一元二次方程概念题组
一元二次方程题型总结
《一元二次方程》每日一练知识点一：一元二次方程的概念1、已知关于x 的方程（m ²-1）x ²+（m-2）x-2m+1=0，当m= 时是一元二次方程，当m = 时是一元一次方程。
2、关于y 的一元二次方程2y(y-3)= -4的一般形式是 ,它的二次项系数是_____ , 一次项是_____ ，常数项是 。
3、关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为（ ）（A ）1 （B ）1- （C ）1或1- （D ）0.54、方程（m ＋2）｜m ｜＋3mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ）。
（A ）m ＝±2 （B ）m ＝2 （C ）m ＝－2 （ D ）m ≠±2知识点二：一元二次方程的解法直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法；十字相乘法1、用适当的方法解下列方程（1）（x+3）2 -12=0 （2） 3x 2－6x ＋1=0 （3）x 2－4x ＋1＝0。
（4）7x(x-2)＝2x-4 （5）2(3)4(3)0x x x -+-= （6）22510x x --=（7）9(x-1)2-4=0 （8）2x 2+6x-2=0 （9）(2)(35)1x x --=； （10）22)3()12(x x -=-2、方程x x =23的解是 ；方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ;3、等腰三角形的三条边长是x 2-6x+5=0的根，则这个等腰三角形的周长是____ _.4、方程2x 2-3x+1=0变为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对 5、将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ） A ．（x-2）2+3 B ．（x-2）2-3 C ．（x+2）2+3 D ．（x+2）2-36、已知一元二次方程02=++c bx ax ，若0=++c b a ，则该方程一定有一根为（ ）A. 0B. 1C. -1D. 27、当代数式x 2+3x+5的值为7时，代数式3x 2+9x-2的值是（ ）．A .4B .0C .-2D .-4知识点三：根的判别式的应用△＞0，方程有2个不相等的实数根； △=0，方程有2个相等的实数根；△＜0，方程没有实数根； 0≥∆，方程有实数根。
一元二次方程组练习题
一元二次方程组练习题一元二次方程组练习题一元二次方程组是数学中常见的问题类型，它涉及到两个未知数的方程组。
解决这类问题需要运用代数的知识和技巧。
下面，我们来看几个关于一元二次方程组的练习题，通过解题过程来加深对这一概念的理解。
练习题一：已知一元二次方程组：$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\x - y = 1\end{cases}$$求解方程组。
解：我们可以通过代入法解决这个方程组。
首先，将第二个方程中的$x$表示为$y$的函数，得到$x = y + 1$。
将这个表达式代入第一个方程中，得到$(y+1)^2 + y^2 = 25$。
展开并化简这个方程，得到$2y^2 + 2y - 24 = 0$。
再将这个方程化简为标准的一元二次方程形式，得到$y^2 + y - 12 = 0$。
通过因式分解或配方法，可以得到$(y+4)(y-3) = 0$，解得$y = -4$或$y = 3$。
将这两个解分别代入$x = y + 1$中，得到$x = -3$或$x = 4$。
所以，方程组的解为$(x, y) = (-3, -4)$和$(x, y) = (4, 3)$。
练习题二：已知一元二次方程组：$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 10 \\xy = 3\end{cases}$$求解方程组。
解：这个方程组看似比较复杂，但我们可以通过代入法和观察来解决。
首先，我们将第一个方程中的$x^2$表示为$y$的函数，得到$x^2 = 10 - y^2$。
将这个表达式代入第二个方程中，得到$(10 - y^2)y = 3$。
展开并化简这个方程，得到$y^3 - 10y + 3 = 0$。
这个方程不是一元二次方程，但我们可以通过观察发现，当$y = 1$时，方程成立。
将$y = 1$代入第一个方程，得到$x^2 + 1 = 10$，解得$x = \pm 3$。
所以，方程组的解为$(x, y) = (-3, 1)$和$(x, y) = (3, 1)$。
一元二次方程概念专项练习
一元二次方程概念专项练习知识梳理：1.一元二次方程的一般形式：a x2＋bx＋c=0(a≠0)2.一元二次方程的特点：①整式方程②a不为0③只含有一个未知数④未知数的最高次数为23.重点：一元二次方程的识别与判断4.难点：题目不表明所需要判断的方程是一元二次方程还是一元一次方程时，需要分类讨论一、选择题1、在下列方程中是一元二次方程的是（）A．x2－2xy+y2=0 B．x(x+3)=x2－1 C．x2－2x=3 D．x+ =02、下列方程为一元二次方程的是 ( )A. B. C. D.3、下列方程中，一元二次方程个数（）①、；②、；③、；④、；⑤、.A、5个B、4个C、3个D、2个4、已知关于x的一元二次方程（x+1）2﹣m=0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣ B．m≥0 C．m≥1 D．m≥25、以1，-2为根的一元二次方程是A.x2+x-2=0B.x2-x+2=0C.x2-x-2=0D.x2+x+2=06、已知x=0是二次方程（m +1）x2+ mx + 4m2- 4 = 0的一个解，那么m的值是（）A．0 B．1 C．- 1 D．7、若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）A．1 B．-1 C．2 D．-28、若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于A．1 B．2 C．1或2 D．09、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．10、若为方程的解，则的值为（）A.12B.6C.9D.16二、填空题11、如果,则一元二次方程必有一个根是.12、已知是方程的解，则代数式的值为 .13、已知，则的值是 .14、某中学摄影兴趣小组的学生，将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有名学生，则根据题意列出的方程是。
一元二次方程题型
一元二次方程四种常见题型一元二次方程在初中代数中占有重要的地位，是进一步学好其它知识的基础，也是各类考试中必考内容之一，常见题型有如下四类：一、一元二次方程的有关概念知识要点：1．一元二次方程满足的条件：（1）是整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）系数不能为0．2．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．典例分析：例1下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（）A ．)1(2)1(32+=+x x B ．02112=-+x x C ．02=++c bx ax D ．1222-=+x x x 分析：根据一元二次方程需满足的条件可知，Ｂ中的未知数在分母中，是分式方程；Ｃ中二次项系数a 有可能为０；Ｄ整理后最高次项是一次，都不是一元二次方程，故选Ａ．例2关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是为0，则a 的值为（）A ．1B ．–1C ．1或–1D ．21分析：由方程根的定义，将0x =代入原方程中，则原方程变为关于a 的一元二次方程．解：.把0x =代入原方程中，得012=-a ，∴1a =±，∵10a -≠，即1a ≠，∴1a =-故应选B ．评注：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，有时需要将其化简后再判断，如例1中的D ；（2）在求一元二次方程中的参数时，不要忽视二次项系数不等于0这一内含条件，如例2中10a -≠．二、一元二次方程的解法知识要点：一元二次方程的一般解法有：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，其中公式法是解一元二次方程的“万能”方法．典例分析：例3解方程0999162=--x x ．分析：观察方程的特点：其常数项“–9991”是一个绝对值很大的数，若用公式法求解，其计算量比较大，注意到二次项的系数为1，一次项的系数是偶数，所以用配方法求解则十分简单．解：移项，得999162=-x x ，配方得99991962+=+-x x ，即10000)3(2=-x ，所以1003±=-x ，所以1031=x ，972-=x ．评注：(1)一元二次方程的四种解法各有特点，解方程时应根据方程的特点依次选择：直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法；（2）应用求根公式解一元二次方程时应注意要化方程为一元二次方程的一般形式再确定a 、b 、c 的值；（3）解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握．三、列一元二次方程解决实际问题1．列一元二次方程解应用问题的一般步骤可归纳为：审、设、列、解、检验、答．2．常见题型：（1）面积问题；（2）平均增长率问题；（3）销售利润问题；（4）其它问题．例4商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）分析：（1）根据所调查的市场信息分析；（2）利用“每件利润×件数=总利润”相等关系列方程.此题体现了数学与市场的关系.解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出170-130=40元，则每天可销售商品70-40=30件，商场可获日盈利为（170-120）×30=1500（元）．（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x 元，则每件商品比130元高出（x-130）元，每件可盈利（x-120）元，每日销售商品为70-（x-130）=200-x（件）.依题意得（200-x）（x-120）=1600,解得x=160．答：每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达到1600元．例5某校办工厂今年元月份生产课桌椅1000套，二月份因春节放假减产10%，三月份、四月份产量逐月上升，四月份产量达到1296套，求三、四月份产量的平均增长率．分析：本题属于增长率问题，只要把二月份的产量表示出来，根据题意很容易列出方程．解：设三、四月份产量的平均增长率为x ，依题意，得1296)1%)(101(10002=+-x ，解得%202.01==x ，2.22-=x （舍）答：三、四月份产量的平均增长率为20%．评注：解决实际问题的关键是认真审题，分析数量之间的关系，建立适当的数学模型，从而将实际问题转化为数学问题，如增长(降低)率问题中,增长(降低)前的量为a,增长(降低)率为x,增长(降低)后的量为b,则a、x、b 关系为2(1)a x b ±=．还要注意有的问题中需要根据实际情况舍去不合题意的解．四、一元二次方程的综合应用一元二次方程通过与不等式、统计、几何等知识相整合解决实际问题，这样的应用题背景更丰富、更贴近生活实际.例4:下表是我国近几年的进口额与出口额数据（近似值）统计表年份198519901995199820002002出口额（亿美元）2746211500180025003300进口额（亿美元）4235341300140023003000（1）下图是描述这两组数据折线图，请你将进口额折线图补充完整；（2）计算2000年到2002年出口额年平均增长率．15.132.1≈（3）观察折线图，你还能得到什么信息，写出两条。
完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)
完整版)一元二次方程(知识点考点题型总结)一元二次方程专题复考点一、概念一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
一般表达式为ax^2+bx+c=0，其中a不等于0.关于“未知数的最高次数是2”，需要注意以下三点：一是该项系数不为0；二是未知数指数为2；三是若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）：A。
2x^2+11x-2=0B。
ax^2+bx+c=DC。
2x=x+1变式：当k时，关于x的方程kx+2x=x+3是一元二次方程。
例2、方程m+2xm+1=0是关于x的一元一次方程，求m 的值，并写出关于x的一元一次方程。
针对练：1.方程8x^2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为多少？2.若方程m-2x=0是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出关于x的一元一次方程。
3.若方程(m-1)x+m·x=1是关于x的一元二次方程，则m 的取值范围是多少？4.若方程nx+x-2x=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）：A。
m=n=2B。
m=2.n=1C。
n=2.m=1D。
m=n=1考点二、方程的解方程的解是指使方程两边相等的未知数的值。
根的概念可用于求代数式的值。
典型例题：例1、已知2y+y^2-3的值为2，则4y+2y^2+1的值为多少？例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+a-4=0的一个根为2，求a的值。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为多少？例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为多少？针对练：1.已知方程x+kx-10=0的一根是2，则k为多少？另一根是多少？2.已知关于x的方程x^2+kx-2=0的一个解与方程(x+1)/(x-1)=3的解相同，求k的值，并求方程的另一个解。
一元二次方程的概念和解法
一元二次方程的概念和解法一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．判断是一元二次方程的标准：①整式方程 ②一元方程 ③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．题模一：概念例1.1.1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．2210x x += B ．20ax bx c ++= C ．223253x x x --= D ．()()121x x -+=例1.1.2方程(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则m =______例1.1.3若()22230m m x x --+-=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_________例1.1.4已知关于x 的方程：2(2)(1)60m mm x m x --+-+=是一元二次方程，试求m的值_____．例1.1.5若方程()211m x x -=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是__________．例1.1.6方程()13242+=+x x 的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例1.2.1关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为_________________．例 1.2.2已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则=-n m __________。
例1.2.3已知1x =是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，则222m mn n ++的值为_______．随练1.1关于x 的方程023)1()1(2=++++-m x m x m ，当m __________时是一元一次方程；当m __________时是一元二次方程随练1.2若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________随练 1.3已知方程()()2230x m x n +-++=的两根分别是2-、3-，则m n -=__________随练1.4若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a ≠0）的解是x=1，则2013-a-b 的值是（ ） A ．2018B ．2008C ．2014D ．2012一．直接开平方法若()20x a a =≥，则x 叫做a 的平方根，表示为x =这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法． 二．直接开平方法的基本类型1．2(0)x a a =≥解为：x =2．2()(0)x a b b +=≥解为：x a += 3．2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += 4．22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+题模一：直接开平方法例2.1.1方程（x ﹣1）2=4的根是__． 例2.1.2方程（x+2）2﹣9=0的解为：__例2.1.3一元二次方程4（x ﹣1）2﹣9=0的解是 ． 例2.1.4求x 的值：21(51)303x --=随练2.1解下列方程：（1）2280x -= （2）225160x -= （3）()2190x --=随练2.2解关于x 的方程：2269(52)x x x -+=-随练2.3若方程()224x a -=-有实数根，则a 的取值范围是________.随练2.4解关于x 的方程：22(31)85x +=作业1若2|1|0b a -+=，则下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．250ax x b +-=B ．()()221350b x a x -++-=C ．()()21170a x b x -+--=D ．()2110b x ax ---=作业2已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．作业3若n （n ≠0）是关于x 方程x 2+mx+2n=0的根，则n+m+4的值为（ ） A ．1B ．2C ．-1D ．-2作业4解关于x21)x -=作业5用直接开平方法解下列一元二次方程 （1）29160x -= （2）()25160x +-= （3）()()22531x x -=+ （4）()()22425931x x -=-一．配方法配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：运用配方法解形如20(0)ax bx c a ++=≠的一元二次方程的一般步骤是： 1．二次项系数化1； 2．常数项右移；3．配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）； 4．化成2()x m n +=的形式；5．若0n ≥，选用直接开平方法得出方程的解．22220 (0)()0 ()()022b b bax bx c a a x x c a x a c a a a++=≠++=⇒+-+=⇒222224()()2424b b b b aca x c x a a a a-⇒+=-⇒+=．题模一：配方法例1.1.1用配方法解方程：2640x x --=例1.1.2用配方法解下列方程： （1）22810x x +-= （2）2420x x ++= （3）211063x x +-= （4）231y +=例1.1.3已知2246130x y x y ++-+=，x 、y 为实数，求y x 的值例1.1.4选用适当的方法，解下列方程： （1）（x ﹣1）2=3 （2）2x 2﹣5x+3=0．题模二：最值问题例1.2.1试用配方法说明223x x -+的值恒大于0例1.2.2已知x 、y 为实数，求代数式22247x y x y ++-+的最小值随练1.1若把代数式257x x ++化为()2x m k -+的形式，其中m 、k 为常数，则k m -=_________．随练1.2已知a ，b ，c 均为实数，且4a b +=，2210c ab -=-，求ab 的值．随练1.3用配方法说明21074x x -+-的值恒小于0 随练1.4已知x ，y 为实数，求代数式2254824x y xy x +-++的最小值．一．公式法公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=根的判别式24b ac ∆=-，12,x x 是方程的两根，若240b ac ∆=-≥，则1,2x =．二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式； 2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算24b ac -的值；4．若240b ac -≥，则代入公式求方程的根； 5．若240b ac -<，则方程无解．三．判别式与根的关系1．0∆>时，原方程有两个不相等的实数解； 2．0∆=时，原方程有两个相等的实数解； 3．0∆<时，原方程没有实数解．题模一：公式法例2.1.1解方程：x 2+4x ﹣1=0．例2.1.2解方程1(61)432(2)2x x x x ++-=+ 例2.1.3用公式法解关于x 的一元二次方程()()212130m x m x m -+-+-=．例2.1.4解方程：320x x x -+=题模二：判别式与根的关系例2.2.1下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是（ ） A ．x 2+1=0 B ．x 2﹣3x+1=0 C ．x 2﹣2x+1=0 D ．x 2﹣x+1=0例2.2.2已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．1m <- B ．1m > C ．1m <且0m ≠ D ．1m >-且0m ≠例2.2.3关于x 的方程（a-6）x 2-8x+6=0有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9随练2.1用公式法解一元二次方程22310x x --=．随练2.2解方程(5)(7)1x x --= 随练2.3解关于x 的方程：20x px q ++=．随练2.4解关于x 的方程210x x --=．随练2.5下列一元二次方程中无实数解的方程是（ ） A ．x 2+2x+1=0 B ．x 2+1=0 C ．x 2=2x-1 D ．x 2-4x-5=0随练2.6若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）2210kx x --=A ．B ．C ．且D ．且随练2.7已知关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+1=0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≥-54且m ≠1 B ．m ≤54且m ≠1 C ．m ≥54 D ．m ≤-54且m ≠0一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =．题模一：因式分解法例3.1.1用因式分解法解方程：()()23430x x x -+-=例3.1.2用因式分解法解方程：23440x x --=．1k >-1k <1k >-0k ≠1k <0k≠例3.1.3用因式分解法解方程：()()22921610x x --+=．例3.1.4用因式分解法解方程：222320x mx m mn n -+--=，（m 、n 为常数）随练3.1用因式分解法解方程：()22136x x-=-．随练3.2用因式分解法解方程：()22510531x x x -+=-随练3.3用因式分解法解方程：26350x x --=．随练 3.4用因式分解法解关于x 的一元二次方程()()221631720mx m x ---+=（21m ≠）．。
《一元二次方程》知识梳理及经典例题
《一元二次方程》知识梳理及经典例题【知识梳理】考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：ax2+bx+c=0(a≠0)⑶难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2=m(m≥0),⇒x=±√m对于(x+a)2=m，(ax+m)2=(bx+n)2等形式均适用直接开方法类型二、因式分解法:(x−x1)(x−x2)=0⇒x=x1,或x=x2方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如(ax+m)2=(bx+n)2，(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c)，x2+2ax+a2=0类型三、配方法ax2+bx+c=0(a≠0)⇒(x+b2a )2=b2−4ac4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
类型四、公式法⑴条件：(a≠0,且b2−4ac≥0)⑵公式：x=−b±√b2−4ac2a,(a≠0,且b2−4ac≥0)类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。
.考点四、根的判别式b2−4ac根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它。
考点五、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题考点六、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c=0而言，当满足①a≠0、②Δ≥0时，才能用韦达定理。
⑵主要内容：x1+x2=−ba ,x1x2=ca⑶应用：整体代入求值。
一元二次方程定义
一元二次方程的概念及解法一、一元二次方程的概念：问题（1）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．归纳：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习:判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2(5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________．3．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________． 三、综合提高题1、a 满足什么条件时，关于x 的方程a （x 2+x ）=3x-（x+1）是一元二次方程？2、关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？3、方程（2a —4）x 2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？4、当m 为何值时,方程(m+1)x ／4m ／-4+27mx+5=0是关于的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x 2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习:关于x 的一元二次方程(a-1) x 2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a 的值例3．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x 2-64=0 （2）3x 2-6=0 （3）x 2-3x=0三、一元二次方程的解法（一）、直接开平方法问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．问题2：目前我们都学过哪些方程?二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？方程x2=9，根据平方根的意义，直接开平方得x=±3，如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=9，能否也用直接开平方的方法求解呢？例1：解方程：(1)(2x-1) 2=5 (2)x 2+6x+9=2 (3)x 2-2x+4=-1例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面积增长率．解一元二次方程的共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•这种思想称为“降次转化思想”．由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±p 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解练习：一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．a +b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．3．如果a、b为实数，满足34三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．（二）、配方法1、解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 (4) 4x2+16x=-7上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的形式，那么可得x=±p或mx+n=±p（p≥0）．如：4x2+16x+16=（2x+4）2 ,你能把4x2+16x=-7化成（2x+4）2=9吗?2、要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2,场地的长和宽各是多少？转化：x2+6x-16=0移项→x2+6x=16两边加（6/2）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2+6x+32=16+9左边写成平方形式→（x+3）2=•25 •降次→x+3=±5 即x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2= -8可以验证：x1=2，x2= -8都是方程的根,但场地的宽不能使负值，所以场地的宽为2m，常为8m.像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．通过配方使左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将方程化为一般形式；（2）二次项系数化为1；（3）常数项移到右边；（4）方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；（5）变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．例1．用配方法解下列关于x的方程（1）x2-8x+1=0 （2）x2-2x-12=0例2．解下列方程（1）2x2+1=3x （2）3x2-6x+4=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0例3求证:无论y取何值时,代数式-3 y2+8y-6恒小于0例4、用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）练习：一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-32．已知x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的是（）．3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方式，则m 等于（）．A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或94．配方法解方程2x2-43x-2=0应把它先变形为（）．A．（x-13）2=89B．（x-23）2=0 C．（x-13）2=89D．（x-13）2=1095．下列方程中，一定有实数解的是（）．A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0 C．（2x+1）2+3=0 D．（12x-a）2=a6．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z的值是（）．A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空题1．方程x2+4x-5=0的解是________．2．代数式2221x xx---的值为0，则x的值为________．3．如果16（x-y ）2+40（x-y ）+25=0，那么x 与y 的关系是________． 4．已知（x+y ）（x+y+2）-8=0，求x+y 的值，若设x+y=z ，则原方程可变为_______，•所以求出z 的值即为x+y 的值，所以x+y 的值为______． 三、综合提高题1．用配方法解方程．（1）9y 2-18y-4=0 （2）x 2+3=23x2．已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求222x yx y -+的值．3．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．4．如果x 2-4x+y 2+6y+2z ++13=0，求（xy ）z 的值．5、求证：无论x 、y 取任何实数，多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是正数（三）公式法由上例4可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子x=242b b aca-±-就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性。
一元二次方程知识点总结&练习
一元二次方程专题（一）、一元二次方程的解法：【知识点归纳与总结】一、概念：一元二次方程的一般形式为：ax 2+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
二、基本思路与方法: 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。
一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。
1 用直接开平方法解形如 (x-m)2=n (n≥0) 的方程，其解为x=m±.例1．解方程（1）75(3x+1)2=7 （2）9x 2-24x+16=112．配方法：用配方法解方程ax 2+bx +c=0 (a≠0)先将常数c 移到方程右边：ax 2+bx=-c将二次项系数化为1：x 2+b a x=-c a方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x 2+b a x+(b 2a )2=-c a +(b 2a)2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b 2-4ac≥0时，x+=±∴ x= (这就是求根公式)例2．用配方法解方程 3x 2-4x-2=03．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b 2-4ac 的值，当b 2-4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x= (b 2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程 2x 2-8x=-54．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x 2+3x=0 (3) 6x 2+5x-50=0 (4)x 2-2(+)x+4 =0小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。
中考《一元二次方程》经典例题及解析
一元二次方程一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），其中2,,ax bx c 分别叫做二次项、一次项和常数项，,a b 分别称为二次项系数和一次项系数．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意0a ≠，因为当0a =时，不含有二次项，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2．二、一元二次方程的解法1．直接开平方法：适合于2()()0x a b b ±=≥或22()()ax b cx d ±=±形式的方程．2．配方法：（1）化二次项系数为1；（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成2()()0x a b b ±=≥的形式； （5）运用直接开平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化为一般形式，即20ax bx c ++=；（2）确定,,a b c 的值；（3）求出24b ac -的值；（4）将,,a b c 的值代入x =即可． 4．因式分解法：基本思想是把方程化成()()0ax b cx d ++=的形式，可得0ax b +=或0cx d +=． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式：一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根； （2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根； （3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系：对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=． 四、利用一元二次方程解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、列、解、验、答六步．列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容．1．增长率等量关系（1）增长率=增长量÷基础量．（2）设为原当m 为平均下降率时，则有(1n a m -2．利润等量关系：（1）利润=售价－成本3．面积问题（1）类型1：如图1所示的矩形ABCD ()(22)a x b x --．（2）类型2：如图2所示的矩形ABCD （3）类型3：如图3所示的矩形ABCD 为()()a x b x --．图1 4. 碰面问题（循环问题）（1）重叠类型（双循环）：n 支球队互相之∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛和B 与A 比赛是同一场比赛∴m =（ −1）（2）不重叠类型（单循环）：n 支球队，∵1支球队要和剩下的（n －1）支球队比赛∵存在n 支这样的球队，∴比赛场次为：∵A 与B 比赛在A 的主场，B 与A ∴m = （ −1）经典1．若关于x 的方程220x ax +-=有一个【答案】1【分析】根据一元二次方程的解的定义，【解析】解：把x=1代入方程2x ax +=a 为原来量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长)b =．成本．（2）利润率=利润成本×100％． BCD 长为a ，宽为b ，空白“回形”道路的宽为x ，CD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则空白部分的BCD 长为a ，宽为b ，阴影道路的宽为x ，则4块空 图2 图互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m 。
一元二次方程经典题型汇总
一元二次方程经典题型汇总一、一元二次方程的概念1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
一．填空题：1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是_______________,二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是______.3．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 4、.若一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是_____5、当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。
二．选择题：6．在下列各式中 ①x 2+3=x; ②2 x 2- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2- 4x – 5 ; ④x 2=-x1+2 是一元二次方程的共有( ) A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 7、下列方程中，一元二次方程是（ ）（A ） 221xx +（B ） bx ax +2（C ） ()()121=+-x x （D ） 052322=--y xy x8．一元二次方程的一般形式是( )A x 2+bx+c=0B a x 2+c=0 (a ≠0 )C a x 2+bx+c=0D a x 2+bx+c=0 (a ≠0)9．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 010、关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ）A 、1B 、1-C 、1或1-D 、12三、.将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
一元二次方程定义练习题
一元二次方程同步测试一、选择题1.下列方程是关于x的一元二次方程的为（）A.ax2+bx+c=0B.x2+1x=2C.x2+2x=(x+1)(x−1)D.3(x+1)2=2(x+1)2.某市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场），共进行了36场比赛，设有x个代表队参加比赛，则列方程正确的是（）A.x(x+1)=36B.12x(x+1)=36 C.x(x−1)=36 D.12x(x−1)=363.一个菱形的两条对角线相差5，面积为12。
设较长的对角线为x, 可列方程为（）A.x(x+5)=12B.x(x−5)=12C.12x(x+5)=12 D.12x(x−5)=124.若方程(m−3) x m2−7−x+3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A.±3B.3C.−3D.√75.已知关于x的方程x2+mx+3=0的一个根为x=1，则实数m的值为（）A.4B.−4C.3D.−3二、填空题6.在−3、−2、−1、0、1、2、3、4这些数中，是一元二次方程2x2−8x+6=0的根的数是.7.若a是一元二次方程x2+2x−3=0的一个根，则2a2+4a的值是.8.如图，小明同学用一张长11 cm、宽7 cm的矩形纸板制作一个底面积为21 cm2的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大的正方形，将四周向上折叠即可(损耗不计)。
设剪去的正方形的边长为x cm, 则可列方程为.9.若关于x的一元二次方程(3a−6)x2+(a2−4)x+a+9=0不含一次项，则a=.10.一个群里每人都分别给其他人发了一条消息，这样一共发了132条消息。
设有x人，则可列方程为.(化为一般形式).三、解答题11.将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）4x2−3=5x；（2）3x(x−3)=2x2−1（3）(3x−1)(x+2)=−x2+5x+1；(4)(y+5)(2y−1)=y(y−8).12.已知m是方程x2+3x−2022=0的一个根，求m3+2m2−2025m+2022的值.13.阅读下面的材料：定义：如果关于x的方程a1x2+b1x+c1=0（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与a2x2+b2x+c2=0（a2≠0，a2，b2，c2是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，那么这两个方程互为“对称方程”。
《一元二次方程》题型梳理
一元二次方程一、一元二次方程的概念1、关于x 的一元二次方程04)2(22=-++-m x x m 常数项为0，则m 的 值为2．若0)1(2=++-c bx x a 是关于x 的一元二次方程，则【 】A ．a=1B ．a ≠1C ．a ≠－1D ．a ≠0且b ≠0二、一元二次方程的解 （一）解法1.一元二次方程x x =2的解是【 】A.1=xB.0=xC.2,221-==x xD.0,121==x x 2、用配方法解方程0522=--x x 时，原方程应变形为 （ ） A 、6)1(2=+x B 、9)2(2=+x C 、6)1(2=-x D 、9)2(2=-x3、一元二次方程022=-x x 的解是 . 4．按指定方法解下列方程① x 2－4x -1＝0 （配方法） ② 2x 2－6x ＋1＝0．（公式法） ①622=-x x ②()()03432=---x x x①31022=-x x ②()()0214122=---x x①21（2x-1）2=9(直接开平方法) ② 2x 2+1=3x （配方法） ①3x 2-1=6x （公式法） ② 3（x-5）2=10-2x(因式分解法)5.用配方法解一元二次方程2870x x ++=，则方程可化为（ ）（A ）()249x += （B ）()249x -= （C ）()2816x -= （D ）()2857x +=6、用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( ) A ．(x －1)2＝4 B ．(x ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＝16 D ．(x ＋1)2＝167、一元二次方程2x x =的解为 . 8、方程x(x-2)+x-2=0的解是（ ）A ．２B ．－２,１C ．－１D ．２，－１9、三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2―10x ＋21=0的解，则第三边的长为( )．A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定10、若方程（x-2011）2=a 有解，则a 的取值范围是（ ）A 、a ≥0B 、a ≤0C 、a ＞0D 、无法确定11、三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）A 、24B 、24或85C 、48D 、85 12、方程x （x-3）=x-3的解是13、若（x+y ）（1-x-y ）+6=0，则x+y=14、已知代数式3-x 与-x 2+3x 的值互为相反数，则x15.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是【 】 A.若x 2=4，则x ＝2 B.方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1C.若x 2+2x+k=0的一个根为1，则3-＝k D.若分式1232－＋－x x x 的值为零，则x ＝1或216.如图，在平行四边形ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AE EB EC a ===，且a 是一元二次方程2230x x +-=的根，则平行四边形ABCD 的周长为【 】A．4+．12+C．2+．212++17.已知方程（x+a ）（x-3）=0和方程x 2-2x-3=0的解相同，则a=_______________. 18.（9分）对于二次三项式x 2-10x+36，小聪同学得到如下结论：无论x 取何值，它的值都不可能是11。
一元二次方程典型题集
一元二次方程典型题集一．填空题：1、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
2、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 6224．()()=+=-+-+2222222,06b则ab a b a 。
5．若()()032=+--+y x y x ，则x+y 的值为 。
6、如果012=-+x x ，那么代数式7223-+x x 的值7、已知0232=+-x x ，求代数式()11123-+--x x x 的值。
8、+-x x 32=+x ( 2)9、试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0，10822-+-x x 的值恒小于0。
10、已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。
11、当x= 时，最简二次根式x x 32+与15+x 是同类二次根式。
12、当k 时，关于x 的二次三项式92++kx x 是完全平方式。
13、已知()003222≠=-+y y xy x ，则yx = 。
14、把一根长为22cm 的铁丝围成一个斜边长是10cm 的直角三角形，则这个三角形的面积为 。
15、若一个三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为 。
16、已知01122=+++xx xx ，则xx 1+= 。
二．选择题17、关于x 的方程2322+=-x x ax 是一元二次方程，则（ ）A 、0≠aB 、1≠aC 、a>0D 、0≥a 18、方程()x x x =-1的根是（ ）A 、x=2B 、x=1C 、x 21-=,x 02=D 、x 21=,x 02=19、一个多边形有9条对角线，则这个多边形有边（ ） A 、6条 B 、7条 C 、8条 D 、9条 20、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ） A 、()072=+-x x x B 、02=++c bx axC 、5112=+xxD 、2221x bx x a -=+21、某商品连续两次降价20%后价格为a 元，则原价为（ ）元。
一元二次方程根与系数的关系专题
一元二次方程专题姓名【题组1】1．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，求a 2+2a +b 的值2、若α，β是方程x 2+2x ﹣2005=0的两个实数根，求α2+3α+β的值3、已知βα,是方程012=--x x 的两个根，求=+βα344、已知a 是方程x 2﹣2015x +1=0的一个根，则代数式a 2﹣2014a + 的值【题组2】1、如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，求代数式2n 2﹣mn +2m +2015的值2．已知实数m 、n 满足m 2﹣4m ﹣1=0，n 2﹣4n ﹣1=0，则+= ．3、已知2s 2+4s －7=0，7t 2－4t －2=0，s ，t 为实数，且st ≠1。
求tst 1+的值：【题组3】1、方程x 2+3x +1=0的两个根为α、β，则+的值为 ．【题组4】1、等腰三角形两边长为方程x 2﹣7x +10=0的两根，求它的周长。
3、若一个等腰三角形的三边长均满足方程y 2﹣6y +8=0，求此三角形的周长。
3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x 2﹣8x +7=0的两个根，求这个直角三角形的斜边长4、已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +3）x +k 2+3k +2=0的两个实数根，第三边BC 的长为5．（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长．【题组5】关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，求a 的值。
2、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，求m 的值。
3、已知a 、b 实数且满足（a 2+b 2）2-(a 2+b 2)-6=0,则a 2+b 2的值4、已知关于x 的方程()011222=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ，是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
一元二次方程组
一元二次方程考点1：一元二次方程的概念及根：例1.(1) 2是关于02232=-a x 的一个根，那么12-a 的值是〔 〕 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6(2) 假设方程)0(02≠=++a c bx ax 中c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ,那么方程的根是( )A.1,0B. 0,1-C. 1,1-D. 无法确定例2. (1)方程032)1()1(22=++-+-m x m x m .当m = 时,方程为一元二次方程;当m 时,方程为一元一次方程.(2) 如果代数式5242+-y y 的值为7,那么代数式122+-y y 的值等于 .例3. 关于x 的一元二次方程023)2(22=-++-m x x m 的一个根是零,求m 的值及另一个根.练习:1. 关于x 的一元二次方程02=++c bx x 的两根为2,121==x x ,那么c bx x ++2分解因式的结果是: . 1-和2为根的一元二次方程 .3.请您给一个c,当c= 时,可使方程032=+-c x x 无解. 032=+-m x x 的一个根是1,求它的另一个根和m 的值.5-=x 是方程0102=-+mx x 的一个根,求3=x 时,102-+mx x 的值.63)122)(122(=-+++b a b a ,那么b a +的值为 .,06)1)((=+--+y x y x 那么y x +的值为( ).1和2，第三边的数值是方程2 x 2 – 5 x +3 = 0的根，那么三角形的周长为 .9.k 为 时, 方程 (k 2 – 3 k + 2 ) x 2 + (k 2 + 6 k – 7 ) x + 2 k + 1 = 0, 是关于X 的一元 二次方程; k 为 时, 这个方程是关于X 的一元一次方程.考点2.一元二次方程的求解:直接开方法 配方法 因式分解 公式法例4. (1) 22)3(4)23(-=+x x (2) )2(5)2(3+=+x x x(3) 02852=+-x x (4) 04)23(5)23(22=+---x x(5)解关于x 的方程:033)321(2=+++-x x考点3.一元二次方程的根的判断:例5. 关于x 的方程01322=++-m x x .(1) 当0<m 时,求这个方程的根,(用m 表示方程的根)(2) 如果这个方程没有实数根,求m 的取值范围.例6. 关于x 的方程04)1(222=-+-m m x m x(1) 当m 取何值时,方程有两个不相等实数根(2) 假设方程有两个不相等的整数根,且152<<m ,求m 的值.例7. 关于x 的一元二次方程022=++c ax ax 的两个实数根之差的平方为m .(1) 试分别判断当2,2,3,1==-==c a c a 与时,4≥m 是否成立,说明理由.(2) 假设对于任意一个非零的实数a ,4≥m 总成立,求实数c 及m 的值.练习:1.是否存在这样的非负整数m ,使关于x 的一元二次方程01)12(22=+--x m x m 有两个实数根假设存在,请求出m 的值;假设不存在,请说明理由.⎩⎨⎧=+-=++-01022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2211y y x x y y x x 或且21,x x 是两个不相等的实数，假设.116832212221--=-+a a x x x x 〔1〕求a 的值；〔2〕不解方程组判断方程组的两个解能否都是正数，为什么？考点4.一元二次方程学科内综合:例8.(1) 一元二次方程02=++c bx ax 的一个根为1-,且 3)2(21)2(21--+-=c c a ;求20062005)2(-+c ab 的值. (2) ,3=m 解关于x 的一元二次方程01)2()32=+---x m x m （例9.解方程组：〔1〕⎩⎨⎧=+=-12202xy x y x 〔2〕 ⎩⎨⎧=++=--03201222y xy x y x例10.正数m 为何值时，方程组⎩⎨⎧+-==+2222mx y y x 只有一个实数解？并求出这时方程组的解.例11.解方程：〔1〕 2121222=-+-x x x x 〔2〕0365322=-++-xx x x练习： 解方程：〔1〕 1622-+-=x x x x 〔2〕xx x x 21422-=-2．请阅读以下材料解不等式0342>+-x x .解：原不等式可化为0)3)(1(>--x x 所以)1(-x 与)3(-x 同号，即⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-03010301x x x x 或解得13<>x x 或. 所以原不等式的解集为13<>x x 或.请你解下面的不等式：.0652<-+x x考点5. 根与系数的关系：例12．(1)一元二次方程0132=-+x x 的两个根为21,x x ，那么)1)(1(21x x ++的值等于 .(2) 方程0132=++x x 的两根为αββαβα+那么,= . (3)关于x 的方程0141)1(22=+++-k x k x ①k 取什么值时，方程有两个实数根。
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一元二次方程的概念题组说明：构建知识框架，复习整式、分式概念、方程的概念（方程的解、一元一次方程）知识点：一元二次方程的概念、一般形式题组1：列方程（不解）（1）如图，要使一个边长为8的正方形花坛的面积增加80平方米后仍为正方形，边长应延长多少米？m²+16m-80=0（2）用80米长的篱笆在墙边围一个矩形的草坪，当面积是75平方米是，它的长和宽应是多少米？x²-40x+375=0（3）给木质器具表面刷油漆时，每平方米需用油漆100克，当我们把一个正方体表面刷满油漆时，恰好用掉油漆2400克，那么这个正方体的棱长是多少呢？a²-4=0（4）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。
（5）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。
（6）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。
（7）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。
（8）有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?（9）要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?（10）绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900㎡的一块长方形绿地,并且长比宽多10m,则绿地的长和宽名为多少? x2+10x-900=0（11）学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率. 5x2+10x-2.2=0（12）一个直角三角形的两条直角边相差3cm ，面积是9cm 2，求较长的直角边的长。
（13）用一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的无盖长方形盒子．试求出截去的小正方形的边长。
x2-70x+825＝0．（14）剪一块面积是150cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5cm ，这块铁片应怎样剪？x2+5x-150＝0（15）要设计一座高2m 的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?题组2：下列方程哪些是一元二次方程1常数方程（1）x 3－2x 2＋5＝0； （2）x 2＝1； ； （3） (x+3)(x-4)=－6（4）2（x ＋1）2＝3（x ＋1）； （5）x 2－2x ＝x 2＋1；（6）2x+1=0（7）5x ＋3＝0，（8）2x ＋ｙ＝3，（9）3122=+x ， （10）3251)2(=-x ；（11）x 2－2x ＋１＝0 (12) y 2 －x+3=7(1)x²+y+5=0 (2)x²+2x -7=0(3)x²+2=1/x (4)x²+6x(5)x(2x-3)=6 (6)3m²=2（2m ＋1）(7)x (3＋x²)＋1＝5 （8）3y －5＝4（2－y ）（9）（2k-3）（k+5）＝7k （10）2x （x+3）=6x x2+3x+2=0（11） 3 x 2=5x+2(1) x 2=0(2) 1-x 2=0(3)3y=4(2-y)(4) (x+1)2－2(x－1)2=6x－5(1) 3x十2＝5x—3(2) x2＝4(3) (x十3)(3x•4)＝(x十2)2；(4) (x—1)(x—2)＝x2十8；（1）x 2十3x十2＝O（2）x 2—3x十4＝0；(3)3x 2-5＝0（4）4x 2十3x—2＝0；(5)3x 2—5＝0； (6)6x 2—x=0.（1）x2十3x十2＝O（2）x2—3x十4＝0；(3) 3x2-5＝0（4）4x2十3x—2＝0；（5）3+2 m2 =2(2m-3)(1) 3x十2＝5x—3(2) x2＝4(3) (x十3)(3x•4)＝(x十2)2；(4) (x—1)(x—2)＝x2十8；(1)6x -2＝3-7x； (2)3x(x-1)＝2(x十2)—4；(3) (3x十2) 2＝4(x-3) 2(4)6x2＝3-7x (2)3x(x-1)＝2(x十2)—4 (5)2x(x-5)=3-x（1）x 3－2x 2＋5＝0； （2）x 2＝1； （3）； (2x-1)(x+5)=6x（4）2（x ＋1）2＝3（x ＋1）； （5）x 2－2x ＝x 2＋1；（7）5x ＋3＝0，（8）2x ＋ｙ＝3，（9）3122=+x ， （10）3251)2(=-x ；（11）x 2－2x ＋１＝02参数方程１、下列方程一定是一元二次方程的是（ ）Ａ、ax 2＋bx ＋c ＝０ Ｂ、5ｘ2－6ｙ－1＝0Ｃ、ax 2－x －2＝０ Ｄ、（ａ2＋1）x 2＋ｂx ＋ｃ＝0题组3：一般形式1.化成一般形式，写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
(1) 3x 十2＝5x 2—3(2) x 2＝4(3) (x 十3)(3x —4)＝(x 十2)2；(4) (x —1)(x —2)＝x 2十8；（5）x 2十3x 十2＝O（6）x 2—3x 十4＝0；(7)3x 2-5＝0（8）4x 2十3x —2＝0；(9)3x 2—5＝0；(10)6x 2—x=0.(11)6x -2＝3-7x 2；(12)3x(x-1)＝2(x 十2)—4；(13) (3x 十2) 2＝4(x-3) 2（14）x 2十3x 十2＝O（15）x 2—3x 十4＝0；(16) 3x 2—5＝0（17）4x 2十3x —2＝0；(18)6x 2＝3-7x(19)3x(x-1)＝2(x 十2)—4(20)(3x 十2)2＝4(x-3)(21)2x(x-5)=3-x(22) (2x-1)(x+5)=6x(23)3x 2—5＝0(24)6x 2—x=0(1) 3x 十2＝5x 2—3 (2) x 2＝4(3) (x 十3)(3x —4)＝(x 十2)2；(1)(3x 十2)2＝4(x-3) (2)2x(x-5)=3-x (3) (2x-1)(x+5)=6x（1）3x 2=5x-2 (2) 2y 2=y-7 (3) (2x-1)(3x+2)=3 (4)02122=+-+x x (5) 6x(x-1)=0 (6) (x+5)(x-5)=0（7）81542=+x x （8）)12()1)(23(-=+-x x x x(1)6x -2＝3-7x ；(2)3x(x-1)＝2(x 十2)—4；(3) (3x 十2) 2＝4(x-3)2 （1）x x 4152=- （2）8142=x（3）25)2(4=+x x （4）38)1)(23(-=+-x x x(1)6x 2＝3-7x (2)3x(x-1)＝2(x 十2)—4(1)2x(x-5)=3-x (2) (2x-1)(x+5)=6x（1）x x 3252=-——（2）015622=--x x ——（3）5)2(7)1(3-+=+y y y ——(1) 3x 十2＝5x 2—3(2) x 2＝4(3) 3x(x-1)＝2(x 十2)—4；(4) (x —1)(x —2)＝x 2十8；2项的概念1．一元二次方程x 2+3x-2=0的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2.一元二次方程4x 2=3x-2的一般形式是 ，它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是3．一元二次方程x 2+mx=2x+1的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是4.关于x 的一元二次方程2x 2+mx=3x+2不含一次项，求m 的值。
5.关于x 的一元二次方程（m+n ）x 2+21mnx —（m —n ）x=0（m+n ≠0）二次项系数与一次项系数的和为21，差为2，求常数项。
6.关于x 的一元二次方程（m —1）x 2+5x —3m+2=0常数项为0（先学习解方程）7.关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，则m 的值是（ ）2、若关于x 的一元二次方程的常数项为0，则m 的值是（ ）（A ）、1 （B ）、-1 （C ）、±1 （D ）、±2题组4：参数方程利用概念1.若方程（ｍ＋2）x |m|＋3ｍｘ＋1＝0是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值为：（ ）A 、ｍ＝±2B 、ｍ＝2 Ｃ、ｍ＝－2 Ｄ、ｍ≠±22.已知关于ｘ的方程（2ｍ－１）x 2－ｍｘ＋（ｍ＋2）＝0（1）ｍ为何值时，此方程是一元一次方程？（2）ｍ为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
3.3 x 2m-1＋10 x －1＝0是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值应为：（ ）Ａ、ｍ＝2 Ｂ、21=m Ｃ、23=m Ｄ、无法确定4.m = 时，关于x 的方程m x m xm m 4)3()2(2=+--是一元二次方程。
5. 方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？6.已知关于x 的方程(k 2-1) x 2+kx-1=0为一元二次方程，则k .7.若方程（ｍ＋２）ｘ︱m ︱＋３ｍｘ＋１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值为：（ ）A 、ｍ＝±２B 、ｍ＝２ Ｃ、ｍ＝－２ Ｄ、ｍ≠±２8.已知关于ｘ的方程（２ｍ－１）x 2－ｍｘ＋（ｍ＋２）＝０（１）ｍ为何值时，此方程是一元一次方程？（２）ｍ为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
9.方程mx 2+5x+n=0一定是( ).A.一元二次方程B.一元一次方程C.整式方程D.关于x 的一元二次方程10.关于x 的方程(m+1)x 2+2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.任意实数B. m≠－1C. m ＞1D. m ＞011．关于x 的方程03)3(12=+---x x m m 是一元二次方程，则=m .12.当m_____时，关于x 的方程（│m│－4）x²+2mx－3=0是一元二次方程 。
13.当m 是什么值时，关于x 的方程（m²－3m ＋2）x²+（m －2）x －3=0是（1）是一元二次方程（2）是一元一次方程14方程（a －1）x²+bx－5=0是一元二次方程吗？15若方程（m+2)x 2+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的16若方程10=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 17．关于x 的方程(m-3)x 2+mx-3=0是一元二次方程，则m 的取值范围是18、若方程（ｍ＋2）x |m|＋3ｍｘ＋1＝0是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值为：（ ）A 、ｍ＝±2B 、ｍ＝2 Ｃ、ｍ＝－2 Ｄ、ｍ≠±219若关于x 的一元二次方程012)1(22=-++-m x x m 的常数项为0，则m 的值是（ ）（A ）、1 （B ）、-1 （C ）、±1 （D ）、±220、3 x 2m-1＋10 x －1＝0是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值应为：（ ）Ａ、ｍ＝2 Ｂ、21=m Ｃ、23=m Ｄ、无法确定 21.关于x 的方程(m+1)x 2+2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是( )A.任意实数B. m≠－1C. m ＞1D. m ＞022.当m_____时，关于x 的方程（│m│－4）x²+2mx－3=0是一元二次方程 。