§1.3 矢量场的通量及散度

F F
• 相对位置矢 量
R(r r )
R3
• 标量场 f (r) 和矢量场 F(r) 之积 f F
( f F ) f F f F
• R 及其模R

R 0 3 R
R0
( f F ) f F f F
证明： 设 f (r) =f (x,y,z) ，
矢量场的直角坐标式为
F(x,y,z) = Fx (x,y,z) ex + Fy (x,y,z) ey + Fz (x,y,z) ez
(Fy dz Fz dy) ex + (Fz dx Fx dz ) ey + (Fx dy Fy dx) ez = 0 或 Fy dz Fz dy = 0 Fz dx Fx dz = 0
F ( x,y,z) Fx ( x Δx,y,z) [ Fx ( x,y,z) x x] e x x Fy ( x,y,z) F y ( x,y y,z) [ Fy ( x,y,z) y ] e y y Fz ( x,y,z z ) [ Fz ( x,y,z) Fz ( x,y,z) z ] e z z
例3
已知 F( x,y,z ) =yzex+xz ey+xyz ez ，试求它穿过闭合面的部
y y S1 S1 dz o ad o S S2 2
分圆柱面S1的通量。
解 在S1面上有圆的参数方程： x = acos ， y = asin
S S44
en d s xx bb
S1上的F 写成 F= azsinex+ azcos ey+ a2zsincos ez 因 则 ds1=addz en
则通量可写成
Ψ F d s Fx dydz Fy dxdz Fz dxdy
s s


3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通 量与体积之比的极限 lim s F d s 存在,我们就将它定义为P 点处F(r) Fz(x,y,z+z) V 0 V 的散度（divergence）， 记作
s
断闭合面中源的性质:
= 0 (无源)
< 0 (有负源)
> 0 (有正源)
矢量场的闭合面通量
在直角坐标系中，设
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z )ex+ Fy ( x,y,z )ey+ Fz ( x,y,z )ez ds = dydz ex+ dxdz ey+ dxdy ez
Fx(x+x,y,z) y
直角坐标的微分体积
4、散度的物理意义 • 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性
• F= 0 (无源）
• F= 0 (正源)
• F= 0 (负源)
5、散度运算的几个基本关系式
• 相对坐标矢量函数 F (r r )
§1.3 矢量场的通量及散度
1、矢量场定义及图示 对于空间区域V内的任意一点r，若有一个矢量F(r)与之对 应，我们就称这个矢量函数F(r)是定义于V 的矢量场。 恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。 矢量场图 -- 矢量线 其方程为
F
F线
F d l 0
dl
矢量线的示意图
F d l 0
f F f F

证明： 设：
R 0 3 R
1 f R3
FR
( f F ) f F F f
1 1 3 R R 3 R R 3 1 3 R 3 R R R
3 3 R 3 R 4 0 R R R
F( x,y,z ) = Fx ( x,y,z ) ex+ Fy ( x,y,z ) ey+ Fz ( x,y,z ) ez 则
( f F ) ( e x e y e z ) ( fFx e x fFy e y fFz e z ) x y z ( f Fx ) ( f Fy ) ( f Fz ) x y z Fy Fx f f Fz f (f Fx ) ( f Fy ) ( f Fz ) x x y y z z Fx Fy Fz f f f f( ) ( Fx Fy Fz ) x y z x y z
Fx dy Fy dx = 0
得直角坐标式的矢量线方程
dy dx dz Fx Fy Fz
矢量线
2、通量
矢量 F 在面元dS 的面积分为 d = Fnds =Fcos dS = F‧dS 矢量 F沿有向曲面S 的面积分
Ψ S F d S
矢量场的通量
若S 为闭合曲面 Ψ F d s ，可以根据净通量的大小判
2 0 0
/2
b
a 2b 2
/2
0
a 2b 2 sincosd sin 2 2
/2
0
a 2b 2 2
zz
/2 a
d
S S3 3
S S 55
F‧ds1=[ a2zsin（ex‧en）+a2zcos（ey‧en） + a3zsincos（ez‧en）] ddz = 2a2zsin cos ddz
所以

s1
F d s1 [a sincos ( 2 zdz )]d
直角坐标的微分体积

Fy Fx F ds [( Fx x)yz Fx yz )] [( Fy y)xz Fy xz )] x y s Fz [( Fz z )xy Fz xy)] z Fx Fy Fz ( )V x y z
即得
div F lim
或写成
V 0

s
Fd s V

Fx F z x y z
z z a o
Fy
Fz(x,y,z+z) x c
y
Fz(x,y,z)
(x,y,z) Fy(x,y,z)
Fx Fz F x y z
x
Fy
Fx(x,y,z)
b Fy(x,y+y,z)
div F
V 0
F d s lim
s
x z a o
c
y
Fz(x,y,z)
(x,y,z) Fy(x,y,z)
V
z
求边长分别为x、y、z 的小平行六面 体的通量，其体积V=xyz 。 根据泰勒极数可知
xБайду номын сангаас
Fx(x,y,z)
b Fy(x,y+y,z)
Fx(x+x,y,z) y