河北科技大学复变函数试题与答案 (2)
复变函数期末试卷及答案2套
1 复变函数与积分变换（B 卷）（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设1z =，则（ ）A ．||1,arg 3z z π== B ．||2,arg 3z z π==- C ．||2,arg 3z z π== D ．||4,arg 3z z π==-2．下列等式成立的是（ ） A ．1i e π=- B ．1i eπ--=- C ．1i e π-=- D ．21ieπ=-3．函数2()||f z z =在复平面上（ ）A ．处处不连续B ．处处连续，在点0z =解析C ．处处连续，处处不可导D ．处处连续，仅在点0z =可导 4．下列复数中为实数的是( )A 3(1)i -B ln iC ii D 5．设C 为从0z =到1z i =+的直线段，则积分Czdz =⎰（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．1i +6. 设C 为正向单位圆周||1z =，则积分z Ce dz =⎰( ).A ．1B ．2πC ．0D ．2i π7. 设C 是绕点0z 的正向简单闭曲线，则积分53()C z dz z z =-⎰ ( ).A ．0B ．2i πC ．502z i πD ．3020z i π8．函数1()2f z z=+ 在点00z =的泰勒展开式为 ( ) A.10(1)2n nnn z +∞=-∑ B. 1(1)2n nn n z ∞+=-∑ C. 02n n n z ∞=∑ D.12nn n z ∞=∑ 9. 0z =是函数3sin ()z zf z z-=的（ ） A ．本性奇点 B ．可去奇点 C ．一级极点 D ．二级极点课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:10.设1()(2)zf z z e =+，则Re [(),0]s f z =（ ） A ．12 B ．32 C ．2 D ．52二、填空题(每空3分，共15分)1 设复数z 满足(2)3i z +=，则z =__________。
14-15-1复变、积变与场论A
河北科技大学理工学院2014——2015学年第一学期《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷(A )学院 理工学院 班级 姓名 学号一、填空题。
（本题共10个空，每空2分，共20分；将正确答案填在题中的横线上） 1、i --1的模 ，辐角主值 。
2、i 的三角表示式 ，指数表示式 。
3、k xy j zx i yz A ρρρρ222++=，则A rot ρ= 。
4、∑∞=-11n n nz 的收敛半径为 。
5、∑∞=12n ni n。
（绝对收敛或条件收敛）6、若i z 43+-=，则=Lnz ，=z ln 。
7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,32Re 2z z s ＝ 。
二、选择题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1、设iz t t=+（t 为参数），则其表示（ ）图形。
A)直线 B)双曲线 C ）圆 D)抛物线 2、下列函数中为解析函数的是 （ ）。
A)()f z =2x iy - B) ()f z =3323x i y + C ）()f z =22xy ix y + D) ()f z =323z iz + 3、设1z e i =-，则z Im =( )。
A) 4π-B) 24k ππ- C ）4πD) 24k ππ+ ( A ) 共（ 2 ）页，第（ 1 ）页4、设)(z f 是复平面上的解析函数，C 是简单闭曲线，则0()Cf z dz z z -⎰Ñ=0（其中0()0f z ≠）在下列（ ）条件下成立？A) 0z 在C 内 B) 0z 在C 外 C ）0z 在C 上 D)A,B,C 均不对5、()f z =2(2)ze z -在z =2的留数（ ）。
A) 0 B)1 C ）2e D) 22e 三、判断下列命题的对错，对的在其后面的括号内打“√”，错误的在其后的括号内打“╳”。
（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.i i 2<.（ ）2.仅存在一个数z ，使得z z-=1.（ ）3.如果)(z f 在0z 连续，那末)(0z f '存在。
复变函数积分变换与场论试题A卷
河北科技大学2012—2013学年第一学期《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷（A 卷） 学院： 班级： 姓名： 学号：一、 填空题（每空3分，共24分） 1.11cos z dz z ==⎰ . 2. 1i n n n e z π∞=∑的收敛半径为 . 3.(1)ii += . 4.51z z e dz z =⎰= . 5.0z =是sin ()z f z z=的 奇点，且Re [(),0]s f z = . 6.232t t ++拉氏变换为 .7.已知3()f t t =，则()f t 的傅氏变换为 .二、 选择题（每小题3分，共12分）.1.下列级数中，绝对收敛的为（ ）A. 111n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑B.1(1)n n n ∞=-∑C. 1ln n n i n ∞=∑ D. 1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2.22()()2f z x y xyi =-+,则()f z '=（ ）A. 22x yi +B. 22y xi +C. 22x yi -D. 22y xi -3.下列叙述不正确的是（ ）A.解析函数的导数仍为解析导数B.()f z 在0z 可导，则()f z 在0z 解析C.()(,)(,)f z u x y iv x y =+在D 区域内解析，则(,)u x y 、(,)v x y 都是D 内的调和函数D.若0z 是()f z 的孤立奇点，则()f z 在0z 的去心邻域内可以展成洛朗级数0()n n n C z z +∞=-∞-∑4. 设()1z f z z e =+ ，则下列叙述正确的是（ ）A. 0z =是()f z 的一级极点，z =∞是()f z 的可去奇点B. 0z =是()f z 的一级极点，z =∞是()f z 的一级极点C. 0z =是()f z 的可去奇点，z =∞是()f z 的一级极点D. 0z =是()f z 的本性奇点，z =∞是()f z 的一级极点三、计算题（每小题6分，共36分）.1.将221(1)z +展开成z 的幂级数. 2.2(1)z z e dz z z =-⎰. 3.在(0,)+∞上求sin cos t t *.4.证明22y v x y =+为调和函数，并求解析函数()f z u iv =+. 5.求数量场23(,,)u x y z xy yz =+在点M(2,1,1)-处的梯度及在矢量22l i j k =+-方向的方向导数.6.求矢量场222222A y z i z x j x y k =++的散度和旋度.四、解答题(每小题9分，共18分).1.把函数()21()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数. 2.求微分方程321y y y '''++=，(0)(0)0y y '==的解. 五、证明题(共10分.请将证明写在答题纸指定位置,应写出主要的证明过程).求函数()sin ,0,t t f t t ππ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的Fourier 积分,并推证: 20sin ,sin sin 210,t t t d t ππωπωωωπ+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰.。
(完整word版)《复变函数》考试试题与答案各种总结(2)
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题（20分）:1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f （z)在z 0解析. （ ） 2。
有界整函数必在整个复平面为常数. （ ) 3。
若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )4.若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)(（常数）. ( ）5。
若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
( ） 6。
若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f （z)的可去奇点。
( ）8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ） 9。
若f (z )在区域D 内解析， 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )10。
若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数。
（ ） 二.填空题(20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________.（n 为自然数)2。
=+z z 22cos sin _________. 3。
函数z sin 的周期为___________.4。
设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________。
5。
幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________。
6。
若函数f （z)在整个平面上处处解析，则称它是__________.7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21______________。
8.=)0,(Re n zz e s ________，其中n 为自然数。
9. zz sin 的孤立奇点为________ 。
10.若0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三。
《复变函数》考试试题与答案各种总结.docx
---《复变函数》考试试题（一）一、判断题（ 20 分）：1. 若 f(z) 在 z 0 的某个邻域内可导，则函数f(z) 在 z 0 解析 .2. 有界整函数必在整个复平面为常数.3. 若{ z n }收敛，则{Re z n } 与{Im z n }都收敛 .4. 若 f(z) 在区域 D 内解析，且f '( z)，则f ( z) C（常数） 5. 若函数 f(z) 在 z 0 处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数6. 若 z 0 是 f ( z)的 m 阶零点，则 z 0 是 1/f (z)的 m 阶极点 .lim f ( z)7. 若 zz 0存在且有限，则 z 0 是函数 f(z) 的可去奇点 .( ) ( ) ( ). ( ).( )()()8. 若函数 f(z) 在是区域 D 内的单叶函数，则f ' (z) 0( zD ).()9. 若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线Cf z dz.( )C( )10. 若函数 f(z) 在区域 D 内的某个圆内恒等于常数，则 f(z)在区域 D 内恒等于常数 . （）二. 填空题（ 20 分）1、|z z 0 |dz__________. （ n 为自然数）1 ( z z )n2.sin 2zcos 2z_________.3. 函数sin z的周期为 ___________.f (z)z 2 11，则f ( z)的孤立奇点有 __________.4.设5. 幂级数nz n 的收敛半径为 __________.n 06. 若函数 f(z) 在整个平面上处处解析，则称它是__________.lim z nlimz 1z 2 ...z n7. 若 n，则 nn______________.Res(e z8.n,0)________，其中 n 为自然数 .z---9.sin z的孤立奇点为 ________ .z若z 0 是 f (z)lim f (z)___10. 的极点，则z z.三. 计算题（ 40 分）：f (z)11. 设(z 1)( z 2) ，求 f ( z) 在 D { z : 0 | z | 1} 内的罗朗展式 .1dz.|z| 1cos z2.3. 设f ( z)3 271d{ z :| z | 3} ，试求 f ' (1 i ).Cz，其中 Cz 1w1 的实部与虚部 .4.求复数z四 . 证明题 .(20 分 )1. 函数f (z)在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2. 试证 : f ( z) z(1 z) 在割去线段 0Re z 1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0 Re z 1上岸取正值的那支在 z 1的值 .《复变函数》考试试题（一）参考答案一． 判断题1．× 2．√ ３．√ ４．√５．√6．√ ７．×８．×９．× 10．×二．填空题2 in1 2.1 ；3. 2k ， ( k z) ；4.z i ； 5.11.n；16. 整函数；7. ； 1 ； 9. 0； 10..8.(n 1)!三．计算题 .1. 解因为 0 z 1, 所以 0 z 1f ( z)1 1 1 z zn1 ( z )n.( z 1)(z 2) 1 z 2(1 )n 02 n 0 22---2.解因为z21Re s f (z)lim lim,cosz sin z1 z z z222Re s f (z)lim z2lim1 1 . cosz sin zz z z2 22所以1dz2i(Re s f (z)Re s f (z)0. z2 cosz z2z23.解令 ()3271,则它在 z 平面解析,由柯西公式有在z 3内,f (z)c ()dz2i(z) . z所以 f (1i )2i( z) z 1 i2i (136i )2(613i ) .4.解令 z a bi ,则w z 11212( a1bi )12( a1)2b2. z 1z 1222b22b( a 1) b( a 1)(a 1)z12(a1)z12bb2 .故 Re( z1)1( a1)2b2,Im(z1)(a1)2四. 证明题 .1.证明设在 D 内 f (z) C .令 f ( z) u iv ,2u2v2c2.则 f ( z)两边分别对 x, y 求偏导数,得uu x vv x0(1) uu y vv y0(2)因为函数在 D 内解析,所以 u x v y ,u y v x.代入 (2)则上述方程组变为uu x vv x0 .消去 u x得,(u2v2 )v x0 .vu x uv x01)若 u2v20 ,则 f (z)0 为常数.2)若 v x0,由方程(1) (2) 及C.R.方程有u x0,u y0 , v y0 .所以 u c1, v c2. ( c1 ,c2为常数).---所以 f ( z) c 1 ic 2 为常数 .2. 证明 f ( z)z(1 z) 的支点为 z 0,1 . 于是割去线段 0 Re z 1 的 z 平面内变点就不可能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支 .由于当 z 从支割线上岸一点出发 ,连续变动到 z0,1 时 , 只有 z 的幅角增加. 所以f ( z)z(1 z) 的幅角共增加. 由已知所取分支在支割线上岸取正值 , 于是可认为该分2z1的幅角为, 故 f ( 1)i2i .支在上岸之幅角为 0,因而此分支在2e22《复变函数》考试试题（二）一. 判断题 . （20 分）1. 若函数 f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 内连续，则 u(x,y)与 v(x,y)都在 D 内连续 .( ) 2. cos z 与 sin z 在复平面内有界 .()3.若函数 f(z)在 z 解析，则 f(z)在 z 连续 .()0 04. 有界整函数必为常数 .一定不存在 .()5. 如 0是函数f(z)的本性奇点，则 lim f ( z) ()zz z 06. 若函数 f(z)在 z 0 可导，则 f(z)在 z 0 解析 .()7.若 f(z)在区域 D 内解析 , 则对 D 内任一简单闭曲线 Cf (z)dz0 .C( ) 8. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .() 9. 若 f(z)在区域 D 内解析，则 |f(z)|也在 D 内解析 .()10. 存在一个在零点解析的函数1 ) 0 1 1 1,2,... .f(z) 使 f (且 f ( ) ,nn 1 2n 2n( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 zi ，则 | z | __,arg z__, z __2.设 f (z) ( x 22xy) i(1 sin( x 2y 2 ), z x iy C ，则 limf ( z) ________.z 1i3.|z z 0| 1(zdz_________.z )n（ n 为自然数）---4.幂级数 nz n的收敛半径为__________ .n05.若 z0是 f(z)的 m 阶零点且 m>0，则 z0是f '( z)的 _____零点 .6.函数 e z的周期为 __________.7.方程 2z5z33z 8 0 在单位圆内的零点个数为________.8.设 f ( z)1，则 f (z) 的孤立奇点有_________.21z9.函数 f ( z) | z | 的不解析点之集为________.10. Res(z41,1) ____ . z三. 计算题 . (40 分)1.求函数sin( 2z3)的幂级数展开式 .2.在复平面上取上半虚轴作割线 . 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 z i 处的值.i3.计算积分： I| z | dz，积分路径为（1）单位圆（ | z | 1）i的右半圆 .sin z dzz 2(z) 24.求2.四. 证明题 . (20 分)1. 设函数 f(z)在区域 D 内解析，试证： f(z)在 D 内为常数的充要条件是 f (z) 在D内解析 .2.试用儒歇定理证明代数基本定理 .《复变函数》考试试题（二）参考答案一.判断题 .1．√２．×３．√４．√ ５．× 6．×７．×８．√９．× 10．× .二.填空题---1.1 ，， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 i n14. 1；5. m 1 . 0n；216.2k i ，( k z) .7. 0；8. i；9.R ；10. 0.三.计算题1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n 1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解令 z re i.2 ki则 f ( z)z re2,(k0,1).又因为在正实轴去正实值，所以k0 .所以 f (i)ie 4.3.单位圆的右半圆周为z e i,ide i e i 所以 zdz22i22 4.解.2 2 2i .即 u, v 满足 C.R.,且u x , v y , u y ,v x连续 , 故f ( z)在D内解析 .( 充分性 ) 令f ( z)u iv, 则 f ( z)u iv ,因为 f ( z) 与 f ( z) 在D内解析,所以u x v y , u y v x,且 u x ( v) y v y , u y( v x )v x.比较等式两边得u x v y u y v x0 .从而在 D 内 u, v 均为常数,故f ( z)在 D 内为常数.2. 即要证“任一n次方程a0 z n a1z n1a n 1z a n0(a00) 有且只有n 个根”.证明令 f (z)a0 z n a1z n 1a n1za n0 ,取 R max a1a n,1 ,当 za0在 C : z R 上时,有(z)a1 R n 1an 1R a n( a1a n )R n 1a0R n.f ( z) .由儒歇定理知在圆z R 内,方程 a0 z n a1z n 1a n 1z a n0与 a0 z n0有相---同个数的根 . 而 a 0 z n 0 在 z R 内有一个 n 重根 z 0 . 因此 n 次方程在 z R 内有 n 个根 .《复变函数》考试试题（三）一 . 判断题 . (20 分).1. cos z 与 sin z 的周期均为 2k .( )2. 若 f ( z) 在 z 0 处满足柯西 - 黎曼条件 , 则 f ( z) 在 z 0 解析 . ( )3. 若函数 f ( z) 在 z 0 处解析，则 f ( z) 在 z 0 连续 . ( )4. 若数列 { z n } 收敛，则 {Re z n } 与 {Im z n } 都收敛 .( )5.若函数 f ( z) 是区域 D 内解析且在 D 内的某个圆内恒为常数，则数 f ( z) 在区域 D 内为常数 . ( )6. 若函数 f ( z) 在 z 0 解析，则 f ( z) 在 z 0 的某个邻域内可导 . ()7.如果函数 f ( z) 在 D{ z :| z | 1} 上解析 , 且 | f (z) | 1(| z | 1) , 则| f ( z) | 1(| z | 1) .（ ）8.若函数 f ( z) 在 z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 9. 若 z 0 是 f ( z) 的 m 阶零点 , 则 z 0 是 1/ f ( z) 的 m 阶极点 . ( )10.若z 0 是 f (z)的可去奇点，则 Res( f ( z), z 0 ) 0. ( )二 . 填空题 . (20 分)1. 设 f ( z)1 ，则 f ( z) 的定义域为 ___________.2 z 12. 函数 e z 的周期为 _________.3. 若 z nn 2 i (1 1) n ，则 lim z n__________.1 nnn4. sin 2 z cos 2 z___________.dz5.|z z 0 | 1(z z )n（ n 为自然数）_________.6. 幂级数nx n 的收敛半径为 __________.n设 f (z) 1f z 的孤立奇点有z 2 1，则7.( ) __________.ez---9.若 z 是 f (z)的极点，则 lim f (z) ___ .z z 0z10.Res(en ,0) ____ .z三 . 计算题 . (40 分)11. 将函数 f ( z) z 2e z 在圆环域 0 z内展为 Laurent 级数 .2. 试求幂级数n!z n的收敛半径 .n nn3. 算下列积分：e zdz，其中 C是| z |1.Cz 2 (z29)4. 求 z92z6z 28z 2 0 在| z|<1内根的个数 .四 . 证明题 . (20 分)1.函数 f (z) 在区域 D 内解析 . 证明：如果 | f ( z) |在 D 内为常数，那么它在D 内为常数 .2.设 f (z) 是一整函数，并且假定存在着一个正整数 n ，以及两个正数 R 及 M ，使得当 | z|R 时| f ( z) |M | z |n，证明 f (z) 是一个至多 n 次的多项式或一常数。
复变函数与积分变换五套试题及答案
（2 分） （2 分） （2 分）
7
Re s[ f (z), ] 1
（1 分）
6．解：原式（3
分）
2iRe
s
z
ze z 2
1
,1
Re s
z
ze z 2
1
,1
zi i（ cos z）zi i cos i = ich1
五、1．解：
f
(z)
（1分）
1 (z i)
z
1 i
i
（1分） 1 (z i)
1 i 31
1 z
i i
（1分） 1 z
i
1 i
n0
z
i
i n
n1
（3分）2i
e 2
e 1 2
2i ch1
（1 分）
7．解：
原式=（2 分）
1 dz =（1 分）
2i dz
| z | 1
2
z2
1
iz
|z|1 z 2 4z 1
2z
=（1 分）
2i
dz
|z|1 (z 2 3)(z 2 3)
数，且 f(0)=0。
三、（10 分）应用留数的相关定理计算
dz
|z|2 z 6 (z 1)(z 3)
四、计算积分（5 分×2）
dz
1． |z|2 z(z 1)
2． cos z c (z i)3
C：绕点 i 一周正向任意简单闭曲线。
14-15-1复变、积变与场论A答案
河北科技大学理工学院2014—2015学年第一学期《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷）学院 理工学院 年级 13级 _考试班级 电气类L13一、填空题。
（本题共10个空，每空2分，共20分；将正确答案填在题中的横线上）1、2，π43-2、2sin 2cos ππi +， 2πi e 3、k z xz j y zy i x xy ρρρ)2()2()2(222-+-+-4、15、i k i ππ2)34arctan (5ln +-+，)34arctan (5ln -+πi 6、绝对收敛 7、0二、（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1、B 2、D 3、B 4、B 5、C三、判断下列命题的对错，对的在其后面的括号内打“√”，错误的在其后的括号内打“╳”（本题共5小题，每小题2分，共10分）。
1 ╳2 ╳3 ╳4 ╳5 ╳ 四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 将221(1)z +展开成z 的幂级数. 解：由211(1),11n n z z z z z=-+++-+<+L L …………………3分 12112(1),1(1)n n z n z z z --=-++-+<+L L …………………4分 212(1)222112(1)(1)(1),1(1)n n n n nn z nz n z z z =∞--==-++-+=-+<+∑L L ………3分 2. 把函数()21()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数。
解：（1）在01z i <-<内 …………………1分A 卷标准答案 共（ 4 ）页，第（ 1 ）页()21()f z z z i =-11z i z '⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭…………………2分211i z z i z i i i '⎛⎫--⎛⎫=⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭L ()2111(1)n n n n nz i i∞--+==--∑ …………………2分（2）在1z i <-<+∞内 …………………1分()21()f z z z i =-11z i z '⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭…………………2分2341123()()()i z i z i z i z i ⎛⎫--=⋅+-+ ⎪----⎝⎭L 3(1)(1)()nnn n n i z i ∞+=+=--∑ ………………2分 五、（本题10分）用两种方法计算积分421z zdz z =-⎰Ñ。
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、选择题（每题2分，共40分）1. 下列哪个不是复数的实部？A. 2B. -3iC. -4D. 5i答案：B2. 设z = x + yi，其中x和y都是实数，若z和z*的虚部相等，则x和y满足的关系是：A. x = yB. x = -yC. x = 0D. y = 0答案：C3. 设复函数f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y)和v(x, y)是光滑函数，若f(z)满足Cauchy-Riemann方程，则u和v满足的关系是：A. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = -∂v/∂xB. ∂u/∂x = ∂v/∂y，∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂y = -∂v/∂x，∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x，∂u/∂x = -∂v/∂y答案：A4. 设f(z)是复平面上的解析函数，若f(z)的实部为2x^2 + 3y，则f(z)的虚部为：A. 2x^2 - 3yB. 3yC. 2x^2D. 2x^3 + 3y答案：C5. 若f(z) = z^3，其中z为复数，则f(z)的导数为：A. 3z^2B. z^2C. 2zD. 0答案：A......二、计算题（共60分）1. 计算下列复数的模和辐角：（1）z1 = 3 + 4i（2）z2 = -2 + 2i（3）z3 = -4 - 3i答案：（1）|z1| = sqrt(3^2 + 4^2) = 5，arg(z1) = arctan(4/3)（2）|z2| = sqrt((-2)^2 + 2^2) = 2sqrt(2)，arg(z2) = arctan(2/(-2)) + π = -π/4（3）|z3| = sqrt((-4)^2 + (-3)^2) = 5，arg(z3) = arctan((-3)/(-4)) + π = π/42. 设复数z满足|z-2| = 3，且arg(z-2) = π/3，求z的值答案：由题意得，z-2的模为3，即|z-2| = 3，且z-2的辐角为π/3，即arg(z-2) = π/3根据复数的模和辐角定义，可以得到：3 = |z-2| = sqrt((Re(z-2))^2 + (Im(z-2))^2)π/3 = arg(z-2) = arctan((Im(z-2))/(Re(z-2)))解方程组可以得到：Re(z-2) = 3/2Im(z-2) = 3sqrt(3)/2再加上z-2 = Re(z-2) + Im(z-2)i，可以计算得到：z = 3/2 + 3sqrt(3)/2 + 2 = 2 + 3sqrt(3)/23. 将复数z = 1 + i转化为极坐标形式，并计算z^3的值。
《复变函数》考试试题与答案各种总结
《复变函数》考试试题(一)一、 判断题(20分):1、若f(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(z)在z 0解析、 ( )2、有界整函数必在整个复平面为常数、 ( )3、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )4、若f(z)在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)、 ( )5、若函数f(z)在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、 ( )6、若z 0就是)(z f 的m 阶零点,则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0就是函数f(z)的可去奇点、 ( )8、若函数f(z)在就是区域D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈∀≠、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f 、( )10、若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数,则f(z)在区域D 内恒等于常数、( ) 二、填空题(20分)1、 =-⎰=-1||00)(z z nz z dz__________、(n 为自然数)2、=+z z 22cos sin _________、 3、函数z sin 的周期为___________、4、设11)(2+=z z f ,则)(z f 的孤立奇点有__________、5、幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为__________、6、若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它就是__________、7、若ξ=∞→n n z lim ,则=+++∞→n z z z nn (i)21______________、8、=)0,(Re n zz e s ________,其中n 为自然数、9、 zz sin 的孤立奇点为________ 、10、若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、三、计算题(40分):1、 设)2)(1(1)(--=z z z f ,求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式、2、 .cos 11||⎰=z dz z3、 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2,其中}3|:|{==z z C ,试求).1('i f +4、 求复数11+-=z z w 的实部与虚部、四、 证明题、(20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 试证: ()f z =0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值、 《复变函数》考试试题(一)参考答案一． 判断题1.×2.√ ３.√ ４.√ ５.√ 6.√ ７.×８.×９.×10.× 二.填空题 1、 2101i n n π=⎧⎨≠⎩ ; 2、 1; 3、 2k π,()k z ∈; 4、 z i =±; 5、 16、 整函数;7、 ξ;8、 1(1)!n -; 9、 0; 10、 ∞、三.计算题、1、 解 因为01,z << 所以01z <<111()(1)(2)12(1)2f z z z z z ==-----001()22nn n n z z ∞∞===-∑∑、 2、 解 因为22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z z ππππ→→=+===--, 22212Re ()limlim 1cos sin z z z z s f z z zππππ→-→-=--===-、 所以22212(Re ()Re ()0cos z z z dz i s f z s f z z πππ==-==+=⎰、 3、 解 令2()371ϕλλλ=++, 则它在z 平面解析, 由柯西公式有在3z <内, ()()2()c f z dz i z z ϕλπϕλ==-⎰、所以1(1)2()2(136)2(613)z i f i i z i i i πϕππ=+''+==+=-+、 4、 解 令z a bi =+, 则 222222122(1)2(1)211111(1)(1)(1)z a bi a bw z z a b a b a b -+-+==-=-=-+++++++++、 故 2212(1)Re()11(1)z a z a b -+=-+++, 2212Im()1(1)z bz a b-=+++、 四、 证明题、1、 证明 设在D 内()f z C =、令2222(),()f z u iv f z u v c =+=+=则、两边分别对,x y 求偏导数, 得 0(1)0(2)x x yy uu vv uu vv +=⎧⎨+=⎩因为函数在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-、 代入 (2) 则上述方程组变为00x x x x uu vv vu uv +=⎧⎨-=⎩、 消去x u 得, 22()0x u v v +=、 1) 若220u v +=, 则 ()0f z = 为常数、2) 若0x v =, 由方程 (1) (2) 及 ..C R -方程有0,x u = 0y u =, 0y v =、 所以12,u c v c ==、 (12,c c 为常数)、 所以12()f z c ic =+为常数、2、证明()f z =0,1z =、 于就是割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支、由于当z 从支割线上岸一点出发,连续变动到0,1z = 时, 只有z 的幅角增加π、 所以()f z =2π、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为该分支在上岸之幅角为0, 因而此分支在1z =-的幅角为2π,故2(1)i f e π-==、《复变函数》考试试题(二)一. 判断题、(20分)1、 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续、 ( )2、 cos z 与sin z 在复平面内有界、 ( )3、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 有界整函数必为常数、 ( )5、 如z 0就是函数f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在、 ( )6、 若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析、 ( )7、 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f 、( )8、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( ) 9、 若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析、 ( )10、 存在一个在零点解析的函数f (z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设i z -=,则____,arg __,||===z z z2、设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222,则=+→)(lim 1z f iz ________、3、=-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数)4、 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为__________ 、5、 若z 0就是f (z )的m 阶零点且m >0,则z 0就是)('z f 的_____零点、6、 函数e z 的周期为__________、7、 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为________、 8、 设211)(zz f +=,则)(z f 的孤立奇点有_________、 9、 函数||)(z z f =的不解析点之集为________、10、 ____)1,1(Res 4=-zz 、 三、 计算题、 (40分)1、 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式、2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值、3、 计算积分:⎰-=iiz z Id ||,积分路径为(1)单位圆(1||=z )的右半圆、4、 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π、四、 证明题、 (20分)1、 设函数f (z )在区域D 内解析,试证:f (z )在D 内为常数的充要条件就是)(z f 在D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、《复变函数》考试试题(二)参考答案一. 判断题、1.√ ２.×３.√ ４.√ ５.×6.×７.×８.√ ９.×10.×、 二、 填空题1、1,2π-, i ; 2、 3(1sin 2)i +-; 3、2101i n n π=⎧⎨≠⎩; 4、 1; 5、 1m -、 6、 2k i π,()k z ∈、 7、 0; 8、 i ±; 9、 R ; 10、 0、 三、 计算题1、 解 3212163300(1)(2)(1)2sin(2)(21)!(21)!n n n n n n n z z z n n +++∞∞==--==++∑∑、2、 解 令i z re θ=、则22(),(0,1)k if z k θπ+===、又因为在正实轴去正实值,所以0k =、所以4()if i eπ=、3、 单位圆的右半圆周为i z e θ=, 22ππθ-≤≤、所以22222ii i iz dz de ei ππθθππ---===⎰⎰、4、 解dz z zz ⎰=-22)2(sin π2)(sin 2ππ='=z z i 2cos 2ππ==z zi =0、四、 证明题、1、 证明 (必要性) 令12()f z c ic =+,则12()f z c ic =-、 (12,c c 为实常数)、 令12(,),(,)u x y c v x y c ==-、 则0x y y x u v u v ====、 即,u v 满足..C R -, 且,,,x y y x u v u v 连续, 故()f z 在D 内解析、 (充分性) 令()f z u iv =+, 则 ()f z u iv =-, 因为()f z 与()f z 在D 内解析, 所以,x y y x u v u v ==-, 且(),()x y y y x x u v v u v v =-=-=--=-、比较等式两边得 0x y y x u v u v ====、 从而在D 内,u v 均为常数,故()f z 在D 内为常数、2、 即要证“任一 n 次方程 101100(0)n n n n a z a z a z a a --++⋅⋅⋅++=≠ 有且只有 n 个根”、证明 令1011()0nn n n f z a z a z a z a --=++⋅⋅⋅++=, 取10max ,1n a a R a ⎧⎫+⋅⋅⋅+⎪⎪>⎨⎬⎪⎪⎩⎭, 当z 在:C z R =上时, 有 111110()()n n nn n n z a R a R a a a R a R ϕ---≤+⋅⋅⋅++<+⋅⋅⋅+<、()f z =、由儒歇定理知在圆 z R < 内, 方程10110n n n n a z a z a z a --++⋅⋅⋅++= 与 00na z = 有相 同个数的根、 而 00na z = 在 z R < 内有一个 n 重根 0z =、 因此n 次方程在z R <内有n 个根、《复变函数》考试试题(三)一、 判断题、 (20分)、1、 cos z 与sin z 的周期均为πk2、 ( ) 2、 若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f (z )在z 0解析、 ( )3、 若函数f (z )在z 0处解析,则f (z )在z 0连续、 ( )4、 若数列}{n z 收敛,则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛、 ( )5、 若函数f (z )就是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数,则数f (z )在区域D 内为常数、 ( )6、 若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导、 ( )7、 如果函数f (z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f 、 ( )8、 若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数、( )9、 若z 0就是)(z f 的m 阶零点, 则z 0就是1/)(z f 的m 阶极点、 ( ) 10、 若z 就是)(z f 的可去奇点,则)),((Res 0=z z f 、( )二、 填空题、 (20分)1、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的定义域为___________、2、 函数e z的周期为_________、3、 若n n n i n n z )11(12++-+=,则=∞→n z n lim __________、4、 =+z z 22cos sin ___________、5、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz_________、(n 为自然数) 6、 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为__________、7、 设11)(2+=z z f ,则f (z )的孤立奇点有__________、8、 设1-=ze ,则___=z 、9、 若0z 就是)(z f 的极点,则___)(lim 0=→z f z z 、10、 ____)0,(Res =n zze 、三、 计算题、 (40分)1、 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数、2、 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径、3、 算下列积分:⎰-C z z z ze )9(d 22,其中C 就是1||=z 、4、 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数、四、 证明题、 (20分) 1、 函数)(z f 在区域D 内解析、 证明:如果|)(|z f 在D 内为常数,那么它在D 内为常数、 2、 设)(z f 就是一整函数,并且假定存在着一个正整数n ,以及两个正数R 及M ,使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤,证明)(z f 就是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数考试答案
复变函数考试答案单选题（共40题，每题2分）1 .• A.充分• B.必要• C.充要• D.以上都不对2 .• A.只有一个• B.至少一个• C.没有• D.无法确定3 .• A.•• B.•• C.•• D.•4 .• A.•• B.•• C.•• D.•5 .• A.•• B.•• C.•• D.•6 .• A.•• B.•• C.•• D.•7 .• A.•• B.•• C.-1• D.18 .• A.•• B.•• C.•• D.•9 .• A.条件收敛• B.绝对收敛• C.发散• D.以上都不是• A.0• B.•• C.•• D.•11 .• A.连续• B.可导• C.可微• D.某一邻域内可微• A.•• B.•• C.•• D.•13 .• A.•• B.•• C.•• D.以上都不对14 .• A.直线• B.圆• C.双曲线• D.抛物线15 .• A.负实轴•• B.正实轴• C.实轴• D.单位圆16 .• A.•• B.•• C.•• D.•17 .• A.•• B.•• C.•• D.•18 .• A.第一、二、三• B.第二、三、四• C.第三、四、一• D.第四、一、二19 .• A.•• B.•• C.•• D.•20 .• A.三点共圆• B.三点共线• C.•• D.•••••• A.•• B.•• C.•• D.023 .• A.无关• B.有关• C.不一定有关• D.与方向有关24 .• A.1• B.2• C.•• D.•25 .• A.单值• B.有限的多值• C.无限多值• D.以上都不对26 .• A.必要非充分• B.充分非必要• C.充分必要• D.以上都不对27 .• A.•• B.•• C.•• D.•28 .• A.3• B.•• C.•• D.•29 .• A.•• B.•• C.•• D.•• A.三级极点• B.三级零点• C.可去奇点• D.本性奇点31 .• A.•• B.•• C.•• D.•32 .• A.•• B.•• C.•• D.•33 .• A.•• B.•• C.•• D.•••••35 .• A.极点•• B.非孤立奇点• C.本性奇点• D.可去奇点36 .• A.零点• B.一级极点• C.二级极点• D.三级极点37 .• A.•• B.•• C.•• D.•38 .• A.•• B.•• C.•• D.•••••• A.•• B.•• C.•• D.•多选题（共10题，每题2分）1 .• A.不连续• B.连续• C.不可微• D.可微• E.解析2 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•3 .••• B.•• C.•• D.•• E.•4 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.••••••6 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•7 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•8 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•9 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•10 .• A.•• B.•• C.•• D.•• E.•。
复变函数练习题及答案
复变函数卷答案与评分标准一、填空题：1．叙述区域内解析函数的四个等价定理。
定理1 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）(,)u x y ，(,)v x y 在D 内可微，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）定理2 函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件：（1）,,,x y x y u u v v 在D 内连续，（2）(,)u x y ，(,)v x y 满足C R -条件。
（3分）定理3 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内连续，若闭曲线C 及内部包含于D ，则()0C f z dz =⎰ 。
（3分） 定理4 函数()f z 在区域D 内解析的充要条件：()f z 在区域D 内每一点a ，都能展成x a -的幂级数。
（3分）2．叙述刘维尔定理：复平面上的有界整函数必为常数。
（3分）3、方程2z e i =+的解为：11ln 5arctan 222i k i π++，其中k 为整数。
（3分） 4、设()2010sin z f z z+=，则()0Re z s f z ==2010。
（3分） 二、验证计算题（共16分）。
1、验证()22,2u x y x y x =-+为复平面上的调和函数，并求一满足条件()12f i i =-+的解析函数()()(),,f z u x y iv x y =+。
（8分）解：（1）22u x x ∂=+∂，222u x ∂=∂；2u y y∂=-∂，222u y ∂=-∂。
由于22220u u y x∂∂+=∂∂，所以(,)u x y 为复平面上的调和函数。
（4分） （2）因为()f z 为解析函数，则(),u x y 与(),v x y 满足C.-R.方程，则有22v u x y x∂∂==+∂∂，所以(,)2222()v x y x dy xy y C x =+=++⎰ 2,v u y x y∂∂=-=∂∂又2()v y C x x ∂'=+∂ ，所以 ()0C x '=，即()C x 为常数。
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2
（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。
(精品)《复变函数》习题及答案
第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。
（ ） 12、有界整函数必为常数。
（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。
（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。
（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。
河北科技大学 复变函数 2009—2010第一学期_补考(答案)
1 π
∫
π
0
cos(t cos θ )dθ ，试求其Laplace变换的
(1分) (1分) 上的|z| =1一周变为ζ平面上的|ζ| =1两周. 4s z F (s ) = dz 2 Ñ ∫ 2π i |ς |=1 ς + 2(2s 2 + 1)ς + 1 =4sRes[f (ζ)，单位圆内] −2(2s 2 + 1) ± 4(2p 2 + 1)2 − 4 f (ζ)的奇点 ς = 2 2 = −(2s + 1) ± 2s s 2 + 1
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六、(10分)利用留数求积分 I = ∫
+∞
0
cos x dx 的值． x + 10 x 2 + 9
4
解： 在上半平面内， f ( z ) =
Q
e iz 有一阶极点 z = i 和 z = 3i z 4 + 10 z 2 + 9
(2 分) (2分) (2分) (3分) (1分)
∞ c
0
z
．
(n + 1)! n 幂极数 ∑ z 的收敛半径为 n =1 ( 2 n )!
e dz = π i / 12 ． (z − π i )5 ∞ ．
10. 方程 | z + 2 − 3i |= 2 代表的曲线是中心为 −2 + 3i ，半径为 2 的圆周.
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三、(10分) 已知 f (t ) =
象函数F(s)． 1 π s 1 2π s 解： F (s ) = ∫ 2 dθ = dθ 2 2 ∫ π 0 s + cos θ 2π 0 s + cos2 θ 1 s dz = 2 −1 2 Ñ ∫ 1 | z | = 1 2π s + 4 (z + z ) iz 4s z = dz 4 2 Ñ ∫ | z | = 1 2π i z + 2(2s + 1)z 2 + 1
复变函数试题及答案
复变函数试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个函数在全平面上是解析的？A. f(z) = |z|^2B. f(z) = e^zC. f(z) = ln(z)D. f(z) = 1/z答案：B2. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足柯西-黎曼方程B. v满足柯西-黎曼方程C. u和v满足柯西-黎曼方程D. u和v的一阶偏导数满足柯西-黎曼方程答案：C3. 设f(z) = u(r, θ)是解析函数，其中r和θ是极坐标系下的变量。
下列哪个条件是解析函数的充分必要条件？A. u满足极坐标下的柯西-黎曼方程B. f(z)在全平面上是解析的C. f(z)在圆心附近是解析的D. f(z)在正实轴上是解析的答案：A4. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若u和v满足柯西-黎曼方程，则A. f(z)在全平面上是解析的B. f(z)在实轴上是解析的C. f(z)在虚轴上是解析的D. f(z)在解析的那部分上满足柯西-黎曼方程答案：A5. 设f(z) = u(x, y) + iv(x, y)是解析函数，其中u(x, y)和v(x, y)是实函数。
若f(z)在实轴上是解析的，则A. u(x, y)在全平面上是解析的B. v(x, y)在全平面上是解析的C. u(x, y)和v(x, y)满足柯西-黎曼方程D. u(x, y)和v(x, y)处处可微分答案：C二、填空题（每空5分，共30分）1. 若f(z) = x^2 - y^2 + 2xyi是解析函数，则它的共轭函数为________。
答案：f*(z) = x^2 - y^2 - 2xyi2. 设f(z) = u(x, y)是解析函数，且满足柯西-黎曼方程的实部形式，则函数f(z)可表示为f(z) = ________。
河北科技大学成人高等教育期末考试 复变函数及积分变化复习资料
复变函数与积分变换考试复习题一、判断题(判断下列各题，正确的在题干后面的括号内打“√”，错误的打“×”。
1．互为共轭的两个复数的模相等.（ √ ）2．函数sin z 在区域|z|<1内为有界函数.（ √ ）3．解析函数的零点必是孤立的.（ × ）4．若函数f(z)在点a 解析,且f ′(a)=0,f ″(a)≠0，则a 是f(z)的二阶零点.（ × ）5．若z=a 分别是f(z)和g(z)的三阶极点，则z=a 也是f(z)+g(z)的三阶极点.（ × ）6．如果z=1是函数f(z)的可去奇点，则1z Res =f(z)=0.（ √ ） 7．分式线性变换必将圆周变换成圆周或直线.（ √ ）二、填空题1复数z=(1+i)3的主幅角argz=________（-π<argz ≤π）.2.不等式Rez>0表示z 平面上的区域是________.3.|e 3i |=________.4.函数w=e z 将z 平面上的带形区域0<Imz<3π变换为w 平面上的区域________. 5.积分⎰=++1|z |222z z dz=________.6.方程z 8+3z 3-1=0在单位圆|z|<1内有________个根.7.复数-2是复数________的一个平方根。
8设y 是实数，则sin(iy)的模为________。
9.设a>0，则Lna=________。
10.设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),如果________，则称f(z)满足柯西—黎曼条件。
11.方程z=t+it (t 是实参数)给出的曲线为________。
12.设幂级数c z a n n n ()-=+∞∑0，在圆K:|z-a|<R 上收敛于f(z),则n C =______ (n=0,1,…)。
13.cosz 在z=0的幂级数展式为________。
2013《复变函数论》试题库及答案
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您的评论 是我分享的动力】《复变函数》考试试题（一）一、 判断题（20分）：1.若 f( z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z 0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若}{n z 收敛，则} {Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( )4.若 f( z)在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( )5.若 函数f( z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )6.若 z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( )7.若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数f( z)的可去奇点. ( )8.若 函数f( z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈∀≠. ( ) 9. 若 f ( z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C0)(=⎰Cdz z f .( )10.若 函数f( z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f( z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分）1、 =-⎰=-1||00)(z z n z z dz______________.（n 为自然数） 2.=+z z 22cos sin ____________. 3.函数z sin 的周期为______________.4.设11)(2+=z z f ，则)(z f 的孤立奇点有_____________.5.幂级数nn nz∞=∑的收敛半径为_____________.6.若 函数f( z)在整个平面上处处解析，则称它是_____________.7.若 ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z nn (i)21__________________.8.=)0,(Re n zz e s __________，其中n 为自然数.9. zz sin 的孤立奇点为__________ .10.若 0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .三.计算题（40分）：1. 设)2)(1(1)(--=z z z f ，求)(z f 在}1||0:{<<=z z D 内的罗朗展式.2. .cos 11||⎰=z dz z3. 设⎰-++=C d z z f λλλλ173)(2，其中}3|:|{==z z C ，试求).1('i f +4. 求复数11+-=z z w 的实部与虚部.四. 证明题.( 20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 试证: ()f z =在割去线段0Re 1z ≤≤的z 平面内能分出两个单值解析分支,并求出支割线0Re 1z ≤≤上岸取正值的那支在1z =-的值.《复变函数》考试试题（二）一. 判断题.（20分）1. 若 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u ( x,y )与v ( x,y )都在D 内连续. ( )2. cos z 与sin z 在复平面内有界. ( )3. 若 函数f ( z )在z 0解析，则f ( z )在z 0连续. ( )4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z 0是函数f ( z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在. ( )6. 若 函数f ( z )在z 0可导，则f ( z )在z 0解析. ( )7. 若 f ( z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=⎰Cdz z f .( )8. 若 数列}{n z 收敛，则}{Re n z 与}{Im n z 都收敛. ( ) 9. 若 f ( z )在区域D 内解析，则|f ( z )|也在D 内解析. ( )10. 存在一个在零点解析的函数f ( z )使0)11(=+n f 且,...2,1,21)21(==n nn f .( )二. 填空题. ( 20分)1. 设i z -=，则____,arg __,||===z z z2.设C iy x z y x i xy x z f ∈+=∀+-++=),sin(1()2()(222，则=+→)(lim 1z f iz __________.3.=-⎰=-1||00)(z z n z z dz____________.（n 为自然数）4. 幂级数0n n nz ∞=∑的收敛半径为_____________ .5. 若 z 0是f ( z )的m 阶零点且m >0，则z 0是)('z f 的______零点.6. 函数e z 的周期为_____________.7. 方程083235=++-z z z 在单位圆内的零点个数为__________. 8. 设211)(z z f +=，则)(z f 的孤立奇点有____________. 9. 函数||)(z z f =的不解析点之集为__________.10. ____)1,1(Res 4=-zz . 三. 计算题. ( 40分)1. 求函数)2sin(3z 的幂级数展开式.2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点i z=处的值.3. 计算积分：⎰-=iiz z Id ||，积分路径为（1）单位圆（1||=z ）的右半圆.4. 求dzz zz ⎰=-22)2(sin π.四. 证明题. ( 20分)1. 设函数f ( z )在区域D 内解析，试证：f ( z )在D 内为常数的充要条件是)(z f 在D 内解析.2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.《复变函数》考试试题（三）一. 判断题. ( 20分).1. cos z 与sin z 的周期均为πk2. ( )2. 若 f ( z )在z 0处满足柯西-黎曼条件, 则f ( z )在z 0解析. ( )3. 若 函数f ( z )在z 0处解析，则f ( z )在z 0连续. ( )4. 若 数列}{n z 收敛，则}{R en z 与}{Im n z 都收敛. ( )5. 若 函数f ( z )是区域D 内解析且在D 内的某个圆内恒为常数，则数f ( z )在区域D 内为常数. ( )6. 若 函数f ( z )在z 0解析，则f ( z )在z 0的某个邻域内可导. ( )7. 如果函数f ( z )在}1|:|{≤=z z D 上解析,且)1|(|1|)(|=≤z z f ,则)1|(|1|)(|≤≤z z f . （ ） 8. 若 函数f ( z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( )9. 若 z 0是)(z f 的m 阶零点, 则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 10. 若z 是)(z f 的可去奇点，则)),((Res 0=z z f .( )二. 填空题. ( 20分)1. 设11)(2+=z z f ，则f ( z )的定义域为______________.2. 函数e z的周期为____________.3. 若 n n n i n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim _____________.4. =+z z 22cos sin ______________.5. =-⎰=-1||00)(z z n z z dz____________.（n 为自然数） 6. 幂级数∑∞=0n n nx 的收敛半径为_____________.7. 设11)(2+=z z f ，则f ( z )的孤立奇点有_____________.8. 设1-=ze ，则___=z .9. 若 0z 是)(z f 的极点，则___)(lim 0=→z f z z .10. ____)0,(Res =n zze.三. 计算题. ( 40分)1. 将函数12()zf z z e =在圆环域0z <<∞内展为Laurent 级数.2. 试求幂级数nn n z nn ∑+∞=!的收敛半径.3. 算下列积分：⎰-C z z z ze )9(d 22，其中C 是1||=z .4. 求0282269=--+-z z z z在|z |<1内根的个数.四. 证明题. ( 20分) 1. 函数)(z f 在区域D 内解析. 证明：如果|)(|z f 在D 内为常数，那么它在D 内为常数. 2. 设)(z f 是一整函数，并且假定存在着一个正整数n ，以及两个正数R 及M ，使得当R z ≥||时n z M z f |||)(|≤，证明)(z f 是一个至多n 次的多项式或一常数。
复变函数联系题库参考答案
复变函数综合测试题库（解答）一、选择题（单选题）1、复数z i =的幅角主值为（ C ） （A ）3π （B ）3π- （C ）6π- （D ）6π2、复数1cos sin ,0z i θθθπ=-+≤≤的模为（ A ） （A ）2sin 2θ （B ）2sin2θ- （C ）22cos θ- （D ）2cos 2θ-3、设z =，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=4、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则21ωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-5、函数()f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 6、满足11z z -=+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z = （B ）Re 0z = （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 7、函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（ D ）（A ）,,,u u v vx y x y∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续 （B ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内存在，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （D ）,,,u u v v x y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂都在D 内连续，且,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ 8、1(0)()nz a dz z a ρρ-=>-⎰的值为（ A ）（A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 9、1zz e dz z==⎰（ C ） （A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）(2)(0,1,2,)k i k π+= 10、()f z 在复平面上解析且有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）z （D ）()nz n N ∈ 11、复级数1n n z ∞=∑收敛的必要条件是（ D ）（A ）对一切n ，0n z = （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z =（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=12、幂级数11nn n z n∞=+∑的收敛半径为（A ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 13、0z =为()sin f z z z =-的（ D ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）3阶零点 14、设1()1zf z e =-，则0z =是()f z 的（ A ） （A ）1阶极点 （B ）2阶极点 （C ）可去奇点 （D ）本性奇点 15、0z ≠∞是函数()f z 的可去奇点，则0Re (,)s f z =（ B ） （A ）0()f z （B ）0 （C ）2π （D ）2i π 16、若复数22z i =-，则z 的幅角主值为（ C ） （A ）2π （B ）2π- （C ）4π（D ）4π-17、复数1cos sin (0)z i θθθπ=++≤≤的模为（ A ） （A ）2cos 2θ （B ）2cos2θ- （C ）22cos θ+ （D ）2sin 2θ+18、设z =，则z 的指数表示为（ B ） （A ）cossin44z i ππ=+ （B ）4i z eπ⋅= （C ）cossin44z i ππ=- （D ）4i z eπ-⋅=19、若122ω=-+，则23ωωω++=（ A ） （A ）0 （B ）ω （C ）2ω （D ）ω- 20、函数()Re f z z =在z 平面上（ C ）（A ）不连续 （B ）连续且可导 （C ）连续但处处不可导 （D ）以上答案都不对 21、下列哪些点集是区域（B ） （A ）Im 0z = （B ）1Re 2z >（C ）12z i ++≤ （D ）Re 0z ≥ 22、若()f z u iv =+，且在区域D 内满足,u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂，则（ D ） （A ）()f z 在D 内解析 （B ）()f z 在D 内不解析 （C ）()f z 在D 内可微 （D ）()f z 在D 内不一定可微23、113z dz z =-⎰的值为（ B ） （A ）2i π （B ）0 （C ）1 （D ）1- 24、1sin z zdz z==⎰（ A ） （A ）0 （B ）i π （C ）2i π （D ）2i π-25、若区域D 内解析函数()f z u iv =+满足00uxu y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，则()f z 在区域D 内为（B ）（A ）0 （B ）常数 （C ）不一定为常数 （D ）0v = 26、若复级数1n n z ∞=∑收敛，则（ D ）（A ）对一切n ，0n z ≠ （B ）存在一列自然数{}k n ，使得0kn z ≠（C ）lim 0n n z →∞≠ （D ）lim 0n n z →∞=27、幂级数11!nn z n ∞=+∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）0 （C ）1 （D ）2 28、0z =为()1cos f z z =-的（ D ）（A ）极点 （B ）非孤立奇点 （C ）本性奇点 （D ）2阶零点29、设函数()f z 在00z z <-<+∞内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ B ）（A ）非孤立奇点 （B ）极点 （C ）本性奇点 （D ）解析点 30、变换az bw cz d+=+（a ，b ，c ，d 为复常数）为分式线性变换的条件是（ A ） （A ）0ad bc -≠ （B ）0ad bc -= （C ）a bc d= （D ）a b c d ===31、复数1z =的幅角主值为（ C ）（A ）6π （B ）6π- （C ）3π（D ）3π-32、若ω是方程310z -=的一个非零复数根，则345ωωω++=（ A ）（A ）0 （B ）i （C ）2ω （D ）ω-33、下列等式正确的是（ B ）（A ）z z z ⋅= （B ）2z z z ⋅= （C ）2Im z z i z += （D ）2Re z z z -= 34、下列哪些函数在复平面上解析（ A ）（A ）sin z （B ）z （C ）2z （D ）Re z 35、满足11z z ->+的点z 所组成的点集为（B ）（A ）Im 0z < （B ）Re 0z < （C ）Im 0z > （D ）Re 0z > 36、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（B ） （A ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==∂∂∂∂ （B ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （C ）在D 内,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （D ）在D 内,u v u v x y y x∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ 37、设()f z 在区域D 内解析，且0{}U z z z D δ=-<⊂，在U 上()0f z =，则在D 内的（ D ）（A ）()f z 不恒为零 （B ）()f z 为不为零的常数 （C ）()f z 只有惟一的零点 （D ）()0f z ≡38、1()nCdz z a -⎰（其中C 为包围点a 任意围线）的值为（ A ） （A ）当1n =时为2i π；当1n ≠时为0 （B ）0 （C ）2i π （D ）2n i π 39、21zz e dz z ==⎰（ C ）（A ）0 （B ）2π（C ）2i π （D ）i π 40、()f z 在复平面上解析且Re ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z41、在1z <内解析，在区间(1,1)-上具有展式0n n x ∞=∑的函数只能是（ D ）（A ）1(1)1z z <+ （B ）ln(1)(1)z z -< （C ）1(1)1z z <- （D ）1(1)1z z<-42、幂级数21121n n z n -∞=-∑的收敛半径为（B ）（A ）+∞ （B ）1 （C ）0 （D ）2 43、若1()cosf z z i=+，则z i =-是()f z 的（ D ） （A ）可去奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）极点 （D ）本性奇点 44、若()()g z f z z a=-，且()g z 在点a 解析，()0g a ≠，则Re (,)s f a =（ A ） （A ）()g a （B ）2()ig a π （C ）0 （D ）()g a '45、变换(01)1z aw a a z-=<<-⋅把单位圆1z <保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 46、arg(34)i -+=（ C ）（A ）3arctan4π-（B ）3arctan 4π+ （C ）4arctan 3π- （D ）4arctan 3π+ 47、若ω是方程31z =的一个非零复数根，则下列哪些也是此方程的根（ A ）（A ）ω （B ）ω- （C ）2ω- （D ）i48、下列等式不正确的是（ B ）（A ）2z z z ⋅= （B ）1212arg arg arg z z z z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （C ）1212rg rg rg A z z A z A z ⋅=+（10z ≠，20z ≠） （D ）arg arg (0)z z z =-≠ 49、下列哪些函数在复平面上不解析（ A ）（A ）sin z （B ）cos z （C ）chz （D ）ze -50、设{Im 2,Re 3}E z z z =<<，则E 一定是（B ）（A ）无界区域 （B ）有界单连通区域 （C ）多连通区域 （D ）闭区域 51、使函数()f z u iv =+在区域D 内解析的充要条件是（B ） （A ）u ，v 在D 内具有一阶连续的偏导数（B ）u ，v 在D 内可微，且在D 内满足柯西—黎曼条件（C ）u ，v 在D 内具有一阶偏导数，且在D 内满足柯西—黎曼条件 （D ）u ，v 在D 内在D 内满足柯西—黎曼条件52、设()f z 在复平面上解析，且C 为不通过原点的围线，则()Cf z dz z=⎰（ D ） （A ）2(0)i f π⋅ （B ）(0)f （C ）0 （D ）0或2(0)i f π⋅53、11cos z dz z==⎰（ A ） （A ）0 （B ）1 （C ）2i π （D ）i π54、若()f z 在区域D 内满足 ()0f z '=，则()f z 在区域D 内必为（ C ） （A ）0 （B ）z （C ）常数 （D ）ze55、()f z 在复平面上解析且Im ()f z 有界，则()f z 在平面上为（B ） （A ）0 （B ）常数 （C ）ze （D ）ln z 56、在复平面上解析，在区间[0,1]上等于sin x 的函数只能是（ D ） （A ）sin()2z π+ （B ）sin()z π+（C ）sin iz （D ）sin z57、若幂级数1nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则在闭圆()z r R ≤<上1nn n a z ∞=∑（B ）（A ）不绝对收敛 （B ）一致收敛且绝对收敛 （C ）绝对收敛但不一致收敛 （D ）一致收敛但不绝对收敛 58、0z =为21cos ()zf z z-=的（ D ） （A ）本性奇点 （B ）非孤立奇点 （C ）二阶极点 （D ）可去奇点59、函数1()z e f z z-=在0z =处的留数为（ A ）（A ）0 （B ）2i π （C ）1 （D ）i π 60、变换z iw z i-=+把上半平面Im 0z >保形映射成（ B ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）单位圆1w < （C ）下半平面Im 0z < （D ）1w > 61、若复数1z i =-，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）4π-（B ）4π（C ）34π- （D ）34π 62、若21z =-，则z 等于（ B ）（A ）i - （B ）i ± （C ）i （D ）1±63、下列点集是区域的是（ C ）（A ）1{Im }2z z = （B ）{1}z z = （C ）1{Im }2z z > （D ）2{1}z z = 64、设()f z x yi =-（,x y R ∈），则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上解析 （B ）()f z 在0z =可导 （C ）()f z 在z 平面上处处可导 （D ）()f z 在z 平面上连续 65、设()f z u iv =+，且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，则（ A ） （A ）()f z 在D 内不一定解析 （B ）()f z 在D 内解析 （C ）()f z 在D 内可导 （D ）()f z 在D 内一定不可导 66、下列哪些函数在z 平面上解析（B ）（A ）z （B ）cos z （C ）z （D ）ze 67、11cos z dz z==⎰（ C ） （A ）1 （B ）2i π （C ）0 （D ）1- 68、1zz e dz z==⎰（ D ） （A ）0 （B ）1 （C ）12iπ （D ）2i π 69、若()f z 在区域D 内解析，且Re ()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）Re z （C ）z （D ）sin z 70、若()sin f z z =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为解析函数 （B ）()f z 有界 （C ）()f z 为周期函数 （D ）()f z 有零点71、复级数0n n i ∞=∑（ C ）（A ）一定收敛 （B ）等于11i- （C ）一定发散 （D ）以上结论都不对 72、设幂级数为00()n n n a z z ∞=-∑，则（ D ）（A ）00()nn n a z z ∞=-∑仅在点0z 收敛 （B ）00()n n n a z z ∞=-∑在全平面上收敛（C ）00()nn n a z z ∞=-∑在点0z 不收敛 （D ）00()n n n a z z ∞=-∑在点0z 收敛73、幂级数11n n n n z ∞=+⋅∑的收敛半径为（A ）（A ）0 （B ）+∞ （C ）1 （D ）2 74、幂级数1n n z ∞=∑在1z <内的和函数为（ B ）（A ）11z - （B ）1z z - （C ）11z + （D ）1z z+ 75、()1cos f z z =-以0z =为（ C ）（A ）一阶零点 （B ）一阶极点 （C ）二阶零点 （D ）二阶极点 76、设()f z 在00z z R <-<内解析，且0lim ()z z f z →=∞，则0z 是()f z 的（ D ）（A ）零点 （B ）可去奇点 （C ）非孤立奇点 （D ）极点 77、若21cos ()zf z z-=，则0z =必为()f z 的 （ A ） （A ）可去奇点 （B ）零点 （C ）本性奇点 （D ）二阶极点 78、若∞是函数()f z 的可去奇点，则Re (,)s f ∞=（ B ）（A ）0 （B ）不一定为0 （C ）不存在 （D ）以上结论都不对 79、若1()zf z e =，则Re (,0)s f = （ C ）（A ）∞ （B ）0 （C ）1 （D ）以上答案都不对 80、映射322w z z =+在点z i =处的伸缩率为 （ D ）（A （B ） （C ）25 （D ）581、若复数1z i =-+，则z 的幅角主值为（ A ）（A ）23π （B ）23π- （C ）6π- （D ）6π 82、若31z =且Im 0z >，则z 等于（ B ）（A ）1 （B ）122i -+ （C ）122+ （D ）122--83、下列点集不是区域的是（ C ）（A ）{Im 0}z z > （B ）{Re 0}z z < （C ）{1}z z i ≤+ （D ）{1}z z > 84、设()f z i z =⋅，则（ D ）（A ）()f z 在z 平面上处处不连续 （B ）()f z 在z 平面上解析 （C ）()f z 为整函数 （D ）()f z 在z 平面上处处不解析 85、设()f z u iv =+，则使得()f z 在区域D 内解析的柯西—黎曼条件是（ A ）（A ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂==-∂∂∂∂ （B ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=∂∂∂∂ （C ）,u v u v x y y x ∂∂∂∂=-=-∂∂∂∂ （D ）,u v u v x y y x∂∂∂∂==∂∂∂∂ 86、在z 平面上处处不解析的函数是（B ）（A ）z （B ）Im z （C ）cos z （D ）sin ze87、13z zdz z ==-⎰（ C ） （A ）2i π- （B ）2i π （C ）0 （D ）1 88、21sin z z dz z==⎰（ D ） （A ）2i π （B ）1 （C ）i π- （D ）089、若()f z 在区域D 内解析，且()f z =实常数，则()f z 在区域D 内为（ A ） （A ）复常数 （B ）0 （C ）z （D ）ze 90、若()zf z e =，则下列结论不成立的是（B ）（A ）()f z 为整函数 （B ）()f z 非周期函数 （C ）()f z 无零点 （D ）()f z 无界 91、幂级数0!nn n z ∞=⋅∑的收敛半径为（ C ）（A ）+∞ （B ）1（C ）0 （D ）以上结论都不对92、设幂级数为0nn n a z ∞=∑的收敛半径0R >，则此幂级数的和函数（ D ）（A ）在z R <内不连续 （B ）在z R <内不解析 （C ）在z R <内不能逐项求导 （D ）在z R <内可逐项积分93、在1z <内解析，且在区间(1,1)-上具有展式0(1)n n n x ∞=-⋅∑的函数只能为（A ）（A ）11z + （B ）11z - （C ）211z + （D ）211z- 94、若1()cos f z z i=+，则z i =-为()f z 的（ B ）（A ）极点 （B ）本性奇点 （C ）可去奇点 （D ）非孤立奇点 95、2()(1)z zf z e =-以0z =为（ C ） （A ）可去奇点 （B ）本性奇点 （C ）一阶极点 （D ）二阶极点 96、若()()z f z z aϕ=-，且()z ϕ在点a 解析，则Re (,)s f a =的（ D ）（A ）0 （B ）()a ϕ' （C ）2()i a πϕ'⋅ （D ）()a ϕ97、22()1ize f z z =+在z i =的留数为 （ A ）（A ）2i i e --（B ）0 （C ）12i e -- （D ）112e -- 98、ln(1)z +在0z =处的幂级数展开式为（ B ）（A ）1n n z n ∞=∑ （B ）11(1)n n n z n ∞-=-∑ （C ）1(1)n n n z n ∞=-∑ （D ）0!n n z n ∞=∑99、变换1i z iw ei zθ-=+⋅（θ为实常数）把单位圆1z <保形映射成（ C ）（A ）上半平面Im 0z > （B ）下半平面Im 0z < （C ）1w < （D ）1w > 100、变换i z iw ez iθ-=+（θ为实常数）把上半平面Im 0z >保形映射成（ D ） （A ）左半平面Re 0z < （B ）右半平面Re 0z > （C ）上半平面Im 0z >（D ）1z <二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、若12ω=-是方程31z =的根，则下列哪些值不为21ωω++的值（B 、C 、D ） （A ）0 （B ）i （C ）i - （D ）2ω 2、复数1cos sin z i θθ=-+（0θπ<<）的模为 （ A 、B ） （A ）2sin2θ （B（C ）2(1cos )θ- （D ）2sin2θ-3、下列点集哪些是区域 （A 、C ） （A ）Im Re(1)z i >+ （B ）0arg 4z π<≤（C ）1Im 2z << （D ）Im 3z =4、若()Re f z z =，则下列结论正确的是（ A 、B ）（A ）()f z 在z 平面上连续 （B ）()f z 在z 平面上处处不解析 （C ）()f z 在z 平面上解析 （D ）()f z 仅在0z =处解析 5、若1()1f z z=+，则下列结论正确的是 （ A 、C 、D ） （A ）Re (,0)1s f = （B ）2Re (,0)1s f = （C ）2Re (,0)2s f = （D ）Re (,0)0s z f ⋅=6、若ω不是方程31z =的虚数根，则下列哪些值也一定不是此方程的根（A 、B 、C 、） （A ）ω （B ）3ω （C ）1- （D ）ω-7、复数z =的指数表示形式为 （ A 、C ） （A ）4i z e π-⋅= （B ）4i z eπ⋅= （C ）(2)4i k z eππ-⋅+= （k Z ∈）（D ）(2)4i k z eππ⋅+= （k Z ∈）8、设{1Im 1,1Re 1}E z z z =-<<-<<，则E 一定不能是 （B 、C ） （A ）有界单连通区域 （B ）有界闭区域 （C ）无界区域 （D ）区域9、下列哪些函数在全平面上不解析（B 、C 、D ）（A ）sin z （B ）z （C ）Re z （D ）2z 10、若1()sinf z z=，则0z =为()f z 的（ A 、B ） （A ）本性奇点 （B ）孤立奇点 （C ）可去奇点 （D ）极点三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、复数(3)(2)(3)(2)i i z i i +-=-+的模z =1。