二次根式考试题型汇总62639
二次根式考试题型汇总
二次根式考试题型汇总二次根式题型一：二次根式的定义例1、（1）求自然数n的值，使得18-n是整数。
2）当x≥-1时，求式子√(x+1)+√(1-x)的值。
题型二：二次根式有意义的条件例2、当x>-1时，二次根式√(x+1)有意义。
例3、已知x、y为实数，y=√(y^2+8y+16-3xy)，求y的值。
例4、已知y=√(x-3)+3-√(x+4)，求x的值使得有意义。
题型三：二次根式的性质与化简例5、已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：化简(1/(a+3))^2-(1/(b-23))^2.例6、计算(1/(x-1))-((1-x)/(x-1)(x+1))。
已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c^2d^2)/(ab+cd)^2.例7、化简求值：1）(a^2-a+b)/((c-a)^2+b+c)；2) 11/[(2-1)/(2+1)+(2-1-√2)/(2-1+√2)]；3）若x<y<z，则x^2-2xy+y^2+z^2-2yz+xz；4）[(x-1)^2+4-(x+1)^2]/(x^2-1)；5）化简(a<0)得-1/(a)。
6）当a<0，b<0时，-a+2ab-b可变形为(a-b)^2.题型四：最简二次根式例8、下列式子中，属于最简二次根式的是9，而1/√3和√(9+x^2)都不是最简二次根式。
题型五：二次根式的乘除法例9、已知m=(3/3-2)(3/3+2-1)，则有-5<m<-4.例10、计算：1）(5-3+2)(5-3-2)；2) (a+3b)/(a+b)-(a-b)/(a+2b)；3）(a^2/n-m^2/mn+n)/(a^2b^2)；4）(a+b)/(ab+b-a)/(ab-a).a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013答案解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)2013解析：a≠b)．(5) a5+2a3b2+ab4 (6) 3/2 4/53/2 a/b (7) a/b ab (a,b>2012) (8) (23-3)/(23+3)20131.求解x的值：$$\frac{x+a}{x^2+a^2}+\frac{2x-x^2+a^2}{x^2-a^2}+\frac{1}{x^2+a^2/2}$$2.若x，y为实数，且$y=1-4x+4x^{-1}+x^{-2}$，求$\frac{x+y}{y+x^2}-2\frac{y}{yx^2}$的值。
二次根式常见题型总结
va +2 题型2最简二次根式、同类二次根式考查形式选择题或填空题4. 下列根式中是最简二次根式的是l2L(A )J 2(B )朽 35. 下列根式中,不能与合并的是ij1 二次根式常见题型总结题型1二次根式的概念(后面附答案)考查形式选择题或填空题1. 如果：二1是二次根式，那么x,y 应满足的条件是【】y(A )x ±l,y ±0(B )y (x -1,三0x €1(C )——±0(D )x ±1,y >0y2. 若代数式丄+<!有意义，则实数x 的取值范围是【】x -1(A )x …1(B )x ±0(C )x ...0(D )x ±0且x (1)3. 要使式子「「有意义，则a 的取值范围为. 【】 (C )3(D )<12【】(C )(D )<123 6.若最简二次根式3b -a +2与J 4b -a 是同类二次根式，则a =,b =.题型3二次根式的化简求值考查形式选择题、填空题、解答题i1n7.若y=r-2+Y2-x-6，则xy=8.'若y=Qx—3+&3—x+2,贝Ux y=.9.若彳x2+x€0侧x的取值范围是.10.若、：m一3+(n+1)2€0，求(m+2n)2020的值.11.先化简，再求值:仝二-_^，其中x€1+2勇,y€1…2訂・x-yx-y12.已知函数y=(m-3)x+n-2(m,n为常数)的图象如图所示,化简: |m-3一、：n2-4n+4.题型4二次根式的计算考查形式选择题、填空题、计算题13.下列等式不成立的是(A)3、辽…2运€6、.：6(B)J8一迈€4 (C)v8-迈€迈2_(2A&-1V3+1_\3 14.计算:15.计算:+2-J 5+(-1)2019-J_x V45;3(2)、18+ (.2-1)-、9+题型5探究活动考查形式解答题3|_T2 16.在进行二次根式的化简时,我们有时会遇到形如丄,厶的式子，其实J5\3<3+1我们还可以将其进一步化简:33x 叮53>/5二二;（口）■v'5v'5x -55vl 仝心）€2；3;(—,T⑴…近-2右+ 1） 込』=v3-1・（□）22…3-1 <3€1…<3+1①参照（III）式化简②参照（W）式化简以上这种化简的步骤叫做分母有理化.芋1还可以用以下方法化简:1）请用不同的方法化简(2)化简:丿€1..€.1€•••+・3+1v5€\：3V7€x5\：2n+1€\2n—1题型6定义新运算17.对于任意的正数m,n定义运算※为:观※n…]丫"-"，计算（3探2）<[xl m€Jn,m<n竹※12）的结果为.<3+1…m—3-\；(n-2)2二次根式常见题型总结答案1.C2.D3.a>—24.B5.C6.1,17.—38.99.x<010.解:°・°Y m一3+(n+1)2 0<m一3±0,(n+1)2±0m—3...0,n+1 0m…3,n…—1・：(m+2n)2020…(3—2)2020…1.11.解：旦—旦……,x…y)(x-y)…x+yx—yx—yx—y当x…1+2打,y…1—2<3时原式…1+2^3+1—2心3…2.12.解:由函数的图象可知:m—3>0,n—2<0m>3,n<2…m—3—|n—2…m—3—(2—n)…m+n—5. 13.BI1114.解：(1)3J12—2」—+6語—型+4石L2爲…I3丿解:(2)I、运—1+1)—(—2爲)…12—1—(—413+12)…11—13+4打…—2+4、.3.+12-+(—1)2019—1x<45一2•=1+v5—2—1€解:（2）<18+v9+<1)-1 <2丿=3<2+3—2•、辽—3+2=、辽+2.2=J5—^3亠上+覇）G-訂）=込—再<5+v'3 <5+<3（2）十.（过程略）。
二次根式测试题及答案
二次根式测试题及答案
一、选择题
1. 以下哪个选项不是二次根式？
A. √3
B. √x
C. √x^2
D. √x^3
答案：D
2. 计算√(4×9)的结果是什么？
A. 6
B. 12
C. √36
D. √4×√9
答案：B
3. 以下哪个表达式等于√(2x)？
A. √2x
B. √x×√2
C. √2×√x
D. √2+√x
答案：C
二、填空题
1. 计算√(25)的结果是______。
答案：5
2. 如果√(a+b) = √a + √b，那么a和b的值分别是______。
答案：0
三、解答题
1. 化简下列二次根式：
√(32) = ______。
答案：4√2
2. 解方程：
√x + 3 = 7。
答案：x = 16
四、证明题
1. 证明√2是一个无理数。
答案：略
五、应用题
1. 一个正方形的面积是50平方厘米，求这个正方形的边长。
答案：边长为√50厘米，即5√2厘米。
六、综合题
1. 一个直角三角形的两条直角边分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
答案：斜边长度为5厘米，根据勾股定理，√(3^2 + 4^2) = √(9
+ 16) = √25 = 5。
七、附加题
1. 如果一个数的平方根等于这个数本身，这个数是多少？
答案：0或1（因为√0 = 0，√1 = 1）
请注意，以上测试题及答案仅供参考，具体题目和答案应根据实际教学大纲和教材内容进行调整。
二次根式测试题及答案
二次根式测试题及答案一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1、下列式子一定是二次根式的是（）A √xB √x²+1C √x² 1D √1 ／ x答案：B解析：二次根式的被开方数必须是非负数。
选项 A 中，当 x ＜ 0 时，√x 无意义；选项 C 中，当－1 ＜ x ＜ 1 时，x² 1 ＜ 0 ，√x² 1 无意义；选项 D 中，当 x ＜ 0 时，√1 ／ x 无意义。
而对于选项 B，因为x² ≥ 0 ，所以 x²＋1 ≥ 1 ，√x² ＋ 1 一定有意义。
2、若√（2 a)²＝ a 2 ，则 a 的取值范围是（）A a ＜ 2B a ＞2C a ≤ 2D a ≥ 2答案：D解析：因为√（2 a)²＝｜2 a| ，而√（2 a)²＝ a 2 ，所以｜2 a|＝ a 2 ，即2 a ≤ 0 ，解得a ≥ 2 。
3、下列计算正确的是（）A √2 ＋√3 ＝√5B 2 ＋√2 ＝2√2C 3√2 √2 ＝3D √2 × √3 ＝√6答案：D解析：选项 A，√2 与√3 不是同类二次根式，不能合并；选项 B，2 与√2 不是同类二次根式，不能合并；选项 C，3√2 √2 ＝2√2 。
4、化简√（ 5)²的结果是（）A 5B 5C ± 5D 25答案：A解析：√（ 5)²＝｜ 5| ＝ 5 。
5、若√x 1 ＋√1 x ＝ 0 ，则 x 的值为（）A 0B 1C 1D 2答案：B解析：因为二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以 x 1 ≥ 0 且1 x ≥ 0 ，解得 x ＝ 1 。
6、下列二次根式中，最简二次根式是（）A √1 ／2B √02C √2D √20答案：C解析：选项 A，√1 ／ 2 ＝√2 ／ 2 ；选项 B，√02 ＝√1 ／ 5 ＝√5 ／ 5 ；选项 D，√20 ＝2√5 。
二次根式(31题)(解析版)
二次根式一、单选题【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意得，x －1≥0，解得x≥1．故选：D ．【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． ． ． ．． 【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0x 的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【详解】解：根据题意得，10x −≥，解得1x ≤，在数轴上表示如下：故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．【答案】D【分析】根据零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算进行计算即可求解．【详解】解：A. )1=，故该选项不正确，不符合题意；B. =C.=D.)26=−故选：D ．【点睛】本题考查了零指数幂，二次根式的加法以及二次根式的性质，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案．【详解】解：∵代数式有意义， ∴020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得0x ≥且2x ≠，故选：D.【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k ⋅)53−=∵22.5=6.25，23=9∴532<<,∴与k 最接近的整数为3，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．【答案】A【分析】把a b ==【详解】解：∵a b ==∴2=，故选：A ．【点睛】本题考查了求二次根式的值，掌握二次根式的乘方和乘除运算是解题的关键．【答案】B【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可．【详解】解：sin 45︒== 故选：B ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．【答案】B【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：m ===−∵<∴54−<−<−，即54m −<<−，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得000a b ab ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，0,0a b ∴≥≥， 故选：D ．【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．【答案】C【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可．【详解】解：A2BCD =不是同类二次根式，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件即可求解．【详解】解：∴40a −≥，解得：4a ≥，则a 的值可以是6 故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二、填空题【答案】4x ≥【详解】根据题意得：40x −≥，解得：4x ≥，故答案为：4x ≥．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义需被开方数大于等于0是解题的关键．【答案】5x ≥−且0x ≠/0x ≠且5x ≥−【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可．【详解】∵式子有意义， ∴50x +≥且0x ≠，∴5x ≥−且0x ≠，故答案为：5x ≥−且0x ≠．【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．【答案】1x >且2x ≠【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出10,20x x −>−≠，即可求解．【详解】解：依题意，10,20x x −>−≠∴1x >且2x ≠，故答案为：1x >且2x ≠．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【答案】3x ≥−【详解】解：由题意得，30x +≥，解得3x ≥−．故答案为：3x ≥−.【答案】6【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．6==．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．【答案】3【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算括号内的减法，然后计算二次根式的除法即可．【详解】解：3⎛=⎝⎭(==3=.故答案为：3．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．【答案】3x>【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件计算即可．【详解】∴3030x x−−≠≥，且，解得x3＞，故答案为：x3＞．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．【答案】88m要是完全平方数，据此求解即可【详解】解：∴8m要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即864m=8==，故答案为：8（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．【答案】故答案为：【答案】1=− 【分析】此题用平方差公式计算即可.【详解】22=−23=−1=− 故答案为：1=−.【答案】1 【分析】根据平方差公式，二次根式的性质及运算法则处理．【详解】解：22761=−=−=故答案为：1. 【点睛】本题考查平方差公式、二次根式性质及运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当30x −<【详解】解：当30x −<3x <，x 为正整数，x ∴可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．【答案】1x ≥−【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式求解即可．【详解】解：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1． 故答案为x≥﹣1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，比较简单．【答案】18【分析】根据二次根式的性质，等式两边平方，解方程即可．【详解】解：根据题意得，140x −≥，即14x ≥2，等式两边分别平方，144x −=移项，18x =，符合题意，故答案为：18．【点睛】本题主要考查二次根式与方程的综合，掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键．【答案】9x ≥【分析】根据二次根式有意义的条件得出90x −≥，即可求解．【详解】解：∵∴90x −≥，解得：9x ≥，故答案为：9x ≥．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【分析】根据二次根式的性质即可求解．【详解】解：2=5 故答案为：5．【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．三、解答题【答案】4【分析】先化简二次根式，绝对值，计算零次幂，再合并即可.【详解】解：()10220231+−−2113=++211+ 4=.【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，化简绝对值，零次幂的含义，掌握运算法则是解本题的关键.【答案】4 【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：2202301(1)3tan 30(3)2|2π−⎛⎫−++−−+ ⎪︒⎝⎭ 14312=−+++1412=−++4=．【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．【答案】6−【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．【详解】解：原式2293=−6=−．【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．【答案】【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．===【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．。
二次根式50道计算题
二次根式50道计算题一、基础题目1.计算 $ \sqrt{9} + \sqrt{16} $ 。
答案：$ \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 $ 。
2.计算 $ \sqrt{25} \times \sqrt{36} $ 。
答案：$ \sqrt{25} \times \sqrt{36} = 5 \times 6 = 30 $ 。
3.计算 $ 2\sqrt{49} - \sqrt{16} $ 。
答案：$ 2\sqrt{49} - \sqrt{16} = 2 \times 7 - 4 = 14 - 4 = 10 $ 。
4.计算 $ \sqrt{81} \div \sqrt{9} $ 。
答案：$ \sqrt{81} \div \sqrt{9} = 9 \div 3 = 3 $ 。
5.计算 $ (\sqrt{9} + \sqrt{4}) \times (\sqrt{16} -\sqrt{1}) $ 。
答案：$ (\sqrt{9} + \sqrt{4}) \times (\sqrt{16} -\sqrt{1}) = (3 + 2) \times (4 - 1) = 5 \times 3 = 15 $ 。
二、进阶题目6.计算 $ \sqrt{2} \times \sqrt{8} $ 。
答案：$ \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} = \sqrt{16} = 4 $ 。
7.计算 $ (\sqrt{20} + \sqrt{5})^2 $ 。
答案：$ (\sqrt{20} + \sqrt{5})^2 = (\sqrt{20})^2 +2 \times \sqrt{20} \times \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 20 +2\sqrt{100} + 5 = 20 + 20 + 5 = 45 $ 。
8.计算 $ \sqrt{49} \div \sqrt{98} $ 。
100道二次根式含答案 (2)
100道二次根式题目及答案第一部分：简单题（共50题）1. $\\sqrt{9}$答案：32. $\\sqrt{25}$答案：53. $\\sqrt{81}$答案：94. $\\sqrt{64}$答案：85. $\\sqrt{100}$答案：106. $\\sqrt{121}$答案：11答案：128. $\\sqrt{169}$ 答案：139. $\\sqrt{196}$ 答案：1410. $\\sqrt{225}$ 答案：1511. $\\sqrt{256}$ 答案：1612. $\\sqrt{289}$ 答案：1713. $\\sqrt{324}$ 答案：18答案：1915. $\\sqrt{400}$ 答案：2016. $\\sqrt{441}$ 答案：2117. $\\sqrt{484}$ 答案：2218. $\\sqrt{529}$ 答案：2319. $\\sqrt{576}$ 答案：2420. $\\sqrt{625}$ 答案：25答案：2622. $\\sqrt{729}$ 答案：2723. $\\sqrt{784}$ 答案：2824. $\\sqrt{841}$ 答案：2925. $\\sqrt{900}$ 答案：3026. $\\sqrt{961}$ 答案：3127. $\\sqrt{1024}$ 答案：32答案：3329. $\\sqrt{1156}$ 答案：3430. $\\sqrt{1225}$ 答案：3531. $\\sqrt{1296}$ 答案：3632. $\\sqrt{1369}$ 答案：3733. $\\sqrt{1444}$ 答案：3834. $\\sqrt{1521}$ 答案：39答案：4036. $\\sqrt{1681}$ 答案：4137. $\\sqrt{1764}$ 答案：4238. $\\sqrt{1849}$ 答案：4339. $\\sqrt{1936}$ 答案：4440. $\\sqrt{2025}$ 答案：4541. $\\sqrt{2116}$ 答案：46答案：4743. $\\sqrt{2304}$ 答案：4844. $\\sqrt{2401}$ 答案：4945. $\\sqrt{2500}$ 答案：5046. $\\sqrt{2601}$ 答案：5147. $\\sqrt{2704}$ 答案：5248. $\\sqrt{2809}$ 答案：53答案：5450. $\\sqrt{3025}$答案：55第二部分：中等题（共25题）51. $\\sqrt{10} + \\sqrt{2}$答案：$\\sqrt{10} + \\sqrt{2}$52. $\\sqrt{5} + \\sqrt{20}$答案：$\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}$53. $\\sqrt{15} + \\sqrt{12}$答案：$\\sqrt{15} + \\sqrt{12} = \\sqrt{15} + 2\\sqrt{3}$ 54. $\\sqrt{7} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{7} - \\sqrt{8}$55. $\\sqrt{9} - \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{9} - \\sqrt{6} = 3 - \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{26} + \\sqrt{14}$57. $\\sqrt{30} - \\sqrt{10}$答案：$\\sqrt{30} - \\sqrt{10}$58. $\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{10}$答案：$\\sqrt{5} \\cdot \\sqrt{10} = \\sqrt{50}$59. $\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2}$答案：$\\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{2} = 2\\sqrt{5}$60. $\\sqrt{18} \\cdot \\sqrt{3}$答案：$\\sqrt{18} \\cdot \\sqrt{3} = 3\\sqrt{6}$61. $\\sqrt{32} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{32} - \\sqrt{8} = 4\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$ 62. $\\sqrt{24} - \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{24} - \\sqrt{6} = 4\\sqrt{6} - \\sqrt{6} = 3\\sqrt{6}$答案：$(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})^2 = 2 + 2\\sqrt{2}\\sqrt{3} + 3 = 5 +2\\sqrt{6}$64. $(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2$答案：$(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 = 2 - 2\\sqrt{2}\\sqrt{3} + 3 = 5 - 2\\sqrt{6}$65. $(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})$答案：$(\\sqrt{2} + \\sqrt{3})(\\sqrt{2} - \\sqrt{3}) = 2 - 3 = -1$66. $(\\sqrt{5} + \\sqrt{6})(\\sqrt{5} - \\sqrt{6})$答案：$(\\sqrt{5} + \\sqrt{6})(\\sqrt{5} - \\sqrt{6}) = 5 - 6 = -1$67. $3\\sqrt{2}(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})$答案：$3\\sqrt{2}(\\sqrt{2} - \\sqrt{3}) = 3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{2} -3\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} = 6 - 3\\sqrt{6}$68. $(\\sqrt{2}\\sqrt{5})(\\sqrt{3}\\sqrt{6})$答案：$(\\sqrt{2}\\sqrt{5})(\\sqrt{3}\\sqrt{6}) = \\sqrt{2\\cdot 5} \\cdot \\sqrt{3\\cdot 6} = \\sqrt{10} \\cdot \\sqrt{18} = \\sqrt{180}$69. $\\frac{\\sqrt{8}}{\\sqrt{2}}$答案：$\\frac{\\sqrt{8}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{4} = 2$70. $\\frac{\\sqrt{15}}{\\sqrt{5}}$答案：$\\frac{\\sqrt{15}}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{3}$71. $\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{6}}$答案：$\\frac{\\sqrt{18}}{\\sqrt{6}} = \\sqrt{3}$72. $\\frac{\\sqrt{50}}{\\sqrt{2}}$答案：$\\frac{\\sqrt{50}}{\\sqrt{2}} = \\sqrt{25} = 5$73. $\\frac{\\sqrt{35}}{\\sqrt{5}}$答案：$\\frac{\\sqrt{35}}{\\sqrt{5}} = \\sqrt{7}$74. $\\frac{\\sqrt{40}}{\\sqrt{8}}$答案：$\\frac{\\sqrt{40}}{\\sqrt{8}} = \\sqrt{5}$75. $\\frac{\\sqrt{72}}{\\sqrt{18}}$答案：$\\frac{\\sqrt{72}}{\\sqrt{18}} = \\sqrt{4} = 2$第三部分：困难题（共25题）76. $\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} + \\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{2} \\cdot \\sqrt{3} + \\sqrt{6} = \\sqrt{6} + \\sqrt{6} = 2\\sqrt{6}$答案：$\\sqrt{7} \\cdot \\sqrt{11} - \\sqrt{77} = \\sqrt{7\\cdot11} - \\sqrt{77} = \\sqrt{77} - \\sqrt{77} = 0$78. $(\\sqrt{3} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{3} - \\sqrt{5})^2$答案：$(\\sqrt{3} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{3} - \\sqrt{5})^2 =4\\sqrt{3}\\sqrt{5} = 4\\sqrt{15}$79. $(\\sqrt{2} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{2} - \\sqrt{5})^2$答案：$(\\sqrt{2} + \\sqrt{5})^2 - (\\sqrt{2} - \\sqrt{5})^2 =4\\sqrt{2}\\sqrt{5} = 4\\sqrt{10}$80. $\\sqrt{2\\sqrt{2}}$答案：$\\sqrt{2\\sqrt{2}} = \\sqrt{\\sqrt{2^2}\\sqrt{2}} =\\sqrt{\\sqrt{4}\\sqrt{2}} = \\sqrt{2}\\sqrt{2} = 2$81. $\\sqrt{3\\sqrt{3}}$答案：$\\sqrt{3\\sqrt{3}} = \\sqrt{\\sqrt{3^2}\\sqrt{3}} =\\sqrt{\\sqrt{9}\\sqrt{3}} = \\sqrt{3}\\sqrt{3} = 3$82. $\\sqrt{5\\sqrt{5}}$答案：$\\sqrt{5\\sqrt{5}} = \\sqrt{\\sqrt{5^2}\\sqrt{5}} =\\sqrt{\\sqrt{25}\\sqrt{5}} = \\sqrt{5}\\sqrt{5} = 5$答案：$(\\sqrt{5} + \\sqrt{3})^2 + 2\\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\\sqrt{15} = 8 + 2\\sqrt{15}$84. $(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 + 2\\sqrt{6}$答案：$(\\sqrt{2} - \\sqrt{3})^2 + 2\\sqrt{6} = 2 - 2\\sqrt{2}\\sqrt{3} + 3 + 2\\sqrt{6} = 5 + 2\\sqrt{6}$85. $3\\sqrt{2} - \\sqrt{8}$答案：$3\\sqrt{2} - \\sqrt{8} = 3\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = \\sqrt{2}$86. $2\\sqrt{3} + \\sqrt{12}$答案：$2\\sqrt{3} + \\sqrt{12} = 2\\sqrt{3} + 2\\sqrt{3} = 4\\sqrt{3}$87. $\\sqrt{8} + \\sqrt{72}$答案：$\\sqrt{8} + \\sqrt{72} = 2\\sqrt{2} + 6\\sqrt{2} = 8\\sqrt{2}$88. $\\sqrt{5}\\sqrt{10} - \\sqrt{10}$答案：$\\sqrt{5}\\sqrt{10} - \\sqrt{10} = \\sqrt{5\\cdot10} - \\sqrt{10} = \\sqrt{50} - \\sqrt{10} = 5\\sqrt{2} - \\sqrt{10}$89. $\\sqrt{3}\\sqrt{6} + \\sqrt{18}$答案：$\\sqrt{3}\\sqrt{6} + \\sqrt{18} = \\sqrt{3\\cdot6} + \\sqrt{18} =\\sqrt{18} + \\sqrt{18} = 2\\sqrt{18} = 6\\sqrt{2}$90. $\\sqrt{16} - \\sqrt{32}$答案：$\\sqrt{16} - \\sqrt{32} = 4 - 4\\sqrt{2} = 4(1 - \\sqrt{2})$91. $\\sqrt{12} - \\sqrt{20} + \\sqrt{5}$答案：$\\sqrt{12} - \\sqrt{20} + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{3} - 2\\sqrt{5} + \\sqrt{5} = 2\\sqrt{3} - \\sqrt{5}$92. $\\sqrt{7}\\sqrt{35} - \\sqrt{7}$答案：$\\sqrt{7}\\sqrt{35} - \\sqrt{7} = \\sqrt{7\\cdot35} - \\sqrt{7} =\\sqrt{245} - \\sqrt{7}$93. $\\sqrt{50} + \\sqrt{200} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{50} + \\sqrt{200} - \\sqrt{8} = 5 + 10\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 5 + 8\\sqrt{2}$94. $5\\sqrt{2} - 2\\sqrt{18} + \\sqrt{32}$答案：$5\\sqrt{2} - 2\\sqrt{18} + \\sqrt{32} = 5\\sqrt{2} - 2\\cdot3\\sqrt{2} + 4\\sqrt{2} = 9\\sqrt{2}$95. $\\sqrt{72} - \\sqrt{18} + \\sqrt{32} - \\sqrt{8}$答案：$\\sqrt{72} - \\sqrt{18} + \\sqrt{32} - \\sqrt{8} = 6\\sqrt{2} -3\\sqrt{2} + 4\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$96. $\\sqrt{3}(\\sqrt{15} - \\sqrt{5})$答案：$\\sqrt{3}(\\sqrt{15} - \\sqrt{5}) = \\sqrt{3}\\sqrt{15} -\\sqrt{3}\\sqrt{5} = \\sqrt{45} - \\sqrt{15} = 3\\sqrt{5} - \\sqrt{15}$97. $\\sqrt{2}(\\sqrt{16} - \\sqrt{8})$答案：$\\sqrt{2}(\\sqrt{16} - \\sqrt{8}) = \\sqrt{2}\\cdot4\\sqrt{2} - \\sqrt{2}\\cdot2\\sqrt{2} = 8 - 4\\sqrt{2} = 4(2 - \\sqrt{2})$98. $\\sqrt{5}(\\sqrt{12} + \\sqrt{3})$答案：$\\sqrt{5}(\\sqrt{12} + \\sqrt{3}) = \\sqrt{5}\\cdot2\\sqrt{3} + \\sqrt{5}\\sqrt{3} = 2\\sqrt{15} + \\sqrt{15} = 3\\sqrt{15}$99. $\\sqrt{7}(\\sqrt{7} + \\sqrt{11})$答案：$\\sqrt{7}(\\sqrt{7} + \\sqrt{11}) = \\sqrt{7}\\cdot\\sqrt{7} + \\sqrt{7}\\sqrt{11} = 7 + \\sqrt{77}$100. $\\sqrt{8}(\\sqrt{6} - \\sqrt{2})$答案：$\\sqrt{8}(\\sqrt{6} - \\sqrt{2}) = \\sqrt{8}\\cdot2\\sqrt{2} - \\sqrt{8}\\cdot\\sqrt{2} = 4\\sqrt{2} - 2\\sqrt{2} = 2\\sqrt{2}$结束语本文共提供了100道二次根式题目及其答案。
二次根式混合运算125题(有答案)
二次根式混合运算125题（有答案）1、2、3、4、5、6、7、．8、10、；11、．12、；13、；14、．15、；16、．17、．18、19、20、；21、22、．23、24、25、26、；．27、28、；；29、；30、31、；（5）；32、33、；34、；35、36、3﹣9+337、÷（3×）38、39、40、；．41、42、43、44、45、；46、．47、（﹣）2﹣；48、；49、；50、．51、；52、．53、3﹣﹣+（﹣2）（+2）54、55、56、57、58、59、2÷﹣（2﹣）260、﹣2+（﹣1）261、（+2）﹣．62、63、64、65、．66、67、．68、69、70、3﹣（﹣）71、72、﹣273、74、76、77、÷78、×+÷﹣79、80、81、﹣．82、84、85、（+1）2﹣286、（+1）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）287、88、89、90、；91、．92、；93、；94、；95、；96、；97、98、|﹣|+﹣；99、；；100、101、（+）2008（﹣）2009．102、；103、；104、．105、（3+）÷；106、107、；108、；109、．110、﹣1111、（﹣）（+）+2+|﹣3|﹣2﹣1（4）（﹣2）×﹣6 114、115、（2﹣）；116、117、；118、．119、．120、121、122、+6a；﹣×．123、124、（2）（7+4）（7﹣4）+（2+）125、参考答案1、原式=2﹣3=﹣；2、原式=×==30；3、原式=2﹣12=﹣10．4、原式==2．5、原式===﹣6a．6、原式=；7、原式=（）2﹣（﹣1）2=2﹣（3﹣2+1）=8、原式=．9、．原式=（3﹣2+3）×=（+3）×=1+10、原式=﹣+=；11、原式=（4+）÷3=12、原式=2+3﹣=；13、原式==；14、原式=（7+）（7+）=14×2=15、原式==3+6﹣10=﹣1；16、原式=2﹣=﹣2．17、原式=﹣2+=3﹣2+=18、原式=（3﹣2）（3+2）=18﹣12=6；19、原式=（2﹣+）=（+）=+120、原式=﹣3•5÷=﹣15÷=﹣15；21、原式=3+﹣2+﹣3=；22、原式=3a+﹣2b23、原式=3﹣2+1﹣（2﹣3）=5﹣2．25、原式=2+1﹣（﹣）=3﹣1=2．26、原式=17﹣（19﹣）=﹣2+；27、原式=2﹣3﹣2=﹣3．28、原式=4+12=；29、原式=+2﹣10=；30、原式=4﹣+=；31、原式=6﹣5=1；32、原式=12+18﹣12=；33、原式=（2+）×﹣2=3﹣2=1；34、原式=+×6﹣m=2m+3m﹣m=0；35、原式=++1=﹣1++1=36、原式=12=（12﹣3﹣+6）=；37、原式=6÷（×）=6÷6=38、原式=+3﹣2=3+3﹣2=3+．39、原式=++×1=6+1+=7+．40、原式=×3+6×﹣2x•=2+3﹣2=3；41、原式=2﹣+3﹣2=2﹣2+142、原式=（6﹣+﹣2）÷2﹣3=3﹣+﹣﹣3=﹣+﹣；43、原式===444、=（4÷2）=45、原式=2+3﹣7=﹣2；46、原式===14．47、原式=10﹣7+=3+；48、原式=×（2﹣+）=+×=+1；49、原式=﹣1；50、原式=2+3+2﹣（2﹣3）=5+2+1=6+252、原式=（4﹣2+6）÷=2+253、原式=6﹣3﹣+5﹣4=（6﹣3﹣）+1=+154、原式==；55、原式==．56、原式=[﹣（﹣）][+（﹣）]=5﹣（﹣）2=5﹣（5﹣2）=2．57、原式=4×2﹣16+12﹣16﹣8=﹣4﹣16；58、原式=+﹣+3=59、原式=2﹣（4﹣4+2）=2﹣6+4=6﹣6．60、原式=×2﹣2×3+5﹣2+1=﹣6﹣2+6=6﹣7．61、原式=a+2=2．62、原式=；63、原式=﹣+=﹣+=0．64、=2+﹣2=．65、=﹣=66、原式=9﹣14+4=﹣；67、原式=﹣43=﹣12=﹣11．68、原式=2×=12；69、原式=×3×=﹣；70、原式=12﹣2+6=16；71、原式=（4﹣2+6）×=2+272、原式=27÷（3×）×﹣8=3×﹣8=﹣8；73、原式=（）2﹣（）2=3﹣（2+2+5）=﹣4﹣274、原式=3+8=11；75、原式=2﹣12=﹣10；76、原式=5+﹣6=0；77、原式=÷=÷=1．78、原式=﹣==4+=4+．79、原式===；82、原式==；83、原式=；84、原式=5﹣6=﹣1；85、原式=4+=86、（1+）（1﹣）﹣（﹣1）2+（+1）2=1﹣（）2﹣（2﹣2+1）+2+2+1=1﹣2﹣2+2﹣1+2+2+1=4﹣1．87、原式=+4×﹣+1=++1=1+．88、原式=（40）=30=15；89、原式=2+2=2+．90、原式===；91、原式===12．92、原式=2+2+4+2=；93、原式=9﹣14+24=；94、原式=（7+4）（7﹣4）+4﹣3=49﹣48+1=2；95、原式=﹣4×+9﹣12﹣（）=﹣8+9﹣12﹣+1=﹣11；96、原式=﹣+=2x+=；97、原式=2a（b﹣×+）=2ab﹣+ab=98、原式=﹣+3﹣5=2﹣4；99、原式=12﹣4+1=13﹣4；100、原式=2+﹣=；101、原式=（）=102、原式=3×2﹣2×3+5×4=6﹣6+20=20；103、原式=7﹣3+2=6；104、原式=•（﹣）×=﹣=﹣105、原式=3÷+÷=3+=；106、原式=3﹣1﹣=2﹣107、原式=+1﹣×2=2+1﹣2=1；108、原式=3﹣2+1﹣1=3﹣2；109、原式=+4﹣3=110、﹣1=﹣1=﹣1=0；111、（）（）+2=﹣+2=5﹣7+2=0；112、+|﹣3|﹣2﹣1=1+3﹣=3；113、（﹣2）×﹣6=﹣4﹣=﹣9﹣=﹣114、原式=4﹣5=﹣1；116、原式=5﹣2﹣5+2=；117、原式=4﹣2+﹣1=3﹣118、原式==3﹣2=1．119、原式==120、原式=+1=121、原式=3+6a=2a+3a=5a；122、原式=﹣=﹣=3﹣2=1．123、原式==12；124、原式=49﹣48+2+=3+．125、原式===．二次根式混合运算----21。
初二二次根式经典题型
初二二次根式经典题型一、二次根式的概念与性质相关题型1. 题型：判断二次根式- 题目：下列各式中，哪些是二次根式？- √( - 5)，√(a)(a≥0)，sqrt[3]{8}，√(frac{1){3}}，√(x^2)+1。
- 解析：- 二次根式的定义是形如√(a)(a≥0)的式子。
对于√( - 5)，被开方数 - 5<0，不满足二次根式定义中被开方数是非负数的条件，所以它不是二次根式。
- √(a)(a≥0)符合二次根式的定义，是二次根式。
- sqrt[3]{8}是三次根式，不是二次根式，因为二次根式的根指数是2。
- √(frac{1){3}}，被开方数(1)/(3)>0，满足二次根式的定义，是二次根式。
- √(x^2)+1，因为x^2≥0，所以x^2+1>0，满足二次根式的定义，是二次根式。
2. 题型：二次根式有意义的条件- 题目：当x取何值时，二次根式√(x - 2)有意义？- 解析：- 二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0。
- 对于√(x - 2)，令x - 2≥0，解得x≥2。
所以当x≥2时，二次根式√(x - 2)有意义。
3. 题型：二次根式的性质运用- 题目：化简√(( - 3)^2)。
- 解析：- 根据二次根式的性质√(a^2)=| a|。
- 对于√(( - 3)^2)，这里a = - 3，则√(( - 3)^2)=| - 3|=3。
二、二次根式的运算相关题型1. 题型：二次根式的乘法- 题目：计算√(3)×√(6)。
- 解析：- 根据二次根式乘法法则√(a)×√(b)=√(ab)(a≥0,b≥0)。
- 对于√(3)×√(6)，则√(3)×√(6)=√(3×6)=√(18)=√(9×2)=3√(2)。
2. 题型：二次根式的除法- 题目：计算(√(24))/(√(6))。
- 解析：- 根据二次根式除法法则(√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥0,b>0)。
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)二次根式计算专题——30题(教师版含答案)在代数学中，二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。
二次根式的计算是代数学的重要组成部分，对于学生来说也是一项基本技能。
本文将介绍30道关于二次根式的计算题，并附上教师版含答案，供教师参考。
题目1: 计算√9的值。
解答: 由于9是一个完全平方数，所以√9=3。
题目2: 计算√25的值。
解答: 由于25是一个完全平方数，所以√25=5。
题目3: 计算√2的值。
解答: √2是一个无理数，无法精确计算，可以使用近似值1.414进行计算。
题目4: 计算√32的值。
解答: 首先将32分解为16×2，再将16分解为4×4，可以得到√32=√(4×4×2)=4√2。
题目5: 计算√(3×5)的值。
解答: √(3×5)=√15。
题目6: 计算√(8×12)的值。
解答: 首先将8和12分别分解为2×2×2和2×2×3，可以得到√(8×12)=√(2×2×2×2×2×3)=4√6。
题目7: 计算√(a^2×b^2)的值。
解答: √(a^2×b^2)=√(a^2)×√(b^2)=|a|×|b|。
题目8: 计算√(16÷4)的值。
解答: 首先计算16÷4=4，然后√4=2，所以√(16÷4)=2。
题目9: 计算√(x^2÷y^2)的值。
解答: √(x^2÷y^2)=√(x^2)÷√(y^2)=|x|÷|y|。
题目10: 计算√(4^2÷2^2)的值。
解答: 首先计算4^2=16和2^2=4，然后16÷4=4，所以√(4^2÷2^2)=√4=2。
二次根式知识点归纳及题型总结-精华版
二次根式知识点归纳和题型归类
二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质：
1.
； 2.
4. 积的算术平方根的性质：
； 3.
； ；
5. 商的算术平方根的性质：
.
6.若
，则
.
知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算
(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
1.估算 31－2 的值在哪两个数之间（ ）A．1～2 B.2～3
C. 3～4
D.4～5
2．若 3 的整数部分是 a，小数部分是 b，则 3a b
3.已知 9+ 13与9 13 的小数部分分别是 a 和 b，求 ab－3a+4b+8 的值
4.若 a，b 为有理数，且 8 + 18 + 1 =a+b 2 ，则 b a =
.
8
六．二次根式的比较大小（1） 1 200和2 3 5
（2）－5 6和 6 5
（3） 17 15和 15 13
（4）设 a= 3 2 , b 2 3 , c 5 2 , 则（ ）A. a b c B. a c b C. c b a D. b c a
1.下列各式中一定是二次根式的是（
）。 A、 3 ； B、 x ； C、 x2 1 ； D、 x 1
2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1）
（2） 1 （3） 5 x (6)
2x 1
x4
（7）若 x(x 1) x x 1 ，则 x 的取值范围是
。
. （8）若 x 3 x 3 ，则 x 的取值范围是 x 1 x 1
初二数学下册：二次根式常考10大题型
初二数学下册：二次根式常考10大题型考点二次根式1.二次根式的有关概念（1）二次根式：该式子称作二次根式。
注意被开方数a只能是非负数。
并且根式也是非负数。
（2）最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2.二次根式的性质3.二次根式的运算（1）二次根式的加减：先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式。
（2）二次根式的乘除：和（3）二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。
二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式。
常考的10个类型题点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，再结合进行“移进”和“移出”的变形化简;这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题;比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解故④正确;根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF是线段BC的垂直平分线，⑤正确故选①④⑤点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题;这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现。
这类题型还很容易与函数及其图象结合在一起。
end。
!二次根式题型知识总结
⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 二次根式知识方法题型总结一、本章知识内容归纳1.概念：①二次根式——形如 的式子；当 时有意义，当 时无意义； ②最简二次根式——根号中不含 和 的二次根式； ③同类二次根式—— 的二次根式； 2.性质：①)0(0≥≥a a 非负性; ②)0()(2≥=a a a ;③ (字母从根号中开出来时要带绝对值再根据具体情况判断是否需要讨论)3.运算: 运算结果每一项都是最简二次根式，且无可合并的同类二次根式. ①乘法和积的算术平方根可互相转化:)0,0(≥≥=⋅b a ab b a ;②除法和商的算术平方根可互相转化:)0,0(>≥=b a baba ③加减法：先化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；④混合运算：有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用； ⑤乘法公式的推广：)0,.....0,0(...............21321321≥⋅≥⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n n n a a a a a a a a a a a 二、本章常用方法归纳方法1.开方 ①偶数次方：aann=2； ②奇数次方：a aann ⋅=+12方法2.分母有理化：①概念：分母有理化就是通过 使得其中 叫做该分母的有理化因式； ②常用的有理化因式：a 与a 、b a +与b a -、b a +与b a -互为有理化因式；③分母有理化步骤：先将二次根式尽量化简，找分母最简有理化因式； 将计算结果化为最简二次根式的形式。
方法3. 非0的二次根式的倒数 ①a 的倒数：aaa a==11（a>0）; ②b a 的倒数：a b （a>0, b>0）; ③※因为=-+++)1)(1(n n n n ，所以)1(n n ++的倒数为 ； 方法4. 利用“”外的因数化简“”①a aaa a==1)0(≥a ； ②)0,0(2≥≥=b a b a b a ；三、本章典型题型归纳（一）二次根式的概念和性质1．x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）2+x －x 23-； （2）x -－11+x ； （3）2||12--x x ；2．若x 、y 为实数，y ＝2-x ＋x -2＋3．则yx=3．根据下列条件，求字母x 的取值范围：（1）3)3(2+=+x x ；（2）x x -=2；（3）122+-x x ＝1－x ；（4）※22)3()2(-+-x x ＝1 ；4．已知12-a ＋a b 2-＋c b a ++＝0． 则a= , b= , c= .5.已知()039322=+-+-x x y x ，则11++y x =______________ 6．在实数范围内因式分解：x 4－4＝______________． 7．已知a,b,c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=8.若最简二次根式1452+x 与最简二次根式164-x 可以合并，则x 的取值为※9．已知a<0，化简二次根式b a 3- = ※10．把mm 1-根号外的因式移到根号内，得 （二）二次根式的运算 11．乘除法口算： （1）61= （3）8517÷=（5）312=（2）81=（4）322=（6）yx 5=（7） 211311÷=（9）33= （11）326-= （8）yx xy 3212÷= （10）26=（12）bb2142=（13）52245454÷= （15）)25(122)341(-÷⋅-= （14）61132135÷⋅=12. 计算：（能简算的要简算）（1）0(π1)+ （2）8＋(－1)3－2×22(3) 2484554+-+ (4) 3)154276485(÷+-(5) x xx x 3)1246(÷- （6) 2)32()122)(488(---+(7) ((((22221111(8)62332)(62332(+--+）(9) ab －b a ―ab＋2++a b b a （a ＞0，b ＞0）（10）abb a ab b 3)23(235÷-⋅※（11）673)32272(-⋅++ ※(12)21418122-+-13. 若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 ※14．23231+-与的关系是15．甲、乙两人对题目“化简并求值：21122-++a aa ，其中51=a ”有不同的解答：甲的解答：549211)1(1211222=-=-+=-+=-++a a a a a a a a a a a ， 乙的解答：5111)1(1211222==-+=-+=-++a a a a a a a a a a 。
二次根式常考题型
二次根式§1.1二次根式的概念〔1〕二次根式的定义：像24,3,2a b s +-这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。
为了方便，我们把一个数的算术平方根〔如13,2〕也叫做二次根式。
……即一个非负数的算术平方根。
〔注意：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式〔数〕大于或等于零〔非负〕。
题型：类型之一：二次根式的定义1.判断，以下各式中哪些是二次根式？7；21；yx 2；22x y +；3-；a ；a 〔a ＜0＝；2.以下各式是二次根式吗？2、32、2-、12+a 、)0(<b b 、24b ac -.3.在式子()12,02,1,42223+-<--+x x x x a y x ，，4，x 中，是二次根式的有 〔 〕A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个总结：判断一个式子是二次根式要满足：① 二次根式都含有二次根号""；② 在二次根式中，被开方数a 必须满足0≥a ，当0<a 时，根式无意义； ③ 在二次根式中，a 可以是数也可以是一个代数式； ④ 二次根式)0(≥a a 是a 的算术平方根，所以0≥a 。
类型之二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围 1.求以下二次根式中字母a 的取值范围： ①3a -；②112a -；③2(3)a -；④3-x ；⑤x 423-；⑥x 5-；⑦1||+x 。
2.当以下各题的字母取何值时，以下各式为二次根式： 〔1〕22b a + (2)x 3- (3)x21 (4)x--233.当x 取什么实数时，以下各式有意义?⑴x -； ⑵()212-x ；⑶x x -⋅-21； ⑷()()x x --21；⑸5124--x x ； ⑹311x--．§1.2二次根式的性质1.(a )2=a(a ≥0) 解二次根式问题的根本途径——通过平方，去掉根号有理化a (a ≥0)2.2a =|a|= 揭示了与绝对值的内在一致性 －a (a ＜0〕3.ab =a ·b (a ≥0，b ≥0)4.a a bb=(a ≥0，b ≥0)，给出了二次根式乘除法运算的法那么5.假设a ＞b ＞0，那么a ＞b ＞0，反之亦然，这是比拟二次根式大小的根底 运用二次根式性质解题应注意：〔1〕每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；〔2〕要学会性质的“正用〞和“逆用〞，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边。
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二次根式
题型一 二次根式的定义
例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值．
（2）当x __________时，式子3
1
-x 有意义．
题型二 二次根式有意义的条件
例2、当x 时，二次根式1x +有意义。
例3、已知x 、y 为实数，22991
3
x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值．
例4、已知334y x x =-+-+，求23
8163y y xy ++-的值。
例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简(
)
(
)
2
2
223
23
2a b a ab b +-
---+
例6、计算 （1）()
13
218---+ （2）
()211111x x x ⎛⎫-•- ⎪-+⎝⎭
（3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2
2
22d
c ab
d c ab +-＝______．
例7、化简求值 （1）化简：()
2
2a a b c a b c -++-++
（2）先化简再求值：2
22
11xy x y x y x y ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭，其中21,21x y =+=-
（3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ）
（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
（4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1
(2-+x
x 等于（ ）
（A ）x 2 （B ）－x 2
（C ）－2x （D ）2x
（5）化简a
a 3
-(a ＜0)得（ ）
（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a （
6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ）
（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）
2)(b a -+- （D ）2)(b a ---
题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A （2）x 8，3
1
，29x +都不是最简二次根式．（ ）
题型五 二次根式的乘除法
例9、已知(3m ⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m
＜-5
例10、计算
（1）（235+-）（235--）
（2）（a ＋b
a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（3）（a 2
m n －m
ab
mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n
（4）（a ＋b a ab
b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．
（7
题型六 分母有理化
A ．a=b
B ．ab=1
C ．ab=-1
D ．a=-b
A.
题型七 同类二次根式
A.
（2）ab 、3
1b a 3、b
a
x 2-
是同类二次根式．（ ）
题型八 二次根式的加减法 例15、计算
－7114-－7
32
+
（3
（5）75.0125.2041
12484--+- （6）
题型九二次根式的混合运算 例16、计算
（1
（3）a b
a b ⎛⎫+--
（4）（a 2
m n －m
ab mn ＋
m n
n m ）÷a 2b 2m
n ；
（5）（25＋1）（2
11+＋321+＋431+＋…＋100991
+）．
题型十 二次根式的化简求值
（2
（3）已知x ＝2323-+，y ＝2
32
3+-，求3
2234232y x y x y x xy x ++-的值．
（4）已知：,x y 为实数，且13y x -+，化简：3y -
（5）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的
值．
（6）当x ＝1－2时，求2
2
2
2
a
x x a x x
+-+＋
2
2
2
222a
x x x a x x +-+-＋
2
2
1a
x +的
值．
（7）若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋
21
．求x
y y x ++2－x y
y x +-2的值．
课后作业
一、选择题（每题3分，共30分）
1、下列代数式中，属于二次根式的为（ ）
A
、 B 、 C 、 (a ≥1) D 、 2．二次根式(-3)2 的值是（ ）
（A ）-3 （B ）3或-3 （C ）3 （D ）9 3．下列各式计算正确的是（ ）
（A ）23+42＝6 5 （B ）27÷3＝3 （C ）33+32＝3 6 （D ）(-5)2 ＝-5
4（ ）
（A ）①② （B ）③④ （C ）①③ （D ）①④ 5．x ） （A ）x ＞1 （B ）x ≥1 （C ）x ＜0 （D ）x ≤0 6．计算8－（1－2）的结果是（ ）
（A ）32-1 （B ）32＋1 （C ）2-1 （D ）2＋1
7．已知实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，是一个
3x 1-a 2-a
（ ）
（A ）非负数 （B ）正数 （C ）负数 （D ）以上答案均不对 8．下列各式中，一定能成立的是（ ）
A ．3392-•+=-x x x
B ．22)(a a =
C ．1122-=+-x x x
D ．22)5.2()5.2(=-
9．如果数轴上表示a 、b 两个数的点都在原点的左侧，且a 在b 的左侧，则的值为2)(b a b a ++-（ ） A ．b 2- B ．b 2 C ．a 2 D ．a 2- 10.
是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 二、填空题（每题3分，共24分）
11．① (2 3 )2＝ ； ②．①=-2)3.0( ；
12．比较大小：4 3 5 2 ； 14．若1＜x ＜2
，则化简 = . 1520x y +-=，则_________x y -=．
16a ，小数部分是b ，计算a 的值为_________。
17.若m<0，则332||m m m ++= 。
18.已知： ,5
1
4513,413412,3
1
2311=+=+
=+
当1≥n 时，第n 个等式可表示为 。
三、解答题：(66分) 19．化简：（6分）
（1）500 （2）n m 218
20．计算（30分）
22)1()2(x x ---
（1） (8＋23)× 6 （2） (80- 40)÷5
（3）（23+6）（23-6）
（4）
（5）28
4)23()21(01--+-⨯- （6） 20112010)23()23(+⋅-
23．（8分）已知2x =求代数式246x x --的值是多少
22．（10分）若x ，y 是实数，且314114+-+-=x x y ，求x
y 3的值。
)323
125.0()4881(----
24．（12分）阅读并完成下面问题： ① 12)12)(12()
12(1211
-=-+-⨯=+
② ;23)23)(23(232
31
-=-+-=+ ③ 25)25)(25(25251
-=-+-=+ 试求：
（1）6
71
+= ；（2）17231+= ； （3）
n n ++11
= （n 为正整数），本题给出求解过程。