高数同济大学第三版 第一章第六节 双曲函数

的推导： 下面我们给出公式 y = arsh x 的推导： e x − e− x 在 y = sh x = 中令 e x = u, 于是可得 2 u 2 − 2 yu − 1 = 0, 解之得
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u= y±
y + 1.
2
因为 u = ex > 0，所以上式取正号， 即 ，所以上式取正号，
u = y + 1 + y 2 , e x = y + 1 + y 2 , x = ln( y + 1 + y 2 ).
第一章 函数 极限 连续
第六节
双曲正弦函数
双曲函数
y
e −e sh x = 2
x
−x
, x ∈ ( −∞ ,+∞ ).
y = ch x
1
双曲余弦函数
y = sh x O x
e x + e− x ch x = , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). 2
双曲正切函数
e x − e − x sh x th x = x 即 , x ∈ ( −∞ ,+∞ ). −x e + e ch x
e x + y − e−( x + y ) = = sh ( x + y ). 2
e− x + e x 因为 ch( − x ) = = ch x， 所以函数 y = ch x 2
是偶函数 ； 因为 x x −x −x e −e e −e sh ( − x ) = =− = −sh x . 2 2 sh( − x ) − sh x th ( − x ) = = = − th x . ch( − x ) ch x ch( − x ) ch x coth ( − x ) = = = −coth x . sh( − x ) − sh x 为奇函数. 所以函数 y = sh x ，y = th x ，y = coth x 为奇函数 注意： 不像三角函数那样具有周期性. 注意：双曲函数 不像三角函数那样具有周期性
故 y = sh x 的反函数为
y = ln( x + 1 + x ).
2
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别 记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x . 反双曲函数还有如下的表达式： 反双曲函数还有如下的表达式：
y = arsh x = ln( x + x + 1)，
2
y = arch x = ln( x + x − 1)，
2
1 1+ x y = arth x = ln ， 2 1− x 1 x +1 y = arcoth x = ln . 2 x −1
我们来证明第一个公式. 我们来证明第一个公式 由双曲函数定义可得
e x − e− x e y + e− y sh x ch y + ch x sh y = ⋅ 2 2 e x + e− x e y − e− y + ⋅ 2 2
e x+ y − e y− x + e x − y − e−( x+ y ) = 4 e x + y + e y− x − e x− y − e−( x+ y ) + 4
y
1
y = th x O x
-1
双曲余切函数
e x + e− x coth x = x e − e− x ch x 即 sh x , x ∈ ( −∞ ,0) U (0,+∞ ).
y
1
y = coth x
O
-1
x
这些函数之间存在着下述关系： 这些函数之间存在着下述关系： sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh y . ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x − sh2 x = 1 .