2021考研数学二测试卷

数学二测试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上.（1）设20
3
tan ,0,(),0x t dt
x f x x k x ⎧⎪≠=⎨⎪
=⎩
⎰在0x =处连续，则k =（）
（A ）1.3（B ）1.6
（C ）0.
（D ）3.
（2）
设()lim ),2n f x x π→∞
=≤≤
则()f x 在(0,2
π
内不可导的个数为（）
（A ）3.（B ）2.（C ）1.
（D ）0.
（3）设22120
0sin ,,sin x x
I dx I dx x
x π
π
=
=⎰
⎰则（
）
（A ）211.I I >>（B ）21 1.I I >>（C ）211.I I >>（D ）121.
I I >>（4）设函数()f x 在区间(1,1)-内二次可导，已知(0)0,(0)1,f f '==且()0f x ''<当
(1,1)x ∈-时成立，则（
）
（A ）当(1,0)x ∈-时(),f x x >而当(0,1)x ∈时()f x x <.（B ）当(1,0)x ∈-时(),f x x <而当(0,1)x ∈时()f x x >.（C ）当(1,0)x ∈-与(0,1)x ∈时都有()f x x >.（D ）当(1,0)x ∈-与(0,1)x ∈时都有()f x x <.（5）设()f x 为连续函数，⎰
⎰=t
t
y
dx x f dy t F 1
)()(，则)2(F '等于（
）.
（A ）()22f .（B ）()2f .
（C ）()2f -.
（D ）0.
（6）设()y
z f xy x =
，其中函数f 可微，则
x z z y x y
∂∂+=∂∂（）.（A ）2()yf xy '.
（B ）2()yf xy '-.
（C ）
2
()f xy x .（D ）2
()f xy x
-
.（7）设12112,031k A B ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
是3阶矩阵，()2,()1,r B r AB ==则k =（
）
（A ）1.（B ）-1.（C ）2.（D ）-2.
（8）设n 维列向量组（Ⅰ）12,,,()m m n βββ< 线性无关，则n 维列向量组（Ⅱ）
12,,,m ααα 线性无关的充分必要条件为（
）
（A ）向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示.（B ）向量组（Ⅱ）可由向量组（Ⅰ）线性表示.
（C ）矩阵A =12(,,,)m ααα 与矩阵B =12(,,,)m βββ 等价.（D ）向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）等价.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设()f x 在0x =处连续，且()01cos lim 1,1
f x x x
e →-=-则()
f x 的极小值为_____.
(10)定积分2018
(1)(2)(2018)_____.
I x x x x dx =
---=⎰
(11)设()y y x =满足微分方程,x
xy xe y '=-
且0
(1),y π
=
⎰
则
()______.
y y x ==(12)设()f x 在(,)-∞+∞有三阶连续导数，且满足2
2()()2(),2
x f x f x x -=-则
(0)_____.
f '''=（13）设01()cos ,x
f x dt t =
⎰则(0)______.
f '=（14）设100041
000,10002100
03
A ⎡⎤⎢⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
则行列式1*()______.A -=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.
（15）（本题满分10分）计算3
2
1
sin 1cos 2
00lim 1sin().
x
x x x t dt +-→⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
⎰（16）（本题满分10分）设()y y x =满足微分方程43,x
y y y xe '''-+=且其图形在点(0,1)处的切线与曲线在2
1
14
y x x =-
+在该点处的切线重合，求().y y x =（17）（本题满分10分）函数(,)z f x y =的全增量(23)(24),z x x y y ∆=-∆++∆且
(0,0)0,f =求(,)z f x y =在22:25D x y +≤上的最值.
（18）（本题满分10分）设()f x 在[,]a b 上有二阶导数，且()0.f x '>（Ⅰ）证明至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()();b
a
f x dx f b a f a b ξξ=-+-⎰
（Ⅱ）
对（Ⅰ）中的(,)a b ξ∈，求lim .b a
a
b a
ξ+
→--（19）（本题满分10分）计算二重积分
2
2[cos sin sin()]D
x
y x y d σ++⎰⎰，其中
222{(,),0}D x y x y a a =+≤>常数.
（20）（本题满分11分）设函数()()01
22>-=
⎰
x dt x t x f ，求()x f '并求()x f 的最小值.
（21）（本题满分11分）已知曲线L 的方程22
1,(0)4,
x t t y t t ⎧=+ ≥⎨=-⎩(I)讨论L 的凹凸性;
(II)过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程;(III)求此切线与L (对应0x x ≤的部分)及x 轴所围成的平面图形的面积.
（22）（本题满分11分）设线性方程组12312312323,2(4)56,23,
x x x x k x x x x kx ++=⎧⎪
++-=⎨⎪--+=-⎩
有无穷多解，3阶矩阵A
有特征值
1231,1,0,
λλλ==-=其对应的特征向量分别为
121(1,2,1),(,3,2),(2,1,1).
k k k k k k ααα=-=++=--+（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）求矩阵3
.
A （23）（本题满分11分）设n 阶实对称矩阵A 只有两个不同的特征值11λ=和2λ，且A 的属于1λ的特征向量仅有(1,0,,0,1).T （Ⅰ）求矩阵A ；（Ⅱ）当2λ满足什么条件时，A
是
正定矩阵.。