分段函数常见题型

分段函数常见题型

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集。分段函数的性质是由各段函数的性质共同的到的性质。分段函数在日常生活中被广泛应用，也在每年的高考中的一个热考点，因此，值得我们注意分段函数考查的题型及方向。

一、分段函数与方程思想

函数与方程的思想在高考中解决有关方程实数解的问题，即确定函数y=f(x)的零点，也就是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标。

例1（2010年高考福建卷文科7）函数的零点个数为 ()

a.3

b.2

c.1

d.0

【解析】命题意图：本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。当时，令解得；

当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选c。

例2（2009北京文）已知函数若，则________.

1.【解析】命题意图：本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值.属于基础知识、基本运算的考查.

由，无解，故应填.

二、分段函数的函数值、值域、最值

求分段函数的值域的基本方法是：先分段分别求出其值域，再取其并集即可。求分段函数的最大（小）值的基本方法是：先求出

各段上的最大值（小），再比较取所有的最大（小）值中的较大（小）者为所求的最大（小）。

例3(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数k，定义函数

取函数=。若对任意的，恒有=，则【】

a．k的最大值为2 b. k的最小值为2

c．k的最大值为1 d. k的最小值为1。

【解析】由题意，即有f(x)≤k恒成立，又=0知，所以时，，当时，，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得d符合，此时。故选d项。

例4设函数f(x)=︱x-m︱-mx,其中m为常数且m0,∴y=(1-m)x-m 在（m，+∞）上递增，∴当x=m时，ymin=-m2。

（2）当-1-m2∞;

当m=-1时，y=-1,在（∞-，m）为常数函数；

当m<-1时，y=-(1+m)x+m在（-∞，m）上递增，∴y<-m2。

故当-1≤m<0时，所求的值域为[-m2,+∞）；当m<-1时所求的值域为r。

三、分段函数的单调性

要在定义域的不同区间内进行研究，分别求出它们的单调区间，再根据单调区间性质对区间进行适当的合并。

例5（2009天津卷理）已知函数若则实数的取值范围是

ab

【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。

解析：由题知在上是增函数，由题得，解得，故选择c。

四、分段函数的奇偶性

例6:（2010年高考山东卷文科5）设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则

（a）-3 （b）-1 （c）1 (d)3【答案】a

【解析】因为为定义在r上的奇函数,所以有,解得,所以当时,,即,故选d.

【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键.

五、分段函数与不等式

如果求不等式的解，则要将所求的解与相应的区间求交集，然后再将不同的区间上的解集求并集；如果是求不等式的恒成立问题中的参数时，则要将不同区间上的参数范围上求它们的交集。

例7:（2009北京理）若函数则不等式的解集为________.

【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.

（1）由.

（2）由.

∴不等式的解集为，∴应填.