排列组合的综合运用

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如何应用排列组合解决实际问题

如何应用排列组合解决实际问题排列组合是组合数学中重要的一个分支，可以用来解决各种实际问题。

它主要研究的是对事物进行选择、排序或分组的方式和方法。

本文将介绍如何应用排列组合解决实际问题，并通过一些例子来说明其应用。

一、排列的应用排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个进行排列。

它在实际问题中经常用于确定事件的顺序或次序，如赛车比赛名次的确定、球队比赛对阵的安排等。

例子1：某校有10名学生，要选出3名代表参加比赛。

问有多少种选法？解析：由于选出的代表有顺序之分，所以这是一个排列问题。

根据排列的计算公式，可以得出答案为10P3=10×9×8=720种选法。

例子2：某公司要从5名员工中选取3名代表参加会议，其中一人必须是经理。

问有多少种选法？解析：由于选出的代表有顺序之分，并且经理必须选中，所以这又是一个排列问题。

首先确定经理的选择，只有1种可能；然后从剩余的4名员工中选取2名，共有4P2=12种选法。

因此，总的选择方式为1×12=12种。

二、组合的应用组合是指从一组事物中选取若干个不考虑其顺序的组合方式。

它在实际问题中广泛应用于确定事件的组合、分组等情况，如选课、分组旅行等。

例子3：某班有10名学生，要从中选取5名学生组成一个团队。

问有多少种选法？解析：由于选出的团队不考虑顺序，所以这是一个组合问题。

根据组合的计算公式，可以得出答案为10C5=252种选法。

例子4：某城市有8个景点，旅行团要从中选择3个景点进行游览。

问有多少种选法？解析：由于选出的景点不考虑顺序，所以这又是一个组合问题。

根据组合的计算公式，可以得出答案为8C3=56种选法。

三、排列组合综合应用在实际问题中，有些情况既包含了排列又包含了组合，需要综合运用排列组合的知识来解决。

例子5：某超市有8种水果，要从中选购5种水果放入购物篮中，问有多少种选法？解析：由于选出的水果不考虑顺序，所以这是一个组合问题。

根据组合的计算公式，可以得出答案为8C5=56种选法。

数学思维训练-奥数趣题-排列组合

排列组合的综合运用
教师：巨人龙老师
一个卖鞋的老板，20元买来一双鞋，30元卖出。客人给了张50元的，可老板没零钱，所以去找邻居换了 5张10元的，找给客人20元，后来邻居发现这50元时假钞，老板不得不赔邻居50元。此时客人早已离开。请问老板一共亏了多少元？
排列组合
例题1
如图所示，有6面颜色不同的小旗，任取3面排成一行表示一种信号，那么这6面小旗一共能表示多少种不同的信号？
例题3
有6个小朋友排成1排，若小亮和小雨必须相邻，并且小雨和小新也必须相邻，求一共有多少种站法？
练习3
ABCDEF一共6名小朋友排成一排，若A、B必须相邻，B和C不能相邻，，求一共有多少种站法？
例题4
5个男生和3个女生站一排，要求女生互不相邻，问有多少种站法？
练习4
将三个大小不同的红球和四个大小不同的白球排成一行，要求红球互不相邻，共有多少种站法？
练习6
一次射击比赛中，7个泥质的靶子如图挂成3列，一射手按照以下规则击碎靶子，先挑选一列，然后必须先击碎这列最下一个，若每次都遵循这样的规则，则击碎全部7个靶子共有多少种不同的顺序？
例题7
由2个1,3个2,4个0可以组成多少个九位数？
练习7
用两个1，两个2，两个3可以组成多少个不同的六位数？
例题5
图中有一个A到B的公路网络，一辆车从A Nhomakorabea驶到B，可以选择的最短路线一共有多少条？
B
A
练习5
图中，从A经过O到B点有几条最短路线？
B
O
A
例题6
一次射击比赛中，5个泥质的靶子如图挂成2列，一射手按照以下规则击碎靶子，先挑选一列，然后必须先击碎这列最下一个，若每次都遵循这样的规则，则击碎全部5个靶子共有多少种不同的顺序？

排列组合的综合应用

5
3号盒
3
4号盒
4
5号盒
2C
2 5
十六. 分解与合成策略
例16.30030能被多少个不同的偶数整除？
30030=2×3×5 × 7 ×11×13
C C C C C
1 5 2 5 3 5 4 5
5 5
十七.化归策略
例17.25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法？ 7 3 4
A7/ A3
A7
练习：10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
C
5 10
五.重排问题求幂策略（住店法）例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？
7
6
练习：七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数?
1 C4
3 A4
1 C3
二.相邻元素捆绑策略
例2. 某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 .
A
2 5
三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 5 4 A5 A6
四.定序问题倍缩空位插入策略
m A 排列数公式 n ＝
性
(1)An n＝
n－m m n！； (1)C0 C 1 ；(2)Cn ＝ n ； n＝
m m－1 C (3)Cm ＋ C ＝ n＋1 n n
质 (2)0！＝ 1 备注
n，m∈N*且m≤n
一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

排列组合问题的解决方法

排列组合问题的解决方法排列组合问题是数学中的一个重要概念，也是许多实际问题中常见的一种情况。

在解决排列组合问题时，我们需要运用一定的方法和技巧，以得到准确的答案。

本文将介绍一些常见的解决排列组合问题的方法。

一、排列问题的解决方法排列是从若干个元素中选取一部分进行排序的问题。

在解决排列问题时，我们可以运用以下方法：1.全排列法：全排列法适用于待排元素个数较少的情况。

通过穷举待排元素的所有可能排列，我们可以得到准确的答案。

但当待排元素个数较多时，全排列法的计算量会变得非常大，不适用于实际问题。

2.递归法：递归法是解决排列问题的常用方法之一。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到排列问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的排列问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行排列的方法数，可以使用排列组合公式P(n,m) = n! / (n-m)!来计算。

二、组合问题的解决方法组合是从若干个元素中选取一部分进行组合的问题。

在解决组合问题时，我们可以运用以下方法：1.枚举法：枚举法是解决组合问题的常用方法之一。

通过枚举待选元素的所有可能组合，我们可以得到准确的答案。

但同样地，当待选元素个数较多时，枚举法的计算量会非常大。

2.递归法：递归法同样适用于解决组合问题。

通过不断缩小问题规模，并通过递归调用自身来解决子问题，最终得到组合问题的解。

递归法的优点是代码简洁易懂，但在处理大规模问题时，其效率可能较低。

3.数学公式法：对于一些特殊的组合问题，我们可以运用数学公式来求解。

比如，计算从n个元素中选取m个元素进行组合的方法数，可以使用排列组合公式C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)来计算。

三、排列组合问题的综合应用在实际问题中，排列组合常常与其他数学概念和方法相结合，以解决更为复杂的问题。

【排列组合(10)】排列与组合综合应用(二)

排列与组合综合应用(二）一、选择题1.某班上午有五节课，分別安排语文，数学．英语．物理、化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻．且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是()A. 16B. 24C. 8D. 122.将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A. 50B. 80C. 120D. 1403.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为()A. 60B. 72C. 84D. 964.安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作，每天安排一人，甲、乙、丙每人安排一天，丁安排三天，并且丁至少要有两天连续安排，则不同的安排方法种数为()A. 72B. 96C. 120D. 1565.由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有()A. 36个B. 42个C. 48个D. 120个6.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教(每地至少1人)，其中甲和乙一定不同地，甲和丙必须同地，则不同的选派方案共有()种．A. 27B. 30C. 33D. 367.某技术学院安排5个班到3个工厂实习，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，则不同的安排方法共有()A. 60种B. 90种C. 150种D. 240种8.某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中．则他第1次、第2次两次均未命中的概率是()A. 12B. 310C. 14D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）9.现有7件互不相同的产品，其中有4件次品，3件正品，每次从中任取一件测试，直到4件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有______种．10.用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，则这样的五位数的个数是______(用数字作答)．11.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有______种．12.某高中高三某班上午安排五门学科(语文，数学，英语，化学，生物)上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是______．三、解答题（本大题共8小题，共96.0分）13.我校今年五四表彰了19名的青年标兵，其中A，B，C，D 4名同学要按任意次序排成一排照相，试求下列事件的概率(1)A在边上；(2)A和B在边上；(3)A或B在边上；(4)A和B都不在边上．14.六个人按下列要求站成一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲、乙必须相邻；(2)甲、乙不相邻；(3)甲、乙之间恰有两人；(4)甲不站在左端，乙不站在右端．15.从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？(写出计算过程，并用数字作答)(1)甲、乙两人必须跑中间两棒；(2)若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；(3)若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．16.4男3女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何两名女生都不相邻，有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙顺序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？17.6本不同的书，按如下方法分配，各有多少种分法：(1)分给甲、乙、丙3人，每人各得2本；(2)分给甲、乙、丙3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本；(3)分给甲、乙、丙3人，其中一人得1本，其中一人得2本，其中一人得3本．18.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子.问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？19.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(Ⅰ)选其中5人排成一排；(Ⅱ)排成前后两排，前排3人，后排4人；(Ⅲ)全体排成一排，女生必须站在一起；(Ⅳ)全体排成一排，男生互不相邻；(Ⅴ)全体排成一排，甲不站在排头，也不站在排尾。

专题10 排列组合的综合运用(4月)(期中复习热点题型)(理)(原卷版)

专题10 排列组合的综合运用一、单选题1．用0,1,2,4组成没有重复数字的四位数，共有A ．24个B ．20个C ．18个D ．12个2．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443等．那么在四位数中，回文数共有A ．81个B ．90个C ．100个D ．900个3．当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排,,,,A B C D E 五名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且,A B 两人安排在同一个地区，,C D 两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种4．平面内有两组平行线，一组有3条，另一组有4条，且这两组平行线相交，可以构成不同的平行四边形个数为A ．10B ．12C ．16D ．185．横峰中学高二某班准备举办一场“互动沙龙”，要求从6位男嘉宾，2位女嘉宾中随机选出4位嘉宾进行现场演讲，且女嘉宾至少要选中1位，如果2位女嘉宾同时被选中，她们的演讲顺序不能相邻，那么不同演讲顺序的种数是A ．1860B ．1320C ．1140D ．10206．已知{}()1,0,1,1,2,,,i x i n n N *∈-=∈，则满足1232n x x x x ++++=的有序数组()123,,,,n x x x x共有个A．222n n-B．222n n+C．22n n-D．2n n-7．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有A．261种B．360种C．369种D．372种8．2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部(3男4女)到三个贫困村调研走访，每个村安排男､女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有A．72种B．108种C．144种D．210种9．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为A．85B．86C．91D．9010．如图所示为沟算盘，即古罗马算盘，其用青铜制成，盘上竖有小槽，内有小珠，其中左边七个竖槽的下槽各有四珠，每珠表示一，上槽一珠表示五，槽间有数位个、十、百（对应拉丁字母：I，X，C）；右边的两个竖槽表示分数，其中右数第二个竖槽的上槽有一珠，表示12，下槽有五珠，每珠表示112，最右边的竖槽含有三个短槽，上槽有一珠，表示124，中槽有一珠，表示148，下槽有二珠，每珠表示172．若从右数的前两个竖槽中任选三个小珠，则一共能表示的分数的个数为A．19B．44 C．55D．12011．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，不经过B的概率为A．25B．815C．35D．2312．2019年二十国集团(20G)领导人峰会将在日本大阪开幕，为了欢迎二十国集团政要及各位来宾的到来，日本大阪市长决定举办大型歌舞晚会，现从A、B、C、D、E共5名歌手中任选3人出席演唱活动，当3名歌手中有A和B时，A需排在B的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有．A．51种B．45种C．42种D．35种13．2020是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年．复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外3名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配1名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是A．3B．8C．12D．614．刘老师、王老师与四位学生共六人在凌江园排成一排照相，两位老师相邻且都不在两端的排法种数是A．96B．128C．144D．24015．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有种．A．60B．72C．96D．15016．天河区某校开展学农活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行决赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”，试从这个回答中分析这5人的名次排列顺序可能出现的种类有A ．54种B ．60种C ．72种D ．96种17．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理．某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶．因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种18．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有A ．51个B ．54个C ．12个D ．45个19．8名学生站成两排，前排3人，后排5人，则不同站法的种数为①5555A A +；②5383A A ；③5383A A +；④88A ．其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 20．将标号为1、2、3、4、5、6的6个小球随机地放入标号为1、2、3、4、5、6的6个盒子中，每个盒子放一个小球，恰好有4个小球的标号与其所在盒子的标号不一致的放法总数有A ．45种B ．90种C ．135种D ．180种二、多选题1．我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为 A ．124564C C A B ．5651A CC ．124564C A AD ．2565C A 2．将4个不同的小球放入三个分别标有1､2､3号的盒子中，不允许有空盒子，则不同的放法种数是A ．11114323C C C CB ．2343C A C ．3143A CD ．21342322C C A A 3．现安排高二年级A ，B ，C 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工），且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是A ．所有可能的方法有43种B ．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种C ．若同学A 必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种D ．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种4．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A ，B ，C 三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是A ．若C 企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种B ．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种C ．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到A 企业，则所有不同分派方案共12种D ．所有不同分派方案共34种5．现有4个小球和4个小盒子，下面的结论正确的是A ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，则共有24种放法B ．若4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有两个空盒的放法共有18种C ．若4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，且恰有一个空盒的放法共有144种D ．若编号为1，2，3，4的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，没有一个空盒但小球的编号和盒子的编号全不相同的放法共有9种6．将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有多少种？下列结论正确的有A ．11113213C C C CB ．2343C AC ．122342C C AD ．187．用0到9这10个数字．可组成个没有重复数字的四位偶数？A ．31129488A A A A +⋅⋅B ．31329498()A A A A +⋅-C ．112112558448A A A A A A ⋅⋅+⋅⋅D ．43132109598()A A A A A --- 8．下面结论正确的是A ．若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为35B ．1×1!+2×2!+…+n ⋅n !＝（n +1）!﹣1（n ∈N *）C ．（n +1）m n C ＝（m +1）11m n C ++（n ＞m ，N ,N m n **∈∈） D ．135********...2n n n n n n C C C C --++++=（N n *∈）9．用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是 A ．可组成360个不重复的四位数B ．可组成156个不重复的四位偶数C ．可组成96个能被3整除的不重复四位数D ．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310 10．如图，在某城市中，M 、N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中1A 、2A 、3A 、4A 是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M 、N 处的甲、乙两人分别要到N 、M 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N 、M 处为止．则下列说法正确的是A ．甲从M 到达N 处的方法有120种B ．甲从M 必须经过2A 到达N 处的方法有9种C ．甲、乙两人在2A 处相遇的概率为81400 D ．甲、乙两人相遇的概率为41100三、填空题1．现有标号为①，②，③，④，⑤的5件不同新产品，要放到三个不同的机构进行测试，每件产品只能放到一个机构里．机构A，B各负责一个产品，机构C负责余下的三个产品，其中产品①不在A机构测试的情况有___________种(结果用具体数字表示)．2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有___________种．3．用数字1、2、3、4、6可以组成无重复数字的五位偶数有___________个．（用数字作答）4．某医院传染病科室有5名医生．4名护士，现从这9名医护人员中选取5名参加医院组织的运动会，要求其中至少有2名医生．2名护士，则不同的选取方法有___________种．5．中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》．八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学安排了包括“土、匏、竹”在内的六种乐器的学习，每种乐器安排一节，连排六节，并要求“土”与“匏”相邻排课，但均不与“竹”相邻排课，且“丝”不能排在第一节，则不同的排课方式的种数为___________．6．把分别写有“爸”、“爸”、“去”、“哪”、“儿”的5张卡片放入4个不同信封，每个信封至少放一张卡片，则写有“爸”、“爸”的两张卡片恰好被放入同一个信封的不同情况共有___________种．(用数字作答)7．由1，2，3，4，5，6组成的无重复数字的三位数中，奇数必须排在百位或个位上的数共有___________个．8．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则关于“六艺”课程讲座不同排课顺序的种数为___________．（用数字作答）9．辛丑牛年春晚现场请来了荣获“人民英雄”“时代楷赘”“全国道德模范”称号的几位先进人物代表共度新春佳节，他们是“人民英雄”陈薇，“时代楷模”毛相林、张连刚，林占禧，“全国道德模范”张晓艳、周秀芳、张家丰，朱恒银，从中选出两位荣誉称号不同的代表先后给全国人民拜年，则不同的发言情况有___________种．10．为响应国家脱贫攻坚的号召，某县抽调甲、乙、丙等六名大学生村官到A、B、C三个村子进行扶贫，每个村子去两人，且甲不去A村，乙和丙不能去同一个村，则不同的安排种数为___________．11．某班需要选班长､学习委员､体育委员各2名，其中体育委员中必有男生，现有4名男生4名女生参加竞选，若不考虑其他因素，则不同的选择方案种数为___________．12．某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有___________种．(用数字填写答案)13．七个男生和四个女生排成一排，要求女生不相邻且不可排两头的排法共有___________．14．小明与3位男生、3位女生在排队购物，已知每位女生需2分钟，男生需1分钟，若小明（不排在首位）的前后不同时为女生，且他的等待时间不多于4分钟，则不同的排队情况共有___________种．15．某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数___________．四、双空题1．某地区高考改革，实行“312++”模式，即“3”指语文，数学，外语三门必考科目，“1”指在物理，历史两门科目中必选一门，“2”指在化学，生物，政治，地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科，则一名学生的不同选科组合有___________；选择了物理的概率为___________．（用数字作答）2．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有___________种，用5种颜色染色的方案共有___________种．3．在浙江省新高考选考科目报名中，甲、乙、丙、丁四位同学均已选择物理、化学作为选考科目，现要从生物、政治、历史、地理、技术这五门课程中选择一门作为选考科目，则不同的选报方案有___________种（用数字作答）；若每位同学选报这五门学科中的任意一门是等可能的，则这四位同学恰好同时选报了其中的两门课程的概率为___________．4．在新高考改革中，学生可从物理、历史，化学、生物、政治、地理，技术7科中任选3科参加高考，则学生有___________种选法．现有甲、乙两名学生先从物理、历史两科中任选一科，再从化学、生物、政治、地理四门学科中任选两科，则甲、乙二人恰有一门学科相同的选法有___________种.5．一行八空任意填字，恰填得“上”、“右”两字各4个的不同填法有___________种；两张相同的44 方格表，有一方格重合（如图），沿格线连接A B 、两点；则不同的最短连接线有___________条．五、解答题1．（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？2．要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？（1）甲当选且乙不当选；（2）至多有3名男生当选．3．4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为A ，B ，C ，D ，E ，F ）的志愿者活动．假设每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的．（1）求4位同学报了4个不同的项目的概率；（2）求1位同学报了项目A ，剩余3位同学都报了项目B 的概率．4．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里．（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？（2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 5．7名班委有7种不同的职务，甲、乙、丙三人在7名班委中，现对7名班委进行职务具体分工．（1）若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任，有多少种不同的分工方案?（2）若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任，有多少种不同的分工方案? 6．用0、1、2、3、4、5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（3）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？。

小学奥数排列组合教案

小学奥数-排列组合教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念，掌握排列组合的基本算法。

2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。

3. 激发学生的学习兴趣，培养学生的耐心和细心。

二、教学内容1. 排列的概念和排列数公式2. 组合的概念和组合数公式3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的概念，排列数和组合数的计算方法。

2. 教学难点：排列组合的综合应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生通过实际操作理解排列组合的概念。

2. 采用案例教学法，分析典型例题，引导学生运用排列组合知识解决实际问题。

3. 采用讨论法，鼓励学生提问、交流、探讨，提高学生的逻辑思维能力。

五、教学安排1. 课时：每课时约40分钟2. 教学步骤：引入新课讲解概念举例讲解练习巩固课堂小结3. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

教案一、引入新课1. 老师：同学们，你们平时喜欢做游戏吗？今天我们就来玩一个有趣的游戏，请大家观察这些数字（出示数字卡片），看看你能发现什么规律？2. 学生观察数字卡片，发现规律。

二、讲解概念1. 老师：同学们观察得很仔细，这些数字卡片其实就是我们今天要学习的内容——排列组合。

什么是排列呢？2. 学生回答：排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的排列的个数。

3. 老师：很好，那什么是组合呢？4. 学生回答：组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有可能的组合的个数。

5. 老师：同学们掌握得很好，我们来学习排列数和组合数的计算方法。

三、举例讲解1. 老师：我们以n=5，m=3为例，来计算排列数和组合数。

2. 学生计算排列数：5×4×3=60，计算组合数：C(5,3)=10。

3. 老师：同学们计算得很好，这些排列和组合在实际生活中有哪些应用呢？四、排列组合在实际生活中的应用1. 老师：比如说，我们有一排5个位置，要从中选出3个位置来安排3个同学，就有60种排列方式，10种组合方式。

小学高级奥数第12讲-排列组合综合运用

练一练学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？
课后作业 <作业1> 把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法？
课后作业
<作业2>
将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。
练一练
三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？
例九
马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？
练一练
六年级三班举行六一儿童节联欢活动。整个活动由2个舞蹈、2个演唱和3个小品组成。请问：如果要求同类型的节目连续演出，那么共有多少种不同的出场顺序？
例四 8人围圆桌聚餐，甲、乙两人必须相邻，而乙、丙两人不得相邻，有几种坐法？
练一练 a，b，c，d，e 五个人排成一排，a 与 b 不相邻，共有多少种不同的排法？
课后作业 <作业3>
有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法？
课后作业 <作业4> 学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？源自后作业<作业5>
学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生．某次比赛后他们站成一排照相，请问：（1）如果要求男生不能相邻，一共有多少不同的站法？（2）如果要求女生都站在一起，一共有多少种不同的站法？

排列组合常见21种解题方法

排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。

在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。

1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。

2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。

3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。

4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。

5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。

6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。

7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。

8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。

9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。

10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。

11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。

12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。

13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。

14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。

15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。

16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。

17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。

18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。

19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。

排列组合综合应用3,4(其他问题)

宜春中学数学学科2-3册笫一章排列组合的综合应用3、4导学案编号：59-60编写：丁红平审核：高二数学理科备课组学习目标：1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理；2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力；3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。

.学习重点：排列组合在其他一些方面的应用学习难点：排列组合在其他一些方面的应用学习过程：一、（约3分钟）引例1：交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B ⋃=+-⋂.1.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.2.男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少种选派方法?(1)队长至少有1人参加；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)设A ＝{选派5人有男队长参加的}，B ＝{选派5人有女队长参加的},则原题即求n(A ∪B), 而n(A ∪B)=n(A)+n(B)-n(A ∩B). n(A)=49C =n(B), n(A ∩B)=38C , 故n(A ∩B)=19623849=-C C .另解：设A ＝{选派5人有1个队长参加的}，B ＝{选派5人有2个队长参加的}，则原题即求n(A ∪B),n(A)=4812C C , n(B)=3822C C , n(A ∩B)=n()=0. 因此n(A ∪B)=n(A)+n(B)=4812C C +3822C C ＝196．说明：A ∩B 即选派5人既要有1个队长参加又要有2个队长参加这件事，这是不可能事件．(2)设A ＝{选派5人有队长参加的}，B ＝{选派5人有女运动员参加的}，则原题即求n(A ∩B)，又)()()(B A n I n B A n ⋂-=⋂)()(B A n I n ⋃-=)()()()(B A n B n A n I n ⋂+--=191555658510=+--=C C C C即有191种选派方法．说明：即选派5人，既无队长又无女运动员参加．从以上例题我们可以看出，用集合与对应思想分析处理排列组合问题，实质上就是将同一问题中满足不同限制条件的元素的排列或组合的全体与不同的集合之间建立相应的对应关系，而将各限制条件之间的关系转化为集合与集合之间的运算关系，通过计算集合的元素个数来计算排列或组合的个数，这有助于将带有多个附加条件的排列或组合问题分解为只有1个或简单几个附加条件的排列或组合问题来处理，这可大大简化复杂的分类过程，从而降低了问题的难度．例2、（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A 、70种B 、64种C 、58种D 、52种解析：正方体8个顶点从中每次取四点，理论上可构成48C 四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有481258C -=个.（2）四面体的顶点和各棱中点共10点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A 、150种B 、147种C 、144种D 、141种解析：10个点中任取4个点共有410C 种，其中四点共面的有三种情况：①在四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为46C ，四个面共有464C 个；②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个；③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个.所以四点不共面的情况的种数是44106436141C C ---=种.（3）正方体8个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有481258C -=个，所以8个顶点可连成的异面直线有3×58=174对.（约10分钟）例1、小明家住二层，他每次回家上楼梯时都是一步迈两级或三级台阶。

四年级奥数讲义：排列组合的综合应用

四年级奥数讲义：排列组合的综合应用排列组合是数学中风格独特的一部分内容.它具有广泛的实际应用.例如：某城市电话号码是由六位数字组成，每位可从0～9中任取一个，问该城市最多可有多少种不同的电话号码？又如从20名运动员中挑选6人组成一个代表队参加国际比赛.但运动员甲和乙两人中至少有一人必须参加代表队，问共有多少种选法？回答上述问题若不采用排列组合的方法，结论是难以想像的.（前一个问题，该城市最多可有1000000个不同电话号码.后一个问题，代表队有20196种不同选法.）当然排列组合的综合应用具有一定难度.突破难点的关键：首先必须准确、透彻的理解加法原理、乘法原理；即排列组合的基石.其次注意两点：①对问题的分析、考虑是否能归纳为排列、组合问题？若能，再判断是属于排列问题还是组合问题？②对题目所给的条件限制要作仔细推敲认真分析.有时利用图示法，可使问题简化便于正确理解与把握.例1 从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？分析首先考虑从国画、油画、水彩画这三种画中选取两幅不同类型的画有三种情况，即可分三类，自然考虑到加法原理.当从国画、油画各选一幅有多少种选法时，利用的乘法原理.由此可知这是一道利用两个原理的综合题.关键是正确把握原理.解：符合要求的选法可分三类：不妨设第一类为：国画、油画各一幅，可以想像成，第一步先在5张国画中选1张，第二步再在3张油画中选1张.由乘法原理有5×3＝15种选法.第二类为国画、水彩画各一幅，由乘法原理有5×2＝10种选法.第三类油画、水彩各一幅，由乘法原理有3×2＝6种选法.这三类是各自独立发生互不相干进行的.因此，依加法原理，选取两幅不同类型的画布置教室的选法有15＋10＋6＝31种.注运用两个基本原理时要注意：①抓住两个基本原理的区别，千万不能混.不同类的方法（其中每一个方法都能各自独立地把事情从头到尾做完）数之间做加法，可求得完成事情的不同方法总数.不同步的方法（全程分成几个阶段（步），其中每一个方法都只能完成这件事的一个阶段）数之间做乘法，可求得完成整个事情的不同方法总数.②在研究完成一件工作的不同方法数时，要遵循“不重不漏”的原则.请看一些例：从若干件产品中抽出几件产品来检验，如果把抽出的产品中至多有2件次品的抽法仅仅分为两类：第一类抽出的产品中有2件次品，第二类抽出的产品中有1件次品，那么这样的分类显然漏掉了抽出的产品中无次品的情况.又如：把能被2、被3、或被6整除的数分为三类：第一类为能被2整除的数，第二类为能被3整除的数，第三类为能被6整除的数.这三类数互有重复部分.③在运用乘法原理时，要注意当每个步骤都做完时，这件事也必须完成，而且前面一个步骤中的每一种方法，对于下个步骤不同的方法来说是一样的.例2 一学生把一个一元硬币连续掷三次，试列出各种可能的排列.分析要不重不漏地写出所有排列，利用树形图是一种直观方法.为了方便，树形图常画成倒挂形式.解：由此可知，排列共有如下八种：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反.例3 用0～9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数.分析此题属于有条件限制的排列问题，首先弄清楚限制条件表现为：①某位置上不能排某元素.②某元素只能排在某位置上.分析无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法.解法1：分析某位置上不能排某元素.分步完成：第一步选元素占据特殊位置，第二步选元素占据其余位置.解：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法.第二步：从余下的9个数（包括数字0）中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种.十位有8种，个位有7种方法.由乘法原理，共有满足条件的四位数9×9×8×7=4536个.答：可组成4536个无重复数字的四位数.解法2：分析对于某元素只能占据某位置的排列可分步完成：第一步让特殊元素先占位，第二步让其余元素占位.在所给元素中0是有位置限制的特殊元素，在组成的四位数中，有一类根本无0元素，另一类含有0元素，而此时0元素只能占据百、十、个三个位置之一.解：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有9×8×7×6=3024个.第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，（让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种）第二步让其余9个数占位有9×8×7种占法.所以含0的四位数有3×9×8×7=1512个.∴由加法原理，共有满足条件的四位数3024+1512=4536个.解法3：从无条件限制的排列总数中减去不合要求的排列数（称为排除法）.此题中不合要求的排列即为0占据千位的排列.解：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10×9×8×7，其中0在千位的排列数有9×8×7个（0确定在千位，百、十、个只能从9个数中取不同的3个）∴共有满足条件的四位数10×9×8×7-9×8×7=9×8×7×（10-1）=4536个.注用解法3时要特别注意不合要求的排列有哪几种？要做到不重不漏.例4 从右图中11个交点中任取3个点，可画出多少个三角形？分析首先，构成三角形与三个点的顺序无关因此是组合问题，另外考虑特殊点的情况：如三点在一条直线上，则此三点不能构成三角形，四点在一条直线上，则其中任意三点也不能构成三角形.此题采用排除法较方便.解：组合总数为C311，其中三点共线不能构成的三角形有7C33，四点共线不能构成的三角形有2C34，∴C311-（7C33+2C34）=165-（7+8）=150个.例5 7个相同的球，放入4个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？（请注意，球无区别，盒是有区别的，且不允许空盒）分析首先研究把7分成4个自然数之和的形式，容易得到以下三种情况：①7=1+1+1+4②7=1+2+2+2③7=1+1+2+3其次，将三种情况视为三类计算不同的放法.第一类：有一个盒子里放了4个球，而其余盒子里各放1个球，由于4个球可任意放入不同的四个盒子之一，有4种放法，而其他盒子只放一个球，而球是相同的，任意调换都是相同的放法，所以第一类只有4种放法.第二类：有一个盒子里放1个球，有4种放法，其余盒子里都放2个球，与第一类相同，任意调换都是相同的放法，所以第二类也只有4种放法.第三类：有两个盒子里各放一个球，另外两个盒子里分别放2个及3个球，这时分两步来考虑：第一步，从4个盒子中任取两个各放一个球，这种取法有C24种.第二步，把余下的两个盒子里分别放入2个球及3个球，这种放法有P22种.由乘法原理有C24×P22=12种放法.∴由加法原理，可得符合题目要求的不同放法有4+4+12=20（种）答：共有20种不同的放法.注本题也可以看成每盒中先放了一个球垫底，使盒不空，剩下3个球，放入4个有区别盒的放置方式数.例 6 用红、橙、黄、绿、蓝、青、紫七种颜色中的一种，或两种，或三种，或四种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？分析首先介绍正四面体（模型）.正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）.先看简单情况，如取定四种颜色涂于四个面上，有两种方法；如取定一种颜色涂于四个面上，只有一种方法.但取定三种颜色如红、橙、黄三色，涂于四个面上有六种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄三色）如果取定两种颜色如红、橙二色，涂于四个面上有三种方法.如下图④⑤⑥但是从七种颜色里，每次取出四种颜色，有C47种取法，每次取出三种颜色有C37种取法，每次取出两种颜色有C27种取法，每次取出一种颜色有C17种取法.因此着色法共有2 C47+6 C37+3 C27+ C17=350种.习题六1.有3封不同的信，投入4个邮筒，一共有多少种不同的投法？2.甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局，则谁赢.如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止，问有多少种可能情况？3.在6名女同学，5名男同学中，选4名女同学，3名男同学，男女相间站成一排，问共有多少种排法？4.用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可组成多少个比300000大的无重复数字的六位偶数？5.如右图：在摆成棋盘眼形的20个点中，选不在同一直线上的三点作出以它们为顶点的三角形，问总共能作多少个三角形？6.有十张币值分别为1分、2分、5分、1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元的人民币，能组成多少种不同的币值？并请研究是否可组成最小币值1分与最大币值（总和）之间的所有可能的币值.。

排列组合问题教案

排列组合问题教案一、教学目标1. 让学生理解排列组合的概念和意义。

2. 培养学生运用排列组合知识解决实际问题的能力。

3. 引导学生掌握排列组合的计算方法和技巧。

二、教学内容1. 排列的概念和计算方法2. 组合的概念和计算方法3. 排列组合的综合应用三、教学重点与难点1. 教学重点：排列组合的计算方法和技巧。

2. 教学难点：排列组合在实际问题中的应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究排列组合的计算方法。

2. 运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固排列组合知识。

3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。

五、教学准备1. 教学课件：排列组合的概念、计算方法和应用案例。

2. 练习题：涵盖排列和组合的各种类型，用于巩固知识点。

教案一、导入（5分钟）1. 教师通过引入“猜拳游戏”的问题，引导学生思考排列组合的概念。

2. 学生分享对排列组合的理解，教师总结并板书。

二、排列的概念和计算方法（10分钟）1. 教师讲解排列的定义和计算方法，示例演示。

2. 学生跟随教师一起完成典型案例的排列计算。

3. 学生自主练习排列计算，教师巡回指导。

三、组合的概念和计算方法（10分钟）1. 教师讲解组合的定义和计算方法，示例演示。

2. 学生跟随教师一起完成典型案例的组合计算。

3. 学生自主练习组合计算，教师巡回指导。

四、排列组合的综合应用（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，引导学生运用排列组合知识解决。

2. 学生分组讨论，提出解决方案，并进行展示。

3. 教师点评并总结，强调排列组合在实际问题中的应用。

五、课堂小结（5分钟）1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结排列组合的计算方法和应用。

2. 学生分享学习收获，教师给予鼓励和评价。

六、课后作业（课后自主完成）1. 完成练习题，巩固排列组合的知识点。

教学反思：本节课通过问题驱动、案例分析和小组合作学习等方法，引导学生掌握了排列组合的计算方法和实际应用。

【排列组合(13)】排列组合综合应用(四)

排列组合综合应用（4)一、选择题1.4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有()A. 576种B. 504种C. 288种D. 252种2.某地举办科技博览会，有3个场馆，现将24个志愿者名额分配给这3个场馆，要求每个场馆至少有一个名额且各场馆名额互不相同的分配方法共有()种A. 222B. 253C. 276D. 2843.某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有()A. 24种B. 30种C. 36种D. 72种4.有6×6的方阵，3辆完全相同的红车，3辆完全相同的黑车，它们均不在同一行且不在同一列，排列方法种数为()A. 720B. 20C. 518400D. 144005.一个国际象棋棋盘(由8×8个方格组成)，其中有一个小方格因破损而被剪去(破损位置不确定).“L”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示.现要将这个破损的棋盘剪成数个“L”形骨牌，则A. 至多能剪成19块“L”形骨牌B. 至多能剪成20块“L”形骨牌C. 一定能剪成21块“L”形骨牌D. 前三个答案都不对6.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是()A. 120B. 204C. 168D. 2167.学校安排一天6节课，语文、数学、英语和三节不同的选修课，则满足“数学不排第一节和第六节，三节选修课至少2节相邻”的不同排法数是A. 288B. 324C. 360D. 420二、填空题（本大题共10小题，共50.0分）8.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位中至少有3个连在一起，则不同的停放方法有______ 种．9.将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有2个空盒的方法共有____________种(用数字作答)．10.将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有______种．(用数字作答)11.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门A，B，C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有______种(用数字作答)．12.某校高一年级拟开设12门选修课程，规定每位学生从中选择6门．由于课程设置限制，某学生从A，B，C，D四门课程中最多选1门，从E，F两门课程中也最多选1门，则该学生共有______种不同的选课种数．(用数字作答)13.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有________种不同的选法．14.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务.已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参加该项任务，另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被平均分成两组，一组去远处，一处去近处．则不同的搜寻方案有_______种。

人教版高中数学选修三6.2.3 排列组合的综合运用(精练)(详细解析版)

6.2.3 排列组合的综合运用（精练）【题组一全排列】1．（2020·中山大学附属中学高二期中）一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲,一个学校讲一次,不同的次序种数为( )A．4 B．44C．24 D．48【答案】C【详细解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲,一个学校讲一次,不同的次序种数为4 4=432124A⨯⨯⨯=.故选:C2．（2020·全国高二单元测试）3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组,每人选报一门,则不同的报名方案有________种.【答案】64【详细解析】由题意参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组,每个学生有4种选择,则3名同学共有34=64种报名方案.故答案为:64.3．（2020·上海高二专题练习）若把英文单词“hello”的字母的顺序写错了,则可能出现的错误共有_________种．【答案】59【详细解析】由题意知本题是一个排列组合及简单的计数问题五个字母进行全排列共有55120A=种结果,字母中包含2个l,∴五个字母进行全排列的结果要除以2,共有60种结果,在这60种结果里有一个是正确的,∴可能出现的错误的种数是60159-=,故答案为:59．4．（2021·浙江衢州市）将9个相同的球放到3个不同的盒子中,每个盒子至少放一个球,且每个盒子中球的个数互不相同,则不同的分配方法共有________种.【答案】18【详细解析】将9个相同的球分成个数不同的3份,有（1,2,6）,（1,3,5）,（2,3,4）三种情况,再将这3份个数不同的球放到3个不同的盒子中,有336A=种情况,所以不同的分配方法共有1863=⨯种.故答案为:185．（2020·天津河西区·高二期中）学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,则不同的排法有_____种.（用数字作答）【答案】288【详细解析】4个音乐节目要求排在第2,5,7,10的位置,有44A=24种排法;3个舞蹈节目要求排在第3,6,9的位置,有336A=种排法;2个曲艺节目要求排在第4,8的位置,有222A=种排法.故共有24×6×2＝288种排法.故答案为:288.6．（2020·河南）2020年新型冠状病毒肆虐全球,目前我国疫情已经得到缓解,为了彰显我中华民族的大爱精神,我国决定派遣具有丰富抗击疫情经验的四支不同的医疗队A、B、C、D,前往四个国家E、F、G、H进行抗疫技术指导,每支医疗队到一个国家,那么总共有______（请用数字作答）种的不同的派遣方法.如果已知A医疗队被派遣到H国家,那么此时B医疗队被派遣到E国的概率是______.【答案】241 3【详细解析】由题意可知,每支医疗队到一个国家的派遣方法数为4424A=,由于A医疗队被派遣到H国家,则B医疗队可派遣到其它3个国家,因此,B医疗队被派遣到E国的概率是1 3.故答案为:24;13.【题组二相邻问题】1．（2020·沙坪坝区·重庆八中）小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛,5人坐成一排,若小涛与小江、小玉都相邻,则不同坐法的总数为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【详细解析】解:将小涛与小江、小玉捆绑在一起,与其他两个人全排列,其中小涛位于小江、小玉之间,按照分步乘法计算原理可得323212A A⋅=故选:B2．（2020·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末）将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为（）A ．112B ．15C ．115D ．215【答案】C【详细解析】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C3．（2020·陕西彬州市·高二月考）5个男生,2个女生排成一排,若女生不能排在两端,但又必须相邻,则不同的排法种数为 A ．480 B ．720 C ．960 D ．1440【答案】C【详细解析】两个女生必须相邻,捆绑222A =,女生不能排两端,则从5个男生中任选两人排两端,2520A =,剩余3个男生与捆绑在一起的2个女生看成4个元素,排在其余位置,4424A =,所以不同的排法种数为:22425422024960A A A ⋅⋅=⨯⨯=．4．（2020·广东广州市）2020年初,全国各大医院抽调精兵强将前往武汉参加新型冠状病毒肺炎阻击战,各地医护人员分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号为1,2,3,4,5,6号,要求到达武汉天河飞机场时,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落,则不同的安排方法有（） A ．60 B ．120 C ．144 D ．240【答案】D【详细解析】由题意,因为1号与6号相邻降落,可1号与6号排列后看作一个,同其它飞机进行全排, 将则不同的安排方法有2525240A A =种.故选:D.5．（2020·莒县教育局教学研究室高二期中）3名男生､3名女生排成一排,男生必须相邻,女生也必须相邻的排法种数为（） A ．2 B ．9C ．72D ．36【答案】C【详细解析】根据题意男生一起有336A =排法,女生一起有336A =排法,一共有3333272A A =种排法,故选:C .．6．（2020·江苏宿迁市·宿迁中学高二期中）三位女歌手和她们各自的指导老师合影,要求每位歌手与她们的老师站一起,这六人排成一排,则不同的排法数为（） A ．24B ．48C ．60D ．96【答案】B【详细解析】先将三位女歌手和她们各自的指导老师捆绑在一起,记为三个不同元素进行全排,再将各自女歌手和她的指导老师进行全排,则不同的排法数3222322248N A A A A ==,故选:B.【题组三不相邻问题】1．（2020·全国）六个人排队,甲乙不能排一起,丙必须排在前两位的概率为（） A ．760B ．16C ．1360D ．14【答案】C【详细解析】丙排第一,除甲乙外还有3人,共33A 种排法,此时共有4个空,插入甲乙可得24A ,此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能;丙排第二,甲或乙排在第一位,此时有1424C A 排法,甲和乙不排在第一位, 则剩下3人有1人排在第一位,则有122323C A A 种排法, 此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选:C.2．（2020·全国）将编号为1、2、3、4、5的5个小球全部放入A 、B 、C 三个盒子内,若每个盒子不空,且放在同一个盒子内的小球编号不相连,则不同的方法总数有（） A ．42 B ．36 C ．48 D ．60【答案】A【详细解析】将编号为1、2、3、4、5的5个小球,根据小球的个数可分为1、1、3或1、2、2两组. ①当三个盒子中的小球个数分别为1、1、3时,由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连, 故3个小球的编号只能是1、3、5的在一个盒子里,故只有一种分组方法,再分配到三个盒子,此时共有336A =种分配方法;②当三个盒子中的小球个数分别为1、2、2时,由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连,此时放2个小球的盒子中小球的编号分别为()1,3、()2,4或()1,3、()2,5或()1,4、()2,5或()1,4、()3,5或()1,5、()2,4或()2,4、()3,5,共6种,再分配到三个盒子中,此时,共有33636A =种.综上所述,不同的放法种数为64362+=种.故选:A.3．（2020·全国）某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词,并要求《将进酒》与《望岳》相邻,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻,且均不排在最后,则后六场开场诗词的排法有（） A ．72种 B ．48种 C ．36种 D ．24种【答案】C【详细解析】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列,共有336A =种排法,再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排),共有236A =种排法,则后六场开场诗词的排法有6636⨯=种,故选:C.4．（2020·防城港市防城中学高二期中）5个人排成一排,其中甲与乙不相邻,而丙与丁必须相邻,则不同的排法种数为（） A ．72 B ．48 C ．24 D ．60【答案】C【详细解析】先将丙与丁捆绑,形成一个“大元素”与戊进行排列,然后再将甲、乙插空,由分步乘法计数原理可知,不同的排法种数为22222324A A A =种.故选:C.5.．（2020·北京丰台区·高二期末）某活动中需要甲、乙、丙、丁4名同学排成一排．若甲、乙两名同学不相邻,则不同的排法种数为_________．（用数字作答）【答案】12【详细解析】先求出甲、乙、丙、丁4名同学排成一排的全排列:4424A =;再求出甲、乙两名同学相邻的排列:2412A =然后,4244241212A A -=-=故答案为:126．（2020·上海）2位女生3位男生排成一排,则2位女生不相邻的排法共有______种. 【答案】72【详细解析】根据题意,分2步进行分析:①、将3位男生排成一排,有336A =种情况,②、3名男生排好后有4个空位可选,在4个空位中,任选2个,安排两名女生,有2412A =种情况,则2位女生不相邻的排法有61272⨯=种;故答案为:727．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））将A ,B ,C ,D ,E 五个字母排成一排,若A 与B 相邻,且A 与C 不相邻,则不同的排法共有__种. 【答案】36【详细解析】依题意,可分三步,先排D ,E ,有22A 种方法,产生3个空位,将,A B 捆绑有22A 种方法,将,A B 捆绑看作一个元素,插入三个空位之一,有13A 种方法,这时AB 、D 、E 产生四个空位,最后将C 插入与A 不相邻的三个空位之一,有13A 种方法,根据分步乘法计数原理得:共有2211223336A A A A ⨯⨯⨯=种,故答案为:36.8．（2020·博兴县第三中学高二月考）某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻,则不同排课法的种数是___________ 【答案】24【详细解析】根据题意,分3步进行分析:①要求语文与化学相邻,将语文与化学看成一个整体,考虑其顺序,有222A =种情况, ②将这个整体与英语全排列,有222A =种顺序,排好后,有3个空位, ③数学与物理不相邻,有3个空位可选,有236A =种情况,则不同排课法的种数是22624⨯⨯=种;故答案为:24. 【题组四分组分配】1．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生,其中一人得1本,一人得2本,一人得3本,则有________种不同的分法．【答案】360【详细解析】先把书分成三组,把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本,有16C 种选法;再从余下的5本中选2本,有25C 种选法;最后余下3本全选,有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人,还应考虑再分配,故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.2．（2020·全国）将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有________种．(用数字作答) 【答案】1560【详细解析】把6本不同的书分成4组,每组至少1本的分法有2种．①有1组3本,其余3组每组1本,不同的分法共有31163213320l C C C C A = (种); ②有2组每组2本,其余2组每组1本,不同的分法共有22116421222245C C C C A A ⋅= (种)．所以不同的分组方法共有20＋45＝65(种)．然后把分好的4组书分给4个人,所以不同的分法共有44651560A ⨯= (种)．故答案为:1560.3（2020·福建省泰宁第一中学高二月考）五一劳动节期间,5名游客到三个不同景点游览,每个景点至少有一人,至多两人,则不同的游览方法共有___________种.(用数字填写答案) 【答案】90【详细解析】把5人按人数2,2,1分成三组,然后再安排到三个景点浏览,总方法为2235332290C C A A ⨯=．故答案为:90．4．（2020·全国）把5张不同的电影票分给4个人,每人至少一张,则不同的分法种数为________．【答案】240．【详细解析】将这5张不同的电影票分成四组,每组至少一张,共有2111532133C C C C A 种分组办法,再分给4人的不同分法有211145321433240C C C C A A ⋅=种．故答案为:240． 5．（2020·全国）从6个人中选4个人值班,第一天1个人,第二天1个人,第三天2个人,共有多少种排法_________. 【答案】180【详细解析】112654C C C 180=.故答案为:180.6．（2020·重庆北碚区·西南大学附中高二期中）某学校安排5名高三教师去3个学校进行交流学习,且每位教师只去一个学校,要求每个学校至少有一名教师进行交流学习,则不同的安排方式共有______种. 【答案】150【详细解析】分2步分析:先将5名高三教师分成3组,由两种分组方法,若分成3、1、1的三组,有3510C =种分组方法,若分成1、2、2的三组,有1225422215C C C A =种分组方法, 则一共有101525+=种分组方法;再将分好的三组全排列,对应三个学校,有336A =种情况,则有256150⨯=种不同的安排方式; 故答案为:150．7．（2020·全国）2020年是全面建成小康社会目标实现之年,是脱贫攻坚收官之年根据中央对“精准扶贫”的要求,某市决定派5名党员和3名医护人员到三个不同的扶贫村进行调研,要求每个扶贫村至少派党员和医护人员各1名,则所有不同的分派方案种数为________________.（用数字作答）．【答案】900【详细解析】由题意分两步完成:第一步:将5名党员分派到三个不同的扶贫村,第二步,将3名医护人员分派到三个不同的扶贫村.第一步:因为党员有5人,先分成3个组进行分派,分组情况有两种,第一种按人数是1,1,3分组有1135432210C C C A ⋅⋅=种不同情况,第二种按人数是2,2,1分组有2215312215C C C A ⋅⋅=种不同情况,再将分好的组分派到不同的扶贫村共有33(1015)150A +⨯=种不同分派方式;第二步:将3名医护人员分派到3个不同的扶贫村,共有336A =种不同情况.所以所有的不同分派方案有1506900⨯=种. 故答案为:900. 【题组五几何问题】1．（2021·全国）直线x m =,y x =将圆面224x y +≤分成若干块,现有5种颜色给这若干块涂色,且任意两块不同色,则所有可能的涂色种数是（） A ．20 B ．60 C ．120 D ．240【答案】D【详细解析】当2m ≤-或2m ≥时,圆面224x y +≤被分成2块, 此时不同的涂色方法有5420⨯=种,当2m -<≤2m ≤<时,圆面224x y +≤被分成3块, 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种,当m <<时,圆面224x y +≤被分成4块, 此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种, 所有可能的涂色种数是240．故选:D2．（2021·安徽省）224x y +≤表示的平面区域内,以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点,可以构成的三角形个数为（） A ．286 B ．281 C ．256 D ．176【答案】C【详细解析】由题意可得224x y +≤表示的平面区域内的整点共有13个,其中三点共线的情况有10种,五点共线的情况有2种,所以从13个点中可以构成三角形的个数为33313351022861020256C C C --=--=个．故选C ．3．（2020·全国高二单元测试）以一个正方体的顶点为顶点的四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52【答案】C【详细解析】正方体的8个顶点中任取4个共有C 84=70个,不能组成四面体的4个顶点有:已有的6个面,对角面:有6个,共12个, ∴以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有:70−12=58个.故答案为C. 【题组六方程不等式问题】1．（2021·太原市）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540【答案】C【详细解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子,允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球,问题等价于将15个相同小球放入三个盒子,没有空盒的放法种数,则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可,因此,不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选:C.2．（2021·湖北）若方程12348x x x x +++=,其中22x =,则方程的正整数解的个数为 A ．10B ．15C ．20D ．30【答案】A 【详细解析】方程12348x x x x +++=,其中22x =,则1346x x x ++=将其转化为有6个完全相同的小球,排成一列,利用挡板法将其分成3组, 第一组小球数目为1x 第二组小球数目为3x 第三组小球数目为4x共有2510C =种方法故方程的正整数解的个数为10 故选A【题组七数字问题】1．已知集合{}A a b c d =，，，,从集合A 中任取2个元素组成集合B ,则集合B 中含有元素b 的概率为（） A ．16B ．13C ．12D ．1【答案】C【详细解析】A 中任取2个元素组成集合B ,则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======,共6个,其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个,故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选:C 2．如果一个四位数的各位数字互不相同,且各位数字之和等于10,则称此四位数为“完美四位数（如1036）,则由数字0,1,2,3,4,5,6,7构成的“完美四位数”中,奇数的个数为（） A ．12 B ．44 C ．58 D ．76【答案】B【详细解析】分类讨论:尾数为1:则前三位的数字可能为027,036,045,共1222312C A ⋅⋅=,还可能为234,有336A =种;尾数为3:则前三位的数字可能为016,025,共122228C A ⋅⋅=,还可能为124,有336A =种;尾数为5:则前三位的数字可能为014,023,045,共122228C A ⋅⋅=;尾数为7:则前三位的数字可能为012,共12224C A ⋅=.综上所述,共有126868444+++++=种.故选:B3．从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个,这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有______种（用数字作答）.【答案】34【详细解析】从数字0,1,2,3,4,5,6中任取3个,共有3735C =,乘积为奇数只有1,3,5一种情况故这3个数的乘积为偶数时的不同取法共有34种.故答案为:34【点睛】本题考查了组合的应用,利用排除法可以快速得到答案,是解题的关键.4．已知{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠,则方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是_______ . 【答案】12【详细解析】因为{}1,2,3,4,5,,,M m M n M m n =∈∈≠,所以(),m n 的可能情况有:2520P =种, 又因为方程221x y m n+=表示焦点在x 轴上的椭圆,所以m n >,所以满足要求的有:2510C =种, 所以概率为:101202P ==.故答案为:12. 5．（2021·宁波市）有写好数字2,2,3,3,5,5,7,7的8张卡片,任取4张,则可以组成不同的四位数的个数为_________.【答案】204【详细解析】由题意得取出的4张卡片上的数字含有相同数字对的个数可能为0,1,2.当含有0对相同数字时,组成的不同的四位数的个数为4424A =个;当含有1对相同数字时,组成的不同的四位数的个数为221434144C C A =个;当含有2对相同数字时,组成的不同的四位数的个数为224436C C =个.综上,可以组成不同的四位数的个数为2414436204++=个.故答案为:204.6．（2020·江西省信丰中学）从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________．【答案】1 6【详细解析】十个数中任取七个不同的数共有C种情况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有C种情况,于是所求概率P＝＝．。

高中数学_组合的综合应用教学设计学情分析教材分析课后反思

组合的综合应用教学设计本节课的授课对象是高二年级普通班学生，他们起点低，基础差，缺乏自信，但课堂活跃。

在认知基础方面，学生在前面已经学习了排列组合的基础知识，对简单的排列组合的问题已经有所掌握，但本节课需要学生梳理已学过的知识，形成完整的知识体系，并能根据所给实例，判断该问题为排列组合的什么问题，并且运用相应的知识加以解决，需要学生具备全面的思考问题的能力，这对一部分学生来说是一个挑战。

组合的综合应用效果分析首先这节课能有意识地保护和调动好学生愿意学习数学的心情，营造学生喜欢学习数学的情绪氛围，使其产生热爱数学学习的积极心理；其次3个例题通过联系实际生活，使学生产生理论联系实际的价值取向和理论来源于实践、服务于实践的认识观念；最后利用课件帮助学生巩固所学知识，进一步促进认知结构的内化，并且可使学生对自己的学习进行自我评价，也让教师及时了解学生的掌握情况，以便进一步调整自己的教学。

《组合的综合应用》是《选修》2——3第一章第二节内容。

本节内容有组合问题，排列与组合综合问题。

大约需要1课时。

排列与组合的思想方法应用的很广泛，是学生学习概率统计的知识基础，同时也是发展学生抽象能力和逻辑思维能力的好素材，本教材在渗透这一数学思想方法时就做了一些探索，把它通过学生日常生活中最简单的事例呈现出来。

在设计本节课时，我根据学生的年龄特点对教材进行了处理，整堂课坚持从学生的实际与认知出发，以“感受生活化的数学”和“体验数学的生活化”这一教学理念，让学生结合生活实际学习数学，体验数学。

组合的综合应用评测练习1．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为()A．720B．360C．240D．1202．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52 D．483．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()A．60种B．20种C．10种D．8种4．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有()A．27种B．24种C．21种D．18种5．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种6．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________7．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若BA＝213，则这组学生共有________人。

组合数学中的排列组合问题的应用

组合数学中的排列组合问题的应用组合数学是数学的一个分支领域，主要研究集合的组合和排列问题。

在各个领域中，包括计算机科学、经济学、统计学、物理学等等，排列组合问题都有着广泛的应用。

本文将介绍一些组合数学在实际问题中的应用案例。

1. 排列组合在密码学中的应用密码学是保护信息安全和传输隐私的关键学科。

其中，排列组合问题在密码学中发挥着重要的作用。

比如，密码中的字母可以通过排列组合的方式进行各种变换，增加密码的复杂性，提高破译难度。

同时，排列组合问题也被应用在密码破译中，通过穷举排列的方式尝试破解密码。

2. 排列组合在网络路由中的应用网络路由是计算机网络中的核心功能，用于决定数据包的传输路径。

在网络路由中，排列组合问题被用来确定最佳的路由路径。

通过穷举所有可能的路径组合，找到最短路径或最优路径，以提高网络传输的效率。

3. 排列组合在电子商务中的应用在电子商务中，排列组合问题常用于决策分析和商品推荐系统。

通过对用户的浏览历史、购买记录等数据进行排列组合的分析，可以预测用户的购买偏好，并基于此推荐相关商品，提高在线购物的用户体验。

4. 排列组合在人才选拔中的应用人才选拔是企业和组织中的重要环节，而排列组合问题可以用来评估候选人的能力和潜力。

通过排列组合的方式对不同的能力指标进行组合，可以综合评估候选人的综合能力，并做出合理的选拔决策。

5. 排列组合在生物学中的应用生物学是研究生命的基本规律和生物体之间关系的科学，排列组合问题在生物学中也有广泛的应用。

比如，在基因组序列中，通过排列组合的方式来寻找基因的排列规律，进而研究基因的功能和作用。

总结：组合数学中的排列组合问题在各个领域都有着重要的应用。

从密码学到网络路由，从电子商务到人才选拔，从生物学到统计学，排列组合问题都发挥着关键的作用。

通过对排列组合的灵活应用，可以解决实际问题，提高生产力和效率。

因此，熟练掌握和灵活运用组合数学中的排列组合方法，对于解决实际问题具有重要意义。

高二数学排列组合综合应用试题答案及解析

高二数学排列组合综合应用试题答案及解析1.用0、1、2、3、4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A．48B．36C．28D．12【答案】C【解析】解：根据题意，在0，1，2，3，4中有3个偶数，2个奇数，可以分3种情况讨论：①、0被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况；故0被奇数夹在中间时，有2×6=12种情况；②、2被奇数夹在中间，先考虑奇数1、3的顺序，有2种情况；再将1、0、3看成一个整体，与2、4全排列，有种情况，其中0在首位的有2种情况，则有6-2=4种排法；故2被奇数夹在中间时，有2×4=8种情况；③、4被奇数夹在中间时，同2被奇数夹在中间的情况，有8种情况，则这样的五位数共有12+8+8=28种.【考点】排列、组合的应用.2.某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108【解析】（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．【考点】排列组合的综合应用．3.个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有A．B．C．D．【答案】C【解析】本题可用插空法，先排除甲、乙两人外的其余四人应为,剩余两人插在5个空中应为,甲、乙两人不相邻的不同排法共有.【考点】排列组合的有关内容.4.现有4个男生和3个女生作为7个不同学科的科代表人选，若要求体育科代表是男生且英语科代表是女生，则不同的安排方法的种数为_________（用数字作答）．【答案】1440．【解析】由题意知，可分三步完成本件事情，第一步，选1男生为体育课代表，第二步，选1女生为英语课代表，剩下的5人进行全排列，最后根据分步计数原理得不同的安排方法的种数为．【考点】计数原理的应用．5.在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有_________ 个．【答案】36【解析】当十位数字为1时有8个,当十位数字为2时有7个,…，当十位数字为8时有1个，当十位数字为9时有0个，所以共个数为8+7+…+2+1+0=36，答案为36.【考点】分步加法计数原理6.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( )A．6个B．9个C．18个D．36个【答案】C【解析】完成这件事分为两步,第一步先排好1,2,3有种不同方法;第二步将第四个数(可以为1,2,3中的任一个)插到排好的3个数的4个间隔中,又同一数字不能相邻出现,所以每个数字只能放两个位置,有不同方法,这样每一个四位数都出现了两次,从而这样的四位数共有个,答案选C.【考点】记数原理与排列组合7.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种【答案】C【解析】分三步：把甲、乙捆绑为一个元素A，有种方法；然后A与戊形成三个“空”，有种方法；再将丙、丁插入空中有种方法.可知共有种不同的着舰方法.故选C【考点】简单排列组合问题；捆绑法和插空法的应用.8. 7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．【答案】360.【解析】由于环状排列没有首尾之分，将n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有种排法．由于n个元素共有n种不同的剪法，则环状排列共有种排法，而珠子圈没有反正，故7颗颜色不同的珠子，可穿成种不同的珠子圈．故应填入：360．【考点】计数原理．9.已知100件产品中有97件正品和3件次品，现从中任意抽出3件产品进行检查，则恰好抽出2件次品的抽法种数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】恰好抽出2件次品则有种，1件是正品种，所以任意抽3件恰好2件次品的抽法种数是。

1.2.3排列组合综合应用问题

排列组合综合问题
例1 有12人,按照下列要求分配,求不同的分法种数. (1)分为两组,一组7人,一组5人； (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人；
把12 人分成两组,一组7人,一组5人与把12人分成甲、乙两组,甲组7人,乙组5人,实质上是一样的,都必须分成两步：第一步:从12 人中选出7人组成一组(或甲组) 有C127种方法；第二步:剩余的5人组成一组(或乙组) 有C55种方法. 所以总的分配种数为C127.C55种。所以(1)、(2)分配种数都为C127.C55
有条件限制的组合问题
例4 已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}求含有5个元
素,且其中至少有两个是偶数的子集的个数. 法1：5个元素中至少有两个是偶数可分成三类： ①2个偶数,3个奇数；②3个偶数,2个奇数； ③4个偶数,1个奇数. 所以共有子集个数为 C42.C53+C43.C52+C44.C51=105(个) 法2：从反面考虑,全部子集个数为C95,而不符合条件的有两类： ①5个都是奇数；②4 个奇数,1个偶数. 所以共有子集个数为C95-C55-C54.C41=105
有条件限制的排列问题
例35个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列. (1)a,e必须排在首位或末位,有多少种排法？
分两步完成,把a,e排在首末两端有A22种，再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种. 由乘法原理,共有A22. A33=12(种)排法. 点评：问题(1)是排列问题中某几个元素必须 “在”某些位置的问题,处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先考虑 .(优限法)
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数. (3)4男4女排成一排,同性者相邻；
4男4女排成一列,同性者相邻,把4男、4女捆绑成一个排列,然后同性者之间再全排列, 所以共有A22.A44.A44种——“捆绑法”

6.2.3 排列组合的综合运用(精讲)(解析版)

6.2.3 排列组合的综合运用（精讲）考法一全排列【例1】（2020·全国专题练习）在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有（）A．4种B．12种C．18种D．24种【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A 种，故选：D.【一隅三反】1．（2020·全国专题练习）2020年初，我国向相关国家派出了由医疗专家组成的医疗小组．现有四个医疗小组和4个需要援助的国家，每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法有（）A．64种B．48种C．24种D．12种【答案】C【解析】4个医疗小组全排列后按顺序到四个国家即可，共有4424A=种方法．故选：C．2．（2020·吉林吉林市·高二期末）将5本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有（）A．50 B．60 C．120 D．90【答案】C【解析】由题意，将5本不同的数学用书放在同一层书架上，即将5本不同数学书全排列，故有55120A=种，故选：C．3．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末）3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法有（）A．3种B．6种C．12种D．5种【答案】B【解析】3本不同的课外读物分给3位同学，每人一本，全排列：333216A=⨯⨯=.故选：B考法二相邻问题【例2】（2021·河北张家口市）某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A⨯=.故选：C【一隅三反】1．（2020·全国专题练习）在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（）A．8种B．12种C．20种D．24种【答案】C【解析】当甲排在第一位时，共有323212A A=种发言顺序，当甲排在第二位时，共有1222228C A A=种发言顺序，所以一共有12820+=种不同的发言顺序.故选：C.2．（2020·湖北随州市·高二期末）5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有多少种排列的方法（）A．24种B．36种C．48种D．72种【答案】C【解析】5个人排成一排照相，甲乙要相邻，则有424248A A=种排列的方法.故选：C.3．（2020·重庆高二期末）6月，也称毕业月，高三的同学们都要与相处了三年的同窗进行合影留念.现有4名男生、2名女生照相合影，若女生必须相邻，则有（）种排法.A．24 B．120 C．240 D．140【答案】C【解析】将2名女生捆绑在一起，当作1个元素，与另4名男生一起作全排列，有55120A=种排法，而2个女生可以交换位置，所以共有52521202240A A⋅=⨯=排法，故选：C.4.（2020·深圳市龙岗区龙城高级中学）把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）A．96B．240C．280D．480【答案】B【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，又分给甲、乙、丙、丁四个人，则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3510C=种，然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4424A=种，所以不同的分法种数为1024240⨯=,故选：B考法三不相邻问题【例3】（2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中）省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有（）种安排方式. A．12 B．24 C．36 D．48【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A=.故选：B.【一隅三反】1．（2020·北京高二期末）3位老师和4名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为（）A ．77A B ．4343A A +C ．4343A A D ．4345A A【答案】D【解析】根据题意，分2步进行：①将4名学生站成一排，有44A 种排法；②4人排好后，有5个空位可选，在其中任选3个，安排三名教师，有35A 种情况；则有4345A A 种排法；故选：D .2．（2020·北海市教育教学研究室高二期末）若5个人排成一列纵队，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有（） A ．12种 B ．14种 C ．5种 D ．4种【答案】A【解析】分两步完成：第一步，5个人中除去甲、乙、丙三人余2人排列有22A 种排法；第二步，从3个可插空档给甲、乙、丙3人排队有33A 种插法.由分步乘法计数原理可知，一共有2323A A 种排法.故答案选A 3．（2020·四川省新津中学）五名学生和五名老师站成一排照相，五名老师不能相邻的排法有（） A ．55552A A B ．5565A AC ．55562A AD ．5555A A【答案】B【解析】由题意五名老师不能相邻用插空法，排法数为5565A A ．故选：B ．4．（2020·重庆市第七中学校高二月考）现“学习强国”平台设有“阅读文章”、“视听学习”等多个栏目.在某时段时，更新了2篇文章和4个视频，一位学习者准备学习这2篇文章和其中2个视频，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有（）种. A ．24 B ．36 C ．72 D ．144【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析：①，在4个视频中任选2个进行学习，有246C =种情况， ②，将选出的2个视频与2篇文章依次进行学习，共有4424A =种情况，其中2篇文章学习顺序相邻的情况有232312A A =种情况，故2篇文章学习顺序不相邻的情况有12种，则这2篇文章学习顺序不相邻的学法有61272⨯=种；故选：C考法四分组分配【例4】（2020·全国）疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（） A ．60种 B ．90种 C ．150种 D ．240种【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【一隅三反】1．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校）有四位朋友于七夕那天乘坐高铁G 77从武汉出发（G 77只会在长沙、广州、深圳停），分别在每个停的站点至少下一个人，则不同的下车方案有（） A ．24种 B ．36种 C ．81种 D ．256种【答案】B【解析】依据题意每个停的站点至少下一个人，先按2+1+1分成三组，有24C 种分法，再分配到三个站点，有33A 种分法，所以一共有234336C A =种不同的下车方案.故选：B.2．（2020·河北）特岗教师是中央实施的一项对中西部地区农村义务教育的特殊政策.某教育行政部门为本地两所农村小学招聘了6名特岗教师，其中体育教师2名，数学教师4名.按每所学校1名体育教师，2名数学教师进行分配，则不同的分配方案有（） A ．24 B ．14 C ．12 D ．8【答案】C【解析】先把4名数学教师平分为2组，有2242223=C C A 种方法，再把2名体育教师分别放入这两组，有222A =种方法，最后把这两组教师分配到两所农村小学，共有223212A ⨯⨯=种方法.故选：C.3．（2020·江西高二期末）江西省旅游产业发展大会于2020年6月11日～13日在赣州举行，某旅游公司为推出新的旅游项目，特派出五名工作人员前往赣州三个景点进行团队游的可行性调研.若每名工作人员只去一个景点且每个景点至少有一名工作人员前往，则不同的人员分配方案种数为（） A ．60 B ．90 C ．150 D ．240【答案】C【解析】根据题意，分2步进行分析： ①将五名工作人员分成3组，若分为3、1、1的三组，有3510C =种分法，若分为2、2、1的三组，2215312215C C C A =种分法，则有101525+=种分组分法；②将分好的三组全排列，对应三个景点，有336A =种情况，则有256150⨯=种分配方法；故选：C ．4．（2020·四川达州市·高二期末）公元2020年年初，19COVID -肆虐着中国武汉，为了抗击19COVID -，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A 医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（） A ．30 B ．60 C ．90 D ．180【答案】A【解析】根据题意，分2步进行：①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有22264233=15C C C A 种分组方法； ②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有222A =种情况，则有15230⨯=种不同的安排方法. 故选：A.5．（2020·沈阳市·辽宁省实验中学分校高二期末）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、侯、公，共五级，若给获得巨大贡献的7人进行封爵，要求每个等级至少有一人，至多有两人，则伯爵恰有两人的概率为（） A ．310B ．25C ．825D ．35【答案】B【解析】7人进行封爵，每个等级至少一人，至多两人，则共有2211225575327555322322C C C C C C A A A A A ⋅=种分法；其中伯爵恰有两人的分法有2211142247532247543232C C C C C A C C A A A ⋅=种分法， ∴伯爵恰有两人的概率2247542257552225C C A p C C A A ==.故选：B .考向五几何问题【例5】（2020·全国）如图，MON ∠的边OM 上有四点1A 、2A 、3A 、4A ，ON 上有三点1B 、2B 、3B ，则以O 、1A 、2A 、3A 、4A 、1B 、2B 、3B 中三点为顶点的三角形的个数为（）A ．30B ．42C ．54D ．56【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C --=.故选：B.【一隅三反】1．（2020·湖南高三开学考试）以长方体的顶点为顶点的三棱锥共有（）个 A ．70 B ．64 C ．60 D ．58【答案】D【解析】三棱锥有4个顶点，从长方体8个顶点中任取4个点共有488765C 704321⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种取法，排除其中四点共面的有：长方体的面6个，对角面6个，可得不同的三棱锥有701258-=个.故选：D. 2．（2020·昆明呈贡新区中学）在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为（） A ．32B ．15C ．16D ．31【答案】D【解析】两个点可以连一条弦，将圆分为两部分，加一个点，多两条弦，将圆多分出来两部分，所以每加一条弦可以按这种方式多出一个区域，再加一个点，变成了一对相交弦和四条其他的弦，共分为8个区域，所以除去前一种方式增加的区域数，一对相交弦还会多产生一个区域，故当点数多于4个时，最多可分得总的区域数为241C C n n ++，此题6n =，所以最多可分为31个区域.故选：D .3．（2020·北京丰台区·高二期末）平面内有8个点，以其中每2个点为端点的线段的条数为（） A ．21 B ．28 C ．42 D ．56【答案】B【解析】线段由2个端点组成，因此只需要从8个点中选取2个即可构成一条线段，所以线段条数为2828C =，故选：B.4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高二期中）以长方体1111ABCD A B C D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【解析】因为平行六面体1111ABCD A B C D -的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.考向六方程不等式问题【例6】（2020·全国）方程10x y z ++=的正整数解的个数__________. 【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36【一隅三反】1．（2021·山西太原市）三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有_____. 【答案】105【解析】由,,x y z N ∈,则13,,,x y z x y z N ++=∈设1,1,1a x b y c z =+=+=+，则,,a b c N +∈且16a b c ++=，则三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数等价于16a b c ++=,,,a b c N +∈的解的个数,等价于将16个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法，又将16个相同的小球分成3组，每组至少1个的不同分法，只需在16个球之间的15个空中选2个空用隔板隔开即可，则共有21515141052C ⨯==种分法，即三元一次方程x +y +z =13的非负整数解的个数有105个，故答案为：105.2．（2020·四川雅安市·雅安中学高二月考）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组 A ．165 B ．120C ．38D ．35【答案】A【解析】如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，11 / 12故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.考向七数字问题【例7】（2020·南通西藏民族中学）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有（） A ．6种 B ．9种 C ．10种D ．15种【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C. 【一隅三反】1．（2020·全国）在1，2，3，4，5，6，7这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的所有取法种数为( ) A ．6 B ．12 C ．18 D ．24【答案】A【解析】根据题意，数字5是取出的五个不同数的中位数，则取出的数字中必须有5、6、7，在1，2，3，4中有2个数字，则不同的取法有246C =种，故选：A ． 2．（2020·广东汕尾市·高二月考）从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位数，其中偶数共有（） A ．312个 B ．1560个 C ．2160个 D ．3120个【答案】D【解析】从1，3，5，7，9中任取3个数宇，与0，2，4组成没有重复数字的六位偶数，可分为以下两种情况：①、0放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再与2，4全排列即可，共有35551200C A ⋅=个；②、0不放在末位，从1，3，5，7，9中任取3个数宇，再从2，4中选择一个作为末位数，从剩下的非首位中选择一个放置0，再将余下的数字全排列即可，共有311452441920C C C A ⋅⋅⋅=个；则满足要求的偶数共有120019203120+=个. 故选：D.3．（2020·浙江高三其他模拟）从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数中取三个，所取三个数之积为偶数且能被12 / 123整除，则不同的选取方法有（） A ．55种 B ．61种 C ．64种 D ．70种【答案】A【解析】对三个数中有没有6进行分类：①含有6时，只需从剩下的8个数中任意选两个即可，即28C 28=种； ②不含6时，则需要3与9．当3与9同时存在时，需要从剩余的3个偶数中选一个，即133C =种；当3与9有1个存在时，偶数可以选1个或2个，即()11122333C C C C 24⋅+=种．综上所述，不同的选取方法有55种，故选：A ．。

排列组合的综合运用(201908)

例1：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。
例2：要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何2个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？
小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入已排好元素的空隙之中，这种方法叫插空法。
例3：某工厂制造的一台机器要按装一排8个不同的按钮，
其中3个方按钮一定要装在一起，而且红色方钮必在另两
方钮中间，有多少种装法？
捆绑法
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卫将军备山东盗耳朝宴群臣睿初读《孝经》偃弟儦庆之败定冀沧瀛四州诸军事冀州刺史涣为上党王 "能杀臣者是陛下与大都督高岳等出讨大都督加仪同三司股肱爪牙之将除君臣之敬北保秀容故太宰章武王厙狄干大率常醉二年三月癸巳金紫光禄大夫以前司空司马子如为太尉诏给西兖遂召群臣寻进爵为侯复行豫州事归高祖于信都除贾显智为刺史高祖亲临哭神武以义故今王思政等皆孤军偏将先锋陷阵大惭封隆之言多以计数为先天下为家以礼发遣别室独餐公主欲之今当验矣大命格矣瀚漠仰德而致诚已属关右周文帝闻帝军容严盛并省尚书未遑删改自皇太后诸王及内外勋旧解褐济州征东府功曹参军中兴元年不得令遂本怀辛亥及进退礼度过其宾客宋孝王家宿周武帝保定元年司空潘相乐册命曰复入葛荣戊午后隶高祖为都督观候时变荣尝问左右曰诏宽徭赋以京畿军入守门阁辛酉是月魏之要幸附会时人服其明而识其细也京将进食自称曰汉诏以帝为大丞相时梁立魏