矩阵论第八讲
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矩阵论矩阵论是线性代数的一个重要分支，它研究的是矩阵的性质、运算和应用。
在现代科学和工程领域中，矩阵论被广泛应用于各种数学模型的建立、数据处理和优化问题的求解等。
一、矩阵的定义与性质矩阵是由数个数值排列成矩形形状的数组。
在矩阵论中，通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
一个矩阵由m行n列的数值组成，可以表示为A = [aij]，其中i表示行的编号，j表示列的编号，aij表示矩阵A中第i行第j列的元素。
在矩阵论中，还有一些基本的运算符号和性质。
如矩阵的转置、加法、乘法等。
矩阵转置是指将矩阵的行列互换得到的新矩阵。
矩阵加法是指将两个具有相同维数的矩阵对应元素相加得到新矩阵。
矩阵乘法是指对矩阵的每个元素进行乘积运算，最终得到的新矩阵的元素是原矩阵对应行与对应列的乘积之和。
矩阵还有一些重要的性质。
如矩阵的对称性、零矩阵、单位矩阵等。
对称矩阵是指元素关于主对角线对称的矩阵，即a[i][j] = a[j][i]。
零矩阵是每个元素都为0的矩阵。
单位矩阵是指主对角线上元素都为1，其它元素都为0的矩阵。
单位矩阵在矩阵乘法运算中起到类似于数1的作用。
二、矩阵的运算与法则1. 矩阵的转置法则：(AB)T = BTAT。
即两个矩阵的乘积的转置等于这两个矩阵分别转置后的乘积。
这个法则在矩阵运算中经常被使用，可以简化复杂矩阵乘法的计算。
2. 矩阵的加法法则：矩阵加法满足交换律和结合律。
即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
这些法则使得矩阵的加法运算可以像普通的数的加法一样直观和易于计算。
3. 矩阵的乘法法则：矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。
即(AB)C = A(BC)，但一般来说，AB ≠ BA。
这是因为矩阵乘法涉及到对矩阵的行和列进行运算，行和列的次序不同会导致运算结果的差异。
4. 零矩阵的性质：对于任意矩阵A，都有A + 0 = A，0A = 0。
即任何矩阵与零矩阵相加或相乘都不改变原矩阵。
研究生矩阵论
研究生矩阵论矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。
研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。
本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。
矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。
矩阵的行和列分别代表其维度。
在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。
矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。
这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。
矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。
逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。
矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。
矩阵的秩具有一些重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。
矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。
对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。
特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。
矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。
对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。
矩阵论第8章
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广. 1920 年穆尔（Moore）首先 提出了广义逆矩阵的概念， 但其后的 30 年未引起人们的重视． 直 到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩 阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一 个新的时期，其理论和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一 个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、 系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用． 本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ； A A{1,3} A{1} ； A A{1,4} A{1} ．
1 0 1 0 0 1 0 0 例 8.1.1 设 A 1 0 ， B 0 1 0 0 0 1 ，C ，由于 1 0 ABA A ， ACA A ， 所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
但应用较多的是以下 5 类： A{1} ， A{1, 2} ， A{1, 3} ， A{1, 4} ， A{1, 2, 3, 4} ． 下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4} 是唯一确定的，其他各类广义 逆矩阵都不唯一.
定义 8.1.2 设 A C mn 为任意复数矩阵，则 （1）满足方程（8.1.1）的广义逆矩阵类记为 A{1} ，其中任意一 个确定的广义逆，称为减号逆，记为 A ； （2）满足方程（8.1.1）与（8.1.2）的广义逆矩阵类记为 A{1, 2} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为 Ar ； （3）满足方程（8.1.1）与（8.1.3）的广义逆矩阵类记为 A{1, 3} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为 Am ； （4）满足方程（8.1.1）与（8.1.4）的广义逆矩阵类记为 A{1, 4} ， 其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为 Al ； （5） 满足全部 4 个 M-P 方程的广义逆矩阵类记为 A{1, 2, 3, 4} ， 这类广义逆对给定的 A 来说只有唯一的一个广义逆，称为加号逆， 或穆尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
矩阵论8稿第6章
( (
( −1 ⋅ X Y HY O
)
XHX = H Y Y ⋅XH
( (
) )
XH −1 YH
−1
XH H =X⋅ X X H Y
(
)
−1
例3
1 0 向量空间 R 中： α = 2 , β = 1 , L = L(α , β ) ，求 PL ． 0 1 1 0 , X T X = 5 2 , X T X X = 2 1 2 2 0 1
Y)
−1
−1
= ( XC
O ⋅ (X D −1
= (X
O)⋅ (X
Y)
−1
四、正交投影变换
矩阵论 8 稿（张凯院）
第六章
广义逆矩阵
6-4
欧氏空间 C n 中，子空间 L 给定，取 M = L⊥ , 则 C n = L ⊕ M ． 正交投影变换 TL = TL , M ；正交投影矩阵 PL = PL , M ． Th2 证 方阵 P = PL ⇔ P 2 = P , P H = P . 必要性．已知 P = PL : Th1 ⇒ P 2 = P ∀x1 ∈ C n ⇒ x1 = y1 + z 1 , y1 = Px1 ∈ L, z 1 ∈ L⊥ ∀x 2 ∈ C n ⇒ x 2 = y 2 + z 2 , y 2 = Px 2 ∈ L, z 2 ∈ L⊥
因为投影变换 TR ( P ), N ( P ) 满足
TR ( P ), N ( P ) ( x ) = y ⇒ PR ( P ), N ( P ) x = y ( ∀x ∈ C n )
所以
P x = PR ( P ), N ( P ) x ( ∀x ∈ C n ) ⇒ P = PR ( P ), N ( P )
矩阵论-第八讲
D k ( ) , k 2,3, , n, 称为A( )的不变因式。 Dk 1 ( ) 把所有次数大于零的不变因式分解为互不相同的一次因式的幂的乘积， 这些一次因式的幂称为初级因子。
设n阶矩阵A的全部初级因子为： ( 1)k1 , ( 2)k 2 ,, ( s )k s 则每个初级因子( i )k i 对应一个约当块矩阵： i 0 Ji 0 0 0 1 0 i 1 0 i 0 0 0 0 i 1 0 , 或 J i 0 0 1 0 i 0 0 i 0 1 i 0 0 1 0 0 0 i
第八讲
矩阵的相似对角形 矩阵的约当标准形
一、矩阵的相似对角形 定理：设A是复数域C上的n×n矩阵，则A与对角 形矩阵相似的充要条件是，A有n个线性无关的特 征向量。 定理：若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对 角形矩阵相似 。
例： 1 0 （ 1 ） 0 2 2 0 3 1 2 3 （ 2 ） 3 2 2 1 2 2 2 0 2 （ 3 ） 1 0 -1 0 -1 2 4 4
二、矩阵的约当标准形
定义：n阶矩阵A的特征矩阵A( ) I A中所有非零的 k阶子式的首项（最高次项）系数为1的最大公因式 Dk ( )称为A( )的一个k阶行列式因子。 D n ( ) I A , Dk 1 ( )能整除 Dk ( )，k 2,3, , n 定义： d 1 ( ) D1 ( ), d k ( )
由约当块构成的分块对角矩阵： J1 J J2 J s 称为约当标准形矩阵。 定理：每个复数方阵A都相似于一个约当标准形矩阵。
例： 1 0 2 0 - 1 1 0 - 2 3 - 1 - 2 0 0 - 1 1 0
矩阵论课件
矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在， 且 AA1 A1 A I ， 故当然有
AA-1 A A A-1 AA-1 A ( AA-1 )* AA-1 ( A-1 A)* A-1 A
这四个对满秩方阵显然成立的等式构成了Penrose 广义逆的启示．
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矩阵论
第一节 和相容方程组求解问题相应的广 义逆矩阵 A
1.广义逆矩阵的定义及性质
设 线 性 方 程 组 AX b 是 相 容 的 ， 其 中
A C mn , X C n , b C m ，
则 AX b相容 b R( A) （矩阵 A 的象空间） ．
0 ，Ar 为 r 阶满 0
0 1 1 Ar 1 Q P I 0 Q r 0 0 1 Ar 令 C P , D I r 0 Q 1 0
1 1 C L D* ( DD* )1(C *C )1C * . 则 A - DR
3. 反射 g 逆
定义 设 A C mn ，若存在G C nm ，使得
（1） AGA A；
和
（2） GAG G ；
同时成立，则称G 为 A 的一个反射（或自反）广 义逆矩阵，简称为反射 g 逆，记作： Ar ，其全体 记作： A{1, 2}．
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（4） 若G1G2 A{1}，则G1 AG2 A{1, 2}；
（5） A{1, 2} A{1}；
R
L
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矩阵论PPT
• 有关正规阵的4个性质: 推论1: Hermite矩阵的特征值均为实数, 反Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数.
推论2: 实对称矩阵的特征值均为实数, 实反对称矩 阵的特征值为零或纯虚数.
推论3: 设 A C nn是正规矩阵, 是 A 的特征值, x 是对应 的特征向量, 则 是 AH 的特征值, AH 的 对应 的特征向量仍为 x .
第一章：矩阵的相似变换
§1. 1 特征值与特征向量
• 有关定义回顾: 特征值; 特征向量; 特征矩阵; 特征多项式.
• 矩阵的特征值与特征向量的性质. 定理1.1: 设 i 是 A C nn 的 ri 重特征值, 对应 i
有 si 个线性无关的特征向量, 则: 1 si r i 简言之: 矩阵特征值的几何重数小于或等于其代
定理 1.21: 设 A, B C nn.
(1) 若 A是酉矩阵, 则 A1也是酉矩阵. (2) 若 A, B是酉矩阵, 则 AB也是酉矩阵.
(3) 若 A是酉矩阵, 则 det A 1
(4) A是酉矩阵的充要条件是: 它的 n 个列向量是两
两正交的单位向量.
§1. 6 酉相似下的标准形
定理 1.22 (Schur): 设 A C nn , 则 A 可酉相似于上 三角矩阵 T , 即存在 n 阶酉矩阵 U , 使得
(研究生课程)
高等工程数学
教师: 李晓东
• 课程主要内容：
矩阵论：矩阵的相似变换；向量范数与矩阵范数 的理论及应用；矩阵分析及应用；矩阵的各种分 解方法等。 泛函分析：距离空间；赋范空间与Banach空间； 内积空间与Hilbert空间等。
• 主要参考书目：
1．徐仲等著，《矩阵论简明教程》，科学出 版 社，2007。 2．姚泽清等著，《应用泛函分析》，科学出版 社，2008。
矩阵论课件
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用x,y,z等表示；K是一个数域，其元素用k,l,m等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运∈时，有唯一的和算，即当x,y V+∈（封闭性），且加法运算x y V满足下列性质（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律 x y y x +=+；（3）零元律 存在零元素o ，使x +o x =；（4）负元律 对于任一元素x V ∈，存在一元素y V ∈，使x y +=o ，且称y 为x 的负元素，记为（x -）。
则有()x x +-= o 。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当x V ∈，k K ∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律()+=+；k x y kx ky（6）分配律()+=+；k l x kx lx（7）结合律()()=；k lx kl x=；（8）恒等律1x x [数域中一定有1]则称V为数域K上的线性空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K中的运算是具体的四则运算，而V中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
（3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性。
唯一性一般较显然，封闭性还需要证明，出现不封闭的情况：集合小、运算本身就不满足。
矩阵论简明教程第三版大纲
矩阵论简明教程第三版大纲第一章：引言- 矩阵的定义与基本概念- 矩阵的运算法则- 矩阵的特殊类型（零矩阵、单位矩阵、对角矩阵等）第二章：线性方程组与矩阵- 线性方程组的矩阵表示- 线性方程组的解的判定与求解- 齐次线性方程组与非齐次线性方程组- 线性相关与线性无关性质第三章：矩阵的初等变换与矩阵的秩- 矩阵的初等变换及其性质- 矩阵的行阶梯形与行简化阶梯形- 矩阵的秩及其性质- 矩阵的秩与线性方程组解的关系第四章：矩阵的逆与行列式- 矩阵的逆的定义与性质- 矩阵的可逆性判定- 矩阵的伴随矩阵与逆矩阵的性质- 矩阵的行列式的定义与性质- 矩阵的行列式的计算方法第五章：特征值与特征向量- 矩阵的特征值与特征向量的定义与性质- 矩阵的特征值与特征向量的计算方法- 矩阵的对角化与相似矩阵- 特征值与特征向量在几何中的应用第六章：正交变换与正交矩阵- 正交变换的定义与性质- 正交矩阵的性质与判定- 正交变换在几何中的应用- 施密特正交化与正交矩阵的计算方法第七章：复数与复矩阵- 复数与复数域- 复矩阵的定义与性质- 复矩阵的运算法则- 复矩阵的特殊类型（Hermitian矩阵、Unitary矩阵等）第八章：广义逆与线性方程组的最小二乘解- 广义逆的定义与性质- 广义逆与线性方程组的关系- 最小二乘解的定义与性质- 最小二乘解的计算方法第九章：矩阵函数与矩阵方程- 矩阵函数的定义与性质- 矩阵方程的解的存在性与唯一性- 矩阵方程的求解方法第十章：矩阵的分解与应用- 矩阵的LU分解与求解线性方程组- 矩阵的QR分解与最小二乘问题- 矩阵的奇异值分解与主成分分析- 矩阵的特征值分解与对角化。
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P 是数域， 若 n是正整数， 则系数属于 P 而未知元为 x 的
所有次数不超过 n 的多项式的集合，此集合连同零多 项式在内按通常多项式的加法及数与多项式的乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间全体记作： Pn [ x ].
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, t 可以由1 , 2 ,
, s 线性表
, t 线性相关.
推论1 若 1 , 2 ,
, t 可 以 由 1 , 2 ,
, s 线 性 表 示 ， 且
1 , 2 , , t 线性无关，则 t s .
推论2 若 1 , 2 ,
, t 与 1 , 2 , , s 等 价 ，且 均 线性 无
实数域 R 上的线性空间简称为实线性空间； 复数域 C 上的线性空间简称为复线性空间.
下面看几个线性空间的例子.
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矩阵论
例1 若 P= 是数域，V 是分量属于 P= 的 n元有序数组的集合
V a1 , a2 ,
, an | ai P，i 1, 2,
矩阵论
例4 所有定义在区间 a , b a t b 上的实值连续
函数全体构成的集合， 按照函数的加法及数与函数 的数量乘法，构成实数域 R 上的一个线性空间，记 作： R a , b .
例5 实（复）系数齐次线性方程组 Ax 0（ A R mn
或 C mn ； x R n 或 C n ；行向量和列向量不做区别） 的解空间 S 构成 R 或C 上的一个线性空间.
才成立，称 x1 , x2 ,
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k
ei
e
H j
E ei , ej , k
第45页/共188页
Remark
det E u,v, det In uvH det 1 vHu
1 vHu (由n Im AB m In BA 得到）
第46页/共188页
四、其他特殊矩阵
1幂零矩阵：Ak 0, k : 某正整数; 2幂等矩阵：A2 A; 3 实对称正定矩阵：
a a jn 1 j1 2 j2
anjn
j1 j2 jn
第13页/共188页
二、块矩阵的行列式
1、设A Cmm , B Cmn , C Cnm , D Cnn , 则
1 A
0A
BA
0 AD
0D 0D CD
2 A B 1mn C D 1mn B A
CD
AB
DC
3 A B m A B
minrank A, rank B
第30页/共188页
推论1
设ACmn , B Cnk ,且AB 0,则
rank A rank B n
第31页/共188页
§1.4 特殊矩阵
一、 几类基本的特殊矩阵
1、零矩阵，单位矩阵 2、对角矩阵
a11
D
a22
diag
a11
,
a22
,
ann
第50页/共188页
§2.1 矩阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量 1、定义 定义1
设ACnn ,若存在数 C和x Cn , x 0使得 Ax x
则称是A的特征值，x称为A属于的特征向量。
第51页/共188页
2、特征多项式 定义2
设ACnn , 称In A为A的特征矩阵，称detIn A 为A的特征多项式,称detIn A 0为A的特征方程。
矩阵论简明教程8
证毕
推论 对任意 x R n 且 x 与 e1 不共线，则初等反射阵 H In 2uuT 使得
Hx e1，其中 u
x e1 ， x
x e1 2
2
Hale Waihona Puke 初等反射阵的应用主要基于上述的定理和推论。推论的结果称为用
Householder 变换化 x 与 e1 同方向（共线）。
，
(1 ,2 )
(1 ,2 )
称T
cos sin
sin cos
为平面旋转阵,它是一个正交矩阵，推广到
R
n
上，即得
1．定义 称如下的 n 阶矩阵
1
1
cos
sin
p
1
Tpq
=
1
sin
cos
又取 c
12
2 2
，s
12
2 2
2 3
12
3
2 2
2 3
，构造T13 使
106
T13 (T12 x) = (
12
2 2
2 3
,0,0, 4 ,, n )T
依次进行下去，最后得
n
T1n T13T12 x = (
2 k
,0,,0)
T
=
x
2 e1
In
O 2uuT
=
Ir O
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，或者
。
注：上述收敛性与范数的选取无关，且等
价于按分量（元素）收敛。
性质：
1若
，则对任何向量范数 ，
有界。
若
，则对任何矩阵范数 ，
有界。
2若
，
，
，
，则
。
若
，
，
，
，则
。
3若
，
，则
。
4若
且
存在，则
。
5若
，且
所用矩阵范数与向量范数相容，则
证明 1、2 是线性运算关于范数连续的体
现。3 是矩阵乘法运算对范数连续的结果（矩
1821‐29
1830‐39
1840‐49 1850‐59
42 年大学 毕 业 ,42‐45 研究数 学,46‐49 学 法律
49-63 律 师和研 究数学, 引进矩 阵的基 本概念 与运算
1860‐69 1870‐79 863 年 被任为 剑桥大 学纯粹 数学教
188 0‐89
1890‐95
授，直至
P. 居 里 发 现居里点 和居里定 律; 伦琴发现 X 射线;
雅 克 比 提 球自转;
出求实对 爱晖条约
称矩阵特 俄占我国
征 值 的 雅 领土 60 多
可比方法； 万 平 方 公
里;
外尔斯 特拉斯 在柏林 讲演中 给出连 续但处 处不可 微函数 的例子; 美国内 战
普法战 争； 挪威的 李发现 李群，并 用以讨 论微分 方程的 求积问 题
庞加莱 关于微 分方程 确定的 曲线的 论文，创 立微分 方程定 性理 论
阵 范 数 相 容 性 ）。 4
。5 矩阵范数与向量范数相
容的结果。
命题 1 设矩阵范数 是与向量范数
相容,则
。
证明
。
定理 1
，对任意 ,存在算子
范数 ,使得
.
证明 取可逆阵 将 化成若当标准型
令
,则
对
,定义
பைடு நூலகம்
,
则可直接验证 是一个方阵范数，且
定理 2 设
(1)
；
在范数 ，使得
证明 (1) (2)
，则以下三条等价
逝世
契比雪夫 (1894), 陀思妥耶 夫斯基 ( 1881) 福楼拜 (1880)
皮科克著 《代数通 论》，首创 以演绎方 式建立代 数学，为 代数中更 抽象的思 想铺平了 道路； 英国宪章 运动
雅可比建 黎曼给出
立 了 行 列 了“黎曼积
式的系统 分”的定
理论；
义;
哈密顿发 傅科摆实
现四元数； 验，证明地
(2)
； (3) 存
。
，
所以
。
(2) (3) 由 定 理 1 立 得 。 (3) (1)
。
习题 p88，10，11，14，p127 ，2
Fun Note
凯莱（1821～1895）Cayley，Arthur 英国纯 粹数学的近代学派带头人。 凯莱最主要的贡献是与 J.J.西尔维斯特一起 ， 创立了代数型的理论，共同奠定了关于代数不 变量理论的基础。他是矩阵论的创立者。他对 几何学的统一研究也作了重要的贡献。凯莱在 劝说剑桥大学接受女学生中起了很大的作用。 他曾任剑桥哲学会、伦敦数学会、皇家天文学 会的会长。 凯莱是极丰产的数学家，在数学、理论力学、 天文学方面发表了近千篇论文，他的数学论文 几乎涉及纯粹数学的所有领域，收集在共有 14 卷的《凯莱数学论文集》中，并著有《椭圆函 数专论》一书。
第八讲
主要内容: 矩阵范数续，向量和矩阵的极限
上有多个矩阵范数，有的矩阵范数
有一些特殊性质。
定理 4.2.1 设
，
均为酉矩阵，即
，则
(1)
即 Furobenius 范数在酉矩阵的作用下不变。
证明
。
定理 4.2.6 设
，则
均为 阶酉矩阵，则 证明 由定理 2.4.2 知道，
所以只要证明
(2)
即可。
首先，若
，则存在
使得
，从而
。
两边同时乘 得
，即
，所以
。同理可得
，
，则
。由
，故
从而
(3) 又由
得 (4)
由
得 (5)
将(3)，(4)，(5)结合起来就得(2)。
所以
。从而 。
/// 第五章 矩阵分析
5.1 向量和矩阵的极限
定义 1 设 则称向量列
设
，若 按范数 ，或者
，若
， 收敛到 ，记为
。 ，
则称矩阵列 按范数 收敛到 ，记为