流一下自己的方法，我们看看哪个小组能想出更多好方法。

学生自主探究，教师巡视指导，了解学生的方法。

小学数学应用题教学心得体会(6篇)

小学数学应用题教学心得体会(6篇)小学数学应用题教学心得体会1一、解答应用题的基础是要加强数学基础知识的教学。

应用题看起来很难，其实说简单一点就是基础知识的升华。

万变不离其中，应用题的解决方法最后还是要用基础知识去解决。

例如：一件衣服58元，一条裤子42元，买5套共要多少元钱？如果学生掌握了总价＝单价数量这个基础知识，那么这样的应用题老师不用教，相信他们也能很快列出算式来。

二、解答应用题的前提是弄清事理。

所谓复合应用题是指两步以上的计算应用题，那就一定有先算什么，后算什么的问题，这必须根据应用题的事理而定.只有先弄清楚应用题的事理，才能确定相应的解题步骤。

如在解两步的应用题时，在所需要的两个数中，往往把解决问题必须具备的一个数隐蔽起来，这就需要先把它找出来，才能进行计算。

例如：小明以每分钟走80米的速度去上学，花了30分钟才到学校，下午放学回家时，他只用了20分钟就到家了，问回家时小明每分钟走多少米？这道复合应用题中就隐藏了小明家与学校的距离是多长，我们必须先求出全长，然后利用速度＝全长时间的关系，求出小明回家时的速度。

三、解答应用题的关键是培养学生掌握分析方法。

正确地分析一道应用题，是寻找解题方法的关键所在。

分析应用题，目的在于了解应用题中已知数和所求的未知数。

不同类型的应用题就要用不同的分析方法，这样才能快速有效的解决问题。

我在教学时，一般就教学生二个分析方法。

第一由条件入手分析，分析时要考虑题目的问题，否则推理会失去方向；第二由问题入手分析，分析要考虑已知条件，否则提出的问题不能用题目中的已知条件来求得。

在分析应用题时，往往是这两种方法结合使用，从已知找到可知，从问题找到需知，这样逐步使问题与已知条件建立起联系，从而达到顺利解题的目的。

小学数学应用题教学心得体会2当前，教育战线课程标准改革正在不断深入地开展。

对小学数学教学，中央“数学新课标”规定“智育工作要转变教育观念，改革人才培养模式，积极实行启发式和讨论式教学，激发学生独立思考和创新的意识，切实提高教学质量。

浅谈培养小学生解决方程问题中寻找等量关系的能力

浅谈培养小学生解决方程问题中寻找等量关系的能力小学应用题中一个重要的类型，是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点，这种类型的应用题的等量关系，简易方程的解法是数学中比较重要的一种数与代数的解法。

这部分内容是在用字母表示数、列方程的知识基础上进行的，教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，淡化抽象的数学概念，从不同角度提供有利于学生探索并理解简单方程解法，让学生体会生活中存在大量简单方程，从而引发学生的讨论和思考，并通过对具体问题的讨论，使学生认识成简单方程在生活中的广泛存在，并为之后学习一般方程的解法奠定基础。

四年级学生刚刚接触方程，从四则运算过渡到用字母表示数，由算术思维转换到代数思维，无法清楚明白了解一个可变的量的概念。

因此在方程的教学中首先要让学生明白什么是方程，其次是要让学生学会建立方程来解决问题，并将这种思维运用到日常生活中。

小学五年级，学生就接触方程用方程解决问题，但是对于习惯了用数学方法来解决问题的学生来说，从算术思维到代数思维的转化极其困难，在题目中寻找等量关系更是难上加难。

用方程解决问题的基本思想是设未知数建立等量关系，如何引导学生建立等量关系是用方程解决问题的关键，在平常的教学过程中我主要从以下几个方面着手：一、了解方程重要性在讲课前先要让学生明白方程在学生生活、社会生产中有着广泛的应用，是小学数学中重要的基础知识之一。

了解方程所要学习的内容和要解决的问题，就必须让学生明确教学目标，也就是能够快速地分析、找到数量之间的相等关系，列出方程求出未知数这样的过程。

二、学会建立方程的模型1、会用字母表示数。

知道用字母表示数和用方程表示数量关系的优越性，会用字母和含未知数的式子表示数和常见的数量关系。

例如：“甲数比乙数多5”，如果设乙数为x，那么甲数就是“x+5”，如果设甲数为x，那么乙就是“x-5”。

“甲数是乙数的2倍”，如设乙数为x，那么甲数就为“2x”，如果设甲数为x，那么乙数就是“x÷2”。

注重引导学生学会找出等量关系——谈突破列方程解应用题教学难点的一些做法

注重引导学生学会找出等量关系——谈突破列方程解应用题教学难点的一些做法作者：李桂珊来源：《小学教学参考·中旬》 2014年第6期广西武鸣县城厢镇红岭小学（530100）李桂珊列方程解应用题是小学数学教学中的难点。

由于小学生对用算术解应用题的思路和方法已经比较熟悉，但列方程解应用题时往往受算术解法的影响，列出与算术解法完全一样的特殊方程，即将未知数x单独放在等号的一边，而另一边全是已知数。

所以，引导学生学会找出应用题中数量间的等量关系，是突破列方程解应用题难点的关键。

在教学中，如何引导学生寻找等量关系，进而列出方程解应用题呢？下面结合教学实践谈谈我的一些做法。

一、注重进行多项基础训练，为突破难点作好铺垫进行多项基础训练主要指用字母列式表示数量关系。

通过训练，使学生理解和掌握用字母表示数的意义、规律和方法，培养小学生抽象概括能力和列方程解应用题的基本功。

1.用含有x的式子表示数量关系。

例如：20与x的和；x的5倍与8的和；x的9倍。

2.用数学语言叙述式子的意义。

例如：x－8；2x；70－3x；x÷4÷6。

3.用字母写出下面的关系。

V表示速度，T表示时间，S表示路程。

如：路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度。

4.根据数量的相等关系列方程。

x与80的差等于41；x的5倍是80；40比x多15。

5.根据题意把方程数量的相等关系补充完全。

①小军买钢笔和蓝墨水共用去2.5元，买钢笔用去x元，买蓝墨水用去0.25元。

___________________=2.5。

②一个车间要做零件750个，平均每天做x个，做了7天还剩下330个。

___________________=330。

二、多借助直观图及表格来引导学生寻找出等量关系为了帮助学生弄清题中条件和问题之间的相等关系，我经常利用图示法和表格法来引导学生分析数量关系，使他们从感知中逐步找出等量关系。

例谈正方形中解题方法的迁移

尊堍r-．．、j 。

害擎番酶嗨拳粤椤譬嚏，。

；鏊#心理学上说：迁移是已经学过的东西在新情境中的应用．也就是已有的经验对解决新问题的影响．根据迁移的内容，迁移可分为知识迁移、方法迁移和能力迁移．能进行解题方法迁移的“正方形”的特征：一道题一般有2—3幅图，这几幅图所具备的条件一样，后几幅图是由第一幅图通过运动形成．理解、掌握、运用方法的迁移，能收到“四两拨千斤”的解题效果．下面举例说明：例l 正方形A B C D 中，点O 是对角线A C 的中点，P 是对角线A C 上一动点，过点P 作PF 上CD 于点F 如图l ，当点P 与点0重合时，显然有D F=C F ．(1)如图2，若点P 在线段A O 上(不与点A 、0重合)，PE 上PB 且PE 交C D 于点E①求证：D F ：E F ；②写出线段Pc 、PA 、C E 之间的一个等量关系，并说明你的结论；(2)若点P 在线段O C 上(不与点0、C 重合)。

PE 上P B 且P E 交直线C D 于点E 请完成图3并判断(1)中的结论①、②是否分别成立?若不成立，写出相应的结论(所写结论均不必证明)析解(1)①如图2．连接PD 。

延长FP 交A B 于G ，易证A PA B 望A PA D 得PD=腿因为PF =G F —G P ，G B =B A —G A ，又易知G P=G A ，G F=A D =B A ，所以PF=佃．因为[FP E+[G P B ：￡G B P+[G PB =90。

，所以二FPE =￡G B P ．所以可证△FPE 望A G B P 得PE =PB ．故PD =PE ．又因为PF 上D C ，所以D F =E F ．②Pc=PA +g'-2C E ．设D F =E F=z ，C D =Y ，则PC ：肛=厄(y 一戈)=西一压，PA =凰，∞：Y 一2x ，经观察、比较得Pc ：PA +拒cE堕…．鱼室塑垒璺熙堂搀j -曼!Q 四曼)．…盘茎查图2(2)第(1)题中的结论①是成立的；结论②是不成立的，结论应该是PA =P C +√2cE-第(1)题的证法可迁移于第(2)题中(如图3)．即连接PD ，延长FP 交A B 于G ，由A PA B 錾A P A D 得P D =PB ，然后再证△F PE 兰△G B P 得PE =PB ，进而可得D F=E F ；设D F ：E F ：石，C D=)，，则Pc=,／YFC=f2(y 一石)=西一瓜，PA--√Yx ，C E =2x —Y ．经观察、比较得PA =PC +4r 2C E ．迁移过程请读者完成．例2已知：正方形A B C D 中．￡删^r=45。

人教版数学-备课资料例谈相等与不等的转化

例谈相等与不等的转化相等与不等是数学解题中矛盾的两个方面,它们在一定的条件下可以互相转化.例如有些数学题,表面看来似乎只具有相等(或不等)的数量关系,根据这些相等(或不等)关系又难以解决;但若能挖掘其中的不等量(或等量)关系,往往能获得简捷求解的效果.本文仅就中学数学中某些相等与不等问题的相互转化举例说明如下,供参考.这些解法有助于学生转化能力的培养.一．利用相等解决不等.1．利用函数来解决不等.例1．实数a,b,c 满足:(a+c)(a+b+c)<0 ，求证：(b-c)2 >4a(a+b+c)分析：由(a+c)(a+b+c)<0 知:a+c 与a+b+c 均不为0.证明：由题意构造函数y=x 2+(b-c)x+a(a+b+c).此函数y 的图象开口向上，当x=-(a+b+c)时，函数值y=(a+b+c)2-(b-c)(a+b+c)+a(a+b+c) =2(a+c)(a+b+c).由函数y 的图象开口向上，则函数图象与x 轴有两个不同的交点，即方程x 2+(b-c)x+a(a+b+c)=0有两个不同的实根.∴△=(b-c)2-4a(a+b+c)>0, 故(b-c)2>4a(a+b+c).2：利用方程来解决不等.方程与不等式像一对孪生兄弟，它们之间有着密切的关系，可以把方程看作不等式的“边际”，解不等式时可转化为解方程.例2：已知不等式382-≥+ax x a 的解集为x ≤8，试确定a 的值. 解：把x=8看作方程382-=+ax x a 的解，代入，得38828-=+a a 即3a+24=16a-16 ∴a=1340. 3．利用增量法来解决不等.例3．已知实数x, y, z, s 满足x+y+z+s=a(a ＞0), 求证：x 2+y 2+z 2+s 2≥42a . 证明：设x=4a +α ,y=4a +β, z=4a +γ ,s=4a +δ,其中δγβα,,, 都称为增量，这里δγβα+++ =0.则x 2+y 2+z 2+s 2=(4a +α)2+(4a +β)2+( 4a +γ)2 +( 4a +δ)2 =42a +2a (δγβα+++)+(2222δγβα+++) ∵δγβα+++ =0， 2222δγβα+++≥0 ∴x 2+y 2+z 2+s 2≥42a . 注：本题证明的关键是：变更已知条件，设增量变换问题结构，从而得到要证明的结论.4．化成行如“a 2+b 2+…+m 2=0”的形式，得出等量关系“a=b=…=m=0”来解不等.例4．已知正整数a,b,c 满足不等式a 2+b 2+c 2+42<ab+9b+8c ，则a,b,c 分别等于（）. 分析：结论是要求a,b,c 的值，而条件中只有一个不等式，且根据已知不等式的特点，观察后不难发现其中含有3个完全平方式，于是联想不等式能化成形如“a 2+b 2+c 2≤0”的形式，并由此推得条件“a=b=c=0”，进而就可解决问题.解：∵a 2+b 2+c 2+42<ab+9b+8c,且a,b,c 为正整数，∴在已知不等式左边加1，有a 2+b 2+c 2+43≤ab+9b+8c , 即a 2+b 2+c 2-ab-9b-8c+43≤0∴a 2-ab+42b +3(42b -3b+9)+(c 2-8c+16)≤0 ∴(a-b/2)2+3(b/2-3)2+(c-4)2≤0由非负数的性质可知：(a-b/2)2=3(b/2-3)2= (c-4)2=0∴a-b/2=0;b/2-3=0;c-4=0, ∴a=3,b=6,c=4.二．利用不等解决相等.1．利用a ≥b 且a ≤b ，则a=b 来解决相等.例5．已知实数a,,b,c 满足a+b=6, ab=c 2+9, 求证：a=b.证明：∵a+b=6, ab=c 2+9,∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=62-4(c 2+9)=-4c 2≤0但对于实数a,b 总有(a-b)2≥0, ∴ a-b=0, 即a=b.例6．已知a, x, y 为互不相等的实数，且满足y a a x a y a a x a ---=-+-)()( ,则x 2001+y 2001+a 2001=解：由已知等式的左端知：a(x-a) ≥0 ,a(y-a) ≥0,a 2(x-a)(y-a) ≥0 (1)由已知等式的右端知：x-a ≥0 , a-y ≥0 , ∴ (x-a)(a-y) ≥0 (2)由(1) (2)可知 a 2≤0, 而a 2≥0，从而a 2=0，所以a=0代入原式得 0=--y x ,故x=-y原式=-y 2001+y 2001+02001=0.2．利用不等进行放缩夹逼来解决相等.对于某些问题，如果我们根据题设条件，将有关式子的值放大或者缩小，把所求的解夹逼在某一范围内，问题的答案便能够显露出来.例7．求方程n 2+24+n +13+n =60133的正整数解. 解：∵方程中的n 为正整数, n 1 >11+n >21+n ∴n 2+24+n +13+n <n 2+n 4+n 3=n 9, n 2+24+n +13+n >22+n +24+n +23+n =29+n 即29+n <60133<n 9, ∴13382< n <13384 ∴整数n 为3，4；经检验知n=3是原方程的根.例8．已知x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 5 ,且x 1，x 2，x 3，x 4，x 5 都是正整数，求x 5的可能最大值.解：限定x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤x 5，则有x 1+x 2+x 3+x 4+x 5≤5x 5∴x 1x 2x 3x 4≤5而x 1x 2x 3x 4≥x 14, ∴ x 14≤5, 故x 1=1当x 1=1时 , x 2x 3x 4≤5同样有x 23 ≤5, ∴x 2=1当x 1=x 2=1, x 3x 4≤5同样有x 32≤5, ∴x 3=1或 x 3=2当x 1=x 2=x 3=1时，有3+ x 4+x 5= x 4x 5 ，即（x 4-1）（x 5-1）=4⎩⎨⎧=-=-411154x x 或⎩⎨⎧=-=-114154x x 解得⎩⎨⎧==5254x x ；⎩⎨⎧==2554x x 当x 1=x 2=1, x 3=2时, 有4+ x 4+x 5=2 x 4x 5 ,即2+ x 4/2+ x 5/2= x 4x 5 ,而2+ x 4+x 5 > 2+ x 4/2+ x 5/2∴2+ x 4+x 5> x 4x 5 , 即（x 4-1）（x 5-1）< 3, 此时，x 5的最大值为3综上所述，x 5的最大值为5.注：当有关式子不易放缩时，我们可根据题设加以限定，然后根据这个限定条件进行放缩，也能达到解题的目的.3．利用a ≥b ≥0且c ≥d ≥0 ==> ac ≥bd 取等号的条件a=b 且c=d 来解决相等.例9．求满足（x 2+2x+3）（y 2+1）=2的实数解x, y.解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2, y 2+1≥1两式相乘，得(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2而由题设知(x 2+2x+3)(y 2+1)=2故二者只能同时取等号，∴x 2+2x+3=2, y 2+1=1故x=-1, y=0综上所述，不等与相等既有联系又有区别，它们在一定的条件下可以相互转化，在解题中，我们要善于把隐含在不等条件中的相等关系、在相等条件中的不等关系挖掘出来，使之为解题服务，从而达到简化解题过程的目的.。