第1讲平行线动点问题-尖子班
平行线动点问题的解题技巧
平行线动点问题的解题技巧平行线动点问题是初中数学中常见的一种几何题型，也是高中数学中的重要考点之一。
这类问题常涉及到平行四边形、三角形等图形，需要运用多种定理和方法进行解题。
本文将从以下几个方面详细介绍平行线动点问题的解题技巧。
一、基本概念在介绍解题技巧之前，我们首先需要了解一些基本概念。
平行线指在同一个平面内不相交的两条直线，它们的斜率相等；动点指随着某种规律不断运动的点。
在平行线动点问题中，我们通常需要确定某个动点在运动过程中所处的位置或满足什么条件时两直线之间的距离最短等。
二、解题思路对于平行线动点问题，我们可以采用以下步骤进行分析和求解：1.画图：根据题目所给条件画出图形，并标出所需求的点或长度。
2.列出已知和未知量：根据图形标注出已知量和未知量，并列出方程或条件式。
3.确定关系式：利用几何定理或代数方法推导出各个量之间的关系式。
4.代入求解：将已知量代入关系式中，求解未知量。
三、常用定理和方法1.平行线的性质：平行线在同一平面内，它们的斜率相等。
2.三角形内角和定理：任何一个三角形的三个内角之和等于180度。
3.全等三角形的性质：两个全等的三角形对应边长相等，对应角度相等。
4.相似三角形的性质：两个相似的三角形对应边长成比例，对应角度相等。
5.勾股定理：直角三角形斜边上的正方形面积等于两腰上各自正方形面积之和。
6.垂线定理：在平面直角坐标系中，点(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离为|Ax+By+C|/√(A²+B²)。
7.向量法求解：通过向量法求解可以简化计算过程。
利用向量叉积可判断两条线段是否相交，在一些特殊情况下可以极大地减少计算时间。
四、实例分析下面我们以一个具体例子来说明平行线动点问题的解题技巧：已知ABCD为矩形，P、Q分别在AB、CD上滑动，并且AP=PQ=QB。
若M为AC与QP交点，求证：BM=2AM。
解题思路：1.画图：如图所示，画出矩形ABCD和动点P、Q的运动轨迹。
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。
北师大版数学八年级上册第一章平行线定理知识点归纳及例题
北师大版数学八年级上册第一章平行线定
理知识点归纳及例题
1. 平行线定理知识点归纳：
- 平行线定义：在同一个平面内，永远不相交的两条直线称为
平行线。
- 平行线的判定：
- 同一边内角相等定理：如果两条直线被一组平行线分成两对
同位内角，那么两对同位内角分别相等。
- 顶角相等定理：如果两条直线被一组平行线分成两对同位外角，那么两对同位外角分别相等。
- 平行线的性质：
- 平行线与横截线的交角等于对顶角。
- 平行线与平行线之间的交角相等。
- 平行线的平行线仍然是平行线。
2. 平行线定理例题：
例题1：
已知 AB∥CD，∠BCD=65°，求∠ADB的度数。
解析：根据顶角相等定理，∠BCD=∠ADB，所以∠ADB=65°。
例题2：
在平行四边形 ABCD 中，已知∠ABD=50°，求∠CBA 的度数。
解析：根据同一边内角相等定理，∠CBA=∠ABD=50°。
例题3：
已知 m∠1=75°，m∠2=105°，且∠1和∠2是同位内角，求∠3的度数。
解析：根据同一边内角相等定理，∠1=∠3，所以∠3=75°。
以上是北师大版数学八年级上册第一章平行线定理知识点的归
纳及例题。
平行线动点问题的解题技巧
平行线动点问题的解题技巧引言平行线动点问题是数学中常见的一类几何问题，涉及到平行线和动点的运动关系。
解决这类问题需要掌握一定的解题技巧和方法。
本文将详细介绍平行线动点问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和解决这类问题。
平行线的基本性质在讨论平行线动点问题之前，我们首先需要了解平行线的基本性质。
平行线是在同一个平面上永远不会相交的直线。
以下是平行线的几个重要性质： 1. 平行线的斜率相等：如果两条线的斜率相等，那么它们是平行线。
2. 平行线的距离相等：如果从一条线上任取一点，再从另一条线上任取一点，连接这两点并与两线垂直，那么这条垂线的长度对于两条平行线来说是相等的。
3. 平行线的交角为零：两条平行线之间的夹角为零，也就是说，它们相互平行。
解题思路解决平行线动点问题的一般思路如下： 1. 理清问题的要求和已知条件。
2. 画出清晰的图形，标出已知条件和需要求解的量。
3. 借助平行线的性质，利用已知条件进行分析和推导。
4. 根据已知条件和推导出的结论，建立方程或利用几何性质求解未知量。
5. 验证答案的合理性，并对所得结论进行分析和总结。
解题技巧投影法投影法是解决平行线动点问题常用的一种技巧。
它利用平行线的性质，通过对动点的投影进行分析，推导出解析式或几何关系。
下面以一个例子来说明投影法的应用。
例题：平面上有两条平行线l和m，动点P在直线l上，过P分别作m与直线l的两条垂线，分别交l于A和B，求线段AB的最短长度。
解题思路及步骤： 1. 这个问题涉及到了平行线和动点的关系，首先我们需要画出问题所描述的图形，标示出已知和未知量。
2. 由题意可知，线段AB的最短长度等于线段PA与PB的距离之差。
因此，首先需要求解线段PA和PB的长度。
3. 利用垂线的性质，我们可以知道PA是BP的投影，PB是AP的投影。
由此可得线段PA和PB的长度。
4. 然后，根据所得的线段PA和PB的长度，计算线段AB的最短长度。
平行线之间的动点问题(含答案)
平行线之间的动点问题平行线的判定与性质1.判定方法:(1) 同角相等,两直线平行;(2)内错角相等,两直线平行;(3)同旁内角互补,两直线平行;(4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行.2.性质:(1)两直线平行,同位角相等;(2)两直线平行,内错角相等;(3)两直线平行,同旁内角互补.3.相同点：平行线的判定和性质研究的都是两直线被第三条直线所截的图形，可以说这个图形是它们共同的、必备的前提条件。
4.区别：平行线的性质和平行线的判定中的条件和结论恰好相反：平行线的“判定”，是为了判断两条直线是否平行，就要先研究同位角、内错角、同旁内角的数量关系，当知道了“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”时，就可以判定这两条直线平行。
它们是由“数”到“形”的判断。
平行线的“性质”，是已经知道两条直线平行时，就可以推出同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的数量关系，即“平行线”这种图形具有的性质。
它们是由“形”到“数”的说理。
1、(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为42°，问如何放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底？(即求MN与水平线的夹角) (3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD．∠BAF=110°，∠DCF=60°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t，在射线CD转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．解：（1）平行．理由如下：如图，∵∠3=∠4，∴∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1+∠5=∠2+∠6，∴a∥b；（2）∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，∴∠1=∠2，∵入射光线a与水平线OC的夹角为42°，b垂直照射到井底，∴∠1+∠2=180°-42°-90°=48°，∴∠1=×48°=24°，∴MN与水平线的夹角为：24°+42°=66°；（3）存在．如图①，AB与CD在EF的两侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠ACD=180°-60°-3t=120°-3t，∠BAC=110°-t，要使AB∥CD，则∠ACD=∠BAF，即120°-3t=110°-t，解得t=5；此时（180°-60°）÷3=40，∴0＜t＜40，②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠DCF=360°-3t-60°=300°-3t，∠BAC=110°-t，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即300°-3t=110°-t，解得t=95°，此时（360°-60°）÷3=100，∴40＜t＜100，③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∵∠BAF=110°，∠DCF=60°，∴∠DCF=3t-（180°-60°+180°）=3t-300°，∠BAC=t-110°，要使AB∥CD，则∠DCF=∠BAC，即3t-300°=t-110°，解得t=95°，此时t＞110，∵95＜110，∴此情况不存在．综上所述，t为5秒或95秒时，CD与AB平行．解析：（1）根据等角的补角相等求出∠3与∠4的补角相等，再根据内错角相等，两直线平行即可判定a∥b；（2）根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等可得∠1=∠2，然后根据平角等于180°求出∠1的度数，再加上42°即可得解；（3）分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据两直线平行，内错角相等列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据两直线平行，同位角相等列式计算即可得解．2、如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°(1)求证：AB∥CD；(2)如图2，由三角形内角和可知∠E=90°，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并证明；(3)如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，①当点Q在射线CD上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．②当点Q 在射线CD的反向延长线上运动时(点C除外)∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．证明：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180，∴AB∥CD；（2）∠BAE+∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+∠MCD=90°；（3）如图3：∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD=180°，∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，∴∠BAC=∠PQC+∠QPC；如图4：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACQ∵∠PQC+∠PCQ+∠ACQ=180°，∴∠PQC+∠QPC+∠BAC=180°．解析：（1）根据角平分线的性质可得∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可得∠BAC+∠ACD=180，进而得到AB∥CD；（2）过E作EF∥AB，证明EF∥∥AB∥CD，可得∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，再由∠E=90°，可得∠BAE+∠ECD=90°，进而得到∠BAE+∠MCD=90°；（3）根据平行线的性质结合三角形内角和定理可得∠CPQ+∠CQP与∠BAC数量关系3、(1)如图1，AC平分∠DAB，∠1=∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；(2)如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E，F满足∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数；(3)如图3，在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP-∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并值．（1）答：AB∥CD．证明：∵∠1=∠2，∴AB∥CD；（2）解：设∠ABF=x，则∠EBF=2x，∴∠ABE=∠ABF+∠EBF=x+2x=3x，根据三角形的内角和定理可得，∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，根据三角形的外角性质，∠1=∠E+∠ABE=∠E+3x，∵AB∥CD，∴∠1=∠DCE，∵CF平分∠DCE，∴∠ECF=∠DCE=∠1=（∠E+3x），∴∠E+2x=∠F+（∠E+3x），整理得，2∠F-∠E=x①，∵∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，∴2∠F+180°-∠E=190°②，①代入②得，x+180°=190°，∴x=10°，∴∠ABE=3x=30°；（3）解：如图，根据三角形的外角性质，∠1=∠BPG+∠B，∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP，∴∠GPQ=∠BPG，∠MGP=∠DGP，∵AB∥CD，∴∠1=∠DGP，∴∠MGP=（∠BPG+∠B），∵PQ∥GN，∴∠NGP=∠GPQ=∠BPG，∴∠MGN=∠MGP-∠NGP=（∠BPG+∠B）-∠BPG=∠B，根据前面的条件，∠B=30°，∴∠MGN=×30°=15°，∴①∠DGP-∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变．解解析：（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；（2）设∠ABF=x，则∠ABE=3x，根据三角形内角和定理整理得到∠E+∠EBF=∠F+∠ECF，再根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义表示出∠ECF=∠1，然后整理得到∠E、∠F的关系式，再根据∠F与∠E的补角的关系列出等式，然后整理即可求出x，从而得解；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠BPG+∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP=∠GPQ，然后列式表示出∠MGN=∠B，从而判定②正确．4、长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．(1)求点B的坐标；(2)如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；(3)如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM=∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN 的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（-5，-3）．（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP=×OA×OC，即×3×AP=×5×3，∴AP=2∵OA=5，∴OP=3，∴P（-3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC=×OA×OC，即×5×PC=×5×3，∴PC=∵OC=3，∴OP=，∴P（0，-）．综上所述，点P的坐标为（-3，0h或（0，-）．（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，∠CN7=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，∴=．解析：（1）根据第三象可点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P 点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）标先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=部NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM，得出答案．解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA=5，OB=3，且点B在第三象限，∴B（-5，-3）．（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP=×OA×OC，即×3×AP=×5×3，∴AP=2∵OA=5，∴OP=3，∴P（-3，0），若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC=×OA×OC，即×5×PC=×5×3，∴PC=∵OC=3，∴OP=，∴P（0，-）．综上所述，点P的坐标为（-3，0h或（0，-）．（3）延长BC至点F，∵四边形OABC为长方形，∴OA∥BC．∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF．∵∠CBM=∠CMB，∴∠MCF=2∠CMB．过点M作ME∥CD交BC于点E，∴∠EMC=∠MCD．又∵CD平分∠MCN，∴∠NCM=2∠EMC．∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，∠CN7=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，∴=．解析：（1）根据第三象可点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P 点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案；（3）标先求出∠MCF=2∠CMB，即可得出∠CNM=部NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM，得出答案．5、如图，已知直线AB∥CD，∠A=∠C=100°，E、F在CD上，且满足∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF．(1)直线AD与BC有何位置关系？请说明理由．(2)求∠DBE的度数．(3)若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC=∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．（1）AD∥BC．证明：∵AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，又∵∠A=∠C∴∠ADC+∠C=180°，∴AD∥BC；（2）解：∵AB∥CD，∴∠ABC=180°-∠C=80°，∵∠DBF=∠ABD，BE平分∠CBF，∴∠DBE=∠ABF+∠CBF=∠ABC=40°；（3）存在．解：设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°．∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ABE=x°+40°；∵AB∥CD，∴∠ADC=180°-∠A=80°，∴∠ADB=80°-x°．若∠BEC=∠ADB，则x°+40°=80°-x°，得x°=20°．∴存在∠BEC=∠ADB=60°．解析：（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C=180°，即可证得AD∥BC；（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE=∠ABC，即可求得∠DBE的度数．（3）首先设∠ABD=∠DBF=∠BDC=x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC=∠ADB，即可得方程：x°+40°=80°-x°，解此方程即可求得答案．6、已知直线l1∥l2，且l3、l4和l1、l2分别交于A、B、C、D四点，点P在直线AB上运动．设∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3．(1)如果点P在A、B两点之间时(如图)，探究∠1、∠2、∠3之间的数量关系．(要求说明理由)；(2)此时，若∠1=30°，∠3=40°，求∠2的度数；(3)如果点P在A、B两点外侧时，猜想∠1、∠2、∠3之间的数量关系(点P和A、B不重合)(直接写出结论)．解：（1）∠2=∠1+∠3，理由为：证明：过P作PM∥l1，如图所示：由l1∥l2，得到PM∥l2，∴∠1=∠DPM，∠3=∠CPM，∴∠2=∠DPM+∠CPM=∠1+∠3；（2）∵∠1=3三°，∠3=4三°，∴∠2=∠1+∠3=7三°；（3）∠3=∠1+∠2，理由为：证明：∵l1∥l2，∴∠3=∠4，又∠4为△PDQ的外角，∴∠4=∠1+∠2，则∠3=∠1+∠2．解析：（1）∠1、∠2、∠3之间的数量关系为∠2=∠1+∠3，理由为：过P作PM平行于l1，由l1∥l2，利用平行于同一条直线的两直线平行，得到PM平行于l2，由PM平行于l1，利用两直线平行内错角相等得到∠1=∠DPM，由PM平行于l2，利用两直线平行内错角相等得到∠3=∠CPM，而∠2=∠DPM+∠CPM，等量代换可得证；（2）将∠1和∠3的度数代入第一问的结论∠2=∠1+∠3中，即可求出∠2的度数；（3）∠1、∠2、∠3之间的数量关系为∠3=∠1+∠2，理由为：由l1∥l2，利用两直线平行同位角相等得到∠3=∠4，又∠4为三角形PDQ的外角，利用三角形的外角性质得到∠4=∠1+∠2，等量代换可得证．7、如图，已知两条射线OM∥CN，动线段AB的两个端点A、B分别在射线OM、CN 上，且∠C=∠OAB=108°，F在线段CB上，OB平分∠AOF，OE平分∠COF．(1)请在图中找出与∠AOC相等的角，并说明理由；(2)若平行移动AB，那么∠OBC与∠OFC的度数比是否随着AB位置的变化而发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=2∠OBA？若存在，请求出∠OBA度数；若不存在，说明理由．解：（1）∵OM∥CN，∴∠AOC=180°-∠C=180°-108°=72°，∠ABC=180°-∠OAB=180°-108°=72°，又∵∠BAM=∠180°-∠OAB=180°-108°=72°，∴与∠AOC相等的角是∠AOC，∠ABC，∠BAM；（2）∵OM∥CN，∴∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，∵OB平分∠AOF，∴∠AOF=2∠AOB，∴∠OFC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=；（3）设∠OBA=x，则∠OEC=2x，在△AOB中，∠AOB=180°-∠OAB-∠ABO=180°-x-108°=72°-x，在△OCE中，∠COE=180°-∠C-∠OEC=180°-108°-2x=72°-2x，∵OB平分∠AOF，OE平分∠COF，∴∠COE+∠AOB=∠COF+∠AOF=∠AOC=×72°=36°，∴72°-x+72°-2x=36°，解得x=36°，即∠OBA=36°．解析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补可得求出∠AOC，∠ABC，再根据邻补角的定义求出∠BAM即可得解；（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠AOB，∠OFC=∠AOF，再根据角平分线的定义可得∠AOF=2∠AOB，从而得到比值不变；（3）设∠OBA=x，表示出∠OEC，然后利用三角形的内角和定理表示出∠AOB、∠COE，再根据角平分线的定义根据∠AOB+∠COE=∠AOC列出方程求解即可．8、已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：(1)如图①，求证：OB∥AC．(2)如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于_____；(在横线上填上答案即可)．(3)在(2)的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．(4)在(3)的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB=∠OCA，此时∠OCA度数等于_____．(在横线上填上答案即可)．（1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=∠AOB=40°；（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，则∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB，（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，根据平行线的性质得∠OEB=∠AOE，则∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=80°-x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°-x，解得x=20°，所以∠OCA=80°-x=60°．（1）证明：∵BC∥OA，∴∠B+∠O=180°，∴∠O=180°-∠B=80°，而∠A=100°，∴∠A+∠O=180°，∴OB∥AC；（2）解：∵OE平分∠BOF，∴∠BOE=∠FOE，而∠FOC=∠AOC，∴∠EOF+∠COF=∠AOB=×80°=40°；（3）解：不改变．∵BC∥OA，∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，∵∠FOC=∠AOC，∴∠AOF=2∠AOC，∴∠OFB=2∠OCB，即∠OCB：∠OFB的值为1：2；（4）解：设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，∵∠OEB=∠AOE，∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，而∠OCA=180°-∠AOC-∠A=180°-x-100°=80°-x，∵∠OEB=∠OCA，∴40°+x=80°-x，解得x=20°，∴∠OCA=80°-x=80°-20°=60°．故答案为40°，60°．9、AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ABC，∠ADC的平分线交于点E(不与B，D点重合)．∠ABC=n°，∠ADC=80°．(1)若点B在点A的左侧，求∠BED的度数(用含n的代数式表示)；(2)将(1)中的线段BC沿DC方向平移，当点B移动到点A右侧时，请画出图形并判断∠BED的度数是否改变．若改变，请求出∠BED的度数(用含n的代数式表示)；若不变，请说明理由．解：（1）过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=n°+40°；（2）∠BED的度数改变，过点E作EF∥AB，如图，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC=n°，∠ADC=80°，∴∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，∴∠BED=∠BEF+∠DEF=180°-n°+40°=220°-n°．解析：（1）过点E作EF∥AB，根据平行线性质推出∠ABE=∠BEF，∠CDE=∠DEF，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF 求出即可；（2）过点E作EF∥AB，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABC=n°，∠CDE=∠ADC=40°，根据平行线性质得出∠BEF=180°-∠ABE=180°-n°，∠CDE=∠DEF=40°，代入∠BED=∠BEF+∠DEF求出即可．。
学而思寒假七年级尖子班讲义第 讲平行线四大模型
目录Contents第讲平行线四大模型.....................................................................11 第讲实数三大概念........................................................................172 第讲平面直角坐标系.....................................................................333 第讲坐标系与面积初步..................................................................514 第讲二元—次方程组进阶...............................................................675 第讲含参不等式（组） (796)平行线四大模型1知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．、平行线的性质 2 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．：1性质．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等2：性质.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等称：两直线平行，内错角相等简：性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型内部AB、CD点P在EF右侧，在“铅笔”模型；°∠AEP+∠PFC=3 60P结论1：若AB∥CD，则∠+ ∥°，则ABCD.∠结论2：若∠P+AEP+∠PFC= 360模型二“猪蹄”模型（模型）MCD内部侧，在AB、P点在EF左“猪蹄”模型；CFPP=∠AEP+∠CD1结论：若AB∥，则∠. AB∥CDCFP∠2结论：若∠P=AEP+∠，则模型三“臭脚”模部CD、侧，在EFP点在右AB外“臭脚”模型∠AEP；或∠P=∠CFP-∠结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-CFP. ∥CD，则∠CFP-∠AEPABP 结论2：若∠=∠AEP-∠CFP或∠P=模型四“骨折”模型部CD外EF左侧，在AB、点P在“骨折”模型；AEP-∠CFP∠∠CFP-∠AEP或P=∠P结论1：若AB∥CD，则∠=AB∥CD.P=∠AEP-∠CFP，则CFP结论2：若∠P=∠-∠AEP或∠巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.CF．CFP∠，求证AE∥（2）已知∠P=∠AEP+（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP..CF //AE证求,AEP∠-CFP∠= P∠已知）4（．平行线四大模型应用模块一例1 一点，b在a、上，P为两平行线间那么∠l+∠2+∠3= ．分别,，（1）如图a ∥bM、N(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2.F的关系、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠AB如图，已知∥DE，BF练11=，∠FBC∠FDE.如图，已知AB∥DE，∠ABF∠FDC=nn；的关系FC=2(1)若n,直接写出∠、∠n(2)若=3，试探宄∠C、∠F的关系；n（用含的等式表示）.F 写出∠(3)直接C、∠的关系例3如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．求证：∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.例4 C+∠D= 180°．B如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠+∠练°，2= 90l+∠AE平分∠BAD交BC于E，⊥DE，∠AE（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，）．则∠F的度数为（点M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM 和∠EDN的平分线相交于F. 145°D. 150°°. 135 C°A. 120 B平行线四大模型构造模块二例5 = 50°，则= 90= 30°，∠FGH°，∠HMN=30°，∠CNPA∥如图，直线ABCD，∠EF∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例 6 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA∥NA，探索∠A、∠A、…、∠A，∠B、∠B…∠B之间的-11n122n1n关系．(2)如图(2)，己知MA∥NA，探索∠A、∠A、∠A、∠A，∠B、∠B之间的关系．21244311(3)如图(3)，已知MA∥NA，探索∠A、∠A、…、∠A之间的关系．nn112如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题七下期中）（粮道街2015—2016．AB分别交于E、F与∥1，直线ABCD，P是截线MN上的一点，MNCD、如图EDP= 30°，求∠MPD的度数；(1) 若∠EFB=55°，∠?Q是否为定值？若是定的平分线交于ABPQ,值，请问：∠在线段(2) 当点PEF上运动时，CPD与∠?DPB求出定值；若不是，说明其范围；?Q的值足否定值，请QABP运动时，∠CDP与∠的平分线交于，问上EF在点(3) 当P线段的延长线?DPB整并说明完理由．中将图形补充在图2第一讲平行线四大模型（课后作业）).∠ACE +∠CEH等于( 则，1.如图AB // CD // EF , EH⊥CD于H,∠BAC+. 450°D°A. 180°B. 270°C. 360七下期中）2015-20162．（武昌七校22 )．∥若ABCD，∠CDF∠=ABE，则∠E：∠F∠=( CDEABF，∠=3323:D．:3 1 B．3:C．4 ．A2:1.1=130.3如图3，己知AE∥BD，∠°，∠2=30°，则∠C=4.如图，已知直线AB∥CD，∠C =115°，∠A= 25°，则∠E= ．5．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .b7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥.∠8．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；；FCD之间有什么关系？请说明理由AEF、∠EFC、∠（2）如图2，∠.之间∠G、∠，∠(3)如图3A、∠EF、∠、∠H、O、∠C的关是。
最新学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)1
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．6．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .7．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .8．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .9．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．.9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；精品文档(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.精品文档。
平行线动点问题解题技巧探究
平行线动点问题解题技巧探究平行线动点问题是数学中的一个经典问题，通常出现在几何学的相关考题中。
该问题要求解决在平行线上，一个点沿着这两条平行线移动，如何确定其轨迹或者运动路线。
在本文中，我将会探究一些解答这类问题的技巧和方法，并分享我对这个问题的观点和理解。
1. 了解基本概念在解答平行线动点问题之前，需要先了解一些基本概念。
平行线是指在同一平面上且永不相交的两条直线。
动点是指在给定条件下运动的点。
这两个概念是解决平行线动点问题的基础。
2. 分析问题并设定参数在解答平行线动点问题时，需要仔细分析问题并设定参数。
可以考虑两条平行线之间的距离、动点的起始位置以及动点的运动速度等因素。
通过设定参数，可以更清晰地理解问题并找到解决方案。
3. 利用相似三角形在解决平行线动点问题时，常常需要利用到相似三角形的性质。
相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
通过观察和运用相似三角形的性质，可以得到一些关键的结论，帮助解决问题。
4. 使用平行线的性质平行线有一些独特的性质，可以在解答平行线动点问题时起到关键作用。
其中一条重要的性质是平行线上的对应角相等。
利用这个性质，可以得到一些与角度相关的等式，从而推导出动点的运动轨迹或运动方程。
5. 考虑特殊情况在解答平行线动点问题时，可能会遇到一些特殊情况。
这些特殊情况可能包括平行线的倾斜程度、动点的特殊位置等。
考虑这些特殊情况时，需要灵活运用已有的知识和技巧，并可能需要使用一些额外的几何知识来解决问题。
总结:通过对平行线动点问题解题技巧的探究，我们了解到了一些基本的解题思路和方法。
在解答平行线动点问题时，我们首先需要了解基本概念，然后分析问题，设定参数。
接下来，可以通过利用相似三角形和平行线的性质，得到一些关键结论。
考虑特殊情况，并灵活运用已有的知识和技巧来解决问题。
对于平行线动点问题，我认为关键在于观察和分析。
通过观察不同的角度和情况，我们可以发现一些有用的特性和关系。
（完整版）小学五年级语文讲义1第1讲.尖子班.教师版
（完整版）⼩学五年级语⽂讲义1第1讲.尖⼦班.教师版童年是纯真的，童年是⾦⾊的，童年是多梦的。
⼀张糖纸、⼀次争执、⼀句话语……看似平常，却饱含着我们的快乐、梦想和追求。
学习本讲内容，感受⽂章的中⼼；通过对重点词语、句⼦的理解、品味，感受作者所表达的感情。
[成语万花筒]1．请在下⾯括号内填上适当的数字，使每个成语完整⽆误。
试⼀试，你准⾏。
（）劳永逸（）⾯三⼑（）顾茅庐（）⾯楚歌（）光⼗⾊（）亲不认（）零⼋落（）⾯玲珑（）⽜⼀⽑（）万⽕急（）⽆聊赖（）篇⼀律（）马齐喑【参考答案】依次填⼊：⼀、⼆、三、四、五、六、七、⼋、九、⼗、百、千、万2．填数词组成语。
（）穷（）⽩（）⽇（）⾥（）全（）美（）⽬（）⾏（）落（）丈（）⼼（）意（）上（）下（）头（）臂（）死（）⽣（）⽄（）两（）⼭（）⽔（）⾔（）语【参考答案】⼀穷⼆⽩⼀⽇千⾥⼗全⼗美⼀⽬⼗⾏⼀落千丈三⼼⼆意七上⼋下三头六臂九死⼀⽣半⽄⼋两千⼭万⽔千⾔万语第1讲我们的童年（上）讲义使⽤参考[快乐热⾝]环节重点在积累成语，建议教师在授课的时候可以花⼏分钟的时间帮助学⽣积累。
[读⽂章试⾝⼿]环节选⽤了三篇关于童年的⽂章。
《餐桌上的谜底》中，作者的童年虽然尝过了酸甜苦辣，却也得到了⼈⽣启⽰；《会飞的蒲公英》写了⼀个⼤⼭⾥的孩⼦在母亲的教导下梦想成真的故事；《⼀千张糖纸》回忆童年往事，讲述了⼀个关于“诺⾔”“童⼼”的故事，有⼀定难度，教师要注意通过提问的⽅式引导学⽣讨论、理解⽂章的中⼼及作者要表达的情感。
每篇⽂章后都有[教学思路导引]这个环节，教师参考这些内容，也可以补充其他相关问题。
在授课中，建议先让学⽣阅读⽂章，教师提出⼀系列问题，引导学⽣分析讨论。
教师在学⽣讨论中进⼀步引导，帮助学⽣得出结论，最后再让学⽣做⽂章后的习题，教师讲解⽅法，订正答案。
（⼀）餐桌上的谜底⼩时候，每晚⼊⿊的时候，我总要瞧准时机，站在⾃家门⼝，闻对门邻居餐桌飘出的⾁⾹。
那时，我家半个⽉才吃⼀次⾁，我实在是太馋了。
人教课标版数学七年级下册《平行线中的动点问题》课时教学设计
《平行线中的动点问题》课时教学设计
展1、强调易错点：线段的关系指的是数量
关系和位置关系.
2、教师板书关键步骤
学生板演展示学生上讲台讲解完毕
后，教师用几何画板演
示整个运动的过程，并
且强调书写过程和解
决这类动态问题的步
骤.
评（1）
师生共同得到解决这类动态问题的四个步骤：1.定点，2.连线，3.描边，4.写结果.
检如图,线段CD是由线段AB平移得到.分别
连接BD、AC,直线BE⊥AC于点E,延长DC
与BE相交于点F.点P是射线FD上的一
个动点,连接BP、EP,当点P在射线FD上
移动时(不与点F,C,D重合),探究∠DBP与
∠CEP、∠BPE的数量关系.
学生独立完成，
上台讲解.
学生讲解完毕后，教师
用几何画板演示整个
运动的过程，并且强调
书写过程.
评（2）1.回顾相交线与平行线中几个常见的基本图形；
2.利用基本图形解决动点问题的几个解题步骤：定点、连线、描边、写结果
3.总结解题中所涉及的数学思想与方法.：分类讨论
板书设计
检查结果及修改意见：合格[ ] 不合格[ ]
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学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录Contents第1平行四大模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第2数三大体念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7第3平面直角坐系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3第4坐系与面初步⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 1第5二元—次方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 7第6含参不等式（）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 9第1页共12页平行线四大模型知识目标目标一娴熟掌握平行线四大模型的证明目标二娴熟掌握平行线四大模型的应用目标三掌握协助线的结构方法，熟习平行线四大模型的结构秋天回首平行线的判断与性质、平行线的判断依据平行线的定义，假如平面内的两条直线不订交，就能够判断这两条直线平行，可是，因为直线无穷延长，查验它们能否订交有困难，因此难以直接依据定义来判断两条直线能否平行，这就需要更简单易行的判断方法来判断两直线平行．判断方法l：两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判断方法2：两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判断方法3：两条直线被第三条直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+∠4=180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．还有平行公义推论也能证明两直线平行：平行公义推论：假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或许内错角相等，或许同旁内角互补，能够判断两条直线平行．反过来，假如已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，获得的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数目关系，这就是平行线的性质．性质1：第2页共12页两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右边，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC=360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左边，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右边，在AB、CD外面“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.第3页共12页模型四“骨折”模型点P在EF左边，在AB、CD外面“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明（1）已知AE//CF,求证∠P+∠AEP+∠PFC=360°.2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P=∠CFP-∠AEP,求证AE//CF.第4页共12页模块一平行线四大模型应用1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3=．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD=.(4)如图，射线AC∥BD，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=．练(1)以下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C=20°，则∠EAB的度数为．（七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C=.第5页共12页2如图，已知 AB ∥DE ，BF 、DF 分别均分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.练如图，已知 AB ∥DE ，∠FBC=1∠ABF ，∠FDC=1∠FDE. n n(1)若n=2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ；若n=3，尝试宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.3 如图，已知AB ∥CD ，BE 均分∠ABC ，DE 均分∠ADC ．求证：∠E=2(∠A+∠C).练 如图，己知 AB ∥DE ，BF 、DF 分别均分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.第6页共12页4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．练（武昌七校2015-2016七下期中）如图，AB⊥BC，AE均分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2=90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠ EAM和∠EDN的均分线订交于点F则∠F的度数为（）．A.120°B.135°C.145°D.150°模块二平行线四大模型结构例5如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM=.练如图，直线AB∥CD，∠EFG=100°，∠FGH=140°，则∠AEF+∠CHG=.第7页共12页6已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=l0°，求：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.如(l)，已知MA1∥NA n，探究∠A1、∠A2、⋯、∠A n，∠B1、∠B2⋯∠B n-1之的关系．如(2)，己知MA1∥NA4，探究∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之的关系．如(3)，已知MA1∥NA n，探究∠A1、∠A2、⋯、∠A n之的关系．如所示，两直AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．第8页共12页挑战压轴题（粮道街2015—2016七下期中）如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点，MN与CD、AB分别交于E、F．(1)若∠EFB=55°，∠EDP=30°，求∠MPD的度数；(2)当点P在线段EF上运动时，∠CPD与∠ABP的均分线交于Q,问：Q能否为定值？假如定值，请DPB求出定值；若不是，说明其范围；(3)当点P在线段EF的延长线上运动时，∠CDP与∠ABP的均分线交于Q，问Q的值足否认值，请DPB在图2中将图形增补完好并说明原因．第9页共12页第一讲 平行线四大模型（课后作业） 1.如图，AB//CD//EF, EH ⊥CD 于H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH 等于().A.180°B.270°C.360°D.450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中）若AB ∥CD ，∠CDF=2∠CDE ，∠ABF=2 ∠ABE ，则∠E ：∠F=()． 3 3A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C= .4.如图，已知直线 AB ∥CD ，∠C=115°，∠A=25°，则∠E= ．5．如阁所示， AB ∥CD ，∠l=ll0°，∠2=120°，则∠α=. 6．以下图， AB ∥DF ，∠D=116°，∠DCB=93°，则∠B= .第10页共12页7．如图，将三角尺的直角极点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为. 8．如图，AB∥CD，EP⊥FP,已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明原因；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明原因；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.此中专业理论知识内容包含：保安理论知识、消防业务知识、职业道德、法律知识、保安礼仪、救护知识。
学而思寒假七级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录Contents第1平行四大模型⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1第2数三大概念⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯17第3平面直角坐系⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 33第4坐系与面初步⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 51第5二元—次方程⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 67第6含参不等式〔〕⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯791平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回忆平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法 l ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法 2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法 3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：假设∠ 1=∠2，那么 AB∥CD〔同位角相等，两直线平行〕；假设∠ 1=∠3，那么 AB∥CD〔内错角相等，两直线平行〕；假设∠ 1+ ∠4= 180 °，那么 AB∥CD〔同旁内角互补，两直线平行〕．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质 2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质 3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔〞模型点 P 在 EF 右侧，在AB、 CD 内部“铅笔〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论 2：假设∠ P+∠AEP+∠PFC= 360°，那么 AB∥CD.模型二“猪蹄〞模型〔M 模型〕点 P 在 EF 左侧，在AB、 CD 内部“猪蹄〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P=∠AEP+∠CFP；结论 2：假设∠ P=∠AEP+∠CFP，那么 AB∥CD.模型三“臭脚〞模型点 P 在 EF 右侧，在AB、 CD 外部“臭脚〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P=∠AEP- ∠CFP或∠ P=∠CFP- ∠AEP；结论 2：假设∠ P=∠AEP- ∠CFP或∠ P=∠CFP- ∠AEP，那么 AB∥CD.模型四“骨折〞模型点 P 在 EF 左侧，在AB、 CD 外部“骨折〞模型结论 1：假设 AB∥CD，那么∠ P=∠CFP- ∠AEP或∠ P=∠AEP- ∠CFP；结论 2：假设∠ P=∠CFP- ∠AEP或∠ P=∠AEP- ∠CFP，那么 AB∥CD.稳固练习平行线四大模型证明〔1〕 AE // CF ,求证∠ P +∠AEP +∠PFC = 360°.〔2〕∠ P=∠AEP+∠CFP，求证 AE∥CF．〔3〕 AE∥CF，求证∠ P=∠AEP- ∠CFP.〔4〕∠P= ∠CFP - ∠AEP , 求证 AE //CF .模块一平行线四大模型应用例1〔1〕如图， a∥b,M、 N分别在 a、b 上， P 为两平行线间一点，那么∠l+ ∠2+∠3=．(2)如图， AB∥CD，且∠ A=25°，∠ C=45°，那么∠E的度数是．(3)如图， AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，那么∠ BCD=.(4)如图，射线AC∥BD，∠ A= 70°，∠ B= 40°，那么∠ P=．练(1)如下图，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，那么∠ EAB的度数为．(2)〔七一中学 2021-2021 七下 3 月月考〕如图， AB∥CD，∠ B=30°，∠ O=∠C．那么∠ C=.例2如图， AB∥DE，BF、 DF 分别平分∠ ABC、∠CDE，求∠ C、∠F的关系 .练如图， AB∥DE，∠ FBC=∠ABF，∠ FDC=∠FDE.(1)假设 n=2, 直接写出∠ C、∠F的关系；(2)假设 n=3，试探宄∠ C、∠F的关系；(3)直接写出∠ C、∠F的关系〔用含n的等式表示〕.例3如图， AB∥CD，BE平分∠ ABC，DE平分∠ ADC．求证：∠E= 2 ( ∠A+∠C) .练如图，己知 AB∥DE， BF、DF分别平分∠ ABC、∠ CDE，求∠ C、∠F 的关系 .例4如图，∠ 3==∠1+∠2，求证：∠ A+∠B+∠C+∠D= 180°．练〔武昌七校2021-2021 七下期中〕如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠ l+ ∠2= 90°， M、N分别是 BA、 CD 的延长线上的点，∠ EAM和∠ EDN的平分线相交于点 F 那么∠F的度数为〔〕．A. 120 °B. 135°C. 145°D. 150 °模块二平行线四大模型构造例5如图，直线 AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，那么∠GHM=.练如图，直线 AB∥CD，∠ EFG =100°，∠ FGH =140°，那么∠ AEF+∠CHG=.例6∠ B =25°，∠ BCD=45°，∠ CDE =30°，∠ E=l0 °，求： AB∥EF．AB∥EF，求∠l- ∠2+∠3+∠4的度数 .(1) 如 (l) ， MA1∥NAn，探索∠ A1、∠A2、⋯、∠An，∠B1、∠B2⋯∠ Bn-1之的关系．(2) 如 (2) ，己知 MA1∥NA4，探索∠ A1、∠ A2、∠ A3、∠ A4，∠ B1、∠ B2之的关系．(3)如 (3) ， MA1∥NAn，探索∠ A1、∠ A2、⋯、∠ An 之的关系．如所示，两直AB∥CD平行，求∠ 1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑〔粮道街 2021—2021 七下期中〕如 1，直 AB∥CD，P 是截 MN上的一点， MN与 CD、AB分交于 E、F．(1)假设∠ EFB=55°，∠ EDP= 30°，求∠ MPD的度数；(2)当点 P 在段 EF上运，∠ CPD与∠ ABP的平分交于 Q,：是否定？假设是定，求出定；假设不是，明其范；(3)当点 P 在段 EF的延上运，∠ CDP与∠ ABP的平分交于 Q，的足否认，在 2 中将形充完整并明理由．第一讲平行线四大模型〔课后作业〕1. 如图， AB // CD // EF , EH⊥CD于H ,那么∠ BAC+∠ACE +∠CEH等于().A. 180 °B. 270°C. 360°D. 450°2．〔武昌七校 2021-2021 七下期中〕假设 AB∥CD，∠ CDF=∠CDE，∠ ABF=∠ABE，那么∠ E：∠ F=()．A．2:1B．3:1C．4:3D．3:2学而思寒假七年级尖子班讲义第 1 讲平行线四大模型(1)C=.3. 如图3，己知AE∥BD，∠ 1=130°，∠ 2=30°，那么∠4. 如图，直线 AB∥CD，∠ C =115°，∠ A= 25°，那么∠ E=．5．如阁所示， AB∥CD，∠ l=l l0°，∠ 2=120°，那么∠α=.6．如下图， AB∥DF，∠ D =116°，∠ DCB=93°，那么∠ B=.7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上， a∥b. ∠1=50°，∠ 2=60°，那么∠3的度数为.8．如图， AB∥CD，EP⊥FP, ∠ 1=30°，∠ 2=20°．那么∠F的度数为．9.如图，假设 AB∥CD，∠BEF=70°，求∠ B+∠F+∠C的度数 .10．，直线AB∥CD．(1)如图 l ，∠ A、∠ C、∠ AEC之间有什么关系？请说明理由；〔2〕如图 2，∠ AEF、∠ EFC、∠ FCD之间有什么关系？请说明理由；(3) 如图 3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.。
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【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2
的度数为
【题2】如图，AB ∥DE ，∠1=25°，∠2=110°，求∠BCD
的度数．
【题3】如图，AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ．
（1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图2所示，求证：∠D=12
∠AOB ；（2）当点O 在AM 上方时，如图3所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结
论，并对你给出的结论加以证明．
平行线动点问题
模块一课前检测
变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则。
【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于点E 、F ．
（1）如图①，当∠A=20°，∠APC=70°时，求∠C 的度数；
（2）如图②，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；
（3）如图③，当点P 在线段EF 的延长线上运动时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，
请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．
模块二
动点与角度
知识点睛典型例题
【巩固】直线AB∥CD，直线a分别交AB，CD于点E，F，点M在直线EF上，点P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）
（1）如图，当点P在射线FC上移动时，∠FMP+∠FPM与∠AEF有什么数量关系，请说明理由．
（2）当点P在射线FD上移动时，请画出图形并探究∠BEM，∠DPM，∠EMP有什么数量关系，请说明理由
【变式】如图，已知直线EF∥MN，点A、B分别为EF、MN上的动点，且∠ACB=90°，BD 平分∠CBN交EF于D．
（1）若∠FDB＝120°，如图1，求∠MBC的度数；
（2）在（1）的条件下，如图1，求∠EAC的度数；
（3）延长AC交直线MN于G，如图2，GH平分∠AGB交DB于H，问∠GHB是否为定值，若是，请求值，若不是，请说明理由．
【例2】已知：如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别相交于C、D两点，直线d与直线a、b分别相交于A、B两点．
（1）如图1，当点P在线段AB上（不与A、B两点重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；
（2）如图2，当点P在线段AB的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为；
（3）如图3，当点P在线段BA的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间的大小关系为．
【巩固】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；
（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点且AB与CD的位置关系保持不变，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？猜想结论并说明理由．
【变式】如图，已知AB ∥CD ，直线l 分别截AB 、CD 于E 、C 两点，M 是线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），过M 点作MN ⊥CD 于点N ，连结EN ．
（1）如图1，当∠ECD=40°时，填空：∠FEB=；∠MEN+∠MNE=；
（2）如图2，当∠ECD=α°时，猜想∠MEN+∠MNE 的度数与α的关系，并证明你的
结论．
三角板有特殊的直角与直角顶点，通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用。
模块三平行线与三角板
知识点睛
【例3】将一副三角板如图所示位置摆放．
（1）直接写出∠AOC 与∠BOD 的大小关系，不需证明；
（2）图1中的三角板AOB 不动，将三角板COD 绕点O 旋转至CO ∥AB （如图2），判断DO 与AB 的位置关系，并证明．
（3）在（2）的条件下，三角板COD 绕点O 旋转的过程中，能否使CD ⊥AB ？若能，求出此时∠AOC
的度数；若不能，请说明理由
【巩固】小明将一直角三角板(∠A=30°）放在如图所示的位置，
（1）经测量知∠GEA=∠A ，求∠BDF ；
（2）将三角板进行适当的转动，直角顶点始终在两直线间，M 在线段CD 上，且∠CEM=∠CEH ，给出下列结论：①∠MEG/∠BDF 的值不变；②∠MEG —∠BDF 的值不变。
其中
只有一个是正确的，请你做出正确的选择并求值。
典型例题
能力提升
图形通常与平行线四大模型相结合，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用。
【例4】如图，已知直线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100°，E ，F 在BC 上，满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF ．
（1）求∠EOB 的度数；
（2）若平行移动AB ，则∠OBC ：∠OFC 的值是否发生变化？若变化找出变化规律，
若不变求其比值．
【巩固】AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ABC ，∠ADC 的平分线交于点E （不与B ，D 点重合）．∠ABC ＝n °，∠ADC ＝80°.
（1）若点B 在点A 的左侧，求∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；
（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断∠BED 的度数是否改变.若改变，请求出∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；若不
变，请说明理由.
模块四
动线段（动直线）与平行线知识点睛
典型例题
能力提升
【2014-2015洪山区期末】如图，长方形ABCD 在平面直角坐标系中，点A(1，8)，B(1，
6)，C(7，6)，点X 、Y 分别在x 、y 轴上
(1)请直接写出D 点的坐标_________
(2)连接线段OB 、OD ，OD 交BC 于E ，∠BOY 的平分线和∠BEO 的平分线交于点F ，若∠BOE ＝n ，求∠OFE 的度数
(3)若长方形ABCD 以每秒2
3个单位的速度向下运动，设运动的时间为t 秒，问在第一象限内是否存在某一时刻t ，使△OBD 的面积等于长方形ABCD 的面积的？若存在，请求出t
的值；若不存在，请说明理由
模块五真题链接
【题1】如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C 和D ，在C 、D 之间有一点P ，
（1）如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系是否发生变化．
（2）若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（P 点与点C 、D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD
之间的关系又是如何？
【题2】如图，AB ∥CD ，P 为定点，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点．
（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD ；
（2）若M 为CD 上一点，MN 交PF 于N ．证明：∠PNM=∠NMF+∠NFM ；（说明：不能运用三角形内角和定理）
（3）在（2）的基础上，若∠FMN=∠BEP ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你
的结论．
课后作业。