计算机数学基础(2)作业3选解
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. 计算机数学基础(2)
作业3选解
一、单项选择题
1. 求积公式)1()1(f f I n +-=在[－1,1]上是( )次代数精度的． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 答案：A ．
解答：详细判断过程同“四、证明题：1”．
2. 对于( )次的代数多项式,求积公式∑⎰=≈
n
k k k
b
a x f A
x x f 0
)(d )(
精确成立,称具有m 次代数精度的. A ． m B ． 不超过m C ． 小于m D ． 大于m 答案：B ．
解答：见教材第12章12.1节关于m 次代数精度的定义1．
3. 当n =4时,复化抛物线求积公式≈⎰b
a x x f d )(( )．
A ．3
a b -[f (x 0)+ f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)+ f (x 4)] B ． 12a b -[f (x 0)+4( f (x 1)+ f (x 3))+2f (x 2)+ f (x 4)] C ． 6a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)]+ f (x 4)] D ．
3
a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 3))+4f (x 2)+ f (x 4)]
答案：B ．
解答：牛顿－科茨求积公式的所有系数之和等于积分的区间长度．以此检查各个选项，只有选项B 正确．
4. 已知x =0,1处的函数值f (0)和f (1),那么f '(1)≈( )．
A ．f (0)－f (1)
B ． )0()1(f f -
C ． f (0)
D ．)]1()0([21
f f +
答案：B ．
解答：见教材第12章12.4节等距节点两点求导公式(4.4)． 二、填空题
1.科茨系数)
(n k C 具有性质 和 ．
答案：∑=n
k n k C 0
)(＝1；)
()
(n k n n k
C C -=．
解答：见教材关于科茨系数的两条性质，∑=n
k n k C 0
)(＝1称为归一性．)
(n k C 与a ，b 无关，
)()(n k
n n k
C
C
-=(称为对称性)．
4. 已知f (x 0)=y 0, f (x 1)=y 1, f (x 2)=y 2,用三点求导公式,有
f '(x 0)= , f '(x 1)= , f '(x 2)= , 答案：)34(21)();(21)();43(21)(21022012100y y y h
x f y y h
x f y y y h
x f +-≈
'+-≈
'-+-≈
'
解答：见教材第12章12.4节等距节点三点求导公式(4.6)． 三、计算题
1. 分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分⎰
=
1
d e x I x
的近似值．
解 将
85915.1)1783.21(2
1d e 1
≈+≈
=
⎰
x I x
T
用复化梯形求积公式，25.0=h ．有
⎰
=
1
d e x I x
T ≈
7272.1]7183.2)117.26487.1284.1(21[225.0≈++++
用抛物线求积公式，h ＝0.5，则有
71885.1]1783.26487.141[3
5.0d e 10
=+⨯+≈
=
⎰x I x
S
用复化抛物线求积公式化，h =0.25，则有
7183.1]7183.26487.12)117.2284.1(41[3
25.0d e 10
≈+⨯++⨯+≈
=
⎰
x I x
S
用科茨求积公式，有
71827.1)
7183.27117.2326487.112284.13217(901d e 10≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈=⎰x I x
C 精确解⎰
=
1
d e x I x
＝e ≈2.71828
2. 用两点高斯求积公式计算积分⎰+1
2
d 1x x ．
解 因为这不是[－1，1]区间上的积分计算，因此需作变换，令
2
12+
=
u x ，则u=2x －1．当x =1时，u =1;当x =0时，u =－1．有
x x d 11
2
⎰
+＝
u u
d )2
21
(
121
1
12
⎰
-+
+
两个节点，查表得到高斯点x 0,1=±0.5773502692，系数A 0,1=1．代入公式
x x d 11
2
⎰
+＝+-
+2
)2
5773502692.021(1[21
])2
5773502692
.021(
12
+
+
＝
2
1(1.022085221+1.273580962)=1.147833092
说明：(1)
x x d 11
2
⎰
+＝
2
11
2
)5773502692
.0(1[2
1d 12
1-+≈
+⎰
-x x
+154700538
.1])5773502692.0(12
=+
是不对的．
这时因为作变换后，函数y =2
)
2
2
1(1u +
+在[－1,1]上并不对称，按对称计算
2
1u y +=
不对．
（2） 事实上：