2019湖南岳阳市中考数学试卷及答案解析

2019年湖南省岳阳市初中毕业、升学考试数学（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（2019·岳阳）－2019的绝对值是（）A．2019 B．－2019 C．12019D．12019【答案】A【解析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数，得|－2019|=2019，故选A．2．（2019·岳阳）下列运算结果正确的是（）A．3x－2x＝1 B．x3÷x2=x C．x3·x2＝x6D．x2＋y2=(x＋y)2【答案】B【解析】A.3x－2x＝x，选项A正确；选项B正确；C .x3·x2＝x5，选项C正确；D.x2＋y2=(x＋y)2－2xy，选项D正确.故选B．3．（2019·岳阳）下列立体图形中，俯视图不是圆的是（）A B C D【答案】C【解析】正方体的俯视图与正方形，其它三个的俯视图都是圆，故选C．4．（2019·岳阳）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC=50°，则∠C的度数是（）A．20ºB．25ºC．30ºD．50º【答案】B【解析】∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC=12×50º=25º．∵BE∥DC，∴∠C＝∠EBC=25º．故选B．5．（2019·岳阳）函数y =中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≥－2 C ．x ＞0 D ．x ≥－2且x ≠0 【答案】D【解析】由题意可知：x ＋2≥0，解得x ≥－2.又因为x 为分母，故x ≠0，所以x ≥－2且x ≠0. 故选B ．6．（2019·岳阳）甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是2 1.2S =甲，21.1S =乙，20.6S =丙，20.9S =丁则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】C【解析】根据方差越小越稳定可知丙的方差最小，故丙的射击成绩最稳定，故选C ． 7．（2019·岳阳）下列命题是假命题．．．的是（ ） A ．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B ．同角（或等角）的余角相等C ．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等D ．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 【答案】A【解析】平行四边形一定是中心对称图形，但不一定是轴对称图形，选项A 是假命题.故选A ．8．（2019·岳阳）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y =x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜－3 B ．c ＜－2 C ．14c < D ．c ＜1 【答案】B 【解析】当y =x时，x =x 2+2x +c ，即为x 2+x +c =0，由题意可知：x 1，x 2是该方程的两个实数根，所以12121x x x x c +=-⎧⎨⋅=⎩ ∵x 1＜1＜x 2，∴（x 1－1）（x 2－1）＜0，即x 1x 2－(x 1＋x 2) ＋1＜0， ∴c －(－1) ＋1＜0， ∴c ＜－2.又知方程有两个不相等的实数根，故Δ＞0， 即12－4c ＞0， 解得：c ＜14， ∴c 的取值范围为c ＜－2 .二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32 分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上． 9．（2019·岳阳）因式分解：ax －ay = ． 【答案】a (x －y )【解析】提公因式a 可得：ax －ay =a (x －y ).10．（2019·岳阳）2018年12月26日，岳阳三荷机场完成首航．至此，岳阳 “水陆空铁”四位一体的交通格局全面形成．机场以2020年为目标年，计划旅客年吞吐量为，600000人次，数据600000用科学记数法表示为 ． 【答案】6×105【解析】600000=6×105．11．（2019·岳阳）分别写有数字13，－1，0，π的五张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是 . 【答案】25和π是无理数，故从中任意抽取一张，抽到无理数的概率是25．12．（2019·岳阳）若一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形的边数为 . 【答案】4【解析】设这个多边形的边数为n ，根据题意得：(n －2) ·180º=360º，解得：n =4．所以这个多边形的边数为4．13．（2019·岳阳）分式方程121x x =+的解为x = . 【答案】1【解析】去分母，得：x +1=2x ，解得x =1，经检验x =1是原方程的解．14．（2019·岳阳）已知x －3=2，则代数式(x －3)2－2(x －3) ＋1的值为 ． 【答案】1【解析】把“x －3=2”代入，可得22－2×2＋1=1． 15．（2019·岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布 尺． 【答案】531 【解析】设该女子第一天织布x 尺，根据题意得：x ＋2x ＋4x ＋8x ＋16x =5， 解得：531x =. 所以，该女子第一天织布531尺. 16．（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） ①AM 平分∠CAB ； ②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则BM 的长为3π；④若AC=3，BD=1，则有CM=DM=3．【答案】①②④【解析】连接OM，BM，∵PE是⊙O的切线，∴OM⊥PE．∵AC⊥PE，∴AC∥OM．∴∠CAM＝∠AMO．∵OA＝OM，∴∠AMO＝∠MAO．∴∠CAM=∠MAO．∴AM平分∠CAB．选项①正确；∵AB为直径，∴∠AMB=90°=∠ACM．∵∠CAM=∠MAO，∴△AMC∽△ABM．∴AC AM AM AB=．∴AM2=AC·AB．选项②正确；∵∠P=30°，∴∠MOP=60°．∵AB=4，∴半径r=2．∴60221803BMlππ⨯==．选项③错误；∵BD∥OM∥AC，OA=OB，∴CM=MD．∵∠CAM＋∠AMC=90°，∠AMC＋∠BMD=90°，∴∠CAM＝∠BMD．∵∠ACM=∠BDM=90°，∴△ACM∽△MDB．∴AC CM DM BD=．∴CM·DM=3×1=3．∴CM=DM3.综上所述，结论正确的有①②④．三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2019湖南省岳阳市，17，6分）计算：0120191(21)2sin 30()(1)3---︒++-【思路分析】任何不等于0的数的零次方都等于1，sin30°=12，11()3-表示13的倒数，－1的奇数次方是－1．【解题过程】0120191(21)2sin 30()(1)3---︒++-1123(1)22=-⨯++-=【知识点】实数的运算，零指数幂，负指数幂，特殊角的三角函数值18．（2019湖南省岳阳市，18，6分）如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别为AD 、CD 边上的点，DE =DF ．求证：∠1=∠2．【思路分析】根据菱形的性质得AD =CD ，运用“SAS ”证明△ADF ≌△CDE 即可． 【解题过程】∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD =CD ．∵∠D =∠D ，DE =DF ， ∴△ADF ≌△CDE ． ∴∠1＝∠2．【知识点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质19．（2019湖南省岳阳市，19，8分）如图，双曲线my x=经过点P （2，1），且与直线y =kx －4（k ＜0）有两个不同的交点．（1）求m 的值；（2）求k 的取值范围．【思路分析】（1）把点P 的坐标代入反比例函数解析式可求出m ；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x 的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k 的取值范围． 【解题过程】（1）把点P （2，1）代入反比例函数my x=，得： 12m=，m =2； （2）由（1）可知反比例函数解析式为2y x=， ∴24kx x=-， 整理得：2420kx x --=， ∵双曲线与直线有两个不同的交点， ∴△＞0．即：2(4)4(2)0k --⨯->．解得：k ＞－2． 又∵k ＜0，∴k 的取值范围为－2＜k ＜0．【知识点】一次函数与反比例函数综合20．（2019湖南省岳阳市，20，8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【思路分析】（1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据“总共1200亩”和“复耕面积比改造面积多600亩”列方程组求解；（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的13”列不等式求解． 【解题过程】（1）设复耕土地面积为x 亩，改造土地面积为y 亩，根据题意，得：1200600x y x y +=⎧⎨-=⎩解得：900300x y =⎧⎨=⎩答：复耕土地面积为900亩，改造土地面积为300亩．（2）设休闲小广场的面积为m 亩，则花卉园的面积为（300－m ）亩，根据题意，得：1(300)3m m ≤-解得：m ≤75答：休闲小广场总面积最多为75亩．【知识点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用21．（2019湖南省岳阳市，21，8分）为了庆祝中华人民共和国成立70周年，某市决定开展“我和祖国共成长”主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛的40名选手的成绩（满分100分，得分为正整数且无满分，最低75分）分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．（1）表中m = ，n = ． （2）请在图中补全频数直方图；（3）甲同学的比赛成绩是40位参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在 分数段内；（4）选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全市决赛，请用列举法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率． 【思路分析】（1）根据选手总数40和频率、频数求m ，n 的值；（2）根据m 的值补全图形即可；（3）确定40名选手最中间两名的位置，即可确定中位数的分数段；（4）列举出所有等可能的结果，从中找出一男一女的个数计算概率或先画出树状图，再求概率． 【解题过程】（1）m =40×0.2=8，n =14÷40=0.35 （2）补全频数直方图如下：（3）成绩从小到大排序后，第20名和第21名同学的成绩都落在84.5~89.5之间，故甲的成绩落在84.5~89.5分数段内．（4）成绩在94.5分以上的选手共有4名，故男生两名、女生两名列举如下：（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，女2）共6种可能，恰好一名男生和一名女生的有4种情况，所以P（一男一女）=42 63 =．或列树状图如下：由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的结果共有8种，故P=82. 123=【知识点】统计与概率，统计表，频数直方图，中位数22．（2019湖南省岳阳市，22，8分）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．【思路分析】（1）先解Rt△AEH求出AH长度，从而求出AG的长度，再Rt△ACG求出AG的长度即为BD的长度；（2）根据DF的长度求出a的值，根据AB=AH+HB代入求塔高．【解题过程】（1）在Rt△AEH中，∠AEH=62.3°，tan62.3AH EH︒=．∴AH=EH·tan62.3°=BF·tan62.3°=1.9a．∵GH=GB－HB=CD－EF=1.7－1.5=0.2，∴AG=AH－GH=1.9a－0.2．在Rt△ACG中，∵∠ACG=45°，∴CG=AG=1.9a－0.2．∴BD= CG=1.9a－0.2．所以小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a－0.2）米．（2）∵DF=BD+BF，∴1.9a－0.2＋a=52．解得：a=18∴AB=AH＋BH=1.9a＋1.5=1.9×18＋1.5=35.7（米）．所以慈氏塔的高度AB为35.7米．【知识点】解直角三角形的应用，仰角俯角问题23．（2019湖南省岳阳市，23，10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和点N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE=BF；（2）特例感知：如图2，若DE=5，CF=2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；（3）类比探究：若DE=a，CF=b．①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）【思路分析】（1）由两直线平行内错角相等和折叠对应角相等，得到∠BFE=∠BEF，从而结论可得；（2）延长NP交AD于点G，根据角平分线的性质可得PG=PM，从而□PNQM的周长转化为矩形宽的2倍，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AB，则问题解决．（3）①延长PN交AD于点H，运用角平分线性质得到PM－PN=HN=AB，运用勾股定理求出AB结合平行四边形的性质，结论可得；②方法与①完全相同，只不过本题变为了PN－PM=AB，故结论QM与QN的位置互换．【解题过程】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE．由折叠可知：∠BEF=∠DEF∴∠BFE=∠BEF．∴BE=BF．（2）延长NP交AD于点G．由折叠可知：BE=DE=5，∵BF =BE ， ∴BF =DE ． ∵AD =BC ， ∴AE =CF =2． 在Rt △ABE 中，AB =22225221BE AE -=-=． ∵AB ∥CD ，PN ⊥BC ， ∴PN ⊥AD ． 即PG ⊥AD ．∵∠BEF =∠DEF ，PM ⊥BE ， ∴PM =PG ．∴PM ＋PN =NG =AB ．□PNQM 的周长=2（PM ＋PN ）=2AB =221．（3）①QN －QM =22a b -． 证明：延长PN 交AD 于点H ．由（2）可知BE =DE =a ，AE =CF =b ， ∴2222AB BE AE a b -=-∵∠BEP =∠DEP ，PM ⊥BE ，PH ⊥AD ， ∴PM =PH ．∴PM －PN =HN =AB 22a b - ∵四边形PNQM 是平行四边形， ∴QM =PN ，QN =PM ． ∴QN －QM 22a b - ②QM －QN 22a b -【知识点】图形的折叠，矩形，平行四边形，角平分线的性质，勾股定理24．（2019湖南省岳阳市，24，10分）如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为－4，点B 的纵坐标为－2．（点A 在点B 的左侧） （1）求点A 、B 的坐标；（2）将△AOB 绕点O 逆时针转90°得到△A ′OB ′，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A ′、B ′两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A ′恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A ′M ，求△OA ′M 的面积；（3）如图2，延长OB ′交抛物线F 2于点C ，连接A ′C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路分析】（1）分别将A 点横坐标和B 点纵坐标代入抛物线F 1可得；（2）通过A ′、B ′的坐标求出抛物线F 2的函数关系式，根据点M 在对称轴上求出点M 的横坐标；延长A ′M 交x 轴于点N ，则△A ′MN 为等腰直角三角形，求出N 点坐标，进一步求出直线A ′N 的解析式，得到点M 的坐标，最后利用S A ′OM ＝ S A ′′ON －S OMN求解．（3）根据点在直线OB ′和抛物线F 2上求出点C 的坐标，得到A ′C 的长度及∠OA ′C 的度数，根据两边成比例并且夹角相等证明三角形相似，分两种情况讨论求点D 的坐标．【解题过程】（1）将x =－4代入21733y x x =+，得：217(4)(4)433y =⨯-+⨯-=-， ∴A （－4，－4）．将y =－2代入21733y x x =+，得：217233x x +=-， 解得：x 1=－1，x 2=－6∵点A 在点B 的左侧，∴B （－1，－2）·（2）由旋转可知：A ′（4，－4），B ′（2，－1）代入抛物线24y ax bx =++，得： 164444241a b a b ++=⎧⎨++=-⎩解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线F 2：21344y x x =-+． 对称轴为：36124x -=-=⨯ 延长A ′M 交x 轴于点N ，∵点A′恰好在以OM为直径的圆上，∴∠OA′M=90°．∵A′（4，－4），∴∠A′ON=45º．∴△A′ON为等腰直角三角形．∴ON=4×2=8．∴N（8，0）设直线A′N：y=mx＋n则44 80 m nm n+=-⎧⎨+=⎩解得：18 mn=⎧⎨=-⎩∴y=x－8．当x=6时，y=－2．∴M（6，－2）∴S A′OM＝S A′′ON－S OMN＝118482 22⨯⨯-⨯⨯＝8．所以，△OA′M的面积为8．（3）设直线OB′解析式为：y=kx，代入B′（2，－1），得：2k=－112k=-．设直线OB′解析式为：12y x =-．解方程组：2134412y x xy x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：1121x y =⎧⎨=-⎩，2284x y =⎧⎨=-⎩ ∵B ′（2，－1）∴C （8，－4）．∵A （4，－4），∴A ′C ∥x 轴，A ′C =8－4=4，∴∠OA ′C =135º．若以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA ′C 相似则△AOD 必有一个钝角135°，故点O 与点A ′是对应顶点． 所以点D 在x 轴或y 轴正半轴上．OA =OA ′=．①若△AOD ∽△OA ′C ，则''OA OD A O A C= ∴OD =A ′C =4．此时点D 的坐标为（4，0）或（0，4）．②若△AOD ∽△CA ′O ，则'C 'OA OD A A O=4= ∴OD =8．此时点D 的坐标为（8，0）或（0，8）．由①②可知，坐标轴上存在点D ，其坐标分别为（4，0）、（0，4）、（8，0）或（0，8）．【知识点】二次函数综合，图形的旋转，求二次函数解析式，相似三角形的判定，存在性问题，分类讨论思想。