原函数与导函数的关系
2016届原创§37 原函数与导函数的关联
先猜后证二导法 变换主元放缩法
3.放缩法
4.变换主元法
导数的应用--导数不等式
抽象函数不等式
抽象函数具体化 数形结合性质法 辅助函数是关键 增大减小是根本
导数的应用--导数不等式
数列不等式
1.导数法：
近几年高考题的主要特征是：
(1).①用导数法解证给出的“半成品”辅助函数 ②对此“半成品”辅助函数作一简单的变形 ③结合对数及数列知识从而解得目标不等式
(1)设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数，
则 f /(2015)=_____0____
(2)(2009年北京)设f(x)是偶函数,若曲线y=f(x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率为1,则该曲线在点 (1, f (1)) 处的切线的 斜率为_________ 法1：令 f (x) x2 ,则 f / (x) x ,即 k f / (1) 1
(2).“半成品”辅助函数
大多数是 1 1 ln x x 1 的衍变 x
2.定积分法：
导数的应用--导数不等式
极值点偏移
1.含义：已知 f( x1 ) = f( x2 ) ( x1＜x2 ) 求 x1, x2 的和差商积的上下确界
2.方法： 法1：对称法构造辅助函数：
F( x ) = f( x0 ＋ x ) －f( x0 －x ) 法2：换元法构造辅助函数：
①不含参型 单参型 ②含参型 双参型
多参型
3.按知识分类： 数列不等式……
二、辅助函数的构造：
三、常见的技巧：
常见题型解证最 含参不等四成立 引申双参及多参 数列不等积放缩
含参不等式——四成立：
形法 (1)
数法
原函数图像与导函数图像间的对应关系
原函数图像与导函数图像间的对应关系利用导函数的图象可以形象地描述原函数的单调、极值情况,所以有关图像问题是近几年高考热点问题，如何研究这类图像问题，这类问题有什么解题策略，为帮助大家学习下面总结如下．结论一：由导函数函数值符号看原函数结论1:连续可导函数的导函数图像在轴上方(可与轴有若干个离散的交点)的区间上，原函数单调递增;在轴下方(可与轴有若干个离散的交点)的区间上，原函数单调递减。
同理可以根据原函数图像研究导函数的图像。
例1设()y f x '=是函数()y f x =的导数, ()y f x '=的图象如右图所示, 则()y f x =的图象最有可能是( )分析：先根据导函数的图象确定导函数大于0 的范围和小于0的x 的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间．解析：由导函数的图象可知，原函数的单调性应为(0)-∞，增，)2,0(减，(2,)+∞增，故选C.点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．例 2.已知二次函数()f x 的图象如上图所示，则其导函数()f x '的图象大致形状是_____.A y O x 1B x y OC x O 1 yD x O y分析：由图象可以看出，函数在函数是先减后增，故根据单调性与导数的对应关系作出选择解析：由图知，当x ＜1时，导数为负；当x ＞1时，导数为正；当x ═1时，导数为0；对照四个选择项，只有C 有这个特征，是正确的．故应选C ．点评：考查导数的正负与函数单调性的关系，利用图象法来考查这一知识点，是现在比较热的一方式．结论二;由导函数零点看原函数结论2:导函数的变号零点是原函数极值点。
其中导函数图像从轴上方过渡到下方的零点为原函数的极大值点;从轴下方过渡到上方的零点为原函数的极小值点．例3. 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个分析：根据当f'（x ）＞0时函数f （x ）单调递增，f'（x ）＜0时f （x ）单调递减，可从f ′（x ）的图象可知f （x ）在（a ，b ）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，再结合极值点的定义，然后得到答案．解析：从f ′（x ）的图象可知f （x ）在（a ，b ）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a ，b ）内只有一个极小值点．故选A ．点评：本题主要考查函数的极值点和导数正负的关系．属基础，利用极值点的特征以及结论2就可以正确求解。
原函数与导函数的关系
课题：探究原函数与导函数的关系首师大附中数学组王建华设计思路这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了一定的认识的基础上展开教学的。
由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。
备这个课的过程中我虽然参考了大量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。
教师实际上是在引导学生进行一次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。
最终学生能否记住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。
对优秀生或热爱数学的学生来说会有更多的收获。
整个教学流程1. 从经验观察发现，猜想得命题p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。
证明的思路也要逆向思考。
发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于y轴对称的性质能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将偶对称，研究前面的四个命题还是否成立。
研究方法可以类函数的性质拓展为关于直线x a比迁移前面的方法。
能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性性质研究三次函数的对称性。
教学目标在这个探究过程中1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解；2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力；3体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事物。
4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。
教学重点以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪的过程。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数的区别
函数的最基本定义是一个把一个变量X映射到另一个变量Y的关系式。
函数分为原函数与导函数。
原函数是一个函数表达式，简单地说是把自变量x对应到因变量y上。
而导函数是原函数的变形，是原函数的切线斜率值。
两者都是函数，有着不同的用途，也有着不同的特点。
原函数
原函数是一种函数，只能表示x与y之间的关系，而不能表示代入x变化时y的变化情况。
原函数可以表示如x的平方、平方根、三角函数等，也可以表示经过高次拟合的复杂的函数。
从数学角度来讲，原函数是计算x变化时y的变化情况的基础。
导函数
导函数是原函数的变形，是原函数在每一个点处的斜率。
也就是说，是求解每个点处函数的梯度。
导函数可以描述原函数的变化趋势，比如当x变小时y是减小还是增大。
而且可以用来求解各种数学问题，比如求解函数的极值以及求解微分方程。
原函数与导函数的区别
原函数与导函数有着明显的不同，从功能上来说，它们各自有着不同的作用。
1.能上的区别：原函数是把x与y之间的关系表达出来，而导函
数是把x变化时y的变化情况表达出来。
2.质上的区别：原函数是一个可以描述因变量y随自变量x变化关系的函数，而导函数是原函数的变形，表示每个点的斜率，是原函数的梯度。
3.解上的区别：原函数可以用来求解x与y之间的关系，比如求函数极值、做图等；而导函数可以用来求函数极值以及求解微分方程。
结论
原函数与导函数是数学中不可分割的组成部分。
二者在功能上、性质上和求解上都有着明显的不同，它们各自有着不同的作用，要想在数学中取得更好的效果，就要正确掌握它们的特点和用法。
导数与原函数独立
导数与原函数独立在微积分学中，导数和原函数是两个非常重要的概念。
导数可以用来衡量函数在某一点的斜率，原函数可以用来求解函数在给定区间内的面积。
而在讨论这两个概念时，一个有趣的问题是它们之间是否是独立的。
简单来说，导数与原函数是独立的。
这意味着，一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在接下来的文章中，我们将详细阐述这个问题，并提供一些例子来说明。
首先我们来看一个常见的例子：函数 $f(x)=|x|$。
显然这个函数在 $x=0$ 的导数不存在。
因为在 $x=0$ 附近，函数的图像是一个 V 形，左右两边的斜率不同，所以导数不存在。
如果我们尝试求解 $f(x)$ 的原函数，会发现其并不存在。
这是因为 $f(x)$ 不是连续可微的，即它不满足牛顿-莱布尼茨公式的条件。
我们可以得出结论：这个函数存在导数但没有原函数。
接下来再看一个例子：函数 $f(x)=x^2$。
这个函数的导数是 $f'(x)=2x$，即导数存在且为 $2x$。
而对于原函数，我们可以非常容易地得到 $F(x)=\frac{1}{3}x^3+C$，其中 $C$ 为任意常数。
我们可以得出结论：这个函数存在原函数也存在导数。
再看一个例子：函数 $f(x)=\frac{\sin x}{x}$。
这个函数没有原函数，但是它在$x=0$ 处的导数是 $f'(0)=\frac{1}{0}$，即它的导数不存在。
这说明了导数和原函数的独立性，即这个函数不存在原函数但存在导数。
导数与原函数是独立的。
一个函数可以存在导数但没有原函数，反之亦然。
在求解导数和原函数时，我们需要根据具体的函数性质来决定是否存在原函数或导数，不能简单地认为它们之间必然存在对应关系。
对于导数存在但原函数不存在的函数，我们需要通过其他方式来计算函数在给定区间内的面积。
常见的方法是通过积分，其中不定积分和定积分是最基本的两种类型。
不定积分是原函数的一个概念，它可以用来求解某个函数 $f(x)$ 的所有原函数。
原函数与二阶导函数的关系
原函数与二阶导函数的关系
原函数和它的二阶导函数之间有着密切的关系。
对于函数 y = f(x)，其二阶导函数为 y'' = f''(x)。
当 f''(x) > 0，则函数 y = f(x) 在该点是凹函数，即具有下凹形状。
当 f''(x) < 0，则函数 y = f(x) 在该点是凸函数，即具有上凸形状。
当 f''(x) = 0，则函数 y = f(x) 在该点是平函数，即具有平凡形状。
另外，二阶导函数也可以用来判定函数的单调性，如果二阶导函数在整个定义域内都是正数，那么原函数就是下凹函数，即单调递增，反之就是下凸函数，即单调递减，如果在整个定义域内都是0，则原函数是常函数。
导数的最大值与原函数的最大值大小关系
导数的最大值与原函数的最大值大小关系一、导数的最大值与原函数的极值在微积分中，导数代表了函数在某一点的变化率。
对于一个连续可导的函数，其导数存在最大值的情况是很常见的。
这种情况下，我们常常会思考导数的最大值与原函数的最大值之间是否存在某种大小关系。
二、导数的最大值1. 定义导数的最大值指的是函数在某一区间上导数的绝对值的最大值。
也就是说，导数的最大值是指在特定区间上，函数的变化率最大的点所对应的导数值。
2. 导数的最大值的意义当导数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上的变化率最大。
这个点可能是函数的极大值点，也可能是函数的拐点。
在这个点上，函数的变化速率达到了最高点。
三、原函数的最大值1. 定义原函数的最大值指的是函数在某一区间上的函数值的最大值。
也就是说，原函数的最大值是指在特定区间上，函数取得的最大值。
2. 原函数的最大值的意义当函数的最大值出现时，这意味着函数在某一点上取得了最大值。
这个点就是函数的最高点或者最大点。
在这个点上，函数的取值达到了最大值。
四、导数的最大值与原函数的最大值的关系1. 关系的探讨在一般情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间是存在某种关系的。
通常来说，如果函数在某一点上的导数的最大值为正数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递增的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
同样地，如果函数在某一点上的导数的最大值为负数，那么函数在该点上的变化率最大，意味着函数在该点上是递减的，从而原函数在该点上可能取得最大值。
2. 特殊情况然而，也存在一些特殊情况。
某个函数的导数在某一点上存在最大值，但是函数在该点上并不取得极值。
这种情况下，导数的最大值与原函数的最大值之间并不一定存在确定的关系。
五、结论导数的最大值与原函数的最大值之间存在某种关系，在一般情况下，可以通过导数的最大值来推断原函数的最大值。
然而，也存在一些特殊情况，需要具体问题具体分析。
导数的最大值与原函数的最大值之间具有一定的关系，但需要根据具体情况具体分析。
原函数的极值点是原导函数的零点
原函数的极值点是原导函数的零点
我们要证明原函数的极值点是原导函数的零点。
首先，我们需要理解什么是极值点和导数。
假设我们有一个函数 f(x)，它的导数是 f'(x)。
极值点是函数 f(x) 的一个点，在该点附近，函数值要么是最大要么是最小。
导数 f'(x) 描述了函数 f(x) 的变化率。
当 f'(x) = 0 时，意味着函数 f(x) 在该点上没有变化，即函数值在该点上可能达到极值。
因此，我们的目标是证明：原函数的极值点是原导函数的零点。
证明：
假设 x = c 是 f(x) 的极值点。
那么，根据极值的定义，存在一个邻域 N(c)，使得在这个邻域内，f(x) 在 c 点的值要么是最大要么是最小。
这意味着 f'(c) = 0，因为如果 f'(c) 不为0，那么函数在 c 点会有一个确定的方向变化，这与极值的定义矛盾。
所以，原函数的极值点是原导函数的零点。
一阶导单调递增说明原函数
一阶导单调递增说明原函数在高中数学或者大学高阶数学中，我们通常会遇到求导和求原函数的问题。
其中，如果一个函数的一阶导单调递增，那么我们可以通过这一性质来说明这个函数的原函数是什么样子的。
接下来，我们将分步骤阐述这一逻辑过程。
Step 1：了解导数和原函数在讲解一阶导单调递增说明原函数之前，我们需要先梳理一下导数和原函数之间的关系。
在微积分中，导数和原函数是两个重要的概念。
导数是函数在某个点处的变化率，表示函数曲线在某一个点的切线的斜率。
而原函数则是指导数为该函数的函数。
如果我们把导数看作是一条线性的函数，那么原函数就是这条线性函数的反函数，即将导数函数进行积分得到的函数。
Step 2：理解一阶导数单调递增当我们说一个函数的一阶导单调递增时，意味着它的导数在定义域上是单调递增的。
也就是说，随着自变量的增大，导数的值也在逐渐变大。
如果我们将这个单调递增的导数看作是一条线性函数，那么它的倾斜度也会越来越大。
Step 3：推论原理：一阶导单调递增说明原函数在前两步的基础上，接下来就可以得出结论：若一个函数的一阶导数单调递增，那么这个函数的原函数一定是单调递增的凸函数。
（凸函数是一类类似“山峰”的函数，具有比较普遍的数学特性）。
为什么这是成立的呢？我们可以从函数的图像入手，通过观察导数函数的变化，来推论出原函数的变化。
举个简单的例子，假设有一条导数为$y=x$的直线。
那么对于原函数，我们可以得到$y=\dfrac{x^2}{2}$。
这个函数恰好就是一个单调递增的凸函数，符合前述推论的理论。
Step 4：证明原理：一阶导单调递增推出凸函数既然我们可以从函数图像中观察到一阶导数单调递增的规律，那么在更深入的数学层面上，我们是否可以通过求导和积分来证明这一点呢？答案是肯定的。
如果一个函数的一阶导数单调递增，那么其一阶导数在不同点取的斜率不同，而这种差异性导致了图像上的“弯曲”和“拐点”，最终使得该函数成为了一个凸函数。
二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数一阶导数原函数之间的关系
二阶导数是一阶导数的导数。
一阶导数是函数在某一点的斜率，二阶导数则是一阶导数在这一点的变化率。
一阶导数告诉我们函数的变化趋势，而二阶导数告诉我们函数的变化趋势的变化情况。
原函数是函数的积分，即原函数是一阶导数的反函数。
一阶导数告诉我们函数在某一点变化的快慢，原函数则可以算出函数在某一点的值。
而对于二阶导数，由于它描述了一阶导数的变化情况，我们可以通过对一阶导数进行积分来得到二阶导数对应的原函数。
综上所述，二阶导数，一阶导数和原函数之间存在着密切的关系。
导数的零点是原函数的极值点
导数的零点是原函数的极值点
关于导数的零点和原函数的极值点之间的关系，我们可以从数学的角度进行解释。
首先，我们知道如果一个函数在某点的导数为零，那么这个点就是函数的驻点。
如果这个驻点是函数的极值点，那么我们可以得出结论，导数的零点是原函数的极值点。
这个结论是基于导数的定义和极值点的性质得出的。
在微积分中，我们知道如果一个函数在某点的导数为零，那么这个点可能是函数的极大值点、极小值点或拐点。
因此，导数为零是判断极值点的一个重要条件。
另外，根据费马定理，如果一个函数在某点取得极值，那么在这个点处的导数必定为零。
这意味着，导数的零点是原函数可能取得极值的地方。
然而，需要指出的是，导数的零点并不一定都对应着原函数的极值点。
有可能是函数的拐点或者导数不存在的点。
因此，导数的零点只是可能是原函数的极值点，而不是一定是极值点。
综上所述，导数的零点是原函数的极值点这个结论是成立的，
但需要注意的是，并不是所有的导数零点都对应着原函数的极值点，有可能是拐点或者导数不存在的点。
已知导数反过来求原函数
已知导数反过来求原函数导数和原函数是微积分中两个重要的概念。
导数表示函数在某一点处的变化率，而原函数则是导数的反函数。
在实际应用中，我们常常需要求出一个函数的原函数。
本文探讨的是如何通过已知导数反过来求原函数。
一、基本概念在微积分中，我们常常使用符号f(x)表示一个函数。
如果这个函数在某一点x处的导数存在，那么我们可以用f'(x)表示它在这一点的导数。
如果f(x)在区间[a,b]上有定义，并且在这个区间上的导数存在，那么我们称f(x)在这个区间上是可导的。
如果f(x)在[a,b]上是可导的，那么我们可以定义一个新的函数F(x)，使得F'(x)=f(x)。
这个函数F(x)就是f(x)的原函数。
二、求导数的基本方法在微积分中，有很多方法可以求出一个函数在某一点处的导数。
下面介绍几种常用的方法。
1. 用极限定义法求导数对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限定义法表示为：f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h2. 利用导数的基本性质求导数导数有一些基本性质，比如：- 导数的和等于函数和的导数- 导数的积等于函数积的导数- 导数的商等于函数商的导数3. 利用链式法则求导数链式法则是求导数中常用的一种方法。
如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的复合函数h(x)=f(g(x))也是可导的。
此时，h(x)的导数可以表示为：h'(x) = f'(g(x)) * g'(x)三、反求原函数的基本方法如果我们已知一个函数的导数，那么如何反过来求出它的原函数呢？下面介绍几种常用的方法。
1. 直接积分法如果f(x)的导数f'(x)在区间[a,b]上存在，那么我们可以直接对f'(x)进行积分，得到f(x)的原函数F(x)。
具体来说，我们可以用下面的公式来表示：F(x) = ∫f'(x) dx2. 反向使用导数的基本性质如果我们已知f(x)的导数f'(x)，那么我们可以反向使用导数的基本性质，推导出f(x)的原函数F(x)。
试论导函数与原函数的有关性质
例 如 ，
0
x sgn(cos x)dx 2 xdx ( x)dx
0 2
2
4
存 在 ， 但 是 被 积 函 数
连,续 ， f ( x) x s g n ( c 在 xo s ) 上 不 [0 ] x
2
为 f ( x) 的 第 一 类 间 断 点 。 要 具 体 研 究
1i n
F ( b) F ( a )
i 1
l i m f i
i 1
n
(i x ) 1 (i x
a
b
)
f 。x ( d ) x
定理 3.2：设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义，那么如果函数 f ( x) 在 I 上存在第一类间断 点，则 f ( x) 在区间 I 上不存在原函数。 在证明此定理之前我们需要先证明预备定理。 预备定理：如果导函数 F '( x) 在区间 I 上有定义，则在区间 I 不存在导函数 F '( x) 的第 一类间断点。 证明：由于第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点，所以分两种情形讨论：
x x0
lim F '(x )， lim F '( x) 均存在，但 lim F '( x) lim F '( x) 。又由已知条件，可知函
x x
0
xx
0
xx
0
数 F '( x) 在点 x0 的某一领域内连续且可导。 由 可 导 的 必 要 条 件 有
F '( x0 ) F '( x) lim F '( x)
f 为区间 I 上的单调函数，若 x0 为间断点，那么 x0 一定为第一类间断点。
原函数可导,导函数连续吗
原函数可导,导函数连续吗
原函数可导，导函数不一定连续，原函数可导并不能推出导函数连续。
还需要进一步求导才可判断。
原函数连续，并且导数存在，导函数不一定连续。
例如：原函数y=|x|连续，可是其导函数y在x=0处没意义，即不连续。
扩展资料：
连续导数就是说这个函数的导函数是连续的。
函数在各点的导数值不同，因此存在一个该函数的导函数，也就是每一个x对应一个值，这个值就是原函数在该点的导数值，这就是导函数，简称导数。
要弄明白导函数连续的意义首先要搞清楚函数连续的意思，就是说函数的图像是连在一起的，中间没有断开（没有间断点）。
导数表示愿函数在该点的斜率大小，导函数连续说明原函数的斜率是连续变化的，而并没有在某点发生突变。
导数除以原函数的意义
导数除以原函数的意义一、定义在解释导数除以原函数的意义之前，首先需要明确导数和原函数的定义。
导数的定义对于函数f(x)，在某个点a处的导数可以通过以下极限定义得到：d.f(x) / dx = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，lim表示极限，h→0表示h无限接近于0。
上式的意义是描述函数f(x)在点a处的瞬时变化率。
导数可以理解为函数在某点处的斜率。
原函数的定义原函数指的是一个函数的不定积分。
对于函数f(x)，其原函数被表示为F(x)，满足关系：F’(x) = f(x)其中，F’(x)表示F(x)的导数。
二、导数除以原函数的含义将导数除以原函数的操作可以表示为：d.f(x) / f(x)该操作的含义可以从多个角度进行解释和理解。
1. 增长速率导数除以原函数可以表示函数的增长速度。
当 d.f(x) / f(x) 大于0时，表示函数在该点处正向增长；当 d.f(x) / f(x) 小于0时，表示函数在该点处反向增长；当 d.f(x) / f(x) 等于0时，表示函数在该点处不增长。
2. 变化幅度导数的绝对值可以表示函数在某一点的变化幅度，而导数除以原函数可以表示变化幅度相对于函数本身的大小。
当 d.f(x) / f(x) 的绝对值越大，表示函数在该点的变化幅度越大；而当 d.f(x) / f(x) 的绝对值越小，表示函数在该点的变化幅度越小。
3. 函数特性通过导数除以原函数，可以判断函数的特性。
当 d.f(x) / f(x) 大于0时，表示函数在该点处为增函数；当 d.f(x) / f(x) 小于0时，表示函数在该点处为减函数；当 d.f(x) / f(x) 等于0时，表示函数在该点处为常数函数。
4. 特殊函数的含义对于特定的函数，导数除以原函数的含义有着特殊的解释。
•对数函数：对于f(x) = ln(x)，d.f(x) / f(x) 可以解释为函数的比例增长率。
即 d.f(x) 表示x的增长量，f(x) 表示x的值，d.f(x) / f(x) 表示比例增长率。
导数求原函数
导数求原函数1 什么是导数在数学中，导数是一种用于描述函数变化速率的概念。
简单来说，导数就是函数某个点处的切线斜率。
2 求导数的过程要求一个函数的导数，需要使用一个叫做“导数”的概念来描述函数的增长速度。
导数可以通过求解函数的微分（即函数在某个点的切线的斜率）来得到。
通常情况下，我们可以使用限制性方法计算导数。
这样做的基本思想是将函数的增长速率按照一个小的变化量进行计算。
3 什么是原函数在数学中，原函数指的是某个函数的不定积分。
简单来说，如果函数f(x)的导函数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的原函数。
原函数的意义在于，它可以告诉我们原始函数的变化对于某个参考点的影响程度。
4 导数求原函数的过程在求解导数方程时，我们只是单纯地对函数的变化率进行了计算，我们并没有获得原始函数的具体值。
那么，如何求解原函数呢？假设f(x)是某个可微函数，它的导函数为f'(x)，那么可以知道：∫f'(x)dx = f(x)+C其中，C是一个任意的常数。
想要求得f(x)，我们只需反函数微商就可以得到：f(x) = ∫f'(x)dx + C这个公式告诉我们，如果我们能够求出f'(x)的不定积分，那么它就是f(x)的一个原函数了。
5 求解例子假设f(x) = x²，求解f(x)的原函数。
根据公式：f'(x) = 2x那么，f(x)的原函数可以表示为：f(x) = ∫2xdx + Cf(x) = x² + C与f(x) = x² 的导函数f'(x) = 2x 相对应的原函数就是f(x) = (1/3)x³ + C6 总结在数学中，导数与原函数是紧密相关的。
导数可以描述函数变化率，而原函数则可以告诉我们原始函数的具体变化情况。
如果我们要求一个函数的原函数，那么我们只需要找到计算函数导数的方法，然后应用反函数微商即可。
通过这种方法，我们可以非常方便快捷地求出函数的原函数，这是数学求解重要问题的核心思想。
数学分析中的微积分基本定理和换元积分法
微积分是数学的一个重要分支，涉及到了两个主要的概念——导数和积分。
而微积分的核心则是微分和积分之间的关系。
在数学分析中，微积分基本定理和换元积分法是两个非常重要的工具，它们为我们解决各种问题提供了便利和灵活性。
微积分基本定理是微积分的核心之一。
它可以追溯到17世纪的牛顿和莱布尼茨，被称为牛顿—莱布尼茨公式。
微积分基本定理分为两个部分：第一部分是关于导函数和原函数的关系，即如果函数F的导函数是f，那么函数f的原函数就是F。
这个定理表明了原函数和导函数之间的一一对应关系。
在实际应用中，我们可以通过求解导函数，再通过求解原函数来得到函数的解析式。
第二部分是关于积分的定义和性质，指出了积分与求解原函数之间的联系。
它表明，对于一个连续函数f在[a, b]上的积分，等于f在[a, b]上的原函数在a和b处的差值。
这个定理为我们求解定积分提供了便利，可以通过求解原函数来得到精确的积分值。
换元积分法是一种常见的求解定积分的方法，利用了微积分基本定理中的原函数和导函数之间的关系。
当积分的被积函数形式复杂或者难以直接求解时，我们可以通过引入一个新的变量替换来简化积分表达式，从而更方便地求解。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx的积分，我们可以通过令u=g(x)，从而dx =du/g'(x)，将原积分转化为∫f(u)du，从而简化了积分的形式。
通过换元积分法，我们可以将积分转化为更简单的形式，使得我们能够更加容易地求解出积分的值。
微积分基本定理和换元积分法为我们解决各种数学分析问题提供了强大的工具和方法。
在实际应用中，我们可以利用微积分基本定理将复杂的函数转化为简单的函数，从而更容易求解出问题的解析解。
而换元积分法则可以让我们通过变量替换来简化积分表达式，使得我们能够更方便地求解出积分的值。
这两个工具的应用范围非常广泛，在物理、工程等领域都有重要的应用。
总之，微积分基本定理和换元积分法是数学分析中的重要工具。
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这是什么原因造成的呢因为原函数定了，导函数是唯一确定的，而同一个导函数的原 函数有无穷多个。一个函数向上或向下平移后导函数是不变的，直观理解是切线的斜率不 变。而函数上下平移就不能保证图象关于原点中心对称了。
q 的逆命题：若 y f '(x) 是奇函数，则 y f (x) 偶函数 证明： y f '(x) 是奇函数时 能否推出 f (x) f (x) 0 只能推出 f (x) f (x) c ，思考 c 是确定的值吗能求吗 问题转化为导函数是 0，原函数是什么可以举出分段的常数函数 ，为使此命题成立，我 们加强一下条件，将命题改为“对于在 R 上连续可导的函数，若 y f '(x) 是奇函数，则 y f (x) 偶函数”。 此时 y f (x) 在 x 0 处有定义，则 f (0) f (0) c 0 ，此时可得 f (x) f (x) ，原函数 是偶函数。 三．探究由原函数的对称性能否推出导函数的对称性
分析 1：欲证 y f '(x) 时偶函数，只需证 f '(x) f '(x)
若将 f '(x) 理解将 f '(x) 中的 x 替换为 x 得到的函数，可以用导数定义证明。
证明：当 y f (x) 是奇函数时,对定义域中的任意 x 都有 所以 y f '(x) 时偶函数
分析 2.用复合函数求导 证明：当 y f (x) 是奇函数时，对定义域中的任意 x 都有 f (x) f (x) 两边对 x 求导得[ f (x)]' [ f (x)]' ，即 f '(x) (1) f '(x)
原函数与导函数的关系
标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
课题：探究原函数与导函数的关系
首师大附中 数学组 王建华
设计思路
这节课是在学完导数和积分之后，学生从大量的实例中对原函数和导函数的关系有了 一定的认识的基础上展开教学的。由于这部分内容课本上没有，但数学内部的联系规律和 对称美又会使学生既觉得有挑战性又充满探究的兴趣。备这个课的过程中我虽然参考了大 量已有的资料，但需要做更深入地思考这些命题间的联系，以什么方式展开更利于学生拾 级而上，最终登上高峰体会一览众山小的乐趣和成就感。教师实际上是在引导学生进行一 次理论的探险，大胆地猜，小心地证，谨慎地修改条件，步步逼近真理。最终学生能否记 住这些结论并不重要，重要的是研究相互关联的事物的一般思路和方法。对优秀生或热爱 数学的学生来说会有更多的收获。
在这个探究过程中 1.加强学生对导函数与原函数相生相伴的关系的理解； 2.增强学生对函数对称性的理解和抽象概括表达能力； 3 体验研究事物的角度，一个新定理是怎样诞生的，怎样才是全面地认识了一个事 物。4.培养学生的思辨能力，分析法解决问题的能力，举反例的能力等等。 教学重点 以原函数与导函数的对称性的联系为载体让学生体验观察发现、概括猜想、辨别真伪 的过程。 教学难点 灵活运用所学知识探索未知领域。 新课引入 前面解题时我们常根据导函数的符号示意图画出原函数的单调性示意图，你能根据原 函数的图像画出导函数的示意图吗 一． 探究由原函数的奇偶性能否推出导函数的奇偶性。 问题 1 已知函数 y f (x) 的图像，请尝试画出其导函数的图像示意图。
猜想 q: 可导的偶函数的导函数是奇函数。
问题 2 你能根据图象上解释一下你的猜想吗
奇函数关于原点中心对称，它的曲线在原点两侧等距离处升降速度相同，即切线斜率相 等；
偶函数关于 y 轴对称，它的曲线在 y 轴两侧等距离处升降速度绝对值相等，即切线斜率互 为相反数。
问题 3 尝试证明你的猜想
P: 已知 y f (x) 是可导的奇函数，求证 y f '(x) 时偶函数
3. 函数的平移不改变函数图象的对称性，因此将奇函数的性质拓展为关于中心对称，将 偶函数的性质拓展为关于直线 x a 对称，研究前面的四个命题还是否成立。研究方法可 以类比迁移前面的方法。能成立的严格证明，不能成立的举出反例，并尝试通过改变条件 使之成为真命题。
4.已有成果的应用：利用二次函数的对称性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质研究三次函数的对称性。 教学目标
对于连续的可导函数，原函数的奇偶性可以推出导函数的奇偶性，而逆命题中当导函 数为奇函数时，原函数是偶函数，但当导函数为偶函数时，原函数不一定是奇函数，那么 此时原函数虽然不是奇函数了，它是不是也有什么性质呢它的图像应该是中心对称的。能 否将刚才的结论推广一下 问题 5 奇函数图象特征是关于原点中心对称，偶函数图象特征是关于 y 轴对称， 能否将上述命题推广一下 P 的推广命题 r ：若可导函数 y f (x) 关于 (a,b) 对称，则它的导函数关于直线 x a 对称。 证明： y f (x) 关于 (a,b) 对称，则 f (x) f (2a x) 2b ，
得 f '(x) f '(x) ，所以 y f '(x) 时偶函数 命题 q 同理可证. 思考：看来已知原函数的奇偶性，我们可以确定导函数的奇偶性，那么已知导函数的奇偶 性能否推知原函数的奇偶性呢命题 p 和 q 的逆命题是否成立呢 二．探究由导函数的奇偶性能否推出原函数的奇偶性。 问题 4 p 和 q 的逆命题是否成立 p 的逆命题：若 y f '(x) 是偶函数，则 y f (x) 奇函数 此命题不正确，可举出反例：如 y f '(x) x 是奇函数，而原函数 y f (x) 1 x2 c
f (x) x3 y
f (x) x2
oy x
y f '(x) 3x2
y y f '(x) x
oy
x
o yx
o
x
导函数的实质是原函数的瞬时变化率，导函数的正负反应了原函数的单调性，导函数 的大小反应了o 原函数增减的x 快慢。从图像的整体性质上看，你还有什么发现
猜想 p : 可导的奇函数的导函数是偶函数，
整个教学流程
1. 从经验观察发现，猜想得命题 p,q. 这两个命题为真命题，证明它们的方法用复合函 数求导，比较容易上手。
2. 学生自然会想到这个命题的逆命题是否成立，尝试证明。证明的思路也要逆向思考。 发现由于导数确定后原函数不能唯一确定，有上下平移的可能，这样关于 y 轴对称的性质 能够保持，但关于原点对称的性质就不能保证了。