高等代数概念引入-矩阵
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数第4章矩阵1,2,3节
B 18 6,
例
1 4 T A 2 5 ; 2 8
18 B . 6
T
转置矩阵的运算性质
1 A
T T
A;
T
2 A B AT BT ;
a11 a 21 A a m1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
x1 x2 X , xn
b1 b2 B . bm
性质：1.( AB)C A( BC )
2.k ( AB) (kA)B A(kB) 3. A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
4. Em Amn Amn , Amn En Amn
5.( kEm ) Amn kAmn , Amn ( kEn ) Amn
全相等
k 0 0 0 k 0 的方阵, 称为数量矩阵. （8）形如 记作 kE (或kEn ). 0 0 k
(9)方阵
1 0 0 0 1 0 E En 0 0 1
4.2.2 矩阵的数乘
数k与矩阵A的乘积记作kA, 规定为
ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2 n kA [kaij ] . kam1 kam1 kamn 性质： 1.1的数乘：1 A A 2.数乘结合律： ) A k (lA) (kl 3.数乘分配律： l ) A kA lA (k
定义n阶方阵的k次幂为： Ak AA A 显然： Ak Am Ak m k个A
高等代数第四章 矩阵
30 10 15
10 70 35
45 20 25
100
,B
150 320000
20 45 16200
15500 ,C 28000
19750
5650 10350, 6775
第四章 矩阵
16
高等代数
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定义2
（1）结合律 ABC ABC;
（2）分配律 AB C AB AC,
B C A BA CA;
第四章 矩阵
18
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4）矩阵乘法不满足交换律，即一般来说 AB BA
例如 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
A1 A
Ak
1
Ak
A
由乘法结合律有 Ak Al Akl
Ak
l Akl
注 1）方幂只能对行数和列数相等的矩阵来定义。
2）一般来说 ABk Ak Bk
第四章 矩阵
21
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a11x1 a12 x2 a1n xn b1
第四章 矩阵
2
高等代数
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化学反应中方程式的配平是一个棘手的问题，但 是有一类方程式的配平利用矩阵来处理十分简洁方便。 定义 化学反应中每一个化合物含有它们所有的每一种 原子的个数，排列成的数字表称为化学反应矩阵。
第四章 矩阵
3
高等代数
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矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2,
高等代数第八章 λ-矩阵
A−1 (λ ).
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
判定：
（定理1） 一个 n × n 的 λ ―矩阵 A(λ )可逆 定理 ） 矩阵
⇔ A(λ ) 是一个非零常数 是一个非零常数.
证: “ ⇒ ” 可逆， 若 A(λ ) 可逆，则有 B(λ )，使
A(λ ) B( λ ) = E
两边取行列式，得 两边取行列式，
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
一、λ－矩阵的概念
定义：
是多项式环， 设P是一个数域， λ 是一个文字， P[λ ]是多项式环， 是一个数域， 是一个文字， 若矩阵A的元素是 的多项式， 的元素， 若矩阵 的元素是 λ 的多项式，即 P[λ ] 的元素，则 矩阵，并把A写成 称A为 λ ―矩阵，并把 写成 A(λ ). 为
注：
数域P上的矩阵 上的矩阵—数字矩阵也 ① Q P ⊂ P[λ ], ∴ 数域 上的矩阵 数字矩阵也 矩阵. 是 λ ―矩阵 矩阵
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
矩阵也有加法、 ② λ ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 矩阵也有加法 减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同. 其定义与运算规律与数字矩阵相同 矩阵， ③ 对于 n × n 的 λ ―矩阵，同样有行列式 | A(λ ) |, 矩阵 的多项式， 它是一个λ 的多项式，且有
A(λ ) B(λ ) = A(λ ) B(λ ) = E = 1
∴ A( λ ) , B(λ ) 都是零次多项式，即为非零常数. 都是零次多项式，即为非零常数
§8.1 λ─矩阵 λ─矩阵
“ ⇐ ” 设 A(λ ) = d 是一个非零常数 是一个非零常数.
A∗ ( λ ) 为 A(λ )的伴随矩阵，则 的伴随矩阵，
高等代数-矩阵
• 列向量 n=1的特殊矩
阵
a1
a2
M
am
• 行向量 m=1的特殊矩阵
a1 a2 L an
特殊矩阵及其元素表示_5
• n维标准单位向量
1 0
0
e1
0
M
,
e2
1
M
,L
, en
0
M
0
0
1
特殊矩阵及其元素表示_6
• n阶基础矩阵Eij
0
O
Eij
0 O
a11 b11 a12 b12 a11 b11 a12 b12 a11 b11
a21 b21 a22 b22
a21
a22
b21
a12 b12 b22
矩阵的加减法2_运算规则
• 运算规则
✓交换律： A+B = B+A ✓结合律： (A+B)+C = A+(B+C) ✓0+A=A+0 = A ✓A+ (－A) = 0 ✓A+(－B) = A－B
产品 产量 产品1
分厂1 20 分厂2 30
产品2
17 20
产品3
12 10
3200
17 20
1102
这里2×3个数排成2行3列，成为一个整体，抛 去它所包含的实际意义，构成了高等代数中的 一个2×3阶矩阵。
关于矩阵_1
• 矩阵这个词是由西尔维斯特（Sylvester, 18141897）于1850年首先提出。他是犹太人，故他 在取得剑桥大学数学荣誉会考第二名的优异成 绩时，仍被禁止在剑桥大学任教。从1841年起 他接受过一些较低的教授职位，也担任过书记 官和律师。经过一些年的努力，他终于成为霍 布金斯大学的教授，并于1884年70岁时重返英 格兰成为牛津大学的教授。他开创了美国纯数 学研究，并创办了《美国数学杂志》。在长达 50多年的时间内，他是行列式和矩阵论始终不 渝的作者之一。
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高等代数-高代矩阵
解法2
1
( AB)T
BT AT
7
4 2 2 2 0 0
1 0 17 3 14 13 .
1 3 1 1 2 3 10
48
四、对称矩阵和反对称矩阵
设 A为n阶方阵
A为对称矩阵
AT A
A为反对称矩阵 AT A
aii 0
aij a ji aij a ji
49
? 注：A, B是对称矩阵，AB是对称矩阵
(A
B)k
Ak
C
1 k
Ak
1
B
Ck2 Ak2B2
...
Bk
AB BA .
35
例5
设
A
0
1
0 1 ,
求 Ak .
0 0
解
A2
0
1
0
10
1
0 1
0 0 0 0
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
36
2
A3 A2 A 0
2 2
1 1 2 0
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的 线性替换. 其中aij为常数.
16
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
a12 a22
a1n a2n
ann
a11
a21 a22
.
an1 an2 ann
i j, aij 0
i j, aij 0
14
三、矩阵与线性变换
高等代数第四章 矩阵PPT
矩阵的定义
定义1 由 m n个数aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的m行n 列的数表
a11 a12 L
a21
a22
L
M M
am1
am2
L
a1n
a2n
M
amn
称为 m n矩阵. 简记为 A Amn
aij
mn
aij
.
这m n个数称为A的元素,简称为元.
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第四章 矩 阵
1、矩阵概念的一些背景
矩阵是线性代数中最基本的概念之一， 也 是解决数学问题和实际问题的一个强有力的武 器之一。
2020/3/25
第四章 矩阵
1 1
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矩阵在密码学中的应用实例 古罗马皇帝恺撒首先使用了这样一种密码：在保 留明文中的大小写、空格及标点符号的前提下， 把明文中的每一个字母转化为英文字母表中的第 4个字母。人们为了纪念恺撒德，就把这种密码 称为恺撒密码。但是恺撒密码有一个致命的缺陷， 即每个字母与经过转化后的字母分别在明文和密 文出现的频率是相通的。1929 年，Hill 提出了 一种克服恺撒密码缺陷的密码，该密码以矩阵变 换的方法建立字母组间的对应关系，该方法的诞 生从此使密码学进入了以数学方法处理问题的新 阶段。
b2n M bsn
称为A和B的和，记为C＝A+B。
注 1）矩阵的加法就是矩阵对应的元素相加。相加 的矩阵必须要有相同的行数和列数
2）矩阵加法满足
结合律：A+(B+C)=(A+B)+C； 交换律： A+B=B+A。
2020/3/25
《高等代数》知识点梳理
高等代数知识点梳理第四章 矩阵一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念（1）定义：由n s ×个数ij a （s i ,2,1=；n j ,2,1=）排成s 行n 列的数表sn s n a a a a 1111，称为s 行n 列矩阵，简记为n s ij a A ×=)(。
（2）矩阵的相等：设n m ij a A ×=)(，k l ij a B ×=)(，如果l m =，k n =，且ij ij b a =，对m i ,2,1=；n j ,2,1=都成立，则称A 与B 相等，记B A =。
（3）各种特殊矩阵：行矩阵，列矩阵，零矩阵，方阵，（上）下三角矩阵，对角矩阵，数量矩阵，单位矩阵。
2、矩阵的运算（1）矩阵的加法：++++= +sn sn s s n n sn s n sn s n b a b a b a b a b b b b a a a a 1111111111111111。
运算规律：①A B B A +=+②)()(C B A C B A ++=++③A O A =+ ④O A A =−+)(（2）数与矩阵的乘法：= sn s n sn s n ka ka ka ka a a a a k 11111111运算规律：①lA kA A l k +=+)( ②kB kA B A k +=+)(③A kl lA k )()(= ④O A A =−+)(（3）矩阵的乘法：= sm s m nm n m sn s n c c c c b b b b a a a a 111111111111其中nj in i i i i ij b a b a b a c +++= 2211，s i ,2,1=；m j ,2,1=。
运算规律：①)()(BC A C AB = ②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( ④B kA kB A AB k )()()(==一般情况，①BA AB ≠②AC AB =，0≠A ，⇒C B = ③0=AB ⇒0=A 或0=A（4）矩阵的转置： =sn s n a a a a A 1111，A 的转置就是指矩阵=ns n s a a a a A 1111'运算规律：①A A =)''( ②'')'(B A B A +=+③'')'(A B AB = ④')'(kA kA =（5）方阵的行列式：设方阵1111n n nn a a A a a= ，则A 的行列式为1111||n n nn a a A a a = 。
高等代数教学笔记4：矩阵 I
高等代数教学笔记4：矩阵 I对于一般的线性方程组 (行列式为零或方程与未知量不一样多), Cramer 法则不能 (直接) 应用, 于是需要新的方法, 对方程组的系数进行处理. 代数学处理问题的方式一般是整体考虑, 记为数域上的m×n 矩阵的全体,先研究这个集合的整体性质, 然后再分别考虑特殊的矩阵. 而在代数层面上,集合的整体性质是通过其中的运算关系来展示的, 所以我们需要研究矩阵集合上的运算.矩阵的运算在上有自然定义的加法运算并且满足如下性质.问题4.1(1) 交换律: A + B = B + A;(2) 结合律: (A + B) + C = A + (B + C);(3) 零矩阵: 0 + A = A, 这里的 0 是所有元素都是 0 的矩阵;(4) 负元 (可以定义减法): 存在 B 使得 B + A = 0. (唯一的! 记为 -A.)这些性质的验证非常简单, 不过有必要提醒一下: 从现在开始, 我们会慢慢走进抽象的数学领域, 当然, 这个抽象的过程是一步步实现的, 不能一蹴而就.最自然的抽象过程是在很多数学对象中寻找共性, 提炼出来就是一个抽象的数学概念. 比如, 上述的四个性质是代数学中所讨论的加法的共性, 这一类对象以后会有一个共同的名字——Abel 群; 更一般地, 只满足~(2)-(4), 不满足交换律的对象就是今后需要研究的群.在上可以定义数乘运算◦ (通常省略):数乘运算不再是矩阵内部的运算, 而是常数与矩阵之间的运算. 而上有加法和乘法运算, 上有刚刚定义的加法运算, 因此我们需要考虑所有这些运算之间的关系. 另外, 数域中有一个特殊元素 1, 它在数乘中的地位也是比较特殊的. 这些结合起来就自然有如下问题.问题4.2 (5) 单位 1: 1 ◦ A = A;(6) (结合律) (kl) ◦ A = k ◦ (l ◦ A);(7) (分配律一) k ◦ (A + B) = k ◦ A + k ◦ B;(8) (分配律二) (k + l) ◦ A = k ◦ A +l ◦ A.我们将会发现, 满足加法和数乘运算及如上性质 (1) − (8) 的研究对象越来越多, 比如前面提到的数域、多项式、平面向量、空间向量等, 它们最终融汇成一个抽象的概念——线性空间, 这将把高等代数的研究提到一个新的高度.矩阵中更重要的运算自然是 Cayley 利用变量替换方式引入的矩阵乘法. 按照惯例, 我在上课时让学生们计算了两三个变量时的替换, 并且要求他们在课堂上计算出结果. 这不是一个困难的过程, 学生们基本能得到结果, 如下图所示.由此得到一般矩阵的乘法规则. 不过, 奇怪的是, 即使用上面这个比较直观的图来表示矩阵乘法, 学生们还是能够很快忘掉矩阵乘法怎么作, 其中的原因耐人寻味.定义了矩阵乘法, 首先考虑一下其自身性质.问题 4.3 (1) 矩阵乘法没有交换律, 举例有三个层次的原因: 交换了不能相乘、交换顺序能相乘但结果的阶数不同、方阵相乘也不一定可换.(2) 矩阵乘法满足结合律 (两种观点: 直接验证或从变量替换两次的角度看).(3) 单位矩阵: , 其中.(4) 逆矩阵 (类似于倒数) 不一定存在.问题4.4如果对任意, 都有 BA = A, 是否一定有?矩阵乘积中的每一个元素都是一个求和, 这样的求和用行矩阵与列矩阵相乘更为简洁直观, 应用起来也会方便很多.问题4.5 (1) A,B 的乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素是用矩阵乘法表示(实际上, 以后看到求和号都可以转换为矩阵乘法!).(2) A,B,C 的乘积 ABC 的第 i 行第 j 列元素如何用矩阵表示?问题4.6 (1) 矩阵乘法与加法有分配律.(2) 矩阵乘法与数乘有结合律.(3) 矩阵乘法与转置: (AB)′= B′A′.矩阵与线性方程组利用矩阵运算, 我们可以重新理解线性方程组.问题4.7 (1) 方程组的形式:(2) 矩阵乘法: 记 A 为其系数矩阵,则有矩阵乘法形式(3) 列向量的加法与数乘: 记 A 的列向量为则有这里蕴含着列向量之间的关系——线性相关性.(4) 行向量: 记为 A 的行向量, 则第 i 个方程可以简单记为方阵与多项式矩阵中最值得研究的是方阵, 数域上 n 阶方阵的全体记为, 它将成为高等代数课程的主要研究对象. 在深入研究之前, 我们需要与前面学过的多项式和行列式理论联系一下. 中有加法、数乘和乘法等三种运算, 这与多项式理论有相通之处.问题4.8对任意, 我们定义:(1) 证明:(2) 对任意我们记称为A 的多项式. 证明:(3) 对任意, 有. 其中的问题 (3) 是矩阵多项式的既简单又重要的性质. 首先, 矩阵乘法的麻烦之处是交换律的缺失, 而矩阵的多项式却具有交换性; 其次, 我们将会发现,对于给定矩阵 A, 很多与 A 有关的重要矩阵都是 A 的多项式, 这将是矩阵研究中的一个重要突破口! 我们可以用如下问题来表述.问题4.9设, 定义映射证明: 对任意, 有对于上述映射, 如下问题对以后会很有用.问题4.10 (1) 是单射吗? 或者, 集合有什么特点? 这与我们前文研究多项式的因式分解时考虑的一些集合很相似!(2) 的像是什么? 是满射吗?剧透一下: 前面我们多次提到了更一般地, 对于n 阶方阵,是一个神奇的多项式, 因为它满足 f(A) = 0! 不信就去验证 (超级大坑!).最后举一个我们熟悉的例子: Fibonacci 数列这个递推关系可以用矩阵乘法来表达这似乎没什么. 我们再增加一项有问题4.11 证明:由 (1) 或 (2), 求 Fibonacci 数列的通项公式就转化成求矩阵于是就要发展矩阵理论求这样的矩阵的 n 次幂, 这是后话.方阵与行列式前面考虑广义 Laplace 展开的时候, 就得到了所谓的行列式的乘积公式.问题4.12设, 则|AB| = |A||B|.广义 Laplace 展开实际上是把两个 n 阶行列式的乘积转化成一个 2n 阶的行列式. 这个想法非常有用. 我们今后会处理各种矩阵问题, 有时需要同时处理好几个矩阵, 如果能用一种合理的方式把这些矩阵放到同一个大的矩阵里, 我们就只需要处理一个矩阵即可, 这就是分块矩阵的思想. 还有另一个简单粗暴的想法: 把 |AB| 按列展开为很多行列式的和, 仔细观察这些行列式的特点!上述问题其实还可以推广.问题4.13设. 若 m > n, 则 |AB| = 0; 麻烦在于 A,B 都不是方阵, 那就把它们补充成方阵但不能改变它们的乘积, A 要添加一些列, B 要添加一些行, 怎么添加?有了这个结论, 我们就可以计算一些特殊的行列式.问题4.14 计算行列式:这个行列式当然可以用行列式技巧计算 (比如拆项、镶边等), 不过, 用矩阵乘法的观点来看会容易的多. 类似的有问题4.15计算行列式:上式中的矩阵实际上是A′A, 其中不过, 如果换一下顺序就不一样了:问题4.16 (Cauchy 不等式) 设, 证明:Cauchy 不等式可能在中学就遇到过, 证明方法也不难: 配成平方和! 不过, 观察一下这些平方和, 它们与行列式有关系吗? 实际上关系很紧密. 我们有如下更一般的情形.问题 4.14 (Binet-Cauchy 公式) 设证明: 当m < n 时,注意到再用广义Laplace 展开即可. 这样就把A,B 的乘积问题转化成一个矩阵去研究, 这种方法在矩阵理论中是常用的. 特别地, 上式的右边我们有了一个简单的表达式, 把复杂矩阵分解为四块, 这样的形式简单且容易操作, 这是我们今后要经常使用的矩阵分块技巧.特别地, 我们有问题4.18设, 则. 当 m = 2 时就是 Cauchy 不等式.。
高等代数-矩阵方法
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
4 鞍山师范学院数学系
高等代数方法技巧——小胡糊工作室
E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
高等代数 -矩阵
高等代数-矩阵矩阵（matrix）是一种代数对象，它是由元素排列成矩形形式的矩阵，通常用方括号括起来。
例如，一个3×3的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33]其中，a11, a12, ..., a33是矩阵A的元素。
一个m×n的矩阵可以表示成一个m 行n列的矩形矩阵，其中第i行第j列的元素记作aij。
这样，一个矩阵可以用一个二维数组表示。
矩阵加法运算：设A和B是两个m×n的矩阵，它们的和A+B定义为一个m×n的矩阵C，其中C中每个元素都等于对应的A和B矩阵中相应元素之和，即Cij = Aij + Bij矩阵数乘运算：设A是一个m×n的矩阵，k是一个实数或复数，则kA定义为一个m×n的矩阵B，其中B中每个元素都等于对应的A中相应元素乘以k，即Bij = kAij矩阵乘法运算：设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积AB定义为一个m×p的矩阵C，其中C中第i行第j列的元素为Cij = ∑AikBkj (k=1,2,...,n)其中，∑表示对k从1到n的求和。
矩阵的逆：设A是一个n×n的方阵，若存在另一个n×n的方阵B，使得AB=BA=I，其中I是n×n的单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作B=A-1。
只有可逆矩阵才有逆矩阵，而且逆矩阵是唯一的。
矩阵的转置：设A是一个m×n的矩阵，它的转置AT是一个n×m的矩阵，其中AT中第i 行第j列的元素等于A中第j行第i列的元素，即ATij = Aji矩阵的秩：一个矩阵的秩指的是它的行向量组或列向量组张成的线性空间的维数。
即一个矩阵的秩指的是它的非零行向量或非零列向量的极大线性无关组数。
代数方法 第四章__高等代数选讲之矩阵
分析 因为可逆矩阵的定义式是矩阵相乘可交换次序 的等式，所以可将等式进行恒等变形，变成 CD E（或
DC E ）的形式，此时有 DC E（或 CD E ）。利用 此可证明矩阵乘积可交换的命题。
由 AB A B 得 AB A B O ，即 AB A B E E 于是有 A E B E E 证 因为 A E 与 B E 为 n 阶方阵，则由上式知 A E 可逆 且 B E 为 A E 的逆矩阵，从而有 B E A E E 即 BA A B E E 故
A
k T
k
T
k 1
T T
k 1
A
注
当 A 可分解为 A T 时，可知 r A 1.
方法4 分块对角矩阵求方幂：对于分块对角矩阵
A1 A AN A1k 有 Ak
A' A, AA' A2 0
2 2 a11 a12 a12n 0 2 2 2 a21 a22 a2 n 0 则有 2 2 2 an1 an 2 ann 0
又 aij R 则有 aij 0， i, j 1,2,n
xy y2 yz
xz 1 1 1 yz 1 1 1 z 2 1 1 1 1，于是 T x2 y 2 z 2 3.
例2.
12
13
14
15
AB 例3、设 A, B 为 n 阶方阵，且 AB A B ，证明： BA.
3
T 例3、设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA E，且 A 0 ，
矩阵的初等变换在高等代数中的应用
矩阵的初等变换在高等代数中的应用矩阵的初等变换是高等代数中一个重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将从不同的角度介绍矩阵的初等变换在高等代数中的应用。
一、线性方程组的求解线性方程组是高等代数中的一个基础问题，而矩阵的初等变换可以帮助我们解决线性方程组。
通过对系数矩阵进行初等变换，我们可以将线性方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，从而求解出方程组的解。
这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换方程的顺序、缩放方程以及将方程相加，从而将方程组转化为更简化的形式，使求解过程更加高效。
二、矩阵的相似与对角化矩阵的相似性在高等代数中是一个重要的概念，而矩阵的初等变换可以帮助我们判断两个矩阵是否相似。
通过对矩阵进行初等变换，我们可以将一个矩阵转化为对角矩阵，从而判断出两个矩阵是否相似。
这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换矩阵的列、缩放矩阵的列以及将矩阵的列相加，从而将矩阵转化为更简化的形式，使相似性的判断更加方便。
三、线性变换的表示与求解线性变换是高等代数中一个重要的概念，而矩阵的初等变换可以帮助我们表示和求解线性变换。
通过对向量空间的基进行初等变换，我们可以得到线性变换的矩阵表示，从而将线性变换转化为矩阵运算。
这个过程中，我们可以使用矩阵的初等变换来交换向量的顺序、缩放向量以及将向量相加，从而得到线性变换的矩阵表示，使线性变换的求解更加简化。
总结起来，矩阵的初等变换在高等代数中有着广泛的应用。
它可以帮助我们求解线性方程组、判断矩阵的相似性以及表示和求解线性变换。
通过灵活运用矩阵的初等变换，我们可以简化问题的复杂度，提高问题的求解效率。
因此，在高等代数的学习中，我们需要深入理解矩阵的初等变换的概念和应用，以便更好地应用于实际问题的求解中。
高等代数课件PPT之第4章矩阵
简记
aE.
0 0 a
例如
2 0 0 0 0 2 0 0 2E 0 0 2 0 0 0 0 2
amn bmn
称为矩阵A与B的和. 记作
C AB
aij
bij
.
mn
注：只有同型的两个矩阵才能进行加法运算.
矩阵减法
设A
aij
,
mn
a11
A
aij
mn
a21
a12 a1n
a22
a2n
称为A的负矩阵.
am1
am2
amn
0 0 0
O
0mn
30
32
34
利润矩阵
由已知得
B
15
17.5
20
1220.5
总3.问A利B题2333润80241W:10521的这2L18330销一C售天31560F8利内7B1106.润，O5 总最0322B2和A小5711是号1.22这275500..多55牛里 设9少仔为7A.？裤5A23915872778.05..65521432.5（
14
13.
解法2
3 10
1 4 2 2 1 0 17
ABT
BT AT
7
2
0
0
3
14
13
1 3 1 1 2 3 10
5.几类特殊矩阵(方阵) (1)对角矩阵
对角阵 单位阵、零阵 数量阵 上（下）三角阵 对称矩阵与反对称矩阵
定义 主对角线以外元素均为零的n级方阵称为对角
矩阵.
k 1
bs2
bsn
c记21作Ca=2A1bB1.1 a22b21 a2s bs1
高等代数教案-第5章矩阵
第五章 矩 阵教学目的：1. 掌握矩阵的加法，乘法及数与矩阵的乘法运算法则。
及其基本性质，并熟练地对矩阵进行运算。
2. 了解几种特殊矩阵的性质。
教学内容：矩阵的运算1 矩阵相等我们将在一个数域上来讨论。
令F 是一个数域。
用F 的元素a ij 作成的一个m 行n 列矩阵A= ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a aa aa a a a a mn m m n nΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 叫做F 上一个矩阵。
A 也简记作（a ij ）。
为了指明 A 的行数和列数，有时也把它记作A mn 或 （a ij ）mn 。
一个 m 行n 列矩阵简称为一个m*n 矩阵。
特别，把一个n*n 矩阵叫做一个 n 阶正方阵，或n 阶矩阵。
F 上两个矩阵，只有在它们有相同的行数和列数，并且对应位置上的 元素都相等时，才认为上相等的。
以下提到矩阵时，都指的是数域F 上的矩阵。
我们将引进三种运算：数与矩阵的乘法，矩阵的加法以及矩阵的乘法。
先引入前两种运算。
2 矩阵的线性运算定义 1 数域F 的数 a 与F 上一个m*n 矩阵A=(a ij ) 的乘法aA 指的是m*n 矩阵（aa ij ） 定义 2 两个m*n 矩阵A=(a ij )，B=(b ij ) 的和A+B 指的是m*n 矩阵（a ij +b ij ）。
注意 ，我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。
以上两种运算的一个重要特例是数列的运算。
现在回到一般的矩阵。
我们把元素全是零的矩阵叫做零矩阵，记作0。
如果矩阵 A=(a ij )， 我们就把矩阵（- a ij ），叫做A 的负矩阵，记作—A 。
3 矩阵线性运输的规律A+B=B+A ；(A+B)+C=A+(B+C)； 0+A=A ； A+(-A)=0；a(A+B)=Aa+Ab ； (a+b)A=Aa+Ba ； a(bA)=(ab)A ；这里A,B 和 C 表示任意m*n 矩阵，而a 和 b 表示 F 中的任意数。
高等代数精品课件——矩阵
0 Cn 0 Cn
1 Cn a0 1 Cn a1
2 2 Cn a0 2 2 Cn a1
0 1 2 2 Cn Cn an Cn an n
··· ··· ··· n n · · · Cn an
n n Cn a0 n n Cn a1
.
|A| =
i=0
i Cn i<j
( aj − ai ) .
n−1
n j
+ ···
+ a2 j + · · · + an
).
f (x) = a1 + a2x + · · · + anxn−1. AB (i, j ) f ( 1) 1f ( 1)
i−1 j f ( j ).
|AB | =
··· ··· ··· n−1 n−1 1 f ( 1) 2 f ( 2) · · · f ( 2) 2f ( 2)
9
p.61: 5,6,8,9,12,15
10
1 0 0 0 1 0 e1 = 0 , e2 = 0 , · · · , en = 0 . . . . . . . . . . 0 0 1 A k m×n Aek A
AB = C.
n(n+1) 2
n i Cn i=0 j>i
|C | = |A||B | = (−1)
(bj −bi)(aj −ai).2
23
1) a11 a12 a a A = 21 22 am1 am2 b11 b12 b b B = 21 22 bn1 bn2 · · · a1n · · · a2n ··· · · · amn · · · b1k · · · b2k ··· · · · bmk ,
【精品】高等代数北大版教案第8章矩阵
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 【关键字】精品第八章 -矩阵本章主要介绍-矩阵及其性质，并用这些性质证明若当标准形的主要定理。
§1 -矩阵如果一个矩阵的元素是的多项式，即的元素，这个矩阵就称为-矩阵。
为了与-矩阵相区别，我们把以数域P中的数为元素的矩阵称为数字矩阵。
由于数域中的数也是中的元素，所以在-矩阵中包括以数为元素的矩阵，即数字矩阵为-矩阵的一个特殊情形。
同样可以定义一个-矩阵的行列式，既然有行列式，也就有-矩阵的子式的概念。
利用这个概念。
我们有定义1 如果-矩阵中有一个级子狮不为零。
而所有级子式（如果有的话）全为零，则称的秩为，零矩阵的秩规定为零。
定义2 一个的-矩阵称为可逆的，如果有一个的-矩阵使== （1）这里是级单位矩阵。
适合（1）的矩阵（它是唯一的）称为的逆矩阵，记为关于-矩阵可逆的条件有定理1 一个的-矩阵是可逆的充分必要条件为行列式是一个非零的数。
§2 -矩阵在初等变换下的标准形-矩阵也有初等变换。
定义3 下面的三种变换叫做-矩阵的初等变换：（1）矩阵的两行（列）互换位置；（2）矩阵的某一行（列）乘以非零的常数；（3）矩阵的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一个多项式。
初等变换都是可逆的，并且有。
为了写起来方便起见，我们采用以下的记号：代表行（列）互换位置；代表用非零的数去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）。
定义4 -矩阵称为与等价，如果可以经过一系列初等变换将化为。
等价是-矩阵之间的一种关系，这个关系，显然具有下列三个性质：（1）反身性：每一个-矩阵与自己等价。
（2）对称性：若与等价，则与等价。
这是由于初等变换具有可逆性的缘故。
（3）传递性：若与等价，与等价，则与等价，引理设-矩阵的左上角，并且中至少有一个元素不能被它除尽，那么一定可以找到一个与等价的矩阵，它的左上角元素也不为零，但是次数比的次数低。
定理2 任意一个非零的的-矩阵都等价与下列形式的矩阵最后化成的这个矩阵称为的标准形。
高等代数-矩阵方法
Em 0
和
− A λ Em λ En B
A λ Em − AB 0 = λ En En λ B A λ Em = En 0 λ En − BA A
0 λ Em Em − B λ En B
E − A−1 B E 0 E − A−1 B A B A − A−1 BC = E C D C 0
可得 A B = AD − A−1 BCD C D 若要以 D 得到最简化的结果，还得要求 D 可逆和 BD = DB ，得 行消法阵：
= A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B ) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
若 A 不可逆，若 A 为幂零矩阵，则 A 的特征值只有 0，所以 ∀ε > 0 ，ε E + A 可逆.
∵ AC = CA ∴ (ε E + A)C = C (ε E + A) ，利用 A 可逆的情况的结论可得
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
所以 A C 这个结果类似于二阶矩阵的乘法. A B 若将 化为准下三角矩阵，这里类似于上面方法简化讨论： C D 引入列消法阵： B D = AD − CB
2 0 0 知道这个一般性理论后，现在回头看例子，由于 B = 3 4 0 ，故 1 2 5 2α1 a1 a2 BA = 3α1 + 4α 2 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 α + 2α + 5α 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1 2 3 1
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看作矩阵 A=
与列 X 相乘的结果.
3. 线性映射的合成: Y=
Z=
是X的m个线性函数 f1,…,fn 的线 性组合, 仍是X 的性函数 ,其坐标 的坐标(即A的各行)的相应的线性组合
Z=CX=BAX,C=BA的第i行元素分别乘A的各行相加得到.
4. 利用分块运算理解矩阵乘法 1、 AB = A (B1,,B2,…,Bk), A 依次乘 B 的各列。 例. 对可逆方阵 A ，解矩阵方程 AX=B. 将 X,B 按列分块, A(X1, … ,Xk)=(B1,…,Bk) 即 (AX1,…,AXk)=(B1,…,Bk), AXj = Bj (j=1,2,…,k) 相当于同时解 k 个有公共系数矩阵A的线性方程. 同时对k个增广矩阵 (A Bj) 做同样的初等行变换。 可以合并到一起作初等行变换: (A B) (I X），X=A-1B。 2、 A = (A1,…,An) = x1A1+…+xnAn.
解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x轴 正方向) 到OP所成的角 . 则 |OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ. (1) x'=rcos(θ+α) =rcosθcosα-rsinθsinα =xcosα-ysinα y'=rsin(θ+α) =rcosθsinα+rsinθcosα =xsinα+ycosα
函数 f 在自变量 X 上的作用可以看作行 f 与列 X 相乘:
2. 线性映射的矩阵 f : 自变量 旋转
因变量
轴对称
一般地, 考虑映射 f: X=
Y=
如果每个 yi 都是 x1 ,…, xn 的一个线性函数 决定, 则映射 f: X Y由 m 个行向量 fi 决定. f 称为线性映射. 写成
3、行变换: B AB
列变换: B BA
A：施工方案，B：被施工的材料
例
5. 初等变换与初等矩阵
解: B AB 与 I AI 经过相同的行变换。
谢谢
(2)
在旋转变换的表达式
中, x’是x,y的线性函数(一次齐次函数)
可以表示成 可以直接写 类似地有 f1 = (cosα,-sinα).
一般地, 任意一个n元线性函数 可以由它的一次项系数组成的行向量(a1,…,an)来表示, 称为这个线性函数 f 的坐标. 可直接写 f = (a1,…,an) n 个自变量看成一个整体 X, 写成列向量
高等代数概念引入 —— 矩阵运算
矩阵乘法
1. 线性函数
例1
在平面上建立直角坐标系.
(1) 将平面上每个点P绕原点
向逆时针方向旋转角α到点P'.
写出点P的坐标(x,y)与点P‘的
坐标(x',y')之间的函数关系式.
(2) 将x轴绕原点向逆时针方向旋转角α得到 直线 lα. 平面上任一点P关于直线 lα的对称 点为 P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的坐标 (x',y')之间的函数关系式.