一元二次方程(6)
一元二次方程 海淀区练习册
第二十二章 一元二次方程22.1 一元二次方程(1)学习要求：通过学习感受现实生活和学习环境中方程知识的实际意义、体会建模思想，接受和理解一元二次方程及相关概念，通过交流、辨析，能将方程化为一般形式，认识二次项系数、一次项系数、常数项等概念，并注意系数的符号．做一做： 填空题：1．一元二次方程5x 2＝3x ＋2的一般形式是____________，它的二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．已知方程(m ＋1)x 2－2mx ＝1是一元二次方程，那么m ≠______． 3．当m ______时，方程223213x x mx =--不是关于x 的一元二次方程．4．已知：方程(m 2－4)x 2－6(m －2)x ＋3m －4＝0，当m ______时，它是一元二次方程，当m ______时，它是一元一次方程． 选择题：5．把方程(2x ＋1)(3x ＋1)＝x 化成一般形式后，一次项系数和常数项分别是( ) (A)4，1 (B)6，1 (C)5，1 (D)1，6 6．下列方程中，一元二次方程是( ) (A)2x 4－5x 2＝0 (B)(2x 2＋7)2－3＝0 (C)012=+xx(D)0312142=++-x x7．把方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化成一般形式后，二次项系数和常数项分别是( ) (A)5，－4 (B)5，1 (C)5，4(D)1，－4解答题：8．根据题意，列出方程：(1)一个三角形的底比高多2cm ，三角形面积是30cm 2，求这个三角形的底和高．(2)两个连续正整数的平方和是313，求这两个正整数．(3)已知两个数的和为6，积为7，求这两个数．问题探究：已知关于x 的一元二次方程3(x －k )2＋4k －5＝0的常数项等于1，则所得关于k 的一元二次方程的一般形式是什么?22.1 一元二次方程(2)学习要求：进一步理解一元二次方程的概念，灵活掌握二次项系数、一次项系数、常数项，体会一元二次方程与现实生活的关系．做一做： 填空题：1．方程(x ＋1)(x ＋2)＝3化为一般形式是____________．2．两个连续奇数的积是255，求这两个数，若设较小奇数为x ，则根据题意，可得方程为____________．3．一个矩形的长比宽多2cm ，面积为30cm 2，求这个矩形的长与宽，设矩形的长为x cm ，列出方程为____________． 选择题：4．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( ) (A)mx 2＋8x ＝6x (x －1)－2 (B)ax 2＋bx ＋c ＝0 (C)(m 2＋1)x 2－5x ＋3＝0(D)x1＋5x ＋8＝05．下列各方程中，一定是关于x 的一元二次方程的个数是( )①1232=-x x ；②mx 2＋nx －4＝0；③11-=-x x x ；④x 2－x 2(1＋x 2)－2＝0 (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个6．长50cm ，宽30cm 的矩形薄铁片，在四个角截去四个大小相同的正方形，做成底面积为1200cm 2的无盖长方体盒子．设截去的小正方形边长为x cm ，列出的正确方程是( ) (A)(50－2x )(30－2x )＝1200 (B)(50－x )(30－x )＝1200 (C)(50－2x )(30－x )＝1200 (D)50 ³30－4x 2＝1200解答题：根据下列问题，列出方程(不必求解)．7．学校有一块长方形空地，长42米，宽30米，准备在中间开辟花圃，四周修建等宽的林荫小道，使小道的面积和花圃面积相等，求小道的宽．问题探究：根据方程：(50＋x )(40＋x )＝3000，你能结合身边的实际，编一个应用问题吗?试试看．22.2 降次——解一元二次方程(1)学习要求：在进一步理解一元二次方程的有关概念的基础上，结合平方根的意义，初步体会利用开平方可以将一些一元二次方程降次转化为一元一次方程．做一做：填空题： 1．x (x ＋2)＝5(x ＋2)的一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．2．若x ＝2满足方程x 2－12x －m ＝0，则m ＝______． 3．形如方程x 2＝a (a ≥0)的解是______．4．形如方程(x ＋m )2＝n (n ≥0)的解是______． 选择题：5．方程(x ＋2)2＝9的解为( ) (A)x 1＝9，x 2＝－9 (B)x 1＝9，x 2＝0 (C)x 1＝－9，x 2＝0(D)x 1＝1，x 2＝－5 6．方程(x ＋3)2－9＝0的解的情况为( ) (A)x 1＝3，x 2＝－3 (B)x 1＝0，x 2＝－6 (C)x 1＝9，x 2＝－6(D)x 1＝6，x 2＝07．方程4x 2－1＝0的根的情况是( ) (A)x ＝±2(B)0,2121=-=x x(C)21±=x(D)无实根解答题： 8．解下列方程：(1)x 2＝169； (2)5x 2＝125；(3)(x ＋3)2＝16；(4)(6x －7)2－128＝0．问题探究： 若等式24xa ²(a 1－2x )4＝a 9成立，求x 的值．22.2 降次——解一元二次方程(2)学习要求：在掌握了利用求平方根的方法解一元二次方程以后，结合完全平方的特征，体会转化思想：即配方转化降次求解一元二次方程．理解配方法的要领，掌握配方法的基本步骤．做一做： 填空题：1．根据公式a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2，填充下列各式： (A)x 2＋8x ＋______＝(x ＋______)2 (B)x 2－2x ＋______＝(x －______)2(C)x 2＋x ＋______＝(x ＋______)2(D)x 2－x ＋______＝(x －______)2 选择题：2．用配方法解方程x 2－3x －1＝0时，以下解法中的配方过程正确的是( ) (A)x 2－3x －1＝0 (B)x 2－3x －1＝0x 2－3x ＋9＝9＋1 x 2－3x ＋9＝1(x －3)2＝10 (x －3)2＝1 (C)x 2－3x －1＝0(D)x 2－3x －1＝01494932+=+-x x 1232332+=+-x x413)23(2=-x 25)23(2=-x解答题：3．用配方法解下列方程： (1)x 2－6x ＋4＝0；(2)x 2＋5x －6＝0；(3)x 2＋6x ＋8＝0；(4)x 2＋4x －12＝0；(5)(2x －3)2－3＝0；(6)x 2＋2mx －n 2＝0．问题探究：求证：不论a 、b 取何实数，多项式a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14的值都不小于1．22.2 降次——解一元二次方程(3)学习要求：在理解了配方法的基本思想和配方过程的基础之上，通过对一般形式的一元二次方程进行配方，从而导出求根公式，对求根公式要在理解的基础上记住它，并能利用它求解一元二次方程．做一做：填空题：1．一元二次方程4x (x ＋3)＝5(x －1)＋2的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝______．2．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式为______．3．已知关于x 的一元二次方程s －r ＝sx 2－rx ＋sx －rx 2＋t (s －r ≠0)的一般形式是______，其中a ＝______，b ＝______，c ＝_______． 选择题：4．已知一元二次方程x 2－2x －m ＝0，用配方法解该方程，配方后的方程是( ) (A)(x －1)2＝m 2＋1 (B)(x －1)2＝m －1 (C)(x －1)2＝1－m(D)(x －1)2＝m ＋15．方程x 2＝x ＋1的解是( ) (A)1+=x x(B)251±=x(C)1+±=x x(D)251±-=x6．方程x 2－6x －3＝0的解的情况为( ) (A)有两个相等的实数根 (B)有两个不等的实数根 (C)有一个实数根(D)没有实数根解答题： 7．用公式法解方程： (1)2x 2＋2x ＝1；(2)5x ＋2＝3x 2；(3)x (x ＋8)＝16；(4)(2y ＋1)(3y －2)＝3．问题探究：在方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根中，有一个根为0，另一个根不为0，那么m ，n 应满足( )(A)m ＝0，n ＝0(B)m ≠0，n ≠0 (C)m ≠0，n ＝0(D)m ＝0，n ≠022.2 降次——解一元二次方程(4)学习要求：在理解配方法和掌握求根公式之后，应能准确认识公式中的a ，b ，c ．结合实际应用它．应用公式法求解一元二次方程．要养成认真踏实的学习习惯，提高运算的正确率． 做一做： 填空题：1．方程x 2＋x －3＝0的两根是____________． 2．方程x (x ＋1)＝2的根为____________．3．两个连续奇数之积是143，设其中较小的奇数为y ＋1，则可得关于y 的一元二次方程的一般形式是________________________． 选择题：4．已知px 2－3x ＋p 2－p ＝0是关于x 的一元二次方程，则( ) (A)p ＝1(B)p ＞0(C)p ≠0 (D)p 为任意实数5．已知x 2－3x ＋1＝0，则xx 1+的值为( )(A)3 (B)－3 (C)23 (D)16．下列方程中，两实根之和等于零的是( )(A)9x 2＋4＝0 (B)(2x ＋3)2＝0 (C)(x －1)2＝4 (D)5x 2＝6 解答题： 7．解下列方程： (1)x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x －1＝0；(3)－2x 2＝5x －3；(4)3x 2＋2x ＝4．问题探究：一根长36cm 的铁丝剪成相等的两段，一段弯成矩形，另一段弯成有一边长为5cm 的等腰三角形．如果弯成的矩形和等腰三角形的面积相等，求矩形的长与宽．22.2 降次——解一元二次方程(5)学习要求：在理解了利用求平方根的思想来达到降次求解一元二次的方程之后，因式分解又是一种转化的思想，来实现将一元二次方程降次为一元一次方程求解．做一做： 填空题：1．当x ＝3时，(x －3)(x ＋3)的值为____________． 2．方程x (x －3)＝0的根为______________．3．方程x 2＝x 的右边化为零后变为________，左边分解因式后化为______，原方程的解为______选择题：4．关于x 的方程(m 2－m )x 2＋mx ＋n ＝0是一元二次方程的条件是( ) (A)m ≠0 (B)m ≠1 (C)m ≠0或m ≠1 (D)m ≠0且m ≠1 5．方程x 2＝2x 的解是( ) (A)x ＝0(B)x ＝2(C)x ＝0或x ＝2 (D)x ＝±2 6．方程(x －3)2＝3－x 的解是( ) (A)x ＝3 (B)x ＝2或x ＝3 (C)x ＝2(D)x ＝4解答题：7．用因式分解法解方程： (1)(x －1)(x －2)＝0；(2)x 2－3x ＝0；(3)x2－4x＋4＝0；(4)x2－5x＋4＝0．问题探究：若等腰三角形的两边长分别是方程x2－9x＋14＝0的两根．那么这个等腰三角形的周长是多少?22.2 降次——解一元二次方程(6)学习要求：进一步体会利用因式分解法降次的基本思想，掌握因式分解法求解一元二次方程．做一做：填空题：1．分解因式：2x2＋5x－3＝____________．2．用因式分解法解方程x2－5x＝6，得方程的根为____________．3．方程2(x＋3)2－5(x＋3)＝0的解为______．最简便的解法是____________．4．若代数式x2＋6x的值为零，则x的值为______．选择题：5．已知(x＋y)(x＋y＋2)＝15，则x＋y的值为( )(A)3或5 (B)3或－5(C)－3或5 (D)－3或－56．下列方程：①x2－5x－6＝0；②x2－6x－5＝0；③x2＋5x＋6＝0；④x2＋6x＋5＝0．适宜用因式分解求解的是( )(A)①、②、③、④(B)①、③、④(C)①、②、③(D)②、③、④解答题：7．解下列方程：(1)9(x－3)2＝25；(2)6x2－x＝1；(3)x2＋4x－96＝0；(4)x(x－1)＝2；(5)4(2x－1)2＝9(x－2)2；(6)(2x－3)2－2(3－2x)＝8．问题探究：当k是什么整数时，方程(k2－1)x2－6(3k－1)x＋72＝0只有正整数根?22.2 降次——解一元二次方程(7)学习要求：在掌握了配方法、公式法及因式分解法求解一次二次方程之后，同学们应注意灵活地应用这些知识．做一做：填空题： 1．方程0)75.0)(5.0()43(2=--+-x x x 的较小根是____________．2．已知单项式xx ba 3222-与4221b a -是同类项，则x 的值是__________．3．++x x 222______＝(x ＋______)2．4．4x 2－______＋9＝(______－3)2．选择题： 5．方程x (x 2＋1)＝0的实数根的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)36．下列方程中，两根分别为－1＋3和－1－3的是( ) (A)0)31)(31(=--++x x (B)0)31)(31(=+--+x x (C)0)31)(31(=--+-x x(D)0)31)(31(=++-+x x解答题： 7．解下列方程 (1)x 2－6x ＋4＝0；(2)x 2－22x －3＝0；(3)2y (y ＋2)＝(y ＋2)； (4)(2x －1)2－4＝0；(5)3y 2＋1＝23y ；(6)(2x －1)(x －2)＝－1．问题探究：小明养了一群鸽子，小亮问小明养了几只鸽子，小明说：“如果你给我一只鸽子，那么鸽子总数的平方是鸽子总数的9倍．”你知道小明现在有几只鸽子吗?阅读与思考——一元二次方程的近似解与连分数学习要求：将一些具体值代入所要解的一元二次方程，大致估计出一元二次方程解的范围，再在这个范围内逐步加细赋值，逐步估计出一元二次方程的近似解．这就是求一元二次方程近似解的基本要领．下面介绍另外一种估计一元二次方程近似解的方法．方程：x 2－3x －1＝0，因为x ≠0，所以先将其变形为x ＝x13+，用x13+代替x ，得xxx 131313++=+=反复若干次用x13+代替x ，就得到x x +++++++=3131313131313形如上式右边的式子称为连分数．可以猜想，随着替代次数的不断增加，右式最后的x1对整个式子的值的影响将越来越小，因此可以根据需要，在适当的时候把x1忽略不计，例如，当忽略x ＝x13+中的x1时，就得到x ＝3，当忽略xx 1313++=的x1时，就得到313+=x ；如此等等．于是就可以得到一系列分数：,,3131313,31313,313,3 ++++++即： .30303.333109,3.31033,333.3310,3 ===可以发现它们越来越趋于方程x 2－3x －1＝0的正根．同学们不妨利用此方法求一求方程x 2－5x －1＝0的近似解．22.3 实际问题与一元二次方程(1)学习要求：在学习一元二次方程的解法的过程中，同学们应注意与实际问题相联系，逐步培养用方程的思想与知识解决实际问题的能力，培养学数学用数学的意识． 做一做： 填空题：1．某公司10月份产值为a 万元，比5月份增长20％，则5月份产值为____________． 2．一个六位数，低位上的三个数字组成的三位数是a ，高位上的三个数字组成的三位数是b ，现将a ，b 互换，则得到的六位数是____________ 3．一项工程，甲班干完需m 天，乙班干完需(m ＋2)天，甲、乙两班合干，完成工程需__________________天．选择题：4．甲走20天的路程乙走30天，已知乙每天走15千米，问甲每天走多少千米?在下列几种设未知数的写法中，正确的是( ) (A)设甲每天走x (B)设甲速为x 千米 (C)设甲走x 千米(D)设甲每天走x 千米5．一件工作，甲独做4天完成，乙独做6天完成，则二人合做( )天完成． (A)6(B)5(C)512(D)2解答题：6．列方程解应用题：(1)两个数的差为4，它们的积为45，求这两个数．(2)一个直角三角形的三条边的长是三个连续的整数，求三条边的长．(3)某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，求后两年造林面积的平均增长率．问题探究：我国古代数学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一题：直田积(矩形面积) 八百六十四步(平方前)，只云长阔(长与宽)共六十步，问阔及长各几步?22.3 实际问题与一元二次方程(2)学习要求：进一步运用方程解决实际问题，逐步培养逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力． 做一做： 填空题：1．某公司今年的年产值是1000万元，若以后每年的平均增长率为10％，则两年后该公司的年产值是______万元．2．制造某种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是每件81元，则平均每次降低成本的百分率是______．3．一块长方形硬纸片，在它的四个角上截去四个小正方形，折成一个没有盖子的长方体盒子，已知纸片的长为40cm，宽为32cm，要使盒子的底面积为768cm2，则截去的小正方形边长应为______cm．解答题：4．有一个两位数恰等于其个位与十位上的两个数字乘积的3倍，已知十位上的数字比个位上的数字小2，求这个两位数．5．某电冰箱厂今年每个月的产量都比上个月增长同样的百分数．已知该厂今年4月份的电冰箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了12000台，求该厂今年产量的月增长率．6．某养鸡场的矩形鸡舍一边靠墙，另三边用竹篱笆围成，现有材料可制作竹篱笆13m，若欲围成20m2的鸡舍，鸡舍的长、宽应各是多少?问题探究：第6题中，利用13m的竹篱笆，能围成21m2的鸡舍吗?能围成22m2的鸡舍吗?若能围成，求出鸡舍的长和宽，若不能围成，说明理由．22.3 实际问题与一元二次方程(3)学习要求：通过应用一元二次方程解决一些实际问题，进一步体会学数学用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．做一做：选择题：1．已知两个连续奇数的积为63，求这两个数．设其中一个数为x，甲、乙、丙三同学分别列出方程①x(x＋2)＝63 ②x(x－2)＝63 ③(x－1)(x＋1)＝63其中正确的是( )(A)只有①(B)只有②(C)只有①②(D)①②③都正确2．某机床厂今年一月份生产机床500台，三月份生产机床720台，求二，三月份平均每月的增长率，设平均每月增长的百分率为x，则列出方程正确的是( )(A)500＋500x＝720 (B)500(1＋x)2＝720(C)500＋500x2＝720 (D)(500＋x)2＝7203．生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他组员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学?设全组有x 名同学，则根据题意列出的方程是( ) (A)x (x ＋1)＝182 (B)x (x －1)＝182 (C)x 21(x ＋1)＝182(D)x 21(x －1)＝1824．某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值175亿元，问二月、三月平均每月的增长率是多少．设每月的平均增长率为x ，根据题意列方程为( ) (A)50(1＋x )2＝175(B)50＋50(1＋x )2＝175(C)50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175 (D)50＋50(1＋x )＋50(1＋x )2＝175解答题：5．为响应国家“退耕还林”的号召，改变某省水土流失严重的现状，2004年某省退耕还林1600公顷，到2006年全年退耕还林1936公顷，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少?6．某人用1000元人民币购买一年期的甲种债券，到期后兑换人民币并将所得利息购买一年期的乙种债券，若乙种债券的年利率比甲种债券的年利率高2个百分点，到期后，此人将乙种债券兑换人民币共得本息和112元，求甲种债券的年利率．问题探究：在长为a 的线段AB 上有一点C ，且AC 是AB 和BC 的比例中项，试求线段AC 的长．观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系学习要求：一元二次方程根与系数的关系作为观察与猜想提供给同学们，同学们还是应认真研究，交流体会，它能更深入地认识和理解一元二次方程．学有余力的同学还可以学习它在其它方面的应用．做一做： 填空题：1．如果x 1，x 2是方程2x 2＋4x －1＝0的两根，那么x 1＋x 2＝______，x 1²x 2＝______． 2．若α ，β 是一元二次方程x 2－3x －2＝0的两个实数根，则=+βα11______．3．若α ，β 是方程x 2－3x ＝5的两根，则α 2＋β 2－α β 的值是______．4．若x 1，x 2是方程2x 2＋ax －c ＝0的两个根，则x 1＋x 2－2x 1x 2等于______(结果用a ，c 表示)．选择题： 5．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根是零的条件是( ) (A)b 2－4ac ＝0 (B)b ＝0 (C)c ＝0 (D)c ≠06．若α ，β 是方程2x 2＋3x －4＝0的两根，则α ＋α β ＋β 的值是( ) (A)－7(B)213-(C)21-(D)77．已知一元二次方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，则方程的另一个根为( ) (A)53 (B)53-(C)－3(D)38．已知一元二次方程2x 2－3x ＋3＝0，下列说法中正确的是( ) (A)两个实数根的和为23- (B)两个实数根的和为23(C)两个实数根的积为23(D)以上说法都不正确解答题：9．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两个根，利用根与系数的关系计算下列各式的值：(1);221221x x x x +(2)(x 1－x 2)2．10．若关于x 的方程2x 2＋(k ＋1)x ＋k ＋2＝0的一个根是2，求它的另一个根．问题探究：已知关于x 的方程x 2－2(m －2)x ＋m 2＝0．问：是否存在实数m ，使方程的两个实数根的平方和等于56．若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．数学活动(1)学习要求：通过合作、交流、归纳与探索，挖掘一元二次方程两根与一些二次三项式的分解因式之间的内在联系，认识二次三项式的因式分解，并进一步理解一元二次方程的根．做一做：我们已经学过一些特殊的二次三项式的因式分解，如3x 2－2x ＝x (3x －2) x 2－9＝(x ＋3)(x －3)x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2但对于一般的二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，你能把它分解因式吗? 观察下列各式，你能发现什么呢?通过上面的计算、观察，你能得到什么结论呢?设方程ax ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根为x 1，x 2，则二次三项式分解因式为ax 2＋bx ＋c ＝_________________________．你能说说其中的道理吗?根据你们得到的结论，试一试将下列因式分解． (1)x 2＋20x －69； (2)24x 2－2x －35；(3)x 2－x －1；(4)2x 2－6x ＋3．数学活动(2)学习要求：通过合作、交流利用方程的知识解决一些实际问题，体会建立数学模型、学数学用数学的意识，提高学习基本素养．做一做：1．如果与水平面成45°角向斜上方投掷标枪，那么标枪飞行的水平距离S (单位：m)与标枪出手的速度v (单位：m/s)之间大致有如下关系：28.92+=vS ．某同学按这种要求投掷标枪，标枪飞行的水平距离为42m ，求标枪出手时的速度(结果精确到0.1m/s)．2．某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么商场平均每天可多售出2件．商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?3．小明将勤工俭学挣得的500元钱按一年定期存入银行，到期后取出50元用来购买学习用品，剩下的450元连同应得税后利息又全部按一年定期存入银行．如果存款的年利率保持不变，且到期后可得税后本息约461元，那么这种存款的年利率大约是多少?(利息税为利息的20％，结果精确到0.01％)．数学活动(3)学习要求：通过合作、交流、实践与探索，初步学习把现实世界的问题化为纯数学的问题，即建立数学模型，培养创新精神与实践能力．课题：洗衣服的数学问题．现在衣物已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能完全把水拧干，设衣服上还残留含有污物的水1斤，用20斤清水来漂洗，怎样才能漂得更干净?(1)如果把衣服一下放到20斤清水里，那么连同衣服上那1斤水，一共21斤水，污物均匀分布在这21斤水里，拧干后，衣服上还有1斤水，所以污物残存量是原来的⋅211如何洗，效果更佳呢?(2)如果衣服上残存水量是1.5斤或2斤，洗衣用水量是37斤，那么又该怎么洗法?复 习学习要求：通过复习，全面认识和理解一元二次方程的有关概念，掌握用公式法、因式分解法求解一元二次方程．理解配方法原理及这一思想的含意，会用方程的思想解决一些实际问题，认识根与系数之间的关系．做一做： 填空题：1．方程(2x －1)(3x ＋2)＝x 2＋2化为一般形式后，a ＝______，b ＝______，c ＝______． 2．y 2－4y ＋______＝(y －______)2． 3．+-x x 252______＝(x －______)2．4．如果关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1＝1，x 2＝3，那么这个一元二次方程是______． 5．等腰△ABC 两边的长分别是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是______．选择题： 6．①,542=-x ②xy ＝1，③2122=+xx④0312=x，以上方程中，是一元二次方程的有( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 7．x 2－3＝3x 化为一般式后，a ，b ，c 的值分别为( ) (A)0，－3，－3 (B)1，－3，3 (C)1，3，－3 (D)1，－3，－3 8．解方程3x 2＋27＝0得( ) (A)x ＝±3 (B)x ＝3(C)x ＝－3(D)无实根9．方程0)21()21(2=--+x x 的解是( )(A)332,021-==x x (B)223,121-==x x (C)322,021-==x x(D)x 1＝0，x 2＝110．下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( )(A)若x 2－8＝0，则22=x (B)方程x (2x －1)＝2x －1的解为x ＝1(C)若方程x 2＋2x ＋k ＝0有一个根是－3，则k ＝－3 (D)若分式1232-+-x x x 的值等于零，则x ＝1或2解答题：11．用适当的方法解下列方程：(1);17.052=+x(2)4x 2＋3x ＝0；(3)x 2－25x ＋144＝0； (4)(3y －2)2－5(3y －2)＝14；(5)x 2－6x ＋6＝0； (6)(x ＋6)(x －7)＝14．12．一个两位数的两个数字之和为9，把个位数与十位数字互换后所得的新数乘以原数，积为1458，求这个两位数．13．有一个两位数等于其各位数字之和的4倍，其中十位数字比个位数字小2，求此两位数．14．已知关于x 的方程x 2－bx －a ＝0有两等根，且一次函数y ＝ax ＋b 的图像如图所示，又a 、b 满足5||2=--b a b ，求a 2＋b 2的值．图115．爱华中学从2003年到2006年四年内师生共植树2008棵，已知该校2003年植树353棵，2004年植树500棵，如果2005年和2006年植树棵数的年增长率相同，那么该校2006年植树多少棵?第二十二章 一元二次方程测试题填空题(每题6分，满分36分)1．一元二次方程的一般形式是________________，当一次项系数为零时，其形式为_______ _________．2．方程2x 2＝9的二次项系数是________________，一次项系数是________________常数项是________________选择题：3．方程①5x 2－38＝x ，②4x 2－5y ＋9＝0，032=x ③，0312=+-xx ④中，是一元二次方程的有( )(A)①② (B)①(C)①③④ (D)①③ 4．把方程x 2＋3＝4x 配方，得( ) (A)(x －2)2＝7 (B)(x ＋2)2＝1 (C)(x －2)2＝1(D)(x ＋2)2＝25．方程x 3＝3x 的所有的解为( ) (A)0(B)0，3(C)3,3- (D)3,3,0-6．方程(x ＋m )2＝n 2的解为( ) (A)x ＝－m ± n (B)x ＝m ±n(C)x ＝m ＋n(D)x ＝－m ＋n解答题：7．解下列方程：(每题6分，满分36分)(1)x 2－3x ＋2＝0；(2)(y －2)2＝3；(3)(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0； (4)x 2－4x ＝8；(5)6x 2－4＝2x ；(6)3x 2＋5(2x ＋1)＝0．8．(9分)一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数，求这个两位数．9．(9分)某发电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过akWh ，那么这个月这户居民只要交10元电费．如果超过akWh ，则这个月除仍要交10元电费外，超过部分还要按100a 元/kWh 交费．下表是一户居民3月和4月的用电情况及交费情况：10．(10分)一次函数y ＝x ＋b 与反比例函数xk y 3+=图象的交点为A (m ，n )，且m 、n (m ＜n )是关于x 的一元二次方程kx 2＋(2k －7)x ＋k ＋3＝0的两个不相等的实数根，其中k 为非负整数，m 、n 为常数．(1)求k 的值；(2)求点A 的坐标与一次函数、反比例函数的解析式．参考答案第二十二章 一元二次方程22.1 一元二次方程(1)1．5x 2－3x －2＝0，5，－3，－2． 2．－1 3．＝3 4．≠±2， ＝－2 5．A 6．D 7．A 8．(1)设宽为x cm ，x (x ＋2)＝15 (2)设两个连续的整数分别为x ，x ＋1．x 2＋(x ＋1)2＝313．(3)设一个数为x ．x (6－x )＝7问题探究：3k 2＋4k －6＝022.1 一元二次方程(2)1．x 2＋3x －1＝0 2．x (x ＋2)＝255 3．x (x －2)＝30 4．C 5．D 6．A 7．设小道的宽为x 米．(42－2x )(30－2x )＝304221⨯⨯ 问题探究：略22.2 降次——解一元二次方程(1)1．x 2－3x －10＝0，1， －3， －10 2．－20 3．a x ±= 4．n m x ±-= 5．D6．B 7．C 8．(1)x ＝±13 (2)x ＝±5 (3)x 1＝1，x 2＝－7 (4)6287±=x 问题探究：25或21-22.2 降次——解一元二次方程(2)1．(A)16，4 (B)1，1 (C)21,41 (D).21,41 2．C 3．(1),531+=x 532-=x(2)x 1＝1，x 2＝－6 (3)x 1＝－2，x 2＝－4 (4)x 1＝2，x 2＝－6 (5)233±=x (6)22n m m +±- 问题探究．提示：将a 2b 2＋b 2－6ab －4b ＋14进行配方为a 2b 2－6ab＋9＋b 2－4b ＋4＋1＝(ab －3)2＋(b －2)2＋1，可证22.2 降次——解一元二次方程(3)1．4x 2＋7x ＋3＝0，4，7，3 2．b 2－4ac 3．(s －r )x 2＋(s －r )x －s ＋r ＋t ＝0，s －r ，s －r ， －s ＋r ＋t 4．D 5．B 6．B 7．(1)231±-=x (2)2,3121=-=x x ，(3)x244±-= (4)65,121-==y y 问题探究：C22.2 降次——解一元二次方程(4)1．2131,213121--=+-=x x 2．x 1＝－2，x 2＝1 3．y 2＋4y －140＝0 4．C5．A 6．D 7．(1)x 1＝1，x 2＝－4 (2)251,25121-=+=x x (3)211=x ，x 2＝－3(4)3131,313121--=+-=x x 问题探究：长：cm 2219+宽cm 2219-，或长cm 2339+宽cm 2339-22.2 降次——解一元二次方程(5)1．0 2．x 1＝0，x 2＝3 3．x 2－x ＝0，x (x －1)＝0，x 1＝0，x 2＝1 4．D 5．C 6．B 7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)x 1＝0，x 2＝3 (3)x 1＝x 2＝2 (4)x 1＝4，x 2＝1 问题探究：1622.2 降次——解一元二次方程(6)1．(2x －1)(x ＋3) 2．x 1＝6，x 2＝－1 3．－3，21- 因式分解 4．0或－6 5．B 6．B7．(1)34,31421==x x (2)31,2121-==x x (3)x 1＝8，x 2＝－12 (4)x 1＝2，x 2＝－1(5)78,421=-=x x (6)25,2121=-=x x 问题探究：1，2，3．提示：分两种情况讨论：(1)当k 2－1＝0，即k ＝±1，检验当k ＝1时，x ＝6，k ＝－1时，x ＝－3(不合题意舍去) (2)k 2－1≠0时，用因式分解法可得,16,11221-=+=k x k x 因k 为整数，要使x 1，x 2，都为整数，只有k ＝2，k ＝3，综上所述k ＝1，2，322.2 降次——解一元二次方程(7)1．852．4或－1 3．2,2 4．12x ，2x 5．B 6．D 7．(1)53,5321-=+=x x(2)52,5221-=+=x x (3)21,221=-=y y (4)23,2121=-=x x(5)3321==y y (6)1,2321==x x 问题探究：8只 22.3 实际问题与一元二次方程(1)1．a 65万元 2．1000a ＋b 3．22)2(++m m m 4．D 5．C 6．(1)5，9或－5，－9 (2)3，4，5 (3)20％ 问题探究：阔为24步，长为36步22.3 实际问题与一元二次方程(2)1．1210 2．10％ 3．4 4．24 5．20％ 6．长8m ，宽2.5m 或长5m ，宽4 m ．问题探究：能围成21m 2的，长为7m ，宽为3m ，也可为长6m ，宽3.5m ，不能围成22m 2的22.3 实际问题与一元二次方程(3)1．C 2．B 3．B 4．D 5．10％ 6．10％ 问题探究：a 215-观察与猜想——一元二次方程根与系数的关系1．－2，21- 2．23-3．24 4．c a +-25．C 6．B 7．B 8．D 9．(1)29(2)3 10．21-问题探究：m ＝－2，提示：由,562221=+x x ，即(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝56，所以有[2(m －2)]2－2m 2＝56 解之m 1＝－2，m ＝10，检验可知m ＝10不合题意数学活动(1)(1)(x －3)(x ＋23) (2)(6x ＋7)(4x －5) (3))251)(251(--+-x x(4))233)(233(2--+-x x数学活动(2)1．标枪出手时的速度约为19.8m/s ． 2．每件衬衫应降价20元 3．这种存款的年利率大约为1.44％数学活动(3)略复 习1．5，1， －4 2．4，2 3．45,1625 4．x 2－4x ＋3＝0 5．7或8 6．B 7．D 8．D9．C 10．C 11．(1)26±=x (2)43,021-==x x (3)x 1＝9，x 2＝16 (4)y 1＝0，y 2＝3 (5)33±=x (6)x 1＝－7，x 2＝8 12．18或81 13．24 14．45 15．605棵第二十二章 一元二次方程测试题1．ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，ax 2＋c ＝0(a ≠0) 2．2，0， －9 3．D 4．C 5．D 6．A7．(1)x 1＝1，x 2＝2 (2)32,3221-=+=y y (3)211-=x ，x 2＝－2(4)x 1＝,322+ 3222-=x (5)321-=x ，x 2＝1 (6)3105,310521--=+-=x x8．25或36 9．a ＝50(kWh) 10．(1)k ＝1，(2)A (1，4)，y ＝x ＋3，x y 4=。
一元二次方程的四种解法
一元二次方程的四种解法
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龙文教育个性化辅导教案提纲
教师:陈燕玲学生：年级九日期: 星期: 时
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意○ 满意○ 一般○ 差
学生签字:
五、教师评定：
1、学生上次作业评价: ○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
2、学生本次上课情况评价：○非常好○好○ 一般○ 需要优
化
教师签字：
教务主任签字： ___________
龙文教育教务处。
一元二次方程公式大全
一元二次方程公式大全
1. 一元二次方程的一般式：ax²+bx+c=0（a≠0）。
2. 一元二次方程的根公式：x=[-b±√(b²-4ac)]/2a。
3.一元二次方程的顶点公式：x=-b/2a，y=c-b²/4a。
4.一元二次方程的轴对称式：y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标。
5. 一元二次方程的判别式公式：Δ=b²-4ac；当Δ>0时，有两个不
相等的实根；当Δ=0时，有一个重根；当Δ<0时，无实根。
6.一元二次方程的解的性质公式：两根之和=-b/a，两根之积=c/a。
7. 一元二次方程的因式分解公式：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁、x₂为方程的两个实根。
8. 一元二次方程的求导公式：y'=2ax+b，其中a、b为方程系数。
9. 一元二次方程的求和差公式：(x+y)²=x²+2xy+y²，(x-y)²=x²-
2xy+y²。
10. 一元二次方程的配方法公式：根据(a±b)²=a²±2ab+b²，将一元
二次方程化为完全平方形式。
第六讲：一元二次方程
前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程（3）
x2-x=56
当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表：
x x2 － x 1 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … …
６
12
20
30
42
56
72
90
你发现那几个数值是方程 ：x2－x＝56的解？
可以发现，当x=8时，x2－x＝56，所以x=8是方程x2 －x=56的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程 的根 .
特征：
（１）这些方程的两边都是整式. （２）方程中只含有一个未知数，未知数 的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有 一个未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方 程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都 能化成如下形式
ax bx c 0 a 0
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
简记歌诀： 右化零
两因式Leabharlann 左分解各求解一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: △=b24ac的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算;
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
北师大版九年级上册数学第二章一元二次方程第六节 用一元二次方程解几何应用问题
第二章
一元二次方程
2.2. 应用一元二次方程 用 6一 元 二 次 方 程 解 几 何 应 用 问 题
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答案呈现
1 【教材P38习题T2变式】【2020·济南】如图，在一块 长15 m，宽10 m的矩形空地上，修建两条同样宽的相 互垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为 126 m2，则修建的路宽应为_____1___m.
根据题意，得2a（ ＋x2＋ x＝b） 10＝ ，12， ab＝24，
∴a＝10－2x，b＝6－x.
代入 ab＝24，得(10－2x)(6－x)＝24，
解得 x＝2 或 x＝9(舍去)．故剪去的正方形的边长为 2 cm. 【答案】 2
4 【教材P45习题T2变式】【2020·西藏】列方程(组)解 应用题． 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚 成效，决定在该村山脚下，围一个面积为600 m2的矩 形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图，茶园一 面靠墙，墙长35 m，另外三面用69 m长的篱笆围成， 其中一边开有一扇1 m宽的门(不包括篱笆)． 求这个茶园的长和宽．
3 【2020·山西】如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形 铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形， 剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的 长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为________ cm.
【点拨】 设底面长为 a cm，宽为 b cm，正方形的边长为 x cm.
由 题 意 得 S△DPQ ＝ S 矩 形 ABCD － S△ADP － S△CDQ － S△BPQ ＝ AB·BC－12AD·AP－12CD·CQ－12BP·BQ＝6×12－12×12x－12 ×6(12－2x)－12(6－x)·2x＝x2－6x＋36＝31， 解得 x1＝1，x2＝5. ∴当△ DPQ 的面积为 31 cm2 时，x＝1 或 5.
一元二次方程知识点总结及习题
【基础知识巩固】知识点1. 一元二次方程概念只含有一个未知数，并且含有未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
1、判别下列方程是不是一元二次方程，(1)2x 2-x-3=0. (2)4y -y 2=0. (3) t 2=0. (4) x 3-x 2=1. (5) x 2-2y-1=0. (6) 21x -3=0. (7)x x 32- =2. (8)(x+2)(x-2)=(x+1)2.(9)3x 2-x4+6=0. (10)3x 2=4x-3.2、判断下列方程是否为一元二次方程：)0(0).7(0).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x xx x x x ==+++-=-=+-===+3、下列方程中，关于x 的一元二次方程是 （ ）（A ）()()23121x x +=+ （B ）21120x x +-=（C ）20ax bx c ++= （D ）2221x x x +=+4、下列方程中，不是一元二次方程的是 （ ）（A ）2x 2+7=0 （B ）2x 2+23x+1=0（C ）5x 2+x 1+4=0 （D ）3x 2+(1+x) +1=05、若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是 （ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）0 （D ）不等于26、已知关于x 的方程()()03122=+-++p x n x m ，当 时，方程为一次方程；当时，两根中有一个为零a 。
7、已知关于x 的方程()2220m m x x m --+-=：（1） m 为何值时方程为一元一次方程；（2） m 为何值时方程为一元二次方程。
知识点二.一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 是二次项，a 叫二次项系数；bx 是一次项，b 叫一次项系数，c 是常数项。
一元二次方程的解法—解法5
一元二次方程的解法⑹班级________姓名__________一.学习目标：1．能根据方程的特征，选择适当的求解方法，体会方程解法的灵活性和多样性；2．在解方程的过程中，体会“换元”、“降次”等数学思想方法．二．学习重点：选择适当的方法解一元二次方程．学习难点：体会“换元”、“降次”等数学思想方法．三．教学过程Ⅰ．知识准备⑴给出以下方程的解题过程，其中正确的有．①解方程12(x－2)2＝16，两边同时开方，得x－2＝±4，移项得x1＝6，x2＝－2；②解方程x(x－1)2＝(x－1)2，两边同时除以(x－1)2得x＝1，所以原方程的根为x1＝x2＝1；③解方程(x－2)(x－1)＝5，由题得x－2＝1，x－1＝5，解得x1＝3，x2＝6；④方程(x－m)2＝n的解是x1＝m＋n，x2＝m－n．⑵①(x－2)2＝5；②x2－3x－2＝0；③x2＋x－6＝0．较适当的方法分别为．Ⅱ．活动探究填空：①x2－3x＋1＝0；②3x2－1＝0；③－3t2＋t＝0；④x2－4x＝2；⑤2x2－x ＝0；⑥5(m＋2)2＝8；⑦3y2－y－1＝0；⑧2x2＋4x－1＝0；⑨(x－2)2＝2(x－2) 适合运用直接开平方法______；适合运用因式分解法____________；适合运用公式法_________；适合运用配方法______________________．【新知探究】Ⅰ．能选择适当的方法解方程⑴(3x− 2)2－49＝0；⑵(3x－4)2＝(4x－3)2；⑶4y＝1－32y 2；⑷(x－2)(x－4)＝8；⑸3y(y－1)＝2－2y；⑹(3x－2)(x＋1)＝28．Ⅱ．会用换元法解方程(2x－1)2－(2x－1)－12＝0Ⅲ. 用配方法证明：关于x的方程(m2− 12m + 37)x2 + 3mx + 1 = 0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程.Ⅳ.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值.(a－2)2＋b2－4【课内反馈】1．解下列方程⑴(2x－1)2＋3(1－2x)＝0；⑵(1－x)2＝16(2x＋3)2；⑶x2＋6x－5＝0；⑷x2－5x＋6＝0；⑸(x＋2)(x－1)＝10；⑹(2x－1)2＋(1－2x)－6＝0．2．已知关于x的一元二次方程x2－mx＋m－2＝0．求证：方程有两个不相等的实数根【课时作业】1．解方程2(5x －1)2＝3(5x －1)的最适当的方法是（）A ．直接开平方法B ．配方法C ．公式法D ．因式分解法 2．方程13(x －1)2＝12(x －1)的根是（）A ．x ＝1B ．x ＝52C ．x ＝1，x ＝52D ．以上均不对3．若要使2x 2－3x －5的值等于4－6x 的值，则x 应为（）A ．－32或－3B ．32或－3C ．－32或 3D ．32或34．一元二次方程x 2－ax ＋6＝0, 配方后为(x －3)2＝3, 则a ＝______________.5．代数式x 2＋2x ＋3 的最_________值为__________．6．已知3x 2y 2－xy －2＝0，则x 与y 之积等于____________．7．解下列方程：⑴1625x 2＝1；⑵5x 2＝2x ；⑶3m 2＋1＝4m ；⑷(x －2)2＝9x 2；⑸p 2－4p －5＝0；⑹(x ＋1)(x －1)＝22x ；⑺3(x －2)2＝x (x －2)；⑻(x ＋1)2＋3(x ＋1)－4＝0；⑼2x 2＋6x －5＝0 (配方法)【课外延伸】1．在下列方程中：⑴x 2＝4；⑵x 2－1x ＝1；⑶5x 2－2x 3＝4x ；⑷4x 2＋y 2＋1＝0，是一元二次方程的是____________．(只填序号)2．如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实数根，则实数a 的取值范围是3．关于x 的一元二次方程－x 2＋(2m ＋1)x ＋1－m 2＝0无实数根，则m 的取值范围是___________.4．关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根为x 1＝－1，x 2＝2则x 2＋bx ＋c 分解因式的结果为5．解方程(x ＋a )2＝b 得（）A．x＝±b－a B．x＝±a＋bC．当b≥0时，x＝－a±b D．当a≥0时，x＝a±b6．解下列方程：⑴(x＋3)2＝25；⑵m2－m－1＝0；⑶2t2－t－3＝0（配方法）；⑷3(x－4)2＝9x－12；⑸4(x－2)2＝9(x＋1)2；⑹(2x＋3)2－(2x＋3)－28＝0．7．已知x1＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2．8．求证：如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，那么关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0一定有两个不相等的实数根．9．如图⑴，⑵所示，矩形ABCD的边长AB＝6，BC＝4，点F在DC上，DF＝2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位／秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：⑴说明△FMN ∽△QWP；⑵设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？⑶问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．M A B A C N M D 图（1）。
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法
一元二次方程的6种解法如下：
1、因式分解法：将一元二次方程化成 ax^2+bx+c=0 的形式，先将两边同乘以a后，即a(x^2+ b/ax + c/a)，然后将此形式拆解为（x+()）(x+(/))的形式，得到两个一元一次方程，求出x的值，即可求出原方程的解。
2、公式法：用公式法求解一元二次方程，即通过求解公式：x=(-
b±√(b^2-4ac))/2a来求解，此公式中，b和c为方程的系数，a为系数前的系数。
3、图像法：使用图像法求解一元二次方程，即作出ax^2+bx+c=0方程图象，然后根据图象上的交点判断出方程的解。
4、判别式法：此法根据一元二次方程的判别式来求解，即当判别式b^2-4ac>0时，方程有两个不等实根；当判别式b^2-4ac=0时，方程有一个实根；当判别式b^2-4ac<0时，方程没有实根。
5、求根公式法：此法可以用来求解一元二次方程的实根，即用求根公式x1=(-b+ √(b2- 4ac))÷2a和x2=(-b-√(b2- 4ac))÷2a，其中，b 为系数前的系数，a和c分别为方程的系数。
6、特殊值法：此法适用于一元二次方程中特殊的系数或解。
如当
a=0，系数b和c任意时，可将该方程化为一元一次方程，求解即可；当a=b=0时，可直接算出方程的解。
一元二次方程公式法、配方法
一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法 形如x 2＝a (a ≥0)的方程，因为x 是a 的平方根，所以x ＝±a ，即x 1＝a ，x 2＝－a ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．5．配方法 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)化成(x ＋a b 2)2＝2244aac b -的形式后，当b 2－4ac ≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1； (2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．6．公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝aac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】例1：用配方法解方程2x 2＋7x －4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x ＋a )2＝k 的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x 2＋27x －2＝0．移项，得x 2＋27x ＝2．配方，得x 2＋27x ＋(47)2＝2＋(47)2＝1681，即(x ＋47)2＝1681． 解这个方程，得x ＋47＝±1681，x ＋47＝±49．即x 1＝21，x 2＝－4．说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x 为何实数，代数式2x 2－4x ＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x 2－4x ＋3＝2x 2－4x ＋2＋1＝2(x －1)2＋1．例6：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4；解：(1)方程可变形为2x 2＋7x －4＝0．∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81＞0，∴x ＝49722)4(24772±-=⨯-⨯⨯-±-．∴x 1＝21，x 2＝－4．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x422-＝0B ．322xx -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0D ．5x ＝3x －1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) (3)方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A ．3，－4，－2B ．3，2，－4C ．3，－2，－4D ．2，－2，0(4)一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2(5)若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－1 (6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1(7)方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根(8)方程(x －5)2＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6(9)若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或1(10)关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2B ．－21 C ．－2 D ．21 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x ＋1＝9x 2； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3； (3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2；(4)3y 2－2y ＝2y 2－3y ＋5．3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2＝49； (2)x 2＝1．96； (3)3x 2－48＝0； (4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2＝144；(6)(6x －7)2－9＝0．5．用配方法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0(3)x 2－7x ＋2＝0；(4)9x 2＋6x －1＝0；(5)5x 2－2＝－x ；(6)3x 2－4x ＝2．6．用公式法解下列方程： (1)x 2－2x ＋1＝0； (2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2－35x ＝2； (4)0．8x 2＋x ＝0．3；(5)4x 2－1＝0；(6)x 2＝7x ；(7)3x 2＋1＝23x ；(8)12x 2＋7x ＋1＝0．7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2－19的值互为相反数?8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．10．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x 2－4x －1＝0，9，－4，－1； (2)x 2－4x ＝0，1，－4，0； (3)x 2－12x ＋27＝0，1，－12，27； (4)(3－2)y 2＋(3－2)y －5＝0，3－2， 3－2，－5．3．m ≠－1，m ＝214．(1)x 1＝23，x 2＝－23； (2)x 1＝－1．4，x 2＝1．4； (3)x 1＝－4，x 2＝4； (4)x 1＝－21，x 2＝21； (5)x 1＝13，x 2＝－11； (6)x 1＝32，x 2＝35． 5．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－6－21，x 2＝－6＋21；(3)x 1＝2417-，x 2＝2417+； (4)x 1＝321+-，x 2＝321--；(5)x 1＝10411--，x 2＝10411+-；(6)x 1＝3102+，x 2＝3102-．6．(1)x 1＝x 2＝1；(2)x 1＝－4－42，x 2＝－4＋42；(3)x 1＝6975-，x 2＝6975+；(4)x 1＝41，x 2＝－23； (5)x 1＝21，x 2＝－21；(6)x 1＝0，x 2＝7；(7)x 1＝x 2＝33；(8)x 1＝－31，x 2＝－41．7．(1)x ＝－2或x ＝21；(2)x ＝－4或x ＝35．8．x 1＝2131+，x 2＝2131-． 9 把1代入ax 2＋bx ＋c 中，得ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ＝0∴1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．10 (1)∵3y 2－6y ＋11＝3y 2－6y ＋3＋8＝3(y －1)2＋8又(y －1)2≥0，∴3(y －1)2＋8＞0． 即3y 2－6y ＋11的值恒大于零． (2)∵－10x 2－7x －4＝－10(x 2＋107x ＋104) ＝－10［(x ＋207)2＋400111］＝－10(x ＋207)2－40111．又－10(x ＋207)2≤0，∴－10(x ＋207)2－40111＜0．即－10x 2－7x －4的值恒小于零．11 ∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程。
第6课时用因式分解法解一元二次方程
第6课时 用因式分解法解一二次方程
例 3 教材补充例题 选择合适的方法解下面的方程： (1)3x2－1＝6x； (2)(3x－2)2＝(2x－3)2； (3)y2－2y－399＝0.
解：(1)将原方程整理，得 3x2－6x－1＝0.
∵a＝3，b＝－6，c＝－1，b2－4ac＝36＋12＝48，
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。16:20:3816:20:3816:209/9/2021 4:20:38 PM
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11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.916:20:3816:20Sep-219-Sep-21
3 ＝2这个根．
正解：移项，得(2x－3)2－3(2x－3)＝0. 因式分解，得(2x－3)(2x－3－3)＝0，
3 ∴2x－3＝0 或 2x－6＝0，∴x1＝2，x2＝3.
6± 48 3±2 3
3＋2 3
3－2 3
∴x＝ 6 ＝ 3 ，即 x1＝ 3 ，x2＝ 3 .
第6课时 用因式分解法解一元二次方程
(2)将原方程整理，得(3x－2)2－(2x－3)2＝0. (3x－2＋2x－3)(3x－2－2x＋3)＝0， (5x－5)(x＋1)＝0，5x－5＝0 或 x＋1＝0， ∴x1＝1，x2＝－1. (3)y2－2y＝399，y2－2y＋1＝400，(y－1)2＝400，y－1＝±20， ∴y1＝21，y2＝－19.
第6课时 用因式分解法解一元二次方程
目标突破
目标一 会用因式分解法解一元二次方程
例 1 教材补充例题 下面四个方程：(1)x2－25＝0；(2)y2＝ 3 y；(3)(x＋1)2－4(x＋1)＋4＝0；(4)x2＋2x＋1＝0.其中能用因式分 解法求解的个数是( D )
专题六一元二次方程
专题六 一元二次方程1．(03 北京)已知：关于x 的方程x 2－2mx ＋3m ＝0的两个实数根是x 1，x 2，且(x 1－x 2)2＝16．如果关于x 的另一个方程x 2－2mx ＋6m －9＝0的两个实数根都在x 1和x 2之间，求m 的值．2．(04 北京)已知：关于x 的两个方程2x 2＋(m ＋4)x ＋m －4=0，……①与 mx 2＋(n －2)x ＋m －3=0，……②方程①有两个不相等的负实数根，方程②有两个实数根．⑴ 求证方程②的两根符号相同；⑵ 设方程②的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．3. （05 北京）用配方法解方程x x 2410-+= 4. （05 北京）已知：关于x 的方程()a x ax a +-+=2202有两个不相等的实数根x 1和x 2，并且抛物线()yx a x a =-++-22125与x 轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁。
(1)求实数a 的取值范围；(2)当x x 1222+=时，求a 的值。
5. (07 北京)解方程：2410x x +-=6．（08 北京）已知：关于x 的一元二次方程mx 2－(3m ＋2)x ＋2m ＋2＝0(m ＞0)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根．(2)设方程的两个实数根分别为x 1，x 2(其中x 1＜x 2)，若y 是关于m 的函数，且y ＝x 2－2x 1，求这个函数的解析式．(3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值满足什么条件时，y ≤2m ?第6题图7．(09 北京)已知关于x 的一元二次方程2x 2＋4x ＋k －1＝0有实数根，k 为正整数．(1)求k 的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数y ＝2x 2＋4x ＋k －1的图象向下平移8个单位长度，求平移后的图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线b x y +=21(b ＜k )与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．第7题图8. (10 北京)已知关于x 的一元二次方程x 2-4x +m -1=0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根。
一元二次方程讲义
一元二次方程讲义(总13页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第6讲 判别式和根与系数的关系【学习目标】1、 使学生会运用根与系数关系解题 2、对一元二次方程以及其根有更深刻的了解，培养分析问题和解决问题的能力【知识要点】1、一元二次方程的判别式：ac b 42-=∆，（1）当042>-ac b 时，方程有两个不相等的实数根，aacb b x 242-±-=；（2）当042=-ac b 时，方程有两个相等的实数根，abx x 221-==； （3）当042<-ac b 时，方程无实数解。
2、一元二次方程根与系数关系的推导：对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，设其根为21,x x ，由求根公式a acb b x x 24221-±-==，有ab x x -=+21，a cx x =⋅213、常见的形式：（1）212212214)()(x x x x x x -+=- （2）)(3)(21213213231x x x x x x x x +-+=+ （3）21221214)(x x x x x x -+±=-【典型例题】例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根.例2、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
例3、已知方程0652=--x x 的根是x 1和x 2，求下列式子的值： （1）2221x x + + 21x x （2）1221x x x x +例4、已知关于x 的方程3x 2-mx-2=0的两根为x 1 ，x 2，且31121=+x x ， 求 ①m 的值； ②求x 12+x 22的值.例5、已知关于x 的方程（1）03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程（2）01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程（1）有整数解【经典练习】姓名： 成绩：一、选择题1、方程012=--kx x 的根的情况是（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、 没有实数根D 、 与k 的取值有关2、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(22=+--k x k 的两根互为倒数，则k 的取值是( ).A 、2±B 、2C 、 2-D 、03、设方程0532=+-q x x 的两根为1x 和2x ，且0621=+x x ,那么q 的值等于( ). A 、32-B 、-2C 、91D 、92-4、如果方程12=+mx x 的两个实根互为相反数，那么m 的值为（ ） A 、0 B 、－1 C 、1 D 、±15、已知ab ≠0，方程02=++c bx ax 的系数满足ac b =⎪⎭⎫⎝⎛22，则方程的两根之比为（ ）A 、0∶1B 、1∶1C 、1∶2D 、2∶3 二、填空题1、已知方程0432=--x x 的两个根分别是x 1和x 2，则21x x += _____，21x x =_____2、已知方程02=++b ax x 的两个根分别是2与3，则=a ，=b3、已知方程032=++k x x 的两根之差为5，k=?4、（1）已知方程x 2-12x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m= （2）方程 05242=++mx x 的一个根是另一个根的5倍，则m= ；51为根构造一个一元二次方程 三、简答题1、讨论方程04)1(4)1(22=----x m x m 的根的情况并根据下列条件确定m 的值。
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
一元二次方程知识点总结及例题
知识点总结：一元二次方程知识框架1.一元二次方程：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程有四个特点：(1)含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为 ax 2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax 2+bx+c=0时，应满足（a≠0）3. 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）。
一个一元二次方程经过整理化成ax 2+bx+c=0（a ≠0）后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
（2）配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法解一元二次方程的一般步骤：现将已知方程化为一般形式；化二次项系数为1；常数项移到右边；方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；变形为(x+p)2=q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x=-p ±√q ；如果q ＜0,方程无实根．（3）公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程的解法(6)
一元二次方程的解法（6）课前预习：问题1：把以下各式因式分解（1）x x -22 （2）2216y x - （3）2216249b ab a +-问题2 ：解方程02=-x x解法3：还能够用什么方法求解呢？归纳：这种解一元二次方程的方法叫做 。
可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件：（1） 方程的一边为0（2） 另一边能分解成两个一次因式的积 教学过程：例1、用因式分解法解一元二次方程（1）3x 2=x （2）x ＋3－x （x+3）=0例 2、解以下一元二次方程（1）（x －1）2－6（x －1）+9=0 （2）4y （y －5）+25=0思考：小明解方程)2(4)2(2+=+x x 时，在方程的两边都除以（x+2），的x+2=4，解得x=2，你认为对吗？为什么？课堂反馈：1、解以下一元二次方程（1）0)3)(12(=++y y （2）032=-x x（3）0)4()21(2=-++x x x （4）x x x 6)12(4=-（5）1)1(2)1(2++-+x x =0 （6）22)53()3(+-+a a =0拓展延伸：阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误，请写出准确解答过程。
已知：m 是关于x 的方程220mx x m -+=的一个根，求m 的值。
解：把x m =代入原方程，化简得3m m =。
两边同除以m ，得21,1m m =∴=把1m =代入原方程检验可知，1m =符合题意。
交流小结：课后作业：1、方程x 2=x 的根是 。
2、写出以－1，2为根的一元二次方程： 。
3、方程（x －1）（x －2）=0的两根为x 1，x 2且x 1＞x 2，则x 1－2x 2= 。
4、已知实数x 满足4x 2－4x+1=0，则代数式2x+x 21的值为 。
5、对于方程3x 2=16x ，用 法解最简便。
6、方程（x －2）2=0的解为（ ）A 、x=0B 、x=2C 、x 1=x 2=2D 、x 1=2，x 2=－27、以下说法准确的是（ ）A 、解方程t 2=t ，得t=1B 、由（x+1）（x －3）=3，可得x+1=3或x －3=3C 、方程（2x+1）2+3（2x+1）=0，两边都除以2x+1，解得x 1=x 2=－2D 、方程x 2－6x+9=0的根是x 1=x 2=38、用因式分解法解以下方程：（1）022=+x x （2）（y －1）2+2y （y －1）=0（3） 2491210x -= （4）229124(32)x x x -+=-（5）222(3)9x x -=- （6）2(2)4(2)40x x +-++=9、已知关于x 的一元二次方程0)1()1(232=+-+++k k k x kx 的一个根为0，求k 的值。
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一、教学目标：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
2．理解抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．
3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
二、教学重点、难点：
教学重点：
1．体会方程与函数之间的联系。
2．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
教学难点：
1．探索方程与函数之间关系的过程。
2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。
三、教学方法：启发引导合作交流
四：教具、学具：课件
五、教学媒体：计算机、实物投影。
六、教学过程：
[活动1] 检查预习引出课题
预习作业：
1．解方程：（1）x2+x－2=0; (2) x2－6x+9=0; (3) x2－x+1=0; (4) x2－2x－2=0.
2. 回顾一次函数与一元一次方程的关系，利用函数的图象求方程3x-4=0的解.
师生行为：教师展示预习作业的内容，指名回答，师生共同回顾旧知，教师做出适当总结和评价。
教师重点关注：学生回答问题结论准确性，能否把前后知识联系起来，2题的格式要规范。
设计意图：这两道预习题目是对旧知识的回顾，为本课的教学起到铺垫的作用,1题中的三个方程是课本中观察栏目中的三个函数式的变式，这三个方程把二次方程的根的三种情况体现出来，让学生回顾二次方程的相关知识；2题是一次函数与一元一次方程的关系的问题，这题的设计是让学生用学过的熟悉的知识类比探究本课新知识。
[活动2] 创设情境探究新知
问题
1．课本P16问题.
2．结合图形指出，为什么有两个时间球的高度是15m或0m？为什么只在一个时间球的高度是20m? （结合预习题1，完成课本P16 观察中的题目。
）
师生行为：教师提出问题1，给学生独立思考的时间,教师可适当引导,对学生的解题思路和格式进行梳理和规范；问题2学生独立思考指名回答，注重数形结合思想的渗透；问题3是由学生分组探究的，这个问题的探究稍有难度，活动中教师要深入到各个小组中进行点拨，引导学生总结归纳出正确结论。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x
轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式
Δ=b2－4ac
两个交点两个相异的实数根 b2－4ac > 0 一个交点两个相等的实数根 b2－4ac = 0 没有交点没有实数根 b2－4ac < 0
教师重点关注：
1．学生能否把实际问题准确地转化为数学问题；
2．学生在思考问题时能否注重数形结合思想的应用；
3．学生在探究问题的过程中，能否经历独立思考、认真倾听、获得信息、梳理归纳的过程，使解决问题的方法更准确。
设计意图：由现实中的实际问题入手给学生创设熟悉的问题情境，促使学生能积极地参与到数学活动中去，体会二次函数与实际问题的关系；学生通过小组合作分析、交流，探求二次函数与一元二次方程的关系，培养学生的合作精神，积累学习经验。
[活动3] 例题学习巩固提高
问题：例利用函数图象求方程x2－2x－2=0的实数根（精确到0.1）.
师生行为：教师提出问题，引导学生根据预习题2独立完成，师生互相订正。
教师关注：（1）学生在解题过程中格式是否规范；（2）学生所画图象是否准确，估算方法是否得当。
设计意图：通过预习题2的铺垫，同学们已经从旧知识中寻找到新知识的生长点，很容易明确例题的解题思路和方法，这样既降低难点且突出重点。
[活动4] 练习反馈巩固新知
问题：（1）P97．习题1、2（1）。
师生行为：教师提出问题，学生独立思考后写出答案，师生共同评价；问题（2）学生独立思考后同桌交流，实物投影出学生解题过程，教师强调正确解题思路。
教师关注：学生能否准确应用本节课的知识解决问题；学生解题时候暴露的共性问题作针对性的点评，积累解题经验。
设计意图：这两个题目就是对本节课知识的巩固应用，让新知识内化升华，培养数学思维的严谨性。
[活动5] 自主小结，深化提高：
1．通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？
2．这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。
师生活动：学生思考后回答，教师对学生的错误予以纠正，不足的予以补充，精彩的适当表扬。
设计意图：
1．题促使学生反思在知识和技能方面的收获；
2．题让学生反思自己的学习活动、认知过程，总结解决问题的策略，积累学习知识的方法，力求不同的学生有不同的发展。
[活动6] 分层作业，发展个性：
1．（必做题）阅读教材并完成P97习题21。
2：3、4．
2．（备选题）P97习题21。
2：5、6
设计意图：分层作业，使不同层次的学生都能有所收获。
七、教学反思：
1．注重知识的发生过程与思想方法的应用
《用函数的观点看一元二次方程》内容比较多，而课时安排只一节，为了在一节课的时间里更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律遵循教师为主导、学生为主体的指导思想，本节课给学生布置的预习作业，从学生已有的经验出发引发学生观察、分析、类比、联想、归纳、总结获得新的知识，让学生充分感受知识的产生和发展过程，使学生始终处于积极的思维状态中，对新的知识的获得觉得不意外，让学生“跳一跳就可以摘到桃子”。
探究抛物线交x轴的点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系及其应用的过程中，引导学生观察图形，从图象与x轴交点的个数与方程的根之间进行分析、猜想、归纳、总结，这是重要的数学中数形结合的思想方法，在整个教学过程中始终贯穿的是类比思想方法。
这些方法的使用对学生良好思维品质的形成有重要的作用，对学生的终身发展也有一定的作用。
2．关注学生学习的过程
在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题串、给学生提供广阔的思考空间、活动空间、为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界。
3．强化行为反思
“反思是数学的重要活动，是数学活动的核心和动力”，本节课在教学过程中始终融入反思的环节，用问题的设计，课堂小结，课后的数学日记等方式引发学生反思，使学生在掌握知识的同时，领悟解决问题的策略，积累学习方法。
说到数学日记，“数学日记”就是学生以日记的形式，记述学生在数学学习和应用过程中的感受与体会。
通过日记的方式，学生可以对他所学的数学内容进行总结，写出自己的收获与困惑。
“数学日记”该如何写，写什么呢？开始摸索写数学日记的时候，我根据课程标准的内容给学生提出写数学日记的简单模式：日记参考格式：课题；所涉及的重要数学概念或规律；理解得最好的地方；不明白的或还需要进一步理解的地方；所涉及的数学思想方法；所学内容能否应用在日常生活中，举例说明。
通过这两年的摸索，我把数学日记大致分为：课堂日记、复习日记、错题日记。
4．优化作业设计
作业的设计分必做题和选做题，必做题巩固本课基础知识，基本要求；选做题属于拓广探索题目，培养学生的创新能力和实践能力。