算法案例 - 简单 - 讲义

算法案例

知识讲解

一、更相减损术

1.概念：求两个整数的最大公约数的算法.

2.步骤：以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数．

3.等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．

4.原理：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)，，，，，，，，

→→→→→→

每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．

二、辗转相除法

1.概念：辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．

2.步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．

如：(117182)(11765)(6552)(5213)(130)

，，，，，,故13即为所求．

→→→→

三、秦九韶算法

1.用途：秦九韶算法求多项式的值

2.具体内容：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古

代数学家秦九韶提出的，具体如下： 对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，

改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++

++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=++

+++

=

1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++，

求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，

，10n n v v x a -=+．

这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值． 令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++，则递推公式为01n

k

k n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩,

其中12k n =，，，．

到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．

3.秦九韶算法与其它算法的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++

++，

（1）直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为

(1)

(1)212

n n n n ++-+++=

，加法次数n ； （2）逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次． 注：此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多． （3）秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．

4.秦九韶算法的特点：

1）化高次多项式求值为一次多项式求值； 2）减少了运算次数，提高了效率； 3）步骤重复执行，容易用计算机实现．

注意：利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐

次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n

四、进位制

内容：K 进制数的基数为K ，K 进制数是由0~1K -之间的数字构成. 将十进制的数转化为

K 进制数的方法是除K 取余法.把K 进制数1

10110(0,0,

,)n n n n a a a a a K a a a K --<<≤< 化

为十进制数的方法为11

10()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=++

++.

典型例题

一．选择题（共5小题）

1．（2016•渭南一模）函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（1，e） C．（e，3） D．（3，+∞）

【解答】解：函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，

且f（e）=1＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，

故选：C．

2．（2015•醴陵市）下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（）A．B．C．

D．

【解答】解：由函数图象可得，A中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点；

除．

B，C，D中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，

故选：A．

3．（2015•惠州模拟）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

【解答】解：由参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，

所以近似根为1.4

故选：C．

4．（2017秋•辽阳县期末）方程x3﹣x﹣3=0的实数解落在的区间是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[2，3]

【解答】解：令f（x）=x3﹣x﹣3，

易知函数f（x）=x3﹣x﹣3在R上连续，

f（1）=﹣3＜0，f（2）=8﹣2﹣3=3＞0；

故f（1）•f（2）＜0，

故函数f（x）=x3﹣x﹣3的零点所在的区间为[1，2]；

故选：C．

5．（2015春•淄博期末）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）