时间最优控制
最优控制的计算方法
1、梯度法
3、用UK(t)、XK(t)和横截条件求得的终端值(tf)，从tf 到t0反向积分协态方程，求出协态向量K(tf)。 4、计算哈密顿函数H对U的梯度向量 H K g ( )K U H K ( ) K 表示在 U K 、X K 、 处取值。当这些量非最优值 U 时， g K 0 。
U
（iii）边界条件（包括横截条件） 最优控制的计算方法一般是先求出满足上面三个条件中 某两个的解，然后用合适的迭代计算形式逐次改变这个解， 以达到满足剩下的另一个条件的解（即最优解）。
4
一、直接法
1、梯度法 这是一种直接方法，应用比较广泛。它的特点是：先猜 测任意一个控制函数U(t)，它可能并不满足H 取极小的必要 条件，然后用迭代算法根据H 梯度减小的方向来改善U(t)， 使它最后满足必要条件。 计算步骤如下： 1、先猜测[t0, tf]中的一个控制向量UK(t)=U0(t)，K是迭代 步数，初始时K=0。U0 的决定要凭工程经验，猜得合理，计 算收敛得就快 2、在第K步，以估计值UK和给定的初始条件X(t0)，从t0 到tf 顺向积分状态方程，求出状态向量XK(t)。
(2) 以 X (t 0 ) 为初值，从 t 0 到 t f 积分状态方程，得出状态 轨迹 X K (t )。 (3) 以 (t f )为终值，从 t f 到 t 0 反向积分协态方程，求得 协态轨迹 K (t ) 。 H (4) 计算梯度向量 g K ( ) u u k u
(5) 计算共轭系数
8
1、梯度法
0 1、选初始估计 u (t ) 0 。
2、将 u 0 (t ) 0 代入状态方程可得 dx dt 2 x 1 t c 积分上式可得 x 代入初始条件： x(0) 10 ，确定积分常数 1 c 10 10 0 可得 x(t ) x (t ) 10t 1
基于最短时间的稳态直流电动机最优控制
１去 。 ＋Ｋ ， Ｋ１ ５
化简后 的 直流 电动 机拖 动系 统方 框 图见 图 ２ 。
枢 电感 和黏滞 摩擦 ，那 么可 以用 图 １的方框 图来 表示
直流 电动机 拖动 系统 。
图 ２ 化 简 后 的 直 流 电 动 机 拖 动 系统 方 框 图
根 据 电机学 拖动 的 知识有 ：
２ 理论 计算
收 稿 日期 ：２ ０ —７２ ；修 回 日期 ：２ ０— ０１ ０ ６０ —Ｏ ０ ６１ —８
作 者 简介 ：穆 森 （９ １） 女 ， 宁 人 ， 士 研 究 生 。 １８一， 辽 硕
为方 便计 算 ， ： 令 ｚ ＝ ， 。 ｚ 一 ，其 中 为转 速 。则 系 统 的状 态方 程 为 ：
基 于最短 时 间的稳 态直流 电动机最优控制
穆 森 ， 王 忠 庆
（ 北 大 学 ， 山 西 太 原 中
００ ５ ） ３ ０ １
摘 要 ：利用苏联 学者庞特里亚金 的极小值原理 和 Ｂ ｎ — ａ ｇ控制原理 等最优控制知识 ，在直流 电动机拖 动系 ａ ｇＢ ｎ
统 的 电枢 电压 “ｆ 不大 于 额 定 电 压 的 条 件 下 ， 行 理 论 分 析 与 讨 论 ， 出 输 入 电 压 “ ｆ ， 望 直 流 电 动 机 在 （ ） 进 求 （）希 输 入 电 压 “ （ 的 作 用 下 ， 最 短 的 时 间 使 角 速 度 达 到 预定 的 任 意 稳 定 转 速 ， 用 Ｍ Ａ ＡＢ作 图 仿 真 和 检 ‘ｆ ） 用 并 ＴＬ
Ｊ ［（ ）ｆ ＋Ｉ １ ｆ（ ｘ ｕ ＝ ］ｔ。 ＝Ｏｘｔ ，］ ＋ｆ Ａ ＋ｂ－ ｒ ｄ － ， ， ）
ｆ 一・ ｚ ｏ 。 … … … …（ 一 ｏ ２＋ ・ … … … … ２ ｏ ２ ）
时间最优控制
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
最优控制-极大值原理
近似算法
针对极大值原理的求解过程，开 发了一系列近似算法，如梯度法、 牛顿法等，提高了求解效率。
鲁棒性分析
将极大值原理应用于鲁棒性分析， 研究系统在不确定性因素下的最 优控制策略，增强了系统的抗干 扰能力。
极大值原理在工程领域的应用
航空航天控制
在航空航天领域，利用极大值原理进行最优 控制设计，实现无人机、卫星等的高精度姿 态调整和轨道优化。
03
极大值原理还可以应用于经济 学、生物学等领域，为这些领 域的研究提供新的思路和方法 。
02
最优控制理论概述
最优控制问题定义
01
确定一个控制输入，使得某个给定的性能指标达到 最优。
02
性能指标通常由系统状态和控制输入的函数来描述。
03
目标是在满足系统约束的条件下，找到最优的控制 策略。
最优控制问题的分类
1 2
确定型
已知系统的动态模型和控制约束，求最优控制输 入。
随机型
考虑系统的不确定性，如随机干扰、参数不确定 性等。
3
鲁棒型
考虑系统模型的不确定性，设计鲁棒控制策略。
最优控制问题通过求解优化问题得到最优解的解析表达式。
数值法
02
通过迭代或搜索方法找到最优解。
极大值原理
03
基于动态规划的方法，通过求解一系列的子问题来找到最优解。
03
极大值原理
极大值原理的概述
极大值原理是现代控制理论中的基本原理之一，它为解决最 优控制问题提供了一种有效的方法。该原理基于动态系统的 状态和性能之间的关系，通过寻求系统状态的最大或最小变 化，来达到最优的控制效果。
在最优控制问题中，极大值原理关注的是在给定的初始和终 端状态约束下，如何选择控制输入使得某个性能指标达到最 优。它适用于连续和离散时间系统，以及线性或非线性系统 。
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
《最优控制》第3章庞德里雅金极大值原理解析
tf
t0
第3章——庞德里雅金极大值原理
(1)最优轨线 x * (t ) 和协态向量 (t ) 满足规范方程组
x
H H x
(2)在最优轨线 x * (t )上与最优控制 u * (t )上对应的哈密顿 函数取最小值
H ( x*, u*, , t )umin H ( x, u, , t )
目标泛函：
J dt , | f (t ) | 1 0
8
tf
第3章——庞德里雅金极大值原理
1 x2 x 问题：设系统的状态方程 其中控制变量u (t ) 满足约束 x u 2
， 条件 | u(t) | 1 设系统的初始状态 x1 (0) x10 , x2 (0) x20 ;
快速控制系统的这个特性称为有限切换原理，相应的 控制方式称为Bang-bang控制。 （6）求最优轨线
①u 1 2 u dx2 dt x2 t c1 x2 (0) x20 x2 (t ) t x20 x 1 2 1 x2 x1 (t ) t x20t x10 x 2
7
第3章——庞德里雅金极大值原理
2、双积分装置时间最优控制系统 考察惯用语性负荷在一无阻尼环境中运动情况：
Y (s) 1 m y 2 (t ) f (t ) 设m 1 G ( s ) F (s) S
1 x2 x 设 x1 y, x2 x 1 y 得 2 u x
4
第3章——庞德里雅金极大值原理
(3)边界条件
x ( t ) x(t0 ) x0 , (t f ) ①当 f 不受限制， x(t f )
②当存在终端约束条件
[ x(t f ), t f ] 0时，x(t0 ) x0
时间最优控制
其 中x(t ) Rn，u(t ) Rm，f ()和B()的 各 元 对x(t )和t连 续 可 微 ，
g() R p， 其 各 元 对x(t f )和t f 连 续 可 微 ，t f 是 状 态 轨 线 首 次 与 目标集相遇的时刻。
为 统 一 起 见 ， 时 间 最 优控 制 问 题 的 性 能 指 标 取为 积 分 型
为奇异区间。
7
定 理4.4.1 Bang Bang控 制 原 理 设u*(t )是 问 题4.4.1的 时 间 最 优 控 制 ， 且 问题4.4.1是 正 常 的 ， 则最优控制
u*(t ) sgnq(t ) sgn BT ( x(t ),t )(t )
或
u*j (t )＝ sgn q j (t ) sgn bTj ( x(t ),t )(t )
j 1,2, , m; t t0 , t f
因 此 时 间 最 优 控 制 的 各个 分 量u*j (t )都 是 时 间t的 分 段 常 值 函 数 ， 在q j (t )＝0的 诸 点 上 ，u*j (t )由 一 个 边 界 值 切 换到另一个边界值。
8
4.4.2 线 性 定 常 系 统 的 时 间 最优 控 制 问 题 4.4.2 已 知 线 性 定 常 系 统x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是 完 全 能 控 的 ， 求 满 足约 束
u j (t ) 1
设 q(t) BT (x(t),t)(t)
或 q j (t) bTj (x(t),t)(t), j 1,2, , m
其中bj (x(t),t)是矩阵B的第j个列向量，于是(1)式可写为
m
m
T (t)B(x*(t),t)u*(t)
最优控制问题的变分方法
最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
近似时间最优控制的离散域设计及其伺服应用
近似时间最优控制的离散域设计及其伺服应用胡金高【摘要】提出一种近似时间最优控制与扩展状态观测器相结合的快速无静差定点跟踪控制器的离散域设计.近似时间最优控制是在时间最优控制律的框架下引入一个线性工作区、并在定位误差进入这个工作区时把控制系统平滑切换到线性PD控制律;同时利用一个降阶的扩展状态观测器对系统的不可量测状态和未知扰动进行估计,而后对扰动加以补偿.把这种控制方案用于永磁同步电机位置伺服系统的控制,在Matlab/Simulink中进行了仿真研究,并基于DSP在交流同步伺服系统做了实验测试,结果表明所设计的控制系统可以对给定目标位置进行快速平稳且准确的跟踪,且对负载扰动和系统参数差异具有较好的性能鲁棒性.【期刊名称】《电气传动》【年(卷),期】2013(043)012【总页数】6页(P46-51)【关键词】永磁同步电机;伺服系统;时间最优控制;扰动;状态观测器【作者】胡金高【作者单位】福州大学电气工程与自动化学院,福建福州 350108【正文语种】中文【中图分类】TP273;TM3811 引言永磁交流同步伺服系统在数控加工和制造产业升级中有着举足轻重的作用，比如在服装花样缝制中，要求主轴缝纫转速达2 400 r/min，每针完成一个可编程花样长度的X Y绣框移动和定位，这类应用中几乎都要求20～30 ms的高效而快速的目标位置移动和定位，以提高加工的生产效率。
通常采用的位置速度电流3闭环PI调节伺服系统却很难满足这个要求，特别在变花样长度同时需要变化主轴转速时，实验反复证明容易出现限定时间内的定位欠调或过冲。
为实现快速定位，考虑时间最优控制（TOC）［1］，即在驱动电机电流的允许极限约束下，通过正方向或反方向的最大允许幅值控制信号的施加以达到最大加速或减速的目标跟踪，这种乒乓控制由于在正负两个极端值之间切换，当现实系统存在模型差异或扰动时，系统就难免出现为克服偏差而产生颤震的现象，影响系统的应用。
挠性航天器姿态机动时间最优控制研究
ｏ ｈ ｗｉｃ ｎｇ ｔ ｅ，ｉ ｉ ｆｕ ｄ ｔａ ｆｔ ｅ ｄ ｍｐ ｎ ｏ ｆ ｃｅ ｔｃ ｎ ｂ ｅ ｌｇｂ ｅ，ｔ ｅ ｃ ｎ ｒ ｌｉ ｐ ｔｆ ｒ ｆｔ ｅ ｓ ｔｈｉ ｉ ｍ ｔ ｓ ｏ ｎ ｈ ｔｉ ｈ ａ ｉ ｇ ｃ ｅ ｉｎ ａ ｅ ｎ ｇ ｉｉｌ ｉ ｈ ｏ ｔｏ ｎ ｕ ｏ ｔｍｅ ｏ ｔｍａ ｔｉｕ ｅ ｍａ ｅ ｅ ｌ ｂ ｙ ｍｅｒｃ ｌｆ ｎ ｔｏ ｆｔ ｅ ｍ ａ ｅ ｖ ｒｔｍｅ， ａ ｈ ｏ ｌ ｘｔ ｉ — ｐ ｉ ｌａｔｔ ｄ ｎ ｕｖ ｒｗｉ ｅ ａ ｓ ｍ ｌ ｔｉａ ｕ ｃｉ ｎ ｏ ｈ ｎ ｕ ｅ ｉ ｎｄ ｔｅ ｃ ｍｐ ｅ ｉｙ ｏ ｏｖ ｎ ｈ ｎ ｉ ｅ ｒｅ ｕ ｔ ｎ ｏ ｄ ｂ ｅ ｕｃ ｄ ｇ ｅ ｔ ｆｓ ｌｉ ｇ ｔ ｅ ｎｏ ｌｎ ａ ｑ ａ ｉ ｓ ｃ ｕｌ ｅ ｒ ｄ ｅ ｒ ａｌ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｉ ｉ ｄ ｏ ｙ ｏ ｙ． ｓ ｄ ｏ ｈ ｓｋ ｎ ｆｓ ｍｍ ｅｒ ｔｙ，ａ ｎ ｌｔｃ ｎ ａ ａｙｉ
最优控制理论-最短时间控制系统
特点：状态方程的右边对控制u (t ) 是一次的。
引出平凡系统和非平凡系统的概念 阐明最短时间控制制系统的基本特征。
3
最短时间控制问题的提法
问题 3-1 已知系统的状态方程
x i t f i xt , t bij xt , t u j t
j 1 m
i 1,2,..., n
(3-15)
于是(3-11)式可写成
ˆ j t q ˆ j t u j t q ˆ j t u
j 1 j 1 m m
(3-16)
9
(3-16)式意味着函数
ut u j t q ˆ j t
j 1 m
(3-17)
ˆ j (t ) 时达整体最小： 当u j (t ) u
(3-1)
或其等价的向量形式), t u (t )
其中 f i xt , t 和bij xt , t 对 x(t)和 t 连续可微。寻找一 m 维有 界闭集中的控制向量，满足下列不等式约束
u j (t ) 1 j 1,2,...m
i 1 j 1 i 1
n
m
n
(3-10)
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t 即 u
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
(3-11)
7
在最优轨线终端处，哈密顿函数的终值是 T ˆ Hx ˆ (t ),λ (t ), u ˆ (t ), t t tˆf t tˆf
(3-2)
4
使系统从已知初态
xt0 x 0
(3-3) (3-4)
最优控制驻点条件
最优控制驻点条件
最优控制驻点条件是指，对于一个优化问题，若其控制方程和状态方程均为线性时，通过对状态和控制的变分，可以得到最优控制驻点条件，即满足该条件时，问题的解即为最优解。
具体来说，设一个最优控制问题的状态方程为：
x'(t) = Ax(t) + Bu(t)，其中x(t)为状态向量，u(t)为控制向量，A和B为已知矩阵。
控制方程为：
J = ∫[t0,tf]L(x(t),u(t))dt，其中L为已知函数，t0和tf 为给定时间。
则，为了使J最小，需要满足以下最优控制驻点条件：
1. Hamilton-Jacobi-Bellman方程
HJB方程为：
V(x)/t = max[u] {L(x,u)+V(x)/x ·[Ax+Bu]}
其中V(x)为值函数，满足V(x(tf))=0。
2. 状态方程的边界条件
x(t0)=x0，其中x0为初始状态向量。
3. 关联条件
对于所有t∈[t0,tf]，存在一个拉格朗日乘子p(t)使得：
p'(t) = H/x，p(tf) = V/x(x(tf))
其中H(x,u,p)=L(x,u)+p'(t)[Ax+Bu]为哈密顿函数。
4. 最优控制条件
对于所有t∈[t0,tf]，存在一个拉格朗日乘子p(t)使得： u(t) = argmax[u] {L(x,u)+p'(t)Bu}
以上四个条件满足时，问题的解即为最优解。
双时间尺度系统最优控制设计方法的综述
2020年12月第27卷第12期控制工程Control Engineering of ChinaDec. 2020Vol.27, No. 12文章编号：1671-7848(2020)12-2226-08 DOI: 10.14107/ki.kzgc.20180699双时间尺度系统最优控制设计方法的综述钟珊珊ia,杨春雨ib,黄新利2(1.中国矿业大学a.电气与动力工程学院：b.信息与控制工程学院，江苏徐州221006; 2.酒泉卫星发射中心，甘肃酒泉735000)H摘要：双时间尺度系统最优控制设计方法是近年来的研究热点。
本文对双时间尺度系统 最优控制的设计方法、双时间尺度系统的特性分析、双时间尺度系统最优控制问题相关应用等方面进行了全面的梳理。
首先，给出双时间尺度系统最优控制问题的数学模型，并分析相关研究的关键难点；其次，分别给出基于糢型和数据驱动的双时间尺度系统最优控制设计方法：然后，综述双时间尺度系统稳定性和次优性分析方法；接下来，概述了双时间尺度系统最优控制方法的应用案例；最后，展望双时间尺度系统最优控制的研究方向。
关键词：双时间尺度系统；奇异摄动理论；最优控制；穗定性；次优性中图分类号：T P13 文献标识码：AAn Overview on the Design Method for Optimal Control ofTwo-time-scale SystemsZHONG Shan-shan x\YANG Chun-yu xb,HUANGXin-li2(1. a. School o f Electrical and Power Engineering; b. School o f Information and Control Engineering, China University of Miningand Technology, Xuzhou 221006, China; 2. Jiuqan Satellite Launch Center, Jiuquan 73500, China)Abstract: The design method of optimal control for two-time-scale systems i s a research hotspot in recent years. In t h i s paper,the design method for optimal control of two-time-scale systems,characteristic analysis of two-time-scale systems and related application of optimal control for two-time-scale systems are reviewed. Firstly, the mathematical model and challenges for optimal control problem of two-time-scale systems are given. Secondly, the model based and data-driven design methods for optimal control of two-time-scale systems are presented respectively.Then,the analysis methods for st a b i l i t y and sub-optimality of the two-time-scale systems are presented. Next, the typical application cases of optimal control of two-time-scale systems are summarized. Finally, the future research directions for optimal control of two-time-scale systems are prospected.Key words:T w o-time-scale systems;singularly perturbed theory;optimal control;stab ility;sub-optimalityi引言在航空航天、电力、化工和机械等工程领域的 控制系统设计中，大量研宄对象具有显著的双时间 尺度特性。
bang-bang控制
对调速范围宽、静态误差小和动态响应快的随动系统来说，单闭环控制是不能满足要求的，所以随动系统采用电流环、速度环和位置环来完成控制。
在随动系统控制中，pid 控制具有结构简单且在对象模型不确知的情况下也可达到有效控制的特点，但对模型参数变化及干扰的适应能力较差。
bang-bang控制在系统偏差大，可加大系统的控制力度，提高系统的快速性，因此，bang-bang控制是随动系统中不可缺少的控制方式。
bang-bang控制理论bang-bang控制最早由庞特里亚金提出。
在移动目标集的时间最优控制问题中，已知受控系统的状态方程为x（t）=f（x（t）,t）＋b（x（t）,t）u（t），假设f（x（t）,t）和b（x（t）,t）的元对x（t）和t是连续可微的。
r维容许控制向量u（t）的约束条件为|uj（t）|≤1,j=1,2,…,r。
从初态x（t0）=x0出发，在某一末态时刻t＞t0，首次达到移动目标集g（x（t）,t）=0。
其中g是p维向量函数，其各元对x（t）和t 是连续可微的，同时性能指标j[u（.）]=∫dt t-t0为最小[6,7]。
最优控制u（f）应满足且=f（x（t）,t）＋b（x（t）,t）u（t）（2）令其中bj（x（t）,t）是矩阵b的第j列向量，则当达绝对极小，于是bang-bang控制u（t）即时间最优控制的各个分量u（t）都是时间t的分段常值函数，并在开关时间上由一个恒值到另一个恒值的跳变。
bang-bang控制在随动系统中的具体应用在随动系统需要进行调转运动时，在某点需要以最大可能的加速度εm进行回归，此时误差|em|≥emax当到达某点时，又需要以-εm进行减速，当速度减到零时，误差也恰好为零，这就需要通过bang-bang控制来完成[2][3][4][5]。
如图1的bang-bang 控制阈值曲线。
图1bang-bang控制阈值曲线图1中粗线表示速度变化曲线，细实线表示误差角变化曲线。
控制理论中的最优控制与鲁棒控制
控制理论中的最优控制与鲁棒控制最优控制与鲁棒控制控制理论是研究如何设计和实现控制系统以满足一定要求的系统工程学科。
在控制理论中，最优控制和鲁棒控制是两个重要的概念。
最优控制旨在找到能使系统性能达到最佳的控制策略，而鲁棒控制则关注设计一种能使系统对参数扰动和外部干扰具有稳定性和鲁棒性的控制器。
本文将从最优控制和鲁棒控制的定义、应用以及优缺点等方面进行论述。
一、最优控制最优控制是控制理论中的一个重要分支，主要研究如何寻找使系统性能达到最优的控制策略。
最优控制可以分为静态最优控制和动态最优控制两种情况。
静态最优控制是指在系统的特定状态下，通过调整控制信号来使系统性能达到最优。
典型的例子是线性二次型控制器，它通过求解二次代价函数的最小值来确定最优的控制策略。
静态最优控制在很多工程领域都有广泛应用，如经济学、交通规划等。
动态最优控制是指在给定一段时间内，通过对系统状态和控制信号的优化，使得系统性能达到最优。
这种控制方法一般使用优化算法来求解，如动态规划、最优控制和近似优化等。
动态最优控制在航天、自动驾驶和机器人等领域有重要应用。
最优控制的优点是能够使系统性能达到最佳，同时也考虑了系统性能与控制信号的代价之间的平衡。
然而，最优控制的计算复杂度较高，需要大量的计算和运算资源。
二、鲁棒控制鲁棒控制是控制理论中的又一个重要分支，主要研究如何设计一种能使系统对参数不确定性和外部干扰具有稳定性和鲁棒性的控制器。
鲁棒控制通过考虑系统参数的范围和不确定性来设计控制器，使得系统具有更好的稳定性和容错性。
鲁棒控制常用的方法包括H∞鲁棒控制、μ合成和自适应控制等。
H∞鲁棒控制是一种通过最大化系统灵敏度函数的最小鲁棒稳定性来设计控制器的方法。
μ合成是一种基于μ合成算法以及线性矩阵不等式(LMI)的优化方法，用于求解复杂的鲁棒控制问题。
自适应控制则通过实时调整控制器参数来适应系统参数的变化。
鲁棒控制的优点是能使系统对参数不确定性和外部干扰具有鲁棒性和稳定性，适用于实际工程系统中存在参数不确定性和外部干扰的情况。
现代控制理论 第6章 最优控制(录像)2(极小值 [1]加了二次型
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min H
uU
min uT BT
u( t ) SGN( BT )
得：
ui( t )sgn ( BT ) i ,i1,2, ,r
1 a 0
其中函数sgn a
0
a0
1 a 0
a为向量时用SGN表示。
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6.8 极小值原理
经典变分法
x Hx,u, ,t , Hx,u, ,t , Hx,u, ,t 0
x
u
状态方程
伴随方程
控制方程
应用范围：
u无约束, 且H对u连续可微 难满足
一般 ui Mi ( i 1,2 m ) 更一般控制u(t)受不等式约束：
gxt ,u(t),t 0
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t
u 切换时刻
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6.10.2 状态轨线及开关曲线
x* t 12.3
1
0 0.307
1
0.5
t 0 0.307
6.44
5
1 t 0 0.307 1 t
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例6.8.2 已知系统 x1t x1t ut x10 1
x2 t x1t
x2 0 0
其中 ut 1 ，若x t f 自由，求u* t 使
J x2 1 min
由正则方程组： x Ax Bu
H AT
x
(
t
)
e
AT t
(
0
)
e
AT t 0
u( t ) SGN( BT ) SGN( BT e ATt0 )
1.时间控制是Bang-Bang控制,即开关控制；
matlab求解双积分装置时间最优控制系统
在撰写本文时，我将依据您提供的主题“matlab求解双积分装置时间最优控制系统”，按照深度和广度的要求进行全面评估，撰写一篇高质量、深度和广度兼具的中文文章。
我们将从简入深，探讨时间最优控制系统的基本概念，然后深入研究如何利用matlab来求解双积分装置的时间最优控制系统。
一、时间最优控制系统的基本概念时间最优控制系统是指在给定约束条件下，使得系统在规定的时间内完成特定任务所需的最小能量或代价。
在实际应用中，时间最优控制系统通常会涉及多个状态变量和控制变量，因此需要进行多变量求解和优化。
时间最优控制系统的设计和求解是控制理论和应用数学中的重要课题，涉及到动力学方程、最优控制理论、数值求解方法等多个领域的知识。
在工程和科学领域中，时间最优控制系统的应用涵盖了航天飞行器的轨道规划、机器人运动控制、化工过程优化等多个领域。
深入研究时间最优控制系统对于实际工程和科学应用具有重要意义。
二、matlab求解双积分装置时间最优控制系统在matlab中，可以利用优化工具箱和数值求解方法来求解双积分装置的时间最优控制系统。
需要建立系统的状态方程和性能指标，然后利用matlab提供的优化函数对性能指标进行优化，得到最优控制输入。
在matlab中，可以使用线性二次型调节器（LQR）来设计时间最优控制器，同时利用数值求解方法对最优控制输入进行求解。
还可以使用动态规划、最优控制理论等方法来求解时间最优控制系统，通过与实际系统进行模拟和对比分析，验证时间最优控制系统的有效性和可行性。
三、个人观点和理解时间最优控制系统是控制理论和应用数学中的重要概念，对于实际工程和科学应用具有重要意义。
在matlab中，可以利用丰富的工具和函数来求解双积分装置的时间最优控制系统，为工程师和科研人员提供了便利和支持。
深入研究时间最优控制系统，可以帮助我们更好理解系统动力学和优化方法的应用，提高工程和科学领域的实际应用水平。
总结回顾通过本文的深入探讨，我们对时间最优控制系统的基本概念有了更深入的了解，同时也学习了如何利用matlab来求解双积分装置的时间最优控制系统。
时间最优控制曲线
时间最优控制曲线
时间最优控制曲线是一种控制策略，旨在最小化完成某项任务所需的时间。
在控制工程中，时间最优控制通常涉及找到一个控制输入，使得系统状态在给定的时间内从初始状态转移到目标状态。
时间最优控制曲线的设计通常涉及以下几个步骤：
1.确定目标函数：目标函数是衡量系统性能的指标，通常是最小化完成某项任务所需的时
间。
2.确定约束条件：约束条件包括系统的状态方程、输入约束和输出约束等。
3.求解最优控制问题：使用适当的优化算法求解最优控制问题，以找到最优的控制输入。
4.验证和实施：验证所找到的最优控制策略在实际系统中的可行性和有效性，并进行必要
的调整和优化。
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为 uj *(t) 。令 t j 表示uj *(t )的切换时刻，则 uj *(t )
在两个边界值之间的切换次数N≦n-1.(n为系统的维 数）
定理5
当系统正常是，存在最优解的必要条件为：
① 正则方程 式中哈密•*(t)顿 函xH数* 为AT *(t)
使 x(t系f)=统0的从时已间知最状短态，x(性0)=能x指0转标移为到J状态空间0tf 原dt点
在解决上述问题之前，应该先判断它是否正常。 定理1
令 B[b1 ,b2 ,...bm ]
式中 bi ห้องสมุดไป่ตู้ n ,i 1,2,...m . ，当且仅当m个矩阵
Gj
[bj
,Abj
,A 2bj
,
A
n
b 1 j
定理表明，每个控制分量uj *(t) 恰好在自己的
两个边界值之间来回切换，满足gj(t) 0,的各
个点正好是切换点。这是一种继电型控制或 开关控制，故有邦-邦控制之称。
线性定常系统的时间最优控制
•
设线性定常系统 x(t ) Ax(t ) Bu(t ) 是完全可控的，求满足下列约束的容许控制向量 u(t)： uj(t) 1(j 1,2, m )
一、Bang-Bang控制原理 1.移动目标集的时间最优控制问题
已知受控系统的状态方程为： • x(t ) f(x(t),t ) B(x(t ),t )u(t)
寻找满足不等式约束的 r 维容许控制向量 u(t),
uj(t) 1,j 1,2,...r 使系统从初始状态x(t0 ) x 0 出发， 在末态时刻tj( 0) ，首次达到目标集g[x(tf ),tf ] 0
],j
1,2, m
中，至少有一个是奇异矩阵时，它则是奇异的。
定理2
当且仅当
rankGj rank[bj ,Abj ,A2bj , An 1bj ] n,j 1,2, m
式中bi R n，, 上述问题是正常的。 定理3
若上述系统是正常的，且时间最优控制存在，则最 优控制必定唯一。
定理4 有限切换（开关次数）定理
•
x(t ) Ax(t ) Bu(t )
H(x ,,u ) 1 T(t )[Ax(t ) Bu(t )]
② 边界条件
x(0) x 0 ,x(tf ) 0
③
极小值条件
ui*(t )
sgnbiT (t)
1,biT (t)0,(i 1,2,...m ) 1,biT (t)0,(i 1,2,...m )
若A有全部实特征值，则 uj *(t )的切换次数为N≦n-1. ④ H函数变化率
H
(t
*
f
)
0
燃料最优控制
在工程实际中，常常需要考虑是控制过程中所消耗的能
量最小。此时控制作用表现为推力或力矩的大小和方向。
若消以 耗非 的负 的量 燃料(t总) 表量示为F燃料的瞬tf 时(消t耗)d率t ，,仅则考控虑制如过下程形中式所
u j*(t )
sgn[gj(t)]
1.g j(t) 1,g j(t)
0
0
在最优轨线末端，哈密顿函数应满足
H *(tf* )
g T
g tf
由以上条件知：若g j(t) 0,, 则可以运用极小值原理 确定uj *(t，) 此时称为正常情况。若 g j(t ) 0, uj *(t不) 确定，可取满足约束条件的 uj(t) 1任意值，
其中g是p维向量函数,
且使 J
tf dt
t0
tf
t0
最小值的最优控制u(t).
上述问题用极小值原理求解，构造哈密顿函数为：
H [x(t ),u(t ),(t ),t] 1 T(t )A[x(t ),t] B[x(t ),t]u(t )
规范方程、边界及横截条件分别为:
.
x(t )
H
f(x(t ),t ) B(x(t ),t )u(t )
极小值原理的应用：时间，燃 料最优控制问题
目录
一.Bang-Bang控制原理 二.线性定常系统的时间最优控制 三.燃料最优控制 四.时间-燃料最优控制 五.习题 六.总结
时间最优控制
时间最优控制问题，是可以运用极小值求 解的一个常见的工程实际问题。如果把系统 由初始状态转移到目标集的时间作为性能指 标，则使转移时间为最短的控制称为最短时 间控制，亦称最速控制。
此时称为奇异情况。
2.正常和奇异控制问题
设在区间[t0 ,tf ]内，存在时间可数集合，
tj t1j .t2j ,... [t0,tf ],j 1,2,...m
使有
gj(t) bjT(x * ,t)(t)
在时间最优控制是正常的
0,t tj
非零，t
t j
,j
1,2,...,
在区间 [t0 ,tf，]至少存在一个子区间，[t1,t2] [t0 ,tf ]
(t )
H x
f
T
[x(t x(t
),t
)
]
(t
)
B[x(t ),t]u(t
x(t )
)
(t
)
x(t0 ) x 0 ,g(x(T ),T ) 0
(T )
g T x(T
)
极值条件为： 1 T(t)f[x *(t),t] T(t)B[x *(t),t]u *(t)
min 1 T(t )f[x *(t ),t] T(t )B[x *(t ),t]u *(t ) uj 1
使得对所有t [t1,t2]，至少有一个函数
g j(t) bjT(x * ,t)(t) 0
则时间最优控制是奇异的，称 [t1,t2 ]为奇异区间。
3.Bang-Bang控制原理
设u*(t) 是上述问题的时间最优控制，x*(t)和 (t )
是相应的状态向量和协态向量。若问题正常，则最
优控制为： u *(t ) sgn BT x *(t ),t *(t )
的关系：(t)
m
0
cj uj(t ),cj
0
j 1
式中 uj *(t )是 m 维控制向量u(t)的第j个分量，CJ为比例系
可得 u *(t) sgn[B T(x * ,t)(t)] 式中 sgn(*) 为符号函数，令
B(x ,t ) [b1(x ,t ),b2(x ,t )....,bm(x ,t )],j 1.2....m gj (t ) bjT (x,t )(t ),j 1,2,...m
则最优控制分量应取