解析几何的经典结论

解析几何的经典结论

点P 处的切线PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角. PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离 以焦点半径PF 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 2

2

x

y

x)x y 0 y

2

2=

1上，则过P °的椭圆的切线方程是

~2 ~2 1. a

b

a b

2

2

第+打=1外，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是辱+_^?=1.

a 2

b 2

a 2

b 2

设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 MN 两点，_则MF 丄NF. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和氏Q 交于点M

AP 和AQ 交于点N,则MF 丄NF.

二、双曲线

1. 点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角.

2. PT 平分△ PF .F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点

3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .

4.

以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切

.(内切：P 在右支；外切：P 在左支)

2 2

5.

若F 0(X 0,y °)在双曲线 务…占=1 ( a> 0,b > 0 )上，则过F 0的双曲线的切线方程是 x -出^=1.

a b

a b

2

2

x y

6.

若P 0(x 0,y 0)在双曲线 —

2

=1 (a > 0,b > 0 )外，则过Po 作双曲线的两条切线切点为

R 、P 2,则切点弦P 1P 2的直线

a b

方程是彎一智九

有关解析几何的经典结论

、椭 圆

1.

2.

3.

4. 5.

6.

7. 8. 9.

10.

11.

12.

13.

x 2 y 2

椭圆

2

=1 (a > b> 0)的左右焦点分别为 F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点.F 1PF^ '■，则椭圆的焦点角形的面积为

b 2

1

2

2 =b ta n 2

2

y_

2

a 2 S

F 1PF 2 X 2 椭圆二 2 =1 ( a> b > 0)的焦半径公式：

a b I MF 1 | = a ex o , IMF 2 | = a - ex o ( F,-c,0) , F 2(c,0) M (x °, y °)).

若F 0(x °, y °)在椭圆

若F 0(x °, y °)在椭圆 2 2

AB 是椭圆x

匕

2 . 2

a b

=1的不平行于对称轴的弦， M (x 0, y 0)为AB 的中点，_则k OM k AB =

b 2

即K AB

b x °

2

a y °

F 0(x °, y °)在椭圆

_

_

2

x y x)x y 0y x 0 2

2 =1内，则被

Po 所平分的中点弦的方程是

~2 - b a b 2 _ a 2

F 0(x °, y °)在椭圆 2

x ~~2

a

2 2

2 ■占 二1内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 —2 ■ ^2

b 2

a 2

b 2

X 0X y °y

a 2

b 2

a b

2 2

X y

双曲线 T 2 =1

( a>0,b >o)的左右焦点分别为F 1,

F 2,点P 为双曲线上任意一点.F ,PF 2二，则双曲线的焦点角

a b

2

光 形的面积为S F 1

PF 2

=b 2

cot?.

2 2

X y 双曲线 r 2 =1(a>0,b >o)的焦半径公式：(R(—C,0) , F 2(C,0) a b

当 M(X 0,y °)在右支上时，|MF j |=ex 3 a , | MF ? | 二 ex j - a .

当 M (x °, y °)在左支上时，| MF 1 | = —ex j ■ a , | MF 2 | = - ex o - a 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结

AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲

线准线于 M N 两点，则 MF 丄NF.

过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P 、Q, A 、A 为双曲线实轴上的顶点， AP 和AQ 交于点M, AP 和AQ 交于点N,

贝U MF 丄NF.

2 2

b 2X

AB 是双曲线一2…与=1 ( a > 0,b > 0)的不平行于对称轴的弦， M (X 0,y 0)为AB 的中点，贝U K OM K AB -=■

a b

K b 2

x o AB 2

。 a y c

7.

8.

9.

10.

11.

12. 13. 1.

2. 3.

4.

2

，即 a

y °

若F 0(x 0, y 0)在双曲线

若F 0(x o ,y o )在双曲线

2

x a

2

x ~~2 a

2

每 =1 ( a> 0,b > 0)内，则被Po 所平分的中点弦的方程是

2

- b

a

2

2 2

y x y

2 =1 (a> 0,b > 0)内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 2

b

a

b

椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论)

X 0X y ° y

b 2 2

_ X0

2

a

b 2

2

y 。 b 2

2 2 椭圆冷.為

=1

a b

2

轨迹方程是一2=1. a b 2

2

x y 过椭圆一2

2

=

1 (a > 0, b

a b

b 2x

向且k BC

厂

(常数).

(a> b > o) 2

y_

b 2

x

2

若P 为椭圆—-

a 2

b a -c

设椭圆 的两个顶点为 A ,(-a,0) , A(a,0)，与y 轴平行的直线交椭圆于

P 、P 2时AP 与A 2P 2交点的

>0)上任一点A(X 0,y °)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B ,C 两点，则直线BC 有定

乂2 =1 (a> b>0)上异于长轴端点的任一点

,F i

, F 2

是焦点，乙PF |F 2 =〉PF 2F 1 =:,则

CL P =tan co t .

2 2

2

2

令

y

2

=1 ( a> b > 0)的两个焦点为F 1、F 2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在厶PFF 中，记/ F 1PF 2

= :■

a b

PF 1F 2

八，证卩二， 则有

sin «

sin ：