数学竞赛专题讲座平面几何

几个常用基本知识
在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面 积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积 最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周 长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长 最小。

（二）、《高中数学竞赛大纲 》中平面几 何的要求
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密 定理、西姆松定理．
平面几何初步

一．平面几何主要知识点

平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证 法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复 数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐， 现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积 及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性 质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之 和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的 等周问题。
则有 AR BP CQ 1. RB PC QA
结论反过来 也成立.

(西姆松定理及其逆定理) 例题：点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从点 P 向 BC、CA、AB引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
BA1 BP cosPBC , CB1 CP cosPCA , CA1 CP cosPCB AB1 AP cosPAC

BC ED AD BC AC ED AC AD

AB CD AD BC AC (BE ED)

AB CD AD BC ≥ AC BD
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四

边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.

平面几何的几个重要的定理
3、塞瓦定理：

设 P、Q、R 分 别 是 ABC的BC、CA、AB 边 上 的 点 , 则

ABCD AD BC ≥ AC BD , 并且当 且仅当 四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.

证明:四边形 ABCD 内取点 E,

使BAE CAD，ABE ACD,ABE和ACD相似

AB BE AB CD AC BE又 AB AE

AC CD

AC AD

且BAC EAD ABC和AED相似

2

2

2

如果已知外心或通过分析“挖掘”出外心，与外心

有关的几何定理，尤其是圆周角与圆心角关系定理，就

可以大显神通了.

例题：AB 为半圆 O 的直径，其弦 AF、BE 相交于 Q，过 E、 F 分别作半圆的切线得交点 P，求证：PQ⊥AB. 分析：延长 EP 到 K，使 PK=PE，连 KF、AE、EF、BF， 直线 PQ 交 AB 于 H.因∠EQF=∠AQB

内心: 三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆

圆心.△ABC 的内心一般用字母 I 表示，它具有如下性质：

(1)内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角.

(2)∠A 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D，则 D 与顶点 B、C、

内心 I 等距(即 D 为△BCI 的外心).
三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心,统称为三角形的五心.
关于三角形的五心,主要掌握三个方面的问题: 一.这五心是怎么来的 二.与五心有关的性质
三.与三角形的五心有关的几何竞赛题.

重心:三角形三条中线的交点.△ABC 的重心一般用字 母 G 表示，它有如下的性质：

(1)顶点与重心 G 的连线(中线)必平分对边.中线

长的计算.

(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与 对边中点的距离的 2 倍.

(3)

SBGC



SCGA



SAGB



1 3

SABC .

外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点).

△ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：

(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.

(2)∠A= 1 BOC,B 1 AOC,C 1 AOB .
=( 90 －∠1)+( 90 +∠2) =∠ABF+∠BAE=∠QFP+∠QEP， 又由 PK=PE=PF 知∠K=∠PFK，
∴∠EQF+∠K=∠QFK+∠QEK= 180 ， 从而 E、Q、F、K 四点共圆. 由 PK=PF=PE 知，P 为△EFK 的外心，显然 PQ=PE=PF.于 是∠1+∠AQH=∠1+PQF=∠1+∠PFQ=∠1+∠AFP=∠1+∠ ABF=90º .由此知 QH⊥AH，即 PQ⊥AB.
三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线． 几何不等式． 几何极值问题． 几何中的变换：对称、平移、旋转． 圆的幂和根轴． 面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．

（一）、平面几何的几个重要的定理 1、梅涅劳斯定理及其逆定理
若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 P、Q、R，

AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:

BP PC



CQ QA



AR RB

1.

A

R M

Q

B

PC

平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从△ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，
垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
这条直线叫西姆松线.

（二）三角形的五心
AC1 AP cosPAB BC1 PB cosPBA
由上面的三个式子相乘 且 PAC PBC,PAB PCB,PCA PBA 180
可得 BA1 CB1 AC1 ＝1 ， CA1 AB1 BC1

平面几何的几个重要的定理
托勒密定理：
圆内接四边形中，两 条对角线的乘积(两对角线所包矩 形的面积)等于两组 对边乘积之和(一组对边所包矩形的面
积与另一组对边所包 矩形的面积之和)．
即：若四边形 ABCD 内接于圆,
则有 AB CD AD BC AC BD.
广义的托勒密定理
在四边形 ABCD 中,
有: AΒιβλιοθήκη BaiduCD AD BC ≥ AC BD ,
并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成 立.

广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有: