时间最优控制

可得 u *(t) sgn[B T(x * ,t)(t)] 式中 sgn(*) 为符号函数，令
B(x ,t ) [b1(x ,t ),b2(x ,t )....,bm(x ,t )],j 1.2....m gj (t ) bjT (x,t )(t ),j 1,2,...m
则最优控制分量应取
一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题
已知受控系统的状态方程为： • x(t ) f(x(t),t ) B(x(t ),t )u(t)
寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t),
uj(t) 1,j 1,2,...r 使系统从初始状态x(t0 ) x 0 出发， 在末态时刻tj( 0) ，首次达到目标集g[x(tf ),tf ] 0
使得对所有t [t1,t2]，至少有一个函数
g j(t) bjT(x * ,t)(t) 0
则时间最优控制是奇异的，称 [t1,t2 ]为奇异区间。
3.Bang-Bang控制原理
设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 (t )
是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最
优控制为： u *(t ) sgn BT x *(t ),t *(t )
极小值原理的应用：时间，燃 料最优控制问题
目录
一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结
时间最优控制
时间最优控制问题，是可以运用极小值求 解的一个常见的工程实际问题。如果把系统 由初始状态转移到目标集的时间作为性能指 标，则使转移时间为最短的控制称为最短时 间控制，亦称最速控制。
设线性定常系统是正常的，nxn系统矩阵A的全部特 征值均为实数，时间最优控制 u *(t)存在，其分量
为 uj *(t) 。令 t j 表示uj *(t )的切换时刻，则 uj *(t )
在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维 数）
定理5
当系统正常是，存在最优解的必要条件为：
① 正则方程 式中哈密•*(t)顿 函xH数* 为AT *(t)
(t )
H x
f
T
[x(t x(t
),t
)
]
(t
)
B[x(t ),t]u(t
x(t )
)
(t
)
x(t0 ) x 0 ,g(x(T ),T ) 0
(T )
g T x(T
)
极值条件为： 1 T(t)f[x *(t),t] T(t)B[x *(t),t]u *(t)
min 1 T(t )f[x *(t ),t] T(t )B[x *(t ),t]u *(t ) uj 1
u j*(t )
sgn[gj(t)]
1.g j(t) 1,g j(t)
0
0
在最优轨线末端，哈密顿函数应满足
H *(tf* )
g T
g tf
由以上条件知：若g j(t) 0,, 则可以运用极小值原理 确定uj *(t，) 此时称为正常情况。若 g j(t ) 0, uj *(t不) 确定，可取满足约束条件的 uj(t) 1任意值，
其中g是p维向量函数,
wenku.baidu.com 且使 J
tf dt
t0
tf
t0
最小值的最优控制u(t).
上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：
H [x(t ),u(t ),(t ),t] 1 T(t )A[x(t ),t] B[x(t ),t]u(t )
规范方程、边界及横截条件分别为:
.
x(t )
H
f(x(t ),t ) B(x(t ),t )u(t )
此时称为奇异情况。
2.正常和奇异控制问题
设在区间[t0 ,tf ]内，存在时间可数集合，
tj t1j .t2j ,... [t0,tf ],j 1,2,...m
使有
gj(t) bjT(x * ,t)(t)
在时间最优控制是正常的
0,t tj
非零，t
t j
,j
1,2,...,
在区间 [t0 ,tf，]至少存在一个子区间，[t1,t2] [t0 ,tf ]
],j
1,2, m
中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。
定理2
当且仅当
rankGj rank[bj ,Abj ,A2bj , An 1bj ] n,j 1,2, m
式中bi R n，, 上述问题是正常的。 定理3
若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最 优控制必定唯一。
定理4 有限切换（开关次数）定理
若A有全部实特征值，则 uj *(t )的切换次数为N≦n-1. ④ H函数变化率
H
(t
*
f
)
0
燃料最优控制
在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能
量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。
若消以 耗非 的负 的量 燃料(t总) 表量示为F燃料的瞬tf 时(消t耗)d率t ，,仅则考控虑制如过下程形中式所
定理表明，每个控制分量uj *(t) 恰好在自己的
两个边界值之间来回切换，满足gj(t) 0,的各
个点正好是切换点。这是一种继电型控制或 开关控制，故有邦-邦控制之称。
线性定常系统的时间最优控制
•
设线性定常系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u(t)： uj(t) 1(j 1,2, m )
•
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
H(x ,,u ) 1 T(t )[Ax(t ) Bu(t )]
② 边界条件
x(0) x 0 ,x(tf ) 0
③
极小值条件
ui*(t )
sgnbiT (t)
1,biT (t)0,(i 1,2,...m ) 1,biT (t)0,(i 1,2,...m )
使 x(t系f)=统0的从时已间知最状短态，x(性0)=能x指0转标移为到J状态空间0tf 原dt点
在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1
令 B[b1 ,b2 ,...bm ]
式中 bi R n ,i 1,2,...m . ，当且仅当m个矩阵
Gj
[bj
,Abj
,A 2bj
,
A
n
b 1 j
的关系：(t)
m
0
cj uj(t ),cj
0
j 1
式中 uj *(t )是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系