第二章激光器的速率方程理论
激光原理 第2章 激光器的工作原理
式中同样采用了 A2 A21 的简化并且假设简并度 g1 g2 即 B21 B12 n 两式相加得到 ( R1 R2 ) n1 A1 1 n1 ( R1 R2 ) 1 n10
1
（第1章）
26
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低能级粒子数密度代入速率方程组，解得高能级上 粒子数密度为
③
dn0 dn1 dn2 0 dt dt dt
④
0 dn2 dn10 0 0 速率方程组： R2 n2 A2 0 R1 n2 A2 n10 A1 0 dt dt 23
（第1章）
福建
利用爱因斯坦系数和能激寿命之间关系，可以由小 信号工作时的简化速率方程组导出 0 n10 n2 0 0 R1 n2 A2 n10 A1 R2 n2 A2
（第1章）
16
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2. 半经典理论：用麦克斯韦方程组描述光频电磁场，应 用量子力学理论描述物质原子。１９６４年，兰姆应用该 理论建立了激光器理论，很好地揭示激光器中大部分的物 理现象，如：强度特性、增益饱和效应、多模耦合与竞争 效应，激光振荡的频率牵引与推斥效应等。其缺点是在于 不能反映与激光场的量子特性有关现象的规律性,数学处 理过于复杂。 ３.量子理论：应用量子电动力学的处理方法，对物质原 子系统和光频电磁场都作量子化处理，将两者作为统一的 物理体系加以研究。需严格地确定激光的相干性和噪声以 及线宽极限。
3
（第1章）
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（1）稳定腔的表达式
光学谐振腔的稳定与否是由谐振腔的几何形状决定的 共轴球面腔结构：两个反射镜的 球心连线为光轴，整个系统总是
R1
O1
O2
R2
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
f2 f1
B21
在辐射场 的作用下的总受激跃迁几率 W21 中，
分配在频率 处单位频带内的受激跃迁几率为：
W21 B21 B21 g% ,0
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4、公式的修正
dn21 dt
sp
n2 A21
d
n2 A21g% , 0
d n2 A21
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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物理意义: 由于谱线加宽, 外来光的频率 并不 一定要精确等于原子发光的中心频率 0 才能产生 受激跃迁,而是主要在=0 附近的一个频率范围内 都能产生受激辐射。当ν偏离中心频率ν0时，跃 迁几率急剧下降。
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6、受激辐射、受激吸收几率的其它表达形式
W21
B21 g% ,0
—吸收截面
中心频率处发射截面和吸收截面最大！
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均匀加宽工作物质中心频率发射截面
21 0
A21 2
4
2
2 0
H
非均匀加宽工作物质中心频率发射截面
激光原理-4.2 典型激光器的速率方程
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1、三能级系统的能级跃迁特点和跃迁示意图
W13
A31
S31
E3 泵浦上能级
S32（热弛豫）
E2
激光上能级 （亚稳态）
A21
S21
W21
W12
S31, A31 S32; S31 A31
E1（激泵光浦下下能能级级）
S21 A21
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F
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思考：分别求洛仑兹线型和高斯线型下简
化线型函数对应的等效谱宽 。
21 , 0
A21 2
8
h
2 0
g% ,0
21 l , 0 Nl 21 Nl 21 N
l
l
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根据简化模型, 四能级多模速率方程
dn3 dt
n0W03
' '
'
此时有： '
激光器中的情形即 是如此!
0 '
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g%
',
0
'
d
'
中的被积函数
只在辐射场中心频率 附近很窄范围内才不为零。
g% ',0 g% ,0
' ' 且:
因 ' 很小,则有:
'
0
' '
'
d
' 1
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n2
f2 f1
n1
21
,
0
Nl
R1,R2为单位体积中，在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数；τ1，τ2为E1, E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级的跃迁造成的有限寿命。
激光原理第二章 激光器的工作原理
可以证明，在对称共焦腔内，任意傍轴光线可往返多次
而不横向逸出，而且经两次往返后即可自行闭合。
整个稳定球面腔的模式理论都可以建立在共焦腔振荡理 论的基础上，因此，对称共焦腔是最重要和最具有代表性的 一种稳定腔。
3.平行平面腔——由两个平面反射镜组成的共轴谐振腔
R1=R2=∞，g1=g2=1， g1 g2=1
图(2-2) 共轴球面腔的稳定图
➢凹凸稳定腔，由一个凹面镜和一个凸面镜组成，对应图中5区和6区。
➢ (g1>1,g2<1; g2>1,g1<1)
➢共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，对应图中的坐标原点。(特殊的稳定腔) ➢半共焦腔，由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组成的腔,对应图中E和F点g1=1，g2=1/2
1. 工作物质 2. 激励能源
受激辐射>受激吸收
3. 光学谐振腔
受激辐射>自发辐射
是否只要具备激励能源和工作物质就一定可以实 现粒子数反转？ 粒子数反转和什么因素有关？
速率方程方法: 量子理论的一种简化形式
——速率方程理论：把光频电磁场看成量子化的光子，把 物质体系描述成具有量子化能级的粒子体系。
(三)临界腔: g1 g2 = 0 , g1 g2= 1
临界腔属于一种极限情况,其稳定性视不同的腔而不同. 在谐振理论研究和实际应用中,临界腔具有非常重要的意义.
1.对称共焦腔——腔中心是两镜公共焦 点且：
R1=L
R2=L
R1= R2= R = L=2F F——二镜焦距
F
L
∵ g1 = g2 = 0 ∴ g1 g2 = 0
简化前提: 忽略量子化辐射场的位相特性及光子数的起伏特 性
优点: 形式特别简单, 且可给出激光的强度特性，并粗略描 述烧孔、兰姆凹陷、多模竞争等效应
激光原理及应用1-2
图1.1.5 正常色散现象
• 二、介质色散
图1.1.6 碘蒸气三棱镜的反常色散现象
图1.1.7 碘蒸气三棱镜实验曲线
图1.1.8 介质折射率随频率变化趋势
图1.1.9 介质折射率变化曲线
• 三、受激吸收
图1.1.10 吸收光谱实验示意图
• 1.2 电磁场吸收和发射 的唯象理论 • 1.2.1 自发辐射
绪 论
• • • • • • • • • 一、激光的发展简史 二、激光的特点 1.单色性与时间相干性 2.方向性与空间相干性 3.高亮度 三、本课程的学习方法 1.抓住基础和重点 2.理解物理概念 3.理论联系实际
第1章 光和物质的近共振 相互作用
• 1.1 电磁波的吸收和发射 • 1.1.1 电介质极化 • 一、电介质对电场的影响 • 二、电介质的极化
• • • • • • • • • •
2.7 超辐射激光器 思考和练习题 第3章 连续激光器的工作特性 3.1 均匀加宽介质激光器速率方程 3.2 激光振荡阈值 3.3 均匀加宽介质激光器中的模竞争 3.4 非均匀加宽介质激光器的多纵模振荡 3.5 激光器输出特性 思考和练习题 第4章 光学谐振腔理论
图1.3.2 受激样品分子跃迁能级和对应谱线
图1.3.3 太阳光谱中夫琅和费分立吸收线
图1.3.4 原子(a)和分子(b)产生两种吸收光谱示意图
• 1.3.2 谱线加宽和线形函数 • 一、谱线加宽
• 二、线型函数
• 三、线宽
图1.3.5 洛仑兹线型函数示意图
• 1.3.3 谱线加宽对跃迁几率的影响
目 录
• • • • • • • • 绪 论 一、激光的发展简史 二、激光的特点 三、本课程的学习方法 第1章 光和物质的近共振相互作用 1.1 电磁波的吸收和发射 1.2 电磁场吸收和发射的唯象理论 1.3 光谱线加宽
激光原理与技术--第二章 激光器的工作原理
第四十五页，共60页。
❖ 四能级系统实现粒子数反转分布，对泵浦水平要 求低得多，意思四能级系统较之三能级系统更容 易实现激光振荡
❖ 由上式，E1和E0能级的能量差越大，对四能级系 统越有利，因此需要选择合适的工作物质
❖ 已有的性能较好的激光器绝大多数属于四能级系 统
46
第四十六页，共60页。
❖ 激光器组成
纵模的频率间隔：
q
q1
q
C
2L
33
第三十三页，共60页。
例
1 He-Ne 激光器谐振腔长50 cm，激射波长 632.8nm，荧光光谱线宽为：
求：纵模频率间隔，谐振腔内的纵模序数及形成激光振荡的纵模数；
q 1.5109 Hz
解:
c 2nL
3108 m sec 2 510 1m
3108 Hz
向节线数，即暗环数，l表示角向节线数，即暗直径数
基模(横向单模)：m=n=0, 其它的横模称为高阶横 模
方2形4 反射镜和圆形反射镜的横模图形
第二十四页，共60页。
25 第二十五页，共60页。
(a) TEM00
(b) TEM10
(c) TEM02
26
第二十六页，共60页。
(d) TEM03
横模电场分布及强度示意图
15
第十五页，共60页。
光学谐振腔的模式(波型)
❖ 在具有一定边界条件的腔内，电磁场只能存在于一系列分立的本征态之中，场的 每种本征态将具有一定的振荡频率和空间分布。
❖ 光学谐振腔的模式: 谐振腔内可能存在的电磁场本征态。
❖ 模式与腔的结构之间具有依赖关系 ❖ 光学谐振腔的模式分为：纵模和横模
16 第十六页，共60页。
激光原理2.2速率方程组与粒子数反转(2014)
激光原理高福斌gaofubin@gaofubin@163com2013.10.201高福斌/342.2 速率方程组与粒子数反转(!可实现粒子数反转的几种量子系统)回顾——实现粒子数反转的两个必要条件:①工作物质粒子有适当的能级结构②有合适的激励能源前瞻——分析方法:速率方程方法以及速率方程的求解步骤速率方程方法: 分析粒子系统能否实现反转的一种方法速率方程:描述各能级粒子数(密度)变化速率高福斌/342的方程组态E 上的粒子抽运到E 、E 能级上的速率；0122.速率方程: 3个能级应有22n 个独立方程(1) E 2能级在单位时间内增1n ρ加的粒子数密度为：dn 图(2-5)简化的四能级图n 2R n A n W n W =−−+R n A n B νn B νd =−−+(2-5a)2221221112()()f f dtρρ()2n ρ1n 2120A A 图(2-5)）简化的四能级图n2n ρ1n 图(2-5)）简化的四能级图n dn二.小信号粒子数反转的物理条件:1. 激光上能级E 2的寿命要长,使该能级上的粒子不能轻易地通过非受激辐射而离开;2. 激光下能级E 1的寿命要短,使该能级上的粒子很121220)(ττR R R n +−=Δ快地衰减;3. 选择合适的激励能源,使它对介质的E 2能级的抽运速率R 2愈大愈好,2n 而对E 1能级的抽运速率R 1愈小愈好.1n ρ即满足条件12ττ>0n 高福斌/3422足12R R>{图(2-5)）简化的四能级图本节研究:反转粒子数密度Δn 的饱和效应（讨论Δn 2n （与各种因素的关系，引出Δn 饱和效应的概念。
）1n ρ。
）图(2-5)）简化的四能级图n 由下式可知：()R R R nττ−+ΔnΔ0nΔ20n0IsI0s nΔ0nΔ:0(1)s I f ν+Δ043n Δ由上式可见: 只要I ≠0, 则Δn <Δn0, 仍有饱和效应.20n 012I I νννΔ−=+⋅在处I ≈I s 时s 2202(/2)(/2)3n n n ννΔ+ΔΔ=Δ=Δ222(/2)2(/2)4ννΔ+Δ频率在此范围内的入射光才会引起显著的饱和作用。
激光物理简答题
第一章激光器的基本原理1、问：产生激光的条件是什么？(戴大鹏)答： 1.受激辐射是激光产生的必要条件； 2.要形成激光，工作物质必须具有亚稳态能级，这是产生激光的第二个条件； 3.选择适当的物质，使其在亚稳态能级上的电子比低能级上的电子还多，即形成粒子束反转，这是形成激光的第三个条件；4.激光中开始产生的光子是自发辐射产生的，其频率和方向是杂乱无章的。
要使得频率单纯，方向集中，就必须有一个谐振腔，这是形成激光的第四个条件；5. 只有使光子在腔中振荡一次产生的光子数比损耗掉的光子要多得多，才能有放大作用，这是产生激光的第五个条件。
2、问：什么是粒子数反转？(钟双金)粒子数反转 (population inversion )是激光产生的前提。
两能级间受激辐射几率与两能级粒子数差有关。
在热平衡状态下，粒子数按能态的分布遵循玻耳兹曼分布律，这种情况得不到激光。
为了得到激光，就必须使高能级 E2 上的原子数目大于低能级 E1 上的原子数目，因为 E2 上的原子多，发生受激辐射，使光增强(也叫做光放大) 。
为了达到这个目的，必须设法把处于基态的原子大量激发到亚稳态 E2，处于高能级 E2 的原子数就可以大大超过处于低能级 E1 的原子数。
这样就在能级 E2 和 E1 之间实现了粒子数的反转。
实现粒子数反转的条件：通常实现粒子数反转要依靠两个以上的能级：低能级的粒子通过比高能级还要高一些的泵浦能级抽运到高能级。
一般可以用气体放电的办法来利用具有动能的电子去激发激光材料，称为电激励；也可用脉冲光源来照射光学谐振腔内的介质原子，称为光激励；还有热激励、化学激励等。
各种激发方式被形象化地称为泵浦或抽运。
为了使激光持续输出，必须不断地“泵浦”以补充高能级的粒子向下跃迁的消耗量。
3、什么叫纵模、横模？由谱线宽度和腔长来估算可能振荡的纵模数目答案：光场在腔内的纵向和横向分布分别叫做纵模和横模。
横模数目 n=谱线宽度/c纵模数目 n=谱线宽度/ (c/2*腔长 L)第二章激光器的速率方程理论答案：第三章 密度矩阵1：考虑衰减过程、原子的泵浦或激发过程，写出在初始光场为零时的光学布洛 赫方程并说明各项含义。
第二节 典型激光器速率方程
l 为第l模式单程损耗
将W21 21 ( )vNl g2 W12 12 ( )vNl 21 ( )vNl 代入, 得 g1
单模振荡速率方程组
dn3 dt n1W13 n3 ( S32 A31 ) dn g2 2 n S ( n n1 ) 21 ( )vNl n2 ( A21 S 21 ) 3 32 2 g1 dt n n n n 1 2 3 dNl (n2 g 2 n1 ) 21 ( )vNl N l dt g1 Rl
量子效率
E3向E2无辐射跃迁的量子效率 ： S32 1＝ S32 A30 E2向E1跃迁的荧光效率：
2＝
A21 A21 S 21
总量子效率： 发射荧光的光子数 F＝1 2＝ 工作物质从光泵吸收的 光子数
吸收截面和发射截面 2.发射截面
同理, 可定义上能级原子的发 射截面 21 ( ) W21 21 ( )vNl
A 21 又W21 g ( ) N l n
A 21 A 21v 2 21 ( ) g ( ) g ( ) 2 n v 8 0
其中 :
N N l 为各模式光子数密度的 总和;
单模振荡速率方程组 2. 四能级系统速率方程组(Nd:YAG,He-Ne激光器)
E3
W03 S30 A30 S32
S21
W A21 W21 12
激光与物质的相互作用
pt
ext
p0
e
2
t
e0t
发出的电磁波为：
E
E0
e
2
t
ei0t
（3）受激吸收和色散的经典理论
物质原子在电磁场作用下产生感应电极化强度，改 变物质的介电常数，导致物质对电磁波的吸收和色散。
单电子原子物质在电场E(z,t)中，作用于单电子原子 的力 。
eE(z,t) eE(z)eit
将解 x x0eit 代入
G
I
1
z
dI z
dz
2
c
c
"
H
ne2
m 0c
1
1
4 0
2
2
ne2
4m 0
c
2
0
2
2
H
2
H
g
ne2
4m 0c
2
0
2
H
2
2
将-n换成n有
H
g
ne2
4m 0c
2
0
2
H
2
2
同样有：
1
ne2
16 2m
0
0
0
0
2 H
2
2
H
g
ne2
4m 0c
0
2
2
H
2
p p(v)dv
（i）线型函数
g(v, v0 )
p(v) p
（ii）满足归一化条件：
g(v, v0 )dv
p(v) p
dv
p Dp
1
（iii）谱线的线宽：g (0
v 2
, v0 )
g(v0, v0 ) 2
半导体激光器速率方程
第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型2.1 光反馈半导体激光器光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi 方程[29]，并分析了振荡条件。
为方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。
表2-1 激光器参量的意义符号 物理量 单位 电量 C 有源区体积 m 3 载流子寿命 ns 光子寿命 ps 限制因子 --- 阈值载流子密度 m -3 透明载流子密度 m -3 增益饱和系数 m 3 线宽增强因子 --- 微分增益 m 3s -1 自发辐射因子 --- 端面强度反射率 ---波长nm表2-2 参量之间的关系Table 2-2 Relationships of parameters2.1.1 图2-1 光反馈Fabry-Perot 谐振腔示意图图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为1R 、2R ，腔长为L ，外部反射镜的反射率为e R 、距离为/2e L c τ=，τ为激光在外腔中环行一次的时间。
E +、E-分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。
激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。
激光在腔内环行一次的增益为int 2())r G i kL Γg L α=-+- (2-1)将其变为指数形式，上式可变为int exp(2())r m G i kL Γg L αα=-+-- (2-2)其中/k n c ω=为波数。
实际上，激光器有源区内载流子密度()N t 随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。
因此将波数在无光反馈阈值点(th n ,th ω)展开()()g th th th th th n n n nN N c c c N cωωωωω∂≈+-+-∂ (2-3) 其中，g th nn n ωω∂=+∂为介质的群折射率。
将(2-3)式代入(2-2)中，并将r G 分解成1r G G G ω=，其中：频率无关项1int exp[()]exp((2/)())m th th nG Γg L i L c N N Nααω∂=----∂ (2-4) 频率相关项22exp[()]g th th th n Ln L G ii c cωωωω=--- (2-5) 由于2th th n L c ω是2π的整数倍，并且角频率为ω的单色波电场满足关系式di dtω=，G ω可改写为算子exp()exp()th L LdG i dtωωττ=- (2-6) 由于激光器振荡频率在阈值附近，即th ωω≈，因此对时变复电场()e t 可引入慢变化复电场振幅()|()|exp(())E t E t i Φt =，即()()exp()th e t E t i t ω= (2-7)其中th d dtΦωω=-。
激光器速率方程讲解
n：腔内单位体积中频率处于附近单位频率间隔内 的光波模式数
得到：一个模式内的一个光子引起的受激跃迁 几率等于分配到同一模式上的自发跃迁几率。
f2 W21 al nl ,W12 al nl f1
• 对W21作出近似计算 • 设谱线的总自发辐射跃迁几率为A21，谱线 宽度为，并假设A21均匀分配在所包含 的所有模式上，则分配在一个模式上的自发 辐射跃迁几率为 A21
对表达式进行修正
dn21 ( ) sp n2 A21 ( )d n2 A21 dt dn21 ~( , ) d ( ) st n2W21 ( )d n2 B21 g 0 dt
该积分与辐射场的带宽有关。 1 原子和连续光辐射场的相互作用， 2 原子和准单色光辐射场相互作用，
3 原子和准单色光相互作用
• 由于激光的高度单色性，认为原子和准单色光相互 作用，辐射场的中心频率为 ，带宽为，且 << 。被积函数只在中心频率附近的一个极 ~( , )可 窄范围内才有非零值。在此频率范围内， g 0 以近似看成不变。 表示频率为的准 • 引入函数=(-)
f 2 A21 ~ 12 ( , 0 ) g ( , 0 ) 2 f1 8 0
2
匀加宽物质和非均匀加宽物 质的发射截面分别为
2 A21 ln 2 2 A21 21 2 2 , 21 3 2 2 4 0 H 4 0 D
~( , ) ~( , ) ~( , ) A21 g A21 g A21 g 8 2 0 0 0 W21 Nl N lV nl n 3 n n V n V c ~( , ) A21 g W21 0 al n 为腔内第 l 模内的总光子数 l nl n V
北交大激光原理 第3章 Suggests for solving problems
第二章速率方程理论一、学习要求与重点难点学习要求1．了解典型激光器的工作能级和常见激光介质的三、四能级特征；2．掌握激光三、四能级系统单模速率方程组的建立方法；3．掌握稳态情形下对小信号增益的求解；4．理解均匀和非均匀加宽介质的增益饱和；5．了解增益介质的色散；6．理解超辐射现象和超辐射激光器工作原理；7．了解激光放大现象和激光放大器工作原理。
重点1．激光三、四能级系统特征；2．速率方程组的建立方法，及其近似处理；3．稳态情形下对小信号增益的求解；4．介质增益饱和的机制；5．超辐射现象。
难点1．速率方程组的近似处理；2．介质增益饱和的机制；3．超辐射激光器工作原理。
二、知识点总结1. 典型激光器的主要工作能级⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−++3/27/29/25/29/23/2122S F H F I F YAG Nd F F A E .)C r (I 4424443444239209503694和抽运能级：激发能级激光下能级：基态激光上能级：激发能级钕玻璃中中：掺钕离子和抽运能级：激发能级激光下能级：基态中的激光上能级：激发能级：掺离子红宝石：三能级系统离子电子态间跃迁离子电子态间跃迁nm nm E nm ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→∏∏−−−−−−−−→−⎪⎩⎪⎨⎧−−−−−→−∑++自终止基态：组激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级最强分子：多条近紫外光，基态：激发能级组激光下能级：激发能级组激光上能级：激发能级波段和绿：蓝氩离子：三能级系统态跃迁向低电子态的分子振动离子电子态间跃迁g g u X B C nm p s p p p nm nm 13354413773335514488.N 44.He II 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−−−−−→−-⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→−++9/23/27/29/25/211/29/23/27/29/25/213/23/29/23/27/29/25/211/23/2I:S F H F I E )Tr (I:S F H F I F ..YAG I :S F H F I F ..YAG Nd I 4442442344424444442444390070037131910610641基态和抽运能级：激发能级激光下能级：激发能级中振动基态能级激光上能级：电子激发宽带：离子掺钛蓝宝石基态和抽运能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级，钕玻璃中中基态和抽运能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级，钕玻璃中中：掺钕离子：四能级系统能级间跃迁离子不同电子态中振动离子电子态间跃迁离子电子态间跃迁nm m m m m μμμμ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−−→−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−−→−⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−−−→−0000010021006900000101010061013339312215112363301000100111基态：振动基态级带级带下泻能级：振动激发能能级带激光下能级：振动激发能级带激光上能级：振动激发基态：振动基态级带级带下泻能级：振动激发能能级带激光下能级：振动激发能级带激光上能级：振动激发：碰撞激励基态：下泻能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级基态：下泻能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级基态：下泻能级：激发能级激光下能级：激发能级激光上能级：激发能级：碰撞激励：四能级系统分子振动态间跃迁分子振动态间跃迁原子电子态间跃迁原子电子态间跃迁原子电子态间跃迁m m m m nm μμμμ..)(N C O S S P S .S S P S .S S P S )He Ne(He II 220Ne 0Ne 0Ne 2. 速率方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==-=∆⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=++∆-=∆⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∆=-+++∆-=∆21210221112211222112111ηηηηηνννϕϕηϕηηϕϕηηϕηη激光系统总量子效率：：激光上下能级荧光效率驰豫效率：抽运能级向激光上能级率：一个光子的受激跃迁几布居反转粒子数密度：：四能级系统：三能级系统单模：上下下下上上a a a a a P P a a a P P V g h B B n g g n n n V B dt d A B W n nW dt n d n V B dt d A n g g A B g g W n nW dt nd ),()(I ])([I3. 布居反转⎝⎛⎝⎛←−−→−== ⎝⎛←<=←<=+-=∆ ⎝⎛ ⎝⎛←>+-=∆2100011111τηηβηββτητηβτητητητηP P P P P P P W S A n n g g S A g g n n n W W g g n W W n W W n 激光辐射效率：完全布居反转度之反比：激光上下能级粒子数密，增速放缓高泵浦强度：出现饱和低泵浦强度：线性增加上级短任一激光下能级寿命比反转条件：比下级多任一激光上能级粒子数反转条件：：四能级系统激光辐射效率：，增速放缓高泵浦强度：出现饱和低泵浦强度：线性增加度速度：存在阈值激励速抽运速度大于自发辐射反转条件：：三能级系统强光和饱于小远强光内质介小信号：最佳下基上下上下上下下基上下上下上下上下上下下上上下上下上下上下)(I I()()⎝⎛⎝⎛∆+±=-+∆=∆↑↓←∆=−−→−+∆=∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+-=∆：未讨论。
半导体激光器速率方程
第二章 光注入半导体激光器的速率方程模型2.1 光反馈半导体激光器光反馈或光注入半导体激光器的速率方程是分析和模拟系统特性的理论基础，本节先推导光反馈半导体激光器的电场速率方程―Lang-Kobayashi 方程[29]，并分析了振荡条件。
为方便分析，将半导体激光器的参量及各参量的关系分别列入表2-1和表2-2。
表2-1 激光器参量的意义符号 物理量 单位 电量 C 有源区体积 m 3 载流子寿命 ns 光子寿命 ps 限制因子 --- 阈值载流子密度 m -3 透明载流子密度 m -3 增益饱和系数 m 3 线宽增强因子 --- 微分增益 m 3s -1 自发辐射因子 --- 端面强度反射率 ---波长nm表2-2 参量之间的关系Table 2-2 Relationships of parameters2.1.1 图2-1 光反馈Fabry-Perot 谐振腔示意图图2-1为光反馈的示意图，激光谐振腔两端面的反射率分别为1R 、2R ，腔长为L ，外部反射镜的反射率为e R 、距离为/2e L c τ=，τ为激光在外腔中环行一次的时间。
E +、E-分别表示正向、负向传播的时变电场的复振幅。
激光的动态变化行为取决于增益，因此可以将增益作为算子。
激光在腔内环行一次的增益为int 2())r G i kL Γg L α=-+- (2-1)将其变为指数形式，上式可变为int exp(2())r m G i kL Γg L αα=-+-- (2-2)其中/k n c ω=为波数。
实际上，激光器有源区内载流子密度()N t 随时间的变化将导致介质折射率和振荡频率的变化。
因此将波数在无光反馈阈值点(th n ,th ω)展开()()g th th th th th n n n nN N c c c N cωωωωω∂≈+-+-∂ (2-3) 其中，g th nn n ωω∂=+∂为介质的群折射率。
将(2-3)式代入(2-2)中，并将r G 分解成1r G G G ω=，其中：频率无关项1int exp[()]exp((2/)())m th th nG Γg L i L c N N Nααω∂=----∂ (2-4) 频率相关项22exp[()]g th th th n Ln L G ii c cωωωω=--- (2-5) 由于2th th n L c ω是2π的整数倍，并且角频率为ω的单色波电场满足关系式di dtω=，G ω可改写为算子exp()exp()th L LdG i dtωωττ=- (2-6) 由于激光器振荡频率在阈值附近，即th ωω≈，因此对时变复电场()e t 可引入慢变化复电场振幅()|()|exp(())E t E t i Φt =，即()()exp()th e t E t i t ω= (2-7)其中th d dtΦωω=-。
激光-第2章
• 速率方程理论（Rate Equation Theory）
– 量子理论的简化形式，忽略光子的相位特性和光子数 的起伏特性
§2.1 激光器的几种理论
• 激光器的严格理论是建立在量子电动力学 基础上的量子理论，在原则上可以描述激 光器的全部特性；
4 νN 2
2
2
2 (ν ν0)2
2
νN 2
νN 2
2
2 (ν ν0)2
gm
gm
42
2 νN
§2.3 均匀加宽
例1 He-Ne激光器和CO2激光器上能级寿命分别为 10-8s和10-4s，求(1)两激光器发光粒子所发光的自
然线宽(2)两激光器在中心频率处的线型函数值
解 He-Ne
N
形状与发光粒子不同。如气体激
光器的多普勒加宽
0
§2.3 均匀加宽
一、自然加宽
– 现象：自发辐射谱线具有一定的宽度 ΔνH。
–成因：由于每个原子所固有的自发辐 射跃迁引起原子在能级上的有限寿命 而造成的。
–量子解释：由测不准原理——不可能 同时测准微观粒子的时间和能 量：tE ；
–由此可知，当原子能级寿命→∞时， 能级的宽度→0，原子的有限寿命会 引起能级的展宽，从而使得发出的光 子的频率不再是单一频率，而是有一 定的频率间隔Δν。
νN 2
解 gN (ν)
νN 2
2
2
(ν
ν0 )2
gm
gN (ν1)
νN 2
νN 2
2
2
νN
2
2
gm
gm 2
gN (ν2)
νN 2
激光器速率方程
思路小结
• 爱因斯坦采用唯象法得到光和物质相互作用 的关系式 • 考虑线型函数后必要的修正：几率按频率的 分布函数 • 原子和准单色光相互作用 • 单模振荡速率方程组（三能级系统和四能级 系统） • 多模振荡速率方程组
R1、R2为单位体积中，在单位时间内激励至E1 、E2能级的粒子数（激励速率）；τ1、τ2为E1 、E2能级的寿命； τ21为E2能级由于至E1能级 跃迁造成的有限寿命。
• In Figure we show the ground state 0 as well as the two laser levels 2 and 1 of a four-level laser system. The density of atoms pumped per unit time into level 2 is taken as R2, and that pumped into 1 is R1. Pumping into 1 is, of course, undesirable since it leads to a reduction of the inversion. In many practical situations it cannot be avoided. The actual decay lifetime of atoms in level 2 at the absence of any radiation field is taken as t2. This decay rate has a contribution tspont which is due to spontaneous (photon emitting)2→1 transition as well as to additional non-radiative relaxation from 2 to 1. The lifetime of atoms in level 1 is t1.
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dn WDn n dt
均匀加宽
W
c3 8
2
A21 g ( )
c3 1 W A21 2 2 2 (0 ) 2 (V / 2) 2
第 个模的光场与第 个原子作用的受激辐射速率为
2 c3 A21 W sin 2 k z 2 2 2 ( ) 2 2
速地转移到激光上能级E2，其跃迁几率用S32表示。 3. 处在E2能级的粒子，能通过自发辐射、非辐射跃迁和 受激辐射，跃迁到激光下能级E1，其跃迁几率分别用A21， S21和W21表示。
4. 处在E1能级的粒子，能通过受激吸收到达E2，或非辐
射跃迁到E0，其跃迁几率分别用 W12和S10表示。 各能级上的粒子数密度N0，N1，N2，N3如果变化？ 光子数密度n如果变化？
在脉冲开始建立的时间内，光子数和反转粒子数为
n(t ) ni e t
( WDi )
D(t ) Di {1
Wni
[1 e t ]}
2.5 均匀加宽的激光器的多模振荡
纵模
q qc / 2 L
c q q 1 q 2L
谱线线型 激光器阈值 增益饱和 均匀加宽 多模振荡
n 0, dD 0 dt
( a b ) 1 D0 [(a b ) N0 ( a b )]/ 2 2
引入
1 || ( a b ) 2
dD || ( D D0 ) 2WDn dt
dd dt
dd dt
|| (d d0 ) 2Wd n
当激光器在阈值之上不太高时，激光光子数不太大，有
dn (G0 )n Cn 2 dt
小信号增益 自饱和参数
G0 D0W
C W 2 D0 (1/ a 1/ b )
2.4 调Q激光器的速率方程
Q开关
损耗 光强
增益
t
调Q激光器的速率方程
dn WDn n dt
WDn n 0
.
.
.
a a N a WDn 0
b b Nb WDn 0
得到
WD
定态工作的激光器的增益等于损耗
D
临界反转粒子数
D0 D 1 nW (1/ a 1/ b )
Байду номын сангаас
D0 a / a b / b
引入
|| (d d 0 ) 2 W d n
对于四能级系统
E3
S32
E2
W0
W21
A21
S 21
W12
E1
E0
S10
对于四能级系统 1. 在激励源的作用下，基态E0上的粒子被抽运到能级E3
上，其跃迁几率用W0表示。 2. 到达E3能级的粒子将主要以非辐射跃迁的形式极为迅
为电子和中性分子的吸附速率系数
ep 电子与正离子的复合系数 np 正离子与负离子的复合系数
6.2 10 s
7 1
ep np 2.2 1013 m3 / s
整体为电中性
ne nn n p
初值
ne (0) n p (0) 1017 cm 3
求
ne (t ) ?
第 个模的光子数的速率方程是 dn n W d n dt
单模振荡的粒子数方程 dN a a a N a WDn dt dNb b b Nb WDn dt
D N a Nb N 0 N a Nb
dD 1 1 (a b ) N0 ( a b ) D( a b ) 2WDn dt 2 2
R nW
1
a b a b Rs (1/ a 1/ b ) a b 2 ab
ab
1 ( a b ) 2
D0 D 1 R / Rs
G
G0 1 R / Rs
增益饱和
dn WDn n dt dN a a a N a WDn dt dNb b b N b WDn dt
1. 激光器的速率方程
激发与衰减的速率方程(还未产生激光)
dN a a a N a dt dNb b b N b dt . . Na Nb 0
N a a / a
Ea
a
a Na
定态时
Eb
b
b Nb
N b b / b 只考虑泵浦过程而激光场为零时的定态反转粒子数，记为
绝热近似
a ?
b ?
dN a dNb 0 dt dt
dn 0 dt
dN a a a N a WDn 0 dt
dNb b b Nb WDn 0 dt
D0 D 1 nW (1/ a 1/ b )
dn WDn n dt
速率方程：
dN3 N 0W0 S32 N3 dt dN 2 N3 S32 N 2W21 N 2 A21 N 2 S21 N1W12 dt dN1 N 2W21 N 2 A21 N 2 S21 N1W12 N1S10 dt dN 0 N1S10 N 0W0 dt
dn N2W21 N1W12 dt
作业：求解以下速率方程
dne ne ep ne n p dt dn p ep ne n p np nn n p dt dnn ne np nn n p dt
ne , n p , nn 分别为电子，正离子和负离子的密度
D0 a / a b / b
激光器的速率方程
考虑泵浦过程以及激光作用
D N a Nb
W c
dn WDn n dt
dN a a a N a WDn dt dNb b b N b WDn dt
定态时
Na Nb n 0
dN a a a N a WDn dt dNb b b Nb WDn dt
略去泵浦项和衰减项
dn WDn n dt
dD 2WDn dt
对于四能级系统的激光器
dn WDn n dt
dD WDn dt
已知初始条件
t 0
n ni D Di