四、 材料力学正应力分析ppt课件

y
z
hH
b
7
与应力分析相关的截面图形几何性质
小鸟
8
与
应
力
分
析
相
关
的
截
面
图
形
几
何
性
质
9
平面弯曲时梁横截面上的正应力
1、平面弯曲的概念
梁的对称面：梁的横截面具有 对称轴，所有相 同的对称轴组成 的平面。
形心主轴平面：所有相同的形 心主轴组成的平 面。
平面弯曲：所有外力都作用在梁 的同一主轴平面内， 梁的轴线在该平面中 弯曲成曲线。
17
平面弯曲时梁横截面上的正应力
d、中性轴在横截面上的位置
中性轴通过横截面的形心，并且垂直于形心主轴。
e、最大正应力公式与弯曲截面模量
σmax
对于横截面上正应力最大值
max
M z y max Iz
Mz Wz
σmax
其中 Wz = Iz / ymax 称为弯曲截面系数；
18
平面弯曲时梁横截面上的正应力
4、常见形体的惯性矩、极惯性矩 a、矩形截面的惯性矩
IY
hb3 ; 12
IZ
bh3 ; 12
b、圆形截面的惯性矩
d 4
I Y I Z 64 ;
y
z
h
b
y
z
d
C、圆环截面的惯性矩
Iy
Iz
D 4
64
(1 4 );
d; D
y
z
dD
5
与应力分析相关的截面图形几何性质
d、圆形截面的极惯性矩
IP
d 4
纵向载荷作用线平行于杆件的轴线， FP
但不重合，这种载荷称为偏心载荷。
将载荷向截面形心简化得到两个内力
分量：FNx ≠ 0 ; Mz≠0;
FP
其中轴力和弯矩将使梁横截面产生正应力：
Mz
max
M W
FN A
;
max
（- M W
F N ）; A
FP
Mz FP
29
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
B
l/2
l/2
2、计算正应力
1点的正应力：
Fq
+
x
M z y1 10103 0.452 0.03 0.02 0.033 42.2106 Pa
Iz
8
4
12
M
-
为拉伸应力
+
x
2点的正应力：
M z y2 10103 0.452 0.03 0.02 0.033 84.3106 Pa
M
M
中性轴
13
平面弯曲时梁横截面上的正应力
2）梁弯曲时的平面假设
梁变形后周边表面的横向线仍然是直 线，且垂直于纵向线。我们假定梁的横截 面在变形前后仍然保持为平面，只是相对 转过一个角度 dθ 。 3）沿梁横截面高度方向正应力表达式：
dx y d y
dx
dx
1 d dx
14
平面弯曲时梁横截面上的正应力
34
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
2、判断最大应力作用位置：
在内力作用下A、E 分别是最大压应
力和拉应力作用点 3、计算ABDE各点的应力，作图：
A点应力： - FN M z M y 2.625MPa;
A Wz Wy
E点应力： FN M Z M y 1.625MPa;
A WZ Wy
M
位置在梁的下边缘处
最大压缩正应力：
max
M z ym ax Iz
16103 96.4103 1.02108 (103)4
15.12106 Pa
50
z
位置在梁的上边缘处。
200
思考：对于脆性材料，极限拉伸应力小于极限压缩应力，
设置上下非对称的横截面并且如此放置，是否最大限 度地发挥了材料的强度潜力？
A
A y2dA M z
由
E
A y2dA M z
E Mz
Iz
y
z ΔA
σx
y
x
z
16
平面弯曲时梁横截面上的正应力
将 E M z 带人公式 - E y
Iz
得正应力公式： M z y
Iz
y
z ΔA
σx
y
x
z
正应力与截面上弯矩、中性轴距离成正比；
与截面的惯性矩成反比。应力分布如图：
当梁的受到外力作用在竖直平面和水平面同时弯曲，梁横
截面上的正应力可以应用叠加法确定。如图：
y
y
σmax +
C
C
z
z
σmax ˉ
其最大正应力：
max
Mz Wz
My Wy
;
_ max
( M z Wz
My Wy
);
公式对于非圆形截面梁都是适用的（圆形截面除外）。26
斜弯曲时梁横截面上的正应力
圆形截面斜弯曲梁的最大正应力：
32
;
e、圆环截面的极惯性矩
IP
d 4
32
(1 4 );
d; D
4、形心主惯性矩 图形对形心主轴的惯性矩称形心主惯性矩，
6
与应力分析相关的截面图形几何性质
例4-1、求图中剖面线部分的惯性矩惯性矩 Iy ;Iz ;
解：由负面积法, Iz=H b³/ 12 – h b³/ 12 = b³( H - h) / 12; Iy = b H³/ 12 – b h³/ 12 = b( H³- h³) /12;
A 0.12 0.08 9.6 103 m2;
Wz
0.12 0.082 6
128106 m3;
Wy
0.08 0.122 6
192103 m3;
FN 4.8 103 N ; M z 4.8 103 0.04 192(Nm); M y 4.8 103 0.025 120(Nm);
10
平面弯曲时梁横截面上的正应力
纯弯曲：梁的横截面上只有弯 矩作用的情况，如梁的BC 段。截面上只有正应力。
F
A
B
FAy
l/5
3l/5
F
C
D
FDy
l/5
横向弯曲：梁的横截面上既有 剪力也有弯矩，如梁的AB
FQ
F
+
段。因而其上既有正应力
也有切应力。
M
Fl/5
+
x
-
F
x
11
平面弯曲时梁横截面上的正应力
例题4-2 受均布荷载简支梁如图,已知梁的截面为矩形 b=20mm;h=30mm;q=10kN/m;l=450mm.试求最大弯矩截 面B上1、2两点的正应力。
q
A
C
B
l/2
l/2
y 2
z h
1 h/4
b
21
平面弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置
q
A
C
MZB = q l²/ 8;
b
常见的横截面有：
矩形—— A = h×b ;
h
圆形—— A = πR²;
RHale Waihona Puke Baidu
2、静矩、形心
截面面积对轴的矩称为静矩：SY
zdA A
Ai zCi ;
S Z
ydA
A
Ai yCi ;
图形几何形状的中心称形心：YC
SZ A
ydA
A
Ai yCi ;
A
Ai
ZC
SY A
zdA
A
A
Ai Z Ci 3; Ai
第4章
弹性杆件横截面上的 正应力分析
1
第4章 弹性杆件横截面上的正应力分析
1、与应力分析相关的截面图形几何性质 2、平面弯曲时梁横截面上的正应力 3、斜弯曲时梁横截面上的正应力 4、弯矩与轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
5、基于最大正应力的强度计算
2
与应力分析相关的截面图形几何性质
1、横截面面积
2、纯弯曲时梁的正应力分析 纯弯曲梁的正应力分析需要三个步骤：
变 平面假定
形
应 变
物性关系
应 力
分
分
布
布
静力方程
应 力
公
式
12
平面弯曲时梁横截面上的正应力
a、应用平面假设确定应变分布
1） 弯曲梁变形后，梁表面的纵向线弯曲，截面上面缩短、 下面伸长、中间长度未变化。根据外表面线条可以确定横截 面上面受到压应力；下面受到拉应力；而中间没有应力。我 们把中间未伸长的一层称为中性层，中性层与横截面的交线 称为中性轴。
b、应用虎克定理确定横截面上正应力分布 由虎克定律 将上述应变公式带人得：
σ=Eε
即：正应力与高度坐标成线性关系
σ = -E y / ρ
其中 ρ 表示该点的曲率半径，它如何表达呢？
15
平面弯曲时梁横截面上的正应力
c、应用静力方程确定正应力公式
由 A xdAy M z
（ - E ydA）y E
弯曲截面系数: Wz = Iz /ymax ;
*矩形截面的弯曲截面系数: Wz = b h²/ 6 ;
*圆形截面的弯曲截面系数: Wz = π d³/ 32 ;
*圆环截面的弯曲截面系数
Wz
D3 32
(1 4 );
d D
;
19
平面弯曲时梁横截面上的正应力
f、梁平面弯曲后轴线曲率的计算公式
1 Mz
EI z
例4-5 图示开口链环由直径d=12mm的园钢制作而成。 试求： 1）、链环直段部分横截面上最大拉应力和最大压应力； 2）、当链环焊接成闭口状态应力如何？
800N
21mm
800N
800N 800N
30
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
解：1、计算开口链环直段部分横截面上 最大应力，受力如图；横截面上弯矩：
max
M W
M
2 z
M
2 y
;
W
_ max
M W
M
2 z
M
2 y
;
W
例4-4 图示矩形截面梁已知：b=90mm; h=180mm; Fp1=800N; Fp2=1650N; l=1m; 试求梁内最大弯曲正应力及作用位置。
27
斜弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、确定梁截面上的内力分量，梁
的内力如图：最大弯矩在固定端处。
FP C
B
l/2
l/2
+
x
-
Fpl/4
+
x
y
96.4
1
σmax ˉ
MZ x
50
σmax +
150
24
斜弯曲时梁横截面上的正应力
1、产生斜弯曲的加载条件 当梁的外力平面与梁的轴线变形平面不共面时，这种弯曲
称斜弯曲。如图：
FP2 z
FP1
变形平面
y
合力作用平面
25
斜弯曲时梁横截面上的正应力
2、叠加法确定斜弯曲时横截面上的正应力
公式表明梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比，与弯曲刚度
成反比。
3、弯曲正应力公式的应用与推广 a、梁上最大正应力位置的判定
max
M z y max Iz
Mz Wz
需要考虑弯矩分布；横截面形状等因素；
b、纯弯曲正应力公式可以推广到横向弯曲
纯弯曲正应力公式在横向弯曲也是近似适用的。
20
平面弯曲时梁横截面上的正应力
32
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力 课堂练习4-1 图示矩形截面柱，已知：外加载荷FP以及横 截面尺寸。 试求 ABED 截面上四个角点上的正应力。
偏心压缩：压力沿轴线方向但与轴线不重合。
33
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
解：1、确定截面上的内力分量，在ABDE横 截面将柱截开由力的平移定理将力平移到横 截面的形心处，内力如图：
B点应力： FN M Z M y 1.375MPa;
A WZ Wy
D点应力： FN M Z M y 0.375MPa;
Iz
8
2
12
y 2
z h
1 h/4
为压缩正应力
b
22
平面弯曲时梁横截面上的正应力
例题4-3 丁字截面简支梁受力如图,已知梁的参数：
FP 32kN;l 2m;形心坐标 yc 96.4mm; I z 1.02 108 mm 4
试求最大弯矩截面上的最大拉应力和最大压应力。
FP
A
C
B
l/2
l/2
y
与应力分析相关的截面图形几何性质
3、惯性矩、极惯性矩、惯性半径
惯性矩----
IY
z 2 dA; A
I Z
y 2 dA;
A
iY
惯性半径----
Iy ; A
iZ
Iz ; A
极惯性矩------ 由r 2 x2 y 2 ;惯性矩与极惯性矩的关系为：
IP Iy Iz;
4
与应力分析相关的截面图形几何性质
( M ymax Wy
M zmax ) Wz
9.98MPa;
⊕A
A
⊕
⊕ ⊖⊕
⊕
⊕
Mz
⊖⊕
⊖ ⊖
⊕ My
⊖ ⊖
⊖
B
⊖
B
σmax ˉ
σmax +
FA1 z
y MAy
FQ
-
My
2FP!l
y
MAz
FP2
z
FA2
FQ -
Mz -
FP2l
FP1 x x x
x x x 28
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
800N
Mz
800N
σmax+
c
σmax ˉ
31
弯矩和轴力同时作用时杆件横截面上的正应力
2、计算闭口链环直段部分横截面上最大 应力，受力如图：横截面上只有拉应力。
FN A
4FN d 2
3.57 M P a;
比较两种形式链环的正应力大小相差近 22倍。
800N 400N
400N
800N
c
800N
课外练习：4-1；4-5；4-9；4-14
Mymax = -Fp1l ;
Mzmax = -Fp2l ; 2、确定梁根部截面上最大正应力作 用点：如图 ,A 点处是两拉应力相加； B 点处是两压应力相加。 3、计算最大正应力:
max
M ymax Wy
M zmax Wz
6 2 FP1l hb2
6 FP2l bh2
9.98MPa;
_ max
50
z
96.4
200
1
50 150
23
平面弯曲时梁横截面上的正应力
解：1、作梁的内力图，确定最大弯矩及位置。
MzB=Fp l / 4 =16 kNm;
A
2、计算最大弯矩截面上最大正应力
最大拉伸正应力：
Fq
max
M z ym ax Iz
16103 153.6103 1.02108 (103)4
24.9106 Pa
M z 800 15 10 3 12(N m ); 横截面上正应力（如图所示）
max
M W
FN A
32 12
4 800
123 10-6 122 10-6 77.8MPa;
max
M W
FN A
32 12 123 106
4 800 122 106
63.6MPa;
800N 800N