排列组合第一讲 分类加法与分步乘法计数原理

两个计数原理

【知识网络】

【典型例题】

题型一、分类加法计数原理

例1、从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法种数为（）

例2、在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个

【变式练习】

1.若a，b∈N*，且a＋b≤5，则在直角坐标平面内的点(a，b)共有________个．

2．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个

例3、有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（）

A．21种B．315种C．143种D．153种

例4、某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()．

A．4种B．10种C．18种D．20种

方法总结

分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理

【变式练习】

1．某校开设10门课程供学生选修，其中A，B，C三门由于上课时间相同，至多选一门学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是（）

A．120 B．98 C．63 D．56

2．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）

3．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

A．238个B．232个C．174个D．168个

例5、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字也许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )

A．10 .11 C

【变式练习】

1．为了应对欧债危机，沃尔沃汽车公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．

2．在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。

3.有4人各写一张贺卡，放在一起，然后每个人取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不

同取法

题型二：分步乘法计数原理

例6、（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种

（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种

例7、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()．

A．6种B．12种C．24种D．30种

例8、用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____ ____个(用数字作答)．

方法总结

此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．

【变式练习】

1．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）

2．从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个

例9、由数字1,2,3,4，

(1)可组成多少个3位数；

(2)可组成多少个没有重复数字的3位数；

(3)可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数

例10、(1)5名学生从3项体育项目中选择参赛，若每名学生只能参加一项，则有多少种不同的参赛方法

（2）5名学生争夺3项比赛的冠军，获得冠军的可能情况种数有多少

解决计数问题时一定要明确研究的对象是什么怎样才能完成计数，本题给出解决此类问题的一种方法：住店法．

【变式练习】

1．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有_____________种行车路线.

B.16

2．设集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)是坐标平面上的点，a，b∈M，P可以表示

①平面上多少个不同的点

②第二象限内的多少个点

③不在直线y＝x上的多少个点

3． (1)三封信投入到4个不同的信箱中，共有________种投法．

(2)动物园的一个大笼子里，有4只老虎，3只羊，同一只羊不能被不同的老虎分食，问老虎将羊吃光的情况有多少种

4． 乘积

12312312345)()()a a a b b b c c c c c ++++++++（展开后共有多少项

本不同的书，任选3本分给3位同学，每人1本，有多少种不同的分法

考点三：分类与分步综合之简单的面的涂色问题

例11、 如图，用5种不同的颜色给图中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一

种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法

涂色问题的实质是分类与分步，一般是整体分步，分步过程中若出现某一步需分情况说明时还要进行分类．涂色问题通常没有固定的方法可循，只能按照题目的实际情况，结合两个基本原理和排列组合的知识灵活处理．

例12、图为四棱锥P-ABCD，用四种不同的颜色涂四棱锥的各个面，每个面只用一种颜色涂，要求相邻两面不同色，有多少种涂法

【变式练习】

1．如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种

2．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）