2021年精算师考试金融数学课本知识精粹

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第一篇:利息理论

第一章:利息基本概念

t

t 0

n

t 0'()=()()()(0)1)(dr a t a t a t e

A n dt A n A δδδ⎰==-⎧

⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

⎰、有关利息力:

()()

11(1)1(1)(1)2m p m p i d i v d e m p

δ

---+=+==-=-=、

=131 t t

i it d

id δδ⎧

⎪⎪+⎨⎪=⎪-⎩

、但贴单利率下的利息力::现下的利息力

4⎧⎪

⎨⎪⎩

严格单利法(英国法)

投资期的确定常规单利法(欧洲大陆法)银行家规则(欧洲货币法)、

1

1

n

k k

k n

k

k s t

t s

-

===

∑∑5、等时间法:

第二章 年金

....

1....

1+i 11+i 1n n n

n n n n n a a a a s s s s -+⎧

==+⎪⎨⎪==-⎩

(1) 、(1)

......

2m

n m n m

m n m n m

v a a a v a a a ++⎧=-⎪⎨⎪=-⎩、

3、零头付款问题:(1)上浮式(2)常规(3)扣减式 4:变利率年金(1)各付款期间段利率不同 (2)各付款所根据利率不同 5、付款频率与计息频率不同年金 (1)付款频率低于计息频率年金

:

1.......1........n k n k

k n k n

k

k a s s is s a a s ia a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

⎧⎪

⎪⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩

现值期末付年金:永续年金现值:终值:现值:期初付年金:永续年金现值:终值:

(2)付款频率高于计息频率年金

()()()()()()..()

()()..()1:1.......(1)1

11........(1)1n

m m n m n

m m n m n n m m m n n m v a i i i i v a d d i s i ⎧⎧-=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+-⎪=⎪⎪⎩⎪⎨

⎧-⎪=⎪⎪⎪⎪⎨+-⎪⎪=⎪⎪⎩⎩

现值期末付年金:永续年金现值:终值:s 现值:期初付年金:永续年金现值:终值: (3)持续年金(注意:与永续年金区别)

00

1(1)1(1)n

n t

n n

n

n t n v a v dt i s i dt δδ---⎧-==⎪⎪⎨+-⎪=+=⎪⎩⎰⎰

6、基本年金变化

(1)各年付款额为等差数列

0..

0-101()()()=()+()=()+()n

n n n

n n

n n n n n n n n n n n n n

n n n n a nv V pa Q

i a n a nv Ia a i i a nv n a Da na i i V Ia v Da a a V Ia v Da a a ⋅⋅

⋅⋅+⎧-=+⎪⎪

⎪--⎪=+=⎪⎪

--⎪

=-

=⎨⎪⎪=⋅⎪

⎪=⋅⎪⎪⎪⎩

现值期末付虹式年金:期末付平顶虹式年金:

(2)各年付款额为等比数列

0000:11()

1:1:n

i k V k n i V i k V i k

i i k V <⎧+⎪

-⎪

+=

==

⎨-+⎪

⎪>⎩不存在不存在存在

7、更普通变化年金:

(1)在()n Ia 基本上,付款频率不大于计息频率形式

0=

n

n

k k

a n v a k V is -

(2)在()n Ia 基本上,付款频率不不大于计息频率形式

()()..()()

()()n

m n

m n n n m m n a nv Ia i a nv I a i ⎧-⎪=⎪⎪

⎪-⎪=⎪⎩

(m )

每个计息期内的m 次付款额保持不变每个计息期内的m 次付款额保持不变 (3)持续变化年金:

1:有n 个计息期,利率为i ,在t 时刻付款率为t,其现值为 ()n

n n a nv

I a δ

--

-=

2:有n 个计息期,利率为i ,在t 时刻付款率为()f t ,其现值为 0

(0)()n

t

V f t v dt

=⎰

第三章 收益率

1、收益率(内部收益率) 由

(0)0n

t

t t V v R ===∑可求出 2、收益率唯一性:

(1)若在0~n 期间内存在一时刻t ,t 之后期间里钞票流向是一

致,t 之前期内钞票流向也一致,并且这两个流向方向相反,则收益率唯一。

(2)若在0~n-1内各发生钞票流时刻,投资(涉及支出及回收,

总称投资)积累额不不大于0,则该钞票流唯一。

3、再投资收益率:

(1)情形一:在时刻0投资1单位,t 时刻积累值:1n is + (2)情形二:在原则金中,t 时刻积累值:

1()n n s n n i Is n i j

--+=+⋅

4、基金收益率:A :期初基金资本量 B :期末基金本息和 I :投资期内基金所得收入 t C :t 时刻钞票流(01t ≤≤) C :在此期间钞票流之和t t

C C =∑,

(1)(1)

t t

I

i A C t ≈+-∑

(2)2I

i A B I

≈+-(钞票流在0-1期间内均匀分布)

(3)(1)(1)I

i kA k B k I ≈

+---(其中(/)t t

k t C C =⋅∑)

注意:上述求收益率办法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益率

12(1)(1)()1m i i i i i =+++-

6、投资组合法:计算出一种基于整个基金所得平均收益率,然后依照每个资金账户所占比列与投资时间长度分派基金收益

投资年法:按最初投资时间和投资所持续时间,以及与各时间相

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