立体几何综合复习总结

设平面
PBC
的法向量为 n
( x,
y, z)
,
则
n
CB
0
( (
x, x,
y, y,
z) z)
( 2,0,0) 0 (0, 1,1) 0
∴
x y
0 z
令
y
n
1,
CP
n
0
(0, 1,
1)
∴cosm,n m n
3
,∵二面角为锐角∴二面角 A-PB-C 的余弦值为
3
| m || n | 3
D
C
n E F ， n E G 22xx24yy02 0 F
n
1 (
,
1
,1)
,BE(2,0,0)
A
33
E
|nBE| 2 11
B
y
d
.
n
11
答:点 B 到平面 EFG 的距离为 2
11 .
11
练习(用向量法求距离):
1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
已知空间两个a,向 b，量 则a b cosa,b叫做向a量 ,b的数量积
记作a： b,即
ab abcosa,b
（2）性质
1) a e a cos a , e
2) a b a b 0
2
3) a a a
3.向量的直角坐标运算
(1）坐标表示
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则
z
G 分析:用几何法做
相当困难,注意到坐标
系建立后各点坐标容易
得出,又因为求点到平 x D
C
面的距离可以用法向量 来计算,而法向量总是
F
可以快速算出.
A
E
B
果断地用坐标法处理.
y
思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
y
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2,0x, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面
PAB
的法向量为
m
=(x,y,z),则
m
AP
0
∴
( x, y, z) (0, 0,1) 0
∴
y
2
x
,令
m AB 0 x=1,则 m =(1,
2,0) ,
( x, y, z) ( 2,1, 0) 0 z 0
练习巩固
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,
BC= 2 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
分析:
z
若用几何法本题不太好处
理,注意到适当建立空间直角坐
y
标系后各点坐标容易处理,可考
虑尝试用向量法处理,从而把问 x
题转化为向量运算问题.
解:建立坐标系如图, 则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
C1
B1 C
A C 1 A B A D A A 1
A
A C 12 (A B A D A A 1)2进行向量运算
图1
B
22 2
A B A D A A 1 2 ( A B A D A B A A 1 A D A A 1 )
1 1 1 2 ( c o s 6 0 c o s 6 0 c o s 6 0 ) 6
方法小结
问题:如何求平面的法向量? ⑴设平面的法向量为 n ( x, y, z)
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2 ) ⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
AP =(0,0,1), AB ( 2,1,0), CB ( 2,0,0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PAB 的法向量为 m =(x,y,z),
思 BC考=题2.如,求图二,P面A角⊥平A-面PBA-BCC的,A余C⊥弦B值C.,zPA=AC=1,
解:建立坐标系如图,
则 A(0,0,0),B( 2 ,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),
两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
2
ab
直 线 l 与 平 面 所 成 的 角 为 (0≤≤),sinau ；
2
au
uv
二面角 ─l ─ 的大小为 ( 0≤ ≤ ), cos
.
uv
以上思考在今后的解题中会经常用到,注意体会.
（5）距离
如图：已知CD是平面的我一条斜线段， n是平面的法向量，
l a / / u a k u a 1 k a 2 , b 1 k b 2 , c 1 k c 2 .
当 a 2,b 2,c20 时 ,a//u a a 1 2b b 1 2c c1 2
（4）夹角：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
G
2x 2y 0
2
x
4
y
2
0
n
1 (
1 ,
,1)
33
d|nBE| 2 11
n
11
评 注 :
xD
F
A E
C
B
y
若 平 面 的 斜 线 AO交 于 点 O,e是 单 位 法 向 量 ,
则 A到 平 面 的 距 离 为 d|AOe|
如何用向量法求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
a b(a 1 b 1 ,a 2 b 2,a 3 b 3);
a b(a1 b 1,a2b 2,a3b 3);
a(a 1,a2,a3),( R );
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a2/b 2a2/b 2 . a b a1b 1a2b2a3b30;
|n|
|n|
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
思考题分析
思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，
求点 B 到平面 EFG 的距离.
刚 把 菜 放 进 锅里， 男人的 电话就 打了进 来：“ 媳妇， 睡没？ ”“没 ，正要 热菜 呢 。”“ 不热了 ，咱出 去吃。 ”“都 半夜了 呀。” “穿好 外衣下 楼吧， 我等你 。” 男 人语气 执拗中 又充满 期待， 女人不 忍拒绝 了，轻 声答： “好。 ” 楼道寂 静， 女 人 刚 下 半 层，就 听到男 人有意 的轻咳 。女人 小声问 ：“怎 么上来 啦？” “怕你
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
CDn
则点C到平面的距离d n
C
n
D A
问题:已知不共线的三点坐标,如何求经过这三点的
平面的一个法向量?
在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量. n (4, 3, 6)
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
(2）夹角
cosa,b ab
a1b1a2b2a3b3
;
|a||b| a12a22a32 b12b22b32
(3）距离
d A ,B(x 2 x 1 )2 (y 2y 1 )2 (z2 z1 )2
a x12y12z12
4.立体几何中的向量方法
( 1 ) 法 向 量 ： 如 果 直 线 l 平 面 ， 取 直 线 l 的 方 向 向 量 a ，
设OAa,则有向线O段 A的长度叫做a向 的量 长度或,记模作a： 害怕。”说话间男人已到近前，俩人牵手而下。 出楼门，红色的出租车正停 在 门 口 。 坐 进车里 ，女人 皱起眉 头：“ 怎么又 没锁车 啊？” 男人拍 这脑袋 说： “ 嘿 ， 光 想 着你害 怕，急 着接你 了。媳 妇，可 别生气 啊，平 时我连 出去吐 口痰都 会 把 车 锁 得 密不透 风的。 ”女人 ‘扑哧 ’乐了 ：“别 贫嘴， 这大半 夜的去 吃什么 饭 呀 ？ 孩 子 快上小 学了， 要多攒 些钱， 妈身体 不好， 也要存 些钱， 还有……”“不 怕 ， 咱 就 吃 碗面。 对了， 不说让 你先睡 ，我自 己热菜 就行吗 ？”男 人边说 边把暖 风 拨 向 女 人 的方向 。“你 ？你只 会图省 事吃冷 的。你 天天这 么辛苦 ，不说 吃得多 好 ， 总 要 吃 得热乎 乎的呀 。”“ 你啊——”男 人 摇头， 脸上却 挂这被宠的满足与幸 福。 街路空
（3）垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若 a ( a 1 , b 1 , c 1 ) , u ( a 2 , b 2 , c 2 ) , 则
3
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以
顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角
都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的
长与棱长有什么关系？
D1
解:如图1,不妨设 A BA A 1A D 1， A1
BAD B A A 1 D A A 16 0
依据向量的加法法则，化为向量问题 D
所以| AC1| 6
回到图形问题
这个晶体的对角线
A
C
的长是棱长的
1
6 倍。
如何用向量法求点到平面的距离?
课外思考题: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、
F 分别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且
＝2，求点 B 到平面 EFG 的距离. 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
E F ( 2 , 2 ,0 ) ,E G ( 2 , 4 ,2 ) ,
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z)x
GzC
G
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF(2,2,0),EG(2,4,2),
F
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量 A 为 n (x, y, z)
E
B
y
z
n E F ，n E G
立体几何习题课
1、平面向量的加法、减法与数乘运算
b a
向量加法的三角形法则
b
a
向量减法的三角形法则
b
a
向量加法的平行四边形法则
a
k a (k>0)
k a (k<0)
向量的数乘
1、空间向量的数量积
（1）定义
导 语 ： 店 里顾 客几乎 都是男 人，有 的闷头 吃，有 的边吃 边谈论 刚拉的 活，面 馆 里 只 有 自 己一个 女人。 女人悄 声说： “我可 不好意 思在这 喝酒呢 。” 女 人
则 向 量 a 叫 平 面 的 法 向 量
l
b
a
一个平面的法向量有无数个
（2）平行关系： 设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
则 d=| PO |= | PA | cos APO.
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n .
A O
∴cos∠APO=|cos PA, n |.
∴d=| PA||cos PA, n |= | PA | | n | | cos PA, n | = | PA n | .
注设 意直 ：线 这l里的 的方 线向 线向 平量 行为 包a 括 线(a 线1 ,重b 1 合,c 1 ，),线平 面面 平行的
包法 括向 线量 在为 面u 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则 括面面重合.
l / / a u 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;