15.3分式方程的实际应用(行程问题)
15.3分式方程(应用题)
分式方程--一般行程问题
练习
部队由驻地到距离30千米的地方去执行 任务，由于情况发生了变化，急行军速 度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提 前2小时到达，求急行军的速度。
分式方程--水航问题
例2、轮船顺水航行80千米所需要的时间 和逆水航行60千米所用的时间相同。已 知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水 中的速度。
分式方程--利润（成本、产量、价格、 合格）问题
例4：一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买
铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价 付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售 价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每 人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元， 如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需 要120元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？ （2） 若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的付款 相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
分式方程--工程问题
• 1、某项紧急工程，由于乙没有到达，只好 由甲先开工，6小时后完成一半，乙到来后 俩人同时进行，1小时完成了后一半，求乙 单独完成整项工程需几小时？
分式方程--工程问题
• 2.有一工程需在规定日期内完成，如果甲单 独工作，刚好能够按期完成；如果乙单独 工作，就要超过规定日期3天.现在甲、乙合 作2天后，余下的工程由乙单独完成，刚好 在程--利润（成本、产量、价格、 合格）问题 2.某商场进货员预测一种应季衬衫能畅销市场， 就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应 求，商场又用17.6万元购进了第二批这种衬衫， 所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4 元，商场销售这种衬衫时每件定价都是58元， 最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在 这两笔生意中，商场共盈利多少元。
15.3 分式方程【教案】八年级上册数学
第1课时分式方程课时目标1.让学生经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力,渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识.2.通过探究分式方程解法的过程,让学生感受增根产生的合理性及验根的必要性,提升学生思维的深度认知.3.通过使学生经历运用所学知识解分式方程的过程,让学生体会化归的数学思想和数学知识之间的内在联系,进一步提高学生的运算能力.学习重点分式方程的解法.学习难点理解解分式方程时可能无解的原因.课时活动设计新知引入一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它以最大航速沿江顺流航行90千米所用的时间,与以最大航速逆流航行60千米所用的时间相等,江水的流速为多少?分析:设江水的流速为v千米/时,(1)轮船顺流航行速度为30+v千米/时,逆流航行速度为30-v千米/时;(2)顺流航行90千米的时间为9030+v 小时,逆流航行60千米的时间为6030−v小时;(3)根据题意可列方程为9030+v =6030−v.想一想,像这样的方程属于什么方程,应该怎样解呢?设计意图:通过经历实际问题→列分式方程,让学生体会分式方程是一种有效描述现实世界的模型,发展学生分析问题和解决问题的能力,培养应用意识,激发学生的探究欲与学习热情,为探索分式方程的解法做准备.探究新知探究1 分式方程的概念问题1:什么是方程?我们学习过哪些方程?它们都是怎么定义的? 学生代表发言,教师总结.教师引导学生通过类比的方法得到分式方程的概念.分式方程的概念:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的特征:①是等式;②分母中含有未知数. 问题2:下列关于x 的方程中哪些是分式方程? (1)1x =5;(2)x5=1;(3)x 2-x +13=0; (4)2x+2-1x ;(5)4x +3y =7;(6)12x 2-2a =1. 学生独立完成.探究2 分式方程的解法 1.解方程:2x -13-3x -12=116.请两名学生上台板演,教师给出正确的解答过程. 解:去分母,得2(2x -1)-3(3x -1)=11. 去括号,得4x -2-9x +3=11. 移项,得4x -9x =11+2-3. 合并同类项,得-5x =10. 系数化为1,得x =-2. 2.解分式方程:9030+v =6030−v .分析:先将分式方程转化为整式方程.解:9030+v =6030−v去分母,两边同乘(30+v )(30-v )90(30-v )=60(30+v )去括号2 700-90v =1 800+60v移项-90v -60v =1 800-2 700合并同类项-150v =-900系数化为1v =6思考:v =6是原分式方程的解吗?将v =6代入原方程中,左边=52=右边,因此v =6是原分式方程的解.总结:解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母.探究3 增根 解方程:1x -5=10x 2-25.解:方程两边同乘最简公分母(x -5)(x +5),得整式方程x +5=10. 解得x =5.将x =5代入原分式方程检验,分母x -5和x 2-25的值都为0,相应的分式无意义. 所以这个分式方程无解.思考:上面两个分式方程中,为什么9030+v =6030−v ①去分母后所得整式方程的解就是①的解,而1x -5=10x 2-25②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢?学生分小组进行交流,学生代表发言,教师总结.总结:一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0,因此应做如下检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解.设计意图:引导学生观察、反思、对比方程①②的解法,得出解分式方程时检验的必要性和具体检验方法.让学生经历这样的探究过程,促使学生深刻地领悟数学知识、数学方法产生的合理性,有利于提升学生的思维能力.典例精讲 例 解方程:(1)2x -3=3x ; (2)xx -1-1=3(x -1)(x+2).解:(1)方程两边同乘x (x -3),得2x =3x -9.解得x =9. 检验:当x =9时,x (x -3)≠0. 所以,原分式方程的解为x =9.(2)方程两边同乘(x -1)(x +2),得x (x +2)-(x -1)(x +2)=3.解得x =1. 检验:当x =1时,(x -1)(x +2)=0,因此x =1不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解.设计意图:通过例题,使学生熟悉解分式方程的步骤以及检验方法,规范解题步骤及书写格式,加深学生对分式方程解法的认识.课堂小结1.分式方程的概念是什么?2.怎样解分式方程?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固所学知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第150页,152页练习,第154页习题15.3第1题.2.作业.第1课时分式方程一、分式方程的概念.二、解分式方程的基本思想——化归.三、解分式方程的一般步骤:1.化——化分式方程为整式方程(去分母);2.解——解整式方程;3.检验——检验所得整式方程的解是否为原分式方程的解.四、例题讲解.教学反思第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题课时目标1.让学生经历用分式方程解决实际问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决具体实际问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力.3.通过列分式方程解应用题,使学生进一步掌握列方程解应用题的方法和步骤,体会检验的必要性,渗透方程思想.学习重点会列分式方程解决实际问题. 学习难点实际问题中相等关系的提炼及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.解分式方程:1x -2+1=x+12x -4.2.列方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 .3.常见等量关系式:路程=时间×速度;工作总量=工作效率×工作时间;顺水速度=静水速度+水流速度,逆水速度=静水速度-水流速度;利润=售价-进价.设计意图:复习解方程的步骤、列方程解决实际问题的步骤和常见等量关系式,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.探究新知问题:一艘轮船顺水航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相同,若水流速度为3千米/时,求轮船在静水中的速度.分析:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则顺水航行的速度为 x +3 千米/时,逆水航行的速度为 x -3 千米/时,顺水航行的时间为 40x+3 小时,逆水航行的时间为 30x -3 小时,根据题意,可得方程 40x+3=30x -3 .解:设轮船在静水中的速度为x 千米/时,则40x+3=30x -3,解得x =21. 检验:当x =21时,(x +3)(x -3)≠0, 所以,x =21是原分式方程的解. 答:轮船在静水中的速度为21千米/时.对比列整式方程解应用题的步骤,学生交流讨论、教师归纳总结出列分式方程解实际问题的步骤:审、设、列、解、验、答.设计意图:用同学们熟悉的实际问题引入分式方程的模型,激发学生对本节课学习的兴趣.通过这道实际问题的解决,加深学生对解分式方程的步骤及解应用题的步骤的认识.典例精讲例1 两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的13,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成.哪个队的施工速度快?解:设乙队单独施工1个月能完成总工程的1x .记总工程量为1,根据工程的实际进度,得13+16+12x =1.方程两边乘6x ,得2x +x +3=6x.解得x =1. 检验:当x =1时,6x ≠0. 所以,原分式方程的解为x =1.由上可知,若乙队单独施工1个月可以完成全部任务,对比甲队1个月完成任务的13,可知乙队的施工速度快.例2 某次列车平均提速v km/h .用相同的时间,列车提速前行驶s km,提速后比提速前多行驶50 km,提速前列车的平均速度是多少?解:设提速前这次列车的平均速度为x km/h,则提速前它行驶s km 所用时间为s xh;提速后列车的平均速度为(x +v )km/h,提速后它行驶(s +50)km 所用时间为s+50x+vh .根据行驶时间的等量关系,得s x =s+50x+v .方程两边乘x (x +v ),得s (x +v )=x (s +50).解得x =sv50. 检验:由v ,s 都是正数,得x =sv50时,x (x +v )≠0. 所以,原分式方程的解为x =sv 50. 答:提速前列车的平均速度为sv 50 km/h .设计意图:通过例题让学生巩固解题步骤,规范书写格式,亲身体验建立分式方程解决实际问题的过程,提高学生分析问题和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的一般步骤是什么?2.工程、行程问题中都存在哪些等量关系式?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第154页练习第1,2题,第154页习题15.3第3题.2.作业.第2课时分式方程的实际应用——工程、行程问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、例题讲解.教学反思第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题课时目标1.通过使学生经历用分式方程解决销售问题的过程,体会分式方程是刻画现实世界问题的有效数学模型,培养学生的建模思想.2.通过让学生列分式方程解决销售问题,培养学生的数学应用意识,提高学生分析问题和解决实际问题的能力. 学习重点会列分式方程解决销售问题. 学习难点销售问题中相等关系的寻找及转化为方程的过程. 课时活动设计回顾旧知1.列分式方程解决实际问题的一般步骤: 审、设、列、解、验、答 ;2.销售问题中基本量之间有什么关系? 利润= 售价-进价 ;利润率= 利润进价;总价= 单价×数量 ;打折后的销售价= 单价×折扣 ;……设计意图:通过复习列分式方程解决实际问题的步骤和销售问题中常见的基本量之间的关系,唤起学生已有的知识体系,为本节课的学习做好准备.探究新知问题:在某“爱心义卖”活动中,商家购进甲、乙两种文具,甲每个进货价比乙高10元,90元购买乙的数量与150元购买甲的数量相同.求甲、乙的进货价.分析:设甲的进货价为x 元,则乙的进货价为 x -10 元,150元可以购买甲的数量为 150x 个,90元可以购买乙的数量为 90x -10 个,根据题意,可得方程150x=90x -10 .解:设甲的进货价为x 元/个,则150x=90x -10,解得x =25.经检验,当x =25时,x (x -10)≠0,所以x =25是原分式方程的解. x -10=25-10=15.答:甲的进货价为25元/个,乙的进货价为15元/个.设计意图:用同学们熟悉的实际问题题引入分式方程的模型,激发学生们对本节课学习的兴趣,加深学生对解分式方程的步骤和解应用题步骤的认识.典例精讲例 某超市用5 000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又用11 000元购进该品种的苹果,但这次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元,购进苹果的数量是试销时的2倍.(1)试销时该品种的苹果的进货价是每千克多少元?(2)如果超市将该品种的苹果每次都按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70%)售完,那么超市两次销售该品种苹果共赢利多少元?解:(1)设试销时该品种的苹果的进货价是每千克x 元. 根据题意,得2×5000x=11000x+0.5,解得x =5.经检验,x =5是原分式方程的解.答:试销时该品种的苹果的进货价是每千克5元. (2)试销时购进苹果的数量为50005=1 000(千克),第二次购进苹果的数量为2×1000=2 000(千克).赢利为(1 000+2 000-400)×7+400×7×0.7-5 000-11 000=4 160(元). 答:超市两次销售该品种苹果共赢利4 160元.设计意图:通过例题引导学生再次体会建立分式方程解决销售问题的过程,增强学生对销售问题中基本量之间关系的深刻理解,培养学生的应用意识.教学中,教师应注意鼓励学生积极探究,充分发挥学生的主观能动性,让学生经过自己的努力,最终解决实际问题,体验到获得成功后的喜悦.巩固训练某商城销售一种商品,第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价,共获利6 000元.第二个月商场搞促销活动,将商品的进价提高10%作为销售价,第二个月的销售量比第一个月增加了80件,并且商场第二个月比第一个月多获利400元.此商品的进价是每件多少元?商场第二个月共销售此商品多少件?解:设此商品的进价为每件x 元.根据题意,得6000+40025%x =600025%x +80,解得x =500.经检验,x =500是原分式方程的解.6000+40010%×500=128(件).答:此商品的进价是每件500元,商场第二个月共销售此商品128件.设计意图:通过练习巩固所学,提高学生分析和解决问题的能力.课堂小结1.列分式方程解决实际问题的步骤是什么?2.销售问题中常见量之间有什么关系?设计意图:通过小结,让学生回顾本节课所学内容,提高学生的归纳总结能力.课堂8分钟.1.教材第155页习题15.3第7,8题.2.作业.第3课时 分式方程的实际应用——销售及其他问题一、列分式方程解决实际问题的一般步骤:审、设、列、解、验、答.二、销售问题中常见量之间的关系.三、例题讲解教学反思。
(部编)人教数学八年级上册《15.3.2分式方程应用列分式方程解决行程实际问题》教案4
初中数学人教版八年级上册?列分式方程解决行程实际问题?教案一、教学目标1、根据路程、速度、时间的关系,列分式方程解决实际问题。
2、理解列分式方程解应用题的步骤,特别注意“验〞这个步。
3、培养学生分析问题、解决问题的水平,提升学生应用数学的意识。
二、学情分析度、时间三者之间的关系是分析问题的依据。
理清题中的量(用字母表示的量与具体数据的量)和未知量。
初中学生解容许用题困难的原因主要表现在以下三个方面：第一：生活经验匮乏。
第二：阅读文字和理解文字的水平欠缺。
第三：分析问题的方法和技巧欠缺。
三、重点难点1.审明题意,寻找等量关系 ,将实际问题转化成分式方程的数学模型 .2.根据实际意义检验解的合理性.四、教学过程活动1【情境引入】观看视频，列出分式。
根据所添加的条件，列出分式方程，并求出方程的解。
活动2【探究新知】自主探究：在上面的问题中，使用了什么根本关系列方程？合作探究：回忆列方程解应用题的一般步骤是什么？活动3【实例演练】一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？分析：1、“两次航行时间相等〞是列方程的等量关系2、把顺流航行所用时间和逆流航行所用时间分别表示出来活动4【学生练习】〔益阳中考〕货车行驶25km与小车行驶35km所用时间相同，小车每小时比货车多行驶20km，求两车的速度各为多少？设货车的速度为xkm/h，依题意列方程准确的是？2.〔绵阳·中考〕在5月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛.当时洪水流速为10km/h,张师傅奉命用冲锋舟去救援,他发现沿洪水顺流以最大速度航行2km所用时间与以最大速度逆流航行km所用时间相等.那么该冲锋舟在静水中的最大航速为____.3.〔解答题〕八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一局部学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。
15.3.2分式方程的实际应用——工程、行程问题+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
拓展应用
解：设规定日期为x天，根据题意，得
1
x 3
1
3
1
x x4
x4
解得：x=12.
经检验：x=12是原方程的解且符合题意.
答：规定日期为12天.
回顾反思
1. 本节课探究了分式的哪些问题？
2. 在探寻分式方程的应用时，你经历了哪些数学活动？在
(2)数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
(3)工程问题：基本公式： 工作量=工时×工效以及它的两个变式 ；
回顾复习
(4)顺水逆水问题：顺水速度＝ 轮船速度+水流速度 ，
逆水速度＝ 轮船速度-水流速度 ；
(5)利润问题：基本公式： 利润=售价-进价，利润率=利润÷进价.
探究新知
学生活动一 【一起探究】
的工作效率比原计划提高20%,结果提前2天完成任务.设原计
划每天铺设x米,下面所列方程正确的是( A )
720
720
2
x
( x 20%) x
720
720
C.
2
(1 20%) x
x
A.
720
720
2
(1 20%) x
x
720
720
D.
x 2 (1 20%) x
B.
拓展应用
x
x 2x
解得x=30,
经检验x=30为原方程的根且符合题意.
∴2x=60.
答:甲队单独完成这项工程需30天,乙队单独完成这项工程
需60天.
课后作业
1.课本P154 习题15.3第3,5题.
八年级上册数学15.3第2课时列分式方程解决实际问题
课堂练习
7．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以 体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球 ，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价 格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买 足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？
.
甲队 乙队
工作时间（月） 工作效率
1 1
1
2
3
1
1
2
x
工作总量（1）
(1 1 ) 1 23
11 2x
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
(1 1 ) 1
11
23
2x
列得分式方程：1 1 1 1 1 1.
2 3 2 x
探索新知
解得 x sv
.
50
检验：由v，s都是正数，得 x sv
时，x(x+v)≠0.
50
所以，原分式方程的解为 x sv
.
50
答：提速前列车的平均速度为 sv
50
km/h.
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 1.审：审清题意，分清题中的已知量、未知量； 2.找：找出题中的相等关系， 3.设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 4.列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 5.解：解所列分式方程；
．
﹣
＝30
课堂练习
6．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元 在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每 件多少元？
分式方程的应用(二)行程问题
中学八年级上册数学学科教学设计第周第单元第课时课题T15.3.4 分式方程的应用（二）行程问题课型讲授主备人授课时间课时执教者教学目标(1)会找出实际问题中的等量关系，熟练地列出相应的方程.（2）会解含字母系数的分式方程.（3）知道列方程解应用题为什么必须验根，掌握解题的基本步骤和要求.教学重难点重点：根据条件恰当设未知数列方程和解方程.难点：会从实际问题中获取有用的信息，准确找出相应的数量关系和等量关系.一、情境导入，初步认识行程问题1．注意关键词“提速了”与“提速到”的区别；2．明确两个“主人公”的行程问题中三个量用代数式表示出来；3．行程问题中的等量关系通常抓住“时间线”来建立方程．二、思考探究，获取新知1．小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面包车，就马上提速，他们约定好在300 km的地方碰头，正好同时到达，请问小轿车提速了多少？2．两车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿车行驶了180 km，小轿车为了追上面包车，就马上提速，他们约定好在s km的地方碰头，他们正好同时到达，请问小轿车提速了多少？3．小轿车提速前的平均提速了v km/h，用相同的时间，小轿车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，请问小轿车提速了多少？三、运用新知，深化理解板书设计课堂小结教学反思本课时教学除了在一般意义上让学生经历“提出问题——构建模型——解决问题”的过程，还应让学生特别注意分式方程的“检验”.作业布置1、课堂作业：2、课外作业：。
列分式方程解决行程实际问题课件人教版八年级数学上册
学生骑车
15
15
x
课堂练习
12
难点巩固
路程/km
时间/h
速度/（km/h）
队伍步行
学生骑车
15
15
x
解得：
经检验： 是原分式方程的解，
等量关系为：学生骑车的速度=队伍行进速度×2
小结
7.答：写出答案.
用列表法列分式方程解决实际问题的步骤：
1.审：审题明确已知量和未知量，设未知数为x；
2.列：列表将所需量填写在表格中；
路程
速度
时间
提速前
提速后
s
s+50
v
x+v
S
S+50
分析：设提速前小轿车车的平均速度为x km/h.
解：设小轿车的平均速度为多少xkm/h， 依题意得
课堂练习
11
难点巩固
分析：设这名学生骑车用了xh，则队伍所用的时间为( )h,
路程/km
时间/h
速度/（km/h）
队伍步行
0
180
200
S
路程
速度
时间
面包车
小轿车
s-200
s-180
100
90+x
设小轿车提速xkm/h
解：设小轿车提速为x千米/小时，依题意得
解得x＝
3.小轿车平均提速vkm/h,用相同的时间，小轿车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km,提速前小轿车车的平均速度为多少km/h？
0
S
S+50
0
180
200
300
路程速度时间面车小轿车设小轿车提速xkm/h
解：设小轿车提速为xkm/h，依题意得:
人教版八年级数学上册分式方程的应用《列分式方程解决行程实际问题》教学设计
15.3.2分式方程的应用——列分式方程解决行程实际问题一、内容和内容分析1.内容列分式方程解决实际问题．2.内容解析本节课是在学生已经学习了分式方程的概念并掌握分式方程解法的基础上，进一步探索在实际问题中如何将等量关系用分式方程表示，从而利用分式方程解决实际问题．本节课的重点是列分式方程解决实际问题．二、目标和目标解析1.目标能够分析题意找出等量关系，利用等量关系列分式方程解决实际问题．2.目标解析达成目标的标志是，从实际问题中寻找相等关系，设恰当的未知量，列分式方程，达到将实际问题转化为数学问题的过程．掌握分析问题，解决问题的能力，学会把所学知识应用到实际生活的方法．三、教学问题诊断分析1.理解行程问题中三个量之间的数量关系2.列分式方程解应用题的关键是分析题意找出相等关系．本节课的难点是列分式表示实际中的等量关系．四、教学支持条件分析根据本节课内容的特点，为了更直观、形象地突出行程问题的特点，可借助信息技术工具，将问题以动画的形式呈现，帮助学生加深对实际问题的理解．五、教学过程设计1.视频导入，温故知新活动1：回顾行程问题三个量之间的关系以及列一元一次方程解实际问题的一般步骤．师生活动：教师播放视频，学生观看视频．视频可总结：（1）行程问题中三个量之间的关系，即路程=速度×时间等.（2）列一元一次方程解实际问题的一般步骤：①审：分析题意，找等量关系②设未知数③列方程：根据等量关系列方程④解方程⑤答：注意单位和语言完整.设计意图：引导学生回忆有关内容，为顺利完成本节课的任务做好准备.2.典例解析，视频归纳例4 某次列车平均提速v km/h时．用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度是多少？问题1：题目中的等量关系是什么？师生活动：教师提问，学生充分读题﹑独立思考回答，根据学生的回答，教师适当引导：从已知条件入手，哪句话表示了相等关系.设计意图：引导学生找出题目中的等量关系.问题2：如何根据等量关系列方程？师生活动：教师引导学生分析出字母v ，s 表示已知数据，学生依据发现的等量关系，设提速前的平均速度为x km/h ，列出分式方程50s s x x v+=+． 设计意图：学生从实际问题中抽象出数学问题，引导学生建立分式方程模型解决行程实际问题.问题3：怎样解分式方程？师生活动：学生根据之前所学解分式方程的过程，去分母化简为s (x +v )=x (s +50)，再解方程得50sv x =．检验：由v ，s 都是正数，得50sv x =时x (x +v )≠0．所以，原分式方程的解50sv x =．最后，答：提速前列车的平均速度为50sv km/h ． 设计意图：教师及时引导，展现完整的解答过程，培养学生有条理地思考和表达习惯.问题4：列分式方程解实际问题的一般步骤是什么？ 师生活动：在学生充分发表观点的基础上，师生共同归纳出步骤：①审：分析题意，找等量关系②设未知数③列方程：根据等量关系列方程④解方程⑤验：是否为分式方程的解，是否符合实际意义，列分式方程解决实际问题的一般步骤和整式一样，只是多了一步检验.⑥答：注意单位和语言完整设计意图：让学生经历列分式方程解决实际问题的完整过程之后，归纳总结一般步骤是将解决问题的过程程序化，加深了对建模一般步骤的理解.活动2：总结建立分式方程模型解决实际问题的一般步骤．师生活动：教师播放视频，学生观看视频．用视频引导学生回顾分析数量关系，发现数量关系，选择适当的未知数，列出分式方程，解决实际问题的过程。
人教版八年级数学上册《分式方程应用(行程问题)》教学设计
15.3分式方程应用（行程问题）教学目标：1、用列表法列分式方程，解决现实情景中的行程问题2、体会数学模型的应用价值。
教学重点: 利用列表法审明题意，将实际问题转化为分式方程的数学模型。
教学难点：从有形的列表过渡到无形的列表（脑中理清思路），利用数量关系找准等量关系教学内容：（一）复习引入列方程解应用题的步骤是什么？（二）新课讲解一、相关概念在行程问题中，三个基本量是：它们的关系是：在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么顺水速度= ；逆水速度= .二、基础练习：(1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶千米(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，则乘坐该客车从甲地到乙地需小时。
(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，则该客车的速度是。
三．习题讲解：练习：八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分同学骑自行车先走，过了20分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。
已知汽车的速度是骑车同学速度的2倍，求骑车同学的速度。
例1 某班学生到距学校12千米的公园游玩,一部分人骑自行车先行,经0.5时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是自行车的3倍,求自行车和汽车的速度.练习：轮船在顺水中航行80千米所需的时间比逆水航行80千米所需的时间少一个小时．已知水流的速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度．例2.轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同．已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度．四、课堂练习（只列式子）1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相等，求他步行40千米用多少小时?2、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆汽车各自的速度.。
15.3分式方程之行程问题
【解析】设冲锋舟在静水中的最大航速为x km/h,根据题意
2 1.2 = , 解得x=40,经检验x=40是所列方程的解. 得 x+10 x-10
5.验:检验. 6.答:注意单位和语言完整.
例1 某列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行 驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均 速度为多少？
分析：这里的v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为x km/h，先考虑下面的填空：
s h，提速后列车的 x 平均速度为 (x+v) km/h，提速后列车运行 (s+50) km
答案：40 km/h
3.（潼南·中考)某镇道路改造工程,由甲、乙两工程队合
作20天可完成.甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多
用30天完成此项工程. (1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天? (2)若甲工程队独做a天后,再由甲、乙两工程队合作____ 天(用含a的代数式表示)可完成此项工程;
15.3 分式方程
第2课时
1.会列出分式方程解决简单的实际问题. 2.能根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理.
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整. 3.列:根据数量和相等关系,正确列出方程.
4.解:认真仔细解这个分式方程.
提速前列车行驶s km所用的时间为
所用时间为 方程:
s+50 x+v
八年级上册数学人教版 15.3 分式方程解行程问题 课件
检验：将x=3代入原方程中，分母x-3和x2-9的值都为0，分式无意义.
思考：为什么x=3不是分式方程的根？
针对练习：
练习1.
解方程
2 x3
3. x
2. 解方程
x 1
3
.
x 1 (x 1)(x 2)
解： 方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9.
解得 x=9.
解： 方程两边乘(x-1)(x+2),得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3. 解得 x=1.
检验：当x＝3时，x2－4≠0. 所以x＝3是原分式方程的解．
小结：
最简公分母
分式
整式
方程
方程
有解
无解
简记为：“一化二解三检验”.
检验
最简二次根式≠0 是分式方程的解
最简二次根式=0 分式方程无解（增根）
巩固训练：
计算（. 1）. 2x 1 2 x2 2x
（2） 2 3 x5 x
解：方程两边同时乘以（x 2） 2x (x 2) 2
思考：1.该实际问题属于什么类型的问题？涉及哪几个量？
2.如何设未知数？ 你能完成表格吗？
效率 工作量 时间
3.你能列出方程吗？
900
甲 x 60 900 x 60
乙 x 600 600 x
情景导入
1.因新冠疫情防控需要，现要对某小区进行全员核酸检测，现有甲、乙两 支医疗队参与核酸采样工作，已知甲医疗队比乙医疗队平均每小时可多 采样60份，甲医疗队采样900份与乙医疗队采样600份所用的时间相等， 则甲医疗队和乙医疗队每小时各可采样多少份？
课题：15.3分式方程 难点名称：列分式方程解决行程问题
1
(部编)人教数学八年级上册《15.3.2分式方程的应用 列分式方程解决行程实际问题》_2
16． 3分式方程的应用
思考：列分方程解决实际问题的方法和步骤是什么？
第二步：应用举例
P35例3
分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.
等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1
P36例4
分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等
量关系是：提速前所用的时间=提速后所用的时间
总结：
解分式方程应用题必须双检验：（1）检验方程的解是否是原方程的解；（2）检验方程的解是否符合题意.
第三步：随堂练习
第四步：课后练习
1．某学校学生实行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来因为把速度加快，
结果于下午4时到达，求原计划行军的速度。
2．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成
各需多少天？
3．甲容器中有15%的盐水30升，乙容器中有18%的盐水20升，如果向两个容器个加入等量水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？
答案：1. 10千米/时 2. 4天，6天 3. 20升。
(部编)人教数学八年级上册《15.3.2分式方程应用列分式方程解决行程实际问题》5
分式方程教学目标知识技能：会解可化为一元一次方程的分式方程．会准确的实行检验．使用分式方程解决实际应用问题时，会合理设未知数，找出等量关系并列出方程．数学思考：在用分式方程解决实际应用问题的过程中，体验数学的应用性，进一步强化检验的必要性．问题解决：经历探索应用分式方程解决实际问题的过程，掌握分析问题、解决问题的水平，学会把所学知识应用到实际生活的方法．情感态度：通过师生活动、学生自我探究，让学生体验数学的应用性，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：从实际问题中列出分式方程并准确解分式方程．教学难点：等量关系的提炼以及转化为方程的过程．教具：多媒体课件教学活动：一、回忆：x151.解分式方程：.2x552x2.〔1〕、在行程问题中，主要是有三个量---路程s、速度v、时间t。
它们的关系是----s=vt、v=s s。
、t=vt〔2〕、在水流行程中：静水速度v静和水流速度v水顺水速度v顺=v静+v水,逆水速度v逆=v静-v水。
二、新课讲授：(1)〔一〕：创设情境导入新课(2)【课堂引入】例2(教材153页例4)某次列车平均提速vkm/h.用相同的时间，(3)列车提速前行驶skm/h，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度(4)是多少？(5)师生探究分析：(6)思考：这是____问题，三个量为〔2〕等量关系：3〕设未知数4〕列表路程km 速度km/h提速前提速后〔5〕分析题目信息完成表格路程km 速度km/h提速前s x 提速后s50xv(6)根据等量关系：t提速前=t提速后，可列方程〔7〕以下是解题过程解：设提速前这次列车的平均速度为xkm/h，由题意得s s＋50＝.x x＋v方程两边乘x(x＋v)，得s(x＋v)＝x(s＋50).sv解得x＝50.sv检验：由v，s都是正数，得x＝50时x(x＋v)≠0.sv所以，原分式方程的解为x＝50.sv 答：提速前列车的平均速度为时间h时间hsx50xv〔二〕活动：实践探究交流新知【探究】.教师使用课件展示分式方程的解答过程.教师提出问题，学生答复，回忆分式方程的根本解法，并归纳具体步骤.1.审：分析题意,找出数量关系和相等关系.2.设：选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.3.列：根据数量和相等关系,准确列出代数式和方程.4.解：认真仔细.5.验：有两次检验.6.答：注意单位和语言完整.且答案要生活化.〔三〕小组合作完成练习八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一局部同学骑自行车先走，过了20 分后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达。
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X X–3
45/x
30/x-3
所得方程为
30 X 3
我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌军离 桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军 速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达， 求我部队急行军的速度。
敌军 路程 24 30 速度 时间 24/x
我军
x 1.5 x
30/1.5x
解得x=4 经检验x=4是方程的解，并且符合题意。 40÷4=10(小时） 答：他步行40千米用10个小时。
2、一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学
校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从
学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍行进
速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千
聪明的人，今天做明天的 事；懒惰的人，今天做昨天的 事；糊涂的人，把昨天的事也 推给明天。愿你做一个聪明的 孩子！愿你做一个时间的主人！
6、写出答案。
列分式方程解应用题与列一元一次方程 解应用题的方法与步骤基本相同， 不同点是，解分式方程必须要验根. 一方面要看原方程是否有增根， 另一方面还要看解出的根是否符合题 意. 原方程的增根和不符合题意的根都应 舍去.
常见题型及相等关系
行程问题 ： 基本量之间的关系：
路程=速度 速度，即s=vt
48 等量关系： 我军的时间？ = 敌军的时间 – 60
解：设敌军的速度为X千米/时,则我军为1.5X千米/时。
由题意得方程：
30 24 48 1.5X X 60
练习：（只设未知数列出方程） 八（1）班的学生到距学校15千米的地方 春游，一部分同学骑自行车先走，40 分钟 后，其余同学乘汽车去，结果同时到达， 已知汽车的速度是自行车的三倍， 求两种车的速度。
s s 50 x xv
练习： 已知甲车行驶45千米的时间与 乙车行驶30千米的时间相同，如果甲车每小时比乙车 快3千米，问两车的速度各为多少？ 这是一个行程问题
甲车行驶45千米的时间 = 乙车行驶30千米的时间
依题意填出下表有关内容：
路程（千米） 速度（千米/时） 时间（时）
甲车 乙车
45 30
解：设自行车的速度为每小时x千米， 则汽车的为每小时3x千米 由题意得：
15 15 2 x 3x 3
1、某人骑自行车比步行每小时多走8千米，如果 他步行12千米所用时间与骑车行36千米所用的时间相 等，求他步行40千米用多少小时?
解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8)千米，则
12 36 x x8
复习： 解分式方程的一般步骤是什么？
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
最简公分母为0 a不是分式 方程的解
a是分式 最简公分母不为0 方程的解
列分式方程解应用题的一般步骤
1、审题 ； 2、设未知数；(直接设元或者间接设元) 3、找出能表示题目全部含意的相等关 系，列出分式方程； 4、解分式方程； 5、验根：先检验是否有增根，再 检查是否合符题意；
【例1】从2004年5月起某列车平均提速v千米/小
时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提 速后比提速前多行驶50千米，提速v,则
sv 解得 x 50 sv sv 检验：x 时，x(x+v) ≠0, x 是方程的解。 50 50 sv 答：提速前列车的平均速度为 千米/小时。 50
4、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船 在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千 米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少 千米?
解：设水流的速度为x,则
72 48 20 x 20 x
甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而 行，甲先行1小时之后，乙才出发，又经过4 小时，两人在途中的C地相遇，相遇后，两人 按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的 途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时， 比甲由C地到B地还提前了40分钟，已知乙比 甲每小时多行4千米，求甲乙两车的速度。
解：设甲每小时行驶x千米，那么乙每小时行驶(x+4)千米 根据题意，得
解之得， x1 16, x2 2, 都是原方程的根 但x= - 2 不合题意，舍去 所以x=16时， x+4=20 答：甲车的速度为16千米/小时，乙车的速度为20 千米/小时。
5x 4( x 4) 20 40 x4 x 60 60
米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间 ?
解：设队伍的速度为x，骑车的速度为2x,则
15 15 30 解得x=15 x 2 x 60
经检验x=15是原方程的解,并且符合题意。
15 0 .5 2x
答：这名学生追上队伍用了0.5小时。
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，
常见的相等关系：
(1)、相遇问题 ：甲行程 + 乙行程 =全路程
(2)、追及问题： (设甲的速度快)
1)、同时不同地： 甲用的时间 = 乙用的时间 甲的行程 - 乙的行程 = 甲乙原来相距的路程 2)、同地不同时： 甲用的时间 = 乙用的时间 - 时间差 甲走的路程 = 乙走的路程 3)、水(空)航行问题 ： 顺流速度 = 静水中航速 + 水速 逆流航速 = 静水中速度 – 水速
分析：本题把时间作为考虑的着眼点。 设甲的速度为 x 千米/时 1)、相等关系：乙的时间=甲的时间
20 40 60 60
甲用的时间甲的速度 2)、乙用的时间= 乙的速度
5x x4
4( x 4) x
乙用的时间 乙的速度 3)、甲用的时间= 甲的速度
甲乙两人 分别骑摩托车从A、B两地相向而行，甲先行1 小时之后，乙才出发，又经过4小时，两人在途中的C地相遇， 相遇后，两人按原来的方向继续前行，乙在由C地到A地的 途中因故停了20分钟，结果乙由C地到A地时，比甲由C地到 B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行4千米，求甲乙 两车的速度。
大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30 分钟.已知小汽车与大汽车的速度之比是5：2，求两辆 汽车各自的速度.
解：设小汽车的速度为5x,大汽车的速度为2x,则
135 30 135 5 5 x 60 2 x
解得x=9 经检验x=9是方程的解，并且符合题意。 5×9=45 2×9=18 答：小车每小时行45千米，大车每小时行18千米。
小结：列分式方程解应用题的方法与步骤为：
审 （审题，找出相等的关系）
设 （一般求什么设什么---这是直接设，也可间接设）
列 （根据等量关系列出分式方程）
解（解这个分式方程）
验 （既要验是否为所列分式方程的根，
又要验是否符合实际情况）
答（完整地写出答案，注意单位）
习题15.3第8题 复习题15 第10题