初中数学中的格点问题 PPT
中考数学专题复习网格问题课件
第一页，共25页。
网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图 形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此 它也成为近几年新课程中考的热点问题．
格点图形问题常见的题型有：
一、考查坐标平面内的点及有序实数对是一一对应的．
二、在网格中运用勾股定理进行计算． 三、分类讨论思想在格点问题中的运用．
第二十二页，共25页。
【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形 第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是12， 则第n个“L”形图形的周长是_________
图1
图2
[解析] 把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长没有 变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是4(n+1)．
A. 1 ; 22
B. 1; C. 4
1; 7
D. 1. 8
图1
图2
[解析] 题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的
面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在图1中可
以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积
之和，计算得小正方形的面积等于
9
因此小正方形的面积是大正方形面积的 1
前后图形的面积相等，有
x 2 5 ，解得 x ． 由5 此可知新正方形的
边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长．于是，画出如图2所示的分
割线，拼出如图3所示的新正方形．
图1
图2
图3
图4
图5
请你参考小东同学的做法，解决如下问题：
现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一 个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图 中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．
初中中考中的格点图形问题
授课设计教师学生科目数学上课时间课次 1授课内容中考中的格点图形问题授课重难点解题方法授课设计：近来几年来，有关格点问题已成为中考的亮点，这类问题题型多样，形式爽朗，主要观察同学们的直觉推理能力和问题研究能力．格点问题操作性强、兴趣性浓，表现了新课标的“在‘玩’中学，在学中思，在思中得”的崭新理念．下面就中考中的几类格点问题归纳以下，望能对学习有所帮助．一、格点中的对称问题例 1 （绍兴市）如图 1，在网格中有两个全等的图形 (阴影部分 )，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1) 、(2) 中画出两种不同样的拼法．图1图2二、格点中的画图问题例 2 （黑龙江鸡西市）如图3，在网格中有一个四边形图案．（1）请你画出此图案绕点 O 顺时针方向旋转 900， 1800，2700的图案，你会获取一个美丽的图案，千万不要将阴影地址涂错；图 3图4（2）若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点 A 的对应点依次为 A1、 A2、A3，求四边形 AA1A2A3的面积；(3)这个美丽图案可以说明一个出名结论的正确性，请写出这个结论．三、格点中的坐标问题例3 （苏州市）如图 5．围棋盘的左下角表现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的地址可记为(C，4)，白棋②的地址可记为( E， 3) 则白棋⑨的地址应记为＿＿＿．图 5四、格点中的相似问题例 4 （福州市罗源平潭）如图成的相似三角形有（）A ． 4 对B ． 3 对C． 2 对6，在 7×12 的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组DD ．1 对A C F析解：本题是一道以网格为背景的结论研究性问题， B E J H在正方形网格中画了一只可爱的小狐狸，增强了题目G I R L的兴趣性．由网格的特色结合勾股定理，可以获取三角图6形三边的长，从而利用“三边对应成比率，两三角形相似”的判断来求解．．五、格点中的位似问题例5 （广东省）如图 7，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 与△ A′B′C′是关于点 O 为位似中心的位似图形，它们的极点都在小正方形的极点上．（1）画出位似中心点 O；（2）求出△ ABC 与△ A/B/C/的位似比；（ 3）以点 O 为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ ABC的位似比等于．C/ C/C1B/ C B/ CA/BA/B1 BA A1 A O 图 7 图 8六、格点中的面积问题例 6 （浙江湖州市）一青蛙在如图8×8 的正方形（每个小正方形的边长为 1）网格的格点（小正方形的极点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为 5 ，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点 A，则所组成的封闭图形的面积的最大值是_______．图 9析解：本题以青蛙这一幽默且有益的动物为背景设计题目，增加了题目的兴趣性．解题时涉及无理数、勾股定理的应用、图形面积的计算等知识．只要正确画出图形，再运用割补法即可求得面积为 12．七、格点中等腰三角形问题例 7 （重庆市）以下列图，A、 B 是 4×5 网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为晰标出使以Ａ、B、C 为极点的三角形是等腰三角形的所有格点 C 的地址．1，请在图中清A AB B图10 图11析解：依照网格的特色及等腰三角形的有关知识易得，AB 只能为一腰，且AB= 13 ，由勾股定理即可知点C1、 C2、 C3吻合要求（如图11）．八、格点中的拼图问题例 8 （北京市）请阅读以下资料：问题：现有 5 个边长为画出切割线并在正方形网格图1 的正方形，排列形式如图①，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．要求：小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞ 0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有x2=5 ，解得x= 5 ．由此可知新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的分割线，拼出如图③ 所示的新正方形．图①图②图③图④图⑤图12请你参照小东同学的做法，解决以下问题：现有 10 个边长为 1 的正方形，排列形式如图④，请把它们切割后拼接成一个新的正方形．要求：在图④中画出切割线，并在图⑤的正方形网格图 (图中每个小正方形的边长均为 1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写解析过程．析解：本题是一道综合型网格作图试题，涉及到无理数、勾股定理等知识，主要观察同学们的计算能力、着手操作能力．类比小东的作法，可设新正方形的边长为x(x>0)，便有 x2=10 ，解得 x=10 ．由此可知，新正方形得边长等于两个小正方形组成得矩形对角线得长．于是，画出如图②所示的切割线，拼出如图③所示的新正方形．图 13图14温州历年中考中的格点问题19．（ 2009?温州） ( 本题 8 分 ) 在所给的 9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个极点以及对角线交点都在方格的极点上．(1) 在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数； (2) 在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数． ( 注：图甲、图乙在答题纸上 )19、（ 2011?温州）（本题8 分）七巧板是我们祖先的一项优异创立，用它可以拼出多种图形，请你用七巧板中标号为○1 ○2 ○3的三块板（如图1）经过平移、旋转拼成图形。
中考数学总复习第38课 网格型问题
点评：(1)本题给出一段资料，提供网格作为探索问题的工具，主要考查直角三角形斜边中
线、高的性质以及特
较大．
(2)理解λA 的意义，根据题目要求画出图象是解题的关键．
解析：(1)如解图 10，作 BC 边上的中线 AD.∵AC⊥DC，∴λA＝CBDD＝1.
边上的高和中线，点
D
是垂足，点
E
是
BC
的中点，规定：λA
＝DE.特别地， BE
当点 D，E 重合时，规定：λA＝0.另外，对λB，λC 作类似的规定．
(1)如图 38－10②，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，求λA，λC；
(2)在每个小正方形边长均为 1 的 4×4 的方格纸上，画一个△ABC，使其顶点
4aa＋＋kk＝＝30，，解得
a＝－1， k＝4，
∴y＝－(x－2)2＋4＝－x2＋4x.
向右平移 1 个单位，向上平移 1 个单位可得到另一条符合题
意的抛物线，
可平移 6 次，
∴一共有 7 条抛物线．
同理：开口向上的抛物线也有 7 条．
∴满足上述条件且对称轴平行于 y 轴的抛物线条数是 7＋7＝14.故选 C.
名师点拨
与图形变换有关的网格型问题，常常会考查网格中的 画图、图形描述或图形操作、运动轨迹的路径(面积)、以 及利于网格进行图案或方案设计等方面，一般而言，这类 问题常常会以我们学过的平移、旋转与对称的知识为基 础，难度不大，掌握图形变换的本质特征是解题的关键．
【预测演练 3－1】 如图 38－8，8×8 方格纸上的两条对称轴 EF ，MN 交于中心点 O，对△ABC 分别作下列变换：①先以点 A 为中心顺时针 方向旋转 90°，再向右平移 4 格，向上平移 4 格； ②先以点 O 为中心 作中心对称图形，再以点 A 的对应点为中心逆时针方向旋转 90°；③ 先以直线 MN 为轴作轴对称图形，再向上平移 4 格，再以点 A 的对应 点为中心顺时针方向旋转 90°.其中能将△ABC 变换成△PQR 的是
初中数学专题复习网格问题
网 格 问 题1. 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1.（2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形.2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图（一）中四边形ABCD 的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形．DCBA图（一） 图（二）3. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形．（1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为22；（2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长 都是无理数；（3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都 在格点上，各边长都是无理数．图2 F E A B C 图1 （第3题图）4. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1．（1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）；（3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（_______，_______）．5. 图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格. △ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处),请你完成下面两个问题:(1) 在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是22.(2) 在图(2)中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词.【解说词】6. 如图，有一条小船，（1） 若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；（5分） （2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航程最短，EC D GB FA试在图中画出点P 的位置（3分）7. ⑴如图6，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形B ，再由图形B 得到图形C （对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；⑵如图6，如果点P 、P 3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P 2的坐标； ⑶图7是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图形绕点O 顺时针依次旋转90°、180°、270°，依次画出旋转后所得到的图形，你会得到一个美丽的图案，但涂阴影时不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果，你来试一试吧！注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度.图7图68. 在如图10所示的平面直角坐标系中，已知△ABC 。
格点及尺规作图ppt课件
作图依据为：
.
5
5）已知P为直线m上一点，Q在直线外，分别过P，Q 两点作直线n和l垂直于m；
作图依据为：
.
6
.
7
.
8
.
9
.
10
.
11
.
12
.
13
.
14
.
15
3、方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以
格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中 四边形ABCD就是一个“格点四边形”．
(1)请你设计出两种符合题意的分割方案图;
(2)设正方形的边长为a,请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、 第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积（S）填入下表：
分割次数（n)
1
2
最小直角三角形的面 积（S）
1 4
a
2
3
···
···
（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n有什么关系？
A
DA
DA
D
B
CB
CB
C
(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上
全等关系的直线有
组；
(2)请在图中三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
.
19
6、正方形表示一张纸片,根据要求多次分割,把它分割成若干个直 角三角形,操作过程如下:第一次分割,将正方形纸片分成4个全等的直角 三角形,第二次分割上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直 角三角形;以后按第二次的作法进行下去:
.
20
（1）求图（一）中四边形ABCD的面积； （2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使 △EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
初中数学中的格点问题ppt课件
1.“格点”是什么？
y
数学上把在平面直角坐标系中 横纵坐标均为整数的点称为格 点或整点。
·A
2 1
0 12
隐藏掉坐标轴后，左边便是 由水平线和垂直线组成的方 x 格，我们同样把水平线和垂 直线的交点称为“格点”。
2
2.“格点线段”、“格点三角形”、“格点多边形” 是什么？
A1 A2
A3
An A7 A6
(3)5
bcaΒιβλιοθήκη a2 b2 c2∴ c a2 b2 5
练习.已知网格中的每个小正方形的边长均为1，请画以格点
为顶点且三边长分别是 4、10、3 2 的△ABC
C
A
B
6
例2.如图所示，在网格中有一线段AB和点P，请你画出过 点P且平行线段AB的直线a，并说明理由。
练习：你还能画出过点P垂直线段AB的直线b吗？
形的边长为1. 以A、B、C为顶点的三角形为等腰三角形的所
有格点C的位置有 3
个；并在图中标出。
·C ·C
·C
13
例7.在6×6的正方形网格中，以点D、E为两个顶点作位置不 同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样
的格点三角形最多可以有 4 个
··
··
14
练习.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1， A、B两点在网格点上。若点C也在网格点上，以A、B、C为顶
9
练习.如图是一个经过改造的台球桌面的示意图。图中四个角 上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示
的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入
的球袋是2号袋
光的反射规律
入射角 反射角
法线
平面镜
一文搞定初中数学网格问题
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧．一、正方形网格（一）全网格形全网格形是指有完整的网格的题型．1．网格中求坐标例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________．分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)2．网格与等腰三角形例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是()(A)6(B)7(C)8(D)9分析：有两种情况：①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个；②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．3．网格与直角三角形例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有()(A)4个(B)6个(C)7个(D)9个分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C例4：如图5是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫格点三角形．画与△ABC有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画出_______个．分析：如图6，以BC为公共边可画出△BDC，△BEC，△BFC三个三角形和原三角形全等；以AB为公共边可画出三个三角形△ABC、△ABM、△AB H和原三角形全等，所以可画出6个．5．网格与相似例5：图7所示4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是()[来源学*科*网][来源学科网Z XX K]分析：根据勾股定理，得BC＝，AB，AC；根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BC：AB＝1：2．在四个图形中，显然答案B中的三角形为直角三角形且两条直角边的比为1：2，选B．例6：如图8，在3×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，求图中点A到P Q的距离A H的长．分析：连结A P，AQ组成一个三角形．你可以用长方形面积减去三个直角三角形求得[来源学科网]出△A P Q的面积，而S△A P Q＝12P Q×A H，P Q的长用勾股定理计算，求得答案为755．7．网格中求三角函数[来源:Z xx k.C o m]例7：如图9，在正方形网格中有△ABC，则s i n∠ABC的值等于()（A）31010（B）1010（C）13（D）10分析：首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB＝90°，最后根据锐角三角函数的定义求出s i n∠ABC的值，选B．8．网格与圆例8：如图10，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，点A 、B 、C 、E 也都在格点上，CB 与⊙O 相交于点D ，连结ED ，则∠AED 的正切值等于_______．分析：本题是锐角三角函数的定义和圆周角的运用，解答本题的关键是利用同弧所对的圆周角相等把求∠AED 的正切值转化成求∠ACB 的正切值．tan ∠AED ＝tan ∠ABC ＝12AC AB ．（二）局部网格形局部网格形指是网格图案的一部分，需要通过添线补全网格的题型．例9：如图11(1)，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为()(A )90°(B )60°(C )45°(D )30°分析：先把局部网格补全成如图11(2)所示，易见△ACD 与△CBE 全等，可得出AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，所以∠ABC ＝45°．选C ．二、长方形网格例10：如图12，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格格点上，若点C也在网格格点上，以A、B、C为顶点的三角形面积为2，则满足条件的点C 个数是()(A)2(B)3(C)4(D)5[来源学科网]分析：底和高分别是4和1的有两个，底和高分别是2和2的有两个，选C．二、中考网格型试题赏析近几年中考中，网格型试题可谓大放异彩，这类试题构思精巧、形式活泼，能很好地考查图形变换、勾股定理、相似等数学知识，体现分类讨论、数形结合等重要的数学思想，当网格作为背景与双曲线、抛物线、圆、三角形结合时，更会出现许多让人意想不到的思路、方法，使我们在解题中感受到无穷的乐趣，本文撷取其中的几例进行解析，供参考．一、网格与双曲线结合例1：在边长为1的4×4方格上建立直角坐标系（如图1），在第一象限内画出反比例函数16y x =、6y x =、4y x=的图象，它们分别经过方格中的一个格点、二个格点、三个格点；在边长为1的10×10方格上建立直角坐标系（如图2），在第一象限内画出反比例函数的图象，使它们经过方格中的三个或四个格点，则最多可画出()条．(A )12(B )13(C )25(D )50分析：易知系数k 为合数，且能分解成两个均不超过10的正整数的乘积的形式．如4＝1×4＝2×2，则反比例函数4y x=的图象经过以下3个格点：(1，4)，(2，2)，(4，1)．6＝1×6＝2×3，则反比例函数6y x =的图象经过以下4个格点：(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1)．经过尝试，符合条件的k 值共有13个，分别为：4，6，8，9，10，12，16，18，20，24，30，36，40．所以，经过方格中的三个或四个格点的反比例函数的图象最多可以画出13条．故选B ．二、网格与抛物线结合例2：已知图3中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？()(A )6(B )7(C )8(D )9分析：我们先解决如下问题：对于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a 、b 、c 满足什么条件时，当x 取任意整数时，函数值y 都是整数？（为叙述方便，不妨假设抛物线开口向上．）当x ＝0时，y ＝c ；当x ＝l 时，y ＝a ＋b ＋c ．∴c 为整数，a ＋b ＋c 为整数，∴a ＋b 必为整数，又∵当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c ＝2a ＋2(a ＋b )＋c 是整数，∴2a 必为整数，∴a 应为12的整数倍，即a ＝12，1，32，2，…从对称的角度考虑，建立如图4所示的平面直角坐标系．(1)若抛物线的顶点在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线过原点．所画抛物线y ＝ax 2（n ＝12，1，32，2，…）最多能经过5个格点．(2)若抛物线的顶点不在格点上，要使抛物线尽可能多地经过格点，显然应使抛物线），＝ax 2＋bx ＋c 过原点和(1，0)．所画抛物线y ＝ax (x －1)（a ＝12，1，32，2，…）最多能经过8个格点．此时a ＝12，这8个格点分别为：(－3，6)，（－2，3），（－1，1），(0，0)，(1，0)，(2，1)，(3，3)，(4，6)．[来源学&科&网Z&X &X &K]综上所述，抛物线最多能经过81个格点中的8个，故选C ．三、网格与圆结合例3：请你在12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的____个格点．分析：从对称的角度考虑，建立如图5所示的平面直角坐标系．(1)如图5，若圆心在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过原点，所画圆最多能经过12个格点，此时圆的半径为5．这12个格点分别为：(0，5)，(3，4)，(4，3)，(5，0)，[来源学§科§网](4，－3)，（3，－4），（0，－5），（－3，－4），(－4，－3)，（－5，0），（－4，3），（－3，4）．(2)如图6，若圆心不在格点上，要使圆尽可能多地经过格点，显然应使圆心过（12，12），所画圆最多能经过16个格点，此时圆的半径为2，这16个格点分别为：(2，6)，(4，5)，(5，4)，(6，2)，（6，－1），（5，－3），（4，－4），（2，－5），（－1，－5），（－3，－4），（－4，－3），(－5，－1)，（－5，2），（－4，4），（－3，5），（－1，6）．综上所述，所画的圆最多能经过169个格点中的16个格点．四、网格与三角形结合例4：如图7，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．(1)△ABC 的面积等于____；(2)若四边形DEF G 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图7所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图的方法．分析：(1)S △ABC ＝12×4×3＝6；(2)如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形面积是最大的．如图8，在△ABC 中，AB ＝c ，AB 边上的高CN ＝h c ，△ABC 的面积为S ，正方形的一边DE 落在AB 上，其余两个顶点F 、G 分别在BC 、AC 上．设正方形DEF G 的边长是x．所以，图8中正方形一边落在AB 边上，另两个顶点落在其他两边上时，121212744x ==+；图8中正方形一边落在BC边上，另两个顶点落在其他两边上时，图8中正方形一边落在AC 边上，另两个顶点落在其他两边上时，[来源学科网Z|X X|K]∴当正方形一边落在BC边上时，正方形DEF G的面积最大．画法一：如图9，在AB上任取一点P，作P Q⊥BC于点Q，以P Q为一边在△ABC内部画正方形P QMN；作射线BN交AC于点D，过点D作D G⊥BC于点G，作DE⊥D G交AB 于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为矩形，∵D G⊥BC，NM⊥BC，∴D G//NM，画法二：如图10，取格点P，连结P C，过点A画P C的平行线，与BC交于点Q，连结P Q 与AC相交得点D；过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画P C的平行线，与CB相交得点G、F，则四边形DEF G即为所求．证明：由画图过程易得四边形DEF G为平行四边形，[来源学科网]由格点P的位置易判断P C＝CB，且P C⊥CB，∴D G⊥CB，∴平行四边形DEF G为矩形。
中考中的格点三角形问题
中考中的格点三角形问题在正方形的方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形.在初中数学教材中都提到过格点三角形，并且近两年中考中都出现过一些题目，基本上是有关全等三角形、相似三角形、面积等问题，现特举例说明.图1例1 在大小为4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图1中画一个△A１B１C１∽△ABC （相似比不为1），且△A１B１C１都在单位正方形的顶点上.（上海市中考题）略解：AB=，BC=2,AC=,如图1，只要使Ａ１Ｂ１=2，Ｂ１Ｃ１=2,Ａ１Ｃ１=2或Ａ１Ｂ１=1,B１C１=，A１C１=等.例2 如图2，在正方形的网格上有两个三角形△Ａ１Ｂ１Ｃ１和△Ａ２Ｂ２Ｃ２，则△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的面积比等于（）．图2A.4∶1B.3∶1C.5∶2D.5∶3（山东省中考题）略解：先找到两个三角形△Ａ１Ｂ１Ｃ１与△Ａ２Ｂ２Ｃ２是等高的，所以面积之比是两对应边Ｂ１Ｃ１与Ｂ２Ｃ２之比，为5∶2.例3 在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，请你在图310×10的方格中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明.要求：所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母.（2001年山西省中考题）略析：这样的三角形很多，找到两个相似的格点三角形（如图3），然后求出每个格点三角形的边长，证出三对对应边成比例或两对对应角相等，那么这两个三角形相似.图3例4 在方格纸上有一个△ＡＢＣ，它的顶点位置如图4所示，则这个三角形是________________三角形.（江西省中考题）图4略解：得出AB=AC=，是等腰三角形.例5 如图5所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为3、2、（在图5中画一个即可）.（2）使三角形为钝角三角形且面积为2（在图6中画一个即可）.略解：（1）这样的三角形（如图5）为△ABC.图5 图6（2）如图6，△DEF即为所求.格点三角形的问题不但考查了相似三角形的判定与性质定理、勾股定理、正方形的性质、钝角三角形、等腰三角形的性质、面积，而且考查了同学们的运算、画图、推理等技能，并且考查了学生分析问题的能力.通过格点三角形的问题的学习，发现了在数学学习中要善于运用课本上的习题，并能进行归纳、引申、变式训练，以来培养同学们的创新意识及创新能力.。
格点问题
B A G
C F
D E
C1 C A B A1 B
图1
F
1
D E
图2
练1:正方形网格中，每个小正方形的边长为1， 则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的 边数是（ ）(06年江西省中考题) A、 0 B 、 1 C、2 D、3
A
C
B
练2、 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上 平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1. （2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1 的格点三角形.
解答： 点评：此题给学生广阔的思维空间，体现数形 结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角， 画出符合要求的直角三角形。本题考查学生发 散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数 形结合思想。
答案一
答案二
答案三
三、网格与面积 如图1－3，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我 们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图 （一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”． （1）求图（一）中四边形ABCD的面积； （2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使 △EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．
A
B C
D
图1－3
例4、(04重庆市B是方格纸中的 两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的 方格纸中，找出格点C使△ABC的面积为2个平 方单位，则满足条件的格点C的个数是（ A ）
．
．
（A) 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2
．
． ．
中考专题 通往中考的捷径
在近几年的数学中考试卷中，作为考查学生 数形结合思想方法的运用能力和动手操作能 力的载体，许多省市采用了一些网格型、分 割型试题，这些试题答案往往不惟一，且有 较强的开放性，有利于培养学生的探究意识 和创新精神。 一般思路： 平面直角坐标系， 直角三角形（勾股定理及其逆 定理）， 相似三角形（判定与性质）， 面积计算（等积变换）等。
(完整版)格点与割补
学科：奥数教学内容：格点与面积生活中我们常借助一些工具来迅速简便的解决一些问题，如为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。
同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。
这一讲我们主要介绍利用格点求几何图形的面积。
先来介绍什么是“格点”。
见下图：这是一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点”，水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位”。
图中带阴影的小方格就是一个面积单位。
借助格点图，我们可以很快的比较或计算图形的面积大小。
利用格点求图形的面积通常有两种思路，一是直接将图形分成若干个面积单位，然后通过计算有多少个面积单位来求图形面积；二是将某些图形转化成长方形的面积来求。
当然还可以将这两种方法结合起来，求出某些较复杂图形的面积。
例1 计算下图中各图形的面积：分析：先仔细观察图中的每个图形，选择方法。
显然第一、三、六图可以直接数出包含多少个面积单位即可。
而二、四、五图显然不适合用数单位面积的方法来求面积，可以采用虚线把这些图形扩展或割补成长方形，通过求长方形面积来求这些图形面积。
解答：（1）图中长方形包括3×2=6（个）面积单位，所以它的面积为6。
（2）将图中平行四边形割补成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而平行四边形的面积等于长方形面积，所以平行四边形的面积为3×2=6。
（3）将图中三角形用虚线分成3块，它包含有1个面积单位和2个面积单位的一半，合起来有2个面积单位，所以它的面积为2。
（4）图中将三角形扩展成一个长方形，长方形的面积为3×2=6，而三角形面积为长方形面积的一半，则三角形面积为3。
（5）将图中梯形的互相平行的一组对边延长，补出一个和原来梯形方向颠倒，但面积一样的梯形，形成一个大的长方形。
长方形的面积为（2＋4）×3=18，而梯形的面积为长方形的面积的一半。
所以梯形的面积为：（2＋4）×3÷2=9。
网格问题(中考专题复习)
பைடு நூலகம்图1
图2
[解析] 题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方 形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在 图1中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三 9 角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于 2 因此小正方形的面积是大正方形面积的 1 ．选 D． 8
六、利用格点图形探究规律．
【例18】如图,在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的 长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点 的个数有（ ）．
A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个．
D F C G N A E B M
[解析] 从题目的语气看，似乎要画直线AB与 CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直 线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于 AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC 是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个 等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、 AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD 的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边 的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜 边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三 角形有3个，符合题意的点有4个．选C．
【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形 图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是 12， 则第n个“L”形图形的周长是_________
① ② ③
① ② ③
图1 图2 [解析] 把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长 没有变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是 4(n+1)．
数学网格问题
3
【例3】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果 △A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为 （ ）．
A．(－4，2) B、(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) ．
[解析] 根据轴对称的性质， y 轴垂直平分线段AA'，因此点 A与点A'的横坐标互为相反数， 纵坐标相等．点A(－4，2) ， 因此A'(4，2)．选D．
[解析] 从题目的语气看，似乎要画直线AB与 CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直 线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于 AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC C G 是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个 N 等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、 A AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD 的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边 的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜 边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三 角形有3个，符合题意的点有4大个家．好 选C．
[解析] 图形的平移归根到底是对应点的平移，图形在平移的过 程中对应点的连线平行且相等．图1中的图形N平移到图2，就 是点A平移到点A′，先向下移动大2家格好 ，再向左移动1格，选C． 13
【例13】如图1，点O、B的坐标分别为(0， 0)、(3， 0)，将
△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△OA′B′．
4(n+1)．
网格问题是近几年新课程中考数学命题的热点问题，新颖
的题目不断涌现，但是归根到底，中考题还是来源于课本，
网格问题是课本知识的情景再现，我们一定要围绕课本开
展复习．
大家好
23
大家好
浙教版九年级数学《格点图中的作图与计算问题》
则满足条件的格点N有___3__个;
4
y
A
D
F·N1
B
OC
·N2
·EN3 x
例题解析
例2.【问题呈现】如图，在边长为1的正方形网格中， 连结格点A、N和M、C,AN与MC相交于点P,求tan∠CPN的值.
方法一：
A
C
P
M
N
E
例题解析
方法一：
A
C
EN//CM
P
∠CPN=∠ANE
M
N
在Rt△AEN中，tan∠ANE=2
网格中的作图与计算问题
问题引出
例1.如图，在7×6的方格中，△ABC的顶点均在格点上，试按要求仅 用不含刻度的直尺画出线段EF（E,F均为格点），各画出一条即可.
问题引出
【知识储备1】仅用不含刻度的直尺作线段中点、中垂线、 角平分线、等分线段等，往往需要通过格点图中的全等或 相似，或利用正方形网格的对称性和45°特殊角，又或利 用特殊平行四边形的相关性质.
问题解决
【问题解决】如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于 点P，求tan∠CPN的值.
方法一：
E
AE//CM
∠CPN=∠EAN
在Rt△EAN中，tan∠EAN=1
tan∠CPN=1
问题解决
方法二：
E
CE//AN ∠CPN=∠ECM
在Rt△ECM中，tan∠ECM=1
tan∠CPN=1
tan∠CPN=2
E 【知识储备2】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出 （或构造出）一个直角三角形.当发现问题中这个角不在直角 三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法来解决.
例题解析
中考数学专题复习格点作图题(二)
中考数学专题复习格点作图题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．如图，在6×8的方格纸中有直线l，点A、B、C都在格点上．按要求画四边形，使它的顶点都在格点上，点A、B、C在它的边上（包括顶点）．（1）在图①中画一个轴对称图形，使直线l是对称轴；（2）在图①中画一个中心对称图形，使直线l平分它的面积．2．图①、图①均为44⨯的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图①中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD=；（2）在图①中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE=．3．如图均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC∆的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．（1）在图中的线段AB上找一点D，连结CD，使BCD BDC∠=∠．（2）在图中的线段AC上找一点E，连结BE，使ABE BAE∠=∠．（3）在图中的线段AC上找一点F，连结BF，使CBF CFB∠=∠．4．图①、图①、图①都是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图①、图①中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上．（1）在图①中画一个ABC，使其面积为2．（2）在图①中画一个ABD△，使其面积为4．（3）在图①中画一个四边形ABEF，使其面积为5．5．如图，网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图①中各画出一个格点ABC，使ABC是直角三角形，且90ACB∠=︒，并满足以下要求：（1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）．（2）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．（3）满足（1）、（2）的ABC共有个．6．如图，在66⨯的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求画出格点三角形与格点四边形．（1）在图1中以线段AB为边画一个格点ABC∆，使2AB BC=；（2）在图2中以线段AB为边画一个格点四边形ABCD，使其面积为7，且90BAD∠=︒．7．在6×6的正方形网格中，①ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺画图．（保留必要的画图痕迹）(1)在图1中，画一个与①BAC相等的①BDC，且点D在格点上．(2)在图2中，画一个与①ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形BCDE，D、E均在格点上．(3)在图3中，在AC上找一点D，连接BD，使①ABD的面积是①BCD面积的4倍．参考答案：1．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可．（2）根据中心对称图形作出图形即可．【详解】解：（1）轴对称图形如图所示（答案不唯一）．（2）中心对称图形如图所示（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（1）6；（2）92．【解析】【分析】（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知①CBA=①CDA，然后用用割补法求出面积即可；（2）根据图中正方形网格和①B的特点，作出①E与①B互补，然后用割补法求面积即可．【详解】解：（1）如图，S四边形12223422622ABCD ⨯⨯=⨯-⨯-⨯=， （2）如图，S 四边形12221193322222ABCE ⨯⨯⨯=⨯-⨯--=． 【点睛】此题主要考查了应用设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，在AB 上取一点D 使得3BD BC ==即可；（2）根据矩形的性质，可以得到点E 的位置；（3）由题意可知，利用三角形相似的性质，对AC 进行分段，使得3CF =．【详解】解：（1）取格点D ，连接CD 即可，如下图：（2）取格点P ，连接BP ，交AC 于点E ，如下图：则ABE BAE ∠=∠；（3）如图，取格点H 、N ，连接HN ，交AC 于点F ，连接BF ，①CH ①AB ，①ANF CHF △∽△，3CH =、2AN =，①23AN AF CH CF ==，则CF =35AC ， ①AB =4，BC =3，①AC =22435+=，①CF =35AC =3， ①CF =BC =3，①CBF CFB ∠=∠．①点F 即为所求作．【点睛】此题主要考查了等腰三角形、矩形、相似三角形等有关性质，熟练掌握和应用有关知识的性质是解题的关键．4．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）取格点C ，连接AC 、BC ，利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）在（1）的基础上作点A关于BC的对称点D即可；（3）在（2）的基础上增加一个面积为1的三角形即可．【详解】（1）取格点C，连接AC、BC，如图所示，①ABC即为所求：①AC=2，BC=22，AB=221310+=，由于()()()22222210+=，①222AC BC AB+=,①△ABC是直角三角形，且①ACB=90°，①11222222ABCS AC BC=⨯=⨯⨯=；（2）如图所示，①ABD即为所求；（3）如图所示，四边形ABEF即为所求；．【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）6．【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可，有两种情形,任意一种即可；（2）根据要求作出图形即可，有四种情形,任意一种即可；（3）根据（1）（2）的图形即可解答．【详解】解：（1）点C的位置如图①所示，①ABC、①ABC1中任意一个即为所求；（2）点C的位置如图①所示，①ABC、①ABC1、①ABC2、①ABC中任意一个即为所求；（3）如图可得：满足（1）的ABC共有2个，满足（2）的ABC有4个，则满足（1）、（2）的ABC共有共有6个．【点睛】本题主要考查了基本作图、无理数、直角三角形等知识，掌握数形结合的思想成为解答本题的关键．6．（1）图见详解；（2）图见详解【解析】【分析】（1）由图及题意易得10AB，进而可得5BC=，然后问题可求解；（2）根据题意及旋转的性质可先作出90BAD∠=︒，然后再利用割补法进行作图即可．【详解】解：（1）由题意得：10AB，①2AB BC=，①5BC=，则以线段AB 为边画一个格点ABC ，如图所示：（2）由题意可得如图所示：【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，熟练掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键． 7．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）如图，根据网格的特点以及对称性找到点D ，连接,BD DC ，则BDC BAC ∠=∠； （2）根据题意，与①ABC 面积相等，且以BC 为边的平行四边形BCDE ，则平行四边形BC 边上的高等于ABC 中，BC 边上高的一半，根据网格的特点，在格点上找到点D ,E ，连接,,CD DE EB 即可；（3）根据勾股定理求得5AC =，找到5FC =，根据网格的特点作GH AF ∥，根据平行线分线段成比例可得14CD DA =，即找到符合题意的点D ． (1)如图所示，BDC BAC ∠=∠且D 在格点上，(2)如图，(3)如图，22345AC =+=作AF GH ∥14CD CH DA FH ∴== ∴①ABD 的面积是①BCD 面积的4倍．则点D 即为所求．【点睛】本题考查了作轴对称图形，作平行四边形，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．。
角格点问题通解
角格点问题通解
角格点问题是一个经典的几何问题，它涉及到平面上的点、线和角度。
这个问题的形式如下：在平面上给定一些点，问是否存在一个角度使得从这些点出发的线段与这个角度的正弦和余弦都是有理数。
这个问题看起来非常简单，但实际上却非常复杂。
事实上，这个问题一直是一个未解决的问题，直到最近才被一位数学家给出了一个通解。
这个通解的核心思想是将角格点问题转化为一些代数性质的问题，然后利用代数学的方法来解决它。
具体来说，这个通解利用了代数数的性质来解决角格点问题。
代数数是指满足一定代数方程的复数，它们具有一些非常有趣的性质。
通过将角格点问题转化为代数问题，数学家们就可以利用代数学的方法来解决它。
具体来说，他们通过构造一些代数方程来描述角度的正弦和余弦，然后证明这些方程的解集是一个有限集，从而证明角格点问题的解存在且唯一。
总的来说，角格点问题通解的出现为解决这个问题提供了一个非常有力的工具。
它不仅为角格点问题的解决开辟了新的思路，还为代数学和几何学的交叉研究提供了新的契机。
这个通解的发现不仅是数学研究的一个重要里程碑，也为我们认识和理解自然界中的复杂现象提供了新的思路和途径。
- 1 -。
数学中的格点图形
数学中的格点图形网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，具有很强的可操作性，这和新课程的理念相符合，因此它也成为近几年新课程中考的热点问题． 一、考查坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 【例1】（2006，大连）如图，在平面直角坐标系中，点E 的坐标是（ ）．A ．(1， 2) ；B ．(2， 1) ；C ．(－1， 2) ；D ．(1，－2)．图 1Ey x123-1-2-3-3-2-1321O 123574689A C B D E F G H I12345678【例2】如图，围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示，纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为(C ，4)，白棋②的位置可记为(E ，3)，则白棋⑨的位置应记为___________ ．【例3】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应点A'的坐标为（ ）．A ．(－4，2)；B ．(－4，－2)；C ．(4，－2)；D ．(4，2) ．二、在网格中运用勾股定理进行计算．【例4】图4，是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号）【例5】三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是( ).A . 43； B . 34 ； C . 53 ； D . 54．ABC4题 图1mαABC【例6】如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC 边上的高是（）．A．322；B．3510；C．355；D．455．【例7】如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为(2，－1)，则△ABC的面积为＿＿＿＿平方单位．A BCOxyABCOxyDE F【例8】（2006，广州）如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的( )．1111A. ;B. ;C. ;D. .47822图1 图2【例9】在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（－4，－3），D（6，－3），并将各点用线段顺次连接构成一个四边形ABCD．（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标．三、分类讨论思想在格点问题中的运用．【例10】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的三角形面积为1，则点C的个数为A．3个；B．4个；C．5个；D．6个．【例11】如图所示，A、B是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．四、网格中图形变换的画图与描述．【例12】在5×5方格纸中将图1中的图形N平移后的位置如图2所示，那么下面平移中正确的是（）图1 图2A. 先向下移动1格，再向左移动1格；B. 先向下移动1格，再向左移动2格；C. 先向下移动2格，再向左移动1格；D. 先向下移动2格，再向左移动2格．【例13】如图1，点O、B的坐标分别为(0，0)、(3，0)，将△OAB绕O点逆时针方向旋转90°得到△O A′B′．⑴画出△OA′B′；⑵点A′的坐标为________________；⑶求BB′的长．AOB【例14】如图1，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（－1，－1）．（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1:2，画出△AB3C3的图形．图1【例15】如图1，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1)画出位似中心点O；（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1．5．图1五、网格图形的操作方案设计问题．【例16】如图，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图(1)、(2)中画出两种不同的拼法．【例17】如图，在方格纸(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形)中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．（1）如果A、D两点的坐标分别是(1，1)和(0，－1)，请你在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点B、点C的坐标；（2）请根据你所学过的平移、旋转或轴对称等知识，说明图中“格点四边形图案”是如何通过“格点△ABC图案”变换得到的．【例18】请阅读下列材料：问题：现有5个边长为1的正方形，排列形式如图1，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．小东同学的做法是：设新正方形的边长为x(x＞0)．依题意，割补前后图形的面积相等，有25x=x=，解得5的长．于是，画出如图2所示的分割线，拼出如图3所示的新正方形．请你参考小东同学的做法，解决如下问题： 现有10个边长为1的正方形，排列形式如图4，请把它们分割后拼接成一个新的正方形．要求：在图4中画出分割线，并在图5的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形．说明：直接画出图形，不要求写分析过程．【例19】操作与探究：（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A 与点C重合，DE 为折痕．试证明△CBE 等腰三角形；（2）再将图①中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？图5图4 图1 图2 图3六、利用格点图形探究规律．【例20】在边长为l 的正方形网格中，按下列方式得到“L ”形图形第1个“L ”形图形的周长是8，第2个“L ”形图形的周长是12， 则第n 个“L ”形图形的周长是①③②ABCBCF 图①图②图③图④。
三角形中的格点数量问题
三角形中的格点数量问题在数学的世界里，有许多有趣和复杂的问题，其中之一就是三角形中的格点数量问题。
这个问题看似简单，却蕴含着丰富的数学内涵，同时也有着广泛的应用。
三角形中的格点数量问题，即求解一个给定三角形内部整点的个数。
在这里，我们所说的整点，是指坐标均为整数的点。
为了更好地理解这个问题，我们先来看一些关于格点的基础知识。
格点是平面上坐标为整数的点，通常用(x, y)表示，其中x和y都是整数。
在平面上，我们可以将整个区域分成许多小正方形，每个小正方形的一个顶点为一个格点。
这些小正方形被称为单位正方形，它们是格点的基本单位。
对于给定的三角形，我们可以通过单位正方形的个数来估计三角形内部的格点数量。
接下来，我们来探讨三角形中格点数量问题的一些基本情况。
首先，我们考虑由x、y轴以及一般的斜线所构成的三角形。
对于这样的三角形，我们可以通过坐标轴上的格点、横坐标在某一整数范围内的点以及纵坐标在某一整数范围内的点来计算三角形内部格点的数量。
其次，我们考虑更为一般的情况，即一般的三角形内部的格点数量。
对于这样的三角形，我们可以通过许多方法来求解。
其中一种方法是通过数学的思维和技巧来计算。
通过将三角形内部的整点进行分类，我们可以得到更简洁有效的计算方式。
这种方法需要运用大量的数学知识，包括数论、代数、几何等领域的知识。
另一种方法是通过计算机的辅助来求解。
由于三角形内部的格点数量问题计算过程繁琐，需要大量的计算，因此借助计算机的算法和计算能力可以更快地得到结果。
通过编写程序，我们可以通过循环、递归等方式来穷举三角形内部的整点，并最终得到格点的数量。
除了上述的两种方法外，我们还可以利用组合数学和概率论的知识来求解三角形中格点的数量。
通过建立数学模型，我们可以把三角形内部的问题转化为一些有关排列组合的问题，并通过概率论的方法来估计格点的数量。
这种方法在理论分析和实际应用中都有着重要的意义。
在实际应用中，三角形中格点数量问题也有着广泛的用途。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
共性:端点或顶点都必须在“格点”上
“格点问题”不但能够加强同学们得基础知识,而且也能提高大家 的基本技能，同时能够逐步培养我们的运算能力、空间想象能力、 力及逻辑推理能力。
它突出了“数形结合”得数学思想方法,考查我们 对图形的观察力与对数学规律的发现探究能力，还考查 我们的创新意识、决策意识和实践能力。
要求:画出分割线并在网格图（图2中每个小正方形的边长均为 1）中用实线画出拼接成的新的大正方形。
①② ③ ④ ⑤
图1
练习:若有10个边长为1得正方形如 下排列,您能把它分割后拼接成一个 新的大正方形吗？
① ②⑤④
③
①②
③
④
⑤
图2
① ②
⑤ ④ ③
二、格点中计数问题
例6.如图，A、B为4×5网格中的格点，网格中的每个小正方
a
·
21
1
·b
3
G
2
(2)画图形得变换
例3、如图,有一条小船，若把它平移，使点A平移到点B，请画 出 平移后得小船。若小船先从点A航行到达岸边L的点P处补给 后再到点B，但要求航程最短，在图中画出点P的位置。
·
·P
l
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例4、如图,在网格中两个全等得图形(阴影部分)，用这两个 图形拼成轴对称图形。请分别在下列网格中画出三种不同的 拼法。
1、“格点”就是什 么y ？
数学上把在平面直角坐标系中 横纵坐标均为整数得点称为格 点或整点。
·A
2 1
0 12
隐藏掉坐标轴后,左边便就是 由水平线与垂直线组成得 x 格，我们同样把水平线和垂 直线的交点称为“格点”。
2、“格点线段”、“格点三角形”、“格点多边形” 就是什么？
A1 A2
A3
An A7 A6
练习、如图就是一个经过改造得台球桌面的示意图。图中四
个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所 示的方向被击出(球可以经过多次反射)，则该球最后将落入的
球袋是 2号袋
光得反射规律
入射角 反射角
法线
平面镜
反射角=入射角
(3)拼图 例5、现有5个边长为1得正方形(排列如图1),请把它们分割后拼 接成一个新的大正方形。
(3)5
bc
a
a2b2 c2
∴ c a2 b2
练习.已知网格中的每个小正方形的边长均为1，请画以格点
为顶点且三边长分别是 4、10、 3 2 的△ABC
C
A
B
例2、如图所示,在网格中有一线段AB与点P，请您画出过 点P且平行线段AB得直线a，并说明理由。
练习:您还能画出过点P垂直线段AB得直线b吗？
形的边长为1. 以A、B、C为顶点的三角形为等腰三角形的所
有格点C的位置有 3
个；并在图中标出。
·C ·C
·C
例7.在6×6的正方形网格中，以点D、E为两个顶点作位置不 同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样
的格点三角形最多可以有 4 个
··
··
练习.如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为2，宽为1， A、B两点在网格点上。若点C也在网格点上，以A、B、C为顶
·············
答案:9
例10.一青蛙在如图8×8的正方形（每个小正方形的边长为1） 网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次跳的最远距
离为 5 ，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A，则所
构成的封闭图形的面积最大值是 12
· ·
· ·
·
················
· ·
·
· ·
点的三角形面积为2，则满足条件的点C个数是 4 个。
C·
C·
D
1 S=1
E2
F
·C C·
三、格点中计算问题
例8、如图,由边长为1米得正方形地砖铺设的地面示意图。
一只蚂蚁沿图中所示的折线从A B C D所爬的路
程为
(结果保留根号)
因为:
所以:
例9、如图,在正方形网格(每个小正方形得边长为1)内有一个格 点三角形ABC。
“格点问题” 涉及得知识点十分广泛,综合性很强。 其题型多样，形式活泼，操作性强、趣味性浓， 体现了新课标“在玩中学、在学中思、在思中得” 的理念。
一、格点中画图问题
(1)画线段、三角形 例1、已知网格中得每个小正方形的边长均为1,请画下面两个
端点都在格点上的线段。
预备知识:
(1) 5
勾股定理
(2) 13
（1）求△ABC的面积
(2)求点B到边AC得距离h。
①
③
h
②
· AC①32③22 13
···· h 2 ②3.5 7 13
· 13
13
S△ABC=3×3－S1－S2－S3 =3、5
S△ABC=S1+S2－S3
(32)23123
2
22
运用“皮克定理”
S 1331 2
3.5
3.5
练习:如图,在正方形网格(每个小正方形得边长为1)内有一个格 点五边形ABCDE，求五边形ABCDE的面积。
·
······