高数同济大学第三版第一章第六节双曲函数

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高等数学(本科少学时类型)同济第三版课后习题答案选解1

高等数学（本科少学时类型）同济第三、四版课后习题答案选解1第一章函数与极限1.1函数P.17习题1.11..005.0:01.0;05.0:1.0,222,1),,1(<=<=<<-<-∈δεδεεδδδx x U x 1..3.下列函数是否为同一函数？为什么？（1）2()2ln ()ln f x x x x j ==与；（2）()f x =()x x j =；（2）（3）()f x =与()g x x =；（4）()f x =与()sin g x x =；解：（1）否；因为定义域不同；（2）否；因为对应关系不同；（2）否；因为函数的定义域不同；（3）是；因为定义域和对应关系及值域都相同；（4）否；因为对应关系及值域都相同；4.求下列函数的定义域：（1）1y x =（2）2232x y x x =-+；（3）arcsin(3)y x =-；（4）1arctan y x =；（5）ln(1)y x =+；（6）1x y e =；解：（1）要使1y x=有意义，需使20,10x x ¹-³故函数的定义域为[-1,0)[(0,1].（2）要使2232x y x x =-+有意义，需使2320x x -+¹故函数的定义域为(-,-2)(-2,1)[1,+.) （3）要使arcsin(3)y x =-有意义，需使31x -£故函数的定义域为[2,4].（4）要使1arctan y x=有意义，需使30,0x x ->¹故函数的定义域为(-,0)(0,3].¥（5）要使ln(1)y x =+有意义，需使10x +>故函数的定义域为+).(1,-¥（6）要使1xy e =有意义，需使0x ≠故定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .5.6.7.8.9.10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些是非奇函数又非偶函数？（1）22(1)y x x =-；（2）233y x x =-；（3）(1)(1)y x x x =-+；（4）2x xa a y -+=；（5）2x xa a y --=；（6）sin cos 1y x x =-+；解：（1）按运算：偶函数与偶函数的和差积仍是偶函数；也可以按定义判定；（2）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；（3）按运算：奇函数与奇函数的积是偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数；所以是奇函数；也可以按定义判定；（4）定义域对称，()()f x f x -=所以函数是偶函数；（5）定义域对称，()()f x f x -=-所以函数是奇函数；（6）定义域对称，但()();()()f x f x f x f x -¹-¹-所以是非奇非偶函数；11.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(,)l l -内的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数；两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

双曲函数_精品文档

双曲函数双曲函数是一类特殊的数学函数，与三角函数密切相关。

双曲函数的研究与应用在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

在本文中，我们将介绍双曲函数的定义、性质以及一些常见的应用。

定义：双曲函数是指一组涉及指数函数的函数族，其定义域为实数集，它们的计算结果和性质与三角函数非常类似。

我们可以通过指数定义来简单地记双曲函数：双曲正弦函数（sinh）：sinh(x) = (e^x - e^(-x))/2双曲余弦函数（cosh）：cosh(x) = (e^x + e^(-x))/2双曲正切函数（tanh）：tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)双曲余切函数（coth）：coth(x) = 1/tanh(x) = cosh(x)/sinh(x) 双曲正割函数（sech）：sech(x) = 1/cosh(x)双曲余割函数（csch）：csch(x) = 1/sinh(x)性质：双曲函数具有许多有趣的性质，使得它们在数学和应用中都有广泛的应用。

以下是一些常用的性质：1. 对称性：双曲函数是奇函数还是偶函数取决于参数的奇偶性。

sinh(x)和csch(x)是奇函数，cosh(x)、tanh(x)和sech(x)是偶函数，而coth(x)则既不是奇函数也不是偶函数。

2. 增长性：双曲函数的增长速度比指数函数稍慢。

当x的值变得非常大或非常小时，双曲函数的增长速度将远远超过指数函数。

3. 反函数：每个双曲函数都有它的反函数，例如，sinh(x)的反函数是ln(x + √(x^2 + 1))。

4. 三角关系：双曲函数和三角函数之间存在着许多关系。

例如，sinh(x)和cosh(x)之间满足勾股定理：sinh^2(x) + cosh^2(x) = 1。

这类似于三角函数中的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1。

应用：双曲函数在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。

以下是一些常见的应用领域：1. 振动现象：双曲函数在描述振动现象中起着重要的作用。

双曲函数

定义双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：sinh / 双曲正弦：sinh(x) = [e^x - e^(-x)] / 2cosh / 双曲余弦：cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2tanh / 双曲正切：tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x - e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]coth / 双曲余切：coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) - e^(-x)]sech / 双曲正割：sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]csch / 双曲余割：csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x - e^(-x)]cosh^2(t) - sinh^2(t) = 1和性质 t > 0 对于所有的 t。

参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点(cosh t,sinh t) 的直线之间的面积的两倍。

函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。

函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh (-x) 且 sinh 0 = 0。

[3]实变双曲函数y=sh(x)，定义域：R，值域：R，奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x的等价无穷大，函数图像关于原点对称。

y=ch(x)，定义域：R，值域：[1，+∞），偶函数，函数图像是悬链线，最低点是（0，1），在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是（1/2）e^x 的等价无穷大，函数图像关于y轴对称。

y=th(x)，定义域：R，值域：（-1，1），奇函数，函数图像为过原点并且穿越Ⅰ、Ⅲ象限的严格单调递增曲线，其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间，lim[x->+∞，tanh(x)=1],lim[x->-∞，tanh(x)=-1]。

高等数学第六节双曲函数

yarx chlnx( x21)， yartxh1ln1x，
2 1x yarcxot1h lnx1.
2 x1
下面我们给出公式 y = arsh x 的推导：在 ysh xexex中e令 xu,于是可得
2
u22yu10,
解之得
uy y2 1.
因为 u = ex > 0，所以上式取正号，即

sh(xy).
2
因为 ch (x)exex chx，所以函数 y ch x
2
是偶函数；因为
s(h x)exexexex sh x.
2
Hale Waihona Puke 2th (x)s(h x)sh xth x. c(h x) cx h
co( txh )c(h x)ch xcoxt. h s(h x) sh x
所以函数 y sh x ，y th x ，y coth x 为奇函数.
注意：双曲函数不像三角函数那样具有周期性.
双曲函数的反函数叫做反双曲函数，分别记为 arsh x ，arch x ，arth x ， arcoth x .
反双曲函数还有如下的表达式：
yarx shlnx( x21)，
uy 1y2, ex y 1y2, xlny( 1y2).
故 y = sh x 的反函数为
ylnx( 1x2).
y
1
y = th x
O
x
-1
双曲余切函数 coxt e e h x x e e x x 即 c sx h x h ,x (,0 ) (0 ,) .
y y = coth x
1
O
x
-1
这些函数之间存在着下述关系： sh (x y) = sh x ch y ch x sh y . ch (x y) = ch x ch y sh x sh y . sh 2x = 2sh x ch x. ch 2x = ch2 x + sh2 x. ch2 x sh2 x = 1 .

高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)

第一章函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节函数一、实数与区间二、领域三、函数的概念四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法：通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数，记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域自变量Wy)因变量看右图：如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。

高数书题目重点目录整理

高数书题目重点目录整理2015考研数学高等数学教材导学【注】1导学用书：同济大学《高等数学》（上、下册）（第6版）2 请各位学员认真研读课本内容及完成选择习题，打下一个牢固的基础。

无论是教材上的定理、例题，还是课后的习题，曾作为历年的考研真题出现过。

第1章函数、极限、连续1、映射与函数（一）复习内容P1-16(表示1至16页，下同)，双曲函数开始之后的不复习。

（二）选做习题P21-22 第4-12题，第14-16题。

2、数列的极限（一）复习内容P23-30（二）选做习题P30-31 第1、5、6题。

3、函数的极限（一）复习内容P31-37（二）选做习题P37-39 第1-4题，第12题。

4、无穷小与无穷大（一）复习内容P39-41（二）选做习题P42 第4、5、6、7题。

5、极限运算法则（一）复习内容P43-49（二）选做习题P49 第1-5题。

6、极限存在准则两个重要极限（一）复习内容P50-55（除Cauchy极限存在准则）（二）选做习题P56-57 第1、2、4题。

7、无穷小的比较（一）复习内容P57-59（二）选做习题P59-60 第1-4题。

8、函数的连续性与间断点（一）复习内容P60-64（二）选做习题P64-65 第1-5题，第7-8题。

9、连续函数的运算与初等函数的连续性（一）复习内容P66-69（二）选做习题P69-70 习题1-9全做P74 总习题一第1-13题。

第2章函数、极限、连续1、导数概念（一）复习内容P77-86（二）选做习题P86-88 习题2-1全做。

2、函数的求导法则（一）复习内容P88-96（例17不学）（二）选做习题P97-99 第1、5题，第5-11题，第13、14题。

3、高阶导数（一）复习内容P99-102（二）选做习题P103 习题2-3除第5题全做。

4、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率（一）复习内容P104-111（二）选做习题P111-113 习题2-4除第9题全做。

同济第三版高数(3.1)第一节中值定理同济第三版高数资料

使得曲线在该点处的
M y f x , x a, b
斜率和弦 AB 的斜率
相等，即
f b
f
f b f a ba
.
f a
m
O a 1
2 b x
(2) 拉格朗日中值定理的推论定理拉格朗日中值定理推论
若函数 f( x )在闭区间 I 上的导数恒为零，则 f( x ) 在 I 上必为常数。
f( x ) 常数对 x 1 ,x 2 I 有 f( x2 )- f( x1 ) 0 . 所证命题可归结为函数的增量是否恒为零的问题，而已知条件为函数的导数条件，故可利用拉格郎日中值定理进行讨论。
以导数为工具不仅可以深入认识和理解函数在一点处的局部性状，还可进一步研究函数在区间上的总体性质，用导数描述函数在区间上的总体性质就形成了微分学理论。
微分学理论的核心由几个中值定理构成，它包括费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理。这些定理揭示了函数在一个区间上的性质与该区间内某点的导数间的联系。由它们可以导出一系列重要定理，使得微分学在更广泛的范围内起着重要的作用。
• 证明不等式及恒等式不等式的证明通常是比较困难的，其原因在于证明
不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性，每一种方法一般仅适用于某些特定的情形。
利用拉格朗日中值定理可以证明某些具有对称形式的不等式，它们可归结为如下形式：
K1( b - a ) f( b )- f( a ) K2( b - a ).
几何特征:函数在区间上非单调。
代数条件:函数在区间上有等值点。
这
M
样的
曲
线
y f x
弧
没
f a

同济大学(高数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识.第1节集合与函数1.1 集合1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素.通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素.如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ∉，读作“a 不属于A ”.一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ.集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为{}P x x M 具有性质|=.例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为{}02|2<--=x x x A .由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即{} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=+互质与且q p N q Z p q p Q ,,；（5）全体实数组成的集合称为实数集，记作R .1.1.2 区间与邻域在初等数学中，常见的在数集是区间.设R b a ∈,，且b a <，则（1）开区间 {}b x a x b a <<=|),(；（2）半开半闭区间 {}b x a x b a <≤=|),[，{}b x a x b a ≤<=|],(；（3）闭区间 {}b x a x b a ≤≤=|],[；（4）无穷区间 {}a x x a ≥=+∞|),[， {}a x x a >=+∞|),(，{}b x x b ≤=-∞|],(， {}b x x b <=-∞|),(，{}R x x ∈=+∞-∞|),(.以上四类统称为区间，其中（1）-（4）称为有限区间，（5）-（8）称为无限区间.在数轴上可以表示为（图1-1）：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）图 1-1 在微积分的概念中，有时需要考虑由某点0x 附近的所有点组成的集合，为此引入邻域的概念.定义1 设δ为某个正数，称开区间),(00δδ+-x x 为点0x 的δ邻域，简称为点0x 的邻域，记作),(0δx U ，即{}δδδ+<<-=0000|),(x x x x x U {}δ<-=|||0x x x .在此，点0x 称为邻域的中心，δ称为邻域的半径，图形表示为（图1-2）：图1-2另外，点0x 的邻域去掉中心0x 后，称为点0x 的去心邻域，记作),(0δx U o，即 {}δδ<-<=||0|),(00x x x x U o,图形表示为（图1-3）：图1-3 其中),(00x x δ-称为点0x 的左邻域，),(00δ+x x 称为点0x 的右邻域.1.2函数的概念1.2.1函数的定义定义2 设x 、y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个D x ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的y 与之对应，则称y 为是x 的函数，记作)(x f y =.其中x 为自变量，y 为因变量，D 为定义域,函数值)(x f 的全体成为函数f 的值域，记作f R ，即{}D x x f y y R f ∈==),(|.函数的记号是可以任意选取的, 除了用f 外, 还可用“g ”、“F ”、“ϕ”等表示. 但在同一问题中, 不同的函数应选用不同的记号.函数的两要素：函数的定义域和对应关系为确定函数的两要素.例1 求函数211x x y --=的定义域. 解 x1的定义区间满足：0≠x ；21x -的定义区间满足：012≥-x ，解得11≤≤-x . 这两个函数定义区间的公共部分是1001≤<<≤-x x 或.所以，所求函数定义域为]1,0()0,1[ -.例2 判断下列各组函数是否相同.（1）x x f lg 2)(=，2lg )(x x g =；（2）334)(x x x f -=，31)(-=x x x g ；（3）x x f =)(，2)(x x g =.解（1）x x f lg 2)(=的定义域为0>x ，2lg )(x x g =的定义域为0≠x .两个函数定义域不同，所以)(x f 和)(x g 不相同.（2）)(x f 和)(x g 的定义域为一切实数.334)(x x x f -=)(13x g x x =-=,所以)(x f 和)(x g 是相同函数.（3）x x f =)(，x x x g ==2)(,故两者对应关系不一致，所以)(x f 和)(x g 不相同. 函数的表示法有表格法、图形法、解析法(公式法)三种.常用的是图形法和公式法两种.在此不再多做说明.函数举例:例3 函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-==0,10,00,1sgn x x x x y ，函数为符号函数，定义域为R ，值域{}1,0,1-. 如图1-4：图1-4例4 函数[]x y =，此函数为取整函数，定义域为R ，设x 为任意实数, y 不超过x 的最大整数，值域Z . 如图1-5：图1-5特别指出的是，在高等数学中还出现另一类函数关系，一个自变量x 通过对于法则f 有确定的y 值与之对应，但这个y 值不总是唯一.这个对应法则并不符合函数的定义，习惯上我们称这样的对应法则确定了一个多值函数.1.2.2 函数的性质设函数)(x f y =，定义域为D ，D I ⊂.（1）函数的有界性定义3 若存在常数0>M ，使得对每一个I x ∈，有M x f ≤)(，则称函数)(x f 在I 上有界.若对任意0>M ，总存在I x ∈0，使M x f >)(0，则称函数)(x f 在I 上无界.如图1-6：图1-6例如函数 x x f sin )(=在),(+∞-∞上是有界的:1sin ≤x .函数 xx f 1)(=在)1,0(内无上界，在)2,1(内有界.（2）函数的单调性设函数)(x f y =在区间I 上有定义, 1x 及2x 为区间I 上任意两点, 且21x x <.如果恒有)()(21x f x f <, 则称)(x f 在I 上是单调增加的；如果恒有)()(21x f x f >, 则称)(x f 在I 上是单调递减的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数（图1-7）.图1-7（3）函数的奇偶性设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称.如果在D 上有)()(x f x f =-, 则称)(x f为偶函数；如果在D 上有)()(x f x f -=-, 则称)(x f 为奇函数.例如，函数2)(x x f =，由于)()()(22x f x x x f ==-=-，所以2)(x x f =是偶函数；又如函数3)(x x f =，由于)()()(33x f x x x f -=-=-=-，所以3)(x x f =是奇函数.如图1-8：图1-8从函数图形上看，偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称.(4)函数的周期性设函数)(x f y =的定义域为D . 如果存在一个不为零的数l ,使得对于任一D x ∈有()D l x ∈±, 且())(x f l x f =±, 则称)(x f 为周期函数, l 称为)(x f 的周期.如果在函数)(x f 的所有正周期中存在一个最小的正数，则我们称这个正数为)(x f 的最小正周期.我们通常说的周期是指最小正周期.例如，函数x y sin =和x y cos =是周期为π2的周期函数，函数x y tan =和x y cot =是周期为π的周期函数.在此，需要指出的是某些周期函数不一定存在最小正周期.例如，常量函数C x f =)(，对任意实数l ，都有)()(x f l x f =+，故任意实数都是其周期，但它没有最小正周期.又如，狄里克雷函数⎩⎨⎧∈∈=c Q x Q x x D ,0,1)(，当c Q x ∈时，对任意有理数l ，c Q l x ∈+，必有)()(x D l x D =+，故任意有理数都是其周期，但它没有最小正周期.1.3 反函数在初等数学中的函数定义中，若函数)(:D f D f →为单射,若存在:1-fD D f →)(，称此对应法则1-f 为f 的反函数.习惯上,D x x f y ∈=),(的反函数记作)(),(1D f x x f y ∈=-.例如，指数函数),(,+∞-∞∈=x e y x 的反函数为),0(,ln +∞∈=x x y ，图像为（图1-9）图1-9反函数的性质：（1）函数)(x f y = 单调递增(减)，其反函数)(1x fy -=存在，且也单调递增（减）. （2）函数)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图形关于直线x y =对称.下面介绍几个常见的三角函数的反函数：正弦函数x y sin =的反函数x y arcsin =，正切函数x y tan =的反函数x y arctan =. 反正弦函数x y arcsin =的定义域是]1,1[-，值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ；反正切函数x y arctan =的定义域是),(+∞-∞，值域是⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，如图1-10：9图1-101.4复合函数定义4 设函数f D u u f y ∈=),(，函数f g g D R D x x g u ⊂∈=值域,),(，则()()g D x x g f y x g f y ∈==),()( 或称为由)(),(x g u u f y ==复合而成的复合函数，其中u 为中间变量.注：函数g 与函数f 构成复合函数g f 的条件是f g D R ⊂，否则不能构成复合函数.例如，函数]1,1[arcsin -∈=u u y ，，R x x u ∈+=,22.在形式上可以构成复合函数()2arcsin 2+=x y .但是22+=x u 的值域为]1,1[),2[-⊄+∞，故()2arcsin 2+=x y 没有意义. 在后面的微积分的学习中，也要掌握复合函数的分解，复合函数的分解原则：从外向里，层层分解，直至最内层函数是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.例5 对函数x a y sin =分解.解 x a y sin =由u a y =，x u sin =复合而成.例6 对函数)12(sin 2+=x y 分解.解 )12(sin 2+=x y 由2u y =，v u sin =，12+=x v 复合而成.1.5初等函数在初等数学中我们已经接触过下面各类函数：常数函数：C y =（C 为常数）；幂函数：)0(≠=ααx y ；指数函数：)10(≠>=a a a y x 且；对数函数：)10(log ≠>=a a x y a 且；三角函数：x y x y x y x y x y x y csc ,sec ,cot ,tan ,cos ,sin ======；反三角函数：x arc y x y x y x y cot ,arctan ,arccos ,arcsin ====.这六种函数统称为基本初等函数.定义5 由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个式子表示的函数，称为初等函数.例如，x e y sin =，)12sin(+=x y ，2cot x y =等都是初等函数.需要指出的是，在高等数学中遇到的函数一般都是初等函数，但是分段函数不是初等函数，因为分段函数一般都有几个解析式来表示.但是有的分段函数通过形式的转化，可以用一个式子表示，就是初等函数.例如，函数⎩⎨⎧≥<-=0,0,x x x x y ，可表示为2x y =.习题 1-11.求下列函数的定义域.（1）21x y -=；（2）2411x xy -++=；（3）2ln 2x x y -=；（4）43arcsin -=x y ；（5）452+-=x y ；（6）2)3ln(--=x x y . 2.下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同，为什么？（1）2lg )(x x f =，x x g lg 2)(=；（2）x x f =)(，2)(x x g =；（3）x x f =)(，x e x g ln )(=；（4）x x f =)(，)sin(arcsin )(x x g =.3.已知)(x f 的定义域为]1,0[，求下列函数的定义域.（1）)(2x f ；（2）)(tan x f ；（3）)0)(()(>-++a a x f a x f .4.设()5312++=+x x x f ，求)(x f ，)1(-x f .5.判断下列函数的奇偶性.（1）x x y tan sin ⋅=；（2）()1lg 2++=x x y ；（3）2xx e e y -+=；（4）)1(3+=x x y ；（5）⎩⎨⎧>+≤-=0,10,1x x x x y . 6.设下列考虑的函数都是定义在区间)0)(,(>-l l l 上的，证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数和奇函数的乘积是奇函数.7.下列函数中哪些是周期函数？如果是，确定其周期.（1）)1sin(+=x y ；（2）x y 2cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x y 2cos =.8.求下列函数的反函数.（1）31-=x y ；（2）)2lg(1++=x y ；（3）x x e e y +=1；（4）),(2sin 2ππ-∈=x x y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=4,241,1,2x x x x x y x .9.下列函数是有哪些函数复合而成的.（1）)13sin(+=x y ；（2）)21(cos 3x y +=；（3）))1ln(arcsin(+=x y ；（4）2sin x e y =.10.设2)(x x f =，x x ln )(=ϕ，求())(x f ϕ，())(x f f ，())(x f ϕ.第2节极限极限在高等数学中占有重要地位，微积分思想的构架就是用极限定义的. 本节主要研究数列极限、函数极限的概念以及极限的有关性质等内容.2.1 数列的极限2.1.1 数列的概念定义1 若按照一定的法则，有第一个数1a ，第二个数a 2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数n a ，那么，我们称这列有次序的数a 1，a 2，…，a n ，…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。

同济高数

具体内容一、函数与极限二、导数与微分三、导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用六、空间解析几何七、多元函数的微分学八、多元函数积分学九、常微分方程十、无穷级数导数的概念1.图书信息编辑推荐内容简介目录2.图书信息基本信息内容简介目录3.图书信息基本信息内容简介目录4.图书信息基本信息内容简介目录（下册）5.图书信息基本信息内容简介目录最新版图书信息内容简介图书目录5图书信息内容简介高等数学的特点如何学好高等数学具体内容一、函数与极限二、导数与微分三、导数的应用四、不定积分五、定积分及其应用六、空间解析几何七、多元函数的微分学八、多元函数积分学九、常微分方程十、无穷级数导数的概念1.图书信息编辑推荐内容简介目录2.图书信息基本信息内容简介目录3.图书信息基本信息内容简介目录4.图书信息基本信息内容简介目录（下册）5.图书信息基本信息内容简介目录最新版图书信息内容简介图书目录5图书信息内容简介展开编辑本段高等数学的特点初等数学研究的是常量与匀变量，高等数学研究的是不匀变量。

高等数学（它是几门课程的总称）是理、工科院校一门重要的基础学科。

作为一门科学，高等数学有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。

抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点--有了高度抽象和统一，我们才能深入地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。

严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。

所以说，数学也是一种思想方法，学习数学的过程就是思维训练的过程。

人类社会的进步，与数学这门科学的广泛应用是分不开的。

尤其是到了现代，电子计算机的出现和普及使得数学的应用领域更加拓宽，现代数学正成为科技发展的强大动力，同时也广泛和深入地渗透到了社会科学领域。

因此，学好高等数学对我们来说相当重要。

编辑本段如何学好高等数学平心而论，高等数学确实是一门比较难的课程。

同济高数第一章第一节.ppt

y ln(1 x2 ) 定义域(-1,1)
例9
设
f (x)
exx,,xx
11,
( x)
x
x, 2
x 1,x
00,
求
f [( x)].
解 (1)当x 0时, ( x) x, 则f [( x)] e( x) e x
(2)当0 x 2时; ( x) x2 1 1,
则f [( x)] e( x) e x2 1
I
xo
x
I
（3）函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f ( x) f ( x) (或 f ( x) f ( x) )
称 f ( x)为偶函数（或奇函数）
y y y f (x)
y f (x)
f (x)
f (x)
f (x)
-x o x 偶函数
-x
f (x) x
o
xx
奇函数
例7 证明两个奇函数的乘积是偶函数证设 f(x)、g(x)都是奇函数则f ( x) f ( x) g( x) g( x)
(3)当x 2时; ( x) x2 1 1,
则f [( x)] ( x) x2 1
综上所述
f [( x)]
ex e x2 1 x2 1
x0 0 x 2
x 2
三、初等函数
y
（1）幂函数 y x (是常数)
（2）指数函数
1
y x2
y a x (a 0, a 1)
o
y ex
f ( x1 ) y1, f ( x2 ) y2 , 设x1 x2 , 因为y = f(x) 在X上严格单调增 f ( x1 ) f ( x2 ), y1 y2 , 矛盾 x1 x2 , f (1 y1 ) f (1 y2 ), x f (1 y), 严格单调增

(完整版)高数上册知识点

高等数学上册知识点第一章函数与极限（一）函数1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类：左右极限均存在。

间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二）极限 1、定义 1）数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim2）函数极限εδδε<-<-<∀>∃>∀⇔=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )()( )(lim 000+-→=⇔=x f x f A x f x x 存在2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞→lim2）单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、无穷小（大）量1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=⇔;Th2 αβαβαβββαα''=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则；3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~b) 221~cos 1x x -c) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） d) x x ~)1ln(+ （ax x a ln ~)1(log +）e) x x αα~1)1(-+第二章导数与微分（一）导数1、定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+ 函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章

同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章映射与函数一、集合一、集合二、映射二、映射三、函数四、小结三、函数同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章一、集合总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体集合组成这个集合的事物称为该集合的元素组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素a∈ M, ∈ a M, A = {a1 , a2 , , an }有限集M = { x x所具有的特征无限集}x . 若x ∈ A,则必∈ B, 就说A是B的子集记作A B.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章数集分类: 数集分类N----自然数集自然数集Q----有理数集有理数集Z----整数集整数集R----实数集实数集数集间的关系: 数集间的关系N Z, Z Q, Q R.= A 若A B,且B A, 就称集合与B相等. ( A= B)例如A = {1,2},C = {x x2 3x + 2 = 0}, 则A= C. = 不含任何元素的集合称为空集空集. 不含任何元素的集合称为空集(记作)例如, 例如{ x x ∈ R, x + 1 = 0} = 2空集为任何集合的子集. 规定空集为任何集合的子集同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算(1)集合的并), 设有集合A和B,由A和B的所有元素构成的集合的并，称为A 与B的并，记为A∪ B,即A∪ B = {x | x ∈ A或x ∈ B}(2)集合的交) 设有集合A和B,由A和B的所有公共元素构成的集合，的交，集合，称为A与B的交，记为A∩ B,即A∪ B = { x | x ∈ A且x ∈ B}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3)集合的差)设有集合A和B,属于A而不属于B的所有元素构成的差，的集合，的集合，称为A与B的差，记为A B,即 A B = { x | x ∈ A且x B}(4)集合的补)的元素构成的集合，全集U中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A' ,即的补集，A = { x | x ∈U且x A}'同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章集合的运算律(1)交换律：A∪ B = B ∪ A A∩ B = B ∩ A )交换律：( A∪ B) ∪C = A∪(B ∪C) (2)结合律：)结合律：( A∩ B) ∩C =A∩(B ∩C) ( A∪ B) ∩C = ( A∩C) ∪(B ∩C) (3)分配律：)分配律：( A∩ B) ∪C = ( A∪C) ∩(B ∪C)(4)摩根律：)摩根律：( A∪ B)' = A' ∩ B' ( A∩ B) = A ∪ B' ' '同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 2.区间:是指介于某两个实数之间的全体实数区间这两个实数叫做区间的端点. 这两个实数叫做区间的端点a, b ∈ R,且a b.{x a x b} 称为开区间记作(a, b) 称为开区间,o a x b 称为闭区间, {x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间记作[a, b]oabx同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章{x a ≤ x b} {x a x ≤ b}称为半开区间, 称为半开区间记作[a, b) 称为半开区间, 称为半开区间记作(a, b] 有限区间[a,+∞) = {x a ≤ x}( ∞, b) = {x x b}无限区间oa obx x区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度称为区间的长度两端点间的距离线段的长度)称为区间的长度线段的长度称为区间的长度.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章3.邻域: 3.邻域: 设a与δ是两个实数, 且δ 0. 邻域{ 数集x x a δ }称为点a的δ邻域,点a叫做这邻域的中心, δ 叫做这邻域的半径 .Uδ (a) = {x a δ x a + δ }. δ δa a δ a+δ 0 点a的去心的邻域, 记作Uδ (a). δUδ (a) = { x 0 x aδ }.x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章4.常量与变量: 4.常量与变量: 常量与变量在某过程中数值保持不变的量称为常量在某过程中数值保持不变的量称为常量, 常量而数值变化的量称为变量变量. 而数值变化的量称为变量注意常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量是相对“过程”而言的常量与变量的表示方法：常量与变量的表示方法：通常用字母a, 等表示常量, 通常用字母b, c等表示常量等表示常量用字母x, 等表示等表示变用字母y, t等表示变量.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章a a≥0 a = a a 0 运算性质: 运算性质ab = a b;5.绝对值: 5.绝对值: 绝对值( a ≥ 0)a a = ;b b绝对值不等式: 绝对值不等式a b ≤ a ± b ≤ a + b.x ≤ a (a 0) x ≥ a (a 0)a ≤ x ≤ a;x ≥ a 或x ≤ a;同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章二、映射1 映射概念、是两个非空集合，设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则 f ,使得对于X中每个元素x,按法则 f 在Y中有唯使得对于与之对应，的映射，一确定的元素y与之对应，则 f 称为从X到Y的映射，记作f : X →Y 的像，其中y称为元素x 在映射f 下)的像，并记作 f (x), ( y = f (x) 即的一个原像；而元素x称为元素y 在映射 f 下)的一个原像；集( 的定义域，合X称为映射 f 的定义域，记作Df ,即Df = X ;X 的值域，中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域，记作Rf 或 f (X ) ,即Rf = f ( X ) = { f ( x) | x ∈ X}同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章从上述映射的定义中，需要注意的是：从上述映射的定义中，需要注意的是：(1)构成一个映射必须具备以下三个要素：集构成一个映射必须具备以下三个要素：合X,即定义域Df = X;集合Y ,即值域的范R ∈ 围： f Y;对应法则f ,使对每个x∈ X,有唯与之对应. 一确定的y = f (x)与之对应. (2)对每个x∈ X,元素x 的像y 是唯一的；而对是唯一的；x∈ ∈ 的原像不一定是唯一的；于每个y∈ Rf ,元素y 的原像不一定是唯一的；映射 f 的值域Rf 是Y 的一个子集，即Rf Y,不一定的一个子集，Rf = Y . 满射、满射、单射与双射同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章的映射，设f 是从集合X到集合Y的映射，若Rf = Y ,即Y中中某元素的像，任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；映射或满射；若对X中任意两个不同元素x1 ≠ x2 , 的单射；它们的像 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ),则称f 为X到Y 的单射；若既是单射又是满射，为一一映射(或双射) 映射f 既是单射又是满射，则称f 为一一映射(或双射) 2.逆映射与复合映射2.逆映射与复合映射设 f 是从集合X到集合Y 的映射，则由定义，对每个的映射，则由定义，y∈ Rf 有唯一的x∈ X ,适合 f ( x) = y.于是，可以定∈ 于是，于是∈ 义一个从Rf 到X的新映射g ,即g : Rf → X ∈ 对每个y∈ Rf ,规定g( y) = x,这x 满足 f ( x) = y. 这个的逆映射，映射g称为 f 的逆映射，记作f 1,其定义域Df 1 = Rf, 值域Rf 1 = X同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章注意：只有单射才存在逆映射注意：只有单射才存在逆映射. 复合映射：复合映射：设有两个映射g : X →Y1, f :Y2 → Z 到其中Y1 Y2 .则有映射g和f 可以定义一个从X到Z 则有映射和∈ 的对应法则，它将每个x∈ X映成f [g( x)]∈ Z. 显然，的对应法则，显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射到的映射，和构成的复合映射，称为映射g和f 构成的复合映射，记作 f g,即f g : X → Z,注意：的定义域内，注意：g 的值域Rg 必须包含在f 的定义域内，即Rg Df同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章三、函数定义设数集D R,则称映射f : D → R为定义在D上的函数.上的函数. 量照定则总有即对于每个数x∈ D, 变y按一法∈确的值它应则y是x的数记作定数和对，称函，y = f (x)自变量因变量数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域数集叫做这个函数的定义域x . 当x0 ∈ D时, 称f ( x0 )为函数在点0处的函数值函数值全体组成的数集W = { y y = f ( x), x ∈ D} 称为函数的值域.同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章函数的两要素: 定义域与对应法则. 函数的两要素: 定义域与对应法则x ((D对应法则f 对应法则x0)f ( x0 )自变量Wy)因变量约定: 约定定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 的一切实数值例如，例如，y = 1 x2 1 例如，例如，y = 1 x2D :[ 1,1]D : ( 1,1)同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章如果自变量在定y 义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，是只有一个，这种函W y 数叫做单值函数，数叫做单值函数，否则叫与多值函数. 则叫与多值函数.(x, y)xo例如，例如，x2 + y2 = a2.xD定义: 定义: 点集= {( x, y) y = f ( x), x ∈ D} 称为C. 函数y = f ( x)的图形同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章几个特殊的函数举例(1) 符号函数1 y1 y = sgn x = 0 1当x 0 当x = 0 当x 0o -1xx = sgn x x同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(2) 取整函数y=[x][x]表示不超过x 的最大整数表示不超过4 3 2 1 oy-4 -3 -2 -11 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4阶梯曲线同济大学高等数学(本科少学时)第三版第一章(3) 狄利克雷函数1 当x是有理数时y = D( x) = 0 当x是无理数时y1。

同济第三版-高数-(7.6) 第六节旋转曲面与二次曲面

应的母线及旋转轴。
(1) 由准线方程及旋转轴写出旋转曲面的方程
f y, z 0 , C : x0.
f y, z 0 , C: x0.
• 母线为 yoz 平面上的曲线
绕 y 轴旋转，y 不变
z
y
x2 z2
x2 y2
: f y, x 2 z 2 0 .
旋转曲面。例如，形如 f( y ,z 2 + x 2 )= 0
的方程所表示的就是旋转曲面。
判别方程是否表示旋转曲面的基
本原理依然是截口法原理，只是将这一原理转化为相应的代数运算。
对方程 f( y ,z 2 + x 2 )= 0，判别的代数运算过程为
令 y = k，相当于用平行于 xOz 坐标面的平面与曲面相
y 轴旋转而得的点，故可知点 M 在旋转曲面上。
由上讨论求得旋转曲面的方程为：
: f y, x 2 z 2 0
z
C : f y , z 0 , x 0.
方程转化规则

O
y
x
: f y,
x2 z2 0
绕轴 y 旋转一周，y 不变，z
于是可写出其方程为

O
: z x y cot 令 cot 2 = a，则有
y
x
:z2 a x2 y2
2 2 z x 例：将 xOz 平面上的曲线 2 2 1 分别绕 x 轴、z 轴 a b 旋转一周，试求所得旋转曲面的方程，并作曲面图形。
按方程转化规则写出按旋转曲面方程
(2) 二次曲面的一般概念
曲面总对应于三元 F( x ,y , z )= 0，为讨论方便而

同济大学高等数学教案第一章函数、极限与连续

0,
1,
数.
x0
x 0 的定义域为 D , ，值域W 1,0,1 ，这个函数称为符号函
x0
例 4 设 x 为任一实数，不超过 x 的最大整数称为 x 的整数部分，记作 x ，函数 y x 的定义域为
D , ，值域为整数集 Z ，它的图形在 x 的整数值处，图形出现跳跃，而跃度为1，这个函数称为取整
x
x
x
定理 2 （极限的四则运算法则）设 lim f x A， lim g x B ，则
x x0
x x0
（1） lim xx0
f
x
g x
A B
lim
xx0
f
x lim xx0
gx ;
（2） lim xx0
f
x g x
AB
lim
xx0
f
x lim xx0
g x ;
(3)
lim
三、主要例题：
例 1 函数 y C ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 D , ，值域为W C，它的图形是
一条平行于 x 轴的直线，这个函数称为常数函数.
例2
函数 y
x
x, x,
x
0
的定义域为
D
, ，值域W
0, ，这个函数称为绝对值函数.
x0
2
1,
例3
函数 y sgn x
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号 01
教学基本指标
教学课题教学方法教学重点
参考教材
第一章第一节集合与函数
课的类型
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段

函数的定义域，函数的性质，复合函数性质，分教学难点

同济大学微积分第三版课件第一章第一节

• 这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点 •在各个时刻的“速度”（称为瞬时速度）. • 1.匀速运动: 在匀速直线运动中, 我们知道路程与速 •度、时间的关系为
•
•经过的路程 •所化的时间 •这里的速度是一个常量.
• 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将
•不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段
同济大学微积分第三版课件第一章第一节
•
•第一节微积分中的极限方法
•
• 典型问题一面积问题
• 如图, 求由曲线
. • 解决方法
与轴围成区域的面积
• 1.将区间 •次为
等分, 分点依
•1
•
• 2.以这些分点为基础, 构作个矩形, 并以矩形面积 •之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到
, 动点
•从移到 , 相应的比值
•
•表示在这个时间段里的平均速度. 可以想到: 如果时间
•间隔
很小, 动点的速度变化不大, 它可以近似地
•表示动点在这一时间内的“速度”. 由此得到动点在时刻
•处的瞬时速度为
•
• 前面两个问题最终都归结到极限形式. 在以下几节中•我们将全面引入各类形式的极限.
•
• 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 •加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 •近. 由此得到曲边三角形面积S.
•注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的.
•
•典型问题二瞬时速度问题
• 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 •刻所通过的路程, 则是的一个函数, 即
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