备战2019高考数学选择题专题04不等式的证明理

专题04 不等式的证明知识通关1．基本不等式（1）定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． （2）定理2（基本不等式）：如果a ，b>0，那么2a bab +≥，当且仅当a=b 时，等号成立. 用语言可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数. （3）定理3：如果a ，b ，c 为正数，那么33a b c abc ++≥a ＝b ＝c 时，等号成立． 用语言可以表述为：三个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（4）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，···，a n ，它们的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数，即12123nn n a a a a a a a n+++≥⋅⋅，当且仅当a 1=a 2=···=a n 时，等号成立.2．柯西不等式（1）二维形式的柯西不等式：若a ，b ，c ，d 都是实数，则22222()(+)()a b c d ac bd +≥+，当且仅当ad=bc 时，等号成立.（2）柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则||||||⋅≥⋅αβαβ，当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时，等号成立.（3）二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，22221212x x y y ++≥211222()()x y x y -+-（4）一般形式的柯西不等式：设1212,,,,,,,n n a a a b b b 是实数,则(22212n a a a +++)(22212n b b b +++)≥()21122n n a b a b a b +++，当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,···,n )或存在一个数k 使得a i =kb i (i=1,2,···,n )时，等号成立.3．不等式证明的方法 （1）比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据a＞b⇔a－b＞0a＜b⇔a－b＜0a＝b⇔a－b＝0b＞0，ab＞1⇒a＞bb＜0，ab＞1⇒a＜b（2）综合法与分析法①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫分析法．即“执果索因”的方法．（3）反证法和放缩法①反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．②放缩法：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.基础通关1．比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.2．综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(A为已知条件或数学定义、定理、公理，B为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．解题时，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．3．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．题组一比较法证明不等式作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号． 【例1】已知函数11()22f x xx，M 为不等式()2f x 的解集.（1）求M ；（2）证明：当a ，b M 时，1ab ab .【解析】（1）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时，()2f x <； 当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<， 从而22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+ 题组二 分析法证明不等式分析法证明的思路是“执果索因”，具体过程如下：1Q P ⇐→12P P ⇐→23P P ⇐→···→得到一个明显成立的条件.【例2】已知函数()|23||1|f x x x =-++. （1）求不等式()4f x <的解集A ；（2）若,m n A ∈，试证明：|4|2||mn m n +>+.【解析】（1）若1x <-，则3214x x ---<，解得23x >-，无解； 若312x -≤≤，则3214x x -++<，解得0x >，故302x <≤； 若32x >，则2314x x -++<，解得2x <，故322x <<. 综上所述，不等式()4f x <的解集A 为(0,2).题组三 反证法证明不等式反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公认的简单事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的． 【例3】设a >0，b >0，且a ＋b ＝11a b+.证明： （1）a ＋b ≥2；（2）a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立． 【解析】由a ＋b ＝11a b +＝a b ab+，a >0，b >0，得ab ＝1. （1）由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2. （2）假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立， 则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾． 故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立.能力通关1．使用基本不等式时易忽视等号成立的条件．利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．2．个别题目也可用柯西不等式来证明，注意柯西不等式使用的条件.基本不等式——综合法证明不等式【例1】已知,,(0,),a b c ∈+∞且1a b c ++=．证明： （1）22213a b c ++≥； （2）2221a b c b c a++≥．【解析】（1）222,a b ab +≥222,b c bc +≥222,c a ac +≥222222222,a b c ab bc ac ∴++≥++222222333222a b c a b c ab bc ac ∴++≥+++++2()1a b c =++=，22213a b c ∴++≥． （2）因为2222,2,2,a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥所以222222,a b c b c a a b c b c a +++++≥++即222,a b c a b c b c a ++≥++即2221a b c b c a++≥. 【例2】已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若112km n+=（0m>，0n>），求证：22m n+≥.【解析】（1）由于()()()()31,3111,31,x xf x x xx x⎧--≥⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩所以()f x的最大值为()12f-=，即2k=.（2）由（1）得1122m n+=.因为0m>，0n>，所以()22m n m n+=+1111222m n⎛⎫⋅+=⎪⎝⎭2222m nn m⎛⎫++≥⎪⎝⎭，当且仅当1m=，12n=时，等号成立.柯西不等式及其应用【例3】已知函数()121f x x x=--+,且对任意x∈R,都有()()0f x f x≤.（1）求0x及()0f x的值；（2）若,,a b c∈R, 且()222a b c f x++=,求()b a c+的最大值及2a b c++的最大值.【解析】（1）()121f x x x=--+()()11112x x x x≤--+≤--+=,其中121x x--+11x x≤--+取等号的条件是10x+=,即1x=-,()()1111x x x x--+≤--+取等号的条件是11x-≤≤,所以01x=-,()02f x=.【名师点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用,基本不等式及柯西不等式的应用,意在考查分类讨论思想方法,以及分析问题、解决问题的能力．不等式证明的综合问题【例4】已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）证明：33311123abc a b c +++≥； （2）若231a b c ++=，且222a b c k ++>恒成立，求实数k 的最小值． 【解析】（1）因为a ，b ，c 为正实数，所以由均值不等式可得33333331111113a b c a b c++≥⋅⋅，即3331113a b c abc ++≥，所以3331113abc abc a b c abc+++≥+， 又33223abc abc abc abc+≥⋅=， 所以33311123abc a b c+++≥，当且仅当63a b c ===时，取等号．【例5】已知函数()2|2|3|3|f x x x =-++. （1）解不等式：()15f x >；（2）若函数()f x 的最小值为m ，正实数,a b 满足425a b m +=，证明：114910a b +≥. 【解析】（1）依题意，2|2|3|3|15x x -++>；当3x <-时，原式化为2(2)3(3)15x x --+>，解得4x <-；当32x -≤≤时，原式化为2(2)3(3)15x x -++>，解得2x >，故不等式无解； 当2x >时，原式化为2(2)3(3)15x x -++>，解得2x >. 综上所述，不等式的解集为(,4)(2,)-∞-+∞.（2）由题意，可得55(3)()13(32)55(2)x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x =-时，函数()f x 有最小值10，即42510a b +=.故11111125449()(425)(29)101010b a a b a b a b a b +=++=++≥， 当且仅当254b a a b =时等号成立，此时52,77a b ==. 高考通关1．已知函数f (x )＝|x ＋1|.（1）求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； （2）设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．【解析】（1）①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，原不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时原不等式无解； ③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.（2）因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以，要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0. 因为a ，b ∈M ， 所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立， 所以原不等式成立. 2．已知,a b 为任意实数.（1）求证：()42242264a a b b ab a b ++≥+;（2）求函数()()()4224332162221f x x a a b b x a b ab =-+--+-+-的最小值.【解析】（1）()()()24224222222226444a a b b ab a babab a b a b ++-+=+-++()()24222a b aba b =+-=-.因为()40a b -≥,所以()42242264a a b b ab a b++≥+.（2）()f x =()()4224332162221x a a b bx a b ab-+--+-+-=4|2(1x a -+224336)22(221a b b x a b ab --+-+-)|33|[22(221x a b ab ≥-+-][4)2(1x a --+2246)]|a b b --=()411a b -+≥,即()min 1f x =. 3．设函数()||f x x a =-.（1）当2a =时，解不等式()4|1|f x x ≥--；（2）若()1f x ≤的解集为[0]2,，11(00)2a m n m n+=>>,，求证：24m n +≥. 【解析】（1）当a =2时，不等式为|2||1|4x x -+-≥， 若1x <，则214x x -+-≥，解得12x ≤-； 若12x ≤≤，则214x x -+-≥，即14≥，无解； 若2x >，则214x x -+-≥，解得72x ≥. 所以不等式的解集为17(,][,)22-∞-+∞.（2）()1f x ≤即||1x a -≤，解得11a x a -≤≤+，而()1f x ≤的解集是[0]2,，所以1012a a -=⎧⎨+=⎩，解得a =1，所以111(00)2m n m n+=>>,， 所以112(2)()222242222m n m n m n m n m n m m nn +=++=++≥+⋅=， 当且仅当22n m nm=，即2,1m n ==时取等号. 4．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . （1）求a 的值；（2）若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 【解析】（1）因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.5．已知不等式|1|||x m x ++≥()m ∈R 对任意实数x ∈R 恒成立． （1）求实数m 的最小值t ；（2）若,,(0,)a b c ∈+∞，且满足abc t =，求证：bc ac aba bcb ac c ab a b c≤．【解析】（1）不等式|1|||x m x++≥等价于|1|||x x m+-≥-．令()1g x x x=+-，则不等式|1|||x x m+-≥-()m∈R对任意实数x∈R恒成立等价于min()g x m≥-．而1,1,()|1|||21,10,1,0,xg x x x x xx-<-⎧⎪=+-=+-≤<⎨⎪≥⎩作出函数()g x的图象，由图可知，函数()g x的最小值为1-，即min()1g x=-，所以1m-≤-，即1m≥，故1t=．（2）由（1）知1abc=，其中,,(0,)a b c∈+∞，bca=acb=abc=111a b ca b c≤++()*．下面证明不等式()*：因为11122abcca b ab ab+≥==（当且仅当a b=时取等号），1112abcab c bc bc+≥==（当且仅当b c=时取等号），111abcba c ac ac+≥==a c=时取等号）．三式相加得：1112()2()a b ca b c≤++（当且仅当a b c==时取等号），111a b ca b c≤++，即bc ac abbc b ac c aba b c≤．【名师点睛】本题考查含有绝对值的不等式恒成立问题、不等式的证明、函数图象的应用，意在考查推理论证能力、运算求解能力．。