山东省济南市2020届高考第二次模拟考试数学试题(理)含答案

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2020-2021学年山东省济南市高三二模考试(针对性训练)数学试题(理)及答案解析

高三针对性训练理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共6页，满分150分，考试时间120 分钟。

考试结束后。

将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3.第U卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A, B互斥，那么P A B P A P B ;如果事件A, B独立，那么P A P A gP B ;n kn次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率为C：p k 1 p k 0,1,2, ,n .第I卷（共50分）、选择题：本大题共10个小题.每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.(C) 0,1(D), 12,(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限(D)第四象限(3)若随机变量 X 服从正态分布N(1, 4)，设 P 0 X 3 m,P 1 X 2 n,则m, n 的大小关系为(A) m n (B) m n (C) m n(D)不确定(4)若直线x y m 0被圆x 1 2 y 2 5截得的弦长为2 J 3 ,则m 的值为(A)1(B)3(C)l 或一3(D)2(5)随着“银发浪潮”的涌来，养老是当下普遍关注的热点和难点问题.济南市创新性的采用 “公建民营”的模式，建立标准的“日间照料中心” ，既吸引社会力量广泛参与养老建设，也方便规范化管理.计划从中抽取5个中心进行评估，现将所有中心随机编号，用系统(等距)抽样的方法抽取，已知抽取到的号码有5号，23号和29号，则下面号码中可能被抽到的号码是(A)9(B)12(C)15(D)17⑹命题p ：将函数y cosx sin x 的图象向右平移匕个单位可得到y - cos2x 的图象；命题⑴已知全集 U=R,集合A x x 22x 0 ,By y sin x,x R ，则图中阴影部分的集合为(A)1,2(B) 1,0 1,2ad bc ，复数z 满足:12 i ,则复数z 在复平面内对应的点位于第(D 题图表示42q ：对 m 0,双曲线2x 2 y 2 m 2的离心率为 J3 .则下列结论正确的是(A)p 是假命题 (B) p 是真命题(C) p q 是真命题(D) p q 是假命题(7)若实数变量x, y 满足约束条件x y x 2y 3,目标函数z ax y 1 a R .有如下使得z 取最大值的最优解有无数组；则下列组合中全部正确的为(A)①②(B)②③(C)①③(D)③④⑼函数f xax m 1 2x a 0在区间0,【上的图象如图所示,则m, n 的值可能是2结论：①可行域外轮廓为矩形；②可行域面积为3;③a 1时,z 的最小值为 1;④a 2时,uuu uuur(8)如图所示，两个非共线向量OA,OB 的夹角为，N 为uur OCuuu xOAuuu yOBx,y2R ,则x2•一 ■… y 的取小值为42(A)(B)255第(8)题图OB 中且点，M 为OA 上靠近A 的三等分点，点 C 在直线MN 上,(C) 4(D)第(9〉禽图(A)m 1,n 1 (B) m 1,n 2 (C) m 2,n 3 (D) m 3,n 1(10)执行如下框图所示算法，若实数a,b不相等，依次输入a b,a,b输出值依次记为fab,fa,fb，贝Ufab f a f b 的值为第。

山东省济南市2020届高三二模考试数学试题及其答案

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2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学模拟测试试题(二)(含答案)

2020年普通高等学校招生考试数学模拟测试一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合A={0,1,2,3},B={2,3,4,5},则A ∪B= A.{1,2,3,4,5}B.{0,1,4,5}C.{2,3}D.{0,1,2,3,4,5}2.i 是虚数单位,z=2—i,则|z|=B.23.已知向量a =(1,2),b =(-1,λ),若a ∥b ,则实数λ等于 A.-1B.1C.-2D.24.设命题p:∀x ∈R ,x 2>0,则p ⌝为A.∀x ∈R ,x 2≤0B.∀x ∈R ,x 2>0C.∃x ∈R ,x 2>0D.∃x ∈R ,x 2≤05.51(1)x-展开式中含x -2的系数是 A.15B.-15C.10D.-106.若双曲线22221(0,x y a b a b -=>>)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为53，点P(b,0),为则12||||PF PF =A.6B.8C.9D.107.图为祖冲之之子祖暅“开立圆术”中设计的立体模型.祖暅提出“祖氏原理”,他将牟合方盖的体积化成立方体与一个相当于四棱锥的体积之差,从而求出牟合方盖的体积等于32(3d d 为球的直径),并得到球的体积为16V d π=,这种算法比外国人早了一千多年,人们还用过一些类似的公式,根据π=3.1415926…,判断下列公式中最精确的一个是A.d ≈3B .d ≈√2V 3C.d≈√300157V3D .d≈√158V 38.已知23cos cos ,2sin sin 2αβαβ-=+=则cos(a+β)等于 A.12B.12-C.14D.14-二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.第18届国际篮联篮球世界杯(世界男子篮球锦标赛更名为篮球世界杯后的第二届世界杯)于2019年8月31日至9月15日在中国的北京广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.中国队12名球员在第一场和第二场得分的茎叶图如图所示,则下列说法正确的是A.第一场得分的中位数为52 B.第二场得分的平均数为193C.第一场得分的极差大于第二场得分的极差D.第一场与第二场得分的众数相等10.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M 、N,若线段MN 1,则 A.正方体的外接球的表面积为12π B.正方体的内切球的体积为43πC.正方体的边长为2D.线段MN 的最大值为11.已知圆M 与直线x 十y ＋2=0相切于点A(0,-2),圆M 被x 轴所截得的弦长为2,则下列结论正确的是A.圆M 的圆心在定直线x-y-2=0上B.圆M 的面积的最大值为50πC.圆M 的半径的最小值为1D.满足条件的所有圆M 的半径之积为1012.若存在m,使得f(x)≥m 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有下界,其中m 为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M 对任意x ∈D 恒成立,则函数f(x)在D 上有上界,其中M 为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.下列说法正确的是A.1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界 B.函数f(x)=x l nx 有下界,无上界C.函数2()xe f x x=有上界有,上无界下,界无下界D.函数2sin ()1xf x x =+有界三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.设f(x)是定义在R 上的函数,若g(x)=f(x)+x 是偶函数,且g(-2)=-4,则f(2)=___. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0),点2(,0)3π和7(,0)6π是函数f(x)图象上相邻的两个对称中心,则ω=___.15.已知F 1,F 2分别为椭圆的221168x y +=左、右焦点,M 是椭圆上的一点,且在y 轴的左侧,过点F 2作∠F 1MF2的角平分线的垂线,垂足为N,若|ON|=2(О为坐标原点),则|MF 2|-|MF 1|=___,|OM|=__.(本题第一空2分,第二空3分)16.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =1=2,E,F 分别为AB 1,A 1C 1的中点,平面α过点C 1,且平面α∥平面A 1B 1C ,平面α∩平面A 1B 1C 1=l ,则异面直线EF 与l 所成角的余弦值为__·四、解答题：本题共6小题，共70分。

山东省济南市实验中学2020年高三数学理模拟试题含解析

山东省济南市实验中学2020年高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若双曲线的渐近线与抛物线的准线所围成的三角形面积为,则该双曲线的离心率为A． B． C． D．参考答案：A2. 将函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B略3. 将函数的图像向左平移个长度单位后，所得到的图像关于轴对称，则的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B 略4. 在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则（）A．B．C．D．参考答案：D略5. 已知双曲线（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：A6. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值是（）A． B．1或 C．1或D．1参考答案：【知识点】椭圆与双曲线的性质. H5 H6【答案解析】D 解析：由已知得：，故选D.【思路点拨】根据椭圆和双曲线的性质，得关于a的方程与不等式构成的混合组，解得a值.7. 若点（a,9）在函数的图象上，则tan的值为（）A．0 B. C.1 D.参考答案：D 略8. （5分）（2013?兰州一模）已知动点P 到两定点A 、B 的距离和为8，且|AB|=4，线段AB 的中点为O ，过点O 的所有直线与点P 的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有（）B 略9. 设函数且方程的根都在区间上，那么使方程有正整数解的实数a 的取值个数为 ( )A.2B.3C.4D.无穷个参考答案： B 略10. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧（左）视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（）A ．B ．C ．2D ．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，即可得出．【解答】解：此几何体是底面积是S==1的三棱锥，与底面是边长为2的正方形的四棱锥构成的组合体，它们的顶点相同，底面共面，高为，∴V==．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11.已知P 为椭圆和双曲线的一个交点，F 1、F 2为椭圆的焦点，那么的余弦值为参考答案：答案:12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为____参考答案：413. 过点（1，0）且与直线x﹣y+3=0平行的直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12所截得的弦长为．参考答案：6【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】先求与直线x ﹣y+3=0平行的直线l的方程，再求圆心到直线l的距离，进而可求直线l 被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长．【解答】解：设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0∵直线过点（1，0）∴c=﹣1∴圆心到直线l的距离为=，∴直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长为2=6故答案为6．【点评】本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查直线方程，考查直线与圆相交时的弦长得计算，关键是求与已知直线平行的直线方程，掌握圆中的弦长的求解方法，14. 设A是椭圆+=1（a＞0）上的动点，点F的坐标为（﹣2，0），若满足|AF|=10的点A有且仅有两个，则实数a的取值范围为．参考答案：8＜a＜12【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意，F是椭圆的焦点，满足|AF|=10的点A有且仅有两个，可得a﹣2＜10＜a+2，即可得出结论．【解答】解：由题意，F是椭圆的焦点，∵满足|AF|=10的点A有且仅有两个，∴a﹣2＜10＜a+2，∴8＜a＜12，故答案为：8＜a＜12．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．15. （选修4—5 不等式选讲）已知都是正数，且，则的最小值为.参考答案：6+略16. 设集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，则A∩B=．参考答案：{x|0＜x≤2}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x≤2}，∴A∩B={x|0＜x≤2}，故答案为：{x|0＜x≤2}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．17. 已知三棱柱的侧棱垂直底面，所有顶点都在球面上，AC=1,,则球的表面积为____________.参考答案：8略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省2020届高三数学二模试卷

山东省2020届高三数学二模试卷含解析一、单选题（共8题；共16分）1.已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.2.已知集合，则（）A. B. C. D.3.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（）A. B.C. D.4.设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.5.已知正方形的边长为（）A. 3B. -3C. 6D. -66.函数y= 的图象大致是（）A. B.C. D.7.已知O，A，B，C为平面内的四点，其中A，B，C三点共线，点O在直线外，且满足.其中，则的最小值为（）A. 21B. 25C. 27D. 348.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.椭球是椭圆绕其长轴旋转所成的旋转体，如图，将底面半径都为.高都为的半椭球和已被挖去了圆锥的圆柱（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明圆= 圆环总成立.据此，椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4的椭球的体积是（）A. B. C. D.二、多选题（共4题；共12分）9.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是（）A. 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米.B. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多.C. 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油.D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.10.设，分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则关于该双曲线的下列结论正确的是（）A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为C. 离心率为D. 离心率为11.已知函数的图象的一条对称轴为，则下列结论中正确的是（）A. 是最小正周期为的奇函数B. 是图像的一个对称中心C. 在上单调递增D. 先将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数的图象.12.如图，点M是正方体中的侧面上的一个动点，则下列结论正确的是（）A. 点M存在无数个位置满足B. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C. 在线段上存在点M，使异面直线与所成的角是D. 点M存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等.三、填空题（共3题；共3分）13.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________14.已知点A，B，C，D均在球O的球面上，，，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积为________15.设是定义在R上且周期为6的周期函数，若函数的图象关于点对称，函数在区间（其中）上的零点的个数的最小值为，则________四、双空题（共1题；共1分）16.动圆E与圆外切，并与直线相切，则动圆圆心E的轨迹方程为________，过点作倾斜角互补的两条直线，分别与圆心E的轨迹相交于A，B两点，则直线的斜率为________.五、解答题（共6题；共61分）17.已知△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，________，求△的周长L和面积S.在① ，，② ，，③ ，这三个条件中，任选一个补充在上面问题中的横线处，并加以解答.18.已知为等差数列，，，为等比数列，且，.（1）求，的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.19.如图所示，在等腰梯形中，∥，，直角梯形所在的平面垂直于平面，且，.（1）证明：平面平面；（2）点在线段上，试确定点的位置，使平面与平面所成的二面角的余弦值为.20.已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C相交于A，B两点，若以，为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形的面积为定值.21.在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区200名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）人数17 41 62 50 26 3 1附：0.05 0.025 0.0103.841 5.024 6.635，其中（1）求这200名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述200名患者中抽取40人得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）2050岁以下9总计40（3）以这200名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立.为了深入硏究，该研究团队在该地区随机调查了10名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？22.已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明曲线分别在点和点处的切线为不同的直线；（3）已知过点能作曲线的三条切线，求m，n所满足的条件.答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：由于角的终边经过点，则，．故答案为：B．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：集合则.故答案为：C.【分析】先化简集合B，再根据交集的定义即可求出.3.【答案】A【解析】【解答】解：∵z在复平面内对应的点为，∴，又，.故答案为：A.【分析】由z在复平面内对应的点为，可得，然后代入，即可得答案.4.【答案】D【解析】【解答】解：，，，∴.故答案为：D.【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为正方形的边长为3，，则.故答案为：A.【分析】直接根据向量的三角形法则把所求问题转化为已知长度和夹角的向量来表示，即可求解结论.6.【答案】D【解析】【解答】解：当x＞0时，y=xlnx，y′=1+lnx，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D【分析】根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．7.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意，A，B，C三点共线，点O在直线外，．设，，则，，消去得，（当且仅当时等式成立）.故答案为：B.【分析】根据题意，易得，则，根据基本不等式的应用运算，易得的最小值.8.【答案】C【解析】【解答】解：∵圆= 圆环总成立，∴半椭球的体积为：，∴椭球的体积，∵椭球体短轴长为2，长半轴长为4，∴该椭球体的体积.故答案为：C.【分析】由圆= 圆环总成立，求出椭球的体积，代入b与a的值得答案.二、多选题9.【答案】A,B,C【解析】【解答】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错误，符合题意；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错误，符合题意；对于C，由图象可知当速度为80km/h 时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，C错误，符合题意；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，D正确，不符合题意.故答案为：ABC.【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题．涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.10.【答案】A,C【解析】【解答】解：设，由，可得，由到直线的距离等于双曲线的实轴长，设的中点，由等腰三角形的性质可得，，即有，，即，可得，即有，则双曲线的渐近线方程为，即；离心率．故答案为：AC．【分析】设，运用双曲线的定义和等腰三角形的性质可得关于a，b，c的方程，再由隐含条件即可得到a与b的关系，求出双曲线的渐近线方程及离心率即可．11.【答案】B,D【解析】【解答】解：，当时，取到最值，即解得，．A：，故不是奇函数，A不符合题意；B：，则是图像的一个对称中心，B符合题意；C：当时，，又在上先增后减，则在上先增后减，C不符合题意；D. 将函数图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，得，D符合题意.故答案为：BD.【分析】化简函数，将代入得函数最值，可求得，进而可得，通过计算，可判断A；通过计算，可判断B；当时，，可得在上的单调性，可判断C；通过振幅变换和平移变换，可判断D12.【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.连接，由正方体的性质可得，则面当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，A符合题意；B.由已知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，B符合题意；C. 连接，因为则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，，则，点到线的距离为，，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是，C不符合题意；D. 连接，过M作交于N，由面，面，得，则为点到直线的距离，为点到直线的距离，由已知，则点M在以为焦点，以为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，D符合题意.故答案为：ABD.【分析】通过证明面，可得当点上时，有，可判断A；由已知，当点与点重合时，点到面的距离最大，计算可判断B；C. 连接，因为，则为异面直线与所成的角，利用余弦定理算出的距离，可判断C；连接，过M作交于N，得到，则点在以为焦点，以为准线的抛物线上，可判断D.三、填空题13.【答案】【解析】【解答】解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，现从五种不同属性的物质中任取两种，基本事件总数，取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为．故答案为：．【分析】基本事件总数，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有5种，由此能求出取出的两种物质恰是相克关系的概率．14.【答案】【解析】【解答】解：设的外接圆的半径为，∵，，则，为直角三角形，且，∵三棱锥体积的最大值是，，，，均在球的球面上，∴到平面的最大距离，设球的半径为，则，即解得，∴球的表面积为.故答案为：.【分析】设的外接圆的半径为r，可得为直角三角形，可求出，由已知得D到平面的最大距离h，设球O的半径为R，则，由此能求出R，从而能求出球O的表面积.15.【答案】，，或（表示不超过x的最大整数）【解析】【解答】将的图象向左平移1个单位，得到的图象，因为函数的图象关于点对称，即有的图象关于原点对称，即为定义在上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得．可令，则，即，可得，当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有；当时，在上，有，，…，可得即，或（表示不超过的最大整数）故答案为：，或（表示不超过的最大整数）【分析】由图象平移可知，为定义在R上的奇函数，可得，又为周期为6的周期函数，可得，分别求得时，的值，归纳即可得到所求通项．四、双空题16.【答案】；-1【解析】【解答】解：如图，由题意可知，，则，∴点到直线的距离等于到点的距离，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，则其轨迹方程为；点坐标为，设，由已知设：，即：，代入抛物线的方程得：，即，则，故，设，即，代入抛物线的方程得：，即，则：，故，，直线AB的斜率，∴直线AB的斜率为−1．故答案为：；−1．【分析】由已知可得点到直线的距离等于到点的距离，即动圆圆心的轨迹是以M为焦点，以为准线的抛物线，则轨迹方程可求；设出直线的方程，与抛物线方程联立，求出的坐标，利用斜率公式，即可求得直线的斜率五、解答题17.【答案】解: 选① 因为，，且，，所以，，在△中，，即，所以，由正弦定理得，，因为，所以，所以△的周长，△的面积.选② 因为，所以由正弦定理得，因为，所以. 又因为.由余弦定理得所以. 解得. 所以.所以△的周长.△的面积.选③ 因为，，所以由余弦定理得，.即. 解得或（舍去）.所以△的周长，因为，所以，所以△的面积，【解析】【分析】选择①：根据条件求出，，则可求出，再根据正弦定理可求出，进而可得周长面积；选择②：，，．由正弦定理可得：．由余弦定理可得：，联立解得：，进而可得周长面积；选择③：由余弦定理可得，则周长可求，再根据可得，通过面积公式可得面积18.【答案】（1）解：设等差数列的公差为d，由题意得，解得，所以数列的通项公式，即.设等比数列的公比为，由，，得，，解得，所以数列的通项公式；（2）解：由（1）知，则，，两式相减得，所以【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为d，由等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到；设等比数列的公比为q，由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．19.【答案】（1）解：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以，在△中，，，，由余弦定理得，，所以，所以.又，，所以平面，又平面，所以平面平面（2）解：以C为坐标原点，以，所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，，，，，，，设，则.设平面的一个法向量为，则，即，取，得.设平面的一个法向量为，由，得，令，得，因为平面与平面所成的二面角的余弦值为，所以，整理得，解得或（舍去），所以点M为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值为.【解析】【分析】（1）推导出平面，，，从而平面，由此能证明平面平面；（2）以为坐标原点，以，所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点为线段中点时，平面与平面所成的二面角的余弦值．20.【答案】（1）解：因为椭圆过点，代入椭圆方程，可得①，又因为离心率为，所以，从而②，联立①②，解得，，所以椭圆为；（2）解：把代入椭圆方程，得，所以，设，，则，所以，因为四边形是平行四边形，所以，所以P点坐标为.又因为点P在椭圆上，所以，即.因为.又点O到直线的距离，所以平行四边形的面积，即平行四边形的面积为定值.【解析】【分析】（1）由题意可得关于的方程组，求得的值，则椭圆方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及四边形是平行四边形，可得点坐标，把P点坐标代入椭圆方程，得到，利用弦长公式求得，再由点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，代入三角形面积公式即可证明平行四边形的面积为定值21.【答案】（1）解：（天）.（2）解：根据题意，补充完整的列联表如下：潜伏期天潜伏期天总计50岁以上（含50岁）15 5 2050岁以下9 11 20总计24 16 40则，经查表，得，所以没有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）解：由题意可知，该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率为.设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则近似服从二项分布，即，， (10)由，得化简得，又，所以，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人.【解析】【分析】（1）利用平均值的定义求解即可；（2）根据题目所给的数据填写2×2列联表，根据公式计算，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）先求出该地区每名患者潜伏期超过6天发生的概率，设调查的10名患者中潜伏期超过6天的人数为X，由于该地区人数较多，则X近似服从二项分布，即，，…，10，由得：，即这10名患者中潜伏期超过6天的人数最有可能是4人．22.【答案】（1）解：因为，所以，所以当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减；（2）解：因为，所以，.又因为，.所以曲线在点处的切线方程为；曲线在点处的切线方程为.因为.所以.所以两条切线不可能相同.（3）解：设直线l过点与曲线在点处相切，设直线，则消去，得.因为过点能作曲线的三条切线，所以关于的方程有三个不等实根.设，则有三个零点.又，①若，则，所以在上单调递增，至多一个零点，故不符合题意；②若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极大值为，极小值为. 又有三个零点，所以，即，所以；③若，则当时，，单调递增；当，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极大值为，极小值为.又有三个零点，所以，即，所以，综上所述，当时，；当时，.【解析】【分析】（1）对求导，根据的符号判断的单调性；（2）先分别求出曲线分别在点和点处的切线方程，然后根据条件证明两者为不同的直线的方程；（3）先设直线过点与曲线在点处相切，再设直线，根据两者联立得到方程，要求此方程有三个不等实根即可．然后构造函数，研究该函数有3个零点的条件即可.。

2020年山东省济南市高三第二次教学质量检测理科数学(PDF版)

31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和 .
5 3 15 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 19．（本小题满分 12 分)如图，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝ AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点.
π
|PQ|
(2)若直线θ＝
4
(ρ∈R)与曲线
C1
交于
M，N
两点，与曲线
C2
交于
P，Q
两点，求的值． |MN|
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
1
(1)已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋
≥2y＋3；
x2－2xy＋y2
(2)设 a，b，c>0 且 ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥ 3.
等于( )
3π
π
A.
B.
4
3
π C.
4
π D.
6
7.如图是函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A．[2，＋∞)
B．[1,2]
C．[1，＋∞)
D．(0,2]
2
ex
＋ln x
12.已知函数 f(x)＝－k x
，若 x＝2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，则实数 k 的

2020年山东省济南市高考数学模拟试卷2(5月份) (含答案解析)

2020年山东省济南市高考数学模拟试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2.已知复数z=(1+i)(2−i)，则|z|=()A. √2B. √10C. 3√2D. 23.已知抛物线y=x2的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为()A. 34B. 1 C. 54D. 744.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知sin(π2−α)=14，则cos2α的值是()A. 78B. −78C. 89D. −896.圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. √34πB. 3√34πC. √2πD. √3π7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 7π6B. 4π5C. 2πD. 13π68.函数f(x)=6|sinx|−x2√1+x2的图象大致为()A.B.C.D.9.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，若最终输出x=0，则一开始输入x的值为()A. 34B. 78C. 1516D. 410.函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为()A. [2π,4π]B. [2π,9π2) C. [13π6,25π6) D. [2π,25π6)11.已知圆x2+y2=R2过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F，且与双曲线在第一，三象限的交点分别为M，N，若∠MNF=π12时，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±x D. y=±2x12.设函数f(x)=2xe x+2mx−3m，对任意正实数x，f(x)≥0恒成立，则m的取值范围为()A. [0,1]B. [0,e3] C. [0,2e] D. [0,4e2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足，则yx的取值范围为_________．14.(x−2y)(x+y)8的展开式中，x2y7的系数为______ .(用数字作答)15.设向量|a→+b→|=√20，a→·b→=4，则|a→−b→|=________．16.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中AB=2，CC1=2√2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2，(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{a n+3a n}的前项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，PA=2AD，AD//BC，DB=DC，AD=2，BC=6，∠ABC=60°．(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)求二面角D−PA−B的余弦值；(Ⅲ)求证：AB⊥平面PCD．19. 中华龙鸟是生存于距今约1.4亿年的早白垩世现已灭绝的动物，在一次考古活动中，考古学家发现了中华龙鸟的化石标本共5个，考古学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到如下表的数据：股骨长度x/cm 38 56 59 64 73 肱骨长度y/cm 41 63 70 72 84若由资料可知肱骨长度y 与股骨长度x 呈线性相关关系． (1)求y 与x 的线性回归方程y =b ̂x +a ̂(a ̂,b̂精确到0.01)； (2)若某个中华龙鸟的化石只保留有股骨，现测得其长度为37cm ，根据(1)的结论推测该中华龙鸟的肱骨长度(精确到1cm)． (参考公式和数据：b =∑x i n i=1y i −nx .⋅y.∑x i 2n i=1−nx2，a =y .−b ̂x .，∑x i 5i=1y i =19956，∑x 5i=1 i 2=17486)20. 已知点P 为圆x 2+y 2=4上一动点，轴于点Q ，若动点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 1，l 2分别交曲线E 于点A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，证明：1|AC|+1|BD|为定值．21. 已知函数f(x)=alnx −e x ；(1)讨论f(x)的极值点的个数； (2)若a =2，求证：f(x)<0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =4t 2,y =4t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ+3=0． (1)求曲线M 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 过圆心C 且与曲线M 交于A ，B 两点，求1|CA|+1|CB|的最大值．23.已知函数f(x)=2|x+1|−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<x有实数解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B ={x|(x +1)(x −2)<0}，即B ={x|−1<x <2}，又A ={x|x <0}， ∴A ∪B =(−∞,2)，故选：B ．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合B ，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：B解析：解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ，则|z|=2+12=√10．故选：B ．利用复数模的计算公式即可得出．本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的定义和方程，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可求出y 1+y 2，然后得到AB 的中点纵坐标即可得解．【解答】解：∵F 是抛物线y =x 2的焦点F(0,14)准线方程y =−14，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴|AB|=|AF|+|BF|=y 1+14+y 2+14=3，解得y 1+y 2=52，∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54．故选C ．解析：解：由图易知A ，B 正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确，由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D 错误，故选：D ．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，属于基础题．由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：∵sin(π2−α)=14， ∴cosα=14，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78．故选：B ．6.答案：B解析：【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是明确测度比为面积比，属于基础题．设圆内每一个小正三角形的边长为r ，求出三个正三角形的面积及圆的面积，由面积比得答案．【解答】解：设圆内每一个小正三角形的边长为r ，则一个三角形的面积为12×r ×√32r =√34r 2，∴阴影部分的面积为3√34r 2，又圆的面积为πr 2， ∴点A 落在区域M 内的概率是3√34r 2πr 2=3√34π．7.答案：A解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：左边为一个底面半径为1，高为2的半圆柱，右边是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．故：V=12⋅π⋅12⋅2+13⋅12⋅π⋅12⋅1=π+π6=7π6．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象和性质，利用特殊值法即可求解．【解答】解：易知函数f(x)为偶函数，故排除C．，故排除B．，故排除D．故选A．9.答案：B解析：【分析】此题考查程序框图的循环结构的应用，关键是模拟循环过程．【解答】解：当i=1，x=2x−1，i=2；满足循环条件，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3；满足循环条件，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4；不满足循环条件，输出8x−7=0，解得x=78．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查三角函数的性质的应用，根据题意得{ω+π3<9π2ω+π3≥5π2，解不等式组即可求得结果．【解答】解：当x ∈[0,1]时，ωx +π3∈[π3,ω+π3]，因为函数的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则{ω+π3<9π2ω+π3≥5π2，解得13π6≤ω<25π6．故选C ．11.答案：C解析：解：由对称性可得MN 过原点O ，可得 MF ⊥NF ，即有tan∠MNF =|MF||NF|=tan π12=2−√3，由双曲线的定义可得|NF|−|MF|=|MF′|−|MF|=2a ，解得|MF|=(√3−1)a ，|NF|=(√3+1)a ，在直角三角形MFF′中，由勾股定理可得， 4c 2=(√3−1)2a 2+(√3+1)2a 2，即为c 2=2a 2，即有b 2=c 2−a 2=a 2，则双曲线的渐近线方程为y =±ba x ，即y =±x ．故选：C ．由对称性可得MN 过原点O ，可得MF ⊥NF ，运用正切函数的定义和双曲线的定义，求得MF ，NF ，再由勾股定理和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的渐近线方程求法，注意运用双曲线的定义和对称性，以及直径所对的圆周角为直角，正切函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查了导数的几何意义和不等式的恒成立问题．由f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)，令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)，如图，满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方，求出相切时m 的值，结合图象即可得出结果．【解答】解：由f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)，令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)，则y 1′=2xe x (x +2)，令y 1′=0可得x 1=0,x 2=−2，绘制y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)的图象，如图，满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方，设y 1=2x 2e x 与y 2=3m(x −23)相切，切点坐标为P(x 0,y 0),(x 0>0)，则{y 0=3m(x 0−23)y 0=2x 02e x 02x 0e x 0(x 0+2)=3m，解得x 0=1，m =2e ，结合函数图象可得m ∈[0,2e]．故选C ．13.答案：[211 ,2]解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，再由yx 的几何意义，即可行域内的动点与定点O 连线的斜率求解．【解答】解：由实数x ，y 满足{ x −y −3≤0 x +2y −5≥0y −2≤0，作出可行域如图：由{ y =2 x +2y −5=0，解得A(1,2)，由{ x −y −3=0 x +2y −5=0，解得B(113, 23)， y x的几何意义为可行域内的动点与原点O 连线的斜率，∴k OA =2，k OB = 211 ， ∴则yx 的取值范围是[211 ,2]．故答案为[211 ,2]．14.答案：−48解析：解：当因式x −2y 取x ，则二项式(x +y)8则取xy 7，此时系数为C 87=8；当因式x −2y 取−2y ，则二项式(x +y)8则取x 2y 6，此时系数为−2C 86=−2C 82=−56；所以(x −2y)(x +y)8的展开式中，x 2y 7的系数为8−56=−48；故答案为：−48．根据x 2y 7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数．本题考查了二项式定理的运用；关键是明确所求项的由来．15.答案：2解析：【分析】本题利用向量模长的平方等于向量的平方可求出a →2+b →2，带入化简即可．【解答】解：∵|a →+b →|=√20,a →·b →=4∴a →2+b →2=20−2a →·b →=12∴|a →−b →|=√|a →−b →|2=√a →2+b →2−2a →·b →=√12−8=2 故答案为2．16.答案：1解析：【分析】本题考查空间直线到平面的距离，属于中档题．先利用线面平行的判定定理证明直线C 1A//平面BDE ，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可．【解答】解：如图：连接AC ，交BD 于O ，在三角形CC 1A 中，OE//C 1A ， ∵OE ⊂平面BDE ， C 1A ⊄平面BDE ∴C 1A//平面BDE ，∴直线AC 1与平面BED 的距离即为点A 到平面BED 的距离，设为h ，在三棱锥E −ABD 中，V E−ABD =13S △ABD ·CE=13×12×2×2×√2=2√23，在三棱锥A −BDE 中，BD =2√2，BE =√6，DE =√6， ∴S △DEB =12×2√2×√6−2=2√2，∴V A−BDE =13S △EBD ·ℎ=13×ℎ×2√2=2√23，∴ℎ=1．故答案为1．17.答案：解：(1)∵数列{a n }的前项和S n =n 2，∴n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， n =1时，a 1=S 1=1，满足上式， ∴a n =2n −1，n ∈N ∗． (2)∵a n +3a n =2n −1+32n−1，∴T n =S n +3·1−9n1−9=32n+1−3+8n 28．解析：(1)利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，能求出a n =2n −1，n ∈N ∗．(2)a n +3 a n =2n −1+32n−1，由此利用分组求和法能求出数列{a n +3 a n }的前项和T n ．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18.答案：证明：(Ⅰ)∵在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PD ⊥AD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．解：(Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，平面PAD 的法向量n⃗ =(0,1，0)， A(2,0，0)，B(3,√3,0)，P(0,0，2√3)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,−2√3)，设平面PAB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +√3y −2√3z =0，设z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)，设二面角D −PA −B 的平面角为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=√55，由图可知θ为钝角， ∴二面角D −PA −B 的余弦值为−√55．证明：(Ⅲ)C(−3，√3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√3)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,−2√3)， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，∵PD ∩PC =P ，PD ，PC ⊂平面PCD ， ∴AB ⊥平面PCD ．解析：(Ⅰ)由平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，得PD ⊥平面ABCD ，由此能证明PD ⊥BC ． (Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −PA −B 的余弦值．(Ⅲ)推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，由此能证明AB ⊥平面PCD ．本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x .=15(38+56+59+64+73)=58，y .=15(41+63+70+72+84)=66，∴b ∧=19956−5×58×6617486−5×582=1.23，a ∧=66−1.23×58=−5.34．∴y 与x 的线性回归方程是y =1.23x −5.34． (2)当x =37时，y =1.23×37−5.34≈40． ∴此中华龙鸟的肱骨长度约为40cm ．解析：(1)求出x .,y .，代入回归系数公式解出b ∧，a ∧，得到回归方程； (2)把x =37代入回归方程求出y 即为肱骨长度的估计值．本题考查了线性回归方程的求法和数值估计，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则Q(x 0,0)，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0)，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x =√32x 0+2−√32x 0y =√32y 0,即x 0=x,y 0=√3，因为x 02+y 02=4，代入整理得x 24+y 23=1，即为M 的轨迹为椭圆x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|+1|BD|=13+14=712，当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y =k(x +1)，代入椭圆方程x 24+y 23=1，并化简得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2−123+4k 2，|AC|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12(1+k 2)3+4k 2因为直线BD 的斜率为−1k ，所以|BD|=12[1+(−1k )2]3+4(−1k)2=12(1+k 2)4+3k 2，所以1|AC|+1|BD|=3+4k 212(1+k 2)+4+3k 212(1+k 2)=712，综上，1|AC|+1|BD|=712，是定值．解析：本题考查了圆锥曲线中的轨迹问题，以及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．(Ⅰ)通过设点，借助OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到x 0=x,y 0=2√3y ，运用相关点法求解即可； (Ⅱ)直线和椭圆联立方程组，得到(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，借助根与系数的关系，由弦长公式求得|AC |=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12(1+k 2)3+4k 2，|BD|=12[1+(−1k )2]3+4(−1k)2=12(1+k 2)4+3k 2，进而证明即可．21.答案：(1)解：根据题意可得，f′(x)=ax −e x =a−xe xx(x >0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，函数y =f(x)是减函数，无极值点；当a >0时，令f ′(x)=0，得a −xe x =0，即xe x =a ，易知y =xe x 在(0,+∞)上单调递增，所以a =xe x 在(0,+∞)上存在一解，不妨设为x 0，所以函数y =f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减；所以函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点．综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值点；当a >0时，函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点； (2)证明：a =2时，f(x)=2lnx −e x ，f ′(x)=2−xe xx(x >0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x 0)，且x 0满足x 0e x 0=2①，又y =xe x 在(0,+∞)上是增函数，且0<2<e ，所以x 0∈(0,1)，又知：；由①可得e x 0=2x 0，代入②得，令g(x)=2lnx −2x ，则g ′(x)=2x +2x =2(x+1)x >0恒成立，所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以g(x 0)<g(1)=−2<0，即g(x 0)<0，所以f(x)<0．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，利用导数证明不等式，属于较难题． (1)对f(x)求导数，讨论a 的取值，令导数f ′(x)=0，判断f(x)的单调性，从而求出函数y =f(x)极值点的个数；(2)求出a =2时f(x)的导数f ′(x)，判断f(x)的极值情况，利用极值构造函数，从而证明f(x)<0．22.答案：解：(1)由曲线M 的参数方程消去参数t ，得y 2=4x ，即曲线M 的普通方程为y 2=4x ．将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程，得x 2+y 2+4y +3=0，即得圆C 的直角坐标方程为x 2+(y +2)2=1． (2)由(1)知圆心C(0,−2)．设直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =−2+tsinα(t 为参数)，代入曲线M 的方程得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=4sinα+4cosαsin 2α，t 1t 2=4sin 2α．所以1|CA|+1|CB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t2t 1t 2|=|sinα+cosα|=|√2sin (α+π4)|≤√2，当α=π4时等号成立，此时满足题意，所以1|CA|+1|CB|的最大值为√2．解析：本题考查的知识点是圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =−2+tsinα(t 为参数)，代入y 得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0，利用参数的几何意义，求|1|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||的值．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=2|x +1|−|x −1|，当x <−1时，由f(x)<0得−2(x +1)+(x −1)<0，即−x −3<0，得x >−3，此时−3<x <−1，当−1≤x ≤1，由f(x)<0得2(x +1)+(x −1)<0，即3x +1<0，得x <−13，此时−1≤x <−13，当x >1时，由f(x)<0得2(x +1)−(x −1)<0，即x +3<0，得x <−3，此时无解，综上−3<x <−13，(Ⅱ)∵f(x)<x ⇔2|x +1|−x <|x −a|有解，等价于函数y =2|x +1|−x 的图象上存在点在函数y =|x −a|的图象下方，由函数y=2|x+2|−x与函数y=|x−a|的图象可知：a>0或a<−2．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．(Ⅰ)分3段去绝对值解不等式组，再相并；(Ⅱ)f(x)<x⇔2|x+1|−x<|x−a|有解，等价于函数y=2|x+1|−x的图象上存在点在函数y= |x−a|的图象下方，根据图象写出结果．。

2020届山东省济南市高三二模数学试题(详解)

2020届山东省济南市高三二模数学试题一、选择题1．已知α为第四象限角，则5cos 13α=，则sin α=（） A ．1213-B ．1213 C ．512-D ．512【答案】A【解析】α为第四象限角，212sin 1cos 13αα=--=-.故选：A 2．已知,x y R ∈，集合{1,2}x A =，{,}B x y =，12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则xy =（）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B 【解析】12AB ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故122x =，1x =-，12y =，故12xy =-.故选：B.3．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点P 在抛物线上且横坐标为4，则||PF =（）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】将4x =代入抛物线得到()4,4P ，根据抛物线定义得到||44152pPF =+=+=.故选：C. 4．十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜．下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图．下列说法错误的是（）A ．在100米项目中，甲的得分比乙高B ．在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同C ．甲的各项得分比乙更均衡D ．甲的总分高于乙的总分【答案】C【解析】A. 在100米项目中，甲的得分比乙高，A 正确；B. 在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同，B 正确；C. 乙的各项得分比甲更均衡，C 错误；D. 甲的总分约为10009505008008509504508507505007600+++++++++=，乙的总分约为7507507508008507506506507507007400+++++++++=，D 正确.故选：C.5．已知函数()221,11,1x x x f x x x ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()243,f a f a ->，则实数a 的取值范围是（）A ．()4,1-B ．()(),41,-∞-+∞C ．()1,4-D ．()(),14,-∞-+∞【答案】D【解析】()()2221,121,11,11,1x x x x x x f x f x x x x x ⎧-+-≤⎧-+-≤⎪===⎨⎨->->⎪⎩⎩，如图所示：画出函数图像，根据图像知函数单调递增，()()243f a f a ->，即243a a ->，解得4a >或1a <-.故选：D.6．任何一个复数z a bi =+（其中,a b ∈R ，i 为虚数单位）都可以表示成()cos sin z r i θθ=+（其中0r ≥，R θ∈）的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：cos cos [(sin ]sin ,()n n n r i r i n n N θθθθ++=+∈，我们称这个结论为棣莫弗定理．由棣莫弗定理可知，“n 为偶数”是“复数cos sin 44mi ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为纯虚数的是（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】cos sin cos sin4444mm m i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭为纯虚数，故cos 04m π=且sin 04m π≠，故24m k =+，k Z ∈，故n 为偶数是24m k =+，k Z ∈的必要不充分条件. 故选：B.7．已知点A ，B ，C 均在半径为2的圆上，若||2AB =，则AC BC ⋅的最大值为（）A ．3+22B ．222+C ．4D ．2【答案】B【解析】根据圆O 半径为2，2AB =得到OA OB ⊥，以,OB OA 为,x y 轴建立直角坐标系，则()0,2A ，()2,0B ，设()2cos ,2sin Cθθ，则()()2cos ,2sin 22cos 2,2sin 222sin 4AC BC πθθθθθ⎛⎫⋅=-⋅-=-+ ⎪⎝⎭，当sin 14πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时有最大值为222+.故选：B.8．在三棱锥P ABC -中，2AB =，AC BC ⊥，若该三棱锥的体积为23，则其外接球表面积的最小值为（）A ．5πB ．4912πC ．649πD ．254π【答案】D【解析】2AB =，AC BC ⊥，故底面三角形外接圆半径为1r =，()2211124ABC S CA CB CA CB =⋅≤+=△，当2CA CB ==时等号成立，故1233ABC V S h =⋅=△，故2h ≥，当P 离平面ABC 最远时，外接球表面积最小，此时，P 在平面ABC 的投影为AB 中点1O ，设球心为O ，则O 在1PO 上，故()2221R h R =-+，化简得到122h R h =+，双勾函数122x y x=+在[)2,+∞上单调递增，故min 54R =，故2min min 2544S R ππ==.故选：D.二、多选题9．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，其中90分为及格线，120分为优秀线．下列说法正确的是（）．附：随机变量ξ服从正态分布()2,N u σ，则()0.6826P u μσξσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=，()330.9974P u σξμσ-<<+=A ．该市学生数学成绩的期望为100B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.8D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC【解析】数学成绩X 服从正态分布(100,100)N ，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A 正确B 错误；及格率为()1110.841100101001320p P ξ+=-<<-=-，C 正确；不及格概率为20.1587p =，优秀概率()3110020100200.02282P p ξ--<<+==，D 错误.故选：AC.10．已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（） A ．圆锥的高为1B ．三角形PAB 为等腰三角形C ．三角形PAB 面积的最大值为3D ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为6π 【答案】ABD【解析】如图所示：()22231PO =-=，A 正确；2PA PB ==，B 正确；易知直线PA 与圆锥底面所成角的为6PAO π∠=，D 正确；取AB 中点为C ，设PAC θ∠=，则,62ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，2sin 2cos 2sin 2PAB S θθθ=⋅=△，当4πθ=时，面积有最大值为2，C 错误.故选：ABD.11．已知实数x ，y ，z 满足1ln yx e z==，则下列关系式中可能成立的是（）A ．x y z >>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>【答案】ABC【解析】设1ln yx e k z ===，0k >，则k x e =，ln y k =，1z k=，画出函数图像，如图所示：当1k x =时，z x y >>；当2k x =时，x z y >>；当3k x =时，x y z >>；故选：ABC.12．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中，0>ω，||2ϕπ<），08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，且()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，则下列说法正确的是（） A ．存在ϕ，使得()f x 是偶函数 B ．3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭C ．ω是奇数D ．ω的最大值为3【答案】BCD【解析】08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3()8f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则3188242k T πππ⎛⎫⎛⎫--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k ∈N ，故221T k π=+，21k ω=+，k ∈N ， 08f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()s n 08i f x πωϕ⎛⎫=+= ⎪⎭-⎝，故8k πωϕπ+=-，8k ϕπωπ=+，k Z ∈，当,1224x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，,246x k k ωπωπωϕππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，k Z ∈，()f x 在区间,1224ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调，故241282T πππ⎛⎫--=≤ ⎪⎝⎭，故4T π≥，即8ω≤，0243ωππ<≤，故62ωππ≤，故3ω≤，综上所述：1ω=或3ω=，故CD 正确；1ω=或3ω=，故8k ϕππ=+或38k ϕππ=+，k Z ∈，()f x 不可能为偶函数，A 错误；当1ω=时，(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，33sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫=⎪⎝⎭；当3ω=时，3(0)sin sin 8f k πϕπ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 393sin sin 4488f k k ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上所述：3(0)4f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；故选：BCD. 三、填空题13．5G 指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6，乙部门攻克该技术难题的概率为0.5．则该公司攻克这项技术难题的概率为________．【答案】0.8【解析】根据题意：()()110.610.50.8P =---=. 14．能够说明“若11a b>，则a b <”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________．【答案】1a =，1b =-，答案不唯一，a ，b 分别取大于0，小于0的整数即可【解析】取1a =，1b =-，满足11a b>，但a b >，得到命题为假命题. 15．已知函数()()1xf x e a x =-+，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1,)+∞【解析】()()10xf x e a x =-+=，当1x =-时，不成立，故1xe a x =+，设()1x e g x x =+，1x ≠-，则()()2'1xxe g x x =+，故函数在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递减，在[)0,+∞单调递增，()01g =，画出函数图像，如图所示，根据图像知：1a >.16．【2020届山东省济南市高三二模】已知1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左，右焦点，过点1F 向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线2F P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在x 轴同侧），连接1QF ，若1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，则12F PF ∠的大小为________；双曲线的离心率为________．【答案】2π5by x a=，易知b a >，（否则不能与右支相交），则直线1F P 为()ay x c b=-+，即0ax by ac ++=．设内切圆圆心为1O ，根据对称性知1O 在y 轴上，1PQF △的内切圆圆心恰好落在以12F F 为直径的圆上，故1112O F O F ⊥，故()10,O c -，1O 到直线1PF 的距离为：122ac bc d b a a b-==-+．设直线2PF ：()y k x c =-，即0kx y kc --=，1O 到直线2PF 的距离为2121c kc d d b a k -===-+，化简整理得到()2220abk a b k ab -++=，解得bk a=或a k b =，当a k b =时，直线()a y x c b =-+与()ay x c b=-的交点横坐标为0，不满足题意，舍去．故直线2PF ：()b y x c a =-，故12PF PF ⊥，122F PF π∠=．联立方程得到()()a y x c bb y xc a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得222,b a ab P c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入双曲线方程得到：()22222222241b a a b a c b c --=，化简整理得到：225c a =，故5e=.四、解答题17．2020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，求直方图中a，b的值；（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从[10,12)和[12,14]两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率．【解析】（1）由题知10021000a=，(20.0750.10.2)21b a++++⨯=，所以0.05a=，0.025b=．（2）因为2ab=，所以6名学生中有4名来自于[10,12)组，有2名来自于[12,14]组，记事件A为：“这2名学生来自不同组”，则1412268()15C CP AC⋅==.18．已知ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）证明：cos cosa Bb A c+=；（2）在①2cos cosc b aB A-=，②cos2cos cosA b A a C=-，③cos cos2cosb Cc BaA osA-=这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若7a =，5b =，________，求ABC 的周长．【解析】（1）根据余弦定理：222222cos cos 22a c b b c a a B b A a b ac bc +-+-+=⋅+⋅2222222a c b b c a c c +-++-==，所以cos cos a B b A c +=.（2）选①：因为2cos cos c b aB A-=，所以2cos cos cos c A b A a B ⋅=+，所以由（1）中所证结论可知，2cos c A c =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=；选②：因为cos 2cos cos c A b A a C =-，所以2cos cos cos b A a C c A =+，由（1）中的证明过程同理可得，cos cos a C c A b +=，所以2cos b A b =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=；选③：因为cos cos 2cos cos C Ba b c A A-⋅=⋅，所以2cos cos cos a A b C c B =+，由（1）中的证明过程同理可得，cos cos b C c B a +=，所以2cos a A a =，即1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=．在ABC 中，由余弦定理知，222212cos 2510492a b c bc A c c =+-=+-⋅=，即25240c c --=，解得8c =或3c =-（舍），所以75820a b c ++=++=，即ABC 的周长为20．19．如图，三棱维P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，45PAB PBA ︒∠=∠=，260BAC ABC ︒∠∠==，D 是棱AB 的中点，点E 在棱PB 上点G 是BCD 的重心．（1）若E 是PB 的中点，证明//GE 面PAC ；（2）是否存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30︒，若存在，求BEBP的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）延长DG 交BC 于点F ，连接EF ，因为点G 是BCD 的重心，故F 为BC 的中点，因为D ，E 分别是棱AB ，BP 的中点，所以//DF AC ，//DE AP ，又因为DF DE D =，所以平面//DEF 平面APC ，又GE 平面DEF ，所以GE平面PAC ．（2）连接PD ，因为45PAB PBA ︒∠=∠=，所以PA PB =，又D 是AB 的中点，所以PD AB ⊥，因为平面PAB ⊥平面ABC ，而平面PAB ⋂平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ，所以PD ⊥平面ABC ，如图，以D 为原点，垂直于AB 的直线为x 轴，DB ，DP 所在直线分别为y 轴，z 轴建空间直角坐标系，设2PA PB ==，则22AB =2PD CD ==，所以(0.0,0)D ，2,0)B ，622C ⎫⎪⎪⎝⎭，622G ⎫⎪⎪⎝⎭，2)P ，假设存在点E ，设BE BP λ=，(0.1]λ∈，则2,0)(0,2,2)2(12)DE DB BE DB BP λλλλ=+=+=+=-，所以2(12)E λλ-，又6222DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ECD 的法向量为1(,,)n x y z =，则1126202(1)20n DC x y n DE y λλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令1x =，解得13(1)1,3,n λ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面CDG ，平面ABC 的法向量2(0,0,1)n =，而二面角E CD G --的大小为30︒，所以1212123|cos ,|||||n n n n n n ⋅〈〉==，即2223(1)33(1)1(3)1λλλλ-=⎛⎫-+-+⨯ ⎪⎝⎭13λ=，所以存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30︒，此时13BE BP =．20．如图1，杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》中列出的一张图表，如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列{}n a ，其中11a =，21a =，32a =…设数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求8a 的值，并写n a ，1n a +，2n a +出满足的递推关系式（不用证明）；（2）记2022a m =，用m 表示2020S ．【解析】（1）81610421a =+++=；21()n n n a a a n N +++=+∈．（2）因为321a a a =+，432a a a =+，…202120202019a a a =+，202220212020a a a =+，相加得()342022232021122020a a a a a a a a a +++=+++++++………，所以202222020a a S -=，所以20201S m =-．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点和下顶点分别为A ，B ，||25AB =，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦的长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知M 为椭圆C 上一动点（M 不与A ，B 重合），直线AM 与y 轴交于点P ，直线BM 与x 轴交于点Q ，证明：||||AQ BP ⋅为定值．【解析】（1）由题意可知2222022a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为221164x y +=.（2）(4,0)A -，(0,2)B -，设()00,M x y ，()0,P P y ，(),0Q Q x ，因为()00,M x y 在椭圆C 上，所以2200416x y +=，由A ，P ，M 三点共线得：0044P y y x =+，即0044P y y x =+，同理可得：0022Q x x y =+．所以||||42P Q AQ BP x y ⋅=+⋅+00000024824842x y x y x y ++++=⋅++()()()22000000004416481642x y x y x y x y +++++=++16=．所以||||AQ BP ⋅为定值16． 22．已知函数()ln axxf x e =存在唯一的极值点0x ．（1）求实数a 的取值范围；（2）若()120,,x x x ∈+∞，证明：1122()12log (x a x ax x x e e x -+-+>+）．【解析】（1）函数的定义域为(0,)+∞，1ln ()ax a xx f x e-'=，令1()ln g x a x x=-， ①若0a =，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意； ②若0a <，21()ax g x x+'=-，令()0g x '=，得10x a =->，所以()g x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，111ln 1ln g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（ⅰ）若11ln 0a ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，即0e a -≤<时，1()ln 0g x a x x =-≥，()0f x '≥， ()f x 在(0,)+∞上单调递增，不合题意；（ⅱ）若11ln 0a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，即a e <-时，10g a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，(1)10g =>，因为11()ln 2g x a x a x x ⎫=->+=+⎪⎭，则2104g a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()g x 在(0,)+∞上有两个变号零点，所以()f x 有两个极值点，不合题意； ③若0a >，21()0ax g x x+'=-<，则()g x 在(0,)+∞上单调递减；且(1)10g =>，1110a a g e e --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，存在唯一101,a x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00g x =，当()00,x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，当()0,x x ∈+∞时，()0<g x ，()0f x '<，所以0x 是()f x 的唯一极值点，符合题意；综上，a 的取值范围是(0,)+∞．（2）由（1）可知，01x >，因为10x x >，20x x >，所以()1ln 0x >，()2ln 0x >，()12ln 0x x +>，由（1）可知函数()f x 在()0,x +∞上单调递减，所以()()112f x f x x >+，()()212f x f x x >+，即()1121)21(ln ln ax a x x x x x e e ++>，()2121)22(ln ln ax a x x x x x e e++>，现证明不等式：a c a cb d b d++>+，其中(),,,0,a b c d ∈+∞ 要证a c a c b d b d ++>+，即证ad bc a cbd b d++>+，即证22abd ad b c bcd abd bcd +++>+，即证220ad b c +>，易知成立.所以()121212121212)(ln ln ln ln ln ax ax ax ax a x x x x x x x x e e e c e++++>>+，即()121212(1)2ln ln ln ax ax a x x x x e e x x e +++>+，即()121212ln ln ax ax x x e e x x -->++，所以()1212(12)log ax ax x x x x e e --+>+，证毕．。

山东省济南市2020年高三第二次教学质量检测理科数学

(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面 ABE； (3)求三棱锥 E－ABC 的体积.
x2 y2
11
20．（本小题满分 12 分）设椭圆＋＝1(a> 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知＋
a2 3
|OF| |OA|
＝ 3e ，其中 O 为原点，e 为椭圆的离心率． |FA|
18．（本小题满分 12 分）某投资公司在 2019 年年初准备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损
72 15%，且这两种情况发生的概率分别为和；
99 项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 50%，可能损失 30%，
A．在区间(－2,1)上 f(x)是增函数 B．在区间(1,3)上 f(x)是减函数 C．在区间(4,5)上 f(x)是增函数 D．当 x＝2 时，f(x)取到极小值 8.已知△ABC 外接圆的圆心为 O，AB＝2 3，AC＝2 2，A 为钝角，M 是 BC 边的中点，则A→M·A→O 等于( )
A.3
只一项是符合题目要求的． 1.若集合 A＝{x∈N|x≤ 2 020}，a＝2 2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A
B．a⊆A
C．{a}∈A
D．a∉ A
2.设 z＝1－i＋2i，则|z|等于( ) 1＋i
1
A.0
B.
C.1
D. 2
2
f x＋1
3.若函数 y＝f(x)的定义域是[0,2 020]，则函数 g(x)＝
31 1 也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和 .

2020届山东省济南市高考第二次模拟考试数学模拟试题(理)有答案

理科数学参考公式锥体的体积公式:13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =,集合{}10A x x =-≤,集合{}260B x x x =--<则下图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}3x x <B ．{}31x x -<≤C ．{}2x x <D ．{}21x x -<≤2.设复数z 满足()12z i -= (其中i 为虚数单位),则下列说法正确的是（）A ．2z =B ．复数z 的虚部是iC ．1z i =-+D ．复数z 在复平面内所对应的点在第一象限3.已知角α的终边经过点(),2m m -,其中0m ≠,则sin cos αα+等于（）A ．5-．5 C ．35- D ．35± 4.已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点,P 为双曲线上一点,2PF 与x 轴垂直,1230PF F ∠=o ,且虚轴长为22则双曲线的标准方程为（）A ．22142x y -=B ．22132x y -= C.22148x y -= D ．2212y x -= 5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖.则中奖的概率为（）A ．15B ．310 C. 25 D ．356.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为`（）A ．186B ．183 C. 182 D．27227.记不等式组1,50,210,xx yx x⎧≥⎪=-≥⎨⎪-+≤⎩,的解集为D,若(),x y D∀∈,不等式2a x y≤+恒成立,则a的取值范围是（）A．(],3-∞ B．[)3,+∞ C. (],6-∞ D．(],8-∞8. 如图,半径为1的圆O中,,A B为直径的两个端点,点P在圆上运动,设BOP x∠=,将动点P到,A B两点的距离之和表示为x的函数()f x,则()y f x=在[]0,2π上的图象大致为（）A． B．C. D．9.如下图所示的程序框图中,()Mod,m n表示m除以n所得的余数,例如:()Mod5,21=,则该程序框图的输出结果为（）A ．2B ．3 C.4 D ．5 10.设椭圆()2222:10,0x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上,且点2,,P E F 不共线,若2PEF ∆的周长的最小值为4b ,则椭圆C 的离心率为（）A 3212D 311.已知点,,,P A B C 均在表面积为81π的球面上,其中PA ⊥平面ABC ,30BAC ∠=o ,3AC =,则三棱锥P ABC -的体积的最大值为（） A ．818 B ．24332 C.8132D ．81 12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,记()f x 的导函数为'()f x ,当0x ≥时,满足'()()0f x f x ->.若[)2,x ∃∈-+∞使不等式()333x f e x x ⎡⎤-+⎣⎦(a x)x f e ≤+成立,则实数a 的最小值为（） A ．21e - B ．22e - C. 212e + D ．11e- 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分. 13.52x x ⎛ ⎝展开式中,常数项为．(用数字作答) 14.2018年4月4日,中国诗词大会第三季总决赛如期举行,依据规则,本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军,某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现,结合自己的判断,对本场比赛的冠军进行了如下猜测: 爸爸:冠军是甲或丙;妈妈:冠军一定不是乙和丙;孩子:冠军是丁或戊.比赛结束后发现:三人中只有一个人的猜测是对的,那么冠军是．15.已知ABC ∆中,4,AC 5AB ==,点O 为ABC ∆所在平面内一点,满足OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，则OA BC ⋅=u u u r u u u r ．16.在圆内接四边形ABCD 中,8,2AC AB AD ==,60BAD ∠=o ,则BCD ∆的面积的最大值为．三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:17. 已知数列{}n a 的前n 项和为1,1,0n n S a a =>2211n n n S a S λ++=-,其中λ为常数.(1)证明:12n n S S λ+=+；(2)是否存在实数λ,使得数列{}n a 为等比数列,若存在,求出λ;若不存在,说明理由.18. 在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形，60,BAD PA PD ∠==o.(1)证明:BC PB ⊥；(2)若,PA PD PB AB ⊥=,求二面角A PB C --的余弦值.19. 近期，济南公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数,y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示:根据以上数据,绘制了散点图.(1)根据散点图判断,在推广期内,y a bx=+与xc d⋅(,c d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；(3)推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下车队为缓解周边居民出行压力,以80万元的单价购进了一批新车,根据以往的经验可知,每辆车每个月的运营成本约为0.66万元.已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有16的概率享受7折优惠,有13的概率享受8折优惠,有12的概率享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车,根据给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,在不考虑其它因素的条件下,按照上述收费标准,假设这批车需要()N nn n∈年才能开始盈利,求n的值.参考数据:其中其中7111,7i i iigyυυυ===∑参考公式:对于一组数据()()()22,,,,,,i i n nu u uυυυL,其回归直线$$µ+a uυβ=的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:µ1221,ni i i ni i u nu u nu υυβ==-=-∑∑$µau υβ=-. 20.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()2:20C x py p =>,斜率为()0k k ≠的直线l 经过C 焦点,且与C 交于,A B 两点满足34OA OB ⋅=-u u u r u u u r .(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB 的垂直平分线与抛物线C 交于,M N 两点,R 为线段MN 的中点,记点R 到直线AB 的距离为d ,若22d AB =k 的值. 21.已知函数()2()1n 1f x x ax x =++-.(1)当0x ≥时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范；(2)若函数()()g x f x x =+有两个极值点12,x x ,且12x x <,求证:()211n22g x >-. (二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1,2,x t y t =--⎧⎪⎨=+⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为P1+sin26直线与曲线C 交于A,B 两点(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为24π⎫⎪⎪⎝⎭,求PA PB ⋅的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x =- .(1)解不等式()()259f x f x x ++≥+；(2)若0,0a b >>，且142a b +=,证明:9()()2f x a f x b ++-≥，并求9()()2f x a f x b ++-=时，,a b 的值.高三教学质量调研考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题：1-5: BDBDC 6-10:CCABA 11、12：AD二、填空题13. 80； 14. 丙； 15.92；16.. 三、解答题17.【解析】（1）11n n n a S S ++=-Q ，2211n n n S a S λ++=-，()2211n n n n S S S S λ++∴=--()1120n n n S S S λ++∴--=10,0n n a S +∴>∴>，120n n S S λ+∴--=；12n n S S λ+∴-+（2）12n n S S λ+=+Q ，()122n n S S n λ+=+≥，相减得：()122n n a a n +=≥，{}n a ∴从第二项起成等比数列，212S S λ=+Q 即2112a a a λ+=+，210a λ∴=+>得1λ>-，()21,12,n n a λ-⎧⎪∴=⎨+⎪⎩,1,,2n n =≥若使{}n a 是等比数列则2132a a a =，()()2211λλ∴+=+1λ∴=经检验得符合题意．18. 【解析】证明：（1）取AD 中点为E ，连结,,PE BE BDPA P =QPE A ⊥QQ 底面ABCD 为菱形，且60BAD ∠=oABD ∴∆为等边三角形，BE A ∴⊥,PE BE Q I ,PE BE ⊂平面PBEAD P ∴⊥,AD BC BC PB ∴⊥Q ∥.（2）设2AB =2AD PB ==Q ，2BE =,PA A E ⊥Q 为AD 中点1PE ∴=22PE BE P +=QPE B ∴⊥.以E 为坐标原点，分别以,,EA EB EP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，相关各点的坐标为()()1,0,0,3,0A B ()(),0,0,1,3,0P C - ()3,0AB ∴=-u u u r ，()1,0,1AP =-u u u r ，()0,3,1BP =-u u u r ，()2,0,0BC =-u u u r .设PAB 的法向量为()1222,,n x y z =u r2200n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r Q u u r u u u r得222020z x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令21y =-得220,x z ==，即(10,1,n =-u r12127n n n n ⋅∴=-⋅u r u u r u r u u r 设二面角A PB C --的平面为θ，由图可知，θ为钝角，则cos 7θ=-. 19. 【解析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；（2）x y c d =⋅Q ，两边同时取常用对数得：()11x gy g c d =⋅11gc gd x =+⋅；设1,gy v =11v gc gd x ∴=+⋅ 4, 1.55,x v ==Q 721140i i X ==∑， µ717221717i ii i i x v xv gd x x==-∴==-∑∑250.1274 1.5470.251407428-⨯⨯==-⨯，把样本中心点()4,1.54代入11v gc gd x =+⋅,得:µ10.54gd=， 0.540.25vx ∴=+$，µ10.540.25gy x ∴=+， y ∴关于x 的回归方程式：$()()0.540.250.540.540.54101010 3.4710x x x y +===；把8x =代入上式:$0.540.25810y +⨯∴== 2.5420.54101010347=⨯=；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；（3）记一名乘客乘车支付的费用为Z ，则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4；()20.1P Z ==；()11.80.30.152P Z ==⨯=； ()1.6P Z ==10.60.30.73+⨯=； ()11.40.30.056P Z ==⨯=所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：20.1 1.80.15 1.6⨯+⨯+0.7 1.40.05 1.66⨯+⨯=（元）由题意可知：1.66112n ⨯⨯⋅-0.6612800n ⨯⋅->203n >，所以，n 取7；估计这批车大概需要7年才能开始盈利. 20.【解析】（1）由已知，l 的方程：2py kx =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由222x py p y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得：2220x pkx p --=()* 212x x p =-，1222212224x x p y y p p ==， 1212OA OB x x y y ⋅=+u u u r u u u r 222344p p p =-+=-，由已知得：233,144p p -=-=， ∴抛物线方程2:2C x y =；（2）由第（1）题知，21,:2,p C x y ==1:2l y kx =+，方程()*即：2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-设AB 的中点()00,D x y ，则：()01212x x x k =+=，2001122y kx k =+=+，所以AB 的中垂线MN 的方程：()2112y k x k k ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，即21302x y k k +--=将MN 的方程与2:2C x y =联立得：222230x x k k+--=，设()()3344,,,M x y N x y ，则3434,22x x y y R ++⎛⎫⎪⎝⎭341,2x x k +∴=-3412y y k +=-2342x x k +⎛⎫++ ⎪⎝⎭2231322k k =++R 点到AB ：102kx y -+=的距离2212k d ++12AB x -=()221k ==+所以222122k d AB k ++=由已知得：222k =，得1k =±. 21. 【解析】（1）【解法一】1()211f x ax x=+-=+()22212211x ax a ax ax x x x +-+-=++，[)0,x ∈+∞ 设()221h x ax a =-①0a ≤时，()0,()h x f x <∴在[)0,+∞上单调递减，()(0)0f x f ≤=，不合题意，舍；②当0a >时，（i ）若210a -≥，即12a ≥时，当()0,()h x f x ≥∴在[)0,+∞上单调递增，()(0)0f x f ≥=，符合题意；（ii ）若210a -<，即102a <<时，当120,2a x a -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0,()h x f x <单调递减：当12,2a x a -⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x >，()f x 单调递增；12(0)02a f f a -⎛⎫∴<= ⎪⎝⎭，不合题意，舍；综上：12a ≥；【解法二】若0a ≤,而(1)1n 210f a =+-<,不合题意,故0a >；易知:(0)0f =,1'()211f x ax x=+-+,[)0,,'(0)0x f ∈+∞= 设1()211x ax x =+-+，()21'()21h x a x =-++，'(0)21h a =- 若210a -≥,即12a ≥时,'()h x Q 在[)0,+∞上单调递增,'()'(0)210h x h a ∴≥=-≥,'()h x Q 在[)0,+∞上单调递增, '()'(0)0h x h ∴≥=,符合题意；若210a -<,即102a <<时,'()h x Q 在[)0,+∞上是单调递增函数，令'()0h x =,记01x =[)00,x x ∈时,'()0h x <， '()h x ∴在[)00,x 上是单调递减函数,'()'(0)0h x h ∴≤=,()f x ∴在[)00,x 上是单调递减函数， ()(0)0f x f ∴≤=,不合题意:综上:12a ≥； (2)【解法一】()()21n 1g x x ax -++,()1'21g x ax x=++22+2+1=1ax ax x +，设()2221x ax ax ϕ=++,若()0,10a x ϕ==>,()'0g x ∴>,()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意:当0a <时,()()101ϕϕ-==Q ， ()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意:当0a >时,()()101ϕϕ-==Q ,要使方程()22210x ax ax ϕ=++=有两个实根12,x x ，只需2480,102a a ϕ⎧⎪∆=->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩即0a >，()()101ϕϕ-==Q ，11022aϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增,在()12,x x 上单调递减,在()2,x +∞上单调递增； ()g x ∴在1x x =处取得极大值,在2x x =处取得极小值,符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=Q ()()2222=1n 1g x x ax ∴++()222211n 122x x x =+-+()2221n 1x x ⋅=+2122x -+ 设()()1=1n 122m t t t +-+，1,02t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'=1m t t -+()()2212102121t t t +=>++，()m t ∴在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数,()1111=1n +=1n22222m t m ⎛⎫∴>-- ⎪⎝⎭()211n22g x ∴>-. 【解法二】()()2=1n 1g x x ax ++，()1'=1g x x∴++222121ax ax ax x ++=+，设()2221x ax ax ϕ=++,若()0,10a x ϕ==>，()'0g x ∴>，()g x ∴在()1,-+∞上单调递增,不合题意；当0a <时,()()101ϕϕ-==Q ,()0x ϕ∴=在()1,-+∞上只有一个根,不合题意；当0a >时,()()101ϕϕ-==Q ,要使方程()222+1=0x ax ax ϕ=+有两个实根12x x ，,只需2=480102a a ϕ⎧⎪∆->⎪⎨⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即2a >()()101ϕϕ-==Q ，11022aϕ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，111,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭，21,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()g x ∴在()11,x -上单调递增，在()12,x x 单调递减，在()2,x +∞上单调递增； ()g x ∴在1x x =处取最大值，在2x x =处取最小值，符合题意；()22222210x ax ax ϕ=++=Q设22ax t =，则210tx t ++=，()212,11t x ∴=-∈--+， ()()221n 1g x x ∴=+()221n ax t +=---()1,2,122tt -∈-- 设()()11n 2m t t =---(),2,12t t -∈--，()11'2m t t =--202t t+=->， ()m t ∴在()2,1--单调递增，()()121n22m t m ∴>-=-()211n22g x ∴>-. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程] 解:(1)l 的普通方程为:10x y +-=；又222sin 2ρρθ+=Q ,2222x y y ∴++=即曲线C 的直角坐标方程为:2212x y += (2)解法一:11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭在直线l 上,直线l的参数方程为''122122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩('t 为参数),代入曲线C 的直角坐标方程得2'122t ⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭2'122022⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，即'2'350224t +-=, PA PB ⋅=''''121256t t t t ⋅==. 解法二:22122y xx y =-⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩2340x x -⇒1240,3x x ⇒==()410,1,,33A B ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，2PA ∴==，6PB ∴==，5266PA PB ⋅=⋅= 23.[选修4-5:不等式选]解:(1)()(25)f x f x ++=1249x x x -++≥+当2x ≤-时,不等式为4123x x ≤-⇒≤-,(],3x ∴∈-∞-；当21x -<<时,不等式为59≥,不成立；当1x ≥时,不等式为263x x ≥⇒≥,(],3x ∴∈-∞-, 综上所述,不等式的解集为(][),33,-∞-+∞U ；（2）解法一:()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--≥()11x a x b a b +----=+， ()()a b a b a b +=+=+1252222b aa b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭5922≥+= 当且仅当22b aa b=，即2b a =时“=”成立；由21212b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==.解法二：()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--，当1x a ≤-时，()()f x a f x b ++-=1x a x b --+-+122x a b a b +=-+-+≥+；当11a x b -<<+时，()()f x a f x b x a ++-=+11x b a b --++=+；当1x b ≥+时，()()f x a f x b ++-=11x a x b +-+--=22x a b a b -+-≥+()()f x a f x b ∴++-的最小值为a b +，()()122a b a b a b ⎛⎫+=++⎪⎝⎭525222b a a b =++≥92+=，当且仅当22b a b=，即2b a =时“=”成立；由21212b a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得：3,32a b ==.。

山东省济南市高级中学2020年高二数学理模拟试题含解析

山东省济南市高级中学2020年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在的展开式中，含的项的系数是（）．A．B．C．D．参考答案：D展开式通项，令，解得，系数为．故选．2. 曲线与曲线的交点个数为A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：B3. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A. 假设三内角都不大于60度；B. 假设三内角至多有两个大于60度；C. 假设三内角至多有一个大于60度；D. 假设三内角都大于60度。

参考答案：D【分析】根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，即可求得，得到答案.【详解】根据反证法的步骤可知，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”，故选D. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念，以及命题的否定的应用，着重考查了逻辑推理能力，属于基础题.4. 在下列条件中，使M与A,B,C一定共面的是（）A. B.C. D.参考答案：C略5. 数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（）A．12项B．13项C．14项D．15项参考答案：C6. 在等比{a n}数列中，a2a6=16，a4+a8=8，则=（）A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．﹣1或3参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知结合等比数列的性质求得a4、a8的值，进一步求出q2=1，再由等比数列的通项公式求得a10，a20，则答案可求．【解答】解：在等比{a n}数列中，由a2a6=16，a4+a8=8，得，解得，∴等比数列的公比满足q2=1．则，，∴．故选：A．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础题．7. 已知θ为锐角，且sinθ=，则sin（θ+45°）=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：∵θ为锐角，且sinθ=，∴cosθ==，∴sin（θ+45°）=（sinθ+cosθ）=×（）=．故选：A．【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8. 在中，角所对的边分别是，且，则A. B.C. D.参考答案：C略9. 已知，动点满足：，则动点的轨迹为（ ***** ）A.椭圆B. 抛物线C. 线段D. 双曲线参考答案：C10. 设的三内角A、B、C成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若命题“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是________．参考答案：[－1,3]12. 如右图所示，在圆心角为的扇形中，以圆心O作为起点作射线，则使的概率为________参考答案：略13. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（用数字回答）参考答案： 36 略14. 已知向量a ＝(3,5)，b ＝(2,4)，c ＝(－3，－2)，a ＋λb 与c 垂直，则实数λ＝________. 参考答案：－15. 如果执行右边的程序框图，那么输出的▲ .参考答案：110略16. 现有如下四个命题：①若动点P 与定点A （﹣4，0）、B （4，0）连线PA 、PB 的斜率之积为定值，则动点P 的轨迹为双曲线的一部分②设m ，n ∈R ，常数a ＞0，定义运算“*”：m*n=（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2，若x≥0，则动点 P(x,)的轨迹是抛物线的一部分③已知两圆A ：（x+1）2+y 2=1、圆B ：（x ﹣1）2+y 2=25，动圆M 与圆A 外切、与圆B 内切，则动圆的圆心M 的轨迹是椭圆④已知A （7，0），B （﹣7，0），C （2，﹣12），椭圆过A ，B 两点且以C 为其一个焦点，则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线上述四个命题中真命题为．（请写出其序号）参考答案：①②③【考点】曲线与方程．【分析】利用直译法，求①选项中动点P 的轨迹方程，进而判断表示的曲线；利用新定义运算，利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程，进而判断轨迹图形；利用圆与圆的位置关系，利用定义法判断选项③中动点的轨迹；利用椭圆定义，由定义法判断④中动点的轨迹即可．【解答】解：设P （x ，y ），因为直线PA 、PB 的斜率存在，所以x≠±4，直线PA 、PB 的斜率分别是k 1=，k 2=，∴，化简得9y 2=4x 2﹣64，即（x≠±4），∴动点P 的轨迹为双曲线的一部分，①正确； ∵m*n=（m+n ）2﹣（m ﹣n ）2，∴=2，设P （x ，y ），则y=2，即y 2=4ax （x≥0，y≥0），即动点的轨迹是抛物线的一部分，②正确；由题意可知，动圆M 与定圆A 相外切与定圆B 相内切 ∴MA=r+1，MB=5﹣r ∴MA+MB=6＞AB=2∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，③正确；设此椭圆的另一焦点的坐标D （x ，y ）， ∵椭圆过A 、B 两点，则 CA+DA=CB+DB ， ∴15+DA=13+DB ，∴DB ﹣DA=2＜AB ，∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线一支，④错误故答案为：①②③．17. 棱长为的正方体的外接球的表面积是________；参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省济南市高考数学二模试卷(理科)

山东省济南市高考数学二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，4，5}，B＝{2，3，4}，则＝A . {4}，B . U＝{1，5}，C . U＝{1，5，6}，D . U＝{1，4，5，6}2. （2分）复数在复平面的对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2020高二上·黄陵期末) 空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是（）A . 平行B . 垂直C . 相交但不垂直D . 无法确定4. （2分）如图，四棱锥P-ABCD中，，BC=2AD，vPAB和 ADP都是等边三角形，则异面直线CD和PB所成角的大小为（）A . 90B . 75C . 60D . 455. （2分） (2018高二下·普宁月考) 抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·鹤岗期中) 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：y3040p5070m24568经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程 =6.5m+17.5，则p的值为（）A . 45B . 50C . 55D . 608. （2分） (2018高一下·台州期中) 将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的倍,再向右平移个单位,得到的函数图象的一个对称中心为（）A .B .C .D .9. （2分）(2019·靖远模拟) 设，满足约束条件，则的最小值是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·新乡期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A . 13πB . 16πC . 17πD . 21π11. （2分）“非空集合的元素都是集合的元素”是假命题，则以下四个命题：⑴的元素都不是P的元素；⑵中有不属于元素；⑶中有的元素；⑷的元素不都是的元素，其中真命题的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分）函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·芜湖期末) 已知数列的前项之和，则数列的通项公式________．14. （1分） (2019高一上·重庆月考) 设函数是定义在上的奇函数，且，则 ________．15. （1分）二项展开式的常数项为________．16. （1分） (2020高二上·丽水月考) 若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2019高一下·吉林期末) 的内角的对边分别为，.（1）求A；（2）若，的面积为，求 .18. （10分） (2019高三上·南京月考) 甲、乙两人用一颗均匀的骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6）做抛掷游戏，并制定如下规则：若掷出的点数不大于4，则由原掷骰子的人继续掷，否则，轮到对方掷.已知甲先掷.（1）若共抛掷4次，求甲抛掷次数的概率分布列和数学期望；（2）求第n次（，）由乙抛掷的概率.19. （5分） (2017·九江模拟) 如图所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°．直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AF=2AB=2．（Ⅰ）证明：平面ABE⊥平面EBD；（Ⅱ）点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为．20. （10分）(2019·南昌模拟) 椭圆：的左焦点为且离心率为，为椭圆上任意一点，的取值范围为， .（1）求椭圆的方程；（2）如图，设圆是圆心在椭圆上且半径为的动圆，过原点作圆的两条切线，分别交椭圆于，两点.是否存在使得直线与直线的斜率之积为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.21. （10分）(2017·黑龙江模拟) 已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（1）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0平行的切线，求实数a的取值范围；（2）设g（x）=f（x）+ ，若g（x）有极大值点x1 ，求证：＞a．22. （10分）(2020·晋城模拟) 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）直线与轴的交点为，经过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的倾斜角.23. （5分）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：考点：解析：答案：9-1、考点：解析：考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、考点：解析：。