2021年精算师考试金融数学课本知识精粹
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第一篇:利息理论
第一章:利息基本概念
t
t 0
n
t 0'()=()()()(0)1)(dr a t a t a t e
A n dt A n A δδδ⎰==-⎧
⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
⎰、有关利息力:
()()
11(1)1(1)(1)2m p m p i d i v d e m p
δ
---+=+==-=-=、
=131 t t
i it d
id δδ⎧
⎪⎪+⎨⎪=⎪-⎩
、但贴单利率下的利息力::现下的利息力
4⎧⎪
⎨⎪⎩
严格单利法(英国法)
投资期的确定常规单利法(欧洲大陆法)银行家规则(欧洲货币法)、
1
1
n
k k
k n
k
k s t
t s
-
===
∑∑5、等时间法:
第二章 年金
....
1....
1+i 11+i 1n n n
n n n n n a a a a s s s s -+⎧
==+⎪⎨⎪==-⎩
(1) 、(1)
......
2m
n m n m
m n m n m
v a a a v a a a ++⎧=-⎪⎨⎪=-⎩、
3、零头付款问题:(1)上浮式(2)常规(3)扣减式 4:变利率年金(1)各付款期间段利率不同 (2)各付款所根据利率不同 5、付款频率与计息频率不同年金 (1)付款频率低于计息频率年金
:
1.......1........n k n k
k n k n
k
k a s s is s a a s ia a ⎧⎧⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎨
⎧⎪
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩
现值期末付年金:永续年金现值:终值:现值:期初付年金:永续年金现值:终值:
(2)付款频率高于计息频率年金
()()()()()()..()
()()..()1:1.......(1)1
11........(1)1n
m m n m n
m m n m n n m m m n n m v a i i i i v a d d i s i ⎧⎧-=⎪⎪⎪⎪⎨⎪+-⎪=⎪⎪⎩⎪⎨
⎧-⎪=⎪⎪⎪⎪⎨+-⎪⎪=⎪⎪⎩⎩
现值期末付年金:永续年金现值:终值:s 现值:期初付年金:永续年金现值:终值: (3)持续年金(注意:与永续年金区别)
00
1(1)1(1)n
n t
n n
n
n t n v a v dt i s i dt δδ---⎧-==⎪⎪⎨+-⎪=+=⎪⎩⎰⎰
6、基本年金变化
(1)各年付款额为等差数列
0..
0-101()()()=()+()=()+()n
n n n
n n
n n n n n n n n n n n n n
n n n n a nv V pa Q
i a n a nv Ia a i i a nv n a Da na i i V Ia v Da a a V Ia v Da a a ⋅⋅
⋅⋅+⎧-=+⎪⎪
⎪--⎪=+=⎪⎪
--⎪
=-
=⎨⎪⎪=⋅⎪
⎪=⋅⎪⎪⎪⎩
现值期末付虹式年金:期末付平顶虹式年金:
(2)各年付款额为等比数列
0000:11()
1:1:n
i k V k n i V i k V i k
i i k V <⎧+⎪
-⎪
+=
==
⎨-+⎪
⎪>⎩不存在不存在存在
7、更普通变化年金:
(1)在()n Ia 基本上,付款频率不大于计息频率形式
0=
n
n
k k
a n v a k V is -
(2)在()n Ia 基本上,付款频率不不大于计息频率形式
()()..()()
()()n
m n
m n n n m m n a nv Ia i a nv I a i ⎧-⎪=⎪⎪
⎨
⎪-⎪=⎪⎩
(m )
每个计息期内的m 次付款额保持不变每个计息期内的m 次付款额保持不变 (3)持续变化年金:
○
1:有n 个计息期,利率为i ,在t 时刻付款率为t,其现值为 ()n
n n a nv
I a δ
--
-=
○
2:有n 个计息期,利率为i ,在t 时刻付款率为()f t ,其现值为 0
(0)()n
t
V f t v dt
=⎰
第三章 收益率
1、收益率(内部收益率) 由
(0)0n
t
t t V v R ===∑可求出 2、收益率唯一性:
(1)若在0~n 期间内存在一时刻t ,t 之后期间里钞票流向是一
致,t 之前期内钞票流向也一致,并且这两个流向方向相反,则收益率唯一。
(2)若在0~n-1内各发生钞票流时刻,投资(涉及支出及回收,
总称投资)积累额不不大于0,则该钞票流唯一。
3、再投资收益率:
(1)情形一:在时刻0投资1单位,t 时刻积累值:1n is + (2)情形二:在原则金中,t 时刻积累值:
1()n n s n n i Is n i j
--+=+⋅
4、基金收益率:A :期初基金资本量 B :期末基金本息和 I :投资期内基金所得收入 t C :t 时刻钞票流(01t ≤≤) C :在此期间钞票流之和t t
C C =∑,
(1)(1)
t t
I
i A C t ≈+-∑
(2)2I
i A B I
≈+-(钞票流在0-1期间内均匀分布)
(3)(1)(1)I
i kA k B k I ≈
+---(其中(/)t t
k t C C =⋅∑)
注意:上述求收益率办法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益率
12(1)(1)()1m i i i i i =+++-
6、投资组合法:计算出一种基于整个基金所得平均收益率,然后依照每个资金账户所占比列与投资时间长度分派基金收益
投资年法:按最初投资时间和投资所持续时间,以及与各时间相