向量法求空间中的角 课件

B
A C l
D
n2
cos cos AB,CD AB CD
AB CD
n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
a´
o•
b´
b
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m, n
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n mn
x1x2 y1 y2 z1z2
x12 y12 z12 x22 y22 z22
得直线与平面所成角的正弦值
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的余
弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
D1
2
2 B1
C1
F
AF (0,1, 1), AE (1 ,1,0)
2
2
A
Dy
设平面AEF的法向量为m=(x2,y2,z2), B
o 向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=O 1，取A1B1 、A1O1
的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
解：以点O为坐标原点建立空间直角坐
z
O1
标系,如图所示，并设OA=1,则：
F1
D1
A(1,0,0)
B(0,1,0)
F1( 1 ,0,1) 2
D1( 1 , 1 ,1) A1 22
立体几何中的向量方法
----向量法求空间中的角
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向 量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
O
AF1
(
1 2
,0,1),
BD1
(
1 2
,
1 2
,1)
A
cos AF1, BD1
AF1 BD1 AF1 BD1
1 01 x
4
30
5 3 10
42
所以，异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值为 30 10
B1
By
点评：向量法求异面直线所成角的余弦值的一般步骤
建系 求两异面直线的方向向量 求两方向向量的夹角的余弦值
∴二面角B－AS－O的余弦值为 6 6
四、课堂小结 1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
ma
o •m
a´
n
b´
b
n
cos cos m, n
m
a
m
a´
o•
n
b´
b
n
cos cos m, n
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
A
n
B
O n
3.二面角：
B C
故n=(1,-1,-1)
cos n, B1C1
n B1C1 n B1C1
010 1 3
3 3
故所求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值为 3
3
D y
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
a
a´
o• b´
b
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为m 和 n ，
（1）当 m与 的n 夹角 不大于90°时，异面 直线a、b 所成的角
与 和 的m夹角 n
相等
（2）当 m与 n的夹 角大于90°时，异面 直线a、b 所成的角
与 和 m的夹角n
互补
ma
m源自文库
a
a´
o•
b´
得两异面直线所成角的余弦值
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形）
向量的有关知识：
1、两向量数量积的定义：a ·b= |_a_|·_|b_|_·_c_o_s_〈__a_,_b_〉 a b
2、两向量夹角公式：cos 〈a,b〉 = ___a____b____
3、平面的法向量：__与__平__面_垂__直__的__向__量___
n2
n1 n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
B处.从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为a
和 b,CD的长为 ,cAB的长为 .求d 库底与水坝所成二面角的余弦值.
z
B1(1,0,1) C(1,1,0) C1(1,1,1)
A1
D1
B1C1 (0,1,0),
B1
AB1 (1,0,1), AC (1,1,0)
设平面AB1C的法向量为n=(x1,y1,z1),
C1 A
则n AB1 0, n AC 0
X1+z1=0 所以 X1+y1=0
取x1=1,得y1=z1=-1x
于是，得 2CA DB a2 b2 c2 d 2
设向量C与A D的B夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角.
因此2abcos
a2 b2 c2 d 2.
所以
cos
a2 b2 c2 d 2
.
回到图形问题
2ab
库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
余弦值为 2 3
点评：法向量法求二面角的余弦值的一般步骤
建系 求两平面的法向量 求两法向量的夹角的余弦值
得二面角的余弦值
异面直线所成的角 （范围：
0,
2
）
o 过空间任意一点 分别作异面直线a与b的平行线a´与b´，那么
直线a´与b´ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a与b 所
成的角。
三、巩固练习
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°， 直线SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.求：
⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值； ⑵直线OS与平面SAB所成角α的正弦值； ⑶二面角B－AS－O的余弦值.
S
O A
C B
如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC， ∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2. 求⑴异面直线SA和OB所成的角的余弦值；
直线与平面所成的角（范围：
0,
2
）
A n
A n
B
O
问题1 的余角与< AB , n >
的关系？ 相等
c
os(
2
)
=
cos
AB, n
B
O
问题2 的余角与< AB , n >
的关系？ 互补
cos(
) = cos
AB, n
2
所以，直线与平面所成的角的正弦值为
sin = cos AB, n
二面角 （范围： 0, ）
二、知识讲解与典例分析
例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法
o 向量方向平移到△A1O1B1的位置，已知OA=OB=O 1，取A1B1 、A1O1
的中点D1 、F1，求异面直线BD1与AF1所成的角的余弦值。
O1
B1
F1
D1
A1
O B
A
例1：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，现将△AOB沿着平面AOB的法
E
则m AF 0, m AE 0
所以
1
y2 2 z2 0 1 2 x2 y2 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cos m, AA1
m AA1 m AA1
2 2 31 3
F-AE-D为锐角，所以 所求二面角F-AE-D的
sin cos OS, n OS n 2 6
OS n 1 6 3
（3）由（2）知面SAB的法向量n1 =（1，1，2）
又∵OC⊥平面AOS， ∴ OC是平面AOS的法向量，
令 n2 OC (0,1,0)
则有 cos n1, n2 n1 n2 n1 n2
1 6 6 1 6
解：如图，AC a，BD b，CD c，AB d.
B
化为向量问题
C
根据向量的加法法则 AB AC CD DB
D
进行向量运算 d
2
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
a2 c2 b2 2CA DB
⑵OS与平面SAB所成角α的正弦值； ⑶二面角B－AS－O的余弦值.
解：以o为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示 z
则O（0，0，0）；A（2，0，0）； B（1，1，0）；
S
C（0，1，0）； S（0，0，1），
于是我们有 SA =（2，0，-1）；OB =（1，1，0）； O
y
OS =（0，0，1）； AB =（-1，1，0）；
C
A
B
(1).cos SA,OB SAOB 2 10
SA OB 5 2 5 x
所以异面直线SA与OB所成的角的余弦值为 10 5
（2）设平面SAB的法向量n (x, y, z)
显然有 n AB 0, n SA 0
x y 0
2x
z
0
取x=1，则y=1，z=2； 故 n (1,1,2)