算法案例 - 简单 - 讲义

算法案例
知识讲解
一、更相减损术
1.概念：求两个整数的最大公约数的算法.
2.步骤：以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数．
3.等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．
4.原理：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)，，，，，，，，
→→→→→→
每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．
二、辗转相除法
1.概念：辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的求两个数的最大公约数的算法．
2.步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．
如：(117182)(11765)(6552)(5213)(130)
，，，，，,故13即为所求．
→→→→
三、秦九韶算法
1.用途：秦九韶算法求多项式的值
2.具体内容：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古
代数学家秦九韶提出的，具体如下： 对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，
改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++
++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=++
+++
=
1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++，
求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，
，10n n v v x a -=+．
这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值． 令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++，则递推公式为01n
k
k n k v a v v x a --=⎧⎨=+⎩,
其中12k n =，，，．
到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．
3.秦九韶算法与其它算法的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++
++，
（1）直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为
(1)
(1)212
n n n n ++-+++=
，加法次数n ； （2）逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次． 注：此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多． （3）秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．
4.秦九韶算法的特点：
1）化高次多项式求值为一次多项式求值； 2）减少了运算次数，提高了效率； 3）步骤重复执行，容易用计算机实现．
注意：利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐
次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n
四、进位制
内容：K 进制数的基数为K ，K 进制数是由0~1K -之间的数字构成. 将十进制的数转化为
K 进制数的方法是除K 取余法.把K 进制数1
10110(0,0,
,)n n n n a a a a a K a a a K --<<≤< 化
为十进制数的方法为11
10()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=++
++.
典型例题
一．选择题（共5小题）
1．（2016•渭南一模）函数f（x）=lnx的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（1，e） C．（e，3） D．（3，+∞）
【解答】解：函数f（x）=lnx在（0，+∞）上连续，
且f（e）=1＜0，f（3）=ln3﹣1＞0，
故选：C．
2．（2015•醴陵市）下列图象表示的函数中，不能用二分法求零点的是（）A．B．C．
D．
【解答】解：由函数图象可得，A中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点；
除．
B，C，D中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反，故能用二分法求函数的零点，
故选：A．
3．（2015•惠州模拟）若函数f（x）=x3+x2﹣2x﹣2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，那么方程x3+x2﹣2x﹣2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
【解答】解：由参考数据可得f（1.43750）＞0，f（1.40625）＜0，又因为题中要求精确到0.1，
所以近似根为1.4
故选：C．
4．（2017秋•辽阳县期末）方程x3﹣x﹣3=0的实数解落在的区间是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[1，2]D．[2，3]
【解答】解：令f（x）=x3﹣x﹣3，
易知函数f（x）=x3﹣x﹣3在R上连续，
f（1）=﹣3＜0，f（2）=8﹣2﹣3=3＞0；
故f（1）•f（2）＜0，
故函数f（x）=x3﹣x﹣3的零点所在的区间为[1，2]；
故选：C．
5．（2015春•淄博期末）根据表格内的数据，可以断定方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是（）
A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
【解答】解：由上表可知，
令f（x）=e x﹣x﹣2，
则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，
f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，
f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，
f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，
f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．
故f（1）f（2）＜0，
故选：C．
二．填空题（共4小题）
6．（2013•闵行区二模）用二分法研究方程x3+3x﹣1=0的近似解x=x0
若精确到0.1，至少运算n次，则n+x0的值为 5.3．
【解答】解：根据运算得下表：
因为f（0.3125）＜0，且f（0.34375＞0，
满足f（0.3125）×f（0.34375）＜0，
且区间长度：0.34375﹣0.3125=0.03125＜0.1，
∴n=5，x0=0.3，n+x0=5.3．
故答案为：5.3．
7．某同学求“方程x3=﹣x+1的根x0所在区间D”时，设函数f（x）=x3+x﹣1，算得f（﹣1）＜0，f（1）＞0；在以下的过程中，他用“二分法”又取3个值，分别是x1，x2，x3，就能确定区间D，则区间D是（0.5，0.75）．
【解答】解：设f（x）=x3+x﹣1，算得f（﹣1）＜0，f（1）＞0，由f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0，可知方程必有一根在区间（0，1）内；再由f（0.5）=﹣0.375＜0，可知方程必有一根在区间（0.5，1）内；f（0.75）＞0，可知方程必有一根在区间（0.5，0.75）内．
故答案为：（0.5，0.75）．
8．（2016秋•亭湖区校级月考）若函数f（x）=x3+3x﹣1在区间[n，n+1）（n∈Z）上有零点，则n=0．
【解答】解：由f（0）=0+0﹣1=﹣1＜0，f（1）=1+3﹣1=3＞0及零点定理知，f（x）的零点在区间（0，1）上，两端点为连续整数
∴零点所在的一个区间[n，n+1）（k∈Z）是（0，1）
∴n=0，
故答案为：0．
9．函数f（x）=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是a2﹣4b=0．
【解答】解：函数f（x）=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，
说明函数是二次函数，函数的图象与x轴有一个交点，
即△=a2﹣4b=0
故答案为：a2﹣4b=0．
三．解答题（共3小题）
10．关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，求实数k的取值范围．
【解答】解：设f（x）=2x2﹣3x﹣2k，则
∵关于x的方程2x2﹣3x﹣2k=0在（﹣1，1）内有一个实根，
∴f（﹣1）f（1）＜0或f（1）=0或△=0，
即（2+3﹣2k）（2﹣3﹣2k）＜0或k=﹣或k=﹣．
∴（5﹣2k）（﹣1﹣2k）＜0
∴﹣≤k＜或k=﹣．
11．某市A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10km长的线路，每隔50m 有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
【解答】解：由于10km=10 000m，
故有200根电线杆．从中间开始取如果是好的向右去，如果是坏的向左取，以、
等为间断点，也就是运用“二分法”的原理进行快速判断．
12．设计二分法算法，求方程x3﹣x﹣1=0在区间[1，1.5]内的解（精度为0.01）．【解答】解：函数f（x）=x3﹣x﹣1=0在区间[1，1.5]上连续，
且f（1）=1﹣1﹣1＜0，f（1.5）=0.875＞0；
故函数f（x）=x3﹣x﹣1在区间[1，1.5]内内必有零点；
列表如下，如下：
这个零点的近似值为1.32．。