线性代数习题3答案(高等教育出版社)

习题3

1.11101134032αβγαβαβγ

===-+-设（，，），（，，），（，，），求和

1110111003231112011340015αβαβγ-=-=+-=+-=解：（，，）（，，）（，，）

（，，）（，，）（，，）（，，）

1231232.32525131015104111αααααααααα

-++=+===-设（）（）（），其中（，，，）

（，，，），（，，，），求1231233251

32561

[32513210151054111]

6

1234ααααααααααα-++=+=+-=+--=解：因为（）（）（），所以（），

所以（，，，）（，，，）（，，，）（，，，） 123412343.12111111111111111111,,,βααααβαααα===--=--=--设有（，，，），（，，，），（，，，），

（，，，），（，，，）试将表示成的线性组合。

123412341234123412341234

1211

5111

,,,;

4444

5111

4444

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βαααα+++=⎧⎪+--=⎪

⎨-+-=⎪⎪--+=⎩===-=-=+--解：因为线性方程组的解为

所以得： 1234.111112313)

t ααα===设讨论下面向量组的线性的相关性

（）（，，），（，，），（，，

111

1235,

1355t t

t t =-=≠解：因为所以，当时，向量组线性相关，当时线性无关。

.

323232.5213132321321的线性相关性，

，线性无关，讨论，，设αααααααααααα++++++

.

0)23()32()23(.0)32()32()32(332123211321213313223211=++++++++=++++++++ααααααααααααx x x x x x x x x x x x 整理得：解：设

.

323232.

0,0,0.

023,032,023213132321321321

321321321线性无关，，则：解得：线性无关，所以有：，，因为αααααααααααα++++++===⎪⎩⎪

⎨⎧=++=++=++x x x x x x x x x x x x

2312321231322

6.(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)

:,,123211*1232341201234530242000,A r r r A r r r r αααααααα===--⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥---+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11求下列向量组的秩和一个最大无关组:(1)解对以为列向量的矩阵进行初等行变换230所以此向量组的秩为2,它的一个最大无关组为

12312341235123548.:,,;:,,,;:,,,.()()3,() 4.:,,,A B C r A r B r C αααααααααααααααα===-已知向量组如果证明向量组的秩为4.

1231234123541234112233

12354123545412354:()3,()3,()4,,,,,,,,

,,,4,,,,,,,,,,,,,,r A r B r C k k k αααααααααααααααααααααααααααααααααααα====++----证因为所以线性无关线性相关线性无关

由定理知可由线性表示不妨设:假设向量组的秩不为4,则小于4,所以向量组线性相关同理可由线性表示不妨设:112233511122233351231235;()()(),,,,,,r r r k r k r k r ααααααααααααααα=++=+++++则即可由线性表示,与线性无关矛盾,原命题成立

.,2)()3,1,2(,)1,1,1(.10求此方程组的通解的两个解，且是线性方程组设==A r b Ax T T

).

(,)2,0,1()1,1,1(.

0)2,0,1(312111)3,1,2(,)1,1,1(.0,2)(R k k b Ax Ax b Ax Ax A r T T T

T

T T T ∈--+==--=-===的通解为：则的解是），，（），，的解，则（是又

向量的基础解系中只有一个则方程组解：因为

11.设s βββ,,,21 是线性方程组Ax=b 的s 个解,试证:若,121=+++s k k k

s s k k k βββ+++ 2211则也是Ax=b 的解.

证明: s βββ,,,21 是线性方程组Ax=b 的s 个解,则s i b A i ,,2,1, ==β

b k b k b k A k A k A k k k k A s s s s s +++=+++=+++ 2122112211)(ββββββ

b b k k k s =+++=)(21

即s s k k k βββ+++ 2211是Ax=b 的解

.0.122121线性无关，，，，的基础解系，证明性方程组是对应的其次线

，，，的一个解，是非齐次线性方程组设r n r n Ax b Ax --==αααβαααβ

.

).,,2,1(,00,,,,

0)1(0,0.0)1()1(,0212122112211线性无关，，，，则的基础解系，所以：是因为式得：，并代入则又式两边得：左乘用证明：设r n i r n r n r n r n r n r n i x Ax x x x x b xb A x x x x -------====+++=≠==++++αααβαααααααααβ