中考数学动点问题最值基本题型汇总
动点最值问题归纳及解法
在直线两侧找一点，使得到两定点的距离之和最短
作对称点，连接对称点与另一定点，与直线的交点即为所求
构造平行四边形
利用平移构造平行四边形，求最小或最大值
过一点作平行线，构造平行四边形，利用平行四边形的性质求解
相似三角形
利用相似三角形求解最值问题
根据题目条件，构造相似三角形，利用相似比求解
三角函数
利用三角函数求解最值问题
根据题目条件，构造直角三角形，利用三角函数求解
定圆到定圆
圆圆之间连心线截距最短（长）
连接两圆心，求两圆的位置关系（相交、相切、相离），再计算截距
动点路径待确定
动点路径不明确，需先确定路径
根据题目条件，利用几何性质或代数方法确定动点路径
动线（定点）位置需变换
动线或定点位置需通过变换求解
利用翻折、平移、相似、三角等变换方法，将问题转化为基本图形求解
最值问题归纳及解法
问题类型
归纳描述
解法
定点到定点
两点之间线段最短
直接连接两点求线段长度
定点到定线
点线之间垂线段最短
过点作线的垂线，求垂线段长度
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ定点到定圆
点圆之间点心线截距最短（长）
连接圆心与点，利用勾股定理或相似三角形求解
定线到定圆
线圆之间心垂线截距最短
过圆心作线的垂线，求垂线段与圆的交点，再计算截距
中考数学动点题型全归纳
中考数学动点题型全归纳
中考数学动点题型往往与圆、椭圆、双曲线等曲线有关，因此要求考生理解更深，运用相应的公式将各种题型归纳如下：
一、求曲线上的一点到其它曲线的距离
以半径为r的圆为例，求该圆上一点P到另一圆或者椭圆上的一点Q的距离，可以利用它们的公式，将它们的焦点分别求出，然后求出两点之间的距离。
二、求曲线上最短的距离
可以根据曲线的公式来求出最短的距离。
以下面的两个椭圆为例：
A、椭圆公式：$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$；
B、椭圆公式：$frac{(x-h)^2}{a^2}+frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
可以得出最短距离为：$sqrt{(h-a)^2+(k-b)^2}$。
三、求曲线上点到直线的距离
以半径为r的圆为例，求圆上一点P到直线ax+by+c=0上点Q的距离，可以用圆的标准方程将圆和直线求出截距，然后求出两点之间的距离即可。
四、求曲线上最近点到直线的距离
以半径为r的圆为例，设直线ax+by+c=0上一点Q，可以用图形的知识，将这条直线的截距求出，并利用圆的标准方程结合截距，从而求出最近点到直线的距离。
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初中数学动点最值问题19大模型+例题详解,彻底解决压轴难题
动点最值问题永远都是中考最难的压轴类题目，很多同学都反应不知道该怎么下手寻找思路。
其实这类题目的题型有限，全部总结归纳就是这19种，希望同学们对每一种都能掌握技巧，再遇见类似的就能及时找到思路。
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1、将军饮马模型（对称点模型）
2、利用三角形两边差求最值
3、手拉手全等取最值
4、手拉手相似取最值
5、平移构造平行四边形求最小
6、两点对称勺子型连接两端求最小
7、两点对称折线连两端求最小
8、时钟模型，中点两定边求最小值
9、时钟模型，相似两定边求最小值
10、转化构造两定边求最值
11、面积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化一法求最值
14、三角函数化一求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三角形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定角动弦
19、隐圆最值-动角定弦。
初中数学动点最值基本模型
动点最值根本模型一、最值类型1.饮马型：即将军饮马型,通常为两条线段之和的最值问题,利用对称性质将其中一条线段进行转换,再利用两点之间线段最短〔或三角形三边关系〕得到结果.2.小垂型：即小垂回家型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为直线,利用垂线段最短的性质得到结果.3.穿心型：即一箭穿心型,通常为一条线段的最值问题,即动点的轨迹为圆或弧,利用点与圆的位置关系得到结果.4.转换型：即一加半型,通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题,即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换,再利用饮马或小垂或穿心.5.三边型：即三角形三边关系关系型,通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大〔小〕值.6.结合型：即以上类型的综合运用,大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等※二、分类例析、饮马型例1：如图,在正方形ABCD中,点E在CD上,CE=3, DE=1,点P在AC上,贝U PE+PD 的最小值是.解析：如图例2：如下图,正方形ABCD的面积为12, A ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD 内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,那么这个最小值为一.换型图,P 四、转例5:如为菱形Z C = 90°, AC = 8, BC = 6,点 P 是 AB 上的任意一点, 作PD X AC 于点D , PE X CB 于点E ,连接DE ,贝U DE 的最小值为解析：如下列图三、穿心型例4：如图,在边长为4的菱形ABCD 中,N ABC=120°, M 是AD 边的中点,N 是AB 边上一动点,SA AMN 沿MN 翻折得到^A ,MN ,连接A ' C ,那么A ’ C 长度的最小值是—.解析：如下列图解析：如下列图、小垂型例3：如图,在Rt A ABC 中,D ADABCD内一点,且P到A、B两点的距离相等,假设N C=60°, CD=4,那么的最小值为解析：由于P到A、B两点的距离相等,所以P在AB的垂直平分线上,又因菱形ABCD 中N C为60°,所以4ABD为等边三角形,AB的垂直平分线经过点D,如下列图由N ADP=30度,可将PD的一半进行转换,即过点P作AD的垂线.如图,即B、P、F三点共线,且BF X AD时最短五、三边型例6：如图,N MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM, ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2, BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为解析：如下列图由于AB为定长,所以取其中点E,那么OE为定值,在^ODE中,DE为定值,OE为定值,根据三角形三边关系即可得到OD的最大值.例7：如图,△ABC中,N ACB=90°,BC=4, AC=8,点 D 在AC 上,且AD=6,将线段AD绕点A旋转至AD', F为BD’的中点,连结CF,那么线段CF的取值范围.解析:解法一：瓜豆原理,点F的轨迹为圆,一箭穿心便可以求出其取值范围.解法二：如下列图,取AB的中点M,连接FM,CM,由斜边上的中线等于斜边的一半得CM 为定值,由三角形中位线得FM为定值,所以在4CFM中,三边关系可得到CF的取值范围.r C例8：如图,BA=1,BC=2,以AC为一边做正方形AEDC,使E,B两点落在直线AC的两侧,当N ABC变化时,求BE的最大值.解析：将^AEB以点A中央顺时针旋转90°,得到△ACB,,如下列图所示,连接BB’,所以B' C=BE,在A BB' C中,BB'为定值,BC为定值,三角形三边关系即可得到B' C的最大值,即BE的值.6.结合型例9：如图,正方形ABCD中,AB=4, E为CD边的中点,F、G为AB、AD边上的点,且AF=2GD,连接E、DF相交于点P,当AP为最小值时,DG=解析：由AF=2GD, AD=2DE,得△AFD s^DGE.如下列图A GE X DF,那么线段AP中,A点为定点,P为动点,由N DPE为直角,所以P的轨迹为一以DE 中点为圆心的一段弧.如下列图由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线,而此时,由△DMP s^FAP可得到AP=AF 即可得到结果.AG D A※三、模考分析【庐阳二模第10题】如图,在平面直角坐标系中,A(6,0),BO8),点C在y轴正半轴上, 点D 在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF 的最大值为如图,在平面直角坐标系中,46,0)1(0,8),点C在y轴正半轴上,点D在x的正半轴上,且CD=6,以CD为直径在第一象限作半圆,交线段AB于点E、F,那么线段EF的最大值为解析：线段EF由于半圆的变化而变化,所以应将其作为弦的变化来看,而弦长又与弦心距存在变量之间的关系,所以首先作出弦心距.如下动图,所以当PQ最小时,EF最大.9方法一：穿心十小垂(P点为以O点圆心,OP为半径的弧上)求出OQ的最值,即PQ 的最小值,再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+小垂〔三角形OPQ〕求出OQ的最值【期山二模第10题】如图,在当面直角坐标系中,觉物线f二一工工+2后工的顶点为A点,且与戈轴的正半轴交于点以P点为该抛物线对称轴上一点.那么.尸+—WP的最小值为: 2、3+2而口3+2右广3Aa 5 L . □解析：由抛物线解析式可求出点A、B的坐标分别为,所以N OAP=30°,如下列图问题是.尸+上/P,转换型最值,2即过P点作PD_L03于点D,1饮马+小垂】【瑶海二模第10题】如图,矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点, 且EF=2,点G为EF的中点,点P为BC上一动点.那么PA+PG的最小值为〔〕A.3B.4C.2J5D.5解析：由于G为EF的中点,EF=2,所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧,【饮马+穿心】即A', P, G, D四点共线时,PA+PG最小〔PA+PG=PA' +PG+DG〕【练习1】如图,圆O的半径为13,弦AB长为24,弦CD长为10,点N为CD的中点,O 到弦AB的距离为OM,那么MN的最小值是【练习2】如图,A,B为圆O上两点,以AB边直角边作等腰直角三角形ABC,假设圆O的半径为5,那么OC的最小值为8。
中考动点问题经典题型归类总结附答案
专题十动点型问题考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t 的函数表达式，继而可得出函数图象． 解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：对应训练2．（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．2．A（二）线动问题例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．对应训练3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．A（三）面动问题例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．对应训练4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．4．A究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ，∴D （0，4）．∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°，∴OA=OD=4，∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：k=1，b=4，∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中：①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB -BE=（14-2t ）-3t=14-5t ，S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．对应训练5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A 运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ=12AB•QE=12BQ×12，4当0＜t≤1时，如图③．∵S △BPM =S △BQM ，∴PM=QM ．∵AB ∥QR ，∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中PBM QRMBPM MQR PM QM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤83时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．34∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或83时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7或t=95 13．当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=121 13．∴当t=7，t=9513，t=12113时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．中考真题演练一、选择题1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51．D2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变2．D3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．3．B4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．B5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．516、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），8．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7．解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ，∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），②当MN=DC=2时，MN 最小，∴ON=MN=OM ，∴∠NOM=60°，S 扇形MON 最小=23π（cm 2）， ∴23π≤S 扇形MON ≤π． 故答案为：30°．9．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA 0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．10．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．11．解：（1）当点P 运动到点F 时，∵F 为AC 的中点，AC=6cm ，∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ，∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm -3cm=5cm ，故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t -3=8，t=112， BQ 的长度为112×1=112（cm ）；（3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴DE=12AC=12×6=3， DF=12BC=12×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°，∵∠QBM=∠CBA ，∴△MBQ ∽△ABC ，∴BQ MQ BC AC=， ∴86x MQ =，MQ=34x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD=34x（7-x）即y=-34x2+214x；②当4≤x＜112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3[（8-X）-（X-3））]即y=-6x+33；③当112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x）]即y=6x-33．213．解：（1）如图，2如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中COA DEMODC MD EOC ME∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x 则CD=DM=OM -OD=4-x 则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2， ∴x 2+22=（4-x ）2∴x=32，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b ∵直线CE 过C （0，2），D （32，0）两点，则3022k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。
中考数学几何最值问题题型梳理
中考数学几何最值问题题型梳理专题1 单线段最值之单动点型例题．如图，矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点P 是矩形ABCD 内一动点，且∆∆=PAB PCD S S ，则PC PD +的最小值为_____．【解析】ABCD 为矩形，AB DC ∴= 又=PAB PCD S S∴点P 到AB 的距离与到CD 的距离相等，即点P 线段AD 垂直平分线MN 上， 连接AC ，交MN 与点P ，此时PC PD +的值最小，且PC PD AC +=====巩固1．如图，等腰Rt △ABC 中，斜边AB 的长为2，O 为AB 的中点，P 为AC 边上的动点，OQ ⊥OP 交BC 于点Q ，M 为PQ 的中点，当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长为（ ）ABC ．1D ．2【解析】连接OC ，作PE ⊥AB 于E ，MH ⊥AB 于H ，QF ⊥AB 于F ，如图，∵△ACB 为到等腰直角三角形，∴AC =BC=2AB，∠A =∠B =45°， ∵O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，OC 平分∠ACB ，OC =OA =OB =1，∴∠OCB =45°， ∵∠POQ =90°，∠COA =90°，∴∠AOP =∠COQ ，在Rt △AOP 和△COQ 中，A OCQ AO COAOP COQ ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴Rt △AOP ≌△COQ ，∴AP =CQ ， 易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，∴PE=2AP=2CQ ，QF2BQ ， ∴PE +QF=2，CQ +BQ，=2BC=2∵M 点为PQ 的中点， ∴MH 为梯形PEFQ 的中位线，∴MH =12，PE +QF ，=12，即点M 到AB 的距离为12， 而CO =1，∴点M 的运动路线为△ABC 的中位线，∴当点P 从点A 运动到点C 时，点M 所经过的路线长=12AB =1，选C ， 巩固2．如图，在平面内，线段AB =6，P 为线段AB 上的动点，三角形纸片CDE 的边CD 所在的直线与线段AB 垂直相交于点P ，且满足PC =P A ．若点P 沿AB 方向从点A 运动到点B ，则点E 运动的路径长为______，【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC′，点E运动的路径为EE′，由平移的性质可知AC′=EE′，在Rt，ABC′中，易知AB=BC′=6，∠ABC′=90°，，EE′=AC巩固3．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是直线AB上一点．将线段CD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连结BE．（1）若点D在AB边上（不与A，B重合）请依题意补全图并证明AD=BE；（2）连接AE，当AE的长最小时，求CD的长．【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE，理由如下：∵∵ABC是等边三角形，∵AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，由旋转的性质得：∠ACB=∠DCE=60°，CD=CE，∵∠ACD=∠BCE，∵∵ACD≌∵BCE（S A S），∵AD=BE．（2）如图2，过点A作AF⊥EB交EB延长线于点F．∵∵ACD≌∵BCE，∵∠CBE=∠A=60°，∵点E的运动轨迹是直线BE，根据垂线段最短可知：当点E与F重合时，AE的值最小，此时CD=CE=CF，∵∠ACB=∠CBE=60°，∵AC∥EF，又∵AF⊥BE，∵AF⊥AC，在Rt∵ACF中，∵CF∵CD=CF=.例题．如图，点D 在半圆O 上，半径5OB =，4=AD ，点C 在弧BD 上移动，连接AC ，作DH AC ⊥，垂足为H ，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是______．【解析】如图，设AD 的中点为点E ，则114222EA ED AD ===⨯= 由题意得，点H 的运动轨迹在以点E 为圆心，EA 为半径的圆上由点与圆的位置关系得：连接BE ，与圆E 交于点H ，此时BH 取得最小值，2EH = 连接BDAB 为半圆O 的直径，90ADB ∴∠=︒BD ∴===BE ∴===2BH BE EH ∴=-=巩固1．如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =4，在长方形的内部以CD 边为斜边任意作Rt ∵CDE ，连接AE ，则线段AE 长的最小值是_____．【解析】如图，点E '在以点F 为圆心，DF 为半径的圆上运动，当A ,E ,F 三点共线时，AE 值最小，DF =12×6=3，在长方形ABCD 中，AD =BC =4，由勾股定理得：AF ． ∵EF =12CD =12×6=3，∵AE =AF ﹣EF =5﹣3=2，即线段AE 长的最小值是2．巩固3．如图，Rt ABC △中，AB BC ⊥，6AB =，4BC =，P 是ABC △内部的一个动点，且满足90PAB PBA ︒∠+∠=，则线段CP 长的最小值为________.【解析】∵∠P AB +∠PBA =90°，∵∠APB =90°，∵点P 在以AB 为直径的弧上（P 在∵ABC 内），设以AB 为直径的圆心为点O ，如图，接OC ，交∵O 于点P ，此时的PC 最短∵AB =6，∵OB =3，∵BC =4，∵5OC ==，∵PC =5-3=2巩固4．如图，在Rt ABC ∆中，90︒∠=C ，4AC =，3BC =，点O 是AB 的三等分点，半圆O 与AC 相切，M ，N 分别是BC 与半圆弧上的动点，则MN 的最小值和最大值之和是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】如图，设∵O 与AC 相切于点D ，连接OD ，作OP BC ⊥垂足为P 交∵O 于F ， 此时垂线段OP 最短，PF 最小值为OP OF -，∵4AC =，3BC =，∵5AB =，∵90OPB ︒∠=，∵OP AC ∥∵点O 是AB 的三等分点，∵210533OB =⨯=，23OP OB AC AB ==，∵83OP =， ∵∵O 与AC 相切于点D ，∵OD AC ⊥，∵OD BC ∥，∵13OD OA BC AB ==，∵1OD =， ∵MN 最小值为85133OP OF -=-=， 如图，当N 在AB 边上时，M 与B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长， MN 最大值1013133=+=，513+=633,∵MN 长的最大值与最小值的和是6．选B ． 巩固5．如下图所示，在矩形纸片ABCD 中，2AB =，3AD =，点E 是AB 的中点，点F 是AD 边上的一个动点，将AEF 沿EF 所在直线翻折，得到'A EF △，则'A C 的长的最小值是( )A ．2B ．3C 1D 1【解析】以点E 为圆心，AE 长度为半径作圆，连接CE ，当点'A 在线段CE 上时，A'C 的长取最小值，如图所示，根据折叠可知：112A'E AE AB ===．在Rt BCE △中，112BE AB ==，3BC =，90B ∠=，CE ∴，A'C ∴的最小值1CE A'E =-=．选D ．技法1：借助直角三角形斜边上的中线例题1．如图，在∵ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是（ ）A ．6B ．C ．D ．【解析】如图，取CA 的中点D ，连接OD 、BD ，则OD =CD =AC =×4=2，由勾股定理得，BD ==2，当O 、D 、B 三点共线时点B 到原点的距离最大，所以，点B 到原点的最大距离是2+2．技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边例题2．如图，已知等边三角形ABC 边长为A 、B 分别在平面直角坐标系的x 轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C 在第四象限，连接OC ，则线段OC 长的最小值是（ ）A 1B ．3C ．3D 【解析】如图所示：过点C 作CE ⊥AB 于点E ，连接OE ，∵∵ABC 是等边三角形，∵CE =AC ×si n 60°=3=，AE =BE ，∵∠AOB =90°，∵EO 12=AB =∵EC -OE ≥OC ， ∵当点C ，O ，E 在一条直线上，此时OC 最短，故OC 的最小值为：OC ＝CE ﹣EO ＝3B ．巩固1．如图，∠MON =90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB =4，BC =2.运动过程中点D 到点O 的最大距离是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD ≤OE +DE ，∵当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，此时，∵AB =4，BC =2，∵OE =AE =12AB =2，DE=∵OD 的最大值为，巩固2．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=，将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到'',A B C M ∆是BC 的中点，N 是''A B 的中点，连接MN ，若4,60BC ABC =∠=︒，则线段MN 的最大值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．6【解析】连接CN ，∵将ABC ∆绕顶点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，∵''=90A CB ACB ∠=∠︒，''460'B C BC A B C ABC ==∠=∠=︒，，∵'30A ∠=︒，''8A B =，∵N 是''A B 的中点，∵1''42CN A B ==， ∵在△CMN 中，MN ＜CM +CN ，当且仅当M ，C ，N 三点共线时，MN =CM +CN =6， ∵线段MN 的最大值为6．选D ．技法3：借助构建全等图形例题3．如图，在∵ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝5，点P 是AC 上的动点，连接BP ，以BP 为边作等边∵BPQ ，连接CQ ，则点P 在运动过程中，线段CQ 长度的最小值是______．【解析】如图，取AB 的中点E ，连接CE ，PE ．∵∠ACB =90°，∠A =30°，∵∠CBE =60°， ∵BE =AE ，∵CE =BE =AE ，∵∵BCE 是等边三角形，∵BC =BE ，∵∠PBQ =∠CBE =60°， ∵∠QBC =∠PBE ，∵QB =PB ，CB =EB ，∵∵QBC ≌∵PBE （S A S ），∵QC =PE ，∵当EP ⊥AC 时，QC 的值最小，在Rt ∵AEP 中，∵AE =52，∠A =30°，∵PE =12AE =54，∵CQ 的最小值为54．巩固4．如图，边长为12的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连结MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连结HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．2D ．1．5【解析】如图，取BC 的中点G ，连接M G ，∵旋转角为60°，∵∠MBH +∠HBN =60°， 又∵∠MBH +∠MBC =∠ABC =60°，∵∠HBN =∠G BM ，∵CH 是等边∵ABC 的对称轴，∵HB =12AB ，∵HB =B G ，又∵MB 旋转到BN ，∵BM =BN ， 在∵MB G 和∵NBH 中，BG BH MBG NBH MB NB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵MB G ≌∵NBH （S A S ），∵M G=NH ，根据垂线段最短，当M G ⊥CH 时，M G 最短，即HN 最短，此时∠BCH =12×60°=30°，C G=12AB =12×12=6，∵M G=12C G=12×6=3，∵HN =3；选B ． 技法4：借助中位线例题4．如图，在等腰直角∆ABC 中，斜边AB 的长度为 8，以AC 为直径作圆，点P 为半圆上的动点，连接BP ，取BP 的中点M ，则CM 的最小值为（ ）A． B．CD．【解析】连接AP 、CP ，分别取AB 、BC 的中点E 、F ，连接EF 、EM 和FM ，，EM 、FM 和EF 分别是，ABP 、，CBP 和，ABC 的中位线，EM ∥AP ，FM ∥CP ，EF ∥AC ，EF =12AC ，，∠EFC =180°－∠ACB =90° ，AC 为直径，，∠APC =90°，即AP ⊥CP ，，EM ⊥MF ，即∠EMF =90°，点M 的运动轨迹为以EF 为直径的半圆上，取EF 的中点O ，连接OC ，点O即为半圆的圆心，当O 、M 、C 共线时，CM 最小，如图所示，CM 最小为CM 1的长，，等腰直角∆ABC 中，斜边 AB 的长度为 8，，AC =BC AB =，EF =12AC =FC =12BC =，OM 1=OF =12EF根据勾股定理可得OC =，CM 1=OC －OM 1即CM ，选C ．巩固5．如图，抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ，两点，D 是以点()0,4C 为圆心，1为半径的圆上的动点，E 是线段AD 的中点，连接,OE BD ，则线段OE 的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．52D ．3 【解析】∵2119y x =-，∵当0y =时，21019x =-，解得：=3x ±， ∵A 点与B 点坐标分别为：(3-，0)，(3，0)，即：AO =BO =3，∵O 点为AB 的中点，又∵圆心C 坐标为(0，4)，∵OC =4，∵BC 长度5=，∵O 点为AB 的中点，E 点为AD 的中点，∵OE 为∵ABD 的中位线，即：OE =12BD ， ∵D 点是圆上的动点，由图可知，BD 最小值即为BC 长减去圆的半径，∵BD 的最小值为4，∵OE =12BD =2，即OE 的最小值为2，选A . 专题2 单线段最值之双动点型技法1借助等量代换实现转化例题1．如图，ABC ∆中，90B ︒∠=，4AB =，3BC =，点D 是AC 上的任意一点，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的最小值是_________．【解析】连接BD ，90,B DE AB DF BC ︒∠=⊥⊥，∴四边形BEDF 是矩形。
专题三中考数学动点最值
专题三、动点最值定值问题类型一：两定一动图1 图2图1，同侧求和，有最小值，原理：两点之间线段最短；AC+BC最短；图2，异侧求差，有最大值，原理：三角形的两边之差小于第三边；AP-BP最长。
例：如图，正方形的边长为，是的中点，是对角线上一动点，则的最小值是。
练习：1、如图，已知：抛物线的对称轴为，与轴交于、两点，与轴交于点，其中，。
（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标。
2、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为（3,4）,D是OA的中点，点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为（）A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）2T 3T3、小明是我校手工社团的一员,他在做折纸手工,如图所示在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点F是边CD上的任意一点,△AEF的周长最小时,则DF的长为（）A.1B.2C.3D.44、如图,在平面直角坐标系中,Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上.顶点B 的坐标为（3,），点C的坐标为（0.5,0）,点P 为斜边OB 上的一个动点,则PA+PC 的最小值为（ ）A. B. C. D.25、已知抛物线21y=x bx 2+经过点A （4，0）．设点C （1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得|AD ﹣CD|的值最大，则D 点的坐标为_ _． 6、如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A （0，4），B （1，0），C （5，0），其对称轴与x 轴相交于点M ．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使|AP-PC |的值最大？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；类型二、两动一定（三条或四条线段和最短，四条中会有一条定长） 双对称，作定点的两个对称点； 原理两点间线段最短；例1：如图，点P 是MON ∠内的一点，分别在OM ，ON 上作点A 、B ，使PAB ∆的周长最小．ABP 1P 2PNO M图1Q'QP'P MONBA图2例2：如图，点P，Q为MON内的两点，分别在OM，ON上作点A、B，使四边形PAQB的周长最小．练习：1、如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 ( )A.50°B.60°C.70°D.80°2、如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内的一个定点，OP=20cm，点C、D分别是OA、OB上的动点，连结CP、DP、CD，则△CPD周长的最小值为( )A.10cmB.15cmC.20cmD.40cm3、如图，圆柱底面周长为4cm，高为9cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为cm.4、已知∠AOB=30°,点P、Q分别是边OA、OB上的定点,OP=3,OQ=4,点M、N是分别是边OA、OB上的动点,则折线P﹣N﹣M﹣Q长度的最小值是．5、恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，如图建立直角坐标系。
初中数学动点问题大全
初中数学动点问题大全动点问题一直是中考热点题型，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数值、线段或面积的最值问题等，下面就此问题的常见题型作简单介绍。
题型一动点形成的面积问题1．面积公式：三角形面积用12S ah =来表示，利用未知数的代数式来表示底和高。
2．面积比等于相似比的平方：面积无法用底和高表示时，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解，只需要知道相似比和另一个三角形面积即可表示。
3．相似三角形：当面积公式和面积比等于相似比的平方不能有效解题时，利用相似三角形的比例关系求解。
角度1：利用公式法解决动点面积问题例题1：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点30A （，）和23B （，）．过点A 的直线与y 轴的负半轴相交于点C ，且1tan 3CAO ∠=．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB 、BC ，求ABC ∠的正切值；（3）若点D 在x 轴下方的对称轴上，当ABC ADC S S ∆∆=时，求点D 的坐标．变式1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为(,3)a （其中4a >），射线O 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x=的图像上，且//AB x 轴，//AC y 轴．（1）当点P 横坐标为6，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB BO =时，求点A 坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想：ABP ACP S S ∆∆的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S ∆∆的值；如果变化，请说明理由．O x y （备用图）O xy解析：（1）∵反比例函数12y x=的图像经过横坐标为6的点P ，∴点P 的坐标为（6，2）．设直线AO 的表达式为y kx =（0k ≠）．将点P （6，2）代入y kx =，解得13k =．∴所求反比例函数的解析式为13y x =．（2）∵AB //x 轴，∴点B 纵坐标为3，将3y =代入12y x=，得4x =．∴B 坐标为（4，3）．∵AB =BO ，∴224(40)(30)a -=-+-9a =．∴点A 坐标为（9，3）．（3）不变．延长AB 交y 轴于点D ，延长AC 交x 轴于点E ，∴32ADO AEO S S a ∆∆==．∵点C 坐标为（a ，12a ）．∴6CEO S ∆=，同理6BDO S ∆=，∴ADO BDO AEO CEO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ABO ACO S S ∆∆=．∵△ABP 与△ABO 同高，∴ABP ABO S AP S AO ∆∆=．同理ACP ACO S AP S AO ∆∆=．∴1ABP ACP S S ∆∆=．即当a 变化时，ABP ACPS S ∆∆的值不变，且恒为1变式2：如图，在直角坐标系中，一条抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(3,0)B ，(0,4)C ，点A 在x 轴的负半轴上，4OC OA =；（1）求这条抛物线的解析式，并求出它的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，点P 是x 轴正半轴上一个动点，过点P 作//PM BC 交射线AC 于点M ，联结CP ，若CPM ∆的面积为2，则请求出点P 的坐标；解析：（1）设这条抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠它的顶点坐标为16(1,)3（2）过点P 作PH AC ⊥，垂足为H .∵P 点在x 轴的正半轴上，∴设0P x （，）.∵A )0,1(-，∴1PA x =+.∵在Rt AOC ∆中，222OA OC AC +=；又∵14OA OC ==，∴17AC =90sin 117PH PH PHA CAO AP x ∠=︒∴∠===+ 17PH =//BP CM PM BC AB AC ∴= ；300B P x （，），（，）1点P 在点B 的左侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)4x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)12217x -=解得110x .P =∴（，）2点P 在点B 的右侧时，3BP x =-，∴3417x -=17(3)x CM -=∵2PCM S =△∴122CM PH ⋅⋅=，∴17(3)122417x -=解得11x =+，21x =-（不合题意，舍去）∴P（1+0）.综上所述，P 的坐标为（1，0）或（1+0）角度2：利用面积比等于相似比的平方解决动点面积问题例题2：如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，5AB DC ==，4AD =．M 、N 分别是边AD 、BC 上的任意一点，联结AN 、DN ．点E 、F 分别在线段AN 、DN 上，且//ME DN ，//MF AN ，联结EF ．（1）如图1，如果//EF BC ，求EF 的长；（2）如果四边形MENF 的面积是ADN ∆的面积的38，求AM 的长；解析：（1）∵AD //BC ，EF //BC ，∴EF //A D ．又∵ME //DN ，∴四边形EF DM 是平行四边形．∴EF =DM ．同理可证，EF =AM ．∴AM =DM ．∵AD =4，∴122EF AM AD ===．（2）∵38ADN MENF S S ∆=四边形，∴58AME DMF ADN S S S ∆∆∆+=．即得58AME DMF ADN ADN S S S S ∆∆∆∆+=．∵ME //DN ，∴△AME ∽△AN D ．∴22AME ADN S AM S AD∆∆=．同理可证，△DM F ∽△DN A ．即得22DMF ADN S DM S AD ∆∆=．设AM =x ，则4DM AD AM x =-=-．∴22(4)516168x x -+=．即得2430x x -+=．解得11x =，23x =．∴AM 的长为1或3．A B CD M N EF （图1）AB C D M N E F变式3：已知直线1l 、2l ，12//l l ，点A 是1l 上的点，B 、C 是2l 上的点，AC BC ⊥，60ABC ∠=︒，4AB =，O 是AB 的中点，D 是CB 延长线上的点，将DOC ∆沿直线CO 翻折，点D 与'D 重合．（1）如图1，当点'D 落在直线1l 上时，求DB 的长；（2）延长DO 交1l 于点E ，直线'OD 分别交1l 、2l 于点M 、N ．①如图2，当点E 在线段AM 上时，设x AE =，y DN =，求y 关于x 的函数解析式及其定义域；②若DON ∆的面积为323时，求AE 的长．解析：变式4：如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BC AC ⊥，4AD =cm ，︒=∠45D ，3=BC cm ．（1）求B ∠cos 的值；（2）点E 为BC 延长线上的动点，点F 在线段CD 上（点F 与点C 不重合），且满足ADE AFC ∠=∠，如图2，设x BE =，y DF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）点E 为射线BC 上的动点，点F 在射线CD 上，仍然满足ADE AFC ∠=∠，当AFD ∆的面积为2cm 2时，求BE 的长．解析：（1）∵//AD BC ，∴ACB DAC ∠=∠.∵AC BC ⊥，∴90ACB ∠=︒.∴90DAC ∠=︒.∵45D ∠=︒，∴45ACD ∠=︒.∴AD AC =.∵4AD =，∴4AC =.∵3=BC ，∴5AB ==.∴3cos 5BC B AB ∠==.（2）∵//AD BC ，∴ADF DCE ∠=∠.∵AFC FDA FAD ∠=∠+∠，ADE FDA EDC ∠=∠+∠，又AFC ADE ∠=∠，∴FAD EDC ∠=∠.∴ADF DCE ∆~∆.∴AD DF DC CE =.在Rt ADC ∆中，222AC AD DC +=，又4==AC AD ，∴24=DC .∵x BE =，∴3-=x CE .y DF =，∴3244-=x y .22322-=x y .定义域为113<<x .（3）当点E 在BC 的延长线上，由（2）可得：ADF DCE ∆~∆，∴2(DC AD S S DCE ADF =∆∆.∵2AFD S ∆=，4=AD ，24=DC ，∴4=∆DCE S .∵AC CE S DCE ⨯⨯=∆21，∴44)3(21=⨯-⨯BE ，∴5BE =.当点E 在线段BC 上，同理可得：44)3(21=⨯-⨯BE .∴1BE =.所以BE 的长为5或1.角度3：利用锐角三角比法解决动点面积问题例题3：已知在平面直角坐标系xoy （如图）中，抛物线212y x bx c =++经过点(4,0)A 、点(0,4)C -，点B 与点A 关于这条抛物线的对称轴对称；（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；（2）联结AC 、BC ，求ACB ∠的正弦值；（3）点P 是这条抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为(0)m m >，过点P 作y 轴的垂线PQ ，垂足为Q ，如果QPO BCO ∠=∠，求m 的值；解析：变式5：已知在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2(0)y ax bx c a =++>与x 轴相交于(1,0),(3,0)A B -两点，对称轴l 与x 轴相交于点C ，顶点为点D ，且ADC ∠的正切值为12．（1）求顶点D 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F 点是抛物线上的一点，且位于第一象限，联结AF ，若FAC ADC ∠=∠，求F 点的坐标．解析：（1）∵抛物线与x 轴相交于()1,0A -，()3,0B 两点，∴对称轴l ：直线1x =，2AC =∵90ACD ∠=︒，1tan 2ADC ∠=，∴4CD =，∵0a >，∴()1,4D -（2）设()214y a x =--将1,0x y =-=代入上式，得，1a =所以，这条抛物线的表达为223y x x =--（3）过点F 作FH x ⊥轴，垂足为点H设()2,23F x x x --，∵FAC ADC ∠=∠，∴tan tan FAC ADC ∠=∠，∵1tan 2ADC ∠=，∴1tan 2FH FAC AH ∠==∵223FH x x =--，1AH x =+，∴223112x x x --=+解得172x =，21x =-（舍），∴79,24F ⎛⎫ ⎪⎝⎭巩固1：如图，在直角坐标系xOy 中，抛物线c ax ax y +-=22与x 轴的正半轴相交于点A 、与y 轴的正半轴相交于点B ，它的对称轴与x 轴相交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，3AC =．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF OA ⊥，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且2:3:=∆∆AFG ADG S S ，求点D 的坐标．解析：（1）∵抛物线c ax ax y +-=22的对称轴为直线12=--=a a x ，∴OC =1，OA =OC +AC =4，∴点A （4，0）．∵∠OBC =∠OAB ，∴tan ∠OAB =tan ∠OBC ，∴OBOC OA OB =，∴OB OB 14=，∴OB =2，∴点B （0，2），∴⎩⎨⎧+-==,8160,2c a a c ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,41c a ∴此抛物线的表达式为221412++-=x x y ．（2）由2:3:=∆∆AFG ADG S S 得DG ：FG =3：2，DF ：FG =5：2，设m OF =，得m AF -=4，221412++-=m m DF ，由FG //OB ，得OA AF OB FG =，∴24m FG -=，∴2:524:)22141(2=-++-m m m ，∴01272=+-m m ，∴4,321==m m （不符合题意，舍去），∴点D 的坐标是（3，45）巩固2：如图，已知ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，点D 在边AC 上（不与A 、C 重合），DE 与AB 相交于点F ．（1）求证：BCD DAF ∆∆∽；（2）若1BC =，设CD x =，AF y =；①求y 关于x 的函数解析式及定义域；②当x 为何值时，79BEF BCD S S ∆∆=？（1）证明：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60A C BDE ∠=∠=∠=︒A C BO yx∵ADF BDE C DBC ∠+∠=∠+∠，∴ADF DBC ∠=∠，∴BCD ∆∽DAF∆（2）∵BCD ∆∽DAF ∆，∴BC CD AD AF=∵1BC =，设CD x =，AF y =，∴11x x y=-，∴()201y x x x =-<<（3）解法一：∵ABC ∆与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∴BE BF BC BD=，∵BE BD =，1BC =，∴2BE BF =∵EBF ∆∽CBD ∆，79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCD S BE S BC ∆∆==，∴279BE BF ==，∴29AF =∴229x x -=，解得1221,33x x ==，∴当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=解法二：∵△ABC 与BDE ∆都是等边三角形，∴60E C ∠=∠=︒，60EBD CBA ∠=∠=︒，∴EBF CBD∠=∠∴EBF ∆∽CBD ∆，∵79BEF BCD S S ∆∆=，∴2279BEF BCDS BE S BC ∆∆==∵1BC =，BE BD =，∴279BD =过点B 作BH AC ⊥于点H ，∵60C ∠=︒，∴BH =16DH =，12CH =当点D 在线段CH 上时，111263CD CH DH =-=-=当点D 在线段CH 的延长线上时，112263CD CH DH =+=+=综上所述，当13x =或23时，79BEF BCD S S ∆∆=．巩固3：在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 是射线DA 上一动点，将三角板直角顶点重合于点P ，三角板两直角边中的一边始终经过点C ，另一直角边交射线BA 于点E ．（1）判断EAP ∆与PDC ∆一定相似吗？请证明你的结论；（2）设PD x =，AE y =，求y 与x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）是否存在这样的点P ，是EAP ∆周长等于PDC ∆周长的2倍？若存在，请求出PD 的长度；若不存在，请简要说明理由．解析：（1）△EAP ∽△PDC①当P 在AD 边上时，如图（1）：∵矩形ABCD ，==90D A ∠∠ ，∴1+2=90∠∠据题意=90CPE ∠ ∴3+2=90∠∠ ，∴1=3∠∠，∴△EAP ∽△PDC②当P 在AD 边上时，如图（2）：同理可得△EAP ∽△PDC（2）若点P 在边AD 上，据题意：PD x =6PA x =-4DC =AE y =又∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴22613442x x y x x -==-+()06x <<若点P 在边DA 延长线上时，据题意PD x =，则6PA x =-，4DC =，AE y =，∵△EAP ∽△PDC ，∴AE PA PD DC =，∴64y x x -=，∴()2664x x y x -=>（3）假如存在这样的点P ，使△EAP 周长等于PDC ∆的2倍①若点P 在边AD 上∵△EAP ∽△PDC ∴():6:4EAP PDC C C x =- ，∴()6:42x -=，∴2x =-不合题意舍去；②若点P 在边DA 延长线上，同理得()6:42x -=，∴14x =综上所述：存在这样的点P 满足题意，此时14PD =巩固4：如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ．（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）已知点M 在y 轴上，OMB OAB ACB ∠+∠=∠，求点M 的坐标．解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过点(0,4)A -，点(2,0)B -，点(4,0)C ∴44201640c a b c a b c =-⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩解得方程组的解为1214a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩∴这个抛物线的解析式为：2142y x x =--顶点为9(1,)2-（2）如图：取OA 的中点，记为点N ∵OA =OC =4，∠AOC =90°∴∠ACB =45°∵点N 是OA 的中点∴ON =2又∵OB =2∴OB =ON又∵∠BON =90°∴∠ONB =45°∴∠ACB =∠ONB∵∠OMB +∠OAB =∠ACB ∠NBA +∠OAB =∠ONB ∴∠OMB =∠NBA1°当点M 在点N 的上方时，记为M 1∵∠BAN =∠M 1AB ，∠NBA =∠OM 1B ，∴△ABN ∽△AM 1B ∴1AN AB AB AM =又∵AN =2，AB =∴110AM =又∵A （0，—4）∴1(0,6)M 2°当点M 在点N 的下方时，记为M 2，点M 1与点M 2关于x 轴对称，∴2(0,6)M -综上所述，点M 的坐标为(0,6)或(0,6)-题型二动点形成的相切问题1．直线和圆相切：圆心到直线距离等于半径构造直角三角形，利用三角比、勾股定理等来表示圆心到直线距离及半径，建立等量关系2．圆和圆相切：两圆半径和等于圆心距．利用平行线分线段成比例、勾股定理、三角比、相似等表示相关线段，建立等量关系角度4：直线与圆相切问题例题4：如图，在ABC ∆中，10,12,AB AC BC ===点E F 、分别在边BC AC 、上（点F 不与点A 、C 重合）//EF AB ．把ABC ∆沿直线EF 翻折，点C 与点D 重合，设FC x =．（1）求B ∠的余切值；（2）当点D 在ABC ∆的外部时，DE DF 、分别交AB 于M 、N ，若MN y =，求y 关于x 的函数关系式并写出定义域；（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E 为圆心、BE 长为半径的E 与边AC 1没有公共点时，求x 的取值范围．2一个公共点时，求x 的取值范围．3两个公共点时，求x 的取值范围．AE CB FA B D GC EF变式6：已知：矩形ABCD 中，过点B 作BG ⊥AC 交AC 于点E ，分别交射线AD 于F 点、交射线CD 于G 点，BC ＝6．（1）当点F 为AD 中点时，求AB 的长；（2）联结AG ，设AFG AB x S y ∆==,,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）是否存在x 的值，使以D 为圆心的圆与BC 、BG 都相切？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）∵点F 为AD 中点，且AD =BC =6，∴AF =3∵矩形ABCD 中，∠ABC =90°，BG ⊥AC 于点E ，∴∠ABE +∠EBC =90°，∠AC ∠EBC =90°∴∠ABE =∠ACB ，∴△ABF ∽△BCF ，∴AB AF BC AB =∴AB =23（2）由（1）可得△ABF ∽△BCF ∴AB AF BC AB =∵AB ＝x ，BC ＝6∴AF =62x ；同理可得：CG =x36①当F 点在线段AD 上时DG =CG -CD =x x x x 23636-=-∴S ⊿AFG =1236213x x CG AF -=⋅。
初三中考动点题型总结
初三中考动点题型总结
嘿，同学们！今天咱就来好好唠唠初三中考的动点题型！这动点题型啊，那可真是让咱又爱又恨呐！就好像是游戏里的大 boss，难是难，可
一旦攻克了，那成就感爆棚啊！比如说在一个直角三角形中，有一个点在边上不停移动，问你各种边长啊、角度啊之类的问题（例如：已知直角三角形ABC，直角边 AB=3，AC=4，点 P 在 BC 边上移动，问当 PA 垂直于 BC 时，PA 的长度是多少）。
动点题型就像一个神秘的宝藏盒，你永远不知道打开后会遇到什么难题！但就是这种神秘感，让我们充满了探索的欲望，不是吗！有时候一个看似简单的图形，因为动点的加入，一下子就变得超级复杂啦！就好像平静的湖面扔进了一颗石子，瞬间激起千层浪。
咱就得像侦探一样，抽丝剥茧地去分析。
想象一下，有个动点在那不停地窜来窜去，你得紧紧盯着它，看它到底想干啥（就像一个调皮的孩子在那儿捣乱，我们得想办法抓住他）。
在解决动点问题的时候，咱们得时刻保持头脑清醒，一点儿也马虎不得！要认真分析每个条件，把能用上的都用上。
画个图，仔细标注，别放过任何一个细节哟！而且，还得学会从复杂的图形中找到关键信息，这可是个技术活！就拿一个圆来说吧，上面有个点在动，看着都让人头晕（天哪，那复杂
的线条，脑袋都大了），但咱可不能怕，鼓起勇气，一点点分析，肯定能找到答案！
最后我想说，中考动点题型虽然难，但只要我们认真对待，多练习，多总结，就一定能战胜它！别被它吓倒，要相信自己的能力！我们一起加油，搞定动点题型，在中考中取得好成绩！。
中考数学常见题型几何动点问题
中考数学压轴题型研究（一）——动点几何问题例1：在△ABC 中，∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, (1)求△ABC 的面积；(2)现有动点P 从A 点出发，沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。
如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积是△ABC 的面积的一半？(3)在第（2）问题前提下，P ,Q 两点之间的距离是多少？例2: ()已知正方形ABCD 的边长是1，E 为CD 边的中点， P 为正方形ABCD 边上的一个动点，动点P 从A 点出发，沿A →B → C →E 运动，到达点E.若点P 经过的路程为自变量x ，△APE 的面积为函数y ，（1）写出y 与x 的关系式 (2)求当y ＝13时，x 的值等于多少？例3：如图1 ，在直角梯形ABCD 中，∠B=90°，DC ∥AB ，动点P 从B 点出发，沿梯形的边由B →C → D → A 运动，设点P 运动的路程为x ,△ABP 的面积为y , 如果关于x 的函数y 的图象如图2所示 ，那么△ABC 的面积为（ ）A ．32B ．18C ．16D ．10ACB By例4：直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．例5：已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒．（1）线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．例6：如图（3），在梯形ABCD 中，906DC AB A AD ∠==∥，°，厘米，4DC =厘米，BC 的坡度34i =∶，动点P 从A 出发以2厘米/秒的速度沿AB 方向向点B 运动，动点Q 从点B 出发以3厘米/秒的速度沿B C D →→方向向点D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．（1）求边BC 的长；（2）当t 为何值时，PC 与BQ 相互平分；图（3）BC PQBA MN（3）连结PQ ，设PBQ △的面积为y ，探求y 与t 的函数关系式，求t 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。
中考数学动点最值问题
动点最值问题【考查知识点】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
【解题思路】找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.求线段和的最小值需要用到三个基本知识：两点之间，线段最短；轴对称的性质；线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.常见情况有三种：“两点一线”型、“一点两线”型和“两点连线” 型.平面上最短路径问题：(1)归于“两点之间的连线中，线段最短”。
凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”。
凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。
(3)平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题。
【方法归纳】在平面几何的动态问题中，求几何量的最大值或最小值问题常会运用以下知识：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点之间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长；⑤利用对称的性质求两条线段之和最小的问题，解决此类问题的方法为：如图，要求线段l上的一动点P 到点A、B距离和的最小值，先作点A关于直线L的对称点A′,连接A′B,则A′B与直线L的交点即为P点，根据对称性可知A′B的长即为PA+PB的最小值，求出A′B的值即可.【典型例题】一、将军饮马基础1．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，则线段EP ＋FP 的长最短为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，MN 是等边三角形ABC 的一条对称轴，D 为AC 的中点，点P 是直线MN 上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD 的度数是( )A ．30°B ．15°C ．20°D ．35°3. 如图：等腰△ABC 的底边BC 长为6，面积是18，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为( )A ．6B ．8C ．9D ．104．如图，等腰三角形ABC 底边BC 的长为4 cm ，面积为12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一点，则△BDM 的周长最小值为( )A ．5 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm二、平面直角坐标系中的最值1．如图，在R t A B O 中，90O B A ∠=︒，()4,4A ，点C 在边A B 上，且13A CC B =，点D 为O B 的中点，点P 为边O A 上的动点，当点P 在O A 上移动时，使四边形P D B C 周长最小的点P 的坐标为( )A ．()2,2B ．55,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．88,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()3,32．在平面直角坐标系中，Rt △AOB 的两条直角边OA 、OB 分别在x 轴和y 轴上，OA=3，OB=4．把△AOB 绕点A 顺时针旋转120°，得到△ADC ．边OB 上的一点M 旋转后的对应点为M′，当AM′+DM 取得最小值时，点M 的坐标为( )A ．(0，335 ) B ．(0，34) C ．(0，35) D ．(0，3)3．直线y ＝x ＋4与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C ，D 分别为线段AB ，OB 的中点，点P 为OA 上一动点，PC ＋PD 值最小时点P 的坐标为( ).A ．(－3，0)B ．(－6，0)C ．(－，0)D ．(－，0)三、双动点最值问题1. 如图，A B C ∆是等边三角形，13A D A B =，点E 、F 分别为边A C 、B C 上的动点，当D E F ∆的周长最小时，F D E ∠的度数是______________.2. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O 的动点，则△PMN周长的最小值是()A．362B．332C．6 D．33．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为( )A．130°B．120°C．110°D．100°4．如图，四边形ABCD中，∠C=，∠B=∠D=，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )．A．50°B．60°C．70°D．80°四、与圆有关的最值1. 如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD 的最大值为___．2．如图，已知点A 是以MN 为直径的半圆上一个三等分点，点B 是弧A N 的中点，点P 是半径ON 上的点．若⊙O 的半径为l ，则AP+BP 的最小值为( )A ．2B ．3C ．2D ．1 3．如图，A C 是O 的弦，5A C ＝，点B 是O 上的一个动点，且45A B C ∠︒＝，若点,M N 分别是,A C B C 的中点，则M N 的最大值是_____．五、角平分线有关的最值1．如图，∠AOB ＝60°，点M ，N 分别是射线OA ，OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，OP ＝8，当△PMN 周长取最小值时，△OMN 的面积为_____．2．如图，在R t A B C ∆中，90A C B ∠=︒，3A C =，4B C =，A D 是B A C ∠的平分线.若P ，Q 分别是A D 和A C 上的动点，则P C P Q +的最小值是__________.3．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为．六、最值与特殊角1．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N(3，0)是OB上的一定点，点M 是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．。
初中数学动点最值问题19大模型+例题详解
初中数学动点最值问题19⼤模型+例题详解
动点最值问题是中考最难的压轴类题⽬，很多同学都反应不知道该怎么下⼿。
其实这类题⽬的题型有限，总结归纳有19种，希望同学们对每⼀种都能掌握技巧。
1、对称点模型
2、利⽤三⾓形两边差求最值
3、⼿拉⼿全等取最值
4、⼿拉⼿相似取最值
5、平移构造平⾏四边形求最⼩
6、两点对称勺⼦型连接两端求最⼩
7、两点对称折线连两端求最⼩
8、时钟模型，中点两定边求最⼩值
9、时钟模型，相似两定边求最⼩值
10、转化构造两定边求最值
11、⾯积转化法求最值
12、相似转化法求最值
13、相似系数化⼀法求最值
14、三⾓函数化⼀求最值
15、轨迹最值
16、三动点的垂直三⾓形
17、旋转最值
18、隐圆最值-定⾓动弦
19、隐圆最值-动⾓定弦。
初中几何动点最值问题难题集锦
初中几何动点最值问题难题集锦初中几何动点最值问题是初中数学中的一道难题类型。
动点最值问题考察动点在几何形状内运动时，某一量的最大值或最小值的求解方法。
下面是一些初中几何动点最值问题的难题集锦。
1.【问题描述】在一个矩形ABCD中，点P动态地沿着矩形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】假设矩形ABCD的边长为a和b（a<b），点P动态地沿着矩形的边移动。
我们可以观察到，当点P处于矩形的顶点A或D时，线段AP的长度为a；当点P处于矩形的顶点B或C时，线段AP的长度为b。
因此，线段AP的最长长度为b。
2.【问题描述】在一个圆形O内，点P动态地沿着圆的周长移动，求线段OP的最长长度。
【解答】设圆的半径为r，点P动态地沿着圆的周长移动。
根据三角形的性质，可以知道线段OP的长度最长时，点P应该位于圆的周长上的与点O相对的点，即直径上的点。
因此，线段OP的最长长度为2r。
3.【问题描述】在一个正方形ABCD内，点P动态地沿着正方形的边移动，求线段BP的最长长度。
【解答】设正方形ABCD的边长为a，点P动态地沿着正方形的边移动。
由于线段BP的长度等于点P距离B点的距离，所以线段BP的最长长度为正方形的对角线长度，即√2a。
4.【问题描述】在一个等腰直角三角形ABC中，点P动态地沿着三角形的边移动，求线段AP的最长长度。
【解答】设等腰直角三角形ABC的等腰边长为a，点P动态地沿着三角形的边移动。
可以观察到，当点P处于顶点B或C 时，线段AP的长度为a；当点P处于顶点A时，线段AP的长度为0。
因此，线段AP的最长长度为a。
5.【问题描述】在一个梯形ABCD中，点P动态地沿着梯形的边移动，求线段CP的最长长度。
【解答】设梯形ABCD的上底长为a，下底长为b（a>b），点P动态地沿着梯形的边移动。
可以观察到，当点P处于梯形的底端点C或顶端点D时，线段CP的长度为0；当点P处于梯形的上底端点A时，线段CP的长度为ab。
初中数学动点问题中最值、最短路径专项
一、基础知识点综述1. 两点之间，线段最短；2. 垂线段最短；3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，|PA-PB|最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）；4. 最短路径模型（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.（2）双动点模型P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值.作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求.5. 二次函数的最大（小）值在二次函数的顶点式中，当a>0时，y有最小值k；当ay有最大值k.二、主要的方法归纳利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见经典例题解析）三、经典例题解析例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为解：∵PQ⊥EP，∴∠EPQ=90°，即∠EPB+∠QPC=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，∠EPB+∠BEP=90°，∴∠BEP=∠QPC，∴△BEP∽△CPQ，此题为“一线三直角模型”，解题方法为相似三角形性质求解，综合利用二次函数的性质求解最值问题。
例2.（2019·自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C、F分别是直线x=－5和x轴上的动点，CF=10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取最小值时，tan∠BAD=（）由图可知：当AD与圆G相切时，BE的长度最小，如下图，此题解题的关键是找到△ABE面积最小时即是AD与D的运动轨迹圆相切的时刻. 进而构造以∠BAD为内角的直角三角形，利用勾股定理求出边长，代入三角函数定义求解。
初三动点问题的解题技巧
初三数学动点问题归类及解题技巧如下：
初中常见的动点问题：1.求最值问题。
2.动点构成特殊图形问题。
一、求最值问题
初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。
如何实现“搬点移线”：1）确定被“搬”的点；2）确定被“移”的线。
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。
分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。
动点构成特殊图形解题方法：1、把握运动变化的形式及过程；思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的量。
2、先确定特定图形中动点的位置，画出符合题意的图形——化动为静。
3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来。
4、根据所求，利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题大全
动点产生的几何最值问题是数学中一类比较有挑战性的问题，通常涉及到几何图形中的动点以及与之相关的最值情况。
以下是一些常见的动点产生的几何最值问题类型：
1. 最短路径问题：在给定的几何图形中，寻找动点到某个点或线段的最短路径。
这可以涉及到直线、圆、多边形等图形。
2. 最大面积问题：确定动点在几何图形中移动时，如何使形成的图形面积最大。
例如，求动点构成的三角形、矩形等的最大面积。
3. 最长线段问题：找到在特定条件下，动点所形成的最长线段。
4. 最短时间问题：考虑动点在移动过程中，如何以最短时间到达目标点。
5. 最优位置问题：确定动点在几何图形中的最优位置，使得某个目标函数达到最大或最小值。
6. 角度最值问题：探究动点在运动过程中，相关角度的最大或最小值。
7. 对称问题：利用对称性质来解决与动点相关的最值问题。
这些只是一些常见的类型，实际问题可能更加复杂和多样化。
解决动点产生的几何最值问题通常需要结合几何学的知识、定理和方法，以及对运动轨迹和约束条件的分析。
具体的解决方法会根据问题的具体情况而有所不同。
初中动点最值问题题型
初中动点最值问题题型1. 引言初中数学中的动点最值问题题型是一类常见且重要的题型。
在这类题目中，我们需要通过数学方法找到动点在某个过程中取得的最大值或最小值。
这类问题既考察了学生对函数、方程以及图形的理解与运用，也培养了学生解决实际问题的能力。
2. 常见类型初中动点最值问题题型主要包括以下几种类型：2.1 直线上的动点问题在直线上给定两个固定点A和B，求动点P到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知直线上有两个固定点A(3, 0)和B(9, 0)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, 0)，则AP = |x - 3|，BP = |x - 9|。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP = |x - 3| + |x - 9|。
对于任意实数x，有：- 当x ≤ 3时，S = (3 - x) + (9 - x) = 12 - 2x； - 当3 < x ≤ 9时，S = (x - 3) + (9 - x) = 6； - 当x > 9时，S = (x - 3) + (x - 9) = 2x - 12。
因此，当3 < x ≤ 9时，P到A、B两点距离之和的最小值为6。
2.2 平面内的动点问题在平面内给定两个固定点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，求动点P(x, y)到A、B两点距离之和的最小值或最大值。
这类问题需要运用到距离公式和函数极值的概念。
例题：已知平面上有两个固定点A(1, 2)和B(4, -1)，求动点P到A、B两点距离之和的最小值。
解答：设动点P的坐标为(x, y)，则AP = √((x - 1)² + (y - 2)²)，BP =√((x - 4)² + (y + 1)²)。
所以P到A、B两点距离之和为：S = AP + BP。
根据三角不等式可得：S ≥ |AP - BP|。
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中考数学动点问题最值基本题型汇总
一、最值类型
1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。
2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。
3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。
4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。
5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。
6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心饮马+转换等
※二、分类例析
一、饮马型
例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1, 点P在AC上，则PE+PD 的最小值是_____ .
解析：如图
例2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.
解析：如下图
二、小垂型
例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________.
解析：如下图
三、穿心型
例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____.
解析：如下图
四、转换型
例5:如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C=60°，CD=4，则的最小值为____________
解析：因为P到A、B两点的距离相等，所以P 在AB的垂直平分线上，又因菱形ABCD 中∠C为60°，所以△ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点D,如下图由∠ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点P作AD的垂线。
如图，
即B、P、F三点共线，且BF⊥AD时最短
五、三边型
例6：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________
解析：如下图因为AB为定长，所以取其中点E，则OE为定值，在△ODE中，DE为定值，OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。
例7：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，点D在AC上，且AD=6，将线。