选修1命题与量词2
新教材高中数学第一章命题与量词课后篇巩固提升含解析新人教B版必修第一册
新教材高中数学新人教A 版选择性必修第一册：1.2 常用逻辑用语1.2.1 命题与量词课后篇巩固提升合格考达标练1.(多选题)(2021黑龙江哈尔滨第六中学期末)下列命题为假命题的是( )A.若P={y|y=x 2},Q={x|y=x 2},则P ⊆QB.若集合A={(x ,y )|y=x-1},B={(x ,y )|y=-x 2+1},则A ∩B={-2,1}C.任何集合都有真子集D.若A ∩B=⌀,则A ,B 至少有一个为空集{y|y=x 2}=[0,+∞),Q={x|y=x 2}=R ,则P ⊆Q ,所以A 正确;若集合A={(x ,y )|y=x-1},B={(x ,y )|y=-x 2+1},由{y =x -1,y =-x 2+1,解得{x =-2,y =-3或{x =1,y =0,则A ∩B={(-2,-3),(1,0)},所以B 不正确;空集没有真子集,所以C 不正确;若A ∩B=⌀,则A ,B 至少有一个为空集或A ,B 两个集合中没有相同的元素,所以D 不正确.故选BCD .2.下列四个命题既是存在量词命题又是真命题的是( )A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x ,使x 2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x ,使1x >2中锐角三角形的内角是锐角或钝角是假命题;B 中x=0时,x 2=0,所以B 是存在量词命题又是真命题;C 中因为√3+(-√3)=0,所以C 是假命题;D 中对于任何一个负数x ,都有1x <0,所以D 是假命题. 3.用符号“∀”或“∃”表示含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0,符号表示为 ;(2)存在一对实数x ,y ,使2x+3y+3>0成立,符号表示为 .∀x ∈R ,有x 2≥0 (2)∃x ,y ∈R ,使2x+3y+3>0成立4.(2020江苏连云港高一检测)若“∃x ∈R ,x 2+2x-a<0”是真命题,则实数a 的取值范围是 .-1,+∞)“∃x ∈R ,x 2+2x-a<0”是真命题,则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1.则实数a 的取值范围为(-1,+∞).5.判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题,并判断其真假.(1)存在一个三角形,其内角和不等于180°.(2)对所有的实数a ,b ,方程ax+b=0都有唯一解.(3)存在实数x ,使得1x 2-x+1=2.是存在量词命题,是假命题.(2)是全称量词命题,是假命题.(3)是存在量词命题,是假命题.等级考提升练6.(2021江西宜春高安中学高二期末)设非空集合M ,N 满足M ∩N=N ,则( )A.∃x ∈N ,有x ∉MB.∀x ∉N ,有x ∈MC.∃x ∉M ,有x ∈ND.∀x ∈N ,有x ∈MM ∩N=N ,所以N ⊆M ,所以∀x ∈N ,有x ∈M.故选D .7.(多选题)下列命题中是真命题的是( )A.∀x ∈R ,2x 2-3x+4>0B.∀x ∈{1,-1,0},2x+1>0C.∃x ∈N ,使√x ≤xD.∃x ∈N *,使x 为29的约数A,这是全称量词命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x 2-3x+4>0恒成立,故A 为真命题;对于B,这是全称量词命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故B 为假命题;对于C,这是存在量词命题,当x=0时,有√x ≤x 成立,故C 为真命题;对于D,这是存在量词命题,当x=1时,x 为29的约数成立,所以D 为真命题.8.(2020山东济南高一月考)下列命题中,既是真命题又是全称量词命题的是( )A.至少有一个x ∈Z ,使得x 2<3成立B.对任意a ,b ∈R ,都有a 2+b 2≥2(a+b-1)C.∃x ∈R ,√x 2=xD.菱形的两条对角线长度相等A,因为02<3,0∈Z ,所以至少有一个x ∈Z ,使得x 2<3成立,是真命题,不是全称量词命题; 对于B,因为a 2+b 2-2(a+b-1)=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以B 为真命题,又因为任意a ,b ∈R 都使命题成立,故本命题符合题意;对于C,当x ≥0,√x 2=x 成立,是真命题,不是全称量词命题;对于D,并不是所有的菱形对角线长度都相等,是假命题.9.已知命题“存在x ∈R ,使ax 2-x+2≤0”是假命题,则实数a 的取值范围是 .答案18,+∞“存在x ∈R ,使ax 2-x+2≤0”是假命题,所以命题“∀x ∈R ,使得ax 2-x+2>0”是真命题,当a=0时,得x<2,故命题“∀x ∈R ,使得ax 2-x+2>0”是假命题,不合题意;当a ≠0时,得{a >0,Δ=1-8a <0,解得a>18. 10.(1)已知对任意的x ∈{x|1≤x ≤3},都有m ≥x ,求实数m 的取值范围.(2)已知存在实数x ∈{x|1≤x ≤3},使m ≥x ,求实数m 的取值范围.由于对任意的x ∈{x|1≤x ≤3},都有m ≥x ,故只需m 大于或等于x 的最大值,即m ≥3.实数m 的取值范围为[3,+∞).(2)由于存在实数x ∈{x|1≤x ≤3},使m ≥x ,故只需m 大于或等于x 的最小值,即m ≥1.实数m 的取值范围为[1,+∞).新情境创新练11.(2020北京高一月考)在平面直角坐标系xOy 中,设Ω为边长为1的正方形内部及其边界的点构成的集合.从Ω中的任意点P 作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M P ,N P .所有点M P 构成的集合为M ,M 中所有点的横坐标的最大值与最小值之差记为x (Ω);所有点N P 构成的集合为N ,N 中所有点的纵坐标的最大值与最小值之差记为y (Ω).给出以下命题:①x (Ω)的最大值为√2;②x (Ω)+y (Ω)的取值范围是[2,2√2];③x (Ω)-y (Ω)恒等于0.其中正确结论的序号是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③,根据正方形的对称性,设正方形的初始位置为正方形OABC ,画出图形,如下图所示:正方形的边长为1,所以正方形的对角线长为√2. 当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时,可以发现当对角线OB 在横轴时,如图所示,x (Ω)的最大值为√2,故结论①正确;此时x (Ω)=√2,y (Ω)=√2,所以有x (Ω)+y (Ω)=2√2,当正方形OABC 绕O 顺时针旋转时,当正方形有一边在横轴时,x (Ω),y (Ω)有最小值为1,即x (Ω)=1,y (Ω)=1,所以x (Ω)+y (Ω)有最小值为2,故结论②正确;又因为在旋转过程中(以旋转的角θ∈[0°,45°]为例),x (Ω)=√2cos(45°-θ),y (Ω)=√2cos(45°-θ),所以x (Ω)=y (Ω),所以x (Ω)-y (Ω)恒等于0,故结论③正确.。
高中数学选修1-1、1-2、4-4知识点高考复习总结
选修1－1、1-2数学知识点 选修1－1数学知识点第一章 简单逻辑用语1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ⌝，则q ⌝” 逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”4、四种命题的真假性之间的关系：（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．利用集合间的包含关系： 例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；6、逻辑联结词：⑴且(and ) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ⌝.p q p q ∧ p q ∨ p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。
⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；第二章 圆锥曲线与方程1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程()222210x y a b a b +=>> ()222210y x a b a b +=>>范围a x a -≤≤且b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤顶点()1,0a A -、()2,0a A()10,b B -、()20,b B()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c焦距 ()222122F F c c a b ==-对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称离心率()22101c b e e a a==-<<3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
高中数学选修1-1知识点总结归纳(经典版)
高中数学选修1-1知识点总结归纳（经典版）常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题1、命题：一般地，在数学中我们把语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。
2、命题的构成：在数学中，命题通常写成“若p ，则q ”的形式。
其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。
1.1.2 四种命题3、互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们这样的两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆命题为“若q ，则p ”.4、互否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，，那么另一个叫做原命题的否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、互逆否命题：一般地，对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题。
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
如果原命题为“若p ，则q ”，则它的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”. 6、以上总结概括：1.1.3 四种命题间的相互关系7、四种命题间的相互关系：一般地，原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题之间的相互关系：8、四种命题的真假性：一般地，四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题和互否命题，它们有相同的真假性；（2）两个命题为互逆否命题或互否命题，它们的真假性没有关系。
1.2 充要条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件1、充要条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q .这时，我们就说，由p 可推出q ，记作p q ⇒，并且说p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。
人教B版高中数学必修第一册 1-2-1《命题与量词》课件PPT
（2）含有存在量词“有些”，是存在量词命题.
（3）含有存在量词“有些”，是存在量词命题.
（4）含有存在量词“至少有一个”，是存在量词命题.
1.命题真假的判断
例1 判断下列命题的真假.
（1）∀ ∈ ，2 + 4 > 0.（2）∀ ∈ {1， − 1，0}，2 + 1 > 0.
解 （1）这是全称量词命题，∵
（7）-2不是整数.（8）4>3.
【解】
（1）是疑问句，不能判断真假，不是命题.（2）是命题，是假命题.
（3）是开语句，无法判断真假，不是命题.
（4）和（5）都是祈使句，不能判断真假，不是命题.（6）是感叹句，不能判断真假，不是命题.
（7）是命题，是假命题.（8）是命题，是真命题.
量词——全称量词及全称量词命题
（2）∀ ∈N，2 > 0.
（3）∀ ∈Q，32 + 6 − 1是有理数.
1
量词——存在量词及存在量词命题
存在
量词
存在
定义
符号表示
定义
“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或
部分，称为存在量词
∃
含有存在量词的命题，称为存在量词命题
量词 一般形式 存在集合中的元素，（）
求的取值范围.
解：当为真命题时， ≥ 6或 ≤ −1.
当为真命题时， > −1.又是假命题，∴ ≤ −1.
故当是真命题且是假命题时，的取值范围为 ≤ −1.
反思感悟
已知含参命题的真假，求参数的思路
此类型题目一般与不等式相结合.
求解此类型题目的思路往往是在给出命题真假的前提下，分别求出各命题中参数
课堂小结
课件2：1.1 命题与量词
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它 的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. (2)若整数a是素数,则a是奇数.
(3)对于任意的实数a,都有a2+1>0.
(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.
例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它 的真假。
第一章 常用逻辑用语
1.1 命题与量词
一、命题
1.定义：能判断真假的语句叫做命题. 2.如何判断某个语句是否命题？ 首先，要看这个句子的句型.
一般的，陈述句，反意疑问句是命题，疑问句、祈使 句、感叹句都不是命题. 其次，要看能否判断真假，也就是判断其能否成立. 不能判断真假的语句不能叫命题.
特别地：在数学或其他科学技术中的一些猜想仍 是命题. 3.命题的表示方法：
(4)每一个向量都有方向.
(3)全称命题.
x R, x x 1
(4)全称命题. 向量a, a有方向
练习1.用量词“ ”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
XR,x能写成小数形式
(2)凸多边形的外角和等于2π
X {x|x是凸n边形},x的外角和等于2
（3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数
x M,p(x)
短语“有一个”或“至少有一个”在陈述中也表示 数量，逻辑中通常叫做存在性量词，并用符号
“ ”表示.含有存在性量词的命题叫做存在性命
题. 定义：2.存在性命题就是某集合中有（存在）一些 元素具有某种性质的命题.
设q(x)是某集合M的有些元素x具有的性质,那么存在性 命题就是形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题.简
记为：x M,q(x)
新教材高中数学必修一第一章 1.2.1 命题与量词
§1.2常用逻辑用语1.2.1命题与量词学习目标1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．知识点一命题的概念知识点二全称量词和存在量词1．“这盆花长得太好了！”是命题．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(×)4．在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(×)5．“四边形的内角和是360°”是全称量词命题．(√)一、全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于或等于零；(2)存在实数x，满足x2≥2；(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．解(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直．(4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．反思感悟判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．跟踪训练1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；(2)有的一次函数图像经过原点；(3)所有的二次函数的图像的开口都向上．解(1)全称量词命题．表示为∀x∈R，x2＋x＋1>0.(2)存在量词命题．∃一次函数，它的图像过原点．(3)全称量词命题．∀二次函数，它们的图像的开口都向上．二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；(3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2；(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.解(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．(3)存在a＝－5，b＝－3，a<b，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．反思感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法(1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．跟踪训练2判断下列命题的真假．(1)∀x∈R，x2＋1>0；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)∀x∈N，x2>0.解(1)因为x2＋1≥1>0，所以命题是真命题．(2)真命题，如梯形．(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数例3已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．解∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立．又y＝2x－1－m在[1,2]上的最小值为1－m.∴1－m≥0.解得m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．延伸探究若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解∵“∃x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上有解．函数y＝2x－1－m在[1,2]上的最大值是2×2－1－m＝3－m.∴3－m≥0，故m≤3.∴实数m的取值范围是(－∞，3]．反思感悟应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．跟踪训练3(1)是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)>0成立，求实数m的取值范围．解(1)不等式m＋x2－2x＋5>0可化为m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.(2)不等式m－(x2－2x＋5)>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>t min.又t＝(x－1)2＋4，∴t min＝4，∴m>4.所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．1．下列命题不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．我班绝大多数同学是团员D．每一个方程都有实数解答案 C解析“我班绝大多数同学是团员”，即“我班有的同学不是团员”，是存在量词命题．2．给出下列命题：①存在实数x>1，使x2>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．其中存在量词命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．3．下列是存在量词命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x3>0 B．∃x∈Z，x2>2C．∀x∈N，x2∈N D．∃x，y∈R，x2＋y2<0答案 B解析对于A，∀x∈R，x3>0是全称量词命题，不合题意；对于B，∃x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，∀x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，∃x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．4．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②平行四边形是梯形；③若x，y互为相反数，则x＋y＝0，其中真命题为________．答案①③解析①是真命题；②平行四边形不是梯形，假命题；③是真命题．5．命题p：∃x∈R，x2＋2x＋5＝0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题．(填“真”或“假”)答案存在量词命题假解析命题中含有量词“∃”，故为存在量词命题．又Δ＝22－4×5＝－16<0，故方程x2＋2x＋5＝0无实根，即命题为假命题．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的概念．(2)含量词的命题的真假判断．(3)通过含量词的命题的真假求参数．2．方法归纳：转化与化归、分离参数法．3．常见误区：有些命题省略了量词，全称量词命题强调“整体、全部”，存在量词命题强调“个别、部分”．1．(多选)对语句：“如果x>1，那么x>2”，下列判断正确的是() A．不是命题B．是命题C．是假命题D．是真命题答案BC解析能够判断真假，所以是命题，而且x>1不一定有x>2，∴是假命题．2．(多选)下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是() A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任意一个x∈R，使得x2>3D．所有x∈R，使得x2>3答案CD3．存在量词命题“存在实数x，使x2＋1<0”可写成()A．若x∈R，则x2＋1>0B．∀x∈R，x2＋1<0C．∃x∈R，x2＋1<0D．以上都不正确答案 C解析存在量词命题中“存在”可用符号“∃”表示．4．(多选)下列命题中是存在量词命题的是()A．有些自然数是偶数B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除D．存在一个x0∈R，满足|x0|≥0.答案AD解析命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题D是存在量词命题．5．下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．当k>0时，一次函数y＝kx＋b在R上y随x的增大而增大答案 D解析A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，所以是假命题；B，D中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“任意的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是存在量词命题．6．有下列命题：①有的质数是偶数；②与同一条直线平行的两条直线平行；③有的三角形有一个内角为60°；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．其中是全称量词命题的为________，是存在量词命题的为________．(填序号)答案②④①③解析①③是存在量词命题，②④是全称量词命题．7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为________．答案∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0解析存在量词命题“存在M中的元素x，使s(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，s(x)”．8．试判断下列全称量词命题的真假：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③对任意x，y，都有x2＋y2≠0.其中真命题的个数为________．答案 1解析①由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．②由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．③当x ＝y ＝0时，x 2＋y 2＝0，所以是假命题．9．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．(1)所有实数x 都能使x 2＋x ＋1>0成立；(2)对所有实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0恰有一个解；(3)一定有整数x ，y ，使得3x －2y ＝10成立；(4)所有的有理数x 都能使13x 2＋12x ＋1是有理数． 解 (1)∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0；真命题．(2)∀a ，b ∈R ，ax ＋b ＝0恰有一解；假命题．如当a ＝0，b ＝0时，该方程的解有无数个．(3)∃x ，y ∈Z,3x －2y ＝10；真命题．(4)∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；真命题． 10．已知命题p ：∀x ∈R ，函数y ＝ax 2＋2x ＋3的图像总在x 轴上方是真命题，求实数a 的取值范围．解 命题p 为真命题，①当a ＝0时，一次函数y ＝2x ＋3的图像总在x 轴上方，显然不能恒成立；②当a ≠0时，由二次函数y ＝ax 2＋2x ＋3的图像总在x 轴上方，得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝22－4×a ×3<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a >13，∴a >13. 综上，a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a >13.11．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则下列选项正确的是()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以A，C，D错误，B正确．12．(多选)下列结论中错误的是()A．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题B．∀n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题C．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题D．∃n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题答案ABD解析当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C项正确．13．若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，则实数a的取值范围为________．答案{a|a<1}解析当a≤0时，显然存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0；当a>0时，需满足Δ＝4－4a2>0，得－1<a<1，故0<a<1.综上所述，实数a的取值范围是a<1.14．命题p：任意x∈R，一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，若命题p为真命题，则实数b的取值范围是________．答案(－∞，0]解析因为一次函数y＝－2x＋b的图像都不经过第一象限，则b≤0.所以实数b的取值范围为(－∞，0]．15．命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是() A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1) D．[－1,1]答案 A解析由命题p：“∀x∈[1,2]，2x2－x－m>0”为真命题，即对于∀x∈[1,2]，m<2x2－x恒成立，得m<(2x2－x)min＝1，所以m<1.16．已知函数y1＝x21，y2＝－2x2－m，若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围．解因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}，又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，解得m≥－4，所以m的取值范围为[－4，＋∞)．。
第2节 命题与量词、全称量词命题与存在量词命题的否定
作“___綈__p_”.
索引
2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事 物的全体，称为全称量词，用符号“___∀_”表示. (2)存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个 体或部分，称为存在量词，用符号“∃”表示.
索引
5.(2020·合肥调研)能说明命题“∀x∈R 且 x≠0，x＋1x≥2”是假命题的 x 的值可
以是__－___1_(_任__意___负__数__)____(写出一个即可).
解析 当 x>0 时，x＋1x≥2，当且仅当 x＝1 时取等号， 当 x<0 时，x＋1x≤－2，当且仅当 x＝－1 时取等号， ∴x的取值为负数即可，例如x＝－1.
索引
2
考点分层突破
考点聚焦
题型剖析
考点一 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
师生共研
【例 1】 (1)(多选题)(2021·德州模拟)下列四个命题中为真命题的是
A.∃x0∈(0，＋∞)，12x0＜13x0 B.∃x0∈(0，1)，log x0＞log x0 C.∀x∈(0，＋∞)，21x＞log x D.∀x∈0，13，12x＜log x
索引
【训练1】 (1)(多选题)下列命题中是真命题的有 A.∀x∈R，2x－1＞0
( ACD )
B.∀x∈N*，(x－1)2＞0
C.∃x0∈R，lg x0＜1 D.∃x0∈R，tan x0＝2 解析 当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD.
索引
【训练1】(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是
人教高中数学B版必修一 第一章 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定
第一章 集合与常用逻辑用语
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
q
¬q
结论
全称量词命题 ∀x∈M，q(x)
∃x∈M，¬q(x)
全称量词命题的否定 是____存__在__量__词__命__题____
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
__∀_x_∈__M__，__¬_p_(x_)___
存在量词命题的否定 是___全__称__量__词__命__题____
[注意] 全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存 在量词一般不能省略．
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
1．给出下列命题： ①存在实数 x＞1，使 x2＞1； ②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a，使 ax2－ax＋1＝0 的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
第一章 集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
考点
学习目标
核心素养
理解全称量词、全称量词命 全称量词命题与存在
题的定义，理解存在量词、 数学抽象 量词命题的定义
存在量词命题的定义
全称量词命题与存在 掌握判断全称量词命题与 量词命题的真假判断 存在量词命题真假的方法
栏目 导引
第一章 集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在 M 中找到一
个 x，使得 q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对 M 中的
每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成
1.2.1命题与量词(上课用)
判断存在性命题的真假：
（1）有一个实数x，使x2+2x+3=0;
假
（3）有些数只有两个正因数;
真
（4）存在实数x，使 x2 2x ≤0; 真
（5）存在整数x能被3和5都整除. 真
用量词符号表示下列命题： x R, | x | 0 （1）任意一个实数的绝对值都是非负数；
（2）存在一个自然数x，使 x2 6x 8是负数.
一个命题，一般可以用一个小写英文字
母来表示，如：p，q，r，…….
例1 判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命
题？(1)空集是任何集Fra bibliotek的子集;真命题
(2)若整数a是素数，则a是奇数;
假命题
(3) 22 2 ;
真命题
(4)x2+2x>0
(5)祝大家新年快乐！
判断 一个语句是不是命题，关键判断：（1）是否为陈 述句；（2）能否判断真假。
x N, x2 6x 8 0
3.“任何一个三角形的三条高线都交于一点” 是一个_____性命题（填“全称”、“存在”） 它是一个_____命题. （填“真”、“假”）
4.判断下列命题的真假：
（1） x Q, x2 Q
真
（2） x R, 4x2 12x 9 0 假
（3） x N, x x
p1 : x Z, p(x); 假
p2 : x Z, q(x); 真
p3 : x Z, p(x)
真
p4 : x Z, q(x)
真
典例分析
• 例1：用量词符号表示下列命题： （1）对任意实数x，都有x3>x2;
（2）存在凸n边形，它的内角和等于2
x R, x3 x2
高二数学选修1-1第一章常用逻辑用语
常用逻辑用语一、命题及其关系考点：要点1．命题：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可以推断真假的陈述句叫做命题．其中推断为真的语句叫做真命题，推断为假的语句叫做假命题．要点2．四种命题：(1)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用￢p和￢q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若￢p，则￢q；逆否命题：若￢q，则￢p．要点3.四种命题的关系：互为逆否的两个命题同真假.考点1. 命题及其真假推断：例1、推断下列语句是否是命题？若是，推断其真假并说明理由。
1）x>1或x=1；2）假如x=1，那么x=33)x2-5x+6=0； 4)当x=4时,2x＜0； 5)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?6)矩形莫非不是平行四边形吗? 7)矩形是平行四边形吗？；8)求证:若x∈R,方程x2-x+1=0无实根.解析：1）不是，x值不确定。
2）是，假命题3）不是命题.因为语句中含有变量x,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假.同样如“2x＞0”也不是命题.4)是命题.它是作出推断的语言,它是一个假命题.5)不是命题.因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线平行作出推断,疑问句不是命题.6)是命题.通过反意疑问句对矩形是平行四边形作出了推断,它是真命题.7)不是.不是陈述句8)不是命题.它是祈使句,没有作出推断.如“把门关上”是祈使句,也不是命题.练一练： 1. 推断下列语句是不是命题。
（1）2+22是有理数；（2）1+1>2；（3）2100是个大数；（4）986能被11整除；（5）非典型性肺炎是怎样传播的？ （6）（6）x ≤3。
2. 推断下列语句是不是命题。
（1）矩形莫非不是平行四边形吗？ （2）垂直于同一条直线的两条直线平行吗？ （3）一个数不是合数就是质数。
（4）大角所对的边大于小角所对的边； （5）y+x 是有理数，则x 、y 也是有理数。
数学选修一第一章知识点总结
数学选修一第一章知识点总结一、命题与量词1. 命题定义：能够判断真假的语句叫做命题。
分类：真命题：判断为真的命题。
假命题：判断为假的命题。
一般形式：“若，则”，其中叫做命题的条件，叫做命题的结论。
2. 量词全称量词定义：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。
全称命题：含有全称量词的命题。
例如，“”，它表示对于集合中的任意一个元素，都有成立。
存在量词定义：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。
特称命题：含有存在量词的命题。
例如，“”，它表示在集合中存在一个元素，使得成立。
二、基本逻辑联结词1. “且”（）定义：设是两个命题，则“”表示和同时成立。
真假判断：当都为真时，为真；当中有一个为假时，为假。
2. “或”（）定义：设是两个命题，则“”表示或者成立。
真假判断：当中有一个为真时，为真；当都为假时，为假。
3. “非”（）定义：设是一个命题，则“”表示的否定。
真假判断：当为真时，为假；当为假时，为真。
三、充分条件、必要条件与充要条件1. 充分条件定义：如果，那么称是的充分条件，即“若，则”为真命题时，是的充分条件。
2. 必要条件定义：如果，那么称是的必要条件。
理解：成立时必须成立，是成立的必要前提。
3. 充要条件定义：如果且，那么称是的充分必要条件（简称充要条件），记作。
判断方法：定义法：判断与是否成立。
集合法：设，，若，则是的充要条件；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件。
学案2：1.2.1 命题与量词
1.2.1命题与量词教材新知知识点一全称量词和全称量词命题提出问题观察下列语句：(1)2x是偶数；(2)对于任意一个x∈Z，2x都是偶数．(3)所有的三角函数都是周期函数．问题1：以上语句是命题吗？问题2：上述命题中强调的是什么？导入新知全称量词和全称量词命题全称命题是强调命题的一般性，是对于某一个给定集合的所有元素是否具有某种性质来说的.知识点二存在量词与存在量词命题提出问题观察下列语句：(1)存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；(2)至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．问题1：以上语句是命题吗？问题2：上述命题有什么特点？导入新知存在量词和存在量词命题存在量词命题是强调命题的存在性，是对于某一个给定集合的某些元素是否具有某种性质来说的．知识点三含有一个量词的命题的否定提出问题观察下列命题：(1)有的函数是偶函数；(2)三角形都有外接圆．问题1：上述命题是全称命题还是存在量词命题？问题2：上述命题的量词各是什么？其量词的“反面”是什么？化解疑难一般命题的否定通常是保留条件否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词．常考题型题型一全称量词命题与存在量词命题例1判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)矩形的对角线不相等；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．类题通法判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．活学活用用全称量词或存在量词表示下列语句：(1)不等式x 2＋x ＋1＞0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数； (3)等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β对有些角α，β成立；(4)方程3x －2y ＝10有整数解．题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假例2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；(2)存在一个x 0∈R ，使1x 0－1＝0； (3)存在一组m ，n 的值，使m －n ＝1；(4)至少有一个集合A ，满足A{1,2,3}．类题通法(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M 中，能找到一个x 0使p (x 0)成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题．活学活用判断下列命题的真假：(1)p ：所有的单位向量都相等；(2)p ：任一等比数列{a n }的公比q ≠0；(3)p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋3≤0.题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定例3 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋6≤0；(4)s ：至少有一个实数x ，使x 3＋1＝0.类题通法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词， 同时否定结论．(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．活学活用判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定：(1)有一个奇数不能被3整除；(2)∀x ∈Z ，x 2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．题型四全称量词命题与存在量词命题的应用例4若命题“∀x∈[－1，＋∞)，x2－2ax＋2≥a”是真命题，求实数a的取值范围．类题通法应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．活学活用若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，求实数a的取值范围．随堂即时演练1．下列全称量词命题为真命题的是()A．所有的素数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．所有的能被5整除的整数，其末位数字都是52．命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∈/(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∈/(0，＋∞)，ln x0＝x0－13．命题p：∃x0∈R，x20＋2x0＋5＜0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________(填“真”或“假”)命题，它的否定为p：______________.4．若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________________．5．已知p：存在正实数x，使x2＋mx＋1＝0成立．若p是假命题，求实数m的取值范围．参考答案教材新知知识点一全称量词和全称量词命题提出问题问题1：提示：(1)不是命题，(2)(3)是命题．问题2：提示：(2)强调“任意一个x∈Z”，(3)强调“所有的三角形”．导入新知所有的 任给 每一个 对一切 ∀ 全称量词 ∀x ∈M ，p (x )知识点二 存在量词与存在量词命题提出问题问题1：提示：都是命题．问题2：提示：两命题中变量x 0取值有限制，即“存在一个x 0∈R ”，“至少有一个x 0∈R ”． 导入新知存在一个 至少有一个 有一个 对某个 有些 ∃ 存在量词 ∃x 0∈M ，p (x 0)知识点三 含有一个量词的命题的否定提出问题问题1：提示：(1)是存在量词命题，(2)是全称量词命题．问题2：提示：有的；所有的．所有的；存在一个．常考题型题型一 全称量词命题与存在量词命题例1 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．(4)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．活学活用解：(1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1＞0成立．(2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数． (3)存在角α，β，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(4)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立.题型二 全称量词命题、存在量词命题的真假例2 解：(1)是全称命题．因为对任意自然数x,2x ＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x 0∈R ，使1x 0－1＝0成立，所以该命题是假命题． (3)是存在量词命题．当m ＝4，n ＝3时，m －n ＝1成立，所以该命题是真命题．(4)是存在量词命题．存在A ＝{3}，使A{1,2,3}成立，所以该命题是真命题．活学活用解：(1)p 是全称量词命题，是假命题．若两个单位向量e 1，e 2方向不相同，虽然有|e 1|＝|e 2|＝1，但e 1≠e 2.(2)p 是全称量词命题，是真命题．根据等比数列的定义知，任一等比数列中，其每一项a n ≠0，所以其公比q ＝a n ＋1a n≠0(n ＝1,2,3，…)． (3)p 是存在量词命题，是假命题．因为对于p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3＞0是真命题，这是因为x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2≥2＞0恒成立.题型三 全称量词命题与存在量词命题的否定例3 解：(1)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋14＜0，假命题． 因为∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0恒成立． (2)q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3)r ：∀x ∈R ，x 2＋4x ＋6＞0，真命题． (4)s ：∀x ∈R ，x 3＋1≠0，假命题，因为x ＝－1时，x 3＋1＝0.活学活用解：(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数都能被3整除．(2)是全称量词命题，否定为：∃x 0∈Z ，x 20与3的和等于0.(3)是存在量词命题，否定为：任意一个三角形的三个内角不都为60°.(4)是全称量词命题，否定为：存在一个三角形至多有一个锐角．(5)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线．题型四 全称量词命题与存在量词命题的应用例4 解：法一：由题意，∀x ∈[－1，＋∞)，令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立，所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2≥a 可转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 恒成立，而∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a ＜－1. 由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0，令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称量词命题转化为∀x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立，所以Δ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4(2－a )＞0，a ＜－1，f (－1)≥0，即－2≤a ≤1或－3≤a ＜－2.所以－3≤a ≤1.综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．活学活用解：当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0；当a ＞0时，需满足Δ＝4－4a 2＞0，得－1＜a ＜1，故0＜a ＜1. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，1)．随堂即时演练1．【答案】B【解析】2是素数，但2不是奇数，所以A 是假命题；x 2＋1≥1⇔x 2≥0，显然∀x ∈R ，x 2≥0，故B 为真命题，C 、D 均是假命题．2．【答案】A【解析】改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.3．【答案】存在量词命题 假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0【解析】命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋5＜0是存在量词命题． 因为x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p 为假命题．命题p 的否定为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0.4．【答案】(－2，－1)∪(1，2)【解析】由题意知，0＜a 2－1＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＜1，a 2－1＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＜2，a 2＞1， 解得⎩⎨⎧ －2＜a ＜2，a ＞1或a ＜－1，∴1＜a ＜2或－2＜a ＜－1.5．解：∵p 为假命题，∴p 为真命题， 即关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有正解．由x 2＋mx ＋1＝0，得m ＝－x －1x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2， 当且仅当x ＝1时取等号．即m的取值范围为(－∞，－2]．。
《 1.2.1 命题与量词》作业设计方案
《1.2.1 命题与量词》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 学生对命题及量词的概念有清晰的理解，能准确使用逻辑符号表达命题。
2. 学生能通过实例了解命题的逻辑关系及真假判断。
3. 学生能根据命题逻辑推理的规则进行推理，培养逻辑思维能力。
二、作业内容1. 概念理解（1）选择合适的逻辑词汇描述以下情境：小明喜欢篮球，小明的爸爸也喜欢篮球，所以他们一家都喜欢篮球。
（2）找出课本中涉及命题与量词的例子，分析其逻辑结构。
（3）自行设计一个包含命题与量词的情境，并用逻辑词汇描述。
2. 逻辑推理（1）根据以下条件，写出命题：如果小王数学考试及格，那么他可以参加数学竞赛。
请用逻辑符号表示该命题。
（2）给出几个不同的命题，分析它们之间的逻辑关系，判断它们之间的关系是“蕴含”、“互斥”还是“无关”。
（3）根据逻辑推理规则，完成以下推理：如果今天是周三，那么昨天是周二；如果昨天是周二，那么今天是周四。
由此可以推出今天是周几？三、作业要求1. 独立完成作业，禁止抄袭。
2. 作业应包括文字描述和逻辑表达两种形式。
3. 作业字迹工整，思路清晰。
4. 针对第（3）题推理题目，请写出推理过程和答案。
四、作业评价1. 作业提交后，教师将对作业进行批改，并根据完成情况给予相应的分数。
2. 针对普遍存在的问题，将在课堂上进行集中讲解。
3. 对于优秀的作业，将给予表扬和展示。
五、作业反馈1. 请学生针对本次作业的难度、教师批改意见、课堂讲解情况等方面，给出自己的反馈。
2. 教师将收集学生的反馈意见，对作业设计方案进行改进，以提高教学质量。
3. 鼓励学生提出建议和意见，共同促进数学教学的进步。
通过本次作业，学生将进一步理解命题与量词的概念，掌握逻辑推理的规则，提高逻辑思维能力。
同时，教师也将根据学生的反馈意见，不断改进教学方案，提高教学质量。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对命题与量词的理解，加深对逻辑语言、逻辑命题以及量词的理解和掌握。
高中数学知识点总结(选修2-1)
高中数学知识点总结—数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构1.命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2.“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题。
若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题.若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5.对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。
其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。
若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。
6.四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8.用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9.短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10.全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。
20-21版：1.2.1 命题与量词（创新设计）
12
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
解 (1)是命题，而且是真命题. (2)是命题，而且是假命题.对角线互相垂直平分的四边形才是菱 形.如图，四边形ABCD中，只满足AC⊥BD，显然不是菱形. (3)不是命题.因为x是未知数，不能判断不等式的真假. (4)是感叹号，不涉及真假，不是命题. (5)是疑问句，不涉及真假，不是命题. (6)是命题，而且是假命题.如 x＝ 2，y＝－ 2，x＋y＝0 是有理数，而 x，y 都是无 理数.
5
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
③真假判定： 要判定全称量词命题∀x∈M，r(x)是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x，验 证r(x)成立；但要判定其是假命题，却只需举出集合M中的一个元素x0，使得r(x0) 不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)存在量词、存在量词命题及其真假判定 ①存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部 分，称为存在量词，用符号“∃”表示. ②存在量词命题 定义：含有__存__在__量__词____的命题，称为存在量词命题.
16
课前预习
课堂互动
素养达成
@《创新设计》
角度2 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 【例2－2】 判断下列命题的真假.
(1)所有的素数都是奇数； (2)任意矩形的对角线相等； (3)存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0. 解 (1)2是素数，但2不是奇数. 所以全称量词命题“所有的素数都是奇数”是假命题. (2)真命题. (3)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在， 所以存在量词命题“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0”为假命题.
《 1.2.1 命题与量词》作业设计方案
《1.2.1 命题与量词》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 学生对命题及量词的概念有清晰的理解；2. 掌握命题及量词的逻辑表达方式；3. 能够运用命题及量词进行简单的逻辑推理。
二、作业内容：1. 基础练习：（1）写出以下命题的量词和逻辑形式：* 所有金属都是导电的* 这个班级的老师都很亲切* 这个人不会游泳（提示：量词包括全称量词“所有”和存在量词“存在”）2. 提高练习：（1）根据以下情境，写出相应的命题及其量词：* 当温度达到一定程度时，金属都会导电。
* 在这个班级中，有的老师上课很枯燥。
* 在某些情况下，人们会做出不理智的决定。
（提示：注意使用逻辑连接词“当...时”和存在量词“有的”）2. 实践应用：设计一份简单的调查问卷，要求学生对以下问题进行判断，并写出相应的命题及量词：* 你是否认为所有金属都是导电的？* 你是否认为有的老师上课很枯燥？* 在你做出重要决定时，你是否会考虑自己的情绪？（提示：注意问卷中的命题应符合实际情况，避免误导学生）三、作业要求：1. 独立完成作业，不得抄袭；2. 正确使用命题及量词；3. 逻辑表达清晰、准确；4. 按照要求完成基础、提高和实践活动。
四、作业评价：1. 批改方式：教师批改为主，学生互评为辅；2. 评价标准：作业完成情况、逻辑表达准确性、问题理解程度；3. 反馈方式：教师将作业中存在的问题进行总结，以反馈形式告知学生，以便他们改进。
同时，也会对优秀作业进行表扬，鼓励其他学生向他们学习。
五、作业反馈：1. 学生应根据教师的反馈，对自己的作业进行反思，找出存在的问题并进行改进；2. 学生应积极参与优秀作业的讨论，分享自己的学习心得和体会，共同提高数学素养；3. 学生应积极向教师提出建议，以便教师更好地改进教学方案。
通过这份作业设计方案，学生不仅可以加深对命题及量词的理解，还能在实际应用中提高逻辑推理能力。
同时，通过作业评价和反馈，学生可以及时发现自己的不足，并得到教师的指导帮助，从而更好地提高自己的数学水平。