12-3 相对质心的动量矩定理--刚体平面运动微分方程
相对于质心平移系的质点系动量矩定理刚体平面运

0
0
J O d fFN Rdt
0
t
F fFN
J O 0 t f FN R
四、刚体转动惯量的计算
J z mi ri
2
——刚体对转轴的转动惯量
转动惯量——是刚体转动时惯性的度量。
转动惯量的大小不仅与质量的大小有关,
而且与质量的分布情况有关。 在国际单位制中为:kg · m2 对于质量为连续分布的刚体,则上式成为定积分
d (e) (i ) M ( m v ) M ( F ) M ( F 质点1: O 1 1 O 1 O 1 ) dt d M O (mi vi ) M O ( Fi ( e ) ) M O ( Fi (i ) ) 质点i : dt
d M O (mn v n ) M O ( Fn( e ) ) M O ( Fn(i ) ) 质点n : dt
一、质点和质点系的动量矩 二、动量矩定理 三、刚体绕定轴转动的微分方程 四、刚体转动惯量的计算 五、相对于质心(平移系)的质点系动量矩定理
六、刚体平面运动微分方程
一、 质点和质点系的动量矩
质点的动量矩——质点的动量对点之矩 z [1、力对点之矩] 空间的力对O 点之矩:
M O (F ) r F
d M x ( mv ) M x ( F ) dt d M y ( mv ) M y ( F ) dt d M z ( mv ) M z ( F ) dt
2、质点系的动量矩定理
设质点系有n个质点
每个质点的质量分别为: m1、m2、 mi mn
对轴的动量矩
z
Lz M z (mi vi )
LO Lxi Ly j Lz k
理论力学-动量矩定理2

LC J C
刚体平面运动微分方程
LC J C
xC yC
其中JC为刚体对通过质心C 且与运动平面垂直的轴的转 动惯量, 为角速度。
当作用于刚体上的力系等价于质量对称面内的一个平面 力系时,对刚体平面运动,应用质心运动定理和相对质心 动量矩定理 ,有 n maC Fie i n J C M C (Fie ) i
刚体平面运动微分方程
C*
vA 相对特殊瞬心的动量矩定理:平面 运动过程中,如果刚体的质心 C 到速 度瞬心 C* 的距离保持不变,则质点 系相对速度瞬心的动量矩对时间的导 vB 数等于质点系外力对同一点的主矩。 即
aC
FN
maC mgsin F
0 mgcos FN
J C Fr
刚体平面运动微分方程
α
F
maC mgsin F
() 1
0 mgcos FN
(2)
aC
FN
J C Fr
运动学补充关系
(3)
(4)
1 2 aC 1 mr 2 maC 2 2 r
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri Байду номын сангаас rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
0 mgcos FN
1 F mgsin FN f s 3 1 f smin tan 3 此即圆轮在斜面上不滑动的最小静摩擦因数。
理论力学 12.动量矩定理

得
LO mO (mvC ) rC mvC
对z轴的动量矩
Lz mz (mvC )
即:平动刚体对固定点(轴)的动量矩等于刚体质心的 动量对该点(轴)的动量矩。
2.定轴转动刚体 根据定义
Lz M z (mi vi ) mi ri ri mi ri2 mi ri2
PA PB d g dt r PA PB P/2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理:内力不会改变质点系的动量矩,只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当 M O 0 时, LO 常矢量。
( e)
当 M z ( e ) 0 时,Lz 常量。 例如:花样滑冰运动员的高速旋转表演 ,J z 常量; 具有单个旋翼的直升飞机需要在尾部安装螺旋桨。
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固 定轴的动量矩对时间的导数,等于作用在质点系上所有外力对同 一固定轴之矩的代数和(外力系对同一轴的主矩)。 定理说明内力不会改变质点系的动量矩,只有外力才能改 变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒
当 M O 0 时, LO 常矢量。
( e)
rC mvC ri mi v i
其中 LC ri mi v i 为质点系相对质心C的动量矩。 (注意:vi为质点的绝对速度。) 即 质点系对任意定点O的动量矩,等于质点系对质心的动量矩, 与将质点系的动量集中于质心对于O点动量矩的矢量和。
取固结于质心的平动参考系, 由速度合成定理,有
例8 水平圆板可绕z轴转动,其上有一质量为m的质点M作 半径为r的圆周运动,相对圆板的速度大小v0为常量。若圆板 对z轴的转动惯量为J,并且当M点离z轴最远时,圆板的角速 度为零。试求圆板的角速度与φ角的关系。轴的摩擦和空气阻 力略去不计。 解:取水平圆板和其上 的质点M为研究的质点系, 系统对z轴的动量矩守恒。 当质点M处于Mo位置,
理论力学动量矩定理

四. 平行移轴定理
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量,加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
J z ' J zC m d 2
证明:设刚体的质量为m,质心为C。
O ' z '//Cz
J zC mi ri 2 mi ( xi 2 yi 2 )
J z ' mi ri ' 2 mi ( xi ' 2 yi ' 2 )
xi xi ', yi ' yi d
J z ' mi [ xi 2 ( yi d )2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
质点对O点的动量矩与对 z 轴的动量矩之间的关系:
M O (mv )
注意:要求 z 轴通过O点。
z
M z (mv )
二.质点系的动量矩
质点系对O点动量矩: LO 质点系对 z 轴动量矩: 同样有关系式: 例:平动刚体的动量矩。
M
O
Lz M z (mi vi )
(mv i i ) r i mv i i
( e)
PA PB d g ( d t r PA PB P / 2
)
[例4] 已知猴子A重=猴子B重,初始静止,后猴B以相对绳 速度 v 上爬,猴A相对绳不动。问猴B向上爬时,猴A将如何 动?动的速度多大?(轮重不计)
解: 设猴A向上的绝对速度为 vA,则
猴B向上的绝对速度为 vB= vvA 。
平动刚体对固定点(轴)的动量矩就等于刚体质心的动量 对该点(轴)的动量矩。
动量矩定理

( ) 2)若 ∑ m (F ) = 0 ,则 w = cos 2t 3)若 ∑ m (F ) = cos 2t ,则 ε = cos 2t 4)在一定的时间内,当 ∑ m (F ) 一定时, I
z z z
1)若 ∑ m z F ≠ 0 ,则刚体的转动状态一定发生变化。
z
越大 , 运动状态越大。
可见,转动惯量表现刚体转动状态改变的难易程度。因此说:转动惯量是刚 体转动时惯性的度量。 转微分方程可以解决两类动力学问题:
( )
( ) ( ) ( )
由于约束力通过 Z 轴,于是有:
n d (I z w ) = ∑ m z F i dt i =1
即:
Iz
N n d 2ϕ = m F 或 I ε = mz F i i ∑ ∑ z z dt 2 i =1 I =1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( )
这就是刚体定轴转动的微分方程,即刚体对定轴的转动惯量与角速度的乘 积,等于作用于刚体的主动力 对该轴之矩的代数和。 ... 由以上可知:
对于该点(或该轴)的动量矩保持不变,这种情形称为动量矩守恒。
4
理论力学讲义
例 2:已知:圆轮半径 r,量 m ,物块重 p 。求:物块加速度。 解:取整体研究,对 O 点的动量矩为
L0 = Iw +
p vr g
外力对 O 总的矩为 ∑ m0 F 由
( ) = pr
e
d (L0 ) = ∑ m0 F 得: dt p ar = pr g
I 2 a / R = Nr2 − RT p a =T − p g I 1ia / R = M − Nr2 / i
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
未知量 a, T , Nr2 可求解:解之可得:
工程力学-材料力学-第12章动量矩定理

•
例12-3 •已知:m1,r,k ,m2 ,R,
•求:弹簧被拉长s时,重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设:塔轮该瞬时的角速度为ω,则
•解得:
•
3.动量矩守恒定律
•若
,则 常矢量;
•若
,则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力: •约束力:
•
例12-8 •已知:l,m,θ=60°。求:1. αAB;2. FA • 解:绳子刚被剪断,杆AB作平面运
动,受力如图,根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知:如图r,m, m1。求:1. aA;2. FAB ;3. FS2 • 解:分别以A、B、C为研究对象
•其中: • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩。
•投影式:
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 : •对n个质点有:
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数,等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式:
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1.对质心的动量矩 •如图,以质心C为原点,取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为:
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩,无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算,其结果都相同。
理论力学哈工大第七版第十二章

§12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12-5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12-6 刚体的平面运动微分方程 课后习题
一、空间力对点的矩以矢量表示 —力矩矢—定位矢量
投影式:
dLx dt
r M x (Fi(e) )
dLy dt
r M y (Fi(e) )
dLz dt
r M z (Fi(e) )
适用范围:对固定点或固定轴。
内力不能改变质点系的动量矩。 思考:内力的影响?
解:1.取小车与鼓轮组成质点系,视小车为质点。 以顺时针为正。
2.运动分析 LO J m v R
MO F r F
i
jk
x y z
Fx Fy Fz
矢量的模—— MO F F h 2AOAB
;
矢量的方位—与力矩作用面的法线方向相同;
矢量的指向—按右手螺旋法则确定。
二、力对轴的矩—代数量—转化为平面力对点之矩
力对轴的矩是力使刚体绕 该轴转动效果的度量,是 一个代数量,其绝对值等 于该力在垂直于该轴平面 上的投影对轴与该平面交 点之矩。
二、质点系的动量矩定理
第i个质点
d dt
r MO
(mivri
)
r MO
r ( Fi (i )
)
r MO
r ( Fi ( e )
)
n个质点
由于
rr MO (Fi(i) ) 0
r
d dt
r MO
r (mivi
梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案

动量矩定理12-1 质量为m 的点在平面Oxy 内运动,其运动方程为: x a cos t y bsin2 t 式中a 、b 和 为常量。
求质点对原点 O 的动量矩。
解:由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度V xdxsin t dt aV y dy 2b cos2 t 质点对点 O 的动量矩为L O M o (mV x ) M 0(mV y )mv x y mv y x m ( a sin t) bsin2 t m 2b cos2 t acos t 2mab cos 3 t 12-3 如图所示,质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A,质心为C, AC = e ;轮子半径为 R,对轴心A 的转动惯量为J A ; C 、A 、B 三点在同一铅直线上。
(1 )当轮子只 滚不滑时,若 V A 已知,求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。
(2)当轮子又滚又滑时, 若V A 、 已知,求轮子的动量和对地面上 B 点的动量矩。
解:(1)当轮子只滚不滑时 B 点为速度瞬心。
轮子角速度V A R质心C 的速度V CBCR e轮子的动量p mv Cmv A (方向水平向右)R对B 点动量矩L B J B2 2 2由于 J B J C m (R e) J A me m (R e) 故 L B J A me 2 m (R e )2食 (2)当轮子又滚又滑时由基点法求得 C 点速度。
V C V A V CA V A e 轮子动量 p mv C m(v A e) (方向向右) 对B 点动量矩L B mv C BC J Cm(v A 2e) (R e) (J A me) mv A (R e) (J A mRe) 12-13 如图所示,有一轮子,轴的直径为 50 mm 无初速地沿倾角 20的轨道滚下,设 只滚不滑,5秒内轮心滚动的距离为 s =3m 。
试求轮子对轮心的惯性半径。
解:取轮子为研究对象,轮子受力如图( a )所示,根据刚体平面运动微分方程有 ma C mgsi n F ( 1) J C = Fr ( 2)因轮子只滚不滑,所以有 a c = r ( 3) ® 12将式(3)代入式(1)、(2)消去F 得到mr sinm?g上式对时间两次积分,并注意到 t = 0时 0, 0,则 mgrt 2 sin mgrt 2s in 2(J C mr 2) 2(m 2 mr 2) 把 r = 0.025 m 及 t = 5 s 时,s 'grt 2sin f gt 2sin-r r「s r 1grt 2sin 2( 2 r 2) r 3 m 代入上式得0.0259.8 52si n202 30.09 m 90 mm12-17 图示均质杆 AB 长为I ,放在铅直平面内,杆的一端 A 靠在光滑铅直墙上,另一端 B 放在光滑的水平地板上,并与水平面成 °角。
12动量矩定理

图12.7 钟摆
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.5】 匀质圆盘与匀质杆组成的钟摆如图12.7所示。已知圆盘质量m1, 直径d,杆的质量m2,长l,试求钟摆对悬挂轴O的转动惯量J0。
解:钟摆由匀质杆和匀质盘组成,所以有 = JO JO杆 + JO
其中
JO
=J c
+
m1
l
+
d 2
平方的乘积,即
12.7
J=z J zc + md 2
(12.7)
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
证明:如图12.5所示,设刚体总的质量为m,轴zc通过质心C,z与zc平行且 相距为d。不失一般性,可令y与yc重合,在刚体内任取一质量为mi的质点Mi,它 至zc轴和z轴的距离分别为ric和ri。刚体对于z、zc轴的转动惯量分别为
12.9
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
【例12.4】 质量为m,长为l的匀质杆如图12.6所示,求杆对yc的转动惯量。
解:由例12.1知
Jy
=
1 ml2 3
,根据平行轴定理式(12.7)有
J yc
=J y
−
md 2
=1 ml2 3
−
m
l
2
2
=1 12
ml 2
12.10
图12.6 匀质杆
在工程问题上,计算刚体的转动惯量时,常应用下面公式
12.3
第12章 动量矩定理
12.1 转 动 惯 量
Jz
=
mρ
2 z
(12.2)
ρ 其中m为整个刚体的质量, z 为刚体对z轴的回转半径,它具有长
第十二章 动量矩定理

Lz=Jzω
§2 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
设质点质量为m, 受力F, MO(mv) 动量mv,定坐标系Oxyz , 根据质点的动量定理 z
F
B
mv
r
o A y
MO(F)
d (mv ) F dt
等式两边同时与矢径r作矢量积, 即 x
d (mv ) r F r dt
MO(F)
?
d (mv ) r F 为求等式 r 左边项,先来看 dt d (r mv ) dr mv r d (mv ) dt dt dt v ( r d ( v mv∵O为定点!)mv ) dt MO(mv) =0
第十二章
动量矩定理
z
§1 动量矩的概念
一、质点的动量矩
F r
o
B A m
y
回顾: 力对点的矩 Mo(F)= r×F 若 r=xi+yj+zk F=Fxi+Fyj+Fzk
则 i M o (F ) x Fx
j y Fy k z Fz
MO(F)
x
大小:│Mo(F) │ =2S△OAB
方向:按右手螺旋规则定。
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
• 动量矩的量刚为 ML2T-1 (kg· 2/S) m
二、质点系的动量矩
质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同 一点O的动量矩的矢量和(即质点系动量对点O 的主矩):
对定点
Lo M o (mi vi )
i 1
n
矢量
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一 轴z的动量矩的代数和,即
vC
C
Lo = M o(Mvc)
理论力学 动量矩定律

MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零,则质点对该轴的动量矩 保持不变,即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2)质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点(或某定轴)的主矩等于零时,质点系对 于该点(或该轴)的动量矩保持不变,这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外,质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义:
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积; 对于均质物体,仅与几何形状有关,与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同(密度不同)的均质刚 体,其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量,等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量,加上刚体质量与轴距平方的乘积,即
LC LC
这样刚体作平面运动时,对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2.质点系的动量矩定理
n个质点,由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3.动量矩守恒定理 1)质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零,则质点对该 点的动量矩保持不变,即
华中科技大学理论力学习题答案

量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。
求 物体C上升的加速度。
解:
取轮A为研究对象12
P1 g
r12
1
M1
Tr1
(1)
取轮B连同物体C为研究对象
d dt
(
1 2
P2 g
r2 2
2
P3 g
v r2
)T
'r2
P3
r2
(2)
补充运动学条件 r22 v, r22 a r11
化简(2)
得:P2
2 2g
F
左边可写成
r
d
(mv dt
)
d dt
(r
mv
)
dr dt
mv
而dr dt
mv
v
mv
0
,
r F mO (F ) ,
故:
d dt
(r
mv
)r
F
,
ddt[mO (mv )]mO (F )
质点对任一固定点的动量矩对时间的导数,等于作用在质 点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。
5
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影,得
,得
19
(2)由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
aCy
yC
mi yi mi
m1a1 m2a2 m m1 m2
(m1r1 m2r2 )
m m1 m2
FN (m m1 m2 )g (m1r1 m2r2 )
(3) 研究 m1
222111rvmrvmjloo????120cynammmgmmmf2121??????212211212211mmmrmrmmmmamammymyaiiiccy????????????????????111111rmamfgmt???111?rgmft??221121rmrmgmmmfn???????2由质心运动定理3研究1m?222222rmamgmft???222?rgmft??2m4研究21一动力学方程对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理有?zzjl?ezzmjdtd??22ezzezzmdtdjmj?????或刚体定轴转动微分方程解决两类问题
12动量矩定理wy

Lc
Jc
1 2
mR 2
1 2
mRvc
vc R
Jc
1 mR2 2
D
思考:对速度瞬心 D 的动量矩 ?
答案:
LD J D JC mR 2 或
LD LC mvC R JC mvC R
§ 12-3 动量矩定理
一、质点的动量矩定理
MO(mv)=r mv
将上式两端对时间求一阶导数,得:
dt
M z (F)
——质点系动量矩定理及其守恒
◆ 对某固定点O的动量矩定理:
dLO
dt
mO F e
质点系内力不能改变质点系的动量矩, 只有外力才是系统动量矩改变的原因。
即:质点系对某固定点O 的动量矩Lo 对时间的导数,等于作用于该 质点系的所有外力对于同一点之矩的矢量和(即外力系对O 点的主 矩)。
直杆OA和质量为 m 半径为 R的 均质园盘 A在 A点刚接 , 如图所 示.求系统对垂直于图面且过 O 点的轴的转动惯量。
O A
R
解:
JO = JOA + J盘
J OA
1 3
ml 2
O
J 盘 J A m (OA)2
1 mR2 m (OA)2
2
A
1 mR2 ml 2
R
2
JO
4 3
ml2
LO M BvB R M AvA R 0
B
vB vA
VA
又因为二人在同一高度上,从静止开始向上爬,
MAg
所以二人同时到达顶端。
VB MBg
——应用举例 例七 已知:水平匀质圆台重G ,半径为R ,无摩擦地绕通 过其中心的铅直轴OZ 转动。重为P 的人以不变的相对速度
理论力学第12章-动量矩定理

z
M ,底圆半径为 R ,高为 h 。
r
h z dz
解:把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片,该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度,r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知: r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为:
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 :
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解:小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 :
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ,G 1 和 G 2 外,尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ,轨道对车的约束力FN 。其中G 1 , FO x ,Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ,
(12-10)
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动,某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ,
其质量为 m i ,转动半径为 r i ,动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为:
LO MO mv r mv (12-8)
质点系对各坐标轴动量矩
动量矩定理

dLO (e) (e) mO ( Fi ) M O dt
一质点系对固定点的动量矩定理
(e) (e) (e) dLx ( e ) dL y ( e ) dL z (e) m x ( Fi ) M x , m y ( Fi ) M y , mz ( Fi ) M z dt dt dt
解:研究质点系----鼓轮与重物
M
m1g
v r
系统对O轴的动量矩:
O
Fox
v
Foy m2g
JO LO J O m2vr m2r v r
2008-7-16
24
由动量矩定理
dLo dt
M O
m1g Fox v Foy
e mo (Fi )
代入数据得:
35
§12-5
质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程
一.质点系动量矩
LO rC mvC LC r
( LC LC r )
二.质点系相对质心的动量矩定理
dLC r (e) (e) mC ( Fi ) M C dt
2008-7-16
36
三.刚体平面运动微分方程
maC F , JC mC (F )
2008-7-16 21
质点系动量矩守恒定理
质点系对于某点的动量矩守恒
2008-7-16 22
2008-7-16
23
例-2示卷扬机鼓轮质量为m1,半径为r,可绕过鼓 轮中心O的 水平轴转动。鼓轮上绕一绳,绳的一端 悬挂一质量为m2的重物。 鼓轮视为匀质,并令其对O轴的转动惯量为JO。今在鼓轮上作 用一不变力 矩M,试求重物上升的加速度。
2008-7-16 31
第十三章动量矩定理

M (e) O2
mO2 (F (e) )
, LO2
1 2
P2 g
r22
w2
P3 g
vr2
d dt
(1 2
P2 g
r22
w2
P3 g
vr2 )
T 'r2
P3
r2
(2)
③运动学补充方程:
r1e1 r2e2 (3)
v r2w2, a r2e2 (4)
化简(2)
得:P2
2P3 2g
⒊ 质点的动量矩守恒情况
若 mO(F ) 0 mz (F ) 0则 mO (mv ) 常矢量 mz (mv) 常量
[例2] 单摆 已知m,l,t =0时= 0,从静止
开始释放。 求单摆的运动规律。
解:研究小球,将小球视为质点。受力如图示。
mO (F )mO (T )mO (mg)mglsin
a
T
'P3
化简(1) 得:
P1 a M1 T
2g
r1
a 2(M1 / r1 P3) g P1 P2 2P3
§12-2 动量矩
质点 动量定理: 质点系 动量的改变—外力(外力系主矢)
质心运动定理:质心的运动—外力(外力系主矢)
若当质心为固定轴上一点时,vC=0,则其动量恒等于零, 质心无运动,可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了 质点和质点系相对于某固定点(固定轴)的动量矩的改变与外 力对同一点(轴)之矩两者之间的关系。 一.质点的动量矩
l
代入初始条件 (t 0, 0,0 0)
则运动方程
0 cos
质点系的动量定理

t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得:v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理,建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系,并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内,质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
第十二章 动量矩定理

2 mo mv ml l ml
O
0
mo T o
l
T
C
mo F mglsin
v
mg
注意:在计算动量矩与力矩时,符号规定应一致(在 本题中规定逆时针转向为正)。 根据动量矩定理,有
kg m 2 s
二、质点系动量矩 1、对点的动量矩:
LO M O (mi vi )
i 1
n
2、对轴的动量矩(即上式在各轴上的投影):
Lz M z (mi vi )
3、刚体的动量矩 (1)平移刚体:刚体上任意点的速度均与其质心速度 相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。 对点的:
dx 2 m glsin m l dt
即
g sin 并令 l
2 n
g sin 0 l
——(1)
则(1)式化为
0
2 n
解此微分方程,并将运动初始条件带入,即当t=0时
0
0 0
0 cosnt
质点系对固定点的动量矩定理为:
d (i) (e) M O(mi vi ) M O(Fi ) M O(Fi ) dt
其中: M O(Fi (i) ) 0
d d d LO M O(mi vi ) M O(mi vi ) dt dt dt
e d LO M O Fi dt
O
J O J O1 J O 2
l
mg
C
1 2 1 2 2 ml mR ml R 3 2
质心动量矩

LO (rC ri) mivi
rC mivi ri mivi
mi vi mvC LC ri mivi
LO LC rC mvC
•质系对任意一点的动量矩,等于 质系对质心的动量矩与将质系的动量集中于质心对于点动量矩的矢量和。
LO LC rC mvC
求导
dLO dt
dLC dt
drC dt
mvC
rC
m
dvC dt
dLC dt
rC maC
另外
M
(e O
)
ri Fi
(rC
ri) Fi
rC Fi ri Fi
其中 Fi R(e) 为外力系的主矢量
ri Fi
M (e) C
为外力系对质心C的主矩
2
X
A
l 2
cos
d dd d
dt d dt
d 3g sind
2l
d
d 3g sind
0
0 2l
3g sin
2l
2 3g (1 cos )
l
空中时,重力过质心,对质心的力矩为零,质系对质心的动量矩守恒。
§13-6 刚体平面运动微分方程 •刚体的平面运动可简化为具有相同质量的平面图形在固定平面内的运动,
刚体的平面运动可分解为跟随质心的平动和相对质心的转动。 •刚体在相对运动中对质心的动量矩为
LCr ( mi ri2 ) J C
mxC X
m
2 C
M
Fr
式中M与 均以顺时针转向为正。
aCy 0 a aCx
aC r
aC
Mr
m(
2 C
r2)
欲使圆轮只滚动而不滑动,必须满足,
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r F T
r mg
C
A
α
r aC
x
第十二章 动量矩定理
例12-14 12-
重物A质量为 系在绳子上, 重物 质量为m ,系在绳子上,绳子跨过不 质量为 计质量的固定滑轮D,并绕在鼓轮B上 如图所示。 计质量的固定滑轮 ,并绕在鼓轮 上,如图所示。由于 重物下降,带动了轮C,使它沿水平轨道只滚不滑。 重物下降,带动了轮 ,使它沿水平轨道只滚不滑。设鼓 轮半径为r, 的半径为R,两者固连在一起, 轮半径为 ,轮C的半径为 ,两者固连在一起,总质量为 的半径为 m2,对于其水平轴 的回转半径为 ρ 。 对于其水平轴O的回转半径为
求:下降高度h时,质心的速度、加速度以及绳索的拉力。 下降高度 时 质心的速度、加速度以及绳索的拉力。
B h C A
§12-6 刚体的平面运动微分方程 解: 以圆柱体为研究对象。 以圆柱体为研究对象。
r r 受力分析: g 受力分析:m , F T 运动分析: r 运动分析: a , α C
列写平面运动微分方程, 列写平面运动微分方程,
列写平面运动微分方程, 列写平面运动微分方程,
( e)
r mg 1
r aA
r F T2
α
C B r
m Cx =ΣF , m aO = F − F ② a x 2 T2 s r r( e) F m ρ2 ⋅α = F ⋅ R+ F ⋅ r ③ N JOα =ΣMO(F ), 2 s T2 a T1 T2 s 未知量: 未知量: O, F , F , F ,α, aA :6个,方程 个, 个 方程3个
( e)
h B
r F T
r mg
C
A
m Cx =ΣF , m C = mg − F ① a a x T r( e) 1 JCα =ΣMC(F ), mR2 ⋅α = F ⋅ R ② T
补充方程: vC = R ⇒aC = R ③ 补充方程: ω α 解得: 解得: aC = 2 g, F = 1 m g T 3 3
第十二章 动量矩定理
第十二章 动量矩定理
(之三) 之三)
§12-5 刚体平面运动微分方程 12-
第十二章 动量矩定理 1. 质点系相对于质心的动量矩定理
r r r r( e) r d( JC ⋅ ω) dL C JC ⋅ α = = = ∑MC (F ) i dt dt
2. 刚体的平面运动微分方程
M r
2 C 2
m ρ +r
r
) +ρ ) , F =m , a
2 2 C C
,
F =m g N
纯滚动的条件: 纯滚动的条件: F ≤ fs F N
2 r2 + ρC M ≤ fsm g r
§12-6 刚体的平面运动微分方程
例12-12 12均质圆轮的质量为m,半径为 ,沿水平面只滚不滑, 均质圆轮的质量为 ,半径为R,沿水平面只滚不滑,如 r 在圆轮面内作用一水平力 F 。 问:力作用于什么位置能使地面的摩擦力等于零? 力作用于什么位置能使地面的摩擦力等于零? r 同向?反向? 什么情况下地面摩擦力能与力 F 同向?反向?
r (e) JCα = ∑MC (F ) i r (e) r m C = ∑F a i
或
2r r ( e) dr C i m 2 = ∑F dt r (e) d2ϕ J = ∑MC (F ) C i 2 dt
§12-6 刚体的平面运动微分方程
应用时一般用投影式: 应用时一般用投影式:
C
r F
P
§12-6 刚体的平面运动微分方程
r r 作用线到质心的距离为y, 同向。 假定 作用线到质心的距离为 ,摩擦力与 F 同向。 解: F 受力分析和运动分析如图所示。 受力分析和运动分析如图所示。 y
列写平面运动微分方程, 列写平面运动微分方程,
m Cx =ΣF , a x
( e)
m C = F +F a s r( e) JCα =ΣMC (F ),
§12-6 刚体的平面运动微分方程
例12-11 12-
半径为r,质量为m 的均质圆轮沿水平直线 半径为 ,质量为 滚动, 滚动,如图所示。设轮的惯性半径为 ρC,作用于轮的力 偶矩为M。 轮心的加速度。 偶矩为 。求: 轮心的加速度。 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f,问力偶 必须 如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为 ,问力偶M必须 符合什么条件不致使圆轮滑动? 符合什么条件不致使圆轮滑动
m Cx = ∑F( e) a x ( e) a m Cy = ∑F y r( e) JCα = ∑MC (F ) i
m C = ∑F( e) at t ( e) n a m C = ∑F n r (e) JCα = ∑MC (F ) i
—— 刚体平面运动微分方程
α
r aC
x
2
§12-6 刚体的平面运动微分方程 解:
2 1 aC = g, F = m g T 3 3
h B
vC = ?
dvC dvC ds aC = = dt dt ds dt dvC 2 = vC = g ds 3 vC 2 h ∴ ∫ vCdvC = g∫ ds 0 3 0
2 ∴ vC = 3gh 3
补充方程: 补充方程:
①
y
C
1 2 m ⋅α = F ⋅ y − F ⋅ R R s 2
③
②
r F r x aC r mg r F s r F N
α
aC = R α
解得: 解得: F = 2Fy − FR s
3R
§12-6 刚体的平面运动微分方程 [讨论] 讨论]
2Fy − FR F= s 3R R (1)当 y = 时, ) 2 摩擦力 F = 0 。 s R (2)当 y > 时, F > 0, ) s 2 r r 摩擦力 F 与 F同向 。 s
C
的加速度。 求:重物A的加速度。 重物 的加速度
B r O R
D
A
第十二章 动量矩定理
重物 解: (1) 重物A:
maA = mg − F ① 1 1 T1
A
r F T1
(2) BC固连体 固连体: 固连体
r r r r 受力分析: 受力分析: 2 g, F , F , F m T2 s N r 运动分析: 运动分析:aO, α
个补充方程。 故需3个补充方程。 个补充方程
rO mg 2
R
r aO
r F s
第十二章 动量矩定理
补充方程 : 只滚不滑 解:补充方程1:轮C只滚不滑 补充方程2: 补充方程 :
⇒aO = R ④ α
r mg 1
C
r F T1
A
绳: A = aB = at (轮B ) = ( R+r) α ⑤ a BP 补充方程3: 忽略轮D的质量 补充方程 : 忽略轮 的质量 解得: 解得:
y
y
C
r F r x aC r mg r F s r F N
α
r r R (3)当 y < 时, s < 0, 摩擦力 F 与 F反向 。 ) F s 2
§12-6 刚体的平面运动微分方程
例12-13 12-
如图所示,均质圆柱体的半径为 , 如图所示,均质圆柱体的半径为R,质量 在其中部绕有细绳;绳的上端B固定不动 固定不动, 为m ,在其中部绕有细绳;绳的上端 固定不动,当 AB铅垂时将圆柱体由静止释放。 铅垂时将圆柱体由静止释放。 铅垂时将圆柱体由静止释放
M
解:
e m Cy =ΣF( ) , 0 = F −mg a N y r (e) 2 JCα =ΣMC (F ), mρCα = M − Fr i
Hale Waihona Puke m Cx =ΣF( ) , a x
e
m C =F a
其中, 其中, aC = rα 解得: 解得:
aC =
( F( r M=
即
r aA
r F T2
⇒F = F ⑥ T1 T2
aA = m ( R+ r) + m ( ρ2 + R2 ) 1 2
2
B r
mg ( R+ r) 1
2
rO mg 2
P
R
r aO
r F s
D
请同学们思考: 请同学们思考:
A
r F N
若固定滑轮D的质量不可忽略,那么 若固定滑轮 的质量不可忽略,那么D 的质量不可忽略 两端绳索的拉力是否相等?如何求? 两端绳索的拉力是否相等?如何求?
第十二章 动量矩定理
作 业
P:161 习题 12 — 9,10, 13 ,