§1.3 矢量场的通量及散度
矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量与散度(中文)
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
矢量场的通量及散度
f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
散度 通量
散度通量散度和通量都是物理学中涉及到矢量场的概念。
在理解散度和通量之前，需要先了解矢量场的概念。
矢量场是指在空间中各点都有一个矢量与之对应的场。
“矢量”是指具有大小和方向的物理量，比如速度、力等。
在三维空间中，矢量通常用箭头表示，箭头长度代表矢量的大小，箭头指向代表矢量的方向。
矢量场描述了在空间中每个点的矢量是什么。
散度是描述矢量场的一个物理量。
它表示在一个给定点上的矢量场流出或流入的程度。
可以理解为矢量场的源与汇。
如果在一个点上，矢量场大量流出，则散度为正；如果流入，则散度为负；如果没有流入或流出，则散度为零。
通量则是散度的一种数学描述。
通量表示的是矢量场通过一个给定平面的流量，也可以理解为矢量场与该平面垂直的分量。
通量可以用来衡量矢量场在某个平面上的流动情况。
为了更好地理解散度和通量的概念，可以通过一个具体的例子来说明。
假设有一个假想的空气流场，我们在其中放置了一个球体。
球体内外的空气流动方式可能会有所不同。
在球体表面上，空气可能会流出或者流入。
如果空气大量流出，那么球体内的分子数就会减少，表示散度为正。
反之，如果空气流入球体内，散度就为负。
如果球体内外的空气流动情况相同，则表示散度为零。
与散度不同，通量主要描述的是矢量场通过某个平面的情况。
假设我们取球体表面为一个平面，那么空气流动通过这个平面的通量就是描述空气流动情况的一个量。
如果通量为正，表示有空气流出；如果通量为负，表示有空气流入；如果通量为零，则表示球体内外的空气流动情况相同。
散度和通量是紧密相关的物理量，它们描述了矢量场在空间中的流动情况。
散度描述了在一个给定点上的流出或流入程度，而通量描述了通过某个平面的流动情况。
需要注意的是，散度和通量是不同的概念。
散度是一个矢量场的性质，它是矢量场的一个标量函数；而通量是矢量场与一个平面垂直分量的大小。
在数学上，散度通过向量微积分中的散度算子表示，通量则是矢量场在某个平面上的贡献。
总结起来，散度和通量都是矢量场中重要的物理概念。
矢量场的通量和散度
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
矢量场的通量 散度
divA(r ) Ax Ay Az x y z
(ex
x
ey
y
ez
) z
(ex
Ax
ey
Ay
ez
Az )
A(r )
式中：
(ex
x
ey
y
ez
) z
圆柱坐标系下：
1
(er
r
e
r
ez
) zBiblioteka 哈密顿算符A(r ) 1 (rAr ) 1 A Az
r r r z
球面坐标系下：
(er
散度定理的证明
散度定理的证明
从散度定义有：
A(r ) lim s A(r ) dS lim d
V 0 V
V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为：
V A(r )dV s A(r ) dS
得证！
散度的定义
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA(r ) lim s A(r ) dS
V 0
V
散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数
矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向
二、矢量场的散度 若矢量场A(r ) 分布于空间中，在
空间中取任意曲面S，定义：
A(r ) dS S
为矢量A(r )沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
s A(r ) dS
矢量场的通量
r
e
1 r
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
矢量场的通量及散度.
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
通量和散度的概念
通量和散度的概念通量和散度是物理学中用来描述流过某一表面的物理量的概念。
它们在物理学的各个领域都有着广泛的应用，包括电磁学、流体力学和热力学等。
下面我将详细介绍这两个概念及其相关的理论和应用。
通量是一个贯穿某一表面的物理量的总量。
在物理学中，通量的概念经常用来描述一些物理量在一定时间内通过某一固定面积的流量。
通量可以是质量、能量、电荷等物理量的流量。
它的计算公式为：通量= 流量/ 时间。
通量的单位取决于所描述的物理量，例如，若是质量的通量，则单位为千克/秒；若是能量的通量，则单位为焦耳/秒。
散度是矢量场的一种性质，用来描述线、面、体积上物理量的变化情况。
矢量场是一个在空间中定义了每一个点上值与方向的矢量的场。
散度描述了一个矢量场的源头或汇聚情况，即在某一点上是否有物理量流入或流出这一点。
它的计算公式为：散度=（偏导数x方向上的分量+ 偏导数y方向上的分量+ 偏导数z方向上的分量）。
散度是一种标量场，它的大小和分布描述了物理量的变化情况，正负号则表示物理量流的方向。
如果散度为正，则表示物理量从该点流出；如果散度为负，则表示物理量流入该点；如果散度为零，则表示物理量在该点不变。
通量和散度之间有一个重要的关系，即散度定理。
散度定理是高斯定理的一种特殊形式，它表明通过一个闭合曲面的通量等于该曲面内散度的体积分。
通俗地讲，散度定理说明了通过一个封闭的表面的物理量总量等于该表面内物理量的来源或消耗总量。
散度定理为物理学家提供了一个非常有用的工具，可以利用这个定理来简化复杂的物理问题的计算。
通量和散度在电磁学中具有重要的应用。
在电磁学中，电场和磁场都可以用矢量场的形式来描述。
通量定律和散度定理是电磁场中的两个基本定律。
例如，根据电场的散度定理，通过一个封闭曲面的电场通量等于该曲面内电荷的总量除以真空介电常数。
这个定理为计算电场的分布和与电荷相互作用提供了一种简洁而有效的方法。
类似地，磁场的散度定理也可以用于计算磁场的分布以及与电流的相互作用。
1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度
的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del
ex
x
ey
y
ez
z
当作矢量看待
即
divA
(ex
A dS
divA
lim S
0
散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
6
讨论：
divA
lim
A dS
S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
S
2019/5/30
11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理
Ad A dS
S
而 A的散度为
电磁场与电磁波(第四版)(王家礼) (2)
第一章 矢 量 分 析 1.1.3 标量场的等值面和矢量场的矢量线
在研究场的特性时，以场图表示场变量在空间逐点分布的 情况具有很大的意义。对于标量场，常用等值面的概念来描述。
所谓等值面，是指在标量场j(x，y，z)中，使其函数 j取相同数值的所有点组成的集合，这些点组成一个曲面，该曲
面称为等值面。如温度场的等值面，就是由温度相同的点所组 成的一个曲面，此曲面称为等温面。等值面在二维空间就变为 等值线。如地图上的等高线，就是由高度相同的点连成的一条 曲线。
表该代数量的大小。在物理学中,任意一个代数量一旦被赋予物理
单位,则成为一个具有物理意义的标量,即所谓的物理量,如电压u、 电流i、面积S、体积V等等。
在二维空间或三维空间内的任一点P是一个既存在大小(或称 为模)又有方向特性的量,故称为实数矢量,实数矢量可用黑体A表 示,而白体A表示A的大小(即A的模)。若用几何图形表示,实数矢量 是从原点出发的一条带有箭头的直线段,直线段的长度表示矢量A 的模,箭头的指向表示该矢量A的方向。矢量一旦被赋予物理单位, 便成为具有物理意义的矢量,如电场强度E、磁场强度H、速度v等
(1-2)
若函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处可微，cosα、 cosβ、cosγ为l方向的方向余弦，则函数j=j(x，y，z)在点M0(x0，
y0，z0)处沿l方向的方向导数必定存在，且为
j j cos j cos j cos
l M 0 x
y
z
(1-3)
第一章 矢 量 分 析
A=A(t) 而G[a，b]为A(t)的定义域。矢性函数A(t)在直角坐标系中的三 个坐标分量都是变量t的函数，分别为Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，则 矢性函数A(t)也可用其坐标表示为
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
矢量场的散度和旋度
2. 方向导数 定义：
Δl
M0
r l
M
| lim u
u(M ) u(M0)
l M0
l 0
l
方向导数的概念
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。
• • •
u
l u
l
u
l
r —0— u(M)沿 方向l 增加；
r —0— u(M)沿 方向l 减小；
r —0 — u(M)沿 方向l 无变化。
计算公式：
erxdlydlz
erxdydz
r dSy
r eydlxdlz
r eydxdz
r dSz
erzdlxdly
erzdxdy
z dSz ezdxdy
dz
dS y
eydxdz
dx
o
dy
dSx
exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
体积元
dV dxdydz
2. 圆柱坐标系 坐标变量
,, z
| 概该点念的：g等ra值du面的erl法ul线m方，ax 向其的中单erl位矢量ul，取且得规最定大等值值的面方的向值,增即加过
的方向为正法线方向。
意义：描述标量场在某点的最 大变化率及其变化最大的方向
梯度的表达式：
直角坐标系
gradu
erx
u x
er y
u y
erz
u z
哈密顿算符
r ex
x
A B B A
若
A
B
，则
A B AB
若
A //
B
，则
AB 0
A B
B
AB sin
1.3 矢量场的通量及散度
= f ∇ ⋅ F + ∇f ⋅ F
证明： 设：
r R ∇⋅ 3 = 0 R
r r r ∇ ⋅ ( f F) = f ∇ ⋅ F+ F⋅ ∇f r r 1 1 = 3 ∇⋅ R+ R⋅ ∇ 3 R R ′ r 3 ⎛1⎞ = 3 + R⋅ ⎜ 3 ⎟ ∇R R ⎝R ⎠
r 3 r ⎛ 3 ⎞R = 3 + R⋅ ⎜ − 4 ⎟ = 0 R ⎝ R ⎠R
∇ ⋅ ( f F ) = f ∇ ⋅ F + ∇f ⋅ F
• R 及其模R
∇⋅
R =0 3 R
R≠0
∇ ⋅ ( f F ) = f ∇ ⋅ F + ∇f ⋅ F
证明： 设 f (r) =f (x,y,z) ， F( x,y,z x y z ) = Fx ( x,y,z x y z ) ex+ Fy ( x,y,z x y z ) ey+ Fz ( x,y,z x y z ) ez 则
θ 是矢量F与面元dS 的
法向单位矢量之间的夹角
r r 通量： Ψ = ∫ F ⋅ dS S
r r 若S 为闭合曲面 Ψ = ∫ F ⋅ d S ，可以根据闭合曲面净通量
s
的大小判断闭合面中源的性质，闭合面通量具有检源作用
Ψ = 0 (无源)
Ψ < 0 (有负源)
Ψ > 0 (有正源)
矢量场的闭合面通量
即得
div F = lim
或写成
ΔV →0
∫ F ⋅ d s = ∂F
s
ΔV
∂F x + z + ∂y ∂z ∂x
∂Fy
z Δx c Δy Δz
Fx(x,y,z)
矢量场的通量及散度(教案)
1.3矢量场的通量及散度1.3.1矢量场的概念定义：空间区域V 内的某一物理系统的状态，可以用一个矢量函数F (r ，t )来描述。
对于V 中任意一点r ，若F (r ，t )有确定的值与之对应，则称F (r ，t )是定义于V 区域上的矢量场。
矢量场也有两个特点：①F (r ，t )为空间坐标的函数（点函数），显示单值性；②F (r ，t )要占有一个空间。
矢量场也分恒稳矢量场F (r )和时变矢量场F (r , t )。
矢量场F (r ，t )可用矢量线（简称F 线）来形象地描述。
F 线是带有箭头的空间曲线，其上任一点的切线方向即为该处矢量场的方向，F 线的疏密反映矢量场分布的弱或强，矢量线互不相交。
直角坐标系下矢量场可表为：()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++=(1.3.1)F 线上的任一线元矢量d l 总是与该处的F 共线，有 即则F 线的微分方程zy x F zF y F x d d d == (1.3.2) 1.3.2. 矢量场的通量（1）恒稳液流场v (r )液体流动形成液流场，其中每一点的流动特点用流速v （r ）表示，反映单位时间内流过与该处液流方向垂直的单位面积的液体体积的多少。
恒稳之意是指与时间无关恒稳液流场⇔恒稳流速矢量场v （r ）。
2）流量概念面元矢量：对于S 面上的任意面元d S ，指定其正法向方向，设置正法向单位矢量e n ，确定了正法向方向的面元称为面元矢量，表示为d S =d S e n 。
流量：设面元矢量d S 与该处v 间的夹角为θ，则穿过该面元d S 的元流量为ψd = v n d S = v cos θd S = v ‧d S (1.3.3)累加S 面上所有面元的元流量，得穿过S 面的流量⎰⎰⋅==sS v d d ψψ（1.3.4）推广流量的概念，对于任意闭合面，有v （r ）在闭面S 上的闭合面积分⎰⋅=s d s v ψ（1.3.5）规定闭面上各d S 的方向为外法线方向，上式就表示流出闭面S 的净流量。
通量和散度
1.3.3 散度定理（高斯定理）
表达式：
SA d S V A d V
式中S为V的外表面。 物理含义：
矢量A穿过任一封闭曲面S的总通量等于矢量散度在S 所包围体积V内的体积分。
散度定理的证明：
d iv A l V im 0 1 VS A d S d i v A V l i mA d S
【解】若使A成为一个无源场，即要求 A0
Aaz2xb2xy12zcx2xy (a2)z(2c)xb1 0 解得 a2,b1,c2
A ( 2 x z x 2 ) e x ( x y 2 y ) e y ( z z 2 2 x z 2 x y z ) e z
面，则：
内容小结 掌握通量、散度的物理意义
z h 围成的封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量。
【解】设s1和s2为闭合曲面S的顶部和底部的圆
z
面，则：
r ds r ds r ds
s
s1
s2
s1
rdv
v
s1 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
s2 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
通量指通过该曲面的矢线量，它代表曲面S内存在的通量源。
（3）在矢量场中，若
，称之为有源场， 称为(通量)源密度；
说明流出闭合面的通量小于流入曲面的通量，即闭合面内存在负源（沟）。
矢量场的通量-------通量源
矢量场的通量
1.矢量场的通量-------通量源 （2）散度代表矢量场的通量源的分布特性。
h
3 dv zdxdy zdxdy
v
s1
s2
3πa2h hdxdy 0dxdy
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§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示
对于空间区域V 内的任意一点r ，若有一个矢量F (r )与之对应，我们就称这个矢量函数F (r )是定义于V 的矢量场。
恒稳矢量场F (r ) ，时变矢量场F (r ,t )。
矢量场图--矢量线0
l F =⨯d 其方程为
矢量线的示意图
F 线
F
d l
矢量线
F (x,y,z )=F x (x,y,z ) e x +F y (x,y,z )e y +F z (x,y,z )e z
(F y d z -F z d y )e x +(F z d x -F x d z )e y +(F x d y -F y d x )e z =0F y d z -F z d y =0F z d x -F x d z =0
F x d y -F y d x =0
或
得直角坐标式的矢量线方程
z
y x F z F y F x d d d ==矢量场的直角坐标式为
l F =⨯d
矢量F 沿有向曲面S 的面积分
S
F d ⋅⎰=S Ψ2、通量
矢量F 在面元d S 的面积分为d ψ= F n d s =F cos θd S =F ‧d S 矢量场的通量
若S为闭合曲面，可以根据净通量的大小判断闭合面中源的性质:
⎰⋅
=
s
Ψs
F d
ψ> 0(有正源)
ψ< 0(有负源)ψ= 0(无源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F (x,y,z ) =F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z d s =d y d z e x + d x d z e y + d x d y e z
则通量可写成
⎰
⎰++=⋅=s
z y x s
y
x F z x F z y F Ψd d d d d d d s F
如果包围点P 的闭合面∆S 所围区域∆V 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比的极限存在,我们就将它定义为P 点处F (r )
的散度（divergence ），记作
V
s V ∆⋅⎰→∆s F lim d 03 散度
V
div s
V ∆⋅=
⎰→∆s F F d lim
z
z z z y
y y y x
x x x z z
x,y,z F x,y,z F z x,y,z y y x,y,z F x,y,z F y,z x,y x x x,y,z F x,y,z F x,y,z x e F e F e F ])
()([)(])
()([)(])
()([)Δ(∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈∆+∆∂∂+≈+求边长分别为∆x 、∆y 、∆z 的小平行六面体的通量，其体积∆V =∆x ∆y ∆z 。
根据泰勒极数可知
a c
b
F x (x+∆x,y,z )
F y (x,y+∆y,z )
F z (x,y,z+∆z )x
y
z
o
∆x
∆y
∆z (x,y,z )F x (x,y,z )
F y (x,y,z )
F z (x,y,z )
直角坐标的微分体积
V z
F y F x F y x F y x z z F F z x F z x y y F F z y F z y x x F F z y x z z
z y y y x x
x ∆∂∂+∂∂+∂∂=∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂++∆∆-∆∆∆∂∂+⋅≈⎰
)()]
)[()]
)[()])[(d s
s F z
F y F x F V
div z
y x s
V ∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅=
⎰→∆s F F d lim
z
F y F x F z
y x ∂∂+
∂∂+∂∂=⋅∇F 或写成
即得
a c
b
F x (x+∆x,y,z )
F y (x,y+∆y,z )
F z (x,y,z+∆z )x
y
z
o
∆x ∆y
∆z (x,y,z )F x (x,y,z )
F y (x,y,z )
F z (x,y,z )
直角坐标的微分体积
4、散度的物理意义
•
散度代表矢量场的通量源的分布特性∇• F= 0(无源
）
∇• F= -ρ<0(负源
)
∇• F= ρ>0(正源)•矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；
5、散度运算的几个基本关系式
•相对坐标矢量函数)
(r r F '-F
F ⋅∇'-=⋅∇)
(r r R '-•相对位置矢量
3
=⋅∇R •标量场 f (r ) 和矢量场F (r ) 之积f F
F
F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )(•R 及其模R
03=⋅∇R
R 0
≠R
F
F F ⋅∇+⋅∇=⋅∇f f f )(证明：设
f (r )=f (x ,y ,z )，
F (x,y,z )=F x (x,y,z )e x + F y (x,y,z )e y + F z (x,y,z )e z
则
)
()()(z z y y x x z y x fF fF fF z y x f e e e e e e F ++⋅∂∂
+∂∂+∂∂=⋅∇)()()(z y x F f z
F f y F f x ∂∂
+∂∂+∂∂=)
()()(z f
F z F f y f F y F f x f F x F f z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)
()(z
f F y f F x f F z F y F x F f z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=F
F ⋅∇+⋅∇=f f
03=⋅∇R
R R
F =3
1R f =
证明：设：
f
f f ∇⋅+⋅∇=⋅∇F F F )(3311R
R ∇⋅+⋅∇=R R R R R ∇'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅+=3313R 03343=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=R
R R R R
x y a
z b S 1
o
S 5S 4S 3S 2
例3
已知F (x,y,z ) =yz e x +xz e y +xyz e z ，试求它穿过闭合面的部
分圆柱面S 1的通量。
x = a cos α，y =a sin α
S 1上的F 写成F =az sin αe x + az cos αe y + a 2z sin αcos α
e z
因d s 1=a d αd z e n
则
F ‧d s 1=[a 2z sin α（e x ‧e n ）+a 2z cos α（e y ‧e n ）
+ a 3z sin αcos α（e z ‧e n ）]d αd z =2a 2z sin αcos αd αd z
2
sin 2
d cos sin )]d d 2(cos sin [d 2
2/2
/2
22
22
2b
2
/2
11
b a b
a b
a z z a s =
===⋅⎰
⎰⎰⎰
πππα
αααα
ααs F 所以
解
在S 1面上有圆的参数方程：
d α
d z
αx
y e n d s
z
b
S 1a d αo π/2S 5
S 4
S 3
S 2。