第5章 无源网络综合(一端口综合)

第五章 无源网络综合

§5.1 网络分析与网络综合

网络分析

网络综合

（a ） (b)

图5.1 网络分析与网络综合

网络综合：研究科学的数学的设计方法。 网络分析与网络综合的区别：

1 “分析”问题一般总是有解的(对实际问题的分析则一定是有解的)。而“设计”问题的解答可能根本不存在。

-V 5.0+

图5.2 网络综合解答不存在情况一

W 5.21

.05.0W 125.0412

L 2max

==<=⨯=P

P

(a) (b)

图5.3 网络综合解答不存在情况二

2“分析”问题一般具有唯一解，而“设计”问题通常有几个等效的解。

-+-V 4

+

V 4+-

-

-V

4+

(a) (b) (c)

图5.4 网络综合存在多解情况

3“分析”的方法较少，“综合”的方法较多。 网络综合的主要步骤：

(1) 按照给定的要求确定一个和实现的逼近函数。

(2) 寻找一个具有上述逼近函数的电路。

§5.2 网络的有源性和无源性

输入一端口网络N 的功率

()()()p t v t i t =

从任何初始时刻0t 到t ，该网络的总能量

0()()()()d t

t W t W t v i τττ=+⎰

式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量。 若对所有0t 以及所有时间0t t ≥，有

()0,(),()W t v t i t ≥∀ （1）

则此一端口N 为无源的。如果一端口不是无源的，达就是有源的。就是说，当且仅当对某个激励和某一初始值0t 以及某一时间0t t ≥，有()0W t <，则此一端口就是有源的。换句话说，如果一个一端口是有源的，就一定能找到某一激励以

及至少某一时间t ，式（1）对这个一端口不能成立。

在以上有关无源性的定义中必须计及初始储存能量0()W t 。例如，对时不变的线性电容，设它的电容值为C ，则有

0()

00()

22200()()()()()111

()()()()

222

t

v t t v t W t W t v i d W t C vdv

W t Cv t Cv t Cv t τττ=+=+=+-=⎰⎰

式中2

001()()2

W t Cv t =。所以0C >时，电容元件为无源的，而当0C <时（线

性负电容），则为有源的。但是，如不计及式中的初始能量项，则

22011

()()()22

W t Cv t Cv t =-

()W t 为从0t 到t 输入网络的能量。这样即使0C >，()W t 在某些时间将小于零。

事实上充电的电容有可能向外释放储存的能量，但是计及初始能量，它不可能释

放多余原先储存的能量。

为了考虑这种情况，引入了有关“无损性”的概念。设一端口的所有(),()v t i t 从0t →∞为“平方可积”，即有：

2

(),t

t v t dt <∞⎰

2()t

t i t dt <∞⎰

如果对任何初始时间0t ，下式成立

0()()()()d 0t

t W t W t v i τττ=+=⎰

式中0()W t 为在初始时刻0t 时该一端口储存的能量，则称此一端口为无损网络。 以上关于()v t 和()i t 平方可积的条件，也即

()()()()0v v i i ∞=-∞=∞=-∞=

就是说，一端口在t =∞和t =-∞时均为松弛的。

假设一端口在t =-∞时无任何存储能量，则无源性可按下式定义

()()()d 0t

W t v i τττ-∞

=≥⎰(),(),v t i t t ∀≥-∞ （2）

以上关于有源性的定义可以推广到N 端口。如果全部端口的电压电流允许信号对是真实的，且对所有t ，输入端口的总能量为非负的，则此N 端口为无源的，即对全部t ≥-∞，有

()()()d 0t

T W t v i τττ-∞

=≥⎰

这里设t =-∞时，()0,()0-∞=-∞=v i 。

如果对某些信号对，且对某些t >-∞，有

()()()d 0t

T W t v i τττ-∞

=<⎰

则此N 为有源的。

如果对所有平方可积有限值允许信号对，有

()()()d 0t

T W t v i τττ-∞

==⎰

则称此N 端口为无损的。一个无损的N 端口将最终把输入端口的能量全部返回。

线性（正）电阻元件、电容元件、电感元件均为无源元件。例如，对二端电阻，按式（2）有

2()()()d ()t t

W t v i Ri d τττττ-∞

-∞

==⎰⎰

可见，只要0R >，对所有t ，()W t 总是非负的。同理，对于非零的()v t 和()i t ，

()W t 将是t 的单调非递减正值函数，因此当t =∞时，()W t 不可能是零值，所

以线性电阻是无源的、非无损的。

线性负电阻、负电感、负电容是有源元件。

对于理想变压器，有

112200v i n i n v ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣

⎦⎣⎦⎣⎦

按式（1－25）

1122()[()()()()]d 0t

W t v i v i τττττ-∞

=+=⎰

所以理想变压器是无源的且是无损的。

练习：讨论回转器和负阻抗变换器的有源性和无源性。

回转器：112200v i r v r i -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，负阻抗变换器：112200v i k i k v ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

§5.3归一化和去归一化

归一化定义：用一些合适的系数(常数)按比例换算所有电量，而不改变电路性质。

例如，用50作为电阻的换算系数(归一化常数)，则Ω75=R (实际值)变成

Ω515075./==N R (归一化值)。

归一化值、实际值、归一化常数之间的关系

)()()(0s Z s Z s Z N =，)()()(0s Y s Y s Y N =，0R R R N =，0L L L N =，0

C C

C N = 0T T T N =

，0f f f N =，0ωωω=N ，0

s s s N = 对实际值适用的物理关系，对归一化值网络应保持不变，因此得

)

()(s Y s Z 1=

)

()(s Y s Z N N 1

=

)

()(s Z s 001=

:Y R s Z =)(N N R s Z =)()

(s Z 00=:R :L sL s Z =)(N N L s s Z =)(N )

(s Z L 000=:

C sC

s Z 1=)(N N N C s s Z 1=

)()

(s Z C 0001=:

f T f 1=

N

N T f 1=

01T f =

:ωf

πω2=N N f πω2=00f =ωω

σj s +=:

s N

N N j s ωσ+=0

00ωσ==s 实际值

归一化值

化常数