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菱形 复习中难题 含答案

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菱形的性质与判定复习题含答案

菱形的性质与判定复习题含答案

菱形的性质1、菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线互相垂直D. 对角线相等2、 菱形的周长为100cm ，一条对角线长为14cm ，它的面积是（ ） A. 168cm 2B. 336cm 2C. 672cm 2D.84cm 23、下列语句中，错误的是（ ）A. 菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B. 菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C. 菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D. 菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到4、菱形的两条对角线分别是6 cm ，8 cm ，则菱形的边长为_____，面积为______．5、四边形ABCD 是菱形，点O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5, AO ＝4，求对角线BD 和菱形ABCD 的面积.6、如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ：AC 等于（ ）．（A ）：2 （B ）：3 （C ）1：2 （D ）：17、菱形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积。

8、如左下图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ＝16cm ，BD ＝12cm ，求菱形ABCD 的高DH 。

3339、如右上图，在菱形ABCD中,∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，则∠CDF的度数为．10、在菱形ABCD中，∠A与∠B的度数比为1：2，周长是48cm．求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．11、如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）12、（2010•襄阳）菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：113、如左下图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．14、如右上图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．15、【提高题】如图，在菱形ABCD中，顶点A到边BC、CD的距离AE、AF都为5，EF＝6，那么，菱形ABCD的边长是菱形的判定1、能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A. 对角线相等且互相平分B. 对角线互相垂直且相等C. 对角线互相平分D. 一组对角相等且一条对角线平分这组对角2、平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O, AB=5, AO=2, OB=1. 四边形ABCD 是菱形吗？为什么？3、如左下图，AD是△ABC的角平分线。

部编数学八年级下册菱形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案

部编数学八年级下册菱形的判定专项提升训练(重难点培优)【拔尖特训】2023年培优含答案

【拔尖特训】2022-2023学年八年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】专题18.3菱形的判定专项提升训练（重难点培优）班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________注意事项：本试卷满分120分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2022春•杜尔伯特县期中）菱形的周长为12，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）A．2B．3C．1D．【分析】根据已知可得较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长，根据周长可求得菱形的边长从而较短的对角线也就求得了．【解答】解：由已知得，较短的对角线与两邻边组成等边三角形，则菱形较短的对角线长＝菱形的边长＝12÷4＝3，故选：B．2．（2022春•南岗区校级期中）如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC＝9和BD＝6，那么菱形ABCD 的面积为（ ）A．4B．30C．54D．27【分析】直接根据菱形面积等于两条对角线的长度乘积的一半进行计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴菱形ABCD的面积＝BD•AC＝×6×9＝27，故选：D．3．（2022春•墨玉县期末）如图，菱形ABCD中，AC＝8．BD＝6．则菱形的面积为（ ）A．20B．40C．28D．24【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可得答案．【解答】解：菱形的面积为6×8÷2＝24，故选：D．4．（2022春•南召县期末）四边形具有不稳定性，小明将一个菱形ABCD转动，使它形状改变，当转动到使∠B＝60°时（如图），测得AC＝2；当转动到使∠B＝120°时，AC的值为（ ）A．2B．C．D．【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得菱形的边长为2，再根据菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】解：因为菱形ABCD，∠B＝60°时，测得AC＝2，所以△ABC是等边三角形，所以菱形的边长为2，当转动到使∠B＝120°时，如图所示：因为AC⊥BD，∠ABC＝120°，所以∠ABO＝60°，所以∠OAB＝30°，所以，所以，所以AC＝2AO＝．故选：B．5．（2022春•博兴县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，若AB＝5，DE＝4，则在下列结论中正确的是（ ）A．DB＝5B．AE＝4C．BE＝2D．OA＝3【分析】根据菱形的性质可知AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，由于DE⊥AB于点E，所以在Rt△AED中，利用勾股定理可以求出AE，进而求出BE、BD，再在Rt△AOB中求出OA即可作出判断．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AO＝OC，OD＝OB，∵AB＝5，∴AD＝5，∵DE⊥AB于点E，DE＝4在Rt△AED中，根据勾股定理得，AE＝＝3，故B错误；∴BE＝AB﹣AE＝5﹣3＝2，故C正确；在Rt△BDE中，根据勾股定理得，BD＝，故A错误；∴OB＝BD＝，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝，故D错误．故选：C．6．（2022春•承德县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标是（ ）A．（0，﹣8）B．（0，﹣5）C．（﹣5，0）D．（0，﹣6）【分析】在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【解答】解：∵A（12，13），∴OD＝12，AD＝13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝13，在Rt△ODC中，OC＝，∴C（0，﹣5）．故选：B．7．（2022春•丰泽区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝2，若菱形ABCD的面积为12，则AB的长为（ ）A．10B．4C．D．6【分析】由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再求出BD＝4，则OB＝2，然后由菱形面积求出AC＝6，则OA＝3，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD＝90°，∴BD＝2OH，∵OH＝2，∴BD＝4，∴OB＝2，∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝AC×4＝12，∴AC＝6，∴OA＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故选：C．8．（2022秋•合川区校级月考）如图，在菱形ABCD中，M．N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC 交于点O，连接BC若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为（ ）A．28°B．52°C．62°D．72°【分析】根据菱形的性质以及AM＝CN，再由ASA可得△AMO≌△CNO，得AO＝CO，然后证BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故选：C．9．（2022秋•胶州市校级月考）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG+DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④，其中正确的结论有（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【分析】根据菱形的性质和∠A＝60°，可知△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BFD＝∠DEB＝90°，∠GDB＝∠GBD＝30°，即可判断①选项；根据SSS可证△CDG ≌△CBG，根据全等三角形的性质可得∠DGC＝∠BGC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可判断②选项；根据△GBC为直角三角形，可知CG＞BC，进一步可知CG≠BD，即可判断③选项；根据勾股定理可得DE＝AB，再根据三角形面积的求法即可判断④选项．【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形，∴∠ADB＝∠ABD＝60°，∠CDB＝∠CBD＝60°，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴∠BFD＝∠DEB＝90°，∴∠GDB＝∠GBD＝30°，∴∠GDC＝∠GBC＝90°，DG＝BG，∴∠BGD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故①选项正确；在△CDG和△CBG中，，∴△CDG≌△CBG（SSS），∴∠DGC＝∠BGC＝60°，∴∠GCD＝30°，∴CG＝2GD，∵DG＝BG，∴CG＝DG+BG，故②选项正确；∵△GBC为直角三角形，∴CG＞BC，∴CG≠BD，∴△BDF与△CGB不全等，故③选项错误；∵BE＝AB，BD＝AB，∠DEB＝90°，根据勾股定理，得DE＝AB，＝＝，∴S△ABD故④选项正确，故正确的有①②④，故选：B．10．（2022春•新抚区期末）如图，点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠B＝120°，AB＝，则PE﹣PF的值为（ ）A．2B．3C．4D．6【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质和勾股定理得OA＝3，则AC＝6，再由含30°角的直角三角形的性质得PF＝CP，则PE﹣PF＝（AP﹣CP）＝AC，即可得出答案．【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝2，∴∠BAD＝∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝∠DCA＝∠BAD＝×60°＝30°，AD＝AB＝2，BD⊥AC，在Rt△AOD中，OD＝AD＝×＝，∴OA＝＝＝3，∴AC＝2OA＝2×3＝6，Rt△APE中，∠DAC＝30°，∴PE＝AP，在Rt△CPF中，∠PCF＝∠DCA＝30°，∴PF＝CP，∴PE﹣PF＝AP﹣CP＝（AP﹣CP）＝AC＝×6＝3，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2022秋•牡丹区校级月考）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝24，AB＝13，则菱形ABCD 的面积是　120　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12，OB＝OD＝BD，∴∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝5，∴BD＝2OB＝10，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×24×10＝120，故答案为：120．12．（2022秋•东明县校级月考）已知菱形的两条对角线长为10cm和24cm，那么这个菱形的周长为　52cm　，面积为　120cm2　．【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD，再由勾股定理求出OB，得出BD的长，即可解决问题．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，AC＝24cm，BD＝10cm，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝12（cm），OB＝OD＝BD＝5（cm），∴S＝AC•BD＝×24×10＝120（cm2），∠AOB＝90°，菱形ABCD∴AB＝＝＝13（cm），∴菱形ABCD的周长＝4AB＝4×13＝52（cm），故答案为：52cm，120cm2．13．（2022春•杭州期中）如图，菱形ABCD中，AC，BD相交于O，DE⊥BC于E，连接OE，若∠BAD＝40°，则∠ODE的度数为　20°　．【分析】根据菱形的性质得出∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，求出DE⊥AD，根据垂直的定义求出∠ADE＝90°，∠DEB＝90°，求出∠ADO，∠ODE的度数，根据直角三角形斜边上的中线的性质得出OD＝OE，求出∠ODE＝∠OED即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝40°，∴∠DAO＝BAD＝20°，AC⊥BD，DO＝BO，AD∥BC，∴∠DOA＝90°，∴∠ADO＝90°﹣∠DAO＝70°，∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ADO＝20°，∵DE⊥BC，∴∠DEB＝90°，∵DO＝BO，∴OE＝BD＝OD，∴∠OED＝∠ODE＝20°，故答案为：20°．14．（2022春•吴中区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，E，F分别是边AB和CD 上的点，EF⊥CD于点F，则线段EF的长度为 ．【分析】连接AC，BD，根据菱形的性质和等边三角形的性质得出AC，进而得出BD，利用菱形的面积解答即可．【解答】解：连接AC，BD，相交于O，∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∠A＝120°，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2，BO＝，∴BD＝2，∴菱形ABCD的面积＝，∴EF＝，故答案为：．15．（2022春•集美区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD 上的动点，且AE+AF＝a，则△CEF面积的最小值为 ．【分析】由在边长为a的菱形ABCD中，易得△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，继而证得△ACE ≌△DCF，继而证得△CEF是正三角形，继而可得当动点E运动到点B或点A时，CE的值最大，当CE ⊥AB，即E为AB的中点时，EF的值最小，△CEF面积的最小值最小．【解答】解：连接AC、CE、CF，如图所示：∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，∴△ABC、△CAD都是边长为a的正三角形，∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°，∵AE+AF＝a，∴AE＝a﹣AF＝AD﹣AF＝DE，在△ACE和△DCF中，，∴△ACE≌△DCF（SAS），∴∠ACE＝∠DCF，∴∠ACE+∠ACF＝∠DCF+∠ACF，∴∠ECF＝∠ACD＝60°，∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF，当动点E运动到点B或点A时，CE的最大值为a，当CE⊥AB，即E为BD的中点时，CE的最小值为a，∵EF＝CE，∴EF的最小值为a，∴△CEF面积的最小值为：，故答案为：．16．（2022•温江区校级自主招生）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为　6.5　．【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，根据勾股定理求出AD＝13，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE＝6.5，证出四边形EFOG是矩形，得到EO＝GF即可得出答案．【解答】解：连接OE，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝5，OB＝OD＝12，AC⊥BD，在Rt△AOD中，AD＝＝13，又∵E是边AD的中点，∴OE＝AD＝6.5，∵EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴∠EFO＝90°，∠EGO＝90°，∠GOF＝90°，∴四边形EFOG为矩形，∴FG＝OE＝6.5．故答案为：6.5．17．（2022春•南岗区校级期中）如图，在边长为5的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、点F分别在AD、CD上，且∠EBF＝60°，连接EF，若AE＝2，则EF的长度为 ．【分析】连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，先根据菱形的性质得到AB＝AD＝5，AB∥CD，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD＝AB，∠ABD＝60°，再证明∠ABE＝∠DBF，∠FDB＝∠EAB，则可判断△BDF≌△BAE，所以BF＝BE，于是可证明△BEF为等边三角形得到EF＝BE，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系得到AH＝1，EH＝，然后利用勾股定理计算出BE，从而得到EF的长．【解答】解：连接BD，过E点作EH⊥AB于H点，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD＝5，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB，∠ABD＝60°，∵∠EBF＝60°，∴∠ABD﹣∠EBD＝∠EBF﹣∠EBD，即∠ABE＝∠DBF，∵CD∥AB，∴∠FDB＝∠ABD＝60°，∴∠FDB＝∠EAB，在△BDF和△BAE中，，∴△BDF≌△BAE（ASA），∴BF＝BE，而∠EBF＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴EF＝BE，在Rt△AEH中，∵∠A＝60°，∴AH＝AE＝1，∴EH＝AH＝，在Rt△BEH中，∵EH＝，BH＝BA﹣AH＝5﹣1＝4，∴BE＝＝，∴EF＝BE＝．故答案为：．18．（2022春•鼓楼区校级期中）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝120°，点E在边BC上（不与端点重合），AE交BD于点F，以EF为边向外作等边△EFG，连接CF，BG，现给出以下结论：①∠EAB＝30°；②△ABF≌△CBF；③直线AB与直线DC的距离是9；④BF+BG＝BE．其中正确的是　②③④　（写出所有正确结论的序号）．【分析】连接AC，先证明△ABD和△CBD都是等边三角形，再证明△ADC≌△ABC，则∠CAD＝∠CAB ＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，所以点E与点C重合，这与已知条件相矛盾，所以∠EAB≠30°，可判断①错误；由AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF根据全等三角形的判定定理“SAS”可证明△ABF≌△CBF，可判断②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，所以∠ADI＝30°，则AI＝×6＝3，可根据勾股定理求得DI＝9，可判断③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，而△EFG是等边三角形，可证明△BFG≌△HFE，得BG＝HE，所以BF+BG＝BH+HE＝BE，可判断④正确．【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，AB＝6，∴AD＝AB＝CD＝CB＝6，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAB＝∠DCB＝180°﹣∠ABC＝60°，∴△ABD和△CBD都是等边三角形，∴∠ABF＝∠CBF＝60°，在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠CAD＝∠CAB＝∠DAB＝30°，假设∠EAB＝30°，则∠EAB＝∠CAB，∴AE与AC重合，点E与点C重合，与已知条件相矛盾，∴假设不成立，即∠EAB≠30°，故①错误；在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），故②正确；作DI⊥AB于点I，则∠AID＝90°，∵∠DAI＝60°，∴∠ADI＝30°，∴AI＝AD＝×6＝3，∴DI＝＝＝9，∴直线AB与直线DC的距离是9，故③正确；在BC上截取BH＝BF，连接FH，则△BFH是等边三角形，∵△EFG是等边三角形，∴FB＝FH，FG＝FE，∠BFH＝∠GFE＝60°，∴∠BFG＝∠HFE＝60°﹣∠GFH，在△BFG和△HFE中，，∴△BFG≌△HFE（SAS），∴BG＝HE，∴BF+BG＝BH+HE＝BE，故④正确，故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2022秋•薛城区月考）如图，已知A，F，C，D四点在同一条直线上，AF＝CD，AB∥ED，且AB＝ED．（1）求证：△ABC≌△DEF．（2）如果四边形EFBC是菱形，已知EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明△ABC≌△DEF；（2）解直角三角形求出DF、OE、OF的长，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，∵AF＝CD，∴AF+FC＝CD+FC，即AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．（2）解：如图，连接EB交AD于O．在Rt△EFD中，∠DEF＝90°，EF＝3，DE＝4，∴DF＝＝＝5，∵四边形EFBC是菱形，∴OF＝OC，BE⊥CF，∴EO＝＝＝，∴OF＝OC＝＝＝，∴CF＝2OF＝，∴AF＝CD＝DF﹣FC＝5﹣＝．20．（2022春•姑苏区校级期中）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若∠E＝60°，BD＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的对边平行且相等可得AB＝CD，AB∥CD，然后证明得到BE＝CD，BE∥CD，从而证明四边形BECD是平行四边形；（2）欲求菱形ABCD的面积，求得AC、BD的长度即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝BC，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）解：由（1）知，四边形BECD是平行四边形，则BD∥CE．∵∠E＝60°，∴∠ABD＝60°．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB．∴△ABD是等边三角形．∴AB＝BD＝8．又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝BD＝4．∴OA＝＝＝4．∴AC＝8．∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×8×8＝32．21．（2022•雨花区校级开学）如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若AE＝4，CF＝2，求菱形的面积．【分析】（1）由菱形ABCD的四条边相等、对角相等的性质知AB＝AD，∠B＝∠D；然后根据已知条件“AE⊥BC，AF⊥CD”知∠AEB＝∠AFD；最后由全等三角形的判定定理AAS证明△ABE≌△ADF；（2）由全等三角形△ABE≌△ADF的对应边相等知BE＝DF，然后根据菱形的四条边相等求得AB＝CD，设AB＝CD＝x，已知CF＝2，则BE＝DF＝x﹣2，利用勾股定理即可求出菱形的边长，进而可以求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（AAS）；（2）解：设菱形的边长为x，∵AB＝CD＝x，CF＝2，∴DF＝x﹣2，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF＝x﹣2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AE2+BE2＝AB2，即42+（x﹣2）2＝x2，解得x＝5，∴菱形的边长是5，∴菱形的面积＝BC•AE＝5×4＝20．22．（2022春•南浔区期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AB、BC的中点，连结DE、EF、DF．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若AD＝10，EF＝8，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连接AC，BD交于O，根据三角形中位线定理得到AC＝16，根据菱形的性质得到AO＝AC＝8，AC⊥BD，根据勾股定理得到OB＝＝6，根据菱形的面积公式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C，AD＝CD＝AB＝BC，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴AE＝AB，CF＝BC，∴AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰三角形；（2）解：连接AC，BD交于O，∵点E、F分别是边AB、BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∵EF＝8，∴AC＝16，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝AC＝8，AC⊥BD，∴OB＝＝6，∴BD＝12，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝×16×12＝96．23．（2022春•重庆期末）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，E是对角线BD上一点．（1）如图1，若E是线段BD的中点，且AB＝6，求AE的长度；（2）如图2，F是线段AB延长线上一点，且DE＝BF，连接AE，EF．求证：AE＝EF．【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，证明△ABD是等边三角形，根据E是线段BD 的中点，进而可以解决问题；（2）作EG∥AB交AD于点G，先证明△DGE是等边三角形，得DG＝DE＝GE，再证明△AGE≌△EBF，得AE＝EF．【解答】（1）解：如图1，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝6，∵E是线段BD的中点，∴BE＝DE＝3，∴AE＝BE＝3；（2）证明：如图2，作EG∥AB交AD于点G，∵△DAB是等边三角形，∴∠GDE＝60°，∠DGE＝∠DAB＝60°，∠DEG＝∠DBA＝60°，∴△DGE是等边三角形，∴DG＝DE＝GE，∵BF＝DE，∴GE＝BF，∵AD＝BD，∴AD﹣DG＝BD﹣DE，∴AG＝EB，∵∠AGE＝180°﹣∠DGE＝120°，∠EBF＝180°﹣∠DBA＝120°，∴∠AGE＝∠EBF，在△AGE和△EBF中，，∴△AGE≌△EBF（SAS），∴AE＝EF．24．（2022春•抚远市期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随点P位置的变化而变化，连接CE．（1）如图①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，求证：BD＝CE+PD；（2）如图②、图③，请分别写出线段BD，CE，PD之间的数量关系，不需证明．【分析】（1）先判断出∠BAP＝∠CAE，进而判断出△BAP≌△CAE，得出BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，再判断出∠CAH+∠ACH＝90°，即可得出结论；（2）同（1）的方法即得出结论；【解答】（1）证明：如图1，连接AC，延长CE交AD于H，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∠CAH＝60°，∵△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，∵∠BAC＝∠PAE，∴∠BAP＝∠CAE，∴△BAP≌△CAE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；（2）解：如图2，BD＝CE+PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAC+∠CAP＝60°+∠CAP，∠CAE＝∠EAP+∠CAP＝60°+∠CAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP+PD，∴BD＝CE+PD；如图3，BD＝CE﹣PD，连接AC，AC与BD交于点O，∴△ABC，△ACD为等边三角形，在△ABP和△ACE中，AB＝AC，AP＝AE，又∵∠BAP＝∠BAD+∠DAP＝120°+∠DAP，∠CAE＝∠CAD+∠DAP+∠PAE＝120°+∠DAP，∴∠BAP＝∠CAE，∴△ABP≌△ACE（SAS），∴BP＝CE，∵BD＝BP﹣PD，∴BD＝CE﹣PD．。

22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)

22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)

菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、 能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、 四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图，平行四边形 ABCD 中，AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件,个即可，图中不能再添加别的 点”和 线”)3、在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点 0，从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个： __________________ => ABCD 是菱形； ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以(只需写出1、如图，如果要使平行四边形 是D 是BC 的中点，连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证：△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.2、如图，在？ABCD 中，E, F 分别为边 AB , CD 的中点，连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证：△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图，已知点 D 在厶ABC 的BC 边上，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证：AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由.ABCD 中，AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是5、如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证：△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结 论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图，△ ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证：AD=CE(2)_________________________________________ 填空：四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC BC上，且EF// AB(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图，在梯形纸片ABCD中，AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证：四边形CDC E是菱形.9已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图，等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点，EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；(1)11若如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD BC的中点，G H分别是BDAC的中点，AB CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。

菱形性质习题精选（含答案）

菱形性质习题精选（含答案）

菱形性质习题精选（含答案）菱形性质习题精选一．填空题（共26小题）1．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．2．（2015?模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABC=90°，E在CD上，连接AE，BE，∠DAE=75°，若四边形ABED 是菱形，则EC的长度为．3．（2015?模拟）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，其中AC=8，BD=6，以OC、OB为边作矩形OBEC，矩形OBEC 的对角线OE、BC交于点F，再以CF、FE为边作第一个菱形CFEG，菱形CFEG的对角线FG、CE交于点H，如此继续，得到第n个菱形的周长等于．4．（2015?州市校级模拟）己知菱形相邻两角的度数比为1：5，且它的面积为8，则这个菱形的周长为．5．（2015?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A=45°，DE⊥AB，垂足为E，若CD=4cm，则菱形ABCD的面积是．6．（2015?模拟）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为40，则OH的长等于．7．（2014?）菱形ABCD中，若对角线长AC=8cm，BD=6cm，则边长AB=cm．8．（2014?）菱形的周长为20cm，两个相邻的角的度数之比为1：2，则较长的对角线长度是cm．9．（2014?）如图，菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，若∠BCO=55°，则∠ADO=．10．（2014?宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．11．（2014?眉山）如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 的中点，过点E作EG⊥AD 于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为．12．（2014春?期末）如图在菱形ABCD中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF的大小为．13．（2014?模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为．14．（2014?江都市二模）已知菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，则菱形的高AE为cm．15．（2014?简阳市模拟）如图，边长为a的正方形发生形变后成为边长为a的菱形，如果这个菱形的一组对边之间的距离为h，记=k，我们把k叫做这个菱形的“形变度”．若变形后的菱形有一个角是60°，则形变度k=．16．（2014?淮区一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，BC=1cm，以DC为边在菱形的外部作正三角形CDE，连接AE，则AE=cm．17．（2014?惠安县二模）如图，菱形ABCD的边长是2cm，∠A=60°，点E、F分别是边AB、CD上的动点，则线段EF的最小值为cm．18．（2013秋?海陵区期末）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为4cm，∠A=120°，则EF=cm．19．（2014春?仙游县校级期末）如图，以菱形AOBC的顶点O 为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=，点C的坐标为（4，0），则点A的坐标为．20．（2014春?期末）如图，在菱形ABCD中，AB=13cm，BC 边上的高AH=5cm，那么对角线AC的长为cm．21．（2014春?泰兴市校级期末）如图，菱形ABCD的周长为16cm，BC的垂直平分线EF 经过点A，则对角线BD长为cm．22．（2014春?建湖县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在BD的延长线上，且△EAC是等边三角形，若AC=8，AB=5，则ED的长等于．23．（2014春?玄武区期末）如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，且E为AD为中点．则∠ADC=°．24．（2014春?定县期末）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P 是对角线AC上的一个动点，当P移动到AC的中点时，则PE+PB的值是．25．（2014春?顺义区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD=120°，CF⊥AD于点E，且BC=CF，连接BF交对角线AC于点M，则∠FMC=度．26．（2014秋?武进区期中）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连结所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．二．解答题27．（2014?县模拟）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于E，CF⊥AD交AD延长线于F，求证：CE=CF．28．（2014?江都市模拟）如图，在菱形ABCD中，点M是对角线AC上一点，且MC=MD．连接DM并延长，交边BC于点F．（1）求证：∠1=∠2；（2）若DF⊥BC，求证：点F是边BC的中点．29．（2014春?期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．30．（2014春?高淳县校级期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠B=60°，点P、Q分别是边BC、CD上的动点（不与端点重合），且BP=CQ．（1）图中除了△ABC与△ADC外，还有哪些三角形全等，请写出来；（2）点P、Q在运动过程中，四边形APCQ的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；（3）当点P在什么位置时，△PCQ的面积最大，并请说明理由．31．（2013秋?东海县月考）如图，在菱形ABCD中，点E是AD 边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME 交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）若∠DAB=60°，当点M位于何处时，四边形AMDN是矩形？并说明理由．（请在备用图中画出符合题意的图形）32．（2012秋?鼓楼区校级期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B 出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．参考答案1．50 2．3 3． 4．16 5．8cm 2 6．5 7．5 8．5 9．35° 10．（5，4） 11．50° 12．20°13．3 14．4.8 15． 16．17． 18．2 19．（2，1）20． 21．4 22．4-3 23．120 24．2 25．105 26．27、证明：四边形ABCD 是菱形CE ⊥AE,CF ⊥AF∠DAB=∠CBB,∠DAB=∠FDC,∴∠CBE=∠FDC又 BC=DC,∴Rt △BEC ≌Rt △DFC,∴CE=CF.28、证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1=∠ACD ，∵MC=MD ，∴∠ACD=∠2，∴∠1=∠2；（2）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ACB=∠ACD ，BC=CD ，∵∠ACD=∠2，∴∠ACB=∠ACD=∠2，∵DF ⊥BC ，∴3∠2=90°，∴∠2=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=60°，∴△BCD 是等边三角形，∴BF=CF ，即点F 是边BC 的中点．29、（1）在△DFC 中，∠DFC =90°，∠C =30°，DC =2t ，∴DF =t .又∵AE=t ，∴AE=DF（2）能.理由如下：∵AB ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AE ∥DF .又AE =DF ，∴四边形AEFD 为平行四边形.∵AB =21AC BC=35 222AC BC AB =+∴()2223521AC AC =+??? ?? ∴AC=1010 2.AD AC DC t ∴=-=-若使AEFD 为菱形，则需10.102,.3AE AD t t t ==-=即即当103t =时，四边形AEFD 为菱形30、（1）△ABP ≌△ACQ ，△APC ≌△AQD ；（2）∵△ACP ≌△ADQ ，∴S △ACP =S △ADQ ，即S 四边形APCQ =S △ACD =3221??；(3为菱形的高) （3）∵△PAQ 是等边三角形，点P 是BC 的中点时，AP 垂直于BC ，AP 最小，∴当AP ⊥BC 时，三角形APQ 的面积最小，故在四边形APCQ 的面积一定，△APQ 面积最小时，△PCQ 的面积最大. 此时BP=1，31、证明：∵四边形ABCD 是菱形∴∠DNM=∠AMN又∵DE=AE ，∠NDE=∠MAE∴△NDE=△MAE∴ND=AM∴ND ∥AM∴四边形ANDM 是平行四边形（2）当点M 是AB 的中点时，四边形AMDN 是矩形证明：如图所示∵四边形AMDN 是矩形，∠DAB=60o∴∠ADM=30o∴AM=AD 21 ∵AD=AB ∴AM=AB 21 即M 是AB 的中点32、解：（1）经过x 秒后，四边形AQCP 是菱形∴DP=X cm AP=CP=AD-DP=(8-X)cm∵DP 2+CD 2=PC 2∴16+X 2=(8-X) 2 解得x=3即经过3秒后四边形是菱形（2）由（1）得菱形的边长为5∴菱形AQCP的周长=5×4=20（㎝）菱形AQCP的面积=5×4=20（㎝2）。

中考数学菱形复习专题练习 含答案

中考数学菱形复习专题练习 含答案

中考数学菱形复习专题练习一、单选题1．（2021八下·海曙期末）如图，在△ABC中，点E 、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥AC，DF∥AB.下列说法中错误的是()A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90 º，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是正方形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形2．（2021九上·浙江期中）如图，要拧开一个边长为a＝8mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为（）A．8 mm B．16mm C．8 mm D．4mm 3．（2021九上·越城期中）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P从点B出发，沿着B→A→D在菱形ABCD的边AB，AD上运动，运动到点D停止.点P′是点P关于BD的对称点，连接PP'交BD于点M，若BM＝x（0＜x＜8），△DPP′的面积为y，下列图象能正确反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．4．（2021九上·上城期中）如图，已知AB＝8，P为线段AB上一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP＝60°，M，N分别是对角线AC，BE的中点，当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为（）A．B．C．4D．3 5．（2021九上·温岭竞赛）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）A．1B．2C．D．6．菱形有一个内角是120，且较短的对角线长为6cm,则菱形的边长为().A．6cm B．2 cm C．6 cm D．12 cm 7．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（）A．B．C．1D．8．如图，在ABCD中，对角线AC⊥AB，O为AC的中点，经过点O的直线交AD于E交BC于F，连结AF、CE，现在添加一个适当的条件，使四边形AFCE是菱形，下列条件：①OE＝OA；②EF⊥AC；③E为AD中点，正确的有（）个。

中考数学复习之菱形习题(含答案)

中考数学复习之菱形习题(含答案)

中考数学复习之菱形习题(含答案)中考数学复习之菱形习题(含答案)菱形是四边形的一种特殊形式，它具有两组对边相等且对角线相交于垂直平分点的性质。

在中考数学中，经常会出现与菱形相关的习题。

本篇文章将为大家提供一些常见的菱形习题和答案，希望能帮助大家更好地复习和理解菱形的性质。

习题一：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠BAD=60°，求∠CBD的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BAD=∠DAC=60°。

又因为BD是AC的垂直平分线，所以∠CBO=∠DBO=30°。

又∠OBA=∠OAB=30°，所以∠CBD=∠CBO-∠OBA=30°-30°=0°。

因此，∠CBD的度数为0°。

习题二：已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠ABC=45°，求∠AOB的度数。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，∠BOA=∠COD=90°。

又∠ABC=45°，所以∠OBC=∠OCD=45°。

根据三角形内角和定理可知，△ABC的三个内角之和为180°，所以∠ACB=180°-45°-45°=90°。

因此，∠AOB=∠ABC+∠CBO+∠OBA=45°+45°+90°=180°。

因此，∠AOB的度数为180°。

习题三：已知菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AB=6，BC=8，求菱形ABCD的面积。

解答：根据菱形的性质可知，菱形的对角线相交于垂直平分点。

因此，对角线AC和BD互为垂直平分线。

设E为AC和BD的交点，则BE=DE=AE=CE。

又知AB=6，BC=8，所以AE=3，EC=4。

根据勾股定理可知，AC的平方等于AE的平方加上EC的平方，即AC^2=AE^2+EC^2=3^2+4^2=9+16=25。

专题02 菱形的性质与判定(重难题型)(解析版)

专题02 菱形的性质与判定(重难题型)(解析版)

专题02 菱形的性质与判定(重难题型)1．如图，在菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，连接AC 、BD ，则AC BD的值为（ ）A ．12B C D 【答案】D【分析】设AC 与BD 的交点为O ，由题意易得1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，进而可得△ABC 是等边三角形，BO =，然后问题可求解．【详解】解：设AC 与BD 的交点为O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴1,2ABD CBD ABC AB BC Ð=Ð=Ð=，,,AC BD BO DO AO CO ^==，∵60ABC Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，∴30,ABO AB AC Ð=°=，∴12AO AB =，∴OB ==，∴,2BD AC AO ==，∴AC BD ==故选D ．【点睛】本题主要考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．2．如图，已知点P 是菱形ABCD 的对角线AC 延长线上一点，过点P 分别作AD 、DC 延长线的垂线，垂足分别为点E 、F ．若120ABC Ð=°，2AB =，则PE PF -的值为（ ）A ．32B C ．2D ．52【答案】B【分析】根据菱形的基性质，得到∠PAE =30°，,利用勾股理求出AC =，则AP =+PC ，PE =12AP =12PC ，由∠PCF =∠DCA =30°，得到PF =12PC ，最后算出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形且∠ABC =120°，AB =2，∴AB=BC =CD =DA =2，∠BAD =60°，AC ⊥BD ，∴∠CAE =30︒，∵AC ⊥BD ，∠CAE =30°，AD =2，∴AC =∴AP =+PC ，在直角△AEP 中，∵∠PAE =30°，AP =+PC ，∴PE =12AP +12PC ，在直角△PFC 中，∵∠PCF =30°，∴PF =12PC ，∴PE PF -+12PC -12PC ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，关键会在直角三角形中应用30°．3．如图，菱形ABCD 边长为4，60BAD Ð=°，E 是AD 上一动点（不与A 、D 重合），F 是CD 上一动点，4AE CF +=，则BEF V 面积的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【详解】如解图，连接BD ．∵菱形ABCD 的边长为4，60BAD Ð=°，∴ABD △和BCD △均为等边三角形，∴60FDB EAB Ð=Ð=°，∵4AE CF +=，4DF CF +=，∴AE DF =，∵AB BD =，∴BAE BDF @△△，∴BE BF =，ABE DBF Ð=Ð，∴60EBF ABD Ð=Ð=°，∴BEF V 是等边三角形，∴当BE AD ^时，BEF V 的面积最小，此时BE =，BEF V 2=．4．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，M 、N 分别是AB 、BC 边上的中点，则MP PN +的最小值是（ ）A ．6B ．52C ．1D ．12【答案】C【详解】如解图，作点N 关于AC 的对称点E ，连接ME ，PE ，则PN PE =，∴MP PN MP PE ME +=+³，∴当M 、P 、E 三点共线时，MP PN +最小，最小值为ME 的长．∵四边形ABCD 是菱形，N 是BC 的中点，∴E 是CD 的中点，∵M 是AB 的中点，∴//DE AM ，DE AM =，∴四边形AMED 是平行四边形，∴1ME AD ==，即MP PN +的最小值为1．5．如图，在菱形ABCD 中，60DAB Ð=°，点E ，F 将对角线AC 三等分，且6AC =，连接DE ，DF ，BE ，BF ．若P 是菱形ABCD 的边上的点，则满足PE PF +=的点P 的个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【详解】如解图，不妨假设点P 在线段AD 上，作点E 关于AD 的对称点'E ，连接'FE 交AD 于点P ，连接'AE ，此时PE PF +的值最小．∵四边形ABCD 是菱形，6AC =，点E 、F 将AC 三等分，60DAB Ð=°，∴1302DAC DAB Ð=Ð=°，2AE EF ==，∵点'E 为点E 关于AD 的对称点，∴'2AE AE ==，'23060E AE Ð=´°=°，∴'E AE △为等边三角形，∴'2E E EF ==，∴''30FE E E FE Ð=Ð=°，∴'90AE F Ð=°，∴'E F =∴PE PF +的最小值为，当点P 由A 运动到D 时，PE PF +的值由最大值6减小到4，∵PE PF +=，4<<，∴线段AD 上存在两个点P ，满足PE PF +=∴根据对称性可知：菱形ABCD 的边上的存在8个点P 满足条件．6．如图，已知Rt ABC V 中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，D 、E 、F 分别是三边AB 、BC 、CA 上的点，则DE EF FD ++的最小值为（ ）A ．143B ．245C ．103D ．125【答案】B【详解】如解图，作点F 关于AB 、BC 的对称点'F 、''F ，连接'''F F ，'F D ，''F E ，由对称的性质得'FD F D =，''FE F E =，''''''DE FD EF DE F D F E F F ++=++³，可知当F 固定时，'''DE F D F E ++的最小值就是线段'''F F 的长．作AC 关于AB 、BC 的对称线段'AC 、'A C ，连接''A C ，可以发现'F 、''F 是一个菱形对边上的关于中心B 对称的对称点． '''F F 的最短距离就是菱形对边的距离，也就是菱形的高．∵90ABC Ð=°，3AB =，4BC =，∴'248CC =´=，'326AA =´=，5AC =．设菱形的高为x ，则''16852ACA C S x =´´=菱形，解得245x =，故DE EF FD ++的最小值为245．7．如图，在矩形片ABCD 中，边4AB =，2AD =，将矩形片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后得到的图形是图中阴影部分．给出下列结论：①四边形AECF 是菱形；②BE 的长是1.5；③EF ④图中阴影部分的面积为5.5，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据矩形、折叠性质即可得出CF =C E = AE =AF ，则证明结论①正确；设DF =x ，故DF = BE =x ，在Rt △ADF 中，利用勾股定理即可求解结论②正确；过点F 作FH ⊥AB 于点H ，利用矩形判定与性质并结合勾股定理求得EF 的长，则可推出结论③正确；由DF =BE 可知阴影部分的面积为矩形ABCD 面积的一半与△CGF 面积的和，利用面积公式即可求得结果，证明结论④正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，∴∠AEF =∠CFE ，由折叠性质可知：AE =CE ，AF =CF ，∠AEF =∠CEF ，∴∠CFE =∠CEF ，∴CF =CE ，∴CF =CE = AE =AF ，∴四边形AECF 是菱形；故①正确；∵四边形AECF 是菱形，∴CF =AE ，∵四边形ABCD 是矩形，4AB =，2AD =，∴AB =CD =4，∠D =90°，∴AB -CF =CD -AE ，即DF=BE，设DF=x，则CF = AF=4-x，在Rt△ADF中，DF2+AD2= AF2，即x2+22=（4-x）2解得x=1.5，即BE的长是1.5；故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∴四边形ADFH是矩形，∴FH=AD=2，AH=DF=1.5，∵AE=AB-BE=2.5，∴HE=AE-AH=1，由勾股定理得EF===③正确；∵DF=BE，AD=GC=2，DF=GF=32，∴S阴影部分=S四边形BCFE+S△CGF，=12S矩形ABCD+S△CGF，=12AB•AD+12CG•GF，=12×4×2+12×2×32，=4+3 2=112；故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了四边形的综合问题，熟练掌握菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及折叠的性质等知识是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB AD =，F 是CD 的中点，作BE AD ^于点E ，连接EF 、BF ，则下列结论错误的是（ ）A ．CBF ABFÐ=ÐB ．FE FB =C ．2EFB DEBCS S =四边形△D ．3BFE DEFÐ=Ð【答案】D【分析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF FG =，^BE BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．【详解】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ．∵2AB AD =，∴2CD AD =，∵F 是CD 的中点，∴DF FC =，∴CF CB =，∴CFB CBF Ð=Ð，∵//CD AB ，∴CFB ABF Ð=Ð，∴CBF ABF Ð=Ð，故A 正确，∵//DE CG ，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴DFE FCG ≌△△()AAS ，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB =°∠，∵//AD BC ，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，∴BF EF FG ==，故B 正确，∵DFE CFG S S =△△，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形△△ ，故C 正确，∵AH HB =，DF CF =，AB CD =，∴CF BH =，∵//CF BH ，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形，∴BFC BFH Ð=Ð，∵FE FB =，//FH AD ，BE AD ^，∴FH BE ^，∴BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3EFC DEF Ð=Ð，故D 错误，故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．如图，在ABC V 中，,BD CE 分别是边,AC AB 上的中线，BD CE ^于点O ，点F 是OB的中点，若8,6OB OC ==，则EF 的长是（ ）A ．7B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】如图（见解析），取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，先利用勾股定理可得10BC =，再根据三角形中位线定理可得15,//2DE BC DE BC ==，15,//2FG BC FG BC ==，然后根据菱形的判定与性质即可得．【详解】解：如图，取OC 的中点G ，连接,,DE DG FG ，8,6,OB OC BD CE ==^Q ，10BC \==，,BD CE Q 分别是边,AC AB 上的中线，DE \是ABC V 的中位线，15,//2DE BC DE BC ==\，同理可得：15,//2FG BC FG BC ==，5,//DE FG DE FG \==，\四边形DEFG 是平行四边形，又BD CE ^Q ，\平行四边形DEFG 是菱形，5EF DE \==，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，利用到三角形中位线定理是解题关键．10．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）已知：如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 是直线AC 上两点，AF =CE ．求证；四边形FBED 是菱形．甲：利用全等，证明四边形FBED 四条边相等，进而说明该四边形是菱形；乙：连接BD ，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED 是菱形；丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．A ．甲、乙对，丙错B ．乙、丙对，甲错C ．三个人都对D ．甲、丙对，乙错【答案】A【分析】先利用菱形ABCD 的性质证明,FOB FOD V V ≌可得,FB FD =再同理可得 ,,FD ED ED EB == 从而判断甲正确；连接BD 交AC 于O ， 利用四边形ABCD 是菱形，可得AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ， 再证明OF =OE ，即可判断乙正确，从而可得丙判断错误．【详解】解：Q 菱形,ABCD,,,,AB BC CD AD AC BD OA OC OB OD \===^==90,FOB FOD \Ð==Ð=°,FO FO =Q,FOB FOD \V V ≌,FB FD \=同理可得：,,FD ED ED EB ==,FB FD DE BE \===∴四边形FBED 是菱形．故甲正确；连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO ，BO =DO ，∵AF =CE ，∴OF =OE ，∴四边形FBED 是菱形．故乙正确；由甲，乙正确，可得丙的说法不正确；故选：.A 【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法是解题的关键．11．如图，菱形ABCD 的边长为10，对角线AC ＝16，点E F 、分别是边CD BC 、的中点，连接EF 并延长与AB 的延长线相交于点G ，则EG 长为（ ）A ．13B ．10C ．12D ．5【答案】C【分析】连接对角线BD ，交AC 于点O ，证四边形BDEG 是平行四边形，得EG =BD ，利用勾股定理求出OD 的长，BD =2OD ，即可求出EG ．【详解】解：连接BD ，交AC 于点O ，如图：∵菱形ABCD 的边长为10，点E 、F 分别是边CD 、BC 的中点，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD =DA =10，EF ∥BD ，∵AC 、BD 是菱形的对角线，AC =16，∴AC ⊥BD ，AO =CO =8，OB =OD ，又∵AB ∥CD ，EF ∥BD ，∴DE ∥BG ，BD ∥EG ，∴四边形BDEG 是平行四边形，∴BD =EG ，在△COD 中，∵OC ⊥OD ，CD =10，CO =8，∴OB =OD 6=，∴BD =2OD =12，∴EG =BD =12；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．12．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH AB ^于点H ，连接OH ，若3OA =，2OH =．则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．12B ．10C ．6D ．24【答案】A【分析】由Rt △BHD 中，点O 是BD 的中点，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，OH =2，则，BD =4，由菱形对角线的性质可得AC =6，应用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA OC =，OB OD =，AC BD ^，∵DH AB ^，∴90BHD Ð=°，∴2BD OH =，∵2OH =，∴4BD =，∵3OA =，∴6AC =，∴菱形ABCD 的面积11641222AC BD =´=´´=．故选：A ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和面积及直角三角形的性质，合理利用菱形的性质及直角三角形的性质进行计算是是解决本题的关键．13．如图，已知在菱形ABCD 中，30A Ð=°，以点,A B 为圆心，取大于12AB 的长为半径，分别作弧相交于,M N 两点，作直线MN 交AD 边于点E （作图痕迹如图所示），连结,BE BD ，若2AE =，则下列结论错误的是（ ）A ．45DBE Ð=°B ．2BE =C ．菱形ABCD 的面积为D ．2ED =-【答案】C【分析】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．【详解】由作法知，MN 是线段AB 的垂直平分线∴BE =AE =2故选项B 正确∵BE =AE ，∠A =30゜∴∠EBA =∠A =30゜∵四边形ABCD 是菱形∴AB =AD∴∠ABD =∠ADB =12(180゜−∠A )=75゜∴∠DBE =∠ABD −∠EBA =45゜故选项A 正确设MN 交AB 于点F ，如图∵MN ⊥AB ，∠A =30゜∴EF =12AE =1由勾股定理得：AF ==∴AD =AB =2AF =∴ED =AD −AE ==−2故选项D 正确如图，过点D 作DG ⊥AB 于点G在Rt △ADG 中，∠A =30゜，则12DG AD ==∴6ABCD S AB DG =´==菱形从而选项C 错误故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB 的垂直平分线．14．如图，在菱形ABCD 中，,M N 分别是边,CD BC 的中点，P 是对角线BD 上一动点，已知菱形边长为5，对角线AC 长为6，则PMN V 周长的最小值是（ ）A ．11B ．10C ．9D ．8【答案】C【分析】作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据轴对称、菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．再根据题意即可证明M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．即当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．根据勾股定理可求出28BD DO ==，再利用中位线的性质即可求出MN 长，最后由M N AB ¢=，求出9N M N M ¢+=即为PMN V 的周长最小值．【详解】如图，作点M 关于BD 的对称点M ¢，连接M N ¢交BD 于点P ¢．根据对称的性质和菱形的性质可知点M ¢为AD 的中点．又∵点N 为BC 中点，∴M N ¢经过点O ，即点O 与点P ¢重合．∵P M P M ¢¢¢=，∴根据两点直线线段最短可知，当P ¢点为P 点时，PM PN +最小为M N ¢长，即此时PMN V 的周长最小．∵AC =6，∴132AO AC == ．在Rt AOD △中，4DO ===，∴28BD DO ==．∵点M ，N 分别为DC ，BC 的中点，∴142MN BD ==．∵点M ¢，N 分别为AD ，BC 的中点，∴AM BN ¢=，又∵//A N M B ¢，∴四边形ABNM ¢为平行四边形．∴5M N AB ¢==，∴549M N MN =+¢=+，即PMN V 的周长最小值为9．故选：C ．【点睛】本题考查菱形的性质，轴对称变换，三角形中位线的性质以及勾股定理．作出辅助线并理解当P ¢点为P 点时，PMN V 的周长最小是解答本题的关键．15．已知，如图，在菱形ABCD 中．根据以下作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（ ）（1）分别以C ，D 为圆心，大于12CD 长为半径作弧，两弧分别交于点E ，F ；（2）作直线EF ，且直线EF 恰好经过点A ，且与边CD 交于点M ；（3）连接BM ．A．∠ABC＝60°B．如果AB＝2，那么BM＝4C．BC＝2CM D．S△ADM12=S△ABM【答案】B【分析】利用基本作图得到EF垂直平分CD，则AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，再根据菱形的性质得到AB＝BC＝AD，则可判断△ABC为等边三角形，从而可对A选项进行判断；当AB＝2，则CM＝DM＝1，在计算出AM BM，则可对B选项进行判断；利用BC＝CD＝2CM可对C选项进行判断；利用AB∥CD，AB＝2DM和三角形面积公式可对D选项进行判断．【详解】解：由作法得EF垂直平分CD，∴AD＝AC，CM＝DM，∠AMD＝90°，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，所以A选项的结论正确；当AB＝2，则CM＝DM＝1，∵∠D＝60°，∴AM在R t V ABM中，BM=，所以B选项的结论错误；∴BC＝CD＝2CM，所以C选项的距离正确；∵AB//CD，AB＝2DM，∴S△ADM12=S△ABM，所以D选项的结论正确．故选：B ．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质．16．如图，菱形ABCD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A ，C 重合），且//PE BC 交AB 于E ，//PF CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是（ ）A ．10B ．7.5C ．5D ．2.5【答案】D【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC 的面积，因为△ABC 的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．【详解】设AP 与EF 相交于O 点．∵四边形ABCD 为菱形，∴BC //AD ，AB //CD ．∵PE //BC ，PF //CD ，∴PE //AF ，PF //AE ．∴四边形AEFP 是平行四边形．∴S △POF=S △AOE ．即阴影部分的面积等于△ABC 的面积．∵△ABC 的面积等于菱形ABCD 的面积的一半，菱形ABCD 的面积=12AC •BD =5，∴图中阴影部分的面积为12×5=2.5．故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．17．如图，菱形ABCD 的面积为24，对角线AG 与BD 交于点O ，E 是BC 边的中点，EF BD ^于点F ，EG AC ^于点G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】A【分析】由菱形的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ^，12S AC BD =´，证出四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，得出EF 、EG 都是OBC D 的中位线，则1124EF OC AC ==，1124EG OB BD ==，由矩形面积即可得出答案．【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，12OA OC AC \==，12OB OD BD ==，AC BD ^，EF BD ^Q 于F ，EG AC ^于G ，\四边形EFOG 是矩形，//EF OC ，//EG OB ，Q 点E 是线段BC 的中点，EF \、EG 都是OBC V 的中位线，1124EF OC AC \==，1124EG OB BD ==，\矩形EFOG 的面积116EF EG AC BD =´=g ；又∵菱形ABCD 的面积为=1242AC BD =g ，∴48AC BD =g ∴矩形EFOG 的面积=12438´=．故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．18．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1，BC 1．若∠ACB ＝30°，AB ＝1，CC 1＝x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ②当x ＝1时，四边形ABC 1D 1是菱形 ③当x ＝2时，△BDD 1为等边三角形 ④s x ﹣2）2（0＜x ＜2），其中正确的有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个【答案】C【分析】根据平移前后两图形全等得到∠DAC =∠111D A C ,根据平移的性质得到C 1C =A 1A ，根据矩形的性质得到A 1D =BC ，再根据SAS 证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC 1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC 1D 1是菱形．②正确；根据当x ＝2时，点C 1与点A 重合，根据平移的性质,CC 1=DD 1=2,矩形的对角线相等，BD =AC ，证明BD ＝DD 1，∠BDD 1＝60°得出△BDD 1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC 1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；【详解】解：∵AC ＝A 1C 1，∴AA 1＝CC 1∵BC ＝D 1A 1，∠AA 1D 1＝∠BCC 1，∴△A 1AD 1≌△CC 1B ，故①正确，在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝30°，AB ＝1，∴AC ＝A 1C 1＝2，当x ＝1时，AC 1＝CC 1＝1，∴AC 1＝AB ，∵∠BAC ＝60°，∴△ABC 1是等边三角形，同法可证：△AD 1C 1是等边三角形，∴AB ＝BC 1＝AC 1＝AD 1＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是菱形，故②正确，当x ＝2时，BD ＝AC ＝2，DD 1＝2，∠BDD 1＝60°，∴△BDD 1是等边三角形，故③正确，当0＜x ＜2时，S ＝12 •12 （2﹣x ）（2﹣x （2﹣x ）2，故④错误．故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．如图，四边形ABCD 为菱形，70ABC Ð=°，延长BC 到E ，在DCE Ð内作射线CM ，使得15ECM Ð=°，过点D 作DF CM ^，垂足为F ，若DF =，则对角线BD 的长为______．（结果保留根号）【答案】【分析】先由菱形的性质得出70DCE Ð=°，求得55DCF Ð=°，再根据直角三角形两锐角互余得35CDF Ð=° ,连接AC 交BD 于点O ，根据菱形的性质得90DOC Ð=°，35BDC Ð=°，根据AAS 证明CDO CDF D @D 可得DO DF ==，从而可求出BD =．【详解】解：连接AC ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB //CD ，90DOC Ð=°，BD =2DO∴70DCE ABC Ð=Ð=°∵15ECM Ð=°∴55DCM Ð=°∵DF CM^∴35CDF Ð=°∵四边形ABCD 是菱形，∴113522CDB ADC ABC Ð=Ð=Ð=° ∴CDF CDO Ð=Ð在CDO D 和CDF D 中，90CDO CDF COD CFD CD CD Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î∴CDO D ≌CDFD∴DO DF ==∴2BD DO ==故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC 并证明CDO D ≌CDF D 是解答此题的关键．20．如图，菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则12BP PC +的最小值是______．【分析】求两条线段之和的最小值问题，通常转化为两点之间的距离，在平面中，两点间的距离最短．【详解】解：如图所示：过点P 作PE AB ^交AB 于点E ，过点C 作CF AB ^交AB 于点F ，Q 四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，∴∠ABP =30°，12PE BP \=，12BP PC PE PC \+=+，由垂线段最短可知，PE PC +的最小值为CF 的长，sin 3sin 60CF BC ABC \=´Ð=´°=即12BP PC +，【点睛】本题考查了动点中的最短路径问题，解题的关键是：通过等量代换，转化为两点之间的距离．21．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，8AC =，6BD =，点E 是CD 上一点，连接OE ，若OE AE =，则OE 的长为______．【答案】52【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA ，OD ，AC ⊥BD ，再利用勾股定理列式求出AD ，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求解即可．【详解】解：∵菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OD ＝12BD ＝12×6＝3，OC ＝12AC ＝12×8＝4，AC ⊥BD ，由勾股定理得，CD 5=，∵OE ＝AE ，∴∠DAC ＝∠EOA ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∴∠DCA ＝∠DAC ，∴∠EOA ＝∠DCA ，∴OE //CD ，∵AO ＝OC ，∴OE 是△ADC 的中位线，∴OE ＝12CD ＝12×5＝52，故答案是：52．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，推出OE 是△ADC 的中位线，是解题的关键．22．如图，在菱形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE CF =．（1）求证：ABE △≌CDF V ；（2）证明四边形BEDF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)利用SAS 证明即可；(2)从对角线的角度加以证明即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴AB CD =，且BAE DCF Ð=Ð，又∵AE CF =，∴ABE △≌CDF V ．（2）证明：连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，且O 为AC ，BD 中点，又∵AE CF =，∴EO FO =∴BD 与EF 互相垂直且平分，故四边形BEDF 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握三角形全等判定的基本原理,菱形判定基本方法和性质是解题的关键．23．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O ，8cm,60AB ACB =Ð=°，点M 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度匀速运动，至点D 时停止运动，连接MO 并延长交BC 于点N ，设点M 的运动时间为s t ．（1）求证：DM BN =；（2）当四边形ABOM 的面积为2时，求t 的值；（3）求当t 为何值时，AOM V 的外心在它的边上．【答案】（1）见解析；（2）4；（3）2或8【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为菱形，∴,//OB OD AD BC =，∴MDO NBO Ð=Ð．又∵DOM BON Ð=Ð，∴()DOM BON ASA V V ≌，∴DM BN =；（2）解：如解图①，分别过点A 、O 作BC AD 、的垂线，垂足分别为点E 、F ，例题解图①∵8cm,60,AB ACB AB BC =Ð=°=，∴ABC V 是等边三角形，∴AE =，∴12OF AE ==．∵212AOB MOA ABC MOA ABOM S S S S S =+=+=V V V V 四边形，∴111222BC AE AM OF ´×+×=即t =4t =；（3）解：∵AOM V 的外心在它的边上，∴AOM V 为直角三角形，分以下两种情况讨论：①如解图②，当90AMO Ð=°时， AOM V 的外心在AO 上，例题解图②∵8cm,60AB ACB =Ð=°，∴1 4 cm 2AO AB ==，由（2）可知MO =，∴AM =，∴()2 t s =；②当90AOM Ð=°时， AOM V 的外心在AM 上，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ^，∴90AOD Ð=°，∴此时点M 运动到点D 处，∴()8 t s =；综上所述，当t 为2s 或8s 时， AOM V 的外心在它的边上．24．如图，ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF AC ^，分别交AB 、DC 于点E 、F ，连接AF 、CE ．（1）若2OE =，求EF 的长；（2）判断四边形AECF 的形状，并说明理由．【答案】（1）4；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质得//AB CD ，OD OB =，再证明DOF BOE ≌△△，进而即可得到答案；（2）先证明四边形AECF 是平行四边形，再证明平行四边形AECF 是菱形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ，OD OB =，∵//AB CD ，∴DFO BEO Ð=Ð，FDO EBO Ð=Ð．∴DOF BOE ≌△△，∴OE OF =，∵2OE =，∴4EF =；（2）四边形AECF 是菱形，理由如下：∵ABCD Y 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∴OA OC =，又∵OE OF =，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC^∴平行四边形AECF 是菱形．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定定理，熟练掌握平行四边形的性质以及菱形的判定定理是解题的关键．25．四边形ABCD 为菱形，BD 为对角线，在对角线BD 上任取一点E ，连接CE ，把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，使得ECF BCD Ð=Ð，点E 的对应点为点F ，连接DF ．（1）如图1，求证：BE DF =；（2）如图2，若2DFC DBC Ð=Ð，在不添加任何辅助线的前提下，请直接写出五对线段，使每对线段的和等于BD （BE 和DE 除外）．【答案】（1）见解析；（2）,BE BC ；,BE CF ；,DF DE ；,DF CE ；,DF CF【分析】（1）证明()BCE DCF SAS D @D ，可得结论．（2）证明ED EC =，结合全等三角形的性质，可得结论．【详解】解：（1）证明：Q 四边形ABCD 为菱形，BC CD \=，Q 把线段CE 绕点C 顺时针旋转得到线段CF ，CE CF \=，ECF BCD Ð=ÐQ ，BCE DCF \Ð=Ð，在BCE D 与DCF D 中，BC CD BCE DCF CE CF =ìïÐ=Ðíï=î，()BCE DCF SAS \D @D ，BE DF \=．（2）BCE DCF D @D Q ，BE DF \=，BEC DFC Ð=Ð，CB CD =Q ，CBD CDE \Ð=Ð，2DFC CBD Ð=ÐQ ，2BEC CDE \Ð=Ð，CEB CDE ECD Ð=Ð+ÐQ ，EDC ECD \Ð=Ð，ED EC CF \==，BD BE EC BE CF DF DE DF CE DF CF \=+=+=+=+=+．【点睛】本题考查菱形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使EF＝DE，连接CF，BF．（1）求证：四边形CFBD是菱形；（2）连接AE，若CF，DF＝2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）证明四边形CFBD是平行四边形，再证明∠1＝90°，即可判定四边形CFBD是菱形．（2）根据菱形的性质求得EF＝1，再由勾股定理求得CE＝3，由三角形的中位线定理可得AC＝2，再由勾股定理即可求得AE=【详解】（1）证明：∵E是边BC的中点，∴BE＝EC，∵DE＝EF，BE＝EC，∴四边形CFBD是平行四边形，∵D是AB边中点，E是BC中点，∴DE∥AC，∴∠1＝∠ACB＝90°，∴四边形CFBD是菱形．（2）∵四边形CFBD是菱形，∴∠CEF＝90°．∵DF＝2，∴EF＝1，∵CF=，∴由勾股定理得，CE＝3，∵D，E分别是边AB，BC的中点，DE＝1，∴AC＝2，∵∠ACB＝90°，由勾股定理得AE=【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．27．如图，已知菱形ABCD 中，分别以C 、D 为圆心，大于12CD 的长为半径作弧，两弧分别相交于M 、N 两点，直线MN 交CD 于点F ，交对角线AC 于点E ，连接BE 、DE ．（1）求证：BE CE =；（2）若72ABC Ð=°，求ABE Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）18°．【分析】（1）根据作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CE=DE ，根据菱形的性质，利用SAS 可证明BCE V ≌DCE V ，可得BE=DE ，即可得结论；（2）根据菱形及等腰三角形的性质可得BAC ACB Ð=Ð=54°，根据BE CE =可得54EBC ACB Ð=Ð=°，根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由作图可知直线MN 是线段CD 的垂直平分线，∴CE DE=∵四边形ABCD 是菱形∴ACB ACD Ð=∠，BC CD=∵CE CE=∴BCE V ≌DCEV ∴BE DE=∴BE CE=（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AB BC=∴BAC ACB Ð=Ð，∴180180725422ABC ACB -Ð-Ð===°°°°∵BE CE =∴54EBC ACB Ð=Ð=°∴725418ABE ABC EBC Ð=Ð-Ð=-=°°°．【点睛】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．28．问题：如图，在ABCD Y 中，8AB =，5AD =，DAB Ð，ABC Ð的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．①当点E 与点F 重合时，求AB 的长；②当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．【答案】（1）①10；②5；（2）13，23，2【分析】（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出5DE AD ==，5BC CF ==，即可完成求解；②证明出EF CD =即可完成求解；（2）本小题由于E 、F 点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 DE AD =，CF CB =以及点 C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【详解】（1）①如图1，四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD \，DEA EAB \Ð=Ð．AE ∵平分DAB Ð，DAE EAB \Ð=Ð．DAE DEA \Ð=Ð．5DE AD \==．同理可得：5B C C F ==．Q 点E 与点F 重合，10AB CD \==．②如图2，点E 与点C 重合，同理可证5DE DC AD ===，∴▱ABCD 是菱形，5CF BC ==Q ，\点F 与点D 重合，5EF DC \==．（2）情况1，如图3，可得AD DE EF CF ===，13AD AB \=．情况2，如图4，同理可得，AD DE BC CF ==，，又DF FE CE ==Q ，23AD DE AB AB \==．情况3，如图5，由上，同理可以得到AD DE CB CF ==，，又FD DC CE ==Q ，2AD DE AB CD\==．综上：AD AB 的值可以是13，23，2．【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、菱形的判定与性质等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．29．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师出示了这样一个问题，如图①，点P 是BC 的中点，分别以BP 、CP 为底边在BC 的同侧作等腰ABP △和等腰DCP V ，且120BAP CDP Ð=Ð=°，连接AC 、BD 交于点O ．求证：AC DB =．解决问题（1）请你解决老师提出的问题；合作交流创新小组受老师提出问题的启发继续进行深入探究．将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋到如图②所示的位置，连接OP ，创新小组发现AOP DOP Ð=Ð；（2）请你证明创新小组发现的结论；（3）如图③，将图①中的DCP V 绕着点P 按顺时针方向旋转至//AP BD 停止旋转．在不增加字母的情况下．请你选择已标注字母的四个点为顶点的四边形是特殊四边形，请你写出该四边形的名称，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AODP 是菱形（答案不唯一），理由见解析【详解】（1）证明：120BAP Ð=°Q ，ABP △是等腰三角形，BAP \Ð是等腰三角形的顶角．AB AP =∴．1801801203022BAP ABP APB °-а-°\Ð=Ð===°．同理得DP DC =，30DPC DCP Ð=Ð=°．∵P 是BC 的中点，BP CP \=．()ABP DCP ASA \△≌△．.AB DC AP DP \===180APC APB Ð+Ð=°Q ，18030150APC \Ð=°-°=°，同理得150DPB Ð=°，.APC DPB \Ð=Ð()APC DPB SAS \△≌△．AC DB \=；（2）证明：APB DPC Ð=ÐQ ，.APB BPC DPC BPC \Ð+Ð=Ð+Ð.APC DPB \Ð=Ð又.APC DPB \Ð=Ð，CP BP =，()APC DPB SAS \△≌△．.APC DPB S S \=△△如解图①，过点P 分别作PE AC ^，PF BD ^．垂足分别是E ，F ，1122AC PE DB PF \×=×，PE PF \=．OP ∴平分AOD Ð．即AOP DOP Ð=Ð；图①（3）解：四边形AODP 是菱形．（答案不唯一）理由如下：如解图②，记BD 与CP 的交点为L ，AP//BD Q ，AB PD =，120BAP Ð=°，60ABD PDB \Ð=Ð=°，120APD Ð=°，30CPD Ð=°Q ，180180603090PLD PDB CPD \Ð=°-Ð-Ð=°-°-°=°，即CP BD ^，CP AP \^，即90APC Ð=°，180903060CAP \Ð=°-°-°=°，60120180CAP APD \Ð+Ð=°+°=°，。

初三北师大版菱形练习题和答案

初三北师大版菱形练习题和答案

初三北师大版菱形练习题和答案一、题目解析菱形练习题是初三语文学习中的重要内容之一，通过练习，学生可以巩固对语文知识的理解和运用能力。

本文将为读者提供初三北师大版菱形练习题及答案，帮助读者系统地进行复习和巩固。

让我们一起来看看吧！二、菱形练习题根据初三北师大版教材，以下是一组菱形练习题，供同学们进行训练。

1. 阅读下面这段话，完成后面的题目。

十岁的孩子比五岁的孩子聪明两倍，而十岁的孩子比成年人聪明三倍。

那么，请问，五岁的孩子与成年人相比，聪明几倍？请写下你的答案并解释原因。

2. 阅读下面这组诗句，选择正确的答案。

天净沙·秋思银瓶乍破水浆迸，滟滟随波千万重。

金络脱，花骢落，犹冷笼宵。

轻絮飞花径，何处觅艳阳？杨柳岸，晓风残月。

春如旧，人空瘦，泪痕犹在，夜阑珊处。

这首词作者是谁？A. 杨维桢B. 辛弃疾C. 苏轼D. 陆游3. 阅读下面这个句子，判断表达是否准确。

刚才听到有敲门声，心里一片惶恐。

对该句进行修正，使其表达更为准确。

三、菱形练习题答案1. 五岁的孩子与成年人相比，聪明是十倍。

解析：根据题目中给出的信息，十岁的孩子比五岁的孩子聪明两倍，而十岁的孩子比成年人聪明三倍。

换句话说，五岁的孩子是十岁孩子的一半聪明，而十岁的孩子是成年人的三倍聪明。

所以，五岁的孩子与成年人相比，聪明是十倍。

2. 答案选B（辛弃疾）。

解析：这首词的作者是辛弃疾，是中国宋代文学家，也是豪放派代表人物之一。

3. 刚才听到有敲门声，心里一片惊慌。

解析：根据句子的上下文，使用"惊慌"一词更能准确地描述主人公的内心感受。

四、结语通过完成初三北师大版菱形练习题，同学们可以巩固对语文知识的掌握，提高解题能力。

希望以上提供的菱形练习题和答案对同学们的学习有所帮助。

加油，取得更好的成绩！。

(完整版)菱形的判定专项练习30题

(完整版)菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．(1)求证:四边形ABED是菱形;（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图,四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M,N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC,BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E,F分别是BC，AB，AC的中点．（1)求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm,求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E,F．已知BE=BP．求证：（1)∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点,E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC;（2）若∠BAC=90°，求证:四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证:四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF,再将三角板绕点C 顺时针方向旋转60°得到△DEC,点F在AC上,连接AE．(1)求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G,连接CG．请问:四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC,垂足分别是为E F,并且DE=DF．求证:四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中,DE∥B C，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C;（2）▱ADFE是菱形．10．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．(1）求证：△AEG≌△AEC;（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；(3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图,在△ABC中,AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证:四边形MENF为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E,连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图,在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证:四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中,∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证:四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF,AB交EC于点N,CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗?如果是，请写出证明过程;如果不是，说明理由．18．已知如图所示,AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证:四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2)已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF,过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中,AB=4cm，AD=8cm,作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．(1）求证：AECF是菱形;（2)求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图:在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧,AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2)请连接BF,CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2)下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形?请回答并证明你的结论．29．如图,在△ABC中，AD是∠BAC的平分线,EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．(1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；(2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30题参考答案：(完整版)菱形的判定专项练习30题1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形;(2）解:过点D作DH⊥BC,垂足为H,∵CD=D E=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形,∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO ，∴MN=BC,∴BC=2DN3．（1)∵D,E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm,因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1)∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF,∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC,∵AF=CD，∴AF=DB,∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点,∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC,∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中,将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE,又∵∠ECF=60°,∴AC=EC=AE,∴AD=DC=CE=AE,∴四边形ADCE是菱形；（2）证明:由（1)可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，(完整版)菱形的判定专项练习30题∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°,且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC,∵AG∥BC,∴∠EAG=∠ECB,∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC,（7分）∴四边形ABCG是平行四边形,∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中,∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(AAS）∴DA=DC,∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF,∴∠EHC=∠B（两直线平行,同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C(等边对等角)，∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC(已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C,∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°,∴AC⊥EC．又∵EG⊥AB,AE是∠BAC的平分线，∴GE=CE．在Rt△AEG与Rt△AEC中,，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下:∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB,∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA,∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE,∴CE=CF,即△CEF是等腰三角形;（3)解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1)知,Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF,∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC,∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC,EF AB,∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB,∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB,∴四边形MENF是平行四边形,∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC,∵AB=CD,∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，…（1分）在△BAE和△DAE中，∵，(完整版)菱形的判定专项练习30题∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC,M、O、N分别是AB、BC、CA的中点,∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC,NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形(四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一:∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°,∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°,∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC,∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等),∵CE=CE，∴由勾股定理得:AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC,EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF,AE∥GF，∴四边形AEFG是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2,∵AD∥EF，∴∠2=∠3,∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF,∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF(等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，,∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，,∴△ADM≌△CFM（AAS）,∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC,∴∠AMB=∠MBN,∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF,又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴BM=BN，同理,△EMD≌△CND，∴DM=DN，∵ED=BF=AB,∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM,(完整版)菱形的判定专项练习30题∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图,由于DE∥AC，DF∥AB,所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2,又∠1=∠2，∴∠1=∠3,∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED,∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理,DF∥BE,∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分)又∵∠AOE=∠COF,AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．(8分）∴AF=AE，CF=CE,又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．(5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴四边形AFCE是菱形．（10分）方法三:同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分)又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB,所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2)如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15,则DO=10，EO=7。

中考数学总复习《菱形》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《菱形》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《菱形》专项提升训练（带答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1. 如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O .第1题图(1)若四边形ABCD为平行四边形，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________；(2)若AB＝BC，AD＝CD，______________(请添加一个条件)，则四边形ABCD为菱形；【判定依据】________________________．2. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知∠ABC＝60°，AB＝2.第2题图(1)BC＝________，AO＝________，OC＝________，BO＝________；(2)∠BCD＝________，∠ABD＝________，∠BAO＝________；(3)菱形ABCD的周长为________，面积为________．知识逐点过考点1 菱形的性质及面积边对边平行，四条边①________角对角②________对角线对角线互相③________，并且每一条对角线④________一组对角(人教独有)对称性既是轴对称图形又是中心对称图形，有⑤______条对称轴，对称轴为两条对角线所在的直线，对称中心是两条对角线的交点面积公式S＝ah＝12mn【温馨提示】菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形考点2 菱形的判定1.有一组⑥________的平行四边形是菱形(定义)；边2．⑦________相等的四边形是菱形对角线对角线互相垂直且平分的四边形是菱形真题演练命题点与菱形性质有关的计算1. 菱形的边长为5，则它的周长为________．2. 如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠F AD，∠BAD为锐角．(1)求证：AD⊥BF；(2)若BF＝BC，求∠ADC的度数．第2题图拓展训练3. 如图，在边长为5的菱形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接BD，DE，DF，EF，若BD＝8，则△DEF的面积为________．第3题图教材原题到重难考法与菱形有关的证明与计算例如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，且BE＝BF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠DEF＝∠DFE.例题图变式题1. 变菱形中所含的三角形顶角为特殊角，满足120°角含60°角的半角模型如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，且∠A ＝∠EDF ＝60°.若AE ＋CF ＝6，求菱形ABCD 的面积．第1题图2. 连接对角线，探究线段间的数量关系如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，AB ＝4，AE ＝BF ，∠A ＝60°，连接BD ，DE ，DF ，EF ，EF 与BD 相交于点G . (1)求证：△AED ≌△BFD ； (2)若BF ＝1，求GFGE的值．第2题图基础过关1.如图，在菱形ABCD 中，连接AC ，BD ，若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A. 20° B. 60° C. 70° D. 80°第1题图2. 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为()A. 1B. 2C. 3D. 4第2题图3. 如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A(－2，5)，则点C的坐标是()A. (5，－2)B. (2，－5)C. (2，5)D. (－2，－5)第3题图4. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC的中点，连接OE.若AC ＝6，BD＝8，则OE＝()A. 2B. 52 C.3 D. 4第4题图5. 如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：__________，使四边形ABCD成为菱形．第5题图6. 若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为__________．7. 如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为__________．第7题图8. 在菱形ABCD中，对角线AC与BD之比是3∶4，那么sin ∠BAC＝__________．第8题图9. 如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为点B，D，若AB ＝6 cm，则EF＝________cm.第9题图10. 如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF.(1)求证：AE∥BF；(2)若DF＝FC，求证：四边形DECF是菱形．第10题图综合提升11. 如图，在▱ABCD中，BC的垂直平分线EO交AD于点E，交BC于点O，连接BE，CE，过点C作CF∥BE，交EO的延长线于点F，连接BF.若AD＝8，CE＝5，则四边形BFCE 的面积为________.第11题图新考法推荐12.(注重教材定理的证明)思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 定理证明(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图①)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在▱ABCD 中，对角线BD ⊥AC ，垂足为点O .求证：▱ABCD 是菱形． 知识应用(2)如图②，在▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AD ＝5，AC ＝8，BD ＝6. ①求证：▱ABCD 是菱形；②延长BC 至点E ，连接OE 交CD 于点F ，若∠E ＝12 ∠ACD ，求OFEF的值．图① 图② 第12题图参考答案1. (1)AC ⊥BD (答案不唯一)【判定依据】对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (2)AB ＝AD (答案不唯一)【判定依据】四条边都相等的四边形是菱形． 2. (1)2，1，1，3 ；(2)120°，30°，60°；(3)8，23 .知识逐点过①相等 ②相等 ③垂直且平分 ④平分 ⑤两 ⑥邻边相等 ⑦四条边真题演练1. 20 【解析】∵菱形的四条边都相等，且边长为5，∴菱形的周长为20.2. (1)证明：∵四边形ABCD ，ADEF 都是菱形 ∴AB ＝AD ＝AF ∴△ABF 是等腰三角形 又∵∠BAD ＝∠F AD ∴AD ⊥BF ；(3分)(2)解：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝BC ，AB ∥CD 由(1)知AB ＝AD ＝AF ∴AB ＝AF ＝BF ∴△ABF 是等边三角形 ∴∠BAF ＝60°，(5分) ∵∠BAD ＝∠F AD ∴∠BAD ＝30° 又∵AB ∥CD∴∠ADC ＋∠BAD ＝180°∴∠ADC ＝180°－∠BAD ＝150°.(7分)3. 9 【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，记EF 交BD 于点G ，∵四边形ABCD 为菱形，∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ，BO ＝DO ＝12 BD ＝4，在Rt △ABO 中，AB ＝5，BO ＝4，∴AO＝3，∴AC ＝6，∵E ，F 分别为边AB ，BC 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF ＝3，GO ＝12 BO ＝2，∵DO ＝4，∴DG ＝6，∴S △DEF ＝12 EF ·DG ＝12×3×6＝9.第3题解图教材原题到重难考法例 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形 ∴∠A ＝∠C ，AB ＝CB ，AD ＝CD ∵BE ＝BF ∴AE ＝CF在△ADE 和△CDF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ∠A ＝∠C AE ＝CF∴△ADE ≌△CDF (SAS)； (2)由(1)知△ADE ≌△CDF ∴DE ＝DF ∴∠DEF ＝∠DFE . 1. 解：如解图，连接BD∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60° ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA∴△ABD 和△BCD 均为等边三角形 ∴CD ＝BD ，∠C ＝∠DBE ＝∠BDC ＝60° ∵∠EDF ＝60°∴∠EDB ＋∠BDF ＝∠BDF ＋∠FDC ＝60° ∴∠EDB ＝∠FDC ∴△DBE ≌△DCF ∴BE ＝CF ∵AE ＋CF ＝6∴AE ＋BE ＝6＝AB ∴S 菱形ABCD ＝2S △ABD ＝2×34AB 2＝183 .第1题解图2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠A ＝∠C 又∵∠A ＝60° ∴∠C ＝60°∴△ABD 和△BCD 是等边三角形 ∴∠A ＝∠DBF ＝60°，AD ＝BD . 在△AED 和△BFD 中 ⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF ∠A ＝∠DBF AD ＝BD∴△AED ≌△BFD (SAS)；(2)解：如解图，过点E 作EM ∥AD 交BD 于点M第2题解图由(1)知△ABD 为等边三角形 ∴∠A ＝∠ABD ＝60° ∵EM ∥AD∴∠BEM ＝∠A ＝∠ABD ＝60° ∴△BEM 为等边三角形 ∵AB ＝4，BF ＝1∴EM ＝BE ＝AB －AE ＝AB －BF ＝3 ∵EM ∥AD ，BF ∥AD∴BF ∥EM∴△BGF ∽△MGE∴GF GE ＝BF ME ＝13.基础过关1. C 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∠ACD ＋∠2＝90°.∵∠1＝20°，∴∠2＝90°－20°＝70°.2. B 【解析】 ∵四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝4，∴AB ∥CD ，CE ∥FD ，CD ＝AB ＝4.∵将线段AB 水平向右平移得到线段EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴四边形ECDF 为平行四边形．当CD ＝CE ＝4时，四边形ECDF 为菱形，此时a ＝BE ＝BC －CE ＝6－4＝2.3. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形且对角线交点与坐标原点O 重合，∴OA ＝OC ，且点A 与点C 关于原点对称．∵点A (－2，5)，∴点C 的坐标是(2，－5).4. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OB ＝OD ，OA ＝OC .∵BD ＝8，AC ＝6，∴OB ＝4，OC ＝3，∴BC ＝OB 2＋OC 2 ＝42＋32 ＝5.在Rt △OBC 中，∵∠BOC ＝90°，点E 是BC 的中点，∴OE ＝12 BC ＝52. 5. AD ∥BC (或AB ＝CD 或OB ＝OD 或∠ADB ＝∠CBD 等) 【解析】 当添加AD ∥BC 时，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加AB ＝CD 时，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加OB ＝OD 时，∵AD ＝BC ，AC ⊥BD ，∴Rt △ADO ≌Rt △CBO (HL)，∴AO ＝CO ，DO ＝BO ，∴四边形ABCD 是菱形；当添加∠ADB ＝∠CBD 时，∴AD ∥BC ，∵AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形.6. 24 【解析】 根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半可得，该菱形的面积为12×6×8＝24.7. 10 【解析】 ∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC .∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∵AB ＝10，∴AC ＝AB ＝10.8. 45【解析】 由题意可设AC ＝6x ，BD ＝8x ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO＝3x ，OB ＝4x ，∴AB ＝AO 2＋BO 2 ＝5x .在Rt △BAO 中，sin ∠BAC ＝BO AB ＝4x 5x ＝45. 9. 23 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵∠DAB ＝60°，∴∠EAB ＝∠DCF ＝30°，∠ADC ＝120°，∴∠FDA ＝∠F AD ＝30°，∴AF ＝DF ，AB ＝CD .∵BE ⊥AB ，DF ⊥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ＝90°，∴Rt △ABE ≌Rt △CDF (ASA)，∴BE ＝DF .∴BE ＝AF ，在Rt △ABE 中，设BE ＝AF ＝x ，则AE ＝2x ，即x 2＋62＝(2x )2，解得x ＝23 ，∴EF ＝AE －AF ＝23 .10. 证明：(1)∵AD ＝BC∴AD ＋DC ＝BC ＋DC即AC ＝BD .在△AEC 和△BFD 中⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BDAE ＝BFCE ＝DF∴△AEC ≌△BFD (SSS)∴∠A ＝∠B∴AE ∥BF ；(2)方法一：由(1)知，∠A ＝∠B在△ADE 和△BCF 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BF∠A ＝∠B ，AD ＝BC∴△ADE ≌△BCF (SAS)∴DE ＝CF .又∵EC ＝DF∴四边形DECF 是平行四边形．∵DF ＝FC∴四边形DECF 是菱形．方法二：由(1)知，△AEC ≌△BFD∴∠ECA ＝∠FDB∴EC ∥DF .又∵EC ＝DF∴四边形DECF 是平行四边形．∵DF ＝FC∴四边形DECF 是菱形．11. 24 【解析】∵CF ∥BE ，∴∠BEO ＝∠CFO .∵BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E ，∴BO ＝CO ，∠BOE ＝∠COF ＝90°，∴△BOE ≌△COF (AAS)，∴BE ＝CF ，OE ＝OF ，∴四边形BFCE 为平行四边形．∵EF ⊥BC ，∴▱BFCE 为菱形．∵在▱ABCD 中，AD ＝8，∴BC ＝8，∴OC ＝12BC ＝4.∵CE ＝5，∴在Rt △EOC 中，OE ＝EC 2－OC 2 ＝52－42 ＝3，∴S 菱形BFCE ＝12 BC ·EF ＝12 BC ·2EO ＝12×8×2×3＝24. 12. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AO ＝CO ，BO ＝DO .∵AC ⊥BD ，垂足为点O∴AC 与BD 相互垂直平分∴AB ＝AD∴▱ABCD 是菱形；(2)①证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，且AC ＝8，BD ＝6∴AO ＝4，DO ＝3.∵AD ＝5∴AD 2＝AO 2＋DO 2∴△AOD 是直角三角形且∠AOD ＝90°∴AC ⊥BD .又∵四边形ABCD 为平行四边形∴▱ABCD 为菱形；②解：如解图，过点O 作OG ∥BC 交CD 于点G .由题意及(2)①易知菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，BO ＝3，CO ＝4，BC ＝5，CA 平分∠BCD∴∠BCO ＝∠OCD ＝12∠BCD . ∵∠E ＝12 ∠ACD ＝12∠OCD ，∠BCO ＝∠E ＋∠COE ∴∠BCO ＝2∠E∴∠COE ＝∠E∴CE ＝OC ＝4.∵OG ∥BC ，O 为BD 的中点 ∴OG 为△BDC 的中位线∴OG ＝12 BC ＝52，△OFG ∽△EFC ∴OGEC ＝OFEF∴524 ＝OFEF∴OFEF ＝58 .第12题解图。

菱形难题组卷答案

菱形难题组卷答案

答案四.填空题(共29小题)1.(2012•沈阳)如图,菱形ABCD得边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF得面积为16cm2.考点: 菱形得性质;等边三角形得判定与性质.专题: 压轴题.分析:连接BD,可得△ABD就是等边三角形,根据菱形得对称性与等边三角形得对称性可得四边形BEDF 得面积等于△ABD得面积,然后求出DE得长度,再根据三角形得面积公式列式计算即可得解.解答:解:如图,连接BD,∵∠A=60°,AB=AD(菱形得边长),∴△ABD就是等边三角形,∴DE=AD=×8=4cm,根据菱形得对称性与等边三角形得对称性可得,四边形BEDF得面积等于△ABD得面积,×8×4=16cm2.故答案为:16.点评:本题考查了菱形得性质,等边三角形得判定与性质,作出辅助线构造出等边三角形就是解题得关键.2.(2012•湖州)如图,将正△ABC分割成m个边长为1得小正三角形与一个黑色菱形,这个黑色菱形可分割成n个边长为1得小三角形,若=,则△ABC得边长就是12.考点: 菱形得性质;等边三角形得性质.专题: 压轴题;规律型.分析:设正△ABC得边长为x,根据等边三角形得高为边长得倍,求出正△ABC得面积,再根据菱形得性质结合图形表示出菱形得两对角线,然后根据菱形得面积等于两对角线乘积得一半表示出菱形得面积,然后根据所分成得小正三角形得个数得比等于面积得比列式计算即可得解.解答:解:设正△ABC得边长为x,则高为x,S△ABC=x•x=x2,∵所分成得都就是正三角形,∴结合图形可得黑色菱形得较长得对角线为x﹣,较短得对角线为(x﹣)=x﹣1,∴黑色菱形得面积=(x﹣)(x﹣1)=(x﹣2)2,∴==,整理得,11x2﹣144x+144=0,解得x1=(不符合题意,舍去),x2=12,所以,△ABC得边长就是12.故答案为:12.点评:本题考查了菱形得性质,等边三角形得性质,熟练掌握有一个角等于60°得菱形得两条对角线得关系就是解题得关键,本题难点在于根据三角形得面积与菱形得面积列出方程.3.(2012•西宁)如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AC=12,BD=16,E为AD中点,点P在x轴上移动,小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形得P点坐标(﹣5,0)与(5,0).请您写出其余所有符合这个条件得P点坐标(8,0)或(,0).考点: 菱形得性质;坐标与图形性质;等腰三角形得判定.专题: 压轴题.分析:由在菱形ABCD中,AC=12,BD=16,E为AD中点,根据菱形得性质与直角三角形得性质,易求得OE得长,然后分别从①当OP=OE时,②当OE=PE时,③当OP=EP时去分析求解即可求得答案.解答:解:∵四边形ABCD就是菱形,∴AC⊥BD,OA=AC=×12=6,OD=BD=×16=8,∴在Rt△AOD中,AD==10,∵E为AD中点,∴OE=AD=×10=5,①当OP=OE时,P点坐标(﹣5,0)与(5,0);②当OE=PE时,此时点P与D点重合,即P点坐标为(8,0);③如图,当OP=EP时,过点E作EK⊥BD于K,作OE得垂直平分线PF,交OE于点F,交x轴于点P,∴EK∥OA,∴EK:OA=ED:AD=1:2,∴EK=OA=3,∴OK==4,∵∠PFO=∠EKO=90°,∠POF=∠EOK,∴△POF∽△EOK,∴OP:OE=OF:OK,即OP:5=:4,解得:OP=,∴P点坐标为(,0).∴其余所有符合这个条件得P点坐标为:(8,0)或(,0).故答案为:(8,0)或(,0).点评:此题考查了菱形得性质、勾股定理、直角三角形得性质以及等腰三角形得性质.此题难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想得应用.4.(2012•鄂尔多斯)如图,将两张长为4,宽为1得矩形纸条交叉并旋转,使重叠部分成为一个菱形.旋转过程中,当两张纸条垂直时,菱形周长得最小值就是4,那么菱形周长得最大值就是.考点: 菱形得性质.专题: 压轴题.分析:作出图形,确定当两矩形纸条有一条对角线互相重合时,菱形得周长最大,设菱形得边长为x,表示出AB,然后利用勾股定理列式进行计算求出x,再根据菱形得四条边都相等解答.解答:解:如图,菱形得周长最大,设菱形得边长AC=x,则AB=4﹣x,在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2,即x2=(4﹣x)2+12,解得x=,所以,菱形得最大周长=×4=.故答案为:.点评:本题考查了菱形得性质,勾股定理得应用,确定出菱形得周长最大时得位置就是解题得关键,作出图形更形象直观.5.(2012•杭州)已知一个底面为菱形得直棱柱,高为10cm,体积为150cm3,则这个棱柱得下底面积为15cm2;若该棱柱侧面展开图得面积为200cm2,记底面菱形得顶点依次为A,B,C,D,AE就是BC边上得高,则CE得长为1或9cm.考点: 菱形得性质;认识立体图形;几何体得展开图.专题: 压轴题.分析:由底面为菱形得直棱柱,高为10cm,体积为150cm3,由体积=底面积×高,即可求得这个棱柱得下底面积,又由该棱柱侧面展开图得面积为200cm2,即可求得底面菱形得周长与BC边上得高AE得长,由勾股定理求得BE得长,继而求得CE得长.解答:解:∵底面为菱形得直棱柱,高为10cm,体积为150cm3,∴这个棱柱得下底面积为:150÷10=15(cm2);∵该棱柱侧面展开图得面积为200cm2,高为10cm,∴底面菱形得周长为:200÷10=20(cm),∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5(cm),∴AE=S菱形ABCD÷BC=15÷5=3(cm),∴BE==4(cm),∴如图1:EC=BC﹣BE=5﹣4=1(cm),如图2:EC=BC+BE=5+4=9(cm),故答案为:15;1或9.点评:此题考查了菱形得性质、直棱柱得性质以及勾股定理.此题难度不大,注意审题,掌握直棱柱体积与侧面积得求解方法.11.(2009•黑河)如图,边长为1得菱形ABCD中,∠DAB=60度.连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1,使∠D1AC=60°;连接AC1,再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作得第n个菱形得边长为()n﹣1.考点: 菱形得性质.专题: 压轴题;规律型.分析:根据已知与菱形得性质可分别求得AC,AC1,AC2得长,从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形得边长.解答:解:连接DB,∵四边形ABCD就是菱形,∴AD=AB.AC⊥DB,∵∠DAB=60°,∴△ADB就是等边三角形,∴DB=AD=1,∴BM=,∴AM==,∴AC=,同理可得AC1=AC=()2,AC2=AC1=3=()3,按此规律所作得第n个菱形得边长为()n﹣1故答案为()n﹣1.点评:此题主要考查菱形得性质以及学生探索规律得能力.＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A得顺序沿菱形得边循环运动,行走2009米停下,则这个微型机器人停在B 点.考点: 菱形得性质.专题: 压轴题;规律型.分析:根据题意可求得其每走一个循环就是8米,从而可求得其行走2009米走了几个循环,即可得到其停在哪点.解答:解:根据“由A点开始按A﹣＞B﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A得顺序沿菱形得边循环运动”可得出,每经过8米完成一个循环,∵2009÷8=251余1,∴行走2009米停下,即就是在第252个循环中行走了一米,即停到了B点.故答案为B.点评:本题考查得就是循环得规律,要注意所求得值经过了几个循环,然后便可得出结论.16.(2008•大兴安岭)如图,菱形AB1C1D1得边长为1,∠B1=60°;作AD2⊥B1C1于点D2,以AD2为一边,做第二个菱形AB2C2D2,使∠B2=60°;作AD3⊥B2C2于点D3,以AD3为一边做第三个菱形AB3C3D3,使∠B3=60°…依此类推,这样做得第n个菱形AB n C n D n得边AD n得长就是.考点: 菱形得性质.专题: 压轴题;规律型.分析:本题要找出规律方能解答.第一个菱形边长为1,∠B1=60°,可求出AD2,即第二个菱形得边长…按照此规律解答即可.解答:解:第1个菱形得边长就是1,易得第2个菱形得边长就是;第3个菱形得边长就是()2;…每作一次,其边长为上一次边长得;故第n个菱形得边长就是()n﹣1.故答案为:()n﹣1.点评:本题就是一道找规律得题目,要求学生通过观察,分析、归纳发现其中得规律,并应用发现得规律解决问题.点C运动.给出以下四个结论:①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③当点E,F分别为边BC,DC得中点时,△AEF就是等边三角形;④当点E,F分别为边BC,DC得中点时,△AEF得面积最大.上述结论中正确得序号有①②③.(把您认为正确得序号都填上)考点: 菱形得性质.专题: 压轴题;动点型.分析:根据菱形得性质对各个结论进行验证从而得到正确得序号.解答:解:∵点E、F分别从点B、D出发以同样得速度沿边BC、DC向点C运动,∴BE=DF,∵AB=AD,∠B=∠D,∴△ABE≌△ADF,∴AE=AF,①正确;∴CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,②正确;∵在菱形ABCD中,∠B=60°,∴AB=BC,∴△ABC就是等边三角形,∴当点E,F分别为边BC,DC得中点时,BE=AB,DF=AD,∴△ABE与△ADF就是直角三角形,且∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°,∴△AEF就是等边三角形,③正确;∵△AEF得面积=菱形ABCD得面积﹣△ABE得面积﹣△ADF得面积﹣△CEF得面积=AB2﹣BE•AB××2﹣××(AB﹣BE)2=﹣BE2+AB2,∴△AEF得面积就是BE得二次函数,∴当BE=0时,△AEF得面积最大,④错误.故正确得序号有①②③.点评:本题考查了菱形得性质、全等三角形得判定与等边三角形得判定.得长为或.考点: 菱形得性质.专题: 压轴题;分类讨论.分析:根据题意得,应分P与A在BD得同侧与异侧两种情况进行讨论.解答:解:当P与A在BD得异侧时:连接AP交BD于M,∵AD=AB,DP=BP,∴AP⊥BD(到线段两端距离相等得点在垂直平分线上),在直角△ABM中,∠BAM=30°,∴AM=AB•cos30°=3,BM=AB•sin30°=3,∴PM==,∴AP=AM+PM=4;当P与A在BD得同侧时:连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM﹣PM=2;当P与M重合时,PD=PB=3,与PB=PD=2矛盾,舍去.AP得长为4或2.故答案为4或2.点评:本题注意到应分两种情况讨论,并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD,这就是解决本题得关键. 24.(2003•温州)如图:菱形ABCD中,AB=2,∠B=120°,E就是AB得中点,P就是对角线AC上得一个动点,则PE+PB得最小值就是.考点: 菱形得性质;线段垂直平分线得性质.专题: 压轴题;动点型.分析:过点E作PE⊥AB,交AC于P,则PA=PB,根据已知得到PA=2EP,根据勾股定理可求得PE,PA得值,从而可得到PE+PB得最小值.解答:解:当点P在AB得中垂线上时,PE+PB有最小值.过点E作PE⊥AB,交AC于P,则PA=PB.∵∠B=120°∴∠CAB=30°∴PA=2EP∵AB=2,E就是AB得中点∴AE=1在Rt△APE中,PA2﹣PE2=1∴PE=,PA=∴PE+PB=PE+PA=.故答案为.点评:本题考查得就是中垂线,菱形得邻角互补.勾股定理与最值.本题容易出现错误得地方就是对点P得运动状态不清楚,无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值.29.(2012•凉山州)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA得中点,则EG2+FH2=36.考点: 菱形得判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理.专题: 计算题;压轴题.分析:连接EF,FG,GH,EH,由E、F、G、H分别就是AB、BC、CD、DA得中点,得到EH,EF,FG,GH分别就是△ABD,△ABC,△BCD,△ACD得中位线,根据三角形中位线定理得到EH,FG等于BD得一半,EF,GH等于AC得一半,由AC=BD=6,得到EH=EF=GH=FG=3,根据四边都相等得四边形就是菱形,得到EFGH为菱形,然后根据菱形得性质得到EG⊥HF,且EG=2OE,FH=2OH,在Rt△OEH中,根据勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9,再根据等式得性质,在等式得两边同时乘以4,根据4=22,把等式进行变形,并把EG=2OE,FH=2OH代入变形后得等式中,即可求出EG2+FH2得值解答:解:如右图,连接EF,FG,GH,EH,∵E、H分别就是AB、DA得中点,∴EH就是△ABD得中位线,∴EH=BD=3,同理可得EF,FG,GH分别就是△ABC,△BCD,△ACD得中位线,∴EF=GH=AC=3,FG=BD=3,∴EH=EF=GH=FG=3,∴四边形EFGH为菱形,∴EG⊥HF,且垂足为O,∴EG=2OE,FH=2OH,在Rt△OEH中,根据勾股定理得:OE2+OH2=EH2=9,等式两边同时乘以4得:4OE2+4OH2=9×4=36,∴(2OE)2+(2OH)2=36,即EG2+FH2=36.故答案为:36.点评:此题考查了菱形得判定与性质,勾股定理,三角形得中位线定理以及等式得基本性质,本题得关键就是连接EF,FG,GH,EH,得到四边形EFGH为菱形,根据菱形得性质得到EG⊥HF,建立直角三角形,利用勾股定理来解决问题.一.解答题(共1小题)考点: 菱形得判定与性质;全等三角形得判定与性质;三角形中位线定理;正方形得判定.专题: 几何综合题;压轴题.分析:(1)连接AD、BC,利用SAS可判定△APD≌△CPB,从而得到AD=BC,因为EF、FG、GH、EH分别就是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD得中位线,则可以得到EF=FG=GH=EH,根据四边都相等得四边形就是菱形,可推出四边形EFGH就是菱形;(2)成立,可以根据四边都相等得四边形就是菱形判定;(3)先将图形补充完整,再通过角之间得关系得到∠EHG=90°,已证四边形EFGH就是菱形,则四边形EFGH就是正方形.解答:解:(1)四边形EFGH就是菱形.(2分)(2)成立.(3分)理由:连接AD,BC.(4分)∵∠APC=∠BPD,∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD.即∠APD=∠CPB.又∵PA=PC,PD=PB,∴△APD≌△CPB(SAS)∴AD=CB.(6分)∵E、F、G、H分别就是AC、AB、BD、CD得中点,∴EF、FG、GH、EH分别就是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD得中位线.∴EF=BC,FG=AD,GH=BC,EH=AD.∴EF=FG=GH=EH.∴四边形EFGH就是菱形.(7分)(3)补全图形,如答图.(8分)判断四边形EFGH就是正方形.(9分)理由:连接AD,BC.∵(2)中已证△APD≌△CPB.∴∠PAD=∠PCB.∵∠APC=90°,∴∠PAD+∠1=90°.又∵∠1=∠2.∴∠PCB+∠2=90°.∴∠3=90°.(11分)∵(2)中已证GH,EH分别就是△BCD,△ACD得中位线,∴GH∥BC,EH∥AD.∴∠EHG=90°.又∵(2)中已证四边形EFGH就是菱形,∴菱形EFGH就是正方形.(12分)点评:此题主要考查了菱形得判定,正方形得判定,全等三角形得判定等知识点得综合运用及推理论证能力.4.(2013•昭通)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E就是AD边得中点,点M就是AB边上得一个动点(不与点A重合),延长ME交CD得延长线于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN就是平行四边形.(2)当AM得值为何值时,四边形AMDN就是矩形？请说明理由.考点: 菱形得性质;全等三角形得判定与性质;平行四边形得判定;矩形得判定.专题: 压轴题.分析:(1)根据菱形得性质可得ND∥AM,再根据两直线平行,内错角相等可得∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,根据中点得定义求出DE=AE,然后利用“角角边”证明△NDE与△MAE全等,根据全等三角形对应边相等得到ND=MA,然后利用一组对边平行且相等得四边形就是平行四边形证明;(2)根据矩形得性质得到DM⊥AB,再求出∠ADM=30°,然后根据直角三角形30°角所对得直角边等于斜边得一半解答.解答:(1)证明:∵四边形ABCD就是菱形,∴ND∥AM,∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME,∵点E就是AD中点,∴DE=AE,在△NDE与△MAE中,,∴△NDE≌△MAE(AAS),∴ND=MA,∴四边形AMDN就是平行四边形;(2)AM=1.理由如下:∵四边形ABCD就是菱形,∴AD=AB=2,∵平行四边形AMDN就是矩形,∴DM⊥AB,即∠DMA=90°,∵∠DAB=60°,∴∠ADM=30°,∴AM=AD=1.点评:本题考查了菱形得性质,平行四边形得判定,全等三角形得判定与性质,矩形得性质,熟记各性质并求出三角形全等就是解题得关键,也就是本题得突破口.(1)如图1,若E就是BC得中点,∠AEF=60°,求证:BE=DF;(2)如图2,若∠EAF=60°,求证:△AEF就是等边三角形.考点: 菱形得性质;全等三角形得判定与性质;等边三角形得判定.专题: 证明题;压轴题.分析:(1)首先连接AC,由菱形ABCD中,∠B=60°,根据菱形得性质,易得△ABC就是等边三角形,又由三线合一,可证得AE⊥BC,继而求得∠FEC=∠CFE,即可得EC=CF,继而证得BE=DF;(2)首先由△ABC就是等边三角形,即可得AB=AC,以求得∠ACF=∠B=60°,然后利用平行线与三角形外角得性质,可求得∠AEB=∠AFC,证得△AEB≌△AFC,即可得AE=AF,证得:△AEF就是等边三角形.解答:证明:(1)连接AC,∵在菱形ABCD中,∠B=60°,∴AB=BC=CD,∠C=180°﹣∠B=120°,∴△ABC就是等边三角形,∵E就是BC得中点,∴AE⊥BC,∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°﹣∠AEF=30°,∴∠CFE=180°﹣∠FEC﹣∠ECF=180°﹣30°﹣120°=30°,∴∠FEC=∠CFE,∴EC=CF,∴BE=DF;(2)∵△ABC就是等边三角形,∴AB=AC,∠ACB=60°,∴∠B=∠ACF=60°,∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD,∴∠AEB=∠AFC,在△ABE与△ACF中,∴△ABE≌△ACF(AAS),∴AE=AF,∵∠EAF=60°,∴△AEF就是等边三角形.点评:此题考查了菱形得性质、等边三角形得判定与性质、全等三角形得判定与性质以及等腰三角形得判定与性质.此题难度适中,注意准确作出辅助线,注意数形结合思想得应用.于点N.(1)如图1,当点M在AB边上时,连接BN:①求证:△ABN≌△ADN;②若∠ABC=60°,AM=4,∠ABN=α,求点M到AD得距离及tanα得值.考点: 菱形得性质;全等三角形得判定;等腰三角形得判定;解直角三角形.专题: 压轴题;动点型.分析:(1)①三角形ABN与ADN中,不难得出AB=AD,∠DAC=∠CAB,AN就是公共边,根据SAS即可判定两三角形全等.②通过构建直角三角形来求解.作MH⊥DA交DA得延长线于点H.由(1)可得∠MDA=∠ABN,那么M到AD得距离与∠α就转化到直角三角形MDH与MAH中,然后根据已知条件进行求解即可.(2)本题要分三种情况即:ND=NA,DN=DA,AN=AD进行讨论.解答:解:(1)①证明:∵四边形ABCD就是菱形,∴AB=AD,∠1=∠2.又∵AN=AN,∴△ABN≌△ADN(SAS).②作MH⊥DA交DA得延长线于点H.由AD∥BC,得∠MAH=∠ABC=60°.在Rt△AMH中,MH=AM•sin60°=4×sin60°=2.∴点M到AD得距离为2.∴AH=2.∴DH=6+2=8.在Rt△DMH中,tan∠MDH=,由①知,∠MDH=∠ABN=α,∴tanα=;(2)∵∠ABC=90°,∴菱形ABCD就是正方形.∴∠CAD=45°.下面分三种情形:(Ⅰ)若ND=NA,则∠ADN=∠NAD=45°.此时,点M恰好与点B重合,得x=6;(Ⅱ)若DN=DA,则∠DNA=∠DAN=45°.此时,点M恰好与点C重合,得x=12;(Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠1=∠4,又∠2=∠3,∴∠3=∠4.∴CM=CN.∵AC=6.∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6.故x=12﹣CM=12﹣(6﹣6)=18﹣6.综上所述:当x=6或12或18﹣6时,△ADN就是等腰三角形.点评:本题考查了等腰三角形得判定,全等三角形得判定,菱形得性质,正方形得性质等知识点,注意本题(2)中要分三种情况进行讨论,不要丢掉任何一种情况.15.(2005•嘉兴)有一种汽车用“千斤顶”,它由4根连杆组成菱形ABCD,当螺旋装置顺时针旋转时,B、D两点得距离变小,从而顶起汽车.若AB=30,螺旋装置每顺时针旋转1圈,BD得长就减少1.设BD=a,AC=h,(1)当a=40时,求h值;(2)从a=40开始,设螺旋装置顺时针方向旋转x圈,求h关于x得函数解析式;(3)从a=40开始,螺旋装置顺时针方向连续旋转2圈,设第1圈使“千斤顶”增高s1,第2圈使“千斤顶”增高s2,试判定s1与s2得大小,并说明理由;若将条件“从a=40开始”改为“从某一时刻开始”,则结果如何,为什么？考点: 菱形得性质;勾股定理.专题: 应用题;压轴题.分析:(1)根据菱形得两条对角线垂直且平分得性质,然后根据勾股定理,即可求出h值.(2)首先知道螺旋装置顺时针方向旋转得圈数与BD之间得关系,然后用勾股定理,就可求出h与x之间得函数关系.(3)此问首先要搞清楚增高得s就是指AC增高了s,根据第2问得函数关系进行推算,就可知道s1与s2得大小关系.解答:解:(1)连AC交BD于O,∵ABCD为菱形,∴∠AOB=90°,OA=,OB=20,(3分)在Rt△AOB中,∵AO2+BO2=AB2,即()2+202=302,∴h=20;(2分)(2)从a=40开始,螺旋装置顺时针方向旋转x圈,则BD=40﹣x,(2分)∴()2+()2=302,∴h=;(2分)(3)结论:s1＞s2.在中,令x=0得,h0=≈44、721;令x=1得,h1=≈45、596;令x=2得,h2=≈46、435;∴s1=h1﹣h0≈0、88,s2=h2﹣h1≈0、84,∴s1＞s2;(3分)也可以如下比较s1、s2得大小:∵==而79＞77,∴s1＞s2;(3分)若将条件“从a=40开始”改为“从任意时刻开始”,则结论s1＞s2仍成立.∵,,而2a﹣1＞2a﹣3,∴s1＞s2.(2分)点评:菱形得性质就是中考常见得一个考点,将其与勾股定理综合使用,就是解决相似题型得常用方法.()(1)画出符合题目条件得菱形与直角坐标系.(2)写出A,B两点得坐标.(3)设菱形ABCD得对角线得交点为P,问:在y轴上就是否存在一点F,使得点P与点F关于菱形ABCD得某考点: 菱形得性质;坐标与图形性质.专题: 压轴题;分类讨论.分析:(1)本题可分两种情况,如图;(2)过C作CF⊥y轴于F,∠CDF=60°,CF=2,因此DF=2,CD=4.因此OA=OF﹣AF=8﹣(4+2)=2,因此A点坐标为(0,2).由于菱形得边长为4,因此将C点坐标向下平移4个单位就就是B点得坐标(2,4);(3)在(2)中所作得F点其实就就是P点关于CD得对称点,理由:根据菱形得性质可知:∠FAC=30°,因此在直角三角形FAC中,FC=AC=PC,而∠DCF=∠DCP=30°,因此△CFE≌△CPE,因此CD垂直平分PF,即可得出P、F关于CD对称.解答:解:本题有两种情况:第一种情况:(1)画图,如图所示.(2)过C作CF⊥y轴于F,∠CDF=60°,CF=2,∵tan60°==,=,∴DF=2,CD=4.因此OA=OF﹣AF=8﹣(4+2)=2,因此A点坐标为(0,2).由于菱形得边长为4,因此将C点坐标向下平移4个单位就就是B点得坐标(2,4);则A(0,2),B(2,4).(3)F(0,8);第二种情况:(1)画图,如图所示.(2)A′(0,14),B′(2,12)(3)F′(0,8).点评:本题主要考查了菱形得性质、坐标与图形得性质、轴对称图形等知识点.17.(2001•河北)如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠BAD=60度.点M从点A以每秒1个单位长得速度沿着AD 边向点D移动;设点M移动得时间为t秒(0≤t≤10).(1)点N为BC边上任意一点,在点M移动过程中,线段MN就是否一定可以将菱形分割成面积相等得两部分并说明理由;(2)点N从点B(与点M出发得时刻相同)以每秒2个单位长得速度沿着BC边向点C移动,在什么时刻,梯形ABNM得面积最大并求出面积得最大值;(3)点N从点B(与点M出发得时刻相同)以每秒a(a≥2)个单位长得速度沿着射线BC方向(可以超越C点)移动,过点M作MP∥AB,交BC于点P.当△MPN≌△ABC时,设△MPN与菱形ABCD重叠部分得面积为S,求出用t表示S得关系式,井求当S=0时得值.考点: 菱形得性质;二次函数得最值;全等三角形得性质.专题: 压轴题.分析:(1)菱形被分割成面积相等得两部分,那么分成得两个梯形得面积相等,而两个梯形得高相等,只需上下底得与相等即可.(2)易得菱形得高,那么用t表示出梯形得面积,用t得最值即可求得梯形得最大面积.(3)易得△MNP得面积为菱形面积得一半,求得不重合部分得面积,让菱形面积得一半减去即可.解答:解:(1)设:BN=a,CN=10﹣a(0≤a≤10)因为,点M从点A以每秒1个单位长得速度沿着AD边向点D移动,点M移动得时间为t秒(0≤t≤10) 所以,AM=1×t=t(0≤t≤10),MD=10﹣t(0≤t≤10).所以,梯形AMNB得面积=(AM+BN)×菱形高÷2=(t+a)×菱形高÷2;梯形MNCD得面积=(MD+NC)×菱形高÷2=[(10﹣t)+(10﹣a)]×菱形高÷2当梯形AMNB得面积=梯形MNCD得面积时,即t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)所以,当t+a=10,(0≤t≤10),(0≤a≤10)时,可出现线段MN一定可以将菱形分割成面积相等得两部分.(2)点N从点B以每秒2个单位长得速度沿着BC边向点C移动,设点N移动得时间为t,可知0≤t≤5,因为AB=10,∠BAD=60°,所以菱形高=5,AM=1×t=t,BN=2×t=2t.所以梯形ABNM得面积=(AM+BN)×菱形高÷2=3t×5×=t(0≤t≤5).所以当t=5时,梯形ABNM得面积最大,其数值为.(3)当△MPN≌△ABC时,则△ABC得面积=△MPN得面积,则△MPN得面积为菱形面积得一半为25;因为要全等必有MN∥AC,∴N在C点外,所以不重合处面积为×(at﹣10)2×∴重合处为S=25﹣,当S=0时,即PM在CD上,∴a=2.点评:本题考查了菱形以及相应得三角函数得性质,注意使用两条平行线间得距离相等等条件.三.解答题(共14小题)10.(2010•河源)如图,△ABC中,点P就是边AC上得一个动点,过P作直线MN∥BC,设MN交∠BCA得平分线于点E,交∠BCA得外角平分线于点F.(1)求证:PE=PF;(2)当点P在边AC上运动时,四边形AECF可能就是矩形吗？说明理由;(3)若在AC边上存在点P,使四边形AECF就是正方形,且.求此时∠BAC得大小.考点: 菱形得判定;平行线得性质;正方形得判定.专题: 几何综合题;压轴题.分析:(1)可证明PE=PC,PF=PC,从而得到PE=PF;(2)由一对邻补角得平分线互相垂直,得出∠ECF=90°,故要使四边形AECF就是矩形,只需四边形AECF就是平行四边形即可.由(1)知PE=PF,则点P运动到AC边中点时,四边形AECF就是矩形.(3)由正方形得对角线相等且互相垂直,可知AC⊥EF,AC=2AP.又EF∥BC,得出AC⊥BC,在直角△ABC中,根据锐角三角函数得定义及特殊角得三角函数值求出∠A得大小.解答:(1)证明:∵CE平分∠BCA,∴∠BCE=∠ECP,又∵MN∥BC,∴∠BCE=∠CEP,∴∠ECP=∠CEP,∴PE=PC;同理PF=PC,∴PE=PF;(2)解:当点P运动到AC边中点时,四边形AECF就是矩形.理由如下:由(1)可知PE=PF,∵P就是AC中点,∴AP=PC,∴四边形AECF就是平行四边形.∵CE、CF分别平分∠BCA、∠ACD,且∠BCA+∠ACD=180°,∴∠ECF=∠ECP+∠PCF=(∠BCA+∠ACD)=×180°=90°,∴平行四边形AECF就是矩形;(3)解:若四边形AECF就是正方形,则AC⊥EF,AC=2AP.∵EF∥BC,∴AC⊥BC,∴△ABC就是直角三角形,且∠ACB=90°,∴tan∠BAC===,∴∠BAC=30°.点评:此题综合考查了平行线得性质,等腰三角形得判定,矩形得判定,正方形得性质,锐角三角函数得定义及特殊角得三角函数值等知识点,难度较大.17.(2007•潍坊)已知等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC交BC于D点,在线段AD上任取一点P(A点除外),过P点作EF∥AB,分别交AC,BC于E,F点,作PM∥AC,交AB于M点,连接ME.(1)求证:四边形AEPM为菱形;(2)当P点在何处时,菱形AEPM得面积为四边形EFBM面积得一半？考点: 菱形得判定;等腰三角形得性质;平行四边形得性质.专题: 几何综合题;压轴题.分析:(1)有一组邻边相等得平行四边形为菱形,在本题中,可证出四边形AEPM为平行四边形,关键就是找一组邻边相等,∵AD平分∠BAC再者PE∥AM所以可证∠EAP=∠EPA即AE=EP,所以为菱形;(2)S菱形AEPM=EP•h,S平行四边形EFBM=EF•h,若菱形AEPM得面积为四边形EFBM面积得一半,则EP=EF,所以,P为EF中点时,S菱形AEPM=S四边形EFBM.解答:(1)证明:∵EF∥AB,PM∥AC,∴四边形AEPM为平行四边形.∵AB=AC,AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,∵AD⊥BC(三线合一得性质),∵∠BAD=∠EPA,∴∠CAD=∠EPA,∵EA=EP,∴四边形AEPM为菱形.(2)解:P为EF中点时,S菱形AEPM=S四边形EFBM∵四边形AEPM为菱形,∴AD⊥EM,∵AD⊥BC,∴EM∥BC,又∵EF∥AB,∴四边形EFBM为平行四边形.作EN⊥AB于N,则S菱形AEPM=EP•EN=EF•EN=S四边形EFBM.点评:此题主要考查了菱形得判定,以及平行四边形得性质,题型比较新颖.。

中考数学菱形试题及答案

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中考数学菱形试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是菱形的性质？A. 对角线互相垂直B. 四边相等C. 对角线平分一组对角D. 所有内角都是直角答案：D2. 菱形的对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积相等吗？A. 是B. 不是答案：A二、填空题3. 若菱形的边长为5厘米，其对角线长度分别为d1厘米和d2厘米，根据菱形的性质，d1² + d2² = __________。

答案：254. 菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，那么对角线AC的长度为__________。

答案：6√3厘米三、解答题5. 如图所示，菱形ABCD中，E是边AB上的一点，且AE=2厘米，EB=4厘米。

求证：△AED≅△ECB。

证明：∵ ABCD是菱形∴ AB=AD，∠A=∠D又∵ AE=2厘米，EB=4厘米∴ AB=AE+EB=6厘米∴ AD=6厘米在△AED和△ECB中，{AD=AB{∠A=∠C{AE=CB∴ △A ED≅△ECB（SAS）6. 已知菱形ABCD的周长为20厘米，对角线AC的长度为6厘米，求菱形的面积。

解：∵ 菱形ABCD的周长为20厘米∴ AB=5厘米（因为四边相等）设对角线BD与AC相交于点O，由于菱形的对角线互相平分，所以AO=OC=3厘米根据勾股定理，可得：BO² = AB² - AO² = 5² - 3² = 16∴ BO = 4厘米菱形的面积= (AC × BO) / 2 = (6 × 4) / 2 = 12平方厘米四、计算题7. 菱形PQRS的边长为x厘米，对角线PR和QS的长度分别为10厘米和8厘米。

求菱形PQRS的面积。

解：设对角线PR和QS相交于点O，根据菱形的性质，O是PR和QS的中点。

∴ OP = PR / 2 = 5厘米，OQ = QS / 2 = 4厘米在△OPQ中，根据勾股定理：OQ² + PQ² = OP²4² + x² = 5²16 + x² = 25x² = 9x = 3厘米（取正值）菱形PQRS的面积= (PR × QS) / 2 = (10 × 8) / 2 = 40平方厘米注意：以上试题及答案仅供参考，实际中考试题可能会有所不同。

中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案)

中考数学复习《菱形》专项提升训练(附答案) 学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.菱形不具备的性质是( )A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.对角线互相垂直D.对角线一定相等2.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A.AB∥DCB.AC=BDC.AC⊥BDD.OA=OC3.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A.28°B.52°C.62°D.72°4.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（）A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：15.如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD=60°，则花坛对角线AC 的长等于（）A.63米B.6米C.33米D.3米6.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH的长等于( )A.4.5B.5C.6D.97.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( )A.△EGH为等腰三角形B.△EHF为等腰三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EGF为等边三角形8.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A.①③B.②③C.③④D.①②③9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN 分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF，则可以得到四边形AEDF的形状( )A.仅仅只是平行四边形B.是矩形C.是菱形D.无法判断10.已知：顺次连结矩形各边的中点，得到一个菱形，如图1；再顺次连结菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图2；然后顺次连结新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图3；如此反复操作下去，则第2 024个图形中直角三角形的个数有( )A.4 048个B.4 046个C.2 024个D.2 023个二、填空题11.如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形(只需添加一个即可)12.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).13.如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是.14.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是________cm2.15.如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A﹣＞B ﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞C﹣＞G﹣＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2025米停下，则这个微型机器人停在点.16.如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的顶点D(3，2)，点P对角线OC上的一个动点，已知A(-1，0)，则AP+BP的最小值是__________.三、解答题17.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．18.如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.19.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE＝DF，∠A＝∠D，AB＝DC.(1)求证：四边形BFCE是平行四边形;(2)若AD＝10，DC＝3，∠EBD＝60°，则当BE＝______时，四边形BFCE是菱形.20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.21.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N.(1)请你判断OM和ON的数量关系，并说明理由；(2)过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，当AB＝6，AC＝8时，求△BDE的周长.22.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH. 求证：∠DHO＝∠DCO.23.(1)如图,纸片▱ABCD中,AD=5,S=15.过点A作AE⊥BC,垂足为E,沿AE剪下△ABE,▱ABCD将它平移至△DCE'的位置,拼成四边形AEE'D,则四边形AEE'D的形状为( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形(2)如图,在(1)中的四边形纸片AEE/D中,在EE/上取一点F,使EF=4,剪下△AEF,将它平移至△DE/F/的位置,拼成四边形AFF/D.①求证:四边形AFF'D是菱形;②求四边形AFF'D的两条对角线的长.图1 图224.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6.(1)实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF.(2)推理计算：四边形BFDE的面积为.参考答案1.D.2.B3.C4.B.5.A.6.A.7.D.8.A9.C10.A.11.答案为：OA＝OC.12.答案为：菱形．13.答案为：(－5，4).14.答案为：16.15.答案为：B.16.答案为：2 5.17.证明；(1)∵△ABC≌△ABD∴∠ABC＝∠ABD∵CE∥BD∴∠CEB＝∠DBE∴∠CEB＝∠CBE．(2)∵△ABC≌△ABD∴BC＝BD∵∠CEB＝∠CBE∴CE＝CB∴CE＝BD∵CE∥BD∴四边形CEDB是平行四边形∵BC＝BD∴四边形CEDB是菱形．18.证明：(1)∵DE∥AC，∠ADE＝∠DAF，同理∠DAE＝∠FDA ∵AD＝DA∴△ADE≌△DAF∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形∵DE∥AC，DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形∴∠DAF＝∠FDA.∴AF＝DF.∴平行四边形AEDF为菱形.19.证明：(1)∵AB＝DC∴AB＋BC＝DC＋BC∴AC＝DB.在△AEC和△DFB中AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF∴△AEC≌△DFB(SAS)∴EC＝BF，∠ACE＝∠DBF.∴EC∥BF∴四边形BFCE是平行四边形.(2)4.当四边形BFCE是菱形时，BE＝CE∵AD＝10，AB＝CD＝3∴BC＝10﹣3﹣3＝4∵∠EBD＝60°∴BE＝BC＝4∴当BE＝4时，四边形BFCE是菱形.20.(1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠COD＝90°∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝4∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2 3∴在△ACE中，AE＝27.21.解：(1)∵四边形ABCD是菱形∴AD∥BC，AO＝OC∴OM＝ON.(2)∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，AD＝BC＝AB＝6∴BO＝2 5∴BD＝2OB＝4 5∵DE∥AC，AD∥CE∴四边形ACED是平行四边形∴DE＝AC＝8∴△BDE的周长是：BD＋DE＋BE＝BD＋AC＋(BC＋CE)＝45＋8＋(6＋6)＝20＋4 5. 即△BDE的周长是20＋ 5.22.证明：∵四边形ABCD是菱形∴OD＝OB，∠COD＝90°.∵DH⊥AB于H∴∠DHB＝90°.在Rt△DHB中，OH＝OB∴∠OHB＝∠OBH.又∵AB∥CD∴∠OBH＝∠ODC.∴∠OHB＝∠ODC.在Rt△COD中，∠ODC＋∠OCD＝90°在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°∴∠DHO＝∠DCO.23.解：(1)C.=15,AE⊥BC,∴AE=3.(2)①证明:∵AD=BC=5,S▱ABCD如图,∵EF=4,∴在Rt△AEF中,AF=5.∴AF=AD=5.又△AEF经平移得到△DE'F'∴AF∥DF',AF=DF'∴四边形AFF'D是平行四边形.又AF=AD,∴四边形AFF'D是菱形.②如图,连接AF',DF.在Rt△DE'F中,∵E'F=E'E-EF=5-4=1,DE'=3,∴DF=10.在Rt△AEF'中,∵EF'=E'E+E'F'=5+4=9,AE=3,∴AF'=310. ∴四边形AFF'D的两条对角线长分别为10,310.24.解：(1)如图，DE、DF为所作；(2)∵∠C=90°，∠A=30°∴∠ABC=60°，AB=2BC=12∵BD为∠ABC的角平分线∴∠DBC=∠EBD=30°∵EF垂直平分BD∴FB=FD，EB=ED∴∠FDB=∠DBC=30°，∠EDB=∠EBD=30°∴DE∥BF，BE∥DF∴四边形BEDF为平行四边形而FB=FD∴四边形BEDF为菱形在Rt△ADE中，DE=AE而AE=AB﹣BE∴12﹣BE=BE，解得BE=8在Rt△BDC中，CD=BC=2∴四边形BFDE的面积=×8×2=8.。

数学菱形试题讲解及答案

数学菱形试题讲解及答案

数学菱形试题讲解及答案一、选择题1. 菱形的对角线互相垂直平分，以下哪个选项不是菱形的性质？A. 四条边相等B. 对角线互相垂直C. 对角线互相平分D. 对角线相等答案：D2. 已知菱形的一条对角线长为6cm，另一条对角线长为8cm，那么菱形的面积是多少？A. 24cm²B. 18cm²C. 12cm²D. 16cm²答案：B二、填空题3. 菱形的对角线互相垂直平分，如果一条对角线长为10cm，另一条对角线长为8cm，则菱形的面积为____cm²。

答案：404. 菱形的周长为20cm，若一条对角线长为6cm，则另一条对角线长为____cm。

答案：8三、解答题5. 已知菱形ABCD，其中AB=BC=CD=DA=4cm，对角线AC=6cm，求对角线BD的长度。

解：由于菱形的对角线互相垂直平分，所以可以将菱形ABCD分为四个等腰直角三角形。

设对角线BD的一半为x，则根据勾股定理，我们有：(6/2)² + x² = 4²9 + x² = 16x² = 7x = √7所以，对角线BD的长度为2√7cm。

6. 已知菱形ABCD的周长为32cm，对角线AC=16cm，求菱形的面积。

解：由于菱形的四条边相等，所以每条边长为32cm/4=8cm。

设对角线BD的一半为y，则根据菱形的性质，我们有：(8/2)² + y² = (16/2)²16 + y² = 64y² = 48y = 4√3所以，对角线BD的长度为8√3cm。

菱形的面积为：面积= (AC × BD) / 2 = (16 × 8√3) / 2 = 64√3 cm²。

四、证明题7. 证明：菱形的对角线互相垂直平分。

证明：设菱形ABCD，对角线AC和BD相交于点O。

由于菱形的对边平行且相等，所以三角形ABC和BCD是全等的。

《菱形》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

《菱形》复习巩固基础提高知识点讲解及练习题解析

菱形（基础）巩固练习【巩固练习】一.选择题1．（2015•潍坊模拟）下列说法中，错误的是（ ）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形2．顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得四边形是( )A.矩形B.平行四边形C．菱形 D.任意四边形3．如图，在菱形ABCD 中，E、F 分别是AB、AC 的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.164.如图，在菱形ABCD 中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC 的周长等于（ ）A．20 B．15 C．10 D．55.如图，在菱形ABCD 中，AC、BD 是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC 等于（ ）A．40° B．50° C．80° D．100°6．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为( )A.1B. 2C.D. 二.填空题7．已知菱形的周长为40，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为23cm______．8．（2015•南充）如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为cm ，则对角线AC 长和BD长之比为 .9. 已知菱形ABCD 两对角线AC ＝ 8, BD ＝ 6, 则菱形的高为________.10.如图，P 是菱形ABCD 对角线BD 上一点，PE⊥AB 于点E，PE＝4，则点P 到BC 的距离是____.11. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D 作DE∥AC交BC 的延长线于点E，则△BDE 的周长为_____.12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点B 的坐标为（8，4），则C 点的坐标为_______.三.解答题13．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB＋PE 的最小值是，求AB 的值．14．如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别为边AB，CD 的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．cm cm cm cm cm 315（2015春•泰安校级期中）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；2.【答案】C；3.【答案】D；【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.4.【答案】B；【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD 是菱形，∴BA=BC，∴△ABC 是等边三角形，故可得△ABC 的周长=3AB=15．5.【答案】C；【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD ＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．6.【答案】D；【解析】∠DAF＝∠FAO＝∠OAE＝30°，所以.二.填空题7.【答案】；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为.8．【答案】1：；【解析】如图，设AC，BD 相较于点O ，123=∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ，∴AC ：BD=1：．9.【答案】； 【解析】菱形的边长为5，面积为 ，则高为.10.【答案】4；【解析】在菱形ABCD 中，BD 是∠ABC 的平分线，∵PE⊥AB 于点E，PE＝4，∴点P到BC 的距离＝PE＝4．11.【答案】60；【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB 中利用勾股定理求出OB＝12，BD＝2OB＝24，DE＝2OC＝10，BE＝2BC＝26，△BDE 的周长为60．12.【答案】（3,4）；【解析】过B 点作BD⊥OA 于D，过C 点作CE⊥OA 于E，BD＝4，OA＝，AD＝8－，，解得，所以OE＝AD＝8－5＝3，C点坐标为（3,4）.三.解答题13.【解析】解：∵∠ABC＝120°∴∠BCD＝∠BAD＝60°；∵菱形ABCD 中， AB＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE⊥AB连接DE ，DE 与AC交于P ，PB＝PD ；DE 的长就是PB＋PE 的最小值；设AE＝，AD＝，，AB＝.14.【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD⊥BD，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，245cm 168242⨯⨯=245cm cm cm x x ()22284x x =-+5x =3x 2x ==1x =22x =∵E 为AB 的中点，∴DE＝AB＝BE，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵F 为DC 中点，E为AB 中点，∴DF＝DC，BE＝AB，∴DF＝BE，DF∥BE，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE＝EB，∴四边形BFDE 是菱形．15.【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=AC ，∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴DF=AC ，∴BD=DF ；（2）证明：∵BD=DF ，∴四边形BGFD 是菱形，（3）解：设GF=x ，则AF=13﹣x ，AC=2x ，∵在Rt △ACF 中，∠CFA=90°，∴AF 2+CF 2=AC 2，即（13﹣x ）2+62=（2x ）2，解得：x=5，∴四边形BDFG 的周长=4GF=20．121212菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC 于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A. B.4 C.1 D.2【答案】C；提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于×2＝1.类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形．∵ CD 平分∠ACB，∴ ∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD，分别交AB 于E，交AC 于F，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF 是菱形，理由如下：∵ EF 垂直平分AD，∴ △AOF 与△DOF 关于直线EF 成轴对称．2112∴ ∠ODF＝∠OAF，又∵ AD 平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴ ∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴ 四边形AEDF 是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF 的对角线AD、EF 互相垂直平分．∴AEDF 是菱形．3、如图所示，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，CE 平分∠ACD，交AD 于点G，交AB 于点E，EF⊥BC 于点F． 求证：四边形AEFG 是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE ＝EF ，欲证四边形AEFG 是菱形，只要再证四边形AEFG 是平行四边形或AG ＝GF ＝AE 即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE 平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵ ∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴ 四边形AEFG 是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴ 四边形AEFG 是菱形．方法二：∵ CE 平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴ ∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴ ∠4＝∠5．∴ ∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG 和△FEG 中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴ △AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴ 四边形AEFG 是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD 中，E、F 分别为边AB、CD 的中点，BD 是对角线，过A 点作AG∥DB 交CB 的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF 是菱形．【答案】证明：(1)ABCD 中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F 分别为AB、CD 的中点 ∴DF＝DC，BE＝AB ∴ DF∥BE．DF＝BE ∴ 四边形DEBF 为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴ ∠G＝∠DBC＝90°∴ △DBC 为直角三角形又∵ F 为边CD 的中点．∴ BF＝DC＝DF 又∵ 四边形DEBF 为平行四边形∴ 四边形DEBF 是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3，宽0.2的矩形瓷砖，E 、F 、G 、H 分别为矩形四边BC、CD、DA、AB 的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 ，宽2.8的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2，宽2.8，矩形瓷砖长0.3，宽0.2，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，121212m m m m m m m m不要忽略周围图形的拼接．菱形（提高）巩固练习【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°3．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm4. （2015•青神县一模）如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB 的度数是（ ）A.108°B.72°C.90°D.100°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为142cm ，四边形ABCD 面积是112cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）A.48cmB.36cmC.24cmD.18cm6. 如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（ ）F A BC D H E G①②③④⑤二.填空题7. （2015•江西三模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点， 且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______ 2cm.10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. （2015•建湖县一模）如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC ，∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B ．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋142＝18，设菱形边长为a ,则218,62a a ==，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A；【解析】阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD 面积－△DEF面积－△BGF 面积＝+=.二.填空题7.【答案】． ；【解析】∵AECF 为菱形，∴∠FCO=∠ECO ，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE ，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt △EBC 中，EC=2EB ，又EC=AE ，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】.10.【答案】5；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为152⨯⨯=11.【答案】512； 【解析】431255AO BO OH AB ⨯⨯===.12.【答案】()258,0,,08⎛⎫ ⎪⎝⎭；【解析】由在菱形ABCD 中，AC＝12，BD＝16，E 为AD 中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP＝OE 时，②当OE＝PE 时，③当OP＝EP 时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵△ACF 是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF ，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC ，∴AF ∥BC ，∵AM ∥FC ，∴四边形AMCF 是平行四边形，∵AM ∥FC ，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC 是等边三角形，∴AM=MC ，∴四边形AMCF 是菱形；（2）∵△BCE 是等边三角形，∴BC=EC ，在△ABC 和△MEC 中∵，∴△ABC ≌△MEC （SAS ）．14.【解析】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF 是菱形.15．【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB CDE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF的边长＜222S ≤<S ≤<菱形（提高）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵ 四边形ABCD 是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵ ∠B＝60°，∴ △ABC 是等边三角形．∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴ ∠ACF＝∠B＝60°．又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴ △AEF 为等边三角形．∴ ∠AEF＝60°．又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴ ∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD 是菱形，过AB 的中点E 作AC 的垂线EF，交AD 于点M，交CD 的延长线于点F．(1)求证：AM＝DM；(2)若DF＝2，求菱形ABCD 的周长．【答案与解析】证明：(1)连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E 是AB 的中点，所以点M 是AD 的中点．所以AM＝DM．(2)由(1)得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB 是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为12BE AB ，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD 的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分.举一反三：【变式】（2015春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、（2014春•郑州校级月考）如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF．∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴BE＝CF．∴CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．。

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菱形复习中难题含答案1．菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2．菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3．菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半（★★）若菱形的一条对角线与边的夹角为25°，则这个菱形各内角的度数为．【答案】50°、130°、50°、130°．（★★）1．菱形ABCD的周长为20，两对角线长3：4，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）2．如图，E、F分别为菱形ABCD中BC、CD边上的点，△AEF是等边三角形，且AE=AB，求∠B和∠C的度数．FEDCBA【答案】利用三角形内角和180度和同旁内角互补来解决问题，易得∠B=80°和∠C=100°．（★★）菱形的两条对角线与各边一起围成三角形中，共有全等的等腰三角形的对数是．【答案】4．（★★）用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）．A．一组临边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形DCBA（★★★）若菱形一边上的高的垂足是这边的中点，则这个菱形的最大内角是．答案：120°．（★★★）1．菱形的对称轴共有条．【答案】2．2．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2-2mx+4（m-1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．【答案】先解方程求得两根分别为2和（2m-2），再根据周长为20求得m的值为5．（★★★）3．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为．【答案】24．（★★）下列命题错误的有（填写序号）．①菱形四个角都相等．②对角线互相垂直且相等的四边形是矩形．③对角线互相垂直且相等的四边形是菱形．④对角线互相平分，且每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．【答案】①②③．（★★）1．已知四边形ABCD中，过点A、C分别作BD的平行线，过点B、D分别作AC的平行线，如果所作的四条直线围成一个菱形，则四边形ABCD必须是（）A．矩形B．菱形C．AC=BD的任意四边形D．平行四边形【答案】C（★★）2．（1）用两个边长为a的等边三角形拼成的是形．（2）用两个全等的等腰三角形拼成的是形．（3）用两个全等的直角三角形拼成的是形．【答案】（1）菱形；（2）菱形和平行四边形；（3）矩形和平行四边形．（★★）如图，在△ABC中，AB=AC，M点是BC的中点，MG⊥AB于点G，MD⊥AC于点D，GF⊥AC于点F,DE⊥AB于点E，GF与DE相交于点H，求证：四边形GMDH是菱形．HDMFEGCBA【答案】证明：先证明四边形GMDH是平行四边形，利用等腰三角形底边中点到两腰的距离相等得出四边形GMDH是菱形．（★★）在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AD、DC边上的点，∠EBF=60°．（1）判定△BEF的形状；（2）证明你的结论．D FECBA【答案】联结BD，易证ABE DBF≅△△，故BEF△是等边三角形．（★★★）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从(1)AB=CD；(2)AB∥CD；(3)OA=OC；(4)OB=OD；(5)AC⊥BD；(6)AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形。

如(1)(2)(5)⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：________⇒ABCD是菱形；________⇒ABCD是菱形。

【答案】（1）（2）（6）或（3）（4）（5）或（3）（4）（6）（★★★）□ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①AC⊥BD；②AB=BC；③AC平分∠BAD ④AO=DO，使得□ABCD是菱形的条件有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C．（★★★）下列图形中，不一定为菱形的是（）．A．两条对角线互相垂直平分的四边形B．四条边都相等的四边形C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形D．用两个边长相等的等边三角形拼成的图形【答案】D．（★★★）1．如图，在ABC△中，点E D F，，分别在边AB，BC，CA上，且DE CA∥，DF BA∥．下列四个判断中，不正确．．．的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果90BAC∠=，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分BAC∠，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD BC⊥且AB AC=，那么四边形AEDF是矩形【答案】D．（★★★）2．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．OEFCBAＡＦＣＤＥ【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OB，AB∥CD ,∴∠E＝∠F，∵∠DOE＝∠BOF∴△DOE≌△BOF ．(2)当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定定理即可证明．1．熟练掌握菱形的概念、性质和判定是解题的关键，也是区别矩形、正方形的基础．2．几何证明需要读题仔细，挖掘隐含的结论从而推导结论．3．要想真正学好四边形，需要一定的练习量才能产生质变．1．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）．A．AC⊥BD，AC与BD互相平分B．AB=BC=CD=DAC．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD2．已知点A、B、C、D在同一平面内，下面列有6个条件：①AB∥CD，②AB=CD，③BC∥CD，④BC=AD，⑤AC⊥BD，⑥AC平分∠DAB与∠DCB．从这6个条件中选出（直接填写序号）___________3个，能使四边形ABCD是菱形．3．已知：如图，在ABCD中，O为AC的中点，过点O作AC的垂线，与AD、BC相交于点E、F，求证：四边形AFCE是菱形．4．已知：如图，在ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点E，EF∥AB，与AD相交于点F，求证：四边形ABEF是菱形．5．如图，将一X矩形纸片ABCD先折出一条对角线AC，再将点A与点C重合折出折痕EF，OBACE DFBACEDF最后分别沿AE 、CF 折叠．得到的四边形AECF 是什么样的四边形？试证明你的猜想．与第3题对照，你有什么发现？6．结合所给的图形，编一道几何证明题，证明四边形AEDF 是菱形．并利用所给的条件，写出“已知”“求证”和“证明”的过程．7．已知：如图，四边形ABCD 是菱形，∠ABC=30°，求证：BD AC AB ⋅=2．8．已知，如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC 交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N ．求证：四边形AMNE 是菱形．BACE DFBA CEDF BAD答案： 1．C 2．（答案不惟一，只要正确即可）①②⑤或③④⑤等． 3．可证出△AEO ≌△CFO ，得AE=CF ．再由AC 是EF 的垂直平分线，得EC=EA ，AF=CF ． 由此得EC=AF=CF ，所以四边形AFCE 是菱形．4．先证四边形ABEF 是平行四边形，再由AE 平分∠BAF ，•得∠FAE=•∠BAE ． 又由∠FAE=∠AEB ，得∠BAE=∠BEA ，所以AB=BE ，所以ABEF 是菱形． 5．四边形AECF 是菱形，无论原图形是什么图形，只要能得到平行四边形， 在此基础上满足“对角线相互垂直”，该平行四边形就一定是菱形． 6．（答案不惟一，只要合理，符合题意即可）略．7. 过点C 作CE ⊥BA ，垂足为E ．在Rt △BEC 中，∠ABC=30°，∴BC EC 21=，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB EC 21=．22121AB AB AB EC AB S =⋅=⋅=菱形．又∵BD AC S ⋅21菱形，∴BD AC AB ⋅=2．8.证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDA=90°，∵∠BAC=90°， ∴∠ABC+∠C=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C ， ∵AN 平分∠DAC ，∴∠CAN=∠DAN ，∵∠BAN=∠BAD+∠DAN ，∠BNA=∠C+∠CAN ，∴∠BAN=∠BNA ， ∵BE 平分∠ABC ，∴BE ⊥AN ，OA=ON ，同理：OM=OE ，∴四边形AMNE 是平行四边形，∴四边形AMNE 是菱形。

知识结构菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的性质：1、菱形具有平行四边形的所有性质：2、菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等．菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的对称性菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等与对角线乘积的一半菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（定义作为第一判定）四条边相等的四边形是菱形．对角线互相垂直的平行四边形是菱形一、菱形的性质例题1菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角为（）(★★)A．60°B．45°C．30°D．15°解答方法：菱形的周长为边长的4倍，又∵菱形周长为高的8倍，∴AB=2AE，∵△ABE为直角三角形，∴∠ABC=30°．故选C．答案：C本题考查了菱形各边长相等的性质，考查了直角三角形中的特殊角，本题中根据特殊角求得∠ABC=30°是解题的关键．我来试一试！菱形的一条对角线与边长相等，则菱形中较小的内角是（ ）(★★) A ． 60°B ． 15°C ． 30°D ． 90°解答方法：因为菱形的一条对角线与边长相等，所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°． 解答：A如果菱形的周长等于一条对角线长的4倍，那么这个菱形较小的一个内角等于度．(★★) 解答方法：∵菱形的周长等于一条对角线长的4倍， ∴AB=BD=AD ，∴△ABD 是等边三角形， ∴∠A=60°．即这个菱形较小的一个内角等于60°． 解答：60例题2已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E ．求证：∠AFD=∠CBE ． (★★)答案：证明：∵ 四边形ABCD 是菱形， ∴BCD CA CD CB ∠=平分,．∴CE CE DCE BCE =∠=∠又., ∴△BCE ≌△COB （SAS ）． ∴∠CBE=∠CDE ．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．通过菱形的基本性质可以得到三角形全等，进而推出对应角相等，然后利用平行内错角相等进行转化即可得到要证明的结论。

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