2020届湖北省武汉市武昌区高三元月调研考试数学(理)试题(PDF版)【附参考答案】

因为 A1F 平面 AA1B1B ，所以 DE A1F .
易证 DB1 A1F ，因为 DB1 D1E D ， 所以 A1F 平面 B1DE .
A G
HF
D
因为 A1F 平面 A1C1F ，
所以平面 A1C1F 平面 B1DE .
……………（4 分） C
E
B
（2）方法一：过 B 作 BH B1D ，垂足为 H ，过 H 作 HG B1E 于 G ，连结 BG ，
在 ABD 中，由正弦定理，得 sin B 2 ，所以 B 45 . 2
（2）由（1）知 BAD 75，且 sin 75 2 6 . 4
……………（4 分） A
所以
SABD
1 2
AB
AD sin
BAD
25(
3 3) ， 8
SADC
1 2
DA DC
sin
ADC
15 4
3
，
B
D
C
所以 SABC SABD SADC 55
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知集合 A {x | x2 x 2 0} ， B {x | a 2 x a}，若 A B {x | 1 x 0} ，则 A B
A． (1,2)
B. (0,2)
C． (2,1)
D． (2,2)
2．已知复数 z 满足 z i ，则 z 在复平面内对应的点位于 zi
A．第一象限
B. 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．已知{an}是各项均为正数的等比数列， a1 1， a3 2a2 3，则 an
A． 3n2
B. 3n 1
C． 2n1
D． 2n2
4．已知 a log0.1 0.2 ， b log1.1 0.2 ， c 1.10.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为
D
C
③存在某个位置，使 MB // 平面 A1DE .
其中，正确的命题是
A
E
B
A．①
B．①③
C．②③
D．①②③
10．函数 f (x) Asin( x ) （ A 0 ， 0 ， 0 π ）的部分图象如图所示，给出下列说法： 2
①函数 f (x) 的最小正周期为 π ；
②直线 x 5π 为函数 f (x) 的一条对称轴； 12
任意一个学习小组是等可能的，则该校的任意 4 位学生中，恰有 2 人申请 A 学习小组的概率是
A． 3 64
B. 3 32
C． 4 27
D． 8 27
7．已知数列 {an } 的前
n
项和
Sn
3 2
n2
1 2
n
，设 bn
1 an an 1
，Tn
为数列 {bn } 的前
n
项和.若对任意的 n N
，
不等式 Tn 9n 3恒成立，则实数 的取值范围为
3 75 . 8
……………（12 分）
18．（本题 12 分）
A1
解：（1）因为 AC AB ， DE // AC ，所以 DE AB .
因为 AA1 平面 ABC ， DE 平面 ABC ，所以 AA1 DE .
因为 AB AA1 A ，所以 DE 平面 AA1B1B .
C1
B1
n(ad bc)2
.
(a b)(c d )(a c)(b d )
21．（本题 12 分） 已知函数 f (x) ex x e 1 . （1）若 f (x) ax e 对 x R 恒成立，求实数 a 的值； （2）若存在不相等的实数 x1 ， x2 ，满足 f (x1) f (x2) 0 ，证明： x1 x2 2 .
中奖 2 次打 8 折，中奖 3 次打 7 折．
若某人打算购买 1000 元的营养品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．
附：
P（ K2 k ） 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005
页
4第
k
2.072 2.706 3.841 6.635 7.879
K2
在列联表中得到一定的相关数据，请补全空格处的数据，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“健身
达人”与性别有关？
健身达人 非健身达人 总计
男
10
女
30
总计
（3）为吸引顾客，在健身项目之外，该健身馆特推出健身配套营养品的销售，现有两种促销方案．
方案一：每满 800 元可立减 100 元；
方案二：金额超过 800 元可抽奖三次，每次中奖的概率为 1 ，且每次抽奖互不影响，中奖 1 次打 9 折， 2
则可证 BGH 为二面角 B B1E D 的平面角.
在 RtB1BD 中，求得 BH
2 5
；在 RtB1BE
中，求得 BG
2
2 6
.
页
6第
所以 sin BGH BH 15 . BG 5
……………………………（12 分）
方法二：建系，设（求）点的坐标，求两个法向量，求角的余弦，求正弦.
19．（本题 12 分）
.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17．（本题 12 分）
在 ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， DC 3. 2
频率 组距 0.00125 0.00100 0.00075 0.00050
0 200 400 600 800 1000 1200 金额（单位：元）
（1）请用抽样的数据预估 2020 年 7、8 两月健身客户人均消费的金额（同一组中的数据用该组区间的
中点值作代表）；
（2）若把 2019 年 7、8 两月健身消费金额不低于 800 元的客户，称为“健身达人”．经数据处理，现
C2 的极坐标方程为 2
9 3 2 cos2.
.
（1）写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程；
（2）若 C1 与 y 轴交于点 M ， C1 与 C2 相交于 A、 B 两点，求 | MA | | MB | 的值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]（本题 10 分） （1）已知 f (x) | x a | | x | ，若存在实数 x ，使 f (x) 2 成立，求实数 a 的取值范围； （2）若 m 0 ， n 0 ，且 m n 3 ，求证： 1 4 3 ． mn
C． 5 2
D．10 2
9．如图，已知平行四边形 ABCD 中，BAD 60 ， AB 2AD ，E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE
翻折成 A1DE .若 M 为线段 A1C 的中点，则在 ADE 翻折A过1 程中，给出以下命题：
①线段 BM 的长是定值；
M
②存在某个位置，使 DE A1C ；
解：（1）由
b c
3, 及 a2 b2 c2 ，得 a 2 ， b
3.
a c 1,
所以，椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 . 43
……………………………（4 分）
（2）当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y kx m(m 0) ，代入椭圆方程，整理，得
(4k2 3)x2 8kmx 4m2 12 0 .
三、解答题： 17．（本题 12 分）
在 ABC 中，已知 AB 5 6 ， AC 7 ， D 是 BC 边上的一点， AD 5 ， DC 3. 2
（1）求 B ； （2）求 ABC 的面积.
解：（1）在 ADC 中，由余弦定理，得 cos ADC 1 ， 2
所以 ADC 120，从而 ADB 60 .
D． a ， b 的大小关系不确定
页
2第
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． (2x 1 )6 的展开式中， x3 项的系数是______.
x 14．已知一组数据 10，5，4，2，2，2， x ，且这组数据的平均数与众数的和是中位数的 2 倍，则 x 所有可
能的取值为______.
③点 ( 2π ,0) 为函数 f (x) 的一个对称中心； 3
④函数 f (x) 的图象向右平移 π 个单位后得 3
到 y 2 sin 2x 的图象.
其中正确说法的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
11．已知
F1，F2 分别为双曲线
x2 9
y2 4
1 的左、右焦点，过
F2 且倾斜角为
60°的直线与双曲线的右支交于
页
1第
A． (,48)
B. (,36)
C． (,16)
D． (16,)
8．已知过抛物线 y2 4x 焦点 F 的直线与抛物线交于点 A ， B ， | AF | 2 | FB | ，抛物线的准线 l 与 x 轴交
于点 C ， AM l 于点 M ，则四边形 AMCF 的面积为
A． 5 2 4
B. 5 2 2
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题 10 分）
2
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C1
的参数方程为
x
2
t,
（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正
y
2
2t 2ห้องสมุดไป่ตู้
半轴为极轴的极坐标系中，曲线
A，B
两点，记 AF1F2 的内切圆半径为
r1， BF1F2 的内切圆半径为
r2，则
r1 r2
的值等于
A．3
B．2
C． 3
D． 2
12．已知函数 f (x) xex ln x x 2 ， g(x) ex2 ln x x 的最小值分别为 a ， b ，则 x
A． a b
B． a b
C． a b
由 0 ，得 4k2 m2 3 0 .
设
A( x1,
y1)
，
B( x2 ,
C1
B1
A
F
D
C
E
B
19．（本题 12 分）
页
3第
已知椭圆 E
： x2 a2
y2 b2
1(a
b 0)
的两焦点与短轴一端点组成一个正三角形的三个顶点，且焦点到椭
圆上的点的最短距离为 1.
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若不过原点的直线 l 与椭圆交于 A ， B 两点，求 OAB 面积的最大值.
（1）求 B ； （2）求 ABC 的面积.
18．（本题 12 分）
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC AB ，A1A AB AC 2 ，D ，E ，F 分别为 AB ，BC ，B1B A1
的中点.
（1）证明：平面 A1C1F 平面 B1DE ； （2）求二面角 B B1E D 的正弦值.
A． a b c
B． a c b
C． c b a
D． c a b
5．等腰直角三角形 ABC 中， ACB π ， AC BC 2 ，点 P 是斜边 AB 上一点，且 BP 2PA ，那么 2
CPCA CPCB
A． 4
B. 2
C．2
D．4
6．某学校成立了 A、B、C 三个课外学习小组，每位学生只能申请进入其中一个学习小组学习.申请其中
页
5第
武昌区 2020 届高三年级元月调研考试 理科数学参考答案及评分细则
一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B D D D A C B C A A
二、填空题： 13. 240 14. 11，3，17
15. 7 2 8
16. 3π 或 9π 48
20．（本题 12 分） 某健身馆在 2019 年 7、8 两月推出优惠项目吸引了一批客户．为预估 2020 年 7、8 两月客户投入的健
身消费金额，健身馆随机抽样统计了 2019 年 7、8 两月 100 名客户的消费金额，分组如下：[ 0，200 ) ，[ 200，
400 ) ， [ 400，600 ) ，…， [ 1000，1200 ] （单位：元），得到如图所示的频率分布直方图：
15．过动点 M 作圆 C ：(x 2)2 ( y 2)2 1 的切线，N 为切点.若 | MN || MO | ( O 为坐标原点)，则 | MN | 的
最小值为______.
16．用 M I 表示函数 y sin x 在闭区间 I 上的最大值，若正数 a 满足 M[0,a] 2M[a,2a] ，则 a 的值为