高考数学：专题三第三讲推理与证明配套限时规范训练

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四川新高考考前三个月数学理二轮专题复习4.3推理与证明(含答案详析)

第三讲推理与证明(1)概括推理的一般步骤：①经过察看某些个别状况发现某些同样性质；②从已知的同样性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想 )．(2)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相像性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想 )．(3)综合法的特色是：从“已知”看“可知”，逐渐推向“未知”，要求逐渐推理，实际上是找寻它的必需条件．(4)剖析法的特色是：从“未知”看“需知”，逐渐聚拢“已知”，即从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，即把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件为止．(5)适适用反证法证明的四类数学命题：①独一性命题；②结论波及“至多”“起码”“无穷”的命题；③否认性命题；④直接证明较繁琐或困难的命题．(6)数学概括法数学概括法证明的步骤①证明当 n 取第一个值 n0 0∈N*)时结论建立；(n②假定 n＝ k(k∈N*，且 k≥ n0)时结论建立，证明n＝ k＋1 时结论也建立．由①②可知，对随意n≥n0，且 n∈N*时，结论都建立．1． (2013 ·建福 )设 S， T 是R的两个非空子集，假如存在一个从S 到 T 的函数 y＝ f(x)知足：(1)T＝{ f(x)|x∈ S} ；(2) 对随意 x1，x2∈S，当 x1<x2时，恒有 f(x1)<f(x2)．那么称这两个会合“保序同构”．以下会合对不是“保序同构”的是() A． A＝N*，B＝NB． A＝ { x|－ 1≤ x≤3} ， B＝ { x|x＝－ 8 或 0<x≤ 10}C． A＝ { x|0<x<1} ， B＝RD． A＝Z，B＝Q答案D分析关于 A，取 f(x)＝ x＋ 1，知足题意．－ 8， x＝－ 1，关于 B ，取 f(x)＝x＋ 1，－ 1< x<0，知足题意 .2x ＋ 1， 0≤ x≤ 3，1关于 C，取 f(x)＝ tan[ π(x－2)] ，知足题意．清除法，选 D.2． (2013 陕·西 )察看以下等式12＝ 112－ 22＝－ 312－ 22＋ 32＝ 612－ 22＋ 32－ 42＝－ 10,,照此规律，第n 个等式可为 ________．答案2222n＋1 2n＋1n n＋ 1 1 － 2＋3 －4＋, ＋ (－1)n ＝ (－ 1)·2分析察看等式左侧的式子，每次增添一项，故第n 个等式左侧有 n 项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左侧的通项为(－ 1)n＋1n2.等式右侧的值的符号也是正、负相间，其绝对值分别为1,3,6,10,15,21 ， ,.设此数列为 { a n} ，则 a2－ a1＝ 2， a3－a2＝3， a4－ a3＝ 4，a5－ a4＝ 5，,， a n－ a n－1＝ n，各式相加得a n－ a1＝2＋ 3＋ 4＋ ,＋ n，即 a n＝ 1＋2＋3＋ ,＋ n ＝n n＋ 1.所以第n个等式为22＋ 32－ 42＋, ＋(－ 1)n＋1 21)n＋2 1 － 2n ＝ (－1n n＋12.3． (2013 湖·北 )古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各样多边形数，如三角形数1,3,6,10，, ，第 n 个三角形数为n n＋1＝121n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥ 3)，22n ＋2以以下出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数121N(n,3)＝ n＋ n，22正方形数N(n,4)＝n2，五边形数321N(n,5)＝ n－ n，22六边形数N(n,6)＝2n2－ n ,,,,,,,,,,,,,,,能够推测 N( n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝ ___________.答案 1 000分析22k － 224－ k由 N( n,4)＝ n ，N( n,6)＝ 2n － n ，能够推测：当 k 为偶数时， N(n ，k)＝2n ＋2n ，∴ N(10,24) ＝24－ 2× 100＋4－ 24× 1022＝ 1 100－ 100＝1 000.4． (2012 陕·西 )察看以下不等式：1 3 1＋22<2，1 1 51＋22＋ 32<3，1 1 1 71＋22＋ 32＋42<4，,,照此规律，第五个不等式为 ________．．．．答案11 111 111＋ 22222< 62 ＋3 ＋4 ＋5 ＋6分析概括察看法．察看每行不等式的特色，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子组成等差数列．∴ 第五个不等式为 1＋ 1 1 1 1 1 112 ＋ 2＋ 2＋ 2＋ 2< 6 .2 3 4 5 62ab为 a ，b 的调解均匀数．如图，C 为线段 AB 上的点， 5． (2010 湖·北 )设 a ＞0，b ＞ 0，称 a ＋ b且 AC ＝a ， CB ＝ b ，O 为 AB 中点，以 AB 为直径作半圆．过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D ，连接 OD ，AD ，BD.过点 C 作 OD 的垂线，垂足为E.则图中线段 OD 的长度是 a ，b 的算术均匀数，线段 ________的长度是 a ，b 的几何均匀数，线段 ________的长度是 a ，b 的调解均匀数．答案CD DE分析在 Rt △ ABD 中， CD 是斜边 AB 上的高，所以 CD 2 ＝AC ·CB ，所以 CD ＝ AC ·CB ＝ ab ，所以线段 CD 的长度是 a ， b 的几何均匀数．在 Rt △OCD 中，由于 CE ⊥ OD ，所以DE ＝ CD，CD OD 2CDab2ab所以线段 DE 的长度＝＝＝ .2所以线段 DE 的长度是 a ，b 的调解均匀数．题型一合情推理 1 x － a n 例 1(1)设数列 { a n 是首项为 0 * ，f nsin ，x ∈ n ， a n ＋1 ]，} 的递加数列， n ∈ N (x)＝ n[a知足：关于随意的b ∈ [0,1) ，f n (x)＝ b 总有两个不一样的根，则{ a n } 的通项公式为 _______．x 2 y 2(2)若 P 0(x 0，y 0)在椭圆 a 2＋b 2＝ 1(a>b>0) 外，则过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为 P 1，P 2，则切点弦 P 1P 2 所在直线方程是 x 0 x y 0y＝ 1.那么关于双曲线则有以下命题：若 P 0(x 0，y 0)a 2 ＋ 2 在双曲线 x 22 b 2 y 2P 0 作双曲线的两条切线的切点为 P ，P ，则切a －b ＝ 1(a>0， b>0)外，则过1 2点弦 P 1P 2 所在的直线方程是 ________．审题破题(1) 先求数列 { a n } 的前几项，概括项的规律，作出猜想； (2) 双曲线和椭圆方程对比，形式近似，只需注意到椭圆的切线方程中x 2，y 2 分别换成了 x 0x ， y 0y 即可．答案 (1) a ＝n n － 1 π(2)x 0x － y 0 yn 2a 2 2 ＝1b分析 (1) ∵a 1＝ 0，当 n ＝ 1 时， f 1(x) ＝|sin(x － a 1)|＝ |sin x|，x ∈ [0， a 2] ，又 ∵ 对随意的 b ∈ [0,1) ， f 1(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 2＝ π；2sin 1 x － a 2 ＝ sin 1 x － πf ( x)＝ 2 2＝ cos x ， x ∈ [ π， a 3]，2∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 2(x)＝ b 总有两个不一样的根，1 ∴ a 3＝ 3π； f 3 (x)＝ sin 3 x － a 31 1＝ sin 3 x － 3π ＝ sin 3x ， x ∈ [3 π， a 4]，∵ 对随意的 b ∈[0,1) ，f 3(x)＝ b 总有两个不一样的根，∴ a 4＝ 6π.由此可得 a n ＋ 1－ a n ＝ n π， ∴a n ＝ n n － 1 π2.x 2 y 2x 0x y 0y所在直线方程 22 →yy2 2 P 1P 2 2 2 ＝ 1，x→ xx ，y0.类比，(2)关于椭圆 a ＋ b ＝ 1，切点弦 a ＋bx 2 y 2 x 0x y 0 y双曲线 a 2－ b 2＝ 1 的切点弦 P 1P 2 所在直线方程为 a2－ b 2 ＝1.反省概括应用合情推理应注意的问题：(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后类比推导类比对象的性质．注意：概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．变式训练 1(1) 若从点 O 所作的两条射线OM 、 ON 上分别有点 M 1、 M 2 与点 N 1、 N 2，则三S 角形面积之比SOM 1N 1＝OM 1 ON 1O 所作的不在同一平面内的三条射线· .如图，若从点OM 2 ON 2OM 2N 2OP 、OQ 和 OR 上分别有点 P 1、P 2，点 Q 1、Q 2 和点 R 1、R 2，则近似的结论为 ________．答案 V O P 1Q 1 R 1＝ OP 1 OQ 1 OR 1· ·VO P 2Q 2 R 2OP 2 OQ 2 OR 2分析考察类比推理问题，由图看出三棱锥P 1－OR 1Q 1 及三棱锥 P 2－ OR 2Q 2 的底面面积之比为 OQ 1 OR 1 ，又过极点分别向底面作垂线，获得高的比为 OP 1，故体积之比为OQ 2 ·OP 2 OR 2VO P 1Q 1R 1＝ OP 1 OQ 1 OR 1V O P 2 Q 2R 2 · · .OP 2 OQ 2 OR 2(2)已知命题：若数列 { a n } 为等差数列，且 a m ＝ a ， a n ＝ b (m ≠ n ， m 、 n ∈ N *)，则 a m ＋n ＝ bn － am；现已知等比数列 { b n } ( b ≠0， n ∈N * )， b m ＝ a ，b n ＝ b (m ≠n ， m 、 n ∈ N * )，若类n －m比上述结论，则可获得b m ＋ n ＝ __________.答案 n － m b na m分析等差数列中的 bn 和 am 能够类比等比数列中的b n 和 a m ，等差数列中的 bn － amb nbn － amn － m b n能够类比等比数列中的am，等差数列中的 n － m 能够类比等比数列中的am，故 b m ＋ n ＝ n －m b na m . 题型二直接证明与间接证明例 2设实数数列 { a n } 的前 n 项和 S n 知足 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )． (1)若 a 1， S 2，－ 2a 2 成等比数列，求 S 2 和 a 3；(2)求证：对 k ≥ 3 4有 0≤ a k ＋ 1≤ a k ≤ .3审题破题 (1) 依据 S 22＝－ 2a 1a 2 及 S 2＝ a 2a 1 从方程的角度求出 S 2.再由 S 3＝ a 3S 2＝ S 2＋ a 3，求出 a 3.(2)依据 S n ＋ 1＝ a n ＋1S n (n ∈ N * )的关系，找寻 a n ＋ 1 与 a n 的递推关系，再用不等式放缩法、剖析法、反证法的思想方法求解．(1)解 S 22＝－ 2a 1a 2 ，由题意得 S 22＝－ 2S 2，S 2＝ a 2S 1＝ a 1a 2，由 S 2 是等比中项知 S 2≠ 0.所以 S 2＝－ 2.由 S 2＋ a 3＝S 3＝a 3S 2 解得 a 3＝S 2－ 222－1＝－ 2－1＝3.S(2)证明由题设条件有 S n ＋ a n ＋1＝ a n ＋1S n ，Sa n ＋1n故 S n ≠ 1， a n ＋1≠ 1 且 a n ＋1＝S n － 1， S n ＝ a n ＋ 1－ 1，进而对 k ≥ 3 有S k － 1＝ a k － 1＋S k － 2a k ＝S k －1－ 1 a k － 1＋ S k － 2－ 1a k －1＋ a k － 1 2a k －1－ 1＝ a k －1a k 1＝ 2 －a －＋ 1.①－－a k －1＋ a k 1k 1a k －1－－ 1121 2 3 2因 a k －1 －a k － 1＋1＝ a k － 1－＋ >0 且 a k － 1≥ 0，2 4由 ①得 a k ≥0.2要证 a ≤ 4，由 ① 只需证 2≤ 4，a k － 1k3k －1－ a k－1＋ 1 3a即证 3a k 2－ 1≤ 4(a k 2 －1－ a k －1＋ 1)，即 (a k － 1－ 2)2≥ 0，此式明显建立．所以a k ≤ 4(k ≥ 3)．a k 23>a k ，最后证 a k ＋ 1≤ a k ，若否则 a k ＋ 1＝ 2a k － a k ＋1又因 a k ≥ 0，故 2 a k >1，即 ( a k － 1)2<0. 矛盾．a k － a k ＋1 所以 a k ＋ 1≤ a k (k ≥ 3)．综上，当 k ≥ 3 时有 0≤ a k ＋ 1≤a k ≤ 4.3反省概括综合法与剖析法是直接证明中的“ 姊妹证明 ” 方法．往常状况下，运用剖析法，由果索因，找到一个正确的结论或已知条件，而后运用综合法正确推理书写．在进行立体几何证明中，我们常从结论出发找寻问题的打破口，但在逆推时也可能遇到阻碍，这时再从已知出发顺推搜寻中间细节，问题即可得以解决．自然，若所证命题从正面难以下手时，不如使用反证法．变式训练 2 (2013 ·陕西 )设 { a n } 是公比为 q 的等比数列．(1)推导 { a n } 的前 n 项和公式；(2)设 q ≠ 1，证明：数列 { a n ＋1} 不是等比数列． (1)解设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，当 q ＝1 时， S n ＝a 1＋a 1＋, ＋ a 1＝ na 1；2n － 1①当 q ≠1 时， S n ＝a 1＋a 1q ＋ a 1q ＋ , ＋ a 1q .qS n ＝ a 1q ＋a 1 q 2＋a 1q 3＋ , ＋ a 1q n ，②① － ②得， (1－ q)S n ＝ a 1－ a 1 q n ，n∴ S n ＝a 1 1－ q ，1－ qna 1， q ＝ 1，n∴ S n ＝ a 1 1－ q，q ≠ 1.1－q(2)证明假定 { a n ＋ 1} 是等比数列，则对随意的k ∈ N * ，(a k ＋1＋ 1)2＝ (a k ＋ 1)(a k ＋ 2＋ 1)，2a k ＋ 1＋ 2a k ＋ 1＋1＝ a k a k ＋ 2＋a k ＋ a k ＋2 ＋1，a 21q 2k ＋ 2a 1 q k ＝ a 1q k － 1·a 1q k ＋1＋ a 1q k －1＋ a 1q k ＋1，kk － 1k ＋ 1∵ a 1≠ 0， ∴ 2q ＝ q ＋ q .∵ q ≠0， ∴ q 2－ 2q ＋ 1＝ 0， ∴ q ＝1，这与已知矛盾．∴ 假定不建立，故 { a n ＋1} 不是等比数列．题型三数学概括法例 3已知数列 { a n } 知足关系式 a n ＋1＝ n＋ 2， n ∈ N * ，且 a 1＝ 2.a n(1)求 a 2， a 3， a 4；(2)求证： n ＋ 1≤ a n < n ＋ 1＋ 1；(3)求证：n ＋ 1－ 1< 1 ＋ 1 ＋, ＋ 1<2( n ＋ 3－ 3)．a 1 a 2 a na ＋＝ n审题破题(1) 依据递推式和初始值求解即可； (2)依据已知的递推式＋ 2，使用n 1 a n数学概括法进行证明；(3)依据 (2) 的结果进行证明．(1)解由题意，知 a 2＝5， a 3＝ 14，a 4＝ 43.25 14(2)证明由 a n ＋ 1＝ n＋2 及 a 1＝ 2，知 a n >0.a n下边用数学概括法证明：① 当 n ＝ 1 时， a 1＝ 2 知足 1＋ 1≤ a 1< 1＋1＋ 1，建立． ② 假定当 n ＝ k (k ∈N * )时，k ＋ 1≤ a k < k ＋1＋ 1 建立，则当 n ＝ k ＋ 1 时， a ＋＝ k＋ 2> k ＋ 2＝ k ＋ 1＋ 1.k 1 a kk ＋ 1＋ 1a k ＋ 1＝ k＋ 2≤ k ＋ 2.a k k ＋ 1下边用剖析法证明： k＋ 2< k ＋ 2＋ 1.k ＋ 1欲证k ＋ 2<k ＋2＋ 1，k ＋1只需证 k ＋ k ＋ 1<( k ＋ 1) k ＋ 2，只需证 (k ＋ k ＋ 1)2 <[( k ＋ 1) k ＋ 2] 2，只需证 2 k ＋ 1>0 ，此式明显建立．所以 k ＋ 2< k ＋2＋ 1 建立．k ＋1进而 a ＋＝ k＋ 2≤ k ＋ 2< k ＋ 2＋ 1.k 1a kk ＋ 1由 ①② 可知，对全部 k ∈N *， n ＋ 1≤a n < n ＋ 1＋1 建立．(3)证明由(2) 知 1 < 1 ≤1 ，n n ＋ 1 n ＋ 1＋1 a而 1 ≥ 1 ＝ n ＋1－ n ，n ＋ 1＋ 1 n ＋ 1＋ n 1 ＝2<2n ＋1n ＋1 ＋n ＋ 3＋ n ＋ 2n ＋ 1＝ 2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，所以 n ＋ 1－ n< 1<2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，a n所以 ( 2－ 1)＋, ＋(n ＋ 1－ n)< 1 ＋ 1 ＋ , ＋ 1a 1 a 2 a n <2( 4－ 3)＋ ,＋ 2( n ＋ 3－ n ＋ 2)，所以 n ＋ 1－ 1< 1 ＋ 1＋, ＋ 1 <2( n ＋ 3－ 3)．a 1 a 2 a n反省概括在递推数列问题中，假如给出的是形如 a n ＋ 1＝ f(a n )的递推式，则能够考虑用数学概括法进行证明，这是由于在设出 a k 知足的结论后，能够依据 a n ＋ 1＝ f(a n )获得 a k ＋1知足的结论．在使用数学概括法证明问题时，在概括假定后，概括假定就是证明n ＝ k＋ 1 时的已知条件，把概括假定当已知条件证明后续结论时，能够使用综合法、剖析法、反证法，也能够再次使用数学概括法．变式训练 1 1 1 1 3 1 *3 已知 f(n)＝ 1＋ 3 3 3 3 ， g(n)＝－ 2n 22 ＋3 ＋4 ＋ , ＋ n 2 ， n ∈ N . (1)当 n ＝ 1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小关系；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明．解 (1)当 n ＝ 1 时， f(1)＝ 1， g(1)＝ 1，所以 f(1)＝ g(1)；当 n ＝2 时， f(2) ＝98， g(2)＝ 118，所以 f(2)< g(2) ；当 n ＝3 时， f(3) ＝ 251， g(3) ＝312，所以 f(3)< g(3)．216216(2)由 (1)，猜想 f(n)≤ g(n)，下边用数学概括法给出证明：① 当 n ＝ 1,2,3 时，不等式明显建立．② 假定当 n ＝ k(k ≥ 3， k ∈ N * )时，不等式建立，1 1 1 1 3 1 即 1＋23＋ 33＋ 43＋ , ＋k 3<2－2k 2，那么，当 n ＝ k ＋1 时， f(k ＋ 1)＝ f(k)＋13<3－ 12＋ 1 1 3，k ＋1 2 2k k ＋1 1 1 k ＋ 3 1 － 3k － 1 由于2 k ＋1 2 － 2k 2－ k ＋ 13 ＝2 k ＋ 1 3－ 2k 2＝ 2 k ＋ 1 3k 2<0，所以 f(k ＋ 1)<3－ 1 2＝ g(k ＋ 1)．2 2 k ＋ 1∴ 当 n ＝ k ＋ 1 时 f(n)≤ g(n)建立．由 ①② 可知对全部 n ∈N * ，都有 f(n)≤ g(n)建立．典例 (1)(2012·江西 )察看以下各式： a ＋ b ＝ 1， a 2 ＋ b 2 ＝ 3， a 3＋ b 3＝ 4， a 4＋ b 4＝ 7， a 5＋ b 5＝ 11，, ，则 a 10＋ b 10 等于()A ． 28B ．76C ．123D ．199分析察看规律，概括推理．从给出的式子特色察看可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前方两个式子右端值的和，照此规律，则 a 10＋ b 10＝ 123.答案C(2)记等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，利用倒序乞降的方法，可将S n 表示成首项 a 1、末项 a n 与项数 n 的一个关系式，即公式 S n ＝ n a 1＋ a n；近似地，记等比数列 { b n } 的前 n 项2积为 T n ，且 b n >0 (n ∈ N * )，试类比等差数列乞降的方法，可将 T n 表示成首项 b 1、末项b n 与项数 n 的一个关系式，即公式 T n ＝ ________.分析利用等比数列的性质：若m ＋ n ＝ p ＋ q ，则 b m ·b n ＝ b p ·b q ，利用倒序求积方法有T n ＝b 1b 2·, ·b n ，n两式相乘得 T n 2＝ ( b 1 b n )n ，即 T n ＝ (b 1b n ) 2 .T n ＝b n b n － 1·, ·b 1，n答案(b 1b n )2得分技巧合情推理的重点是追求规律，明确已知结论的性质或特色．高考取此类问题的指向性很强，要获得正确结论的概括或类比．阅卷老师提示(1)在进行概括推理时，要先依据已知的部分个体，把它们合适变形，找出它们之间的联系，进而概括出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充足考虑已知对象性质的推理过程，而后经过类比，推导出类比对象的性质．(3)概括推理重点是找规律，类比推理重点是看共性．1．已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2a n ( n ≥2)，而 a 1＝ 1，经过计算a 2， a 3，a 4，猜想 a n 等于()22A. n ＋ 1 2B.n n ＋ 122 C.2n－ 1D.2n － 1答案 B分析a n ＝ S n － S n － 1＝n 2a n －( n －1) 2a n －1，∴ (n － 1)2n － 1a n － 1＝ ( n －1)( n ＋ 1)a n .∴ a n ＝a n －1.n ＋ 1由 a 1＝1 知： a 2＝ 1，a 3＝1.3 6∴ 猜想 a n ＝ 2，应选 B.n n ＋ 12．以下四个图形中，着色三角形的个数挨次组成一个数列的前4 项，则这个数列的一个通项公式为()A ． a n ＝ n －1B ．a n ＝ 3 n3C ． a n ＝ 3n － 2nD ． a n ＝ 3n －1＋2n － 3答案 A分析a 1＝ 1， a 2＝ 3，a 3＝ 9， a 4＝ 27，故猜 a n ＝ 3n －1.3．以下推理中属于概括推理且结论正确的选项是()A ．设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，由 a n ＝ 2n － 1，求出 S 1＝ 12， S 2＝ 22， S 3＝ 32，, ，推断： S n ＝ n 2B ．由 f(x) ＝ xcos x 知足 f(－ x)＝－ f(x)对 ?x ∈ R 都建立，推测： f(x)＝ xcos x 为奇函数2222x 2 y 2C ．由圆 x ＋ y ＝ r 的面积 S ＝ πr ，推测：椭圆 a 2＋ b 2＝ 1(a>b>0)的面积 S ＝ πabD ．由 (1＋ 1)2>21， (2＋ 1)2>2 2， (3＋ 1)2>23，, ，推测：对全部 n ∈N * ， (n ＋ 1)2>2n 答案 A分析注意到，选项 A 由一些特别案例得出一般性结论，且注意到数列 { a n } 是等差数列，其前 n 项和等于 S n ＝ n 1＋ 2n － 1＝ n 2，选项 D 中的推理属于概括推理，但结论不正确．因2 此选 A.2Sa 、b 、c ，△ ABC 的面积为 S ，内切圆半径为 r ，则 r ＝；a ＋ b ＋ c类比这个结论可知：四周体S — ABC 的四个面的面积分别为S 1 、S 2 、S 3、 S 4，内切球的半径为 R ，四周体 P — ABC 的体积为 V ，则 R 等于()V2VA. ＋S ＋S ＋SB.＋S ＋S ＋SS 12 3 4 S 1 2343V4VC.＋S ＋S ＋SD.＋S ＋S ＋SS 1 234S 1234答案 C分析此题考察类比推理，用体积切割的方法，能够得出3VR ＝＋S ＋S ＋S.S 1 2345．察看等式： 1＋1＝2，1＋1＋1＝3，1＋1＋1＋1＝4，根1×2 2×3 31× 2 2×3 3× 44 1× 22×3 3×4 4×55据以上规律，第四个等式为________．答案1 ＋1× 212× 3＋1 ＋ 3× 41 ＋ 4× 51 ＝5 5×6 66．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为S n ，则 S 4， S 8－ S 4 ， S 12－ S 8， S 16－ S 12 成等差数列．类比以上结论有：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，________，________，T 16成等比数T 12列．答案T 8 T 12T 4 T 8分析等差数列类比于等比数列，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列 { b n } 的前 n 项积为 T n ，则 T 4，T 8， T 12，T 16成等比数列．T 4 T 8 T 12专题限时规范训练一、选择题1．察看以下各式： 72＝ 49,73＝ 343,74＝ 2 401，, ，则 72 014 的末两位数字为()A ． 01B ．43C ．07D ． 49答案 D分析由于 71＝ 7,72 ＝49,73＝ 343,74＝ 2 401,7 5＝ 16 807,76＝ 117 649， , ，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期 T ＝ 4.又由于 2 014＝ 4× 503＋ 2，所以 72 014 的末两位数字与 72 的末两位数字同样，应选D.2．定义一种运算“ * ”：关于自然数n 知足以下运算性质： (ⅰ )1*1=1,( ⅱ )(n+1)*1= n*1+1,则 n*1 等于()A ． nB ．n ＋ 1C ．n － 1D ． n 2答案 A分析由 (n ＋ 1)*1 ＝ n*1 ＋ 1，得 n*1 ＝ (n － 1)*1 ＋ 1＝ (n － 2)*1 ＋ 2＝ , ＝ 1]3．定义 A* B ，B*C ，C*D ，D * A 的运算分别对应以下图中的 (1)(2)(3)(4) ，那么以下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是( )A ．B*D ，A* DB ．B*D ， A*C C ．B*C ，A*D D ．C*D ，A*D答案 B分析由 (1)(2)(3)(4) 图得 A 表示 |，B 表示 □ ，C 表示 — ，D 表示 ○，故图 (A)(B) 表示 B* D和 A*C.1，2， 1， 3，2， 1， 4， 3，2， 1，, ，依它的前10 项的规律，这个数列的4．已知数列： 1 1 21 2 3 1 2 3 4第 2 013 项 a2 013知足()11≤ a2 013<1A． 0<a2 013< B.1010C． 1≤ a2 013≤ 10D． a2 013>10答案A分析数列中项的规律：分母每一组中从小到大摆列：(1) ， (1,2) ，(1,2,3) ，(1,2,3,4) ， ,；分子每一组中从大到小摆列(1)， (2,1)， (3,2,1) ， (4,3,2,1) ，, ，由上规律4 1知 a2 013＝60＝15.5．给出若干数字按以下图排成倒三角形，此中第一行各数挨次是1,2,3， , ， 2 011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M 是()2 009A． 2 012 2·2 010B． 2 011 2·2 011C． 2 010 2·2 007D． 2 010 2·答案A分析第一行公差为1；第二行公差为2；,,；第 2010 行公差为22 009，第 2011 行只有 M，发现规律，得M＝ (1＋ 2 011)2 0092·.或从第一行为 1,2,3 及 1,2,3,4,5 的两个“小三角形”联合选项概括得结果为 (3＋1及 (5＋ 1)×3n－ 2.1)×2 2 ，猜一般规律为 (n＋ 1) ·2＋，若 a＋ d＝ b＋ c且 |a－ d|<|b－c|，则有() 6．设 a，b， c， d∈RA． ad＝ bc B ．ad<bc C．ad>bc D． ad≤ bc答案C分析|a － d|<|b－ c|?( a－d)2<(b－ c)2?a2＋ d2－2ad<b2＋ c2－ 2bc，又∵a＋ d＝ b＋ c? (a ＋d)2＝ (b＋ c)2? a2＋ d2＋ 2ad＝ b2＋ c2＋ 2bc，∴－ 4ad<－ 4bc，∴ ad>bc.a2＋ b2127．已知 a>b>0，且 ab＝ 1，若 0<c<1， p＝ log c， q＝ log c() ，则 p， q 的大小2a＋ b关系是()A． p>q B ．p<qC． p＝ q D． p≥ q答案 Ba 2＋b 2a 2＋b 2分析∵>ab ＝ 1， ∴ p ＝ log c 22<0.12111又 q ＝log c () ＝ log c>log c＝ log c >0， ∴q>p.a ＋ ba ＋b ＋ 2 ab4 ab4378．对大于1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23， 3 3 9，511134315，, .仿此，若 m 3 的“分裂数”中有一个是59，则 m 的值为()17 19A ． 5B ．6C ．7D ． 8答案 D分析由已知可察看出m 3 可分裂为 m 个连续奇数，最小的一个为 (m － 1)m ＋ 1.当 m ＝8时，最小的数为 57，第二个即是59.∴ m ＝ 8.二、填空题9．察看以下等式1＝ 12＋ 3＋ 4＝ 9 3＋ 4＋5＋ 6＋ 7＝ 254＋ 5＋ 6＋7＋ 8＋ 9＋ 10＝ 49,,照此规律，第 n 个等式为 ________．答案n ＋ (n ＋ 1)＋ (n ＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1)2分析第 n 个等式是首项为n ，公差为 1，项数为 2n － 1 的等差数列，即 n ＋ (n ＋ 1)＋ (n＋ 2)＋, ＋ (3n － 2)＝ (2n － 1) 2.110．若数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ n ＋ 1 2，记 f(n)＝ 2(1－a 1 ) ·(1－ a 2), (1－ a n )，试经过计算f(1)，f(2) ，f(3)的值，推测出 f(n)＝ ________.n ＋ 2答案n ＋ 13 1＋ 2分析 f(1) ＝ 2(1－a 1)＝2＝ 1＋ 1，1 1f(2) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)＝ 2 1－ 4 1－ 9＝4＝2＋ 2，3 2＋1f(3) ＝2(1－ a 1)(1 －a 2)(1 － a 3)＝2 1－ 1 1－1 1－ 1＝5＝ 3＋2，4 9 16 4 3＋1n ＋ 2可猜想 f(n)＝n ＋ 1.11．二维空间中圆的一维测度(周长 )l ＝ 2πr ，二维测度 (面积 )S ＝ πr 2，察看发现 S ′＝ l ；三维空间中球的二维测度 (表面积 )S ＝ 4πr 2，三维测度 (体积 )V ＝43，察看发现 V ′＝ S.则四3πr维空间中“超球”的四维测度 W ＝ 2πr 4，猜想其三维测度 V ＝ ________.答案 8πr 3分析由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论， “ 超球 ”的三维测度是四维测度的导函数，即 V ＝ W ′ ＝ (2πr 4)′＝ 8πr 3.12．函数 f(x)的定义域为 A ，若 x 1，x 2∈ A ，且 f(x 1 )＝ f(x 2)时总有 x 1＝ x 2，则称 f(x)为单函数．例如 f(x)＝ 2x ＋ 1 (x ∈ R )是单函数，以下命题：①函数f(x)＝ x 2 (x ∈ R )是单函数；②指数函数 f(x)＝ 2x (x ∈ R )是单函数，③若 f(x)为单函数， x 1， x 2∈ A 且 x 1≠ x 2，则 f(x 1)≠ f(x 2)；④在定义域上拥有单一性的函数必定是单函数．此中的真命题是 __________( 写出全部真命题的编号 )．答案 ②③④分析由 x 12＝ x 22，未必有 x 1＝ x 2，故 ① 不正确；关于 f(x)＝ 2x ，当 f(x 1)＝ f(x 2 )时必定有 x 1＝ x 2，故 ② 正确；当 f(x)为单函数时，有 f(x 1)＝ f( x 2)? x 1＝ x 2，则其逆否命题 f(x)为单函数时，x 1≠ x 2? f(x 1)≠ f(x 2) 为真命题，故 ③ 正确；当函数在其定义域上单一时，必定有 f(x 1)＝ f(x 2) ? x 1＝ x 2，故 ④ 正确．三、解答题13． (2012 ·建福 )某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋ cos 217°－ sin 13 cos ° 17 ；°2 2 °－ sin 15 cos ° 15 ；°② sin 15 °＋ cos 15 22°－ sin 18 cos ° 12 ；°③ sin 18 °＋ cos 12④ sin 2(－ 18°)＋cos 248°－sin(－ 18°)cos 48 ；°⑤ sin 2(－ 25°)＋cos 255°－sin(－ 25°)cos 55 . °(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论．解方法一 (1)选择 ② 式，计算以下：sin 215°＋ cos 215°－ sin 15 cos ° 15 °1 sin 30 ＝°1－ 1 3＝ 1－ 4 ＝ .2 4 (2)三角恒等式为322sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4.证明以下：sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ sin 2α＋(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2－ sin α(cos 30 °cos α＋ sin 30 sin ° α)23231 23 1 23 2323.＝ sin α＋ cos α＋2 sin αcos α＋ sin α－2sin αcos α－ sin α＝ sin α＋ cos α＝ 442 4 4 4方法二 (1)同解法一．223 (2)三角恒等式为 sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 4. 证明以下：22sin α＋ cos (30 °－ α)－ sin αcos(30 －°α)＝ 1－cos 2α 1＋ cos 60°－ 2αα(cos 30 cos ° α＋ sin 30 sin ° α)2＋2－ sin＝ 1－1 1＋ 1 312α2 2cos 2α＋ 2 2(cos 60 cos ° 2α＋ sin 60 sin ° 2α)－ 2 sin αcos α－ 2sin1 1 cos 2α＋ 1 ＋ 1 3 sin 2α－ 3＝－ 2 2 cos 2α＋ 4 4sin 2α－2 41 1 1 1 3(1 －cos 2α)＝ 1－ cos 2α－＋ cos 2α＝ .44 4 4414．设会合 W 是知足以下两个条件的无量数列 { a n } 的会合．① a n ＋ a n ＋2≤ a n ＋1；② a n ≤ M ，此中 n ∈ N * ， M 是与 n 没关的常数．2(1)若 { a n } 是等差数列， S n 是其前 n 项的和， a 3＝ 4， S 3＝ 18，尝试究 { S n } 与会合 W 之间的关系；(2)若数列 { b n } 的通项为 b n ＝ 5n － 2n ，且 { b n } ∈ W ， M 的最小值为 m ，求 m 的值；(3)在 (2)的条件下，设 1 nc n ＝ [ b n ＋ (m － 5) ] ＋ 2，求证：数列 { c n } 中随意不一样的三项都不5 能成为等比数列． (1)解 ∵ a 3＝ 4， S 3＝ 18，∴ a 1＝ 8， d ＝－ 2，2 S n ＋ S n ＋ 2∴ S n ＝－ n ＋ 9n ， 2 <S n ＋ 1 知足条件 ① ，9S n ＝－ n － 2 ＋ 81，当 n ＝ 4 或 5 时， S n 取最大值 20.2 4 ∴ S n ≤ 20 知足条件 ② ，∴ { S n } ∈ W.(2)解b n ＋ 1－ b n ＝ 5－ 2n 可知 { b n } 中最大项是 b 3＝ 7，∴M ≥7， M 的最小值为 7.(3)证明由(2) 知 c n ＝n ＋ 2，假定 { c n } 中存在三项 c p 、c q 、 c r (p 、 q 、 r 互不相等 )成等比数列，则 c 2q ＝ c p ·c r ，∴ (q ＋ 2)2＝ (p ＋ 2)(r ＋ 2)，∴ (q 2－ pr)＋ (2q － p － r ) 2＝ 0.q 2 ＝ pr ，∵ p 、q 、 r ∈ N * ， ∴2q － p － r ＝ 0，消去 q 得 (p－ r )2＝ 0，∴p＝r ，与 p≠ r 矛盾．∴{ c n} 中随意不一样的三项都不可以成为等比数列．。

_学年高中数学第三章推理与证明2数学证明课后演练提升北师大版选修1_203020332

2016-2017学年高中数学第三章推理与证明 2 数学证明课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．下面说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①③④都正确．答案： C2．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理中( )A．小前提错误B．结论错误C．都正确D．大前提错误解析：大前提与小前提都是正确的．答案： C3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )A．使用了归纳推理B．使用了类比推理C．使用了“三段论”，但大前提使用错误D．使用了“三段论”，但小前提使用错误解析：应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．答案： D4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析： A 项中“两条直线平行，两同旁内角互补”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理；B 项中为类比推理；C 、D 项都是归纳推理．答案： A二、填空题5．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．解析： ①是大前提，②是小前提，③是结论．答案： ②6．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析： “孤立元”的定义，大前提给定A ＝{1,2,3}，小前提所以集合A 不含“孤立元”．结论同理可得不含“孤立元”的集合还有{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6，7}，{6,7,8}．故不含“孤立元”的集合共有6个．答案： 6三、解答题7．将下列演绎推理写成三段论的形式．(1)所有的金属都导电，树枝不导电，所以树枝不是金属．(2)三角形内角和都为180°，所以等边三角形的内角和为180°.(3)两直线平行，同位角相等，如果∠A 和∠B 是两平行直线的同位角，那么∠A ＝∠B . 解析： (1)所有的金属都导电(大前提)树枝不导电(小前提)所以树枝不是金属(结论)(2)每一个三角形的内角和都为180°(大前提)等边三角形是三角形(小前提)所以等边三角形内角和是180°(结论)(3)两直线平行，同位角相等(大前提)∠A 和∠B 是两平行直线的同位角(小前提)所以∠A ＝∠B (结论)8．用三段论证明：通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}为等差数列．证明：因为若数列{a n}满足a n＋1－a n＝d(常数)，则数列{a n}是等差数列，大前提通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}，满足a n＋1－a n＝a1＋nd－a1－(n－1)d＝d，小前提所以通项公式为a n＝a1＋(n－1)d的数列{a n}是等差数列．结论9．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BD＝2AD＝8，AB＝4 5.设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD.证明：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，(大前提)在△ABD中，AD＝4，BD＝8，AB＝45，即AD2＋BD2＝AB2，(小前提)故△ABD是直角三角形，即AD⊥BD.(结论)如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(大前提)平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，BD⊥AD，小前提所以BD⊥平面PAD.结论如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，(大前提)BD⊥平面PAD，BD⊂平面MBD，(小前提)故平面MBD⊥平面PAD.(结论)。

高考数学复习指导：限时训练,规范答题

高考数学复习指导：限时训练，规范答题高考考前30天高考数学温习指点：限时训练，规范答题首先，要对照考纲，查漏补缺。

为了防止知识点遗漏，建议考生对照«考试说明»，对其中所要求的知识点梳理一遍，发现破绽，及时补偿，这样有利于提高温习的针对性、有效性和系统性。

立刻着手常用重点公式的整理、汇总、牢记、运用。

如今曾经到了记牢众少数学概念、定理、公式、方法与规律的时分了!其主要归结整理，三角、平面几何、解析几何、概率和统计、函数与导数等罕见类型的训练题务必掌握惯例解法。

要扎实主干知识。

另外，考前还是要仔细做题，片面善习各类题型。

注重解题方法和进程训练。

限时训练，规范答题。

考前每天就坚持一定的练习量，适当的练习既能协助考生稳固所温习的知识点，又能进一步提高先生规范答题的才干，更是考前的顺应性练习，但是练习要精选，如历年的高考真题或经典模拟题，并能按高考要求限时训练。

特别注重答题技巧和答题的规范以及书写的规范，以免高考中会做的题拿不了总分值。

选择题的求解以直接法为主，但不能每个标题都用直接法，适时运用直接法，如扫除法、特殊解法、逆推法、验证法等。

左右开弓，小题巧做，追求快而准，为前面的解题提供时间保证。

填空题要提高运算的正确性，留意结果表述的规范、繁复;解答题进程书写要详略妥当，切忌跳步而失分。

对照规范的评分规范，掌握解题进程得分点所在。

此时不要再做难题怪题，而应做回归基础知识的标题。

目的是稳拿高考试题中难度低标题(基础题)的分数，集中力气突击难度中等和中等偏上标题的分数，靠优质的心思去拿难度高标题的分数。

同时，考前看看自己做过的卷子，反思错题，审视自己的思想完善，以根绝屡做屡错，屡错屡做之现象。

答错的标题最有价值，它们往往有特性，很有必要冷静反思，以免高考中重蹈覆辙。

高中数学第三章推理与证明1.1归纳推理课后巩固提升含解析北师大版选修1

学习资料1。

1 归纳推理［A组基础巩固]1．观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝－sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f（x)满足f（－x)＝f（x），记g(x）为f(x)的导函数,则g(－x）＝（）A．f（x)B．－f(x）C．g（x）D．－g（x）解析：由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f（x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g（－x)＝－g(x)．答案：D2．已知数列{a n}满足a0＝1,a n＝a0＋a1＋…＋a n－1(n≥1），则当n≥1时,a n等于()A．2n B。

错误!n（n＋1）C．2n－1D．2n－1解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想当n≥1时，a n＝2n－1.答案:C3．把1,3,6,10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数的点数可以排成一个正三角形（如下图）．试求第七个三角形数是(）A．27 B．28C．29 D．30解析：第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故选B。

答案:B4．数列5，9,17,33,x，…中的x等于（)A．47 B．65C．63 D．128解析：5＝22＋1，9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，归纳可得:x＝26＋1＝65。

答案：B5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如:他们研究过图1中的1，3，6,10，…，由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4,9，16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（） A ．289 B ．1 024 C ．1 225D ．1 378解析:由图形可得三角形数构成的数列通项a n ＝错误!(n ＋1），同理可得正方形数构成的数列通项b n ＝n 2,若a 既是三角形数又是正方形数，则a ＋1为偶数，a 为奇数，故排除B 、D ；由错误!(n ＋1）＝289＝17×17，知n ∉N ，所以排除A ，而1 225＝352＝错误!＝错误!＝1 225，满足题意，故选C. 答案：C6．f (n )＝1＋错误!＋错误!＋…＋错误!(n ∈N ＋)，计算得f (2)＝错误!,f (4）>2,f (8）〉错误!,f （16）>3，f （32)>错误!，推测当n ≥2时，有________．解析：f （4）＝f （22)〉错误!， f （8）＝f (23)〉错误!， f （16）＝f （24）〉错误!， f (32）＝f （25）〉错误!。

(典型题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(含答案解析)

一、选择题1．正整数按下表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）A ．22005B ．22006C ．20052006+D ．20052006⨯2．李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人考上大学后，就读于法学、教育学、医学和管理学四个学科，就他们分别就读于哪个学科，同学们做了如下猜测：同学甲猜，李雷就读于管理学，张亮就读于法学；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；同学丙猜，李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；同学丁猜，韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.结果恰有三位同学的猜测各对一半，只有一位同学全部猜对，那么李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是（） A ．管理学、医学、法学、教育学 B ．教育学、管理学、医学、法学 C ．管理学、法学、教育学、医学D ．管理学、教育学、医学、法学3．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣，”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在222+++⋅⋅⋅“…”.即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地不难得到12122+=++⋅⋅⋅（）A ．122 B ．122C 21D ．21-4．在我校学科月活动中，老师推荐了一本古典名著.为了解学生诵读情况，老师随机问了甲，乙，丙，丁四名学生，但这四名学生中仅有一人阅读了老师推荐的这本名著，当他们被问到谁阅读了这本名著时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了” ；丙说：“甲和丁都没有阅读” ；丁说：“乙阅读了”. 假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该名著的学生是（） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁5．我国的刺绣有着悠久的历史，如图，(1)(2)(3)(4)为刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含()f n 个小正方形，则()f n 的表达式为（）A ．()21f n n =-B ．2()2f n n =C ．2()22f n n n=-D ．2()221f n n n =-+6．一位老师有两个推理能力很强的学生甲和乙,他告诉学生他手里拿着与以下扑克牌中的一张相同的牌:黑桃:3,5,Q ,K 红心:7,8,Q 梅花:3,8,J ,Q 方块:2,7,9老师只给甲同学说这张牌的数字（或字母）,只给乙同学说这张牌的花色,接着老师让这两个同学猜这是张什么牌:甲同学说:我不知道这是张什么牌,乙同学说:我知道这是张什么牌. 甲同学说:现在我们知道了. 则这张牌是（） A ．梅花3B ．方块7C ．红心7D ．黑桃Q7．定义两个运算：1212a b a lgb ⊗=+，132a b lga b -⊕=+．若925M =⊗，1227N =⊕，则(M N += ) A ．6B ．7C ．8D ．98．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（） A ．545B ．547C ．549D ．5519．下列说法中不正确的是（）A ．命题：“∈，x y R ，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设x ≠1或y ≠1．B ．若2a b +>，则a ，b 中至少有一个大于1．C ．若14－，，，，－x y z 成等比数列，则2y =±. D ．命题：“[0,1]∃∈m ，使得12+<m x x”的否定形式是：“[0,1]∀∈m ，总有12m x x+≥”． 10．下列说法中正确的个数是（）①命题：“x 、y R ∈，若110x y -+-=，则1x y ==”，用反证法证明时应假设1x ≠或1y ≠；②若2a b +>，则a 、b 中至少有一个大于1； ③若1-、x 、y 、z 、4-成等比数列，则2y =±； ④命题：“[]0,1m ∃∈，使得12+<m x x”的否定形式是：“[]0,1m ∀∈，总有12m x x +≥”.A ．1B ．2C ．3D ．411．下面使用类比推理正确的是（）A ．直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，类推出：向量a b b c ，，则a cB ．同一平面内，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ．类推出：空间中，直线a ，b ，c ，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥bC ．实数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4b ．类推出：复数a ，b ，若方程x 2+ax +b ＝0有实数根，则a 2≥4bD ．以点（0，0）为圆心，r 为半径的圆的方程为x 2+y 2＝r 2．类推出：以点（0，0，0）为球心，r 为半径的球的方程为x 2+y 2+z 2＝r 2 12．在二维空间中，圆的一维测度（周长），二维测度（面积）；在三维空间中，球的二维测度（表面积），三维测度（体积）.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度，则其四维测度为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题13．从11,14(12),149123,14916(1234),=-=-+-+=++-+-=-+++⋅⋅⋅，概括出第n 个式子为___________．14．已知对任意正实数1a 、2a 、1b 、2b 都有22212121212()b b b b a a a a ++≥+，类比可得对任意正实数1a 、2a 、3a 、1b 、2b 、3b 都有________．15．现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座位号分别是1，2，3，4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座位号为1和2的座位；乙：我不坐座位号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座位号为2的座位，那么我就不坐座位号为1的座位.那么坐在座位号为3的座位上的是________.16．已知数列{}n a 的通项公式是2n a n =，若将数列{}n a 中的项从小到大按如下方式分组：第一组：(2,4)，第二组：(6,8,10,12)，第三组：(14,16,18,20,22,24)，…，则2018位于第________组.17．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如123451,2,2,4,2,S S S S S =====⋯⋯，则33S =____________① ②18．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是_______19．我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图，将底面直径都为2b ，高皆为a 的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d 处的平面截这两个几何体，可横截得到S 圆及S 环两截面.可以证明圆环=S S 总成立.据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是_______．20．如图所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ； ②表中的递推关系类似“杨辉三角”.则第n 行的第2个数是__________．三、解答题21．三角比内容丰富，公式很多，若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘.请你完成以下问题：（1）计算：cos 2cos88sin 47sin133︒︒+︒︒,cos5cos85sin 50sin130︒︒+︒︒,cos12cos78sin 57sin123︒︒+︒︒；（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般的结论用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程.22．某同学再一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于一个常数. ①.22sin 13cos 17sin13cos17︒︒︒︒+- ②.22sin 18cos 12sin18cos12︒︒︒+- ③.()()22sin25cos55sin 25cos55︒︒︒︒-+--（1）试从上述三个式子中选出一个计算出这个常数.（2）猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.23．已知函数()2f x ax bx c =++及函数g （x ）＝﹣bx （a ，b ，c ∈R ），若a ＞b ＞c 且a+b+c ＝0．（1）证明：f （x ）的图象与g （x ）的图象一定有两个交点；（2）请用反证法证明：122c a --＜＜； 24．证明下列不等式.（1）当1a >时，求证：2110a a a -+>；（2）设0a >，0b >，若0a b ab +-=，求证：2322a b +≥+ 25．已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N ++=+∈ （1）求2a ，3a ，4a ，5a ；（2）归纳猜想出通项公式n a ，并且用数学归纳法证明；（3）求证100a 能被15整除．26．求证：一个三角形中，最大的角不小于60o..【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．由此能求出上起第2005行，左起第2006列的数．【详解】解：由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．依题意有，左起第2006列的第一个数为20052+1，故按连线规律可知，上起第2005行，左起第2006列的数应为20052+2005＝2005×2006．故选D．【点睛】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．其中分析出数的排列规律是解答的关键．2．C解析：C【分析】根据只有一位同学全部猜对，逐项一一假设，利用合情推理求解.【详解】假设同学甲猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于法学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，故刘静就读于医学正确；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学乙猜全正确，即韩梅梅就读于管理学，刘静就读于医学；则同学甲猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于法学正确；同学丙猜，李雷就读于管理学错误，张亮就读于教育学正确；矛盾，假设错误；假设同学丙猜全正确，即李雷就读于管理学，张亮就读于教育学；则同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学丁猜，韩梅梅就读于法学错误，刘静就读于教育学正确.假设同学丁猜全正确，即韩梅梅就读于法学，刘静就读于教育学.则同学甲猜，李雷就读于管理学正确，张亮就读于法学错误；同学乙猜，韩梅梅就读于管理学错误，刘静就读于医学正确；矛盾，假设错误；综上：李雷、韩梅梅、张亮、刘静四人分别就读的学科是管理学、法学、教育学、医学,.【点睛】本题主要考查合情推理的应用，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.3．C解析：C 【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果. 【详解】由题意，令12(0)122x x +=>++⋯，即12x x+=，即2210x x --=，解得1x =或1x =（舍去）121122∴+=++⋅⋅⋅，故选：C 【点睛】本题主要考查类比推理方法的应用，以及一元二次方程的解法，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】解：①当读了该篇文章的学生是甲，则四位同学都错了，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是甲，②当读了该篇文章的学生是乙，则丙，丁说的是对的，与题设相符，故读了该篇文章的学生是乙，③当读了该篇文章的学生是丙，则甲，乙，丙说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丙，④当读了该篇文章的学生是丁，则甲说的是对的，与题设矛盾，故读了该篇文章的学生不是丁，综合①②③④得：读了该篇文章的学生是乙，故选：B ．【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属于中档题．5．D解析：D先分别观察给出正方体的个数为：1，14+，148++，⋯⋯，总结一般性的规律，将一般性的数列转化为特殊的数列再求解．【详解】解：根据前面四个发现规律： ()()2141f f -=⨯， ()()3242f f -=⨯，()()4343f f -=⨯，⋯⋯，()(1)4(1)f n f n n --=-，累加得： ()()2(1)14[12(1)]42(1)222n n f n f n n n n n --=⨯++⋯⋯+-=⨯=-=-， ()11f =2()221f n n n ∴=-+，故选：D ．【点睛】本题主要考查了归纳推理，属于中档题．6．B解析：B 【分析】根据老师告诉甲牌的点数，告诉乙的是花色，结合甲乙对话进行推理判断即可．【详解】解：甲不知道，说明通过数字不能判断出来，因此排除有单一数字的牌：黑桃5,K,梅花J ，方块2,9．而乙知道牌的颜色,如果是方片的话,即可断定是方片7, 故选:B 【点睛】本题主要考查合情推理的应用，结合甲乙了解的情况进行推理是解决本题的关键．考查学生的推理分析能力．7．B解析：B 【分析】根据定义的新运算，求出M 、N 的值，相加即可得答案．【详解】根据题意，121925925352M lg lg =⊗=+=+， 13112()232727N lg -===+，则(35)(23)1337M N lg lg +=+++=++=。

高三数学二轮专题三第3讲推理与证明

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第3讲
解析依题意，知当 n＝1 时，N＝{1}，则 T1＝1；
当 n＝2 时，T2＝4；
当 n＝3 时，N＝{1,2,3}，所有的非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，
本
讲栏
{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，所以 T3＝1＋2＋3＋1＋2＋1＋2＝12；
目盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法
开
关证明命题“若 p 则 q”的过程可以用如图所示的框图表示．
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第3讲
题型一归纳推理
本讲
【例
1】
设数列{aபைடு நூலகம்}是首项为 0 的递增数列，n∈N*，fn(x)
栏目开
＝sin
n1x－an，x∈[an，an＋1]，满足：对于任意的 b∈[0,1)，
的根，
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热点分类突破 ∴a2＝π；
第3讲
本讲
∵对任意的 b∈[0,1)，f2(x)＝b 总有两个不同的根，
栏
目开
∴a3＝3π；
关
f3(x)＝sin
13x－a3＝sin
13x－3π＝sin
13x，x∈[3π，a4]，
∵对任意的 b∈[0,1)，f3(x)＝b 总有两个不同的根，
∴a4＝6π.
括能力的考查．
易错提醒 (1)找不准归纳的对象．本题归纳对象有两个，即等号左边式子的第一个数和最后一个数；等号右边的数是归纳对象．(2)找不准变化规律.
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主干知识梳理
第3讲
本讲
1．合情推理
栏目

(压轴题)高中数学选修1-2第三章《推理与证明》测试题(有答案解析)

一、选择题1．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789+107+++++=，，可以得出的一般结论是（）A ．()()()21232n n n n n ++++++-=B ．()()()21231n n n n n ++++++-=C ．()()()()2123221n n n n n ++++++-=- D ．()()()()2123121n n n n n ++++++-=-2．某扶贫调研团根据要求从甲、乙、丙、丁、戊五个镇选择调研地点：①若去甲镇，则必须去乙镇；②丁、戊两镇至少去一镇；③乙、丙两镇只去一镇；④丙、丁两镇都去或都不去；⑤若去戊镇，则甲、丁两镇也必须去.该调研团至多去了（） A ．丙、丁两镇 B ．甲、乙两镇C ．乙、丁两镇D ．甲、丙两镇3．将正整数1，2，3，4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第20行从左往右数第1个数是（）A ．381B ．361C ．362D ．4004．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，所以将其称为三角形数；类似地，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数，则下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A ．289B ．1024C ．1225D ．13786．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证23b ac a -<”索的因应是（）A ．0a b ->B ．0a c ->C ．()>0)(a b a c --D ．()<0)(a b a c --7．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则项目积分规则100米跑以13秒得60分为标准，每少0.1秒加5分，每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分为标准，每多0.02米加2分，每少0.02米扣2分掷实心球以11.5米得60分为标准，每多0.1米加5分，每少0.1米扣5分姓名 100米跑（秒）跳高（米）掷实心球（米）甲 13.3 1.24 11.8 乙 12.61.311.4丙 12.91.26 11.7丁13.11.2211.6A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．“四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形9．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过2+2+2+...“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（）A ．21+B ．21-C ．23+D ．32-10．英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook ，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（）()()357211sin 13!5!7!21!n n x x x x x x n --=-+-++-+-()()2462cos 112!4!6!2!nnx x x x x n -=-+-++-+其中*x R n N ∈∈，，!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯，例如：1!12!23!6===，，．试用上述公式估计cos0.2的近似值为（精确到0.01） A ．0.99B ．0.98C ．0.97D ．0.9611．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系. 凸多面体顶点数棱数面数三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱锥 6 10 6 六棱锥712712个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（） A ．14 B ．16C ．18D ．2012．用反证法证明命题：“若,a b ∈R ，且220a b +=，则a ，b 全为0”时，要做的假设是（）A ．0a ≠且0b ≠B ．a ，b 不全为0C ．a ，b 中至少有一个为0D ．a ，b 中只有一个为0二、填空题13．设1250,,,a a a 是从1-，0，1这三个整数中取值的数列，若12509a a a +++=，且()()()2221250111107a a a ++++++=，则1250,,,a a a 中数字0的个数为________ .14．甲、乙、丙三名运动员，其中一名是足球运动员，一名是兵乓球运动员，一名是羽毛球运动员，已知丙的身高比羽毛球运动员高，甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，据此推断足球运动员是__15．有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长，其中只有一位当选．有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙当选”，乙说：“甲、丙都未当选”，丙说：“我当选了”，丁说：“是乙当选了”，若四位同学的话只有两句是对的，则当选的同学是______.16．集合{,,}{1,2,3}a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说3a ≠，乙说3b =，丙说1c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10100a b c __________.17．如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条相交线段，将圆分割成4部分；画3条线段，将圆最多分割成7部分；画4条线段，将圆最多分割成11部分．则在圆内画n 条线段，将圆最多分割成______部分．18．将正整数1，2，3，⋯按照如图的规律排列，则100应在第______列.19．某电影院共有(3000)n n ≤个座位，某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）.已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有__________个.20．集合{}{},,1,2,3a b c =，现有甲、乙、丙三人分别对a ，b ，c 的值给出了预测，甲说2a ≠，乙说2b =，丙说3c ≠.已知三人中有且只有一个人预测正确，那么10010a b c ++=______. 三、解答题21．观察下列各等式：tan10tan 20tan 20tan60tan60tan101︒︒+︒︒+︒︒=tan 20tan30tan30tan 40tan 40tan 201︒︒+︒︒+︒︒=tan33tan 44tan 44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒= （1）尝试再写出一个相同规律的式子；（2）写出能反映以上式子一般规律的恒等式；（3）并对你写出的（2）恒等式进行证明．22．对于命题P ：存在一个常数M ，使得不等式2222a b a bM a b b a a b b a+≤≤+++++对任意正数a ，b 恒成立. （1）试给出这个常数M 的值（不需要证明）；（2）在（1）所得结论的条件下证明命题P .23．（13725<（2）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足()122n n nS a n S ++=≥，计算，1234,,,S S S S ，并猜想n S 的表达式．24．已知函数()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠），（1）若()()()()()1221f g f g g k ⋅+⋅=，求实数k 的值；（2）能否从（1）的结论中获得启示，猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想． 25．如图1，已知PAB ∆中，PA PB ⊥，点P 在斜边AB 上的射影为点H .（Ⅰ）求证：222111PH PA PB =+；（Ⅱ）如图2，已知三棱锥P ABC -中，侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，点P 在底面ABC 内的射影为点H .类比（Ⅰ）中的结论，猜想三棱锥P ABC -中PH 与PA ，PB ，PC 的关系，并证明.26．（文科学生做）已知数列{}n a 满足652n nn a +=. （1）求1a ，2a ，3a 的值，猜想并证明{}n a 的单调性；（2）请用反证法证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，由上述式子可以归纳：左边每一个式子均有2n-1项，且第一项为n ，则最后一项为3n-2 右边均为2n-1的平方故选C点睛：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．2．A解析：A 【分析】根据条件假设去甲镇，则可找到矛盾，排除两个答案，再假设不去甲镇，去乙镇同样可得到矛盾，进而可得到答案【详解】解：假设去甲镇，则必去乙镇，但去乙镇则不能去丙镇，不去丙镇则也不能去丁镇，不去丁镇则也不能去戊镇，而丁、戊都不去则不符合条件．矛盾，则可淘汰选项B 、D ，若不去甲镇去乙镇，同样无法完成参观；故甲、乙两镇都不能去，则一定不能去戊镇，∴能去的地方只有丙、丁两镇．故选：A ．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，也运用假设法是关键，属于中档题，3．C解析：C 【分析】本题可根据图中数字的排列规律来思考，先观察每行数字的个数的规律，然后找到每行第一个数之间的规律，然后根据规律得出第20行的第1项的数字．【详解】解：由图中数字排列规律可知：∵第1行有1个数，第2行有3个数，第3行有5个数，第4行有7个数，… ∴第i 行有(21)i -个数.可设第i 行第j 个数字为.i j a ，其中121j i ≤≤-.观察每行的第1项，可得： 1.11a =， 2.12a =， 3.15a =， 4.110a =，… ∴ 1.11a =，2.1 1.11a a -=，3.1 2.13a a -=，4.1 3.15a a -=，….1 1.123i i a a i ---=.以上各项相加，可得：.1113523i a i =++++⋅⋅⋅+-（）(1)(123)12i i -+-=+2(1)1i =-+.∴220.1(201)1362a =-+=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查数列排列规律，等差数列的特点及求通项和求和．属于中档题．4．D解析：D 【分析】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别得出，即可得出{}n a 的通项公式．【详解】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别为：11a =，23a =，23333a =⨯=，234333a =⨯=，因此{}n a 的通项公式可以是：13-=n n a ．故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．5．C解析：C 【分析】记三角形数构成的数列为{}n a ，计算可得()12n n n a +=；易知2n b n =．据此确定复合题意的选项即可. 【详解】记三角形数构成的数列为{}n a ，则11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，…，易得通项公式为()11232n n n a n +=++++=；同理可得正方形数构成的数列{}n b 的通项公式为2n b n =．将四个选项中的数字分别代入上述两个通项公式，使得n 都为正整数的只有249501225352⨯==．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，数列求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．C解析：C 【分析】根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可. 【详解】由a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0得b ＝－a －c ，a >0，c <0.< 只要证22()3a c ac a ---< 即证2220a ac a c -+-> 即证()()()0a a c a c a c -++-> 即证()()0a a c b a c ---> 即证()()0a c a b -->故求证”索的因应是()()0a c a b -->. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了分析法，属于中档题.7．B解析：B 【分析】由得分规则计算甲乙丙丁四人各项得分进行判断即可【详解】由题，甲各项得分为：100米跑60-15=45分；跳高60+4=64；掷实心球60+15=75；则总分为45+64+75=184乙各项得分为：100米跑60+20=80分；跳高60+10=70；掷实心球60-5=55，则总分为80+70+55=205丙各项得分为：100米跑60+5=65分；跳高60+6=66；掷实心球60+10=70，则总分为65+66+70=201丁各项得分为：100米跑60-5=55分；跳高60+2=62；掷实心球60+5=65，则总分为55+62+65=182,综上，乙得分最多故选：B 【点睛】本题考查数据分析及决策问题，理解题意是关键，是基础题8．B【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案．【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ．【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.9．B解析：B 【解析】【分析】设()1012122...t t =>+++，可得12t t=+，求解即可. 【详解】设()1012122...t t =>+++，则12t t=+，即2210t t +-=，解得1t =，取1t =. 故选B. 【点睛】本题考查了类比推理，考查了计算能力，属于基础题.10．B解析：B 【分析】利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案．【详解】由题设中的余弦公式得()()24620.20.20.20.2cos0.2112!4!6!2!nnn =-+-++-+0.040.00160.00006410.98224720=-+-+≈，故答案为B 【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11．C解析：C 【分析】分析顶点数, 棱数与面数的规律，根据规律求解. 【详解】易知同一凸多面体顶点数, 棱数与面数的规律为：棱数＝顶点数＋面数－2，所以，12个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数＝12＋8－2＝18. 故选C. 【点睛】本题考查逻辑推理，从特殊到一般总结出规律.12．B解析：B 【解析】【分析】根据反证法的定义，第一步要否定结论，即反设，可知选项. 【详解】根据反证法的定义，做假设要否定结论，而a ，b 全为0的否定是a ，b 不全为0，故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法，命题的否定，属于中档题.二、填空题13．11【分析】由题意中1的个数比的个数多9则中2的个数比0的个数多9个其他都是1由此可设中有个1个0列方程组求解【详解】设中有个1个0因为所以的个数为又由解得故答案为：11【点睛】本题考查推理关键是认解析：11 【分析】由题意1250,,,a a a 中1的个数比1-的个数多9，则12501,1,,1a a a +++中2的个数比0的个数多9个，其他都是1，由此可设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，列方程组求解．【详解】设1250,,,a a a 中有m 个1，n 个0，因为12509a a a +++=，所以1-的个数为9m -，()()()22212501114107a a a m n ++++++=+=，又(9)50m n m ++-=，由4107259m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得2411m n =⎧⎨=⎩．故答案为：11．本题考查推理，关键是认识到12501,1,,1a a a +++是由1250,,,a a a 各加1得到的，因此数字的个数存在相应的关系．这样可列出方程组求解．14．乙【分析】先分析乒乓球运动员可以推断出乒乓球运动员是丙又丙的身高比羽毛球运动员高从而推断出乙是足球运动员【详解】由甲与乒乓球运动员身高不同乒乓球运动员比乙身高低可以推断出乒乓球运动员是丙又因为丙的身解析：乙【分析】先分析乒乓球运动员，可以推断出乒乓球运动员是丙，又丙的身高比羽毛球运动员高，从而推断出乙是足球运动员．【详解】由甲与乒乓球运动员身高不同，乒乓球运动员比乙身高低，可以推断出乒乓球运动员是丙，又因为丙的身高比羽毛球运动员高，所以乙不是羽毛球运动员，所以乙是足球运动员，故答案为：乙．【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．15．丙【分析】用反证法来验证是否符合题意即可得出结果【详解】如果是甲当选了则乙是对的其余三人是错的故甲不能当选；如果是乙当选了则甲乙丁是对的丙是错的故乙不能当选；如果是并当选了则甲丙是对的乙丁是错的故丙解析：丙【分析】用反证法来验证是否符合题意，即可得出结果. 【详解】如果是甲当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故甲不能当选；如果是乙当选了，则甲乙丁是对的，丙是错的，故乙不能当选；如果是并当选了，则甲丙是对的，乙丁是错的，故丙能当选；如果是丁当选了，则乙是对的，其余三人是错的，故丁不能当选. 故答案为：丙【点睛】本题考查了反证法，考查了逻辑推理能力，属于一般题目.16．【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定abc 的值进一步可得的值【详解】若甲自己的预测正确则：据此可知丙的说法也正确矛盾；若乙自己的预测正确则：矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确即：；故：则故答案解析：【解析】【分析】由题意利用推理的方法确定a ,b ,c 的值，进一步可得10100ab c 的值.若甲自己的预测正确，则：3,3a b ≠≠，据此可知3c =，丙的说法也正确，矛盾；若乙自己的预测正确，则：3,3a b ==，矛盾；据此可知只能是丙自己的预测正确，即：3,3,1a b c =≠≠；故：3,1,2a b c ===，则10100213a b c ++=. 故答案为213．【点睛】本题主要考查推理案例及其应用，属于中等题.17．【解析】【分析】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列利用归纳推理可得利用累加法可得结果【详解】设条直线将圆最多分成的部分数组成数列则归纳可得以上式子相加整理得故答案为【点睛】归纳推理的一般步骤:一通解析：()11+2n n +【解析】【分析】设n 条直线将圆最多分成的部分数,组成数列{}n a ，利用归纳推理可得1n n a a n -=+，利用累加法可得结果. 【详解】设n 条直线将圆最多分成的部分数组成数列{}n a ，则11,11n a ==+,212,2n a a ==+,32433,3,4,4,...n a a n a a ==+==+,归纳可得，1n n a a n -=+,以上式子相加整理得，()11123 (12)n n n a n +=+++++=+，故答案为()112n n ++.【点睛】归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.18．【解析】分析：先找到数的分布规律求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数每一列的数字都是从大大小按排列的且每一列的数字个数等于列数继而求出答案详解：由排列的规律可得第n 列结束的时候排了个数每一列的数字解析：【解析】分析：先找到数的分布规律，求出第n 列结束的时候一共出现的数的个数，每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，继而求出答案．详解：由排列的规律可得，第n 列结束的时候排了()1123112n n n +++⋯+-=+个数．每一列的数字都是从大大小按排列的，且每一列的数字个数等于列数，而第13列的第一个数字是()113131912⨯⨯+=，第14列的第一个数字是()1141411052⨯⨯+=，故100应在第14列．故答案为：14点睛：此题主要考查了数字的变化规律，借助于一个三角形数阵考查数列的应用，是道基础题19．12【解析】分析：由题可知总的观影人数为人则而人数最多的学校有人所以综合上述即可求出可能的取值个数详解：由题可知总的观影人数为人上下午各一场所以又可知若存在上下午坐的是同一所学校的学生的座位则必有所解析：12 【解析】分析：由题可知总的观影人数为985+1010+2019=4014人，则401420072n ≥=，而人数最多的学校有2019人，所以2019n <，综合上述即可求出可能的取值个数. 详解：由题可知，总的观影人数为985+1010+2019=4014人，上、下午各一场所以，401420072n ≥=，又可知985+1010=19952019<若存在上、下午坐的是同一所学校的学生的座位，则必有2019n <，所以n 的范围是[2007,2019)，*n Z ∈，则n 的可能取值有2019-2007=12个. 故答案为12.点睛：解答时应仔细审题，找到解决问题的突破口和关键点，然后进行推理并小心验证，最终得出结论.20．231【分析】由题意经推理可得代入计算即可得解【详解】若甲正确则丙错误则此时故乙也正确与题设矛盾；若乙正确则甲错误此时与题设矛盾；若丙正确则甲错误此时符合题意所以此时故答案为：231【点睛】本题考查解析：231 【分析】由题意经推理可得2a =，3b =， 1c =，代入计算即可得解. 【详解】若甲正确，则丙错误，则3c =，此时1a =，2b =，故乙也正确，与题设矛盾；若乙正确，则甲错误，此时2b =，2a =，与题设矛盾；若丙正确，则甲错误，此时2a =，3b =， 1c =符合题意. 所以2a =，3b =， 1c =，此时10010231a b c ++=. 故答案为：231. 【点睛】本题考查了推理案例及其应用，属于中档题.三、解答题21．（1）tan10tan30tan30tan50tan50tan101︒︒+︒︒+︒︒=；（2）若2παβγ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=；（3）证明略．【分析】找到其规律，可以发现三个角相加为90︒时，其值为1，写出对应的数学表达式证明即可．【详解】（1）例如：tan10tan30tan30tan50tan50tan101︒︒+︒︒+︒︒=．（2）若2παβγ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=．（3）证明：sin cos 12tan 2sin tan cos 2πγπγγπγγγ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭又因为1tan()tan 2tan παβγγ⎛⎫+=-=⎪⎝⎭ tan tan tan()tan tan 11tan tan αβαβγγαβ+∴+⋅=⋅=-化简即可得tan tan tan tan tan tan 1αββγγα++=．【点睛】本题考查了学生发现问题，解决问题的能力，能够找到根据所给式子找到三个角的和这一规律是解决问题的关键． 22．（1）23M =；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，利用特殊值法，令a b =可得，2233M ，分析即可得M 的值；（2）由分析法的思路：先证明2223a ba b b a+++，再类比可以证明2322a ba b b a+++，综合即可得证明；【详解】解：（1）根据题意，由于2222a b a bM a b b a a b b a++++++对任意正数a ，b 恒成立，令a b =得：2233M ，故23M =；（2）先证明2223a b a b b a +≤++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a b a b a b a b b a +++≤++，即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立.∴2223a b a b b a +≤++. 再证明2322a ba b b a≤+++. ∵0a >，0b >，要证上式，只要证()()()()3232222a a b b b a a b b a +++≥++，即证222a b ab +≥，即证()20a b -≥，这显然成立.∴2322a b a b b a ≤+++. 【点睛】考查用分析法证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，找出M 的值，是解题的突破口，属于中档题． 23．(1)见证明；(2) 123S =-，234S =-；345S =-；456S =-；猜想12n n S n +=-+，n ∈+N ．【分析】（1）不等式两边先平方，然后逐步化简，直到不等式明显成立为止；（2）分别令n=1,2,3,4，求出1234,,,S S S S ，然后找规律猜想表达式。

高考数学压轴专题人教版备战高考《推理与证明》专项训练解析附答案

新数学《推理与证明》专题解析(1)一、选择题1．观察下列等式：12133+=，781011123333+++=，16171920222339333333+++++=，…，则当n m <且m ，*n N ∈时，313232313333n n m m ++--++++=L （） A ．22m n + B ．22m n -C ．33m n +D ．33m n -【答案】B 【解析】【分析】观察可得等式左边首末等距离的两项和相等，即可得出结论. 【详解】313232313333n n m m ++--++++L 项数为2()m n -，首末等距离的两项和为313133n m m n +-+=+， 313232313333n n m m ++--++++L 22()()m n m n m n =+⨯-=-，故选:B. 【点睛】本题考查合情推理与演绎推理和数列的求和，属于中档题.2．观察下图：12343456745678910LL则第行的各数之和等于22017（） A ．2017 B ．1009C ．1010D ．1011【答案】B 【解析】【分析】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数，且这21n -个数成公差为1的等差数列，利用等差数列求和公式算出即可【详解】由图可得：第n 行的第一个数为n ，有21n -个数且这21n -个数成公差为1的等差数列所以第n 行的各数之和为：()()()()22122211212n n n n n ---+⨯=-令212017n -=，得1009n = 故选：B 【点睛】本题考查的是推理和等差数列的知识，较简单.3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，记()()1f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x +'=(n ∈N *). 若()sin f x x x =，则()()20192021f x f x += （）A ．2cos x -B ．2sin x -C ．2cos xD ．2sin x【答案】D 【解析】【分析】通过计算()()()()()12345,,,,f x f x f x f x f x ，可得()()()()4342414,,,k k k k f x f x f x f x ---，最后计算可得结果.【详解】由题可知：()sin f x x x =所以()()12sin cos ,2cos sin f x x x x f x x x x =+=-()()343sin cos ,4cos sin f x x x x f x x x x =--=-+ ()55sin cos ,f x x x x =+⋅⋅⋅所以猜想可知：()()4343sin cos k f x k x x x -=-+()()4242cos sin k f x k x x x -=-- ()()4141sin cos k f x k x x x -=--- ()44cos sin k f x k x x x =-+由201945051,202145063=⨯-=⨯- 所以()20192019sin cos f x x x x =--()20212021sin cos f x x x x =+所以()()201920212sin f x f x x += 故选：D 【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题.4．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca ++= D ．1ax by cz ++=【答案】A 【解析】【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c ++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .5．给出下面类比推理：①“若2a<2b ，则a<b”类比推出“若a 2<b 2，则a<b”； ②“(a ＋b)c ＝ac ＋bc(c≠0)”类比推出“a b a bc c c+=+ (c≠0)”； ③“a ，b ∈R ，若a －b ＝0，则a ＝b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b ＝0，则a ＝b”； ④“a ，b ∈R ，若a －b>0，则a>b”类比推出“a ，b ∈C ，若a －b>0，则a>b(C 为复数集)”．其中结论正确的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】①若“22a b <，则a b <”类比推出“若22a b <，则a b <”，不正确，比如1,2a b ==-； ②“()(0)a b c ac bc c +=+≠”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”，正确； ③在复数集C 中，若两个复数满足0a b -=，则它们的实部和虚部均相等，则,a b 相等，故正确；④若,a b C ∈，当1,a i b i =+=时，10a b -=>，但,a b 是两个虚数，不能比较大小，故错误；所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个，故选B. 【点睛】该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目.6．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（） A ．1个 B ．5个C ．7个D ．9个【答案】B 【解析】【分析】根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键.7．数学家托勒密从公元127年到151年在亚历山大城从事天文观测，在编制三角函数表过程中发现了很多重要的定理和结论，如图便是托勒密推导倍角公式“2212cos a sin a =-”所用的几何图形，已知点,B C 在以线段AC 为直径的圆上，D 为弧BC 的中点，点E 在线段AC 上且,AE AB =点F 为EC 的中点.设2,AC r =,DAC a ∠=那么下列结论:2,DC rcosa =① 22,AB rcos a =②()12,FC r cos a =-③ ()22DC r r AB =-④.其中正确的是（） A ．②③ B ．②④C ．①③④D ．②③④【答案】D 【解析】【分析】在Rt ADC ∆中，可判断①，Rt ABC ∆中，可判断②，利用ADB ∆与ADE ∆全等及ADC ∆与DFC ∆相似即可判断③④. 【详解】在Rt ADC ∆中，2sin ,DC r a =故①不正确；因为 ,BD DC =所以2,BAC a ∠=在Rt ABC ∆中，2cos2AB r a =，故②正确；因为AE AB BD DC ==，，易知ADB ∆与ADE ∆全等，故DE BD DC DF EC ==⊥，，所以()1cos22ABFC r r a =-=-，又CC ACD FC D =，所以()22DC AC FC r r AB =⋅=-，故③④正确，由2sin 2cos2DC r a AB r a ==,，()22DC r r AB =-，可得()()22sin 22cos2r a r r r a =-，即22sin 1cos2a a =-.故选：D. 【点睛】本题考查推理与证明，考查学生在圆中利用三角形边长证明倍角公式的背景下，判断所需的边长是否正确，是一道中档题.8．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i 行，第j 列的数记为ij a ，例如329a =，4215a =，5423a =，若2019ij a =，则i j -=（）A ．71B ．72C ．20D ．19【答案】D 【解析】【分析】先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列，即可得解. 【详解】奇数2019为第1010个奇数，由题意按照蛇形排列，从第1行到第i 行末共有()11+2+3++=2i i i +⋅⋅⋅个奇数，则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数，则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数，故2019位于第45行，从右往左第20列，则45i =，26j =，故19i j -=. 故选：D. 【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑思维能力和推理能力，属于中档题.9．下面几种推理中是演绎推理的为（）A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电B ．猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+ C ．半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= 【答案】C 【解析】【分析】根据合情推理与演绎推理的概念，得到A 是归纳推理，B 是归纳推理，C 是演绎推理，D 是类比推理，即可求解．【详解】根据合情推理与演绎推理的概念，可得:对于A 中，由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；对于B 中，猜想数列111122334⋯⋯⨯⨯⨯，，，的通项公式为1()(1)n a n N n n *=∈+，属于归纳推理，不是演绎推理；对于C 中，半径为r 的圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=，属于演绎推理；对于D 中，由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-=，属于类比推理，综上，可演绎推理的C 项，故选C ．【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．10．山城发生一起入室盗窃案，经警方初步调查，锁定为甲、乙、丙、丁四人中的一人所盗，经审讯，四人笔录如下，甲说：“是丁盗的”；乙说：“是甲、丁两人中的一人盗的”；丙说：“甲说的正确”；丁说：“与我无关，是他们三人中的一人盗的”，后经进一步调查发现四人中只有两人说了真话，由此可判断盗窃者是（） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A 【解析】【分析】分别假设甲、乙、丙、丁是罪犯，依次分析四人的供词，由两人说的是真话，两人说的是假话，能判断出结果．【详解】①假设盗窃者是甲，则甲说了假话，乙说了真话，丙说了假话，丁说了真话，合乎题意； ②假设盗窃者是乙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；③假设盗窃者是丙，则甲说了假话，乙说了假话，丙说了假话，丁说了真话，不合乎题意；④假设盗窃者是丁，则甲说了真话，乙说了真话，丙说了真话，丁说了假话，不合乎题意. 综上所述，盗窃者是甲. 故选：A. 【点睛】本题考查罪犯的判断，考查合情推理等基础知识，考查分类讨论思想的应用，是中等题．11．用数学归纳法证明“1112n n ++++ (111)()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 【答案】C 【解析】【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项。

高中数学教研会高三数学文科《推理与证明练习题》

推理与证明训练题（文）一、选择题1、下列说法正确的是（）（A ）合情推理有前提有结论；（B ）由合情推理得出来的结论一定是正确的；（C ）合情推理不能猜想；（D ）合情推理得出的结论无法判断正误2、ABC ∆能剖分为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状为（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）不能确定3、已知函数(01)xy a a a =>≠且在[0，1]上最大值与最小值的和为3，则a 的值为（）（A ）21（B ）2 （C ）3 （D ）5 4、下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个5、如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（）A ．5481a a a a >B ．5481a a a a =C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a < 6、在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（）（A ）n （B ）12-n （C ）)1(21+n n （D ）)1(21-n n 7、命题：“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”结论是错误的，其原因是（）（A ）大前提错误（B ）小前提错误（C ）推理形式错误（D ）以上都不是 8、若函数x x f sin )(是π为周期的奇函数，则)(x f 可以是（）（A ）x 2sin （B ）x 2cos （C ）x sin （D ）x cos9、已知)(x f 是R 上的偶函数，对任意的R x ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，若2)1(=f ，则=)2007(f （）（A ）（B ）2 （C ）1 （D ）010、已知函数xxx f +-=11lg)(，若b a f =)(，则=-)(a f （）（A ）b （B ）b - （C ）b 1 （D ）b1-二、填空题 11、在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图方式固定摆放，从第二层开始每层小球的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆的第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则)3(f ___________；)(n f __________（用n 表示）12、如图（1）有面积关系PBPA PB PA S S PAB B PA ⋅⋅=∆∆1111，则图（2）有体积关系_______________图1 图213、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则 .______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f14、若244)(+=x x x f ，则)10011000()10012()10011(f f f +++ ______________。

高考数学三轮增分练高考小题分项练13推理与证明文

高考小题分项练13 推理与证明1．在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话，一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子”；第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子”；第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子”；第四个人说：“我是老实人”．请判断一下，第四个人是老实人吗？________.(请用“是”或“否”作答)答案是解析依据题设条件可知前三个人的说法都是在撒谎，因说别人是骗子的都是不诚实的，所以依据题设中的规则第四个人说的是真话，即第四个人是老实人，所以应填是．2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是________．①方程x2＋ax＋b＝0没有实根；②方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根；③方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根；④方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根．答案①解析反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2＋ax＋b＝0没有实根．3．观察下列规律|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．答案80解析观察可得不同整数解的个数4,8,12，…可以构成一个首项为4，公差为4的等差数列，通项公式为a n＝4n，则所求为第20项，所以a20＝80.4． n＝abc表示一个三位数，记f(n)＝(a＋b＋c)＋(a×b＋b×c＋a×c)＋a×b×c，如f(123)＝(1＋2＋3)＋(1×2＋2×3＋1×3)＋1×2×3＝23，则满足f(n)＝n的三位数共有______个．答案9解析因为a＋b＋c＋ab＋bc＋ac＋abc＝100a＋10b＋c，所以(ab＋a＋b)(c＋1)＝10(10a＋b)⇒c＋1＝10，ab＋a＋b＝10a＋b⇒b＝9，a取1到9，共9个．5．对于任意正整数n ，定义“n ！！”如下：当n 是偶数时，n ！！＝n ·(n －2)·(n －4)·…·6·4·2，当n 是奇数时，n ！！＝n ·(n －2)·(n －4)·…·5·3·1，且有n ！＝n ·(n －1)·(n －2)·…·3·2·1.现有四个命题： ①2 016！！·2 015！！＝2 016！；②2 016！！＝21 008×1 008！；③2 015！！的个位数字是5；④2 014！！的个位数字是0. 其中正确的命题有________个．答案 4解析根据题意，依次分析四个命题可得：对于①，2 016！！·2 015！！＝(2·4·6·8·…·2 008·2 010·2 012·2 014·2 016)·(1·3·5·7·…·2 009·2 011·2 013·2 015)＝1·2·3·4·5·…·2 012·2 013·2 014·2 015·2 016＝2 016！，故①正确；对于②，2 016！！＝2·4·6·8·10·…·2 008·2 010·2 012·2 014·2 016＝21 008(1·2·3·4·…·1 008)＝21 008·1 008！，故②正确；对于③，2 015！！＝2 015×2 013×2 011×…×3×1，其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为5，故③正确；对于④，2 014！！＝2·4·6·8·…·2 008·2 010·2 012·2 014，其中含有10，故个位数字为0，故④正确．6．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N *)个点，相应的图案中总的点数记为a n ，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 013a 2 014＝______.答案2 0122 013解析由已知，a 2＝3＝3×(2－1)，a 3＝6＝3×(3－1)，a 4＝9＝3×(4－1)，a 5＝12＝3×(5－1)，…，a n ＝3(n －1)，数列{a n }是首项为3，公差为3的等差数列，通项为a n ＝3(n －1)(n ≥2)．所以1a n a n ＋1＝13n －1·3n ＝19(1n －1－1n )，则9a 2a 3＋9a 3a 4＋9a 4a 5＋…＋9a 2 013a 2 014＝9×19×(1－12＋12－13＋…＋12 012－12 013)＝1－12 013＝2 0122 013.7. 已知数列{a n }是正项等差数列，若c n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n1＋2＋3＋…＋n，则数列{c n }也为等差数列．已知数列{b n }是正项等比数列，类比上述结论可得__________． ①若{d n }满足d n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n1＋2＋3＋…＋n ，则{d n }也是等比数列；②若{d n }满足d n ＝b 1·2b 2·3b 3·…·nb n1·2·3·…·n，则{d n }也是等比数列；③若{d n }满足d n ＝[b 1·(2b 2)·(3b 3)·…·(nb n )]11＋2＋…＋n ，则{d n }也是等比数列；④若{d n }满足d n ＝[b 1·b 22·b 33·…·b nn ]11＋2＋…＋n ，则{d n }也是等比数列．答案 ④解析等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得：若{d n }满足d n ＝[b 1·b 22·b 33·…·b nn ]11＋2＋…＋n，则{d n }也是等比数列．8．已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，观察下列运算：a 1·a 2＝log 23·log 34＝lg 3lg 2·lg 4lg 3＝2； a 1·a 2·a 3·a 4·a 5·a 6＝log 23·log 34·…·log 78＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·…·lg 8lg 7＝3； …若a 1·a 2·a 3·…·a k (k ∈N *)为整数，则称k 为“企盼数”，试确定当a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2 017时，“企盼数”k 为__________．答案 22 017－2解析 a 1·a 2·a 3·…·a k ＝lgk ＋2lg 2＝2 017⇒lg(k ＋2)＝lg 22 017⇒k ＝22 017－2.9．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量 100克 300克包装费 0.5元 0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是________．①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．答案②④解析大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故②正确；卖1大包盈利8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈利3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多．故④正确．10．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有______个．答案100解析先推出两个小伙子的情形，如果甲的身高数>乙的身高数，且乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人．再考虑三个小伙子的情形，如果甲的身高数>乙的身高数>丙的身高数，且丙的体重数>乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人．由此可以设想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为A i(i＝1,2，…，100)，其身高数为x i，体重数为y i，当y100>y99>…>y i>y i－1>…>y1，x1>x2>…>x i>xi＋1>…>x100时，由身高看，A i不亚于A i＋1，A i＋2，…，A100；由体重看，A i不亚于Ai－1，A i－2，…，A1，所以，A i不亚于其他99人(i＝1,2，…，100)，所以，A i为棒小伙子(i＝1,2，…，100)．因此，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个.11．如图甲所示，在直角△ABC中，AC⊥AB、AD⊥BC，D是垂足，则有AB2＝BD·BC，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥A—BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比直角三角形中的射影定理，则有________．答案S2△ABC＝S△BCO·S△BCD解析从题中条件不难发现：图甲中的AC⊥AB对应图乙中的AD⊥平面ABC，图甲中的AD⊥BC 对应图乙中的AO⊥平面BCD，因此在类比的结论中，图甲中的边AB对应图乙中的面ABC，图甲中的边BC对应图乙中的面BCD，图甲中的边BD对应图乙中的面BOC.12．设S＝1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋ (1)12 0142＋12 0152，则不大于S的最大整数[S]＝________. 答案 2 014解析 ∵ 1＋1n2＋11＋n2＝n 2＋n2＋2n 2＋n ＋1n 21＋n 2＝n 2＋n ＋1n n ＋1＝1＋(1n －1n ＋1)， ∴S ＝1＋(11－12)＋1＋(12－13)＋…＋1＋(12 014－12 015)＝2 015－12 015，故[S ]＝2 014.13．在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c 2＝a 2＋b 2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O －LMN ，如果用S 1，S 2，S 3表示三个侧面面积，S 4表示截面面积，那么类比得到的结论是________．答案 S 21＋S 22＋S 23＝S 24解析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S 21＋S 22＋S 23＝S 24.14．对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1.其余项均为0，例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．答案 (1)2 (2)17解析 (1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，故前3项和为2. (2)依题意，E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，1,0，所以P ＝{a 1，a 3，a 5，…，a 99}；E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，所以Q ＝{a 1，a 4，a 7，…，a 97，a 100}．将目标转化为求数列M n ＝2n －1与数列L n ＝3n －2在1≤n ≤100，n ∈N 时有几个公共元素，所以P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}，因为97＝1＋(17－1)×6，所以共有17个元素．。

高三复习数学33_推理与证明 (3(有答案))

3.3 推理与证明一、选择题1. 将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第18个数为（）1357911131517192123252729……A.2015B.1981C.2017D.20142. ①已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设p+q≥2；②已知a,b∈R，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A.①的假设正确；②的假设错误B.①与②的假设都错误C.①的假设错误；②的假设正确D.①与②的假设都正确3. 已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3>0，则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值（）A.恒为0B.恒为正数C.可正可负D.恒为负数，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结4. 已知正三角形内切圆的半径是其高的13论是（）A.正四面体的内切球的半径是其高的14B.正四面体的内切球的半径是其高的12C.正四面体的内切球的半径是其高的15D.正四面体的内切球的半径是其高的135. 关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数,π)单调递增②f(x)在区间(π2③f(x)在[−π,π]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是（）A.①④B.①②④C.①③D.②④6. 已知“整数对”按如下规律排成一列(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),…，则第60个数对是（）A.(2,10)B.(7,5)C.(10,1)D.(5,7)二、填空题已知a>0，b>0，且1a ，12，1b成等差数列，则a+9b的最小值为________．已知集合{a,b,c}={0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于________.宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，……，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为________．三、解答题某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213∘+cos217∘−sin13∘cos17∘；②sin215∘+cos215∘−sin15∘cos15∘；③sin218∘+cos212∘−sin18∘cos12∘；④sin2(−18∘)+cos248∘−sin(−18)cos48∘；⑤sin2(−25∘)+cos255∘−sin(−25∘)cos55∘．试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．已知等差数列{a n}中，首项a1>0，公差d>0．若a1=1，d=2，且1a12，1a42，1a m2，成等比数列，求整数m的值；求证：对任意正整数m，1a m2，1a m2+1，1a n2+2都不成等差数列．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式（不要求证明）；证明：1f(1)+1f(2)+1f(3)+⋯+1f(n)<43．参考答案与试题解析3.3 推理与证明一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】反证使碳放缩法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等比使香的性质等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】球的表体积决体积类于凸理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】正弦射可的图象命题的真三判断州应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】此题暂无答案【考点】基来雨等式等差因列的校质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用集都着相等【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】等差因列的校质等差数来的通锰公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】归都读理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2021年高考数学一轮复习第三讲推理与证明习题理新人教A版

2021年高考数学一轮复习第三讲推理与证明习题理新人教A版1．（2011陕西）观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此规律，第五个等式应为________．解析：每行最左侧数分别为1、2、3、…，所以第n行最左侧的数应为n；每行数的个数分别为1、3、5、…，所以第n行的个数应为2n－1.所以第5行数依次是5、6、7、…、13，其和为5＋6＋7＋…＋13＝81.答案：5＋6＋7＋…＋13＝812．[xx·陕西卷] 已知f(x)＝x1＋x，x≥0，若f1(x)＝f(x)，f n＋1(x)＝f(f n(x))，n∈N＋，则f xx(x)的表达式为________．答案：x1＋2014x[解析] 由题意，得f1(x)＝f(x)＝x1＋x，f 2(x)＝x1＋x1＋x1＋x＝x1＋2x，f3(x)＝x1＋3x，…，由此归纳推理可得f xx(x)＝x1＋2014x.3．[xx·南昌调研] 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是________．答案：(2，10) [解析] 由题意，发现所给序数列有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)．z 26231 6677 晷25253 62A5 报36054 8CD6 賖35607 8B17 謗r33737 83C9 菉39903 9BDF 鯟36947 9053 道21404 539C 厜。

2022年人教版高考数学考点总复习课时规范练34 合情推理与演绎推理

课时规范练34合情推理与演绎推理基础巩固组1.(2020河南项城第三高级中学月考)正切函数是奇函数,f(x)=tan(x2+2)是正切函数,因此f(x)=tan(x2+2)是奇函数,以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.以上均不正确2.(2020安徽期末,文7)将正偶数排成如图所示的三角形数阵,其中第i行(从上向下)第j个(从左向右)的数表示为a ij(i,j∈N*),例如a32=10.若a ij=2 020,则i-j=()24 68101214161820……A.21B.22C.23D.253.(2020北京平谷二模,15)地铁某换乘站设有编号为A,B,C,D,E的五个安全出口,若同时开放其中的两个安全出口,疏散1 000名乘客所需的时间如下:则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是.4.(2020黑龙江大庆四中月考)“因为四边形ABCD是菱形,所以四边形ABCD的对角线互相垂直”,补充以上推理的大前提正确的是()A.菱形都是四边形B.四边形的对角线都互相垂直C.菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形5.(2020安徽马鞍山二模,16)根据疾病防控的需要,某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作,现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选,医院领导组五位成员先各推荐两名人员,分别为“丁、戊”,“丙、戊”,“甲、乙”,“乙、戊”,“甲、丁”.根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断,最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 . 6.观察下列各式:①cos π3+isin π3=12+√32i;②(cos π3+isin π3)2=-12+√32i;③(cos π3+isin π3)3=-1;④cos π3+isin π34=-12−√32i;根据以上规律可得(cos π3+isin π3)26= .7.在△ABC 中,不等式1A +1B +1C ≥9π成立;在凸四边形ABCD 中,不等式1A +1B +1C +1D ≥162π成立;在凸五边形ABCDE 中,不等式1A +1B +1C +1D +1E ≥253π成立…依此类推,在凸n 边形A 1A 2…A n 中,不等式1A 1+1A 2+…+1A n≥ 成立.综合提升组8.下列推理属于演绎推理的是( )A.由1=12,1+3=22,1+3+5=32,…,得出1+3+5+…+(2n-1)=n 2B.由三角形的三条中线交于一点联想到四面体每一个顶点与对面重心连线交于一点C.猴子与人在身体结构上有相似之处,某医药先在猴子身上试验,试验成功后再用于人体试验D.形如a n =cq n (cq ≠0)的数列{a n }为等比数列,则数列{-3n }为等比数列9.(2020北京高考模拟,10)某校高三年级举行了拔河比赛,在赛前三位老师对前三名进行了预测,于是有了以下对话,老师甲:“7班男生比较壮,7班肯定得第一名”.老师乙:“我觉得14班比15班强,14班名次会比15班靠前”.老师丙:“我觉得7班能赢15班”.最后老师丁去观看完了比赛,回来后说:“确实是这三个班得了前三名,且无并列,但是你们三人中只有一人预测准确”.那么,获得一、二、三名的班级依次为( )A.7班、14班、15班B.14班、7班、15班C.14班、15班、7班D.15班、14班、7班10.(2020陕西延安一中月考)若数列{a n }是等差数列,则数列b n =a 1+a 2+…+a nn也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{c n }是等比数列,且d n 也是等比数列,则d n 的表达式应为( ) A.d n =c 1+c 2+…+c nnB.d n =c 1·c 2·…·c nnC.d n =√c 1n +c 2n+…+c nnn nD.d n =√c 1·c 2·…·c n n11.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取到的项:第一次取1;第二次取2个连续的偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7,9;第四次取4个连续的偶数10,12,14,16…,按此规律一直取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16…,则在这个子数列中,第2 014个数为.创新应用组12.已知函数f(x)=a x+a-x2,g(x)=ax-a-x2(其中a>0,且a≠1),(1)若f(1)·g(2)+f(2)·g(1)=g(k),求实数k的值;(2)能否从(1)的结论中获得启示,猜想出一个一般性的结论并证明你的猜想.参考答案课时规范练34合情推理与演绎推理1.C大前提:正切函数是奇函数,大前提正确;小前提:f(x)=tan(x2+2)是正切函数,因为该函数为复合函数,故小前提错误;结论:f(x)=tan(x2+2)是奇函数,该函数为偶函数,故结论错误;故选C.2.D由题意知,这个数表的前n行的偶数的个数为n(n+1)2,所以,前n行的最后一个偶数为n(n+1),当n=44时,44×45=1 980,当n=45时,45×46=2 070,所以a ij=2 020=1 980+2×20,即2 020是第45行的第20个偶数,所以i-j=45-20=25,故选D.3.D同时开放AE,需要200秒;同时开放DE,需要140秒;所以D疏散比A快.同时开放AE,需要200秒;同时开放AB,需要120秒;所以B疏散比E快.同时开放AB,需要120秒;同时开放BC,需要220秒,所以A疏散比C快.同时开放BC,需要220秒;同时开放CD,需要160秒,所以D疏散比B 快.综上所述,D疏散最快.4.C根据小前提和结论可知,大前提为菱形的对角线互相垂直.故选C.5.乙、丁因为五位领导中有一人推荐的两人都没有入选,其余四人推荐的人选中各有一人入选.设“丁、戊”两人都没入选,那么不含丁、戊的人选组合中还剩“甲、乙”,这与其余四人推荐的人选中各有一人入选矛盾.设“丙、戊”两人都没入选,那么不含丙、戊的人选组合中还剩“甲、乙”和“甲、丁”,由题意这两个组合中各有一人入选,则为“乙、丁”,符合题意.6.-12+√32i 观察题干中的四个等式可猜(cos π3+isin π3)n =cos nπ3+isin nπ3,将n=26代入,可得cos π3+isin π326=cos 26π3+isin 26π3=-12+√32i . 7.n 2(n -2)π(n ∈N *,n ≥3) ∵1A +1B +1C≥9π=32π,1A +1B +1C +1D≥162π=422π,1A +1B +1C +1D +1E≥253π=523π,…,∴1A 1+1A 2+…+1An≥n 2(n -2)π(n ∈N *,n ≥3). 8.D A 选项中的推理过程是由特殊到一般,属于归纳推理,故A 错误;B,C 选项中的推理过程都是从特殊到特殊,均为类比推理,故B,C 错误;D 选项中,由形如a n =cq n (cq ≠0)的数列{a n }为等比数列(大前提),数列{-3n }满足这种形式(小前提),则数列{-3n }为等比数列(结论),满足演绎推理的概念,故D 正确.故选D.9.C 假设甲预测准确,则乙和丙都预测错误,故14班名次比15班靠后,7班没能赢15班,故甲预测错误;假设乙预测准确,则甲和乙都预测错误,故7班不是第一名,14班名次比15班靠前,7班没能赢15班,则获得一、二、三名的班级依次为14班,15班,7班;假设丙预测准确,则甲和乙都预测错误,故7班不是第一名,14班名次比15班靠后,7班能赢15班,不合题意.综上,得一、二、三名的班级依次为14班,15班,7班.故选C.10.D ∵数列{a n }是等差数列,则a 1+a 2+…+a n =na 1+(n -1)n2d , ∴数列b n =a 1+a 2+…+a n n =a 1+n -12d 也为等差数列. ∵正项数列{c n }是等比数列,设首项为c 1,公比为q ,则c 1·c 2·…·c n =c 1·c 1q·…·c 1q n-1=c 1nq(n -1)n2,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n=√c 1·c 1q ·…·c 1q n -1n=c1q n -12,∴d n =√c 1·c 2·…·c n n是等比数列.故选D.11.3 965 记该数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,…为{a n },由题意可知各次取数的最后一个数依次为1,4,9,16,25,…,归纳得到,每一组的最后一个数依次为12,22,32,42,…,n 2,…,即第n 组最后一个数为n 2.由于1+2+3+…+61+62+63=2 016,所以a 2 014位于第63组倒数第三个,因为第63组最后一个数为632=3 969,由组内的差为2,得a 2 014=3 969-4=3 965.12.解 (1)f (1)·g (2)+f (2)·g (1)=a+a -12×a 2-a -22+a 2+a -22×a -a -12=a 3-a -1+a -a -34+a 3-a+a -1-a -34=a 3-a -32=g (3). ∵函数g (x )是单调函数,∴k=3. (2)由g (3)=g (1+2)=f (1)·g (2)+f (2)·g (1), 猜想,g (x+y )=f (x )·g (y )+f (y )·g (x ).证明:f(x)·g(y)+f(y)·g(x)=a x+a-x2×a y-a-y2+a y+a-y2×a x-a-x2=a x+y+a y-x-a x-y-a-(x+y)4+a x+y-a y-x+a x-y-a-(x+y)4=a x+y-a-(x+y)2=g(x+y),所以g(x+y)=f(x)·g(y)+f(y)·g(x).。

高考数学总复习课时规范练33合情推理与演绎推理文新人教A版(2021学年)

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课时规范练33 合情推理与演绎推理基础巩固组1.下面几种推理是合情推理的是（)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是１8０°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是1０0分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出n边形的内角和是(n—2)·180°。

A．①② B.①③ﻩC．①②④ﻩＤ。

②④〚导学号24190７5９〛２。

命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是（)A。

使用了归纳推理B。

使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D。

使用了“三段论”,但小前提错误３。

（2017湖北武昌1月调研，文９)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说:“我没有作案,是丙偷的”;丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷＂;丁说：“乙说的是事实”。

经过调查核实，四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是(）A.甲ﻩＢ。

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第三讲推理与证明（推荐时间：50分钟）一、选择题1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n －2nD ．a n ＝3n －1＋2n －32．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为 ( )A.n n －4＋8－n 8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2 3． “因为指数函数y ＝a x是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误导致结论错4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”；⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )，f 1g 1＋f －1g －1＝52，若有穷数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫f n g n (n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A．4 B．5 C．6 D．76．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2＋k<k＋1，则当n＝k＋1时，k＋12＋k＋1＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋k＋2＝k＋22＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立．则上述证法( ) A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确7．已知a>b>0，且ab＝1，若0<c<1，p＝log a2＋b22，q＝log c(1a＋b)2，则p，q的大小关系是( ) A．p>q B．p<qC．p＝q D．p≥q8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m，1)．给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确结论的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0二、填空题9．已知数列{a n}，a i∈{－1,0,1} (i＝1,2,3，…，2 011)，若a1＋a2＋…＋a2 011＝11，且(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2 011＋1)2＝2 088，则a1，a2，…，a2 011中是1的个数为________．10．给出下列不等式：1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋1 31>52，…，则按此规律可猜想第n个不等式为____________________________________．11．用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)n n，当n＝1时，左边应为________．12．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比AEEB＝ACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是____________．三、解答题13．若数列{a n }的前n 项和S n 是(1＋x )n 二项展开式中各项系数的和(n ＝1,2,3，…)．(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，且c n ＝a n ·b nn{c n }的通项及其前n 项和T n ；(3)求证：T n ·T n ＋2<T n ＋12.14．(2012·大纲全国)函数f (x )＝x 2－2x －3.定义数列{x n }如下：x 1＝2，x n ＋1是过两点P (4,5)、Q n (x n ，f (x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．(1)证明：2≤x n <x n ＋1<3； (2)求数列{x n }的通项公式．答案1．A 2．A 3．A 4．B 5．B 6．D 7．B 8．A 9．3310．1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋1211.－1 12.AE EB ＝S △ACD S △BCD13．(1)解由题意S n ＝2n，S n －1＝2n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －2n －1＝2n －1(n ≥2)．当n ＝1时，21－1＝1≠S 1＝a 1＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 n ＝12n －1n ≥2.(2)解 ∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…，b n －b n －1＝2n －3.以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3) ＝n －11＋2n －32＝(n －1)2.∵b 1＝－1，∴b n ＝n 2－2n .c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2， n ＝1n －2×2n －1， n ≥2.∴T n ＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n －2)×2n －1，① ∴2T n ＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n －2)×2n .② ①－②得，－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －1－(n －2)×2n . ＝21－2n －11－2－(n －2)×2n ＝2n －2－(n －2)×2n＝－2－(n －3)×2n. ∴T n ＝2＋(n －3)×2n .(3)证明 T n ·T n ＋2－T n ＋12＝[2＋(n －3)×2n ]·[2＋(n －1)×2n ＋2]－[2＋(n －2)×2n ＋1]2 ＝4＋2·(n －1)·2n ＋2＋2×(n －3)×2n ＋(n －3)·(n －1)×22n ＋2－[4＋4×(n －2)×2n ＋1＋(n －2)2×22n ＋2]＝2n ＋3＋(n －3)×2n ＋1－22n ＋2 ＝2n ＋1·[(n ＋1)－2n ＋1]．∵2n ＋1>0，∴需证明n ＋1<2n ＋1，用数学归纳法证明如下： ①当n ＝1时，1＋1<21＋1成立． ②假设n ＝k 时，命题成立即k ＋1<2k ＋1，那么，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)＋1<2k ＋1＋1<2k ＋1＋2k ＋1＝2·2k ＋1＝2(k ＋1)＋1成立．由①、②可得，对于n ∈N *都有n ＋1<2n ＋1成立． ∴2n ＋1·[(n ＋1)－2n ＋1]<0.∴T n ·T n ＋2<T n ＋12. 14．(1)证明用数学归纳法证明：2≤x n <x n ＋1<3.①当n ＝1时，x 1＝2，直线PQ 1的方程为y －5＝f 2－52－4(x －4)，令y ＝0，解得x 2＝114，所以2≤x 1<x 2<3.②假设当n ＝k (k ∈N *时，结论成立，即2≤x k <x k ＋1<3.直线PQ k ＋1的方程为y －5＝f x k ＋1－5x k ＋1－4(x －4)，令y ＝0，解得x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1.由归纳假设知x k ＋2＝3＋4x k ＋12＋x k ＋1＝4－52＋x k ＋1<4－52＋3＝3；x k ＋2－x k ＋1＝3－x k ＋11＋x k ＋12＋x k ＋1>0，即x k ＋1<x k ＋2.所以2≤x k ＋1<x k ＋2<3，即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②知对任意的正整数n,2≤x n <x n ＋1<3.(2)解由(1)及题意得x n ＋1＝3＋4x n2＋x n.设b n ＝x n －3，则1b n ＋1＝5b n ＋1，1b n ＋1＋14＝5⎝⎛⎭⎫1b n ＋14，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n ＋14是首项为－34，公比为5的等比数列．因此1b n ＋14＝－34·5n －1，即b n ＝－43·5n －1＋1，所以数列{x n }的通项公式为x n ＝3－43·5n －1＋1.。