幂函数、指数函数和对数函数_对数及其运算法则_教案
高中数学第3章指数函数、对数函数和幂函数3.2.2对数函数对数函数的概念、图象与性质高一数学教案
第1课时对数函数的概念、图象与性质学习目标核心素养1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的图象和性质．(重点)3.能够运用对数函数的图象和性质解题．(重点)4.了解同底的对数函数与指数函数互为反函数．(难点) 通过学习本节内容提升学生的数学运算和直观想象数学的核心素养.1．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，a≠1)叫做对数函数，它的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)在(0，＋∞)上是单调增函数在(0，＋∞)上是单调减函数对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)和指数函数y＝a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于y＝x对称．一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f －1(x)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对数函数的定义域为R.( )(2)y＝log2x2与log x3都不是对数函数．( )(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．( )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝x 2互为反函数． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．对数函数f (x )的图象过点(4,2)，则f (8)＝________. 3 [设f (x )＝log a x ，则log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2， ∴f (8)＝log 2 8＝3.]3．(1)函数f (x )＝lg x ＋1x －1的定义域是________．(2)若对数函数y ＝log (1－2a )x ，x ∈(0，＋∞)是增函数，则a 的取值范围为________．(3)若g (x )与f (x )＝2x互为反函数，则g (2)＝________. (1){x |x >－1且x ≠1} (2)(－∞，0) (3)1[(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0⇒x >－1且x ≠1.(2)由题意得1－2a ＞1，所以a ＜0.(3)f (x )＝2x的反函数为y ＝g (x )＝log 2 x ， ∴g (2)＝log 2 2＝1.]对数函数的概念【例1】 判断下列函数是否是对数函数？并说明理由．①y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)； ②y ＝log 2x －1； ③y ＝2log 8x ；④y ＝log x a (x ＞0，且x ≠1)．思路点拨：依据对数函数的定义来判断．[解] ①中真数不是自变量x ，∴不是对数函数；②中对数式后减1， ∴不是对数函数；③中log 8x 前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数；④中底数是自变量x ，而不是常数a ， ∴不是对数函数．一个函数是对数函数，必须是形如y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x . 1．对数函数f (x )满足f (2)＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.－2 [设f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由题知f (2)＝log a 2＝2，故a 2＝2，∴a ＝2或－2(舍)．∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log2 12＝－2.]对数函数的定义域问题【例2】 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log x －1(x ＋2)；(2)f (x )＝－lg 1－x ； (3)f (x )＝1log 2x －1；(4)f (x )＝11－log a x ＋a(a >0且a ≠1)．思路点拨：根据对数式中底数、真数的范围，列不等式(组)求解．[解] (1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x －1≠1，x ＋2>0，解得x >1且x ≠2，∴f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧－lg 1－x≥0，1－x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 1－x ≤0，x <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≤1，x <1⇒0≤x <1.∴函数的定义域为[0,1)．(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1≠0，x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠1，x >1，∴x >1且x ≠2.故f (x )的定义域为{x |x >1且x ≠2}． (4)⎩⎪⎨⎪⎧1－log ax ＋a >0，x ＋a >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧log a x ＋a<log a a ，x >－a ，①②当a >1时，－a <－1. 由①得x ＋a <a . ∴x <0.∴f (x )的定义域为{x |－a <x <0}． 当0<a <1时，－1<－a <0. 由①得x ＋a >a . ∴x >0.∴f (x )的定义域为{x |x >0}．故所求f (x )的定义域是： 当0<a <1时，x ∈(0，＋∞)； 当a >1时，x ∈(－a,0)．求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.2．(1)函数y ＝x ln (1－2x )的定义域为________． (2)函数y ＝lg x ＋12x －1的定义域为________．(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12 (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12[(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－2x >0，解得0≤x <12，∴定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x <12. (2)由题知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x －1>0，解得x >12，∴定义域为{x|x >12}.]比较对数式的大小1．在同一坐标系中作出y ＝log 2 x ，y ＝log 12x ，y ＝lg x ，y＝log 0.1 x 的图象．观察图象，从底数的大小及相对位置方面来看，可以得出什么结论．[提示] 图象如图．结论：对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x轴．2．函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x的图象如图所示，那么a，b，c的大小关系如何？[提示]由图象可知a>1，b，c都大于0且小于1，由于y＝log b x的图象在(1，＋∞)上比y＝log c x的图象靠近x轴，所以b<c，因此a，b，c的大小关系为0<b<c<1<a.3．从以上两个探究，我们能否得出对数函数在第一象限的图象的位置与底数大小的关系．[提示]在第一象限内的对数函数的图象按从左到右的顺序底数依次变大．【例3】(1)比较下列各组数的大小：①log323与log565；②log1.1 0.7与log1.2 0.7.(2)已知log12b<log12a<log12c，比较2b,2a,2c的大小关系．思路点拨：(1)中两小题可以借助对数函数的图象判断大小关系．(2)中可先比较a，b，c的大小关系，再借助指数函数的单调性．[解](1)①∵log323<log3 1＝0，而log565>log5 1＝0，∴log323<log565.②法一：∵0<0.7<1,1.1<1.2，∴0>log0.7 1.1>log0.7 1.2.∴1log0.7 1.1<1log0.7 1.2，由换底公式可得log1.1 0.7<log1.2 0.7.法二：作出y＝log1.1x与y＝log1.2x的图象，如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log1.1 0.7<log1.2 0.7.(2)∵y＝log12x为减函数，且log12b<log12a<log12c，∴b>a>c.而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．3．比较下列各组数的大小．(1)log3 3.4，log3 8.5；(2)log0.1 3与log0.6 3；(3)log4 5与log6 5；(4)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1)．[解](1)∵底数3>1，∴y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，于是log33.4<log38.5.(2)在同一坐标系内作出y＝log0.1x与y＝log0.6x的图象，如图，可知在(1，＋∞)上，函数y＝log0.1x的图象在函数y＝log0.6 x图象的上方，故log0.1 3>log0.6 3.(3)∵log4 5>log4 4＝1，log6 5<log6 6＝1，∴log4 5>log6 5.(4)①当0<lg m<1，即1<m<10时，y＝(lg m)x在R上是减函数，∴(lg m )1.9>(lg m )2.1；②当lg m ＝1，即m ＝10时，(lg m )1.9＝(lg m )2.1； ③当lg m >1，即m >10时，y ＝(lg m )x在R 上是增函数， ∴(lg m )1.9<(lg m )2.1.1．判断一个函数是不是对数函数，关键是分析所给函数是否具有y ＝log a x (a >0，且a ≠1)这种形式．2．在对数函数y ＝log a x 中，底数a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝log 2 2x C ．y ＝log 2 x ＋1D ．y ＝lg x .D [根据对数函数的定义，只有D 是对数函数．]2．函数y ＝ln x 的单调增区间是________________，反函数是____________．(0，＋∞) y ＝e x[y ＝ln x 的底为e>1，故y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，其反函数为y ＝e x.]3．函数y ＝log a (2x －3)＋1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．(2,1) [函数可化为y －1＝log a (2x －3)，可令⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＝1，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即P (2,1)．]4．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 3 3x ＋2；(2)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)；(3)y ＝log 12x －2.[解](1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2>0，log 33x ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x >－2，3x ＋2≠1⇒x >－23且x ≠－13.所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >－23且x ≠－13. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.所以y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为{x|12<x <2，且x ≠1}.(3)由题知⎩⎪⎨⎪⎧log 12x －2≥0，x －2>0，即0<x －2≤1，所以2<x ≤3， 故定义域为{x |2<x ≤3}．。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
教案：幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = x^a，其中a 是实数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，随着a 的不同取值，曲线的形状也会发生变化。
当a > 1 时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在x > 0 的区间上是减函数；当a = 0 时，函数是常数函数；当a < 0 时，函数在x >0 的区间上是增函数。
1.2 幂函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的幂函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x > 0 的区间上有定义；当a < 0 时，函数在x = 0 时无定义，但在x < 0 的区间上有定义；当a 为正整数时，函数在x > 0 的区间上是增函数；当a 为负整数时，函数在x < 0 的区间上是增函数。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a 是正实数。
性质：指数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
指数函数的图像经过点(0, 1)，并且随着a 的增大，曲线的斜率也会增大。
2.2 指数函数的图像与性质图像：通过绘制不同a 值的指数函数图像，观察曲线的形状和变化趋势。
性质：当a > 1 时，函数在整个实数域上是增函数；当0 < a < 1 时，函数在整个实数域上是减函数；指数函数的图像具有反射性，即f(x) = a^x 和f(x) = a^(-x) 的图像关于y 轴对称。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为f(x) = log_a(x)，其中a 是正实数。
性质：对数函数的图像是一条曲线，随着x 的增大，曲线的值也会增大。
高中数学《指数函数对数函数幂函数》教案苏教版必修
第二十九课时 指数函数、对数函数、幂函数 【学习导航】学习要求1、进一步巩固指数、函数，幂函数的基本概念。
2、能运用指数函数，对数函数，幂函数的性质解决一些问题。
3、掌握图象的一些变换。
4、能解决一些复合函数的单调性、奇偶性等问题。
【精典范例】例1、已知f(x)=x 3·(21121+-x )； (1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f(x)>0.【解】：(1)因为2x －1≠0，即2x ≠1，所以x ≠0，即函数f(x)的定义域为{x ∈R|x ≠0} . 又f(x)=x 3(21121+-x )=1212·23-+x x x ， f(－x)=1212·21212·2)(33-+=-+---x x x x x x =f(x)， 所以函数f(x)是偶函数。
(2)当x>0时，则x 3>0，2x >1，2x －1>0，所以f(x)=.01212·23>-+x x x 又f(x)=f(－x),当x<0时，f(x) =f(－x)>0.综上述f(x)>0.例2、已知f(x)=),(1222·R x a a x x ∈+-+若f(x)满足f(－x)=－f(x). (1)求实数a 的值；(2)判断函数的单调性。
【解】：(1)函数f(x)的定义域为R ，又f(x)满足f(－x)= －f(x)，所以f(－0)= －f(0)，即f(0)=0.所以0222=-a ，解得a=1， (2)设x 1<x 2,得0<2x 1<2x 2,则f(x 1) －f(x 2)=121212122211+--+-x x x x =)12)(12()22(22121++-x x x x 所以f(x 1) －f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2).所以f(x)在定义域R 上为增函数.例3、已知f(x)=log 2(x+1)，当点(x,y)在函数y=f(x)的图象上运动时，点(23y ，x )在函数y=g(x)的图象上运动。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数的定义和性质。
2. 掌握对数的定义和性质，了解对数函数的图像和应用。
3. 掌握对数的运算法则，并能应用于实际问题中。
过程与方法：1. 通过实例和图形，培养学生的观察和分析能力，提高学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解。
2. 通过小组讨论和探究活动，培养学生的合作和沟通能力，提高学生对对数运算法则的掌握。
情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生对幂函数、指数函数和对数函数的学习热情。
2. 培养学生的耐心和细心，提高学生在解决实际问题中的数学应用能力。
二、教学内容第一节：幂函数1. 幂函数的定义和性质2. 幂函数的图像和应用第二节：指数函数1. 指数函数的定义和性质2. 指数函数的图像和应用第三节：对数函数1. 对数的定义和性质2. 对数函数的图像和应用第四节：对数的运算法则1. 对数的加法和减法法则2. 对数的乘法和除法法则3. 对数的幂法则三、教学重点与难点重点：1. 幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 对数的运算法则。
难点：1. 对数函数的图像和应用。
2. 对数的幂法则的理解和应用。
四、教学方法与手段教学方法：1. 讲授法：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义和性质。
2. 案例分析法：分析实际问题中的应用，展示对数函数的图像。
3. 小组讨论法：分组讨论对数的运算法则，促进学生之间的交流和合作。
教学手段：1. 多媒体课件：展示幂函数、指数函数和对数函数的图像和实例。
2. 练习题：提供练习题，帮助学生巩固所学知识和技能。
1. 课堂参与度：观察学生在课堂中的积极参与和提问情况，评价学生的学习兴趣和主动性。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确率和解题思路，评价学生的理解和应用能力。
3. 小组讨论报告：评估学生在小组讨论中的表现和合作能力，以及对数运算法则的理解和应用。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质定义：幂函数是一种形式的函数，可以表示为y = x^a，其中x是变量，a是常数。
性质：幂函数的图像是一条曲线，取决于指数a的值。
当a为正整数时，函数在x轴的正半轴上递增。
当a为负整数时，函数在x轴的正半轴上递减。
当a为分数时，函数的图像呈现出特殊的变化规律。
1.2 幂函数的图像与性质绘制幂函数的图像，观察不同指数a对图像形状的影响。
分析幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质定义：指数函数是一种形式的函数，可以表示为y = a^x，其中a是底数，x是变量。
性质：指数函数的图像是一条递增的曲线，底数a大于1时，曲线向上弯曲；底数a 小于1时，曲线向下弯曲。
指数函数的渐近线是y轴。
指数函数的值域是正实数集。
2.2 指数函数的应用分析指数函数的增长速度，比较不同底数的指数函数。
应用指数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质定义：对数函数是一种形式的函数，可以表示为y = log_a(x)，其中a是底数，x是变量。
性质：对数函数的图像是一条递减的曲线，底数a大于1时，曲线向下弯曲；底数a 小于1时，曲线向上弯曲。
对数函数的渐近线是x轴。
对数函数的定义域是正实数集。
3.2 对数函数的应用分析对数函数的单调性，比较不同底数的对数函数。
应用对数函数解决实际问题，如测量、数据压缩等。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本性质回顾对数的定义，巩固对数函数的基本性质。
学习对数的换底公式、对数的反对数等基本性质。
4.2 对数的运算法则学习对数的加法、减法、乘法、除法等运算法则。
运用对数的运算法则进行复杂对数表达式的化简和求值。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用分析实际问题，识别可以用对数函数表示的关系。
应用对数函数解决实际问题，如人口增长、放射性衰变等。
高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.3 幂函数高一数学教案
3.3 幂函数一般地，我们把形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象不经过第四象限．( )(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．( )(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．( )[答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)由幂函数的一般式y ＝x α(α为常数)及图象可知，当x >0时，y >0，即图象不经过第四象限．(2)y ＝x －1不经过(0,0)点，故错误．(3)y ＝x 12，定义域为[0，＋∞)，与指数有关，故错误． 2．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________. 3[由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，2n －4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2,8)，则f (－2)＝________.－8 [8＝2α，所以α＝3，所以f (x )＝x 3，f (－2)＝(－2)3＝－8.]幂函数的概念【例1】 已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．思路点拨：由幂函数的定义列式求解．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，∴m ＝－3，n ＝32为所求．1．幂函数y ＝x α要满足三个特征 (1)幂x α前系数为1；(2)底数只能是自变量x ，指数是常数； (3)项数只有一项．2．求幂函数解析式时常用待定系数法，即设解析式为f (x )＝x α，根据条件求出α.1．下列函数是幂函数的有________．(填序号) ①y ＝x 2x；②y ＝2x 2；③y ＝x 2；④y ＝x 2＋1；⑤y ＝－1x；⑥y＝x 23.③⑥ [根据幂函数的定义，只有③⑥符合题意．] 2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，22，则f (100)＝________.110 [由题知2α＝22＝2－12，∴α＝－12. ∴f (x )＝x －12，∴f (100)＝100－12＝1100＝110.]比较大小(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1312与⎝ ⎛⎭⎪⎫1412；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1；(3)0.25－14与6.2514；(4)0.20.6与0.30.4.思路点拨：可以借助幂函数的单调性或中间量进行比较．[解] (1)∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且13>14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1312>⎝ ⎛⎭⎪⎫1412. (2)∵y ＝x －1是(－∞，0)上的减函数， 且－23<－35，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. (3)0.25－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－14＝212，6.2514＝2.512.∵y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，且2<2.5， ∴212<2.512，即0.25－14<6.2514.(4)由幂函数的单调性，知0.20.6<0.30.6，又y ＝0.3x是减函数，∴0.30.4>0.30.6，从而0.20.6<0.30.4.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数； (2)若指数不同而底数相同，则构造指数函数；(3)若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数或底数化为相同，是否可以引入中间量．3．比较下列各组中两个数的大小：(1)3－52，3.1－52；(2)a 1.5，(a ＋1)1.5(a ＞0)； (3)(－0.88)53，(－0.89)53.[解] (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)内是减函数，所以3－52＞3.1－52.(2)函数y ＝x 1.5在(0，＋∞)内是增函数，又a ＞0，a ＋1＞a ， 所以(a ＋1)1.5＞a 1.5.(3)函数y ＝x 53 在R 上为增函数， 所以(－0.88)53＞(－0.89)53.幂函数的图象与性质1．做幂函数y ＝x 23的图象应该怎么做？[提示] ①因为0<23<1，故函数y ＝x 23在第一象限内是单调递增的，并且在(0,1)上应在y ＝x 的上方，在(1，＋∞)上应在y ＝x 的下方．②函数的定义域为R ，且为偶函数，故将y 轴右侧的图象关于y 轴对称到y 轴左侧，即得到y ＝x 23的图象(略)．2．从上述过程能否归纳出作幂函数y ＝x α的图象的步骤？[提示] ①先看α，按α<0,0<α<1，α>1来分类(α＝0，α＝1两种特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状．②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到函数在y 轴左侧的图象．3．作出y ＝x －13的图象(草图)，并说明若x －13>y －13时，x ，y 与0的大小关系有多少种？[提示] y ＝x －13在第一象限内的图象单调递减，且为奇函数，草图如下，从图象可以看出，若x －13>y －13，则有以下情况 ①0<x <y ；②x <y <0；③x >0>y . 【例3】 已知幂函数y ＝x3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．思路点拨：据题中条件→列出不等式组→求出m →利用幂函数的单调性→对底数分类讨论→得a [解] ∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，∴m ＝1,2.又函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，故m ＝1.∴有(a ＋1)－13<(3－2a )－13.∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减，∴a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a ，或a ＋1<0<3－2a ，解得23<a <32或a <－1.所以a的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，321．本题在解答过程中易出现忽略对底数的分类讨论而产生漏解．2．求解此类题目的关键是弄清幂函数的概念及幂函数的性质．解决此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性或奇偶性(图象对称性)求出m 的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a 的取值范围．4.已知x 2>x 13，则x 的取值范围是______．(－∞，0)∪(1，＋∞) [作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图象(如图所示)，易得x <0或x >1.]1．幂函数y ＝x α的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1.(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝x －3B ．y ＝－x 3C ．y ＝2x 3D ．y ＝x 3－1.A [幂函数是形如y ＝x α的函数，观察四个函数只有A 中函数是幂函数．]2．已知幂函数y ＝x α的图象过点(2，2)，则f (4)的值是_____． 2 [将点(2，2)代入幂函数可得f (2)＝2α＝2，解得α＝12，即幂函数为f (x )＝x 12，可得f (4)＝412＝2.]3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)(1)y ＝x 12；(2)y ＝x 4；(3)y ＝x －1；(4)y ＝x 3.(2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数，只有(2)符合题意．]4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，比较a ，b ，c 的大小关系．[解]∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 在R 上为减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323<⎝ ⎛⎭⎪⎫2313，即a <b ，∵f (x )＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫2523，即a >c ，所以b >a >c .。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
教学内容：第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质1.2 幂函数图像的特点1.3 幂函数的应用第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质2.2 指数函数图像的特点2.3 指数函数的应用第三章：对数函数3.1 对数的定义与性质3.2 对数函数图像的特点3.3 对数函数的应用第四章：对数及其运算法则4.1 对数的换底公式4.2 对数的运算法则4.3 对数函数的图像与性质第五章：实际问题中的应用5.1 利用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题5.2 练习题及解答教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义、性质及应用。
2. 利用数形结合法，引导学生观察函数图像，加深对函数性质的理解。
3. 通过例题和实际问题，培养学生的应用能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对幂函数、指数函数和对数函数的理解程度。
2. 布置课后作业，巩固所学知识。
3. 进行单元测试，评估学生的掌握情况。
教学资源：1. 教学PPT，展示幂函数、指数函数和对数函数的图像及性质。
2. 教材和辅导书，提供相关知识点的详细讲解和例题。
3. 网络资源，查阅实际问题中的应用案例。
教学时间安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案（续）教学内容：第六章：指数与对数的互化6.1 指数与对数的关系6.2 指数与对数的互化方法6.3 指数与对数互化在实际问题中的应用第七章：对数函数的图像与性质7.1 对数函数的图像特点7.2 对数函数的性质7.3 对数函数图像与性质的应用第八章：对数函数在实际问题中的应用8.1 对数函数解决生长、衰减问题8.2 对数函数在几何问题中的应用8.3 对数函数在其他领域的应用第九章：对数方程与对数不等式9.1 对数方程的解法9.2 对数不等式的解法9.3 对数方程与对数不等式的应用第十章：总结与拓展10.1 幂函数、指数函数和对数函数的总结10.2 数学思想与方法的拓展10.3 课后习题与思考题教学方法：1. 采用讲授法，讲解指数与对数的关系、互化方法及其应用。
幂函数指数函数和对数函数单元教学设计
活动意图说明： 点评 考察定义，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x ，指数为常数这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3，y ＝⎝⎛⎭⎫x 24都不是幂函数． 环节二：教师活动2知识点二 五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)12y x ＝；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 12y x ＝y ＝x －1定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ≠0} 奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇 单调性增在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减增增在(0，＋∞) 上减， 在(－∞，0) 上减知识点三 一般幂函数的图象特征一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；(4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称； (5)在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 学生活动学生把自己的作图结果展示并比较，讨论，校对。
教师最后可以用课件动态展示结果。
并得出正确的图像。
学生先相互讨论，如有不足老师再提醒或补充。
活动意图说明学生通过作图从熟悉的图像到陌生的图像进一步学会做图和看图，学会图像这个工具进一步研究性质。
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 幂函数：定义、性质及应用。
2. 指数函数：定义、性质及应用。
3. 对数函数：定义、性质及应用。
4. 对数的运算法则：乘法法则、除法法则、幂法则、对数换底公式。
三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的概念及其性质，对数的运算法则。
2. 难点：对数函数的应用，对数的运算法则的推导和应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义、性质和对数运算法则。
2. 利用例题和练习题，让学生通过自主学习和合作交流，巩固所学知识。
3. 运用信息技术辅助教学，展示函数图像，增强学生对函数性质的理解。
五、教学过程：1. 导入：通过复习幂函数、指数函数的概念和性质，引出对数函数的概念。
2. 新课讲解：讲解对数函数的定义、性质和对数运算法则，结合实例进行解释。
3. 例题讲解：分析并解决有关对数函数的例题，让学生掌握对数函数的解题方法。
4. 练习与讨论：学生自主完成练习题，合作交流解题心得，教师进行点评和指导。
6. 课后作业：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对幂函数、指数函数、对数函数概念及其性质的掌握情况。
2. 练习题完成情况：检查学生对对数函数及其运算法则的应用能力。
3. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：2. 针对学生的薄弱环节，调整教学策略，提高教学效果。
3. 探索更多有效的教学方法，激发学生的学习兴趣。
八、拓展与延伸：1. 引导学生思考实际生活中的幂函数、指数函数和对数函数现象，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
2. 介绍对数函数在其他学科领域的应用，如物理学、生物学等，拓宽学生的知识视野。
幂函数指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
教学过程设计
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，求20年后国民生产总值是原来的多少倍？
生：设原来国民生产总值为1，则20年后国民生产总值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后国民生产总值是原来的1.07220倍．
师：这是个实际应用问题，我们把它转化为数学中知道底数和指数，求幂值的问题．也就是上面学习的指数问题．
师：（板书）已知国民生产总值每年平均增长率为7.2％，问经过多年年后国民生产总值是原来的4倍？
师：（分析）仿照上例，设原来国民生产总值为1，需经x年后国民生产总值是原来的4倍．列方程
1.072x=4．
我们把这个应用问题转化为知道底数和幂值，求指数的问题，这是上述问题的逆问题，即本节的对数问题．
师：（板书）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作
练习4计算下列对数：
lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：10lg105=105．
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案教学目标：一、知识与技能：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质。
2. 掌握对数的定义及其运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、过程与方法：1. 通过实例探究幂函数、指数函数和对数函数的图象与性质。
2. 通过对数函数的图象和性质，理解对数及其运算法则。
3. 运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题，提高数学建模能力。
三、情感态度与价值观：1. 培养对数学的兴趣和好奇心，感受数学的运用价值。
2. 培养学生的团队合作精神，提高学生的解决问题的能力。
教学重点与难点：重点：幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质；对数的定义及其运算法则。
难点：幂函数、指数函数和对数函数在实际问题中的应用。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 复习幂函数、指数函数的定义及其性质。
2. 引导学生思考：幂函数、指数函数在实际生活中有哪些应用？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解对数的定义：以2为底的对数表示为log2(x)，意义为2的几次方等于x。
2. 引导学生通过实例理解对数的意义。
3. 讲解对数的性质：对数的真数必须大于0；对数的底数必须不等于1；对数的相反数、对数的倒数、对数的乘积和除法等性质。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固对数的定义及其性质。
2. 解答学生疑问，指导学生掌握对数的运算法则。
四、应用拓展（10分钟）1. 让学生举例说明幂函数、指数函数和对数函数在实际生活中的应用。
2. 引导学生运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
五、课堂小结（5分钟）2. 强调对数的运算法则及其应用。
教学反思：本节课通过讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义及其性质，让学生掌握对数的定义及其运算法则。
在教学过程中，注重引导学生思考实际生活中的应用，提高学生的数学建模能力。
通过课堂练习和应用拓展，巩固所学知识，提高学生的解决问题的能力。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案一、教学目标：1. 理解幂函数、指数函数和对数函数的定义及性质。
2. 掌握对数的定义、性质及运算法则。
3. 能够运用幂函数、指数函数和对数函数解决实际问题。
二、教学内容：1. 幂函数的定义与性质2. 指数函数的定义与性质3. 对数的定义与性质4. 对数的运算法则5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 重点：幂函数、指数函数和对数函数的定义与性质，对数的运算法则。
2. 难点：对数函数的理解和应用，对数运算法则的推导。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解幂函数、指数函数、对数函数的定义与性质。
2. 采用案例分析法，分析实际问题中的幂函数、指数函数和对数函数。
3. 采用小组讨论法，探讨对数运算法则的推导。
五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引入幂函数、指数函数和对数函数的概念。
2. 讲解：讲解幂函数、指数函数和对数函数的定义与性质。
3. 案例分析：分析实际问题中的幂函数、指数函数和对数函数。
4. 小组讨论：探讨对数运算法则的推导。
6. 练习：布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，针对学生的掌握情况，调整教学节奏和难度。
注重引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
加强实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。
对数函数的理解和应用是教学难点，可通过举例、小组讨论等方式，帮助学生理解和掌握。
六、教学评价：1. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生对幂函数、指数函数、对数函数的理解和应用。
2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括思考问题的深度和广度，以及团队合作能力。
七、教学资源：1. 教材：提供相关的教材或教学参考书，以便学生可以在家中复习和学习。
2. 课件：制作详细的课件，辅助学生理解和记忆幂函数、指数函数、对数函数的概念和性质。
3. 实际问题案例：收集一些实际问题，用于课堂分析和讨论，帮助学生理解函数的应用。
高考数学二轮复习(2)指数函数、对数函数、幂函数教案
高考数学二轮复习（2）指数函数、对数函数、幂函数教案【专题要点】1.理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系.4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质.5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.【考纲要求】1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；1．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2．结合具体函数，了解奇偶性的含义；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；【教法指引】本节内容在高考中占有一定比重，而且二分法是新增内容，应引起重视，同时对反函数的考查要求降低，本节多数题目将会以小题目出现，重点仍将是考查函数的性质，二分法，函数的定义域，以及函数的综合应用等知识点基本函数：一次函数、二次函数、指数函数与对数函数，它们的图象与性质是函数的基石，判断、证明与应用函数的三大特性（单调性、奇偶性、周期性）是高考命题的切入点，有单一考查，也有综合考查.函数的图象、图象的变换是高考热点，应用函数知识解其他问题，特别是解应用题能很好地考查学生分析问题、解决问题的能力，这类问题在高考中具有较强的生存力.配方法、待定系数法、数形结合法、分类讨论等，这些方法构成了函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性，这均符合高考试题改革的发展趋势.特别在“函数”这一章中，数形结合的思想比比皆是，深刻理解和灵活运用这一思想方法，不仅会给解题带来方便，而且这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.复习函数时要注意：1.深刻理解一些基本函数，如二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，对数与形的基本关系能相互转化.2.掌握函数图象的基本变换，如平移、翻转、对称等.3.二次函数是初中、高中的结合点，应引起重视，复习时要适当加深加宽.二次函数与二次方程、二次不等式有着密切的联系，要沟通这些知识之间的内在联系，灵活运用它们去解决有关问题.4.含参数函数的讨论是函数问题中的难点及重点，复习时应适当加强这方面的训练，做到条理清楚、分类明确、不重不漏.5.利用函数知识解应用题是高考重点，应引起重视.【典例精析】1.函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫．复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数及其运算法则教案章节一：幂函数的概念与性质1. 引入幂函数的定义：一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数，x 为自变量。
2. 讲解幂函数的性质：a) 当a为正整数时，函数在定义域内单调递增；b) 当a为负整数时，函数在定义域内单调递减；c) 当a为分数时，函数的单调性取决于分子和分母的大小关系；d) 当a为实数时，函数的定义域为全体实数。
章节二：指数函数的概念与性质1. 引入指数函数的定义：一般形式为f(x) = a^x，其中a为底数，x 为指数。
2. 讲解指数函数的性质：a) 当a > 1时，函数在定义域内单调递增；b) 当0 < a < 1时，函数在定义域内单调递减；c) 当a = 1时，函数为常值函数；d) 当a = 0时，函数无定义。
章节三：对数函数的概念与性质1. 引入对数函数的定义：一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a为底数，x为真数。
2. 讲解对数函数的性质：a) 当a > 1时，函数在定义域内单调递增；b) 当0 < a < 1时，函数在定义域内单调递减；c) 当a = 1时，函数无定义；d) 当a = e（自然底数）时，函数为自然对数函数，其在定义域内单调递增。
章节四：对数运算法则1. 讲解对数的换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中a、b、c为任意正数，且a、c不为1。
2. 讲解对数的乘法法则：log_a(mn) = log_a(m) + log_a(n)。
3. 讲解对数的除法法则：log_a(m/n) = log_a(m) log_a(n)。
4. 讲解对数的幂法法则：log_a(m^n) = n log_a(m)。
章节五：指数函数与对数函数的关系1. 讲解指数函数与对数函数的反函数关系：如果y = f(x) = a^x，x = log_a(y)，即指数函数与对数函数互为反函数。
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案
幂函数、指数函数和对数函数对数及其运算法则教案第一章：幂函数1.1 幂函数的定义与性质学习幂函数的定义：f(x) = x^a，其中a为常数。
探讨幂函数的性质，如奇偶性、单调性等。
1.2 幂函数的图像与解析式绘制常见的幂函数图像，如f(x) = x^2，f(x) = x^-1等。
学习如何从图像得出幂函数的解析式。
第二章：指数函数2.1 指数函数的定义与性质学习指数函数的定义：f(x) = a^x，其中a为正常数。
探讨指数函数的性质，如单调性、特殊点等。
2.2 指数函数的图像与解析式绘制常见的指数函数图像，如f(x) = 2^x，f(x) = 3^x等。
学习如何从图像得出指数函数的解析式。
第三章：对数函数3.1 对数函数的定义与性质学习对数函数的定义：f(x) = log_a(x)，其中a为正常数。
探讨对数函数的性质，如单调性、特殊点等。
3.2 对数函数的图像与解析式绘制常见的对数函数图像，如f(x) = log_2(x)，f(x) = log_3(x)等。
学习如何从图像得出对数函数的解析式。
第四章：对数运算法则4.1 对数的基本运算法则学习对数的加法、减法、乘法和除法法则。
4.2 对数的复合运算法则学习对数的乘方和除方法则。
第五章：对数函数的应用5.1 对数函数在实际问题中的应用探讨对数函数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。
5.2 对数函数在其他数学领域的应用探讨对数函数在其他数学领域的应用，如微积分中的对数微分等。
第六章：指数函数的应用6.1 指数函数在实际问题中的应用探讨指数函数在实际问题中的应用，如复利计算、生物种群增长等。
6.2 指数函数在其他数学领域的应用探讨指数函数在其他数学领域的应用，如概率论中的指数分布等。
第七章：幂函数和指数函数的综合应用7.1 幂函数和指数函数在实际问题中的应用探讨幂函数和指数函数在实际问题中的应用，如物理学中的能量公式、经济学中的需求函数等。
7.2 幂函数和指数函数在其他数学领域的应用探讨幂函数和指数函数在其他数学领域的应用，如图论中的指数时间算法等。
探究幂函数、指数函数与对数函数的关系——幂指对函数教案
前言：幂函数、指数函数和对数函数是高中数学中十分重要的函数类型，在微积分、概率论、数论、统计学、物理学、经济学等学科的研究中，它们广泛应用。
因此，了解幂指对函数的关系对我们对这三种函数的研究有重要的助益。
本文将主要围绕着这三种函数的定义、性质以及它们之间的关系展开探究，希望能够在一定程度上提高读者对这三种函数的认知。
一、幂函数幂函数是高中数学中最基本和最普遍的函数类型之一，它的定义和解析式如下：定义：设 a 为正实数且不等于 1，那么幂函数 f ( x ) = a x 就称为幂函数。
解析式：f ( x ) = a x，其中 a 是正实数且不等于 1。
根据幂函数的定义，我们可以得到一些幂函数的基本特征和性质：1、当 a > 1 时，幂函数是增函数；当 0 < a < 1 时，幂函数是减函数。
2、当 a > 1 时，幂函数图像是向上开口的下凸曲线；当 0 < a < 1 时，幂函数图像是向下开口的上凸曲线。
3、当 a = 1 时，幂函数就是 f ( x ) = 1，是一条水平直线。
4、幂函数在 x = 0 处有特殊性质，即 f ( 0 ) = 1。
二、指数函数指数函数也是高中数学中重要的函数类型之一，它的定义和解析式如下：定义：设 a 为正实数且不等于 1，指数函数 f ( x ) = a x 就称为指数函数。
解析式：f ( x ) = a x，其中 a 是正实数且不等于 1。
根据指数函数的定义，我们可以得到一些指数函数的基本特征和性质：1、当 a > 1 时，指数函数是增函数；当 0 < a < 1 时，指数函数是减函数。
2、当 a > 1 时，指数函数图像是像 y = x 函数向上平移的曲线；当 0 < a < 1 时，指数函数图像是像 y = x 函数向下平移的曲线。
3、当 a = 1 时，指数函数就是 f ( x ) = 1，是一条水平直线。
幂函数、指数函数和对数函数 指数函数 教案
幂函数、指数函数和对数函数·指数函数·教案教学目标1．通过教学，使学生掌握指数函数的定义，会画指数函数的图象，掌握指数函数的性质．2．通过例题，使学生学会利用函数的性质，比较两个数的大小的方法，从而加深学生对函数性质的理解．3．通过教学，使学生进一步了解学习一种新的函数的基本方法．4．通过函数的图象，让学生观察归纳函数的性质，提高学生画图、看图、用图的能力，提高学生观察归纳的能力．教学重点与难点教学重点是指数函数的定义，图象及性质．难点是弄清底数a对于函数值变化的影响，区分a＞1与0＜a ＜1时，函数值变化的不同情况．能应用函数的性质解决问题．教学过程设计师：首先我们回忆关于零指数、负指数、分数指数幂的意义及其运算性质．师：要注意字母的允许值范围．a0=1（a≠0），零的零次幂没有幂的意义．那么它们的运算性质呢？生：am·an=am+n；am÷an=am-n；（am）n=amn；（ab）n=anbn．其中m，n为有理数．师：请同学们回忆，什么是幂函数？生：函数y=xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．师：幂函数是我们在高中所学的第一个函数．今天我们再学习一种新的函数．请同学们先考虑以下问题：例1 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞分裂的个数y与x的函数关系是什么？生：y与x的函数关系是y=2x．例2 一种放射性物质随着时间而不断衰减．已知它经过一年剩留的质量约是原来的84％，请问：若有1克这种放射性物质，经过x年，剩留的质量y与x的函数关系是什么？师：经过1年，剩留量y=1×84％=0.84；经过2年，y=0.84×0.84=0.842．经过x年呢？生：经过x年，剩留量y=0.84x．师：以上两例中所涉及到的函数里，指数是自变量，底数分别为2和0.84．它们与幂函数不同的是：自变量x出现在指数位置上，而底数是一个大于零且不等于1的常数．我们称这样的函数为指数函数、由此得到：定义：函数y=ax叫做指数函数，其中a是一个大于零且不等于1的常量．对这个定义我们要说明两点：（1）当a＞0，x是无理数时，ax是一个确定的实数，对于无理指数幂，过去学过的有理数指数幂的性质和运算法则都适用．有关概念和定理证明在课本中从略．由于指数已经扩充到有理数和无理数，所以在底数大于零的前提下，x可以是任意实数，因此指数函数的定义域是全体实数集R．（2）为什么要规定底数a大于零且不等于1呢？请同学们思考一下．生：若a=0，当x=0时，ax无意义．师：还有吗？生：若x＜0时，ax（a=0）无意义．师：好．请同学们再考虑a＜0的情形．师：好．当a＜0，且x是分母为偶数的既约分数时，在实数范围内函数值ax不存在．如果a=1，则y=1x=1是一个常量．对它也没有研究的必要．根据上述原因，我们规定指数函数y=ax中的底数a＞0且a≠1．同幂函数一样，下边我们根据函数的解析式描绘指数函数的图象．我们考虑几个特殊的指数函数的图象．师：画函数图象都有哪些方法呢？生：描点法与图象变换法．师：对．当我们学习一种新的基本初等函数时，都是采用描点法画出其函数图象．在画图时，首先要列出x、y的对应值表，然后用描点法画出图象．在列表时，要考虑函数的定义域．因为x∈R，所以y=2x中可取x=…y=10x，当x=2，3时，y=100，1000，画起来就不方便了．但是点取请同学们计算与x对应的y值．列表如下．…根据上表，在同一坐标系里，作函数图象．师：我们画出了三个具有代表性的指数函数图象．现在我们根据这些图象，观察分析指数函数图象的特征，从而得到指数函数的性质．请同学们先观察这三个函数图象有哪些共同的特点．生：图象都在x轴的上方．师：由此可以说明指数函数具有什么性质呢？生：函数值y＞0．师：很好．从图象上看，曲线都在x轴的上方，并且向下与x轴无限地接近，所以函数的值域y=ax＞0．继续观察还有什么共同的特点？生：图象都过一个点．师：这个点的坐标是什么？生：（0，1）．师：这说明什么呢？生：当x=0时，y=1．师：对．在指数函数中，当x=0时，y=ax=a0=1（a＞0且a≠1）．现在我们再观察这三个函数图象中有哪些不同的特点呢？图象是下降的．师：很好．对于指数函数，当a=2和10，即a＞1时，函数在定义（-∞，+∞）上是减函数．再继续观察还有什么特征？生：……师：在图象上画一条直线y=1．生：当底数是2和10时，在第一象限，图象都在直线y=1的上边，师：图象在直线y=1的上边，说明了什么？图象在直线y=1的下边，且在x轴的上边，又说明了什么呢？生：图象在直线y=1的上边．说明y＞1；在直线y=1的下边且在x轴的上边，说明0＜y＜1．师：对．由此我们可以得出：当a=2和10，即a＞1时，若x＞0，；若x＜0，则y＞1．我们通过观察图象的特征，将结论归纳如下：师：根据上述结论，我们知道指数函数的图象及性质应视a＞1和0＜a＜1两种情形而不同，这是指数函数至关重要的一个特点．因此，今后我们在研究指数函数的问题时，要特别注意它们底数的取值范围，从而得到相应的结论，以达到解决问题的目的．例2 比较下列各题中两个值的大小．（1）1.72.5和1.73；（2）0.8-0.1和0.8-0.2师：请同学们观察（1）中两个数的底数和指数的特点．生：这两个数的底数是相同的，指数不同．师：根据这一特点，如何比较这两个数的大小呢？生：可根据函数y=1.7x是增函数的性质来比较大小．师：对．针对这两个数的底数都是1.7，我们构造一个函数y=1.7x，利用这个函数在（-∞，+∞）上是增函数．只要比较自变量2.5与3的大小，即可比出1.72.5与1.73的大小．请一名同学写出解题过程．生：（板书）．解因为函数y=1.7x在（-∞，+∞）上是增函数，且2.5＜3，所以1.72.5＜1.73师：非常好．要求同学们按照这样的格式写出作业答案．下面请同学比较第（2）组两个数的大小，请同学回答．生：因为函数y=0.8x在（-∞，+∞）上是减函数，又-0.1＞-0.2，所以0.8-0.1＜0.8-0.2．师：当我们比较两个数的大小时，若这两个数的底数相同，而指数不同，则可以构造一个指数函数，当底数a＞1，函数在定义域内是增函数；当底数0＜a＜1，函数在定义域内是减函数，再比较自变量的大小，利用函数单调性，即可比出函数值的大小，我们把这种方法简称为“函数法”．例3 比较下列各题中两个数值的大小．（1）0.8-0.3和4.9-0.1；（2）0.90.3和0.70.4师：请同学们观察（1）中两个数的特点，它们与例2中两个数的区别是什么？生：例2中每组数的底数都相同，指数不同，而这道题目中的两个数底数、指数都不相同．师：例3（1）中两个数的底数、指数都不相同，不便于利用指数函数的单调性直接比较大小，那么，请同学们仔细观察分析一下这两个数有什么特点．生：在0.8-0.3中，因为底数0.8∈（0.1），而指数-0.3＜0，由指数函数的第三个性质可知0.8-0.3＞1．在4.9-0.1中，因为底数4.9＞1，而指数-0.1＜0，也可由指数函数的第三个性质知4.9-0.1＜1．因此0.8-0.3＞4.9-0.1．师：非常好．这组数是根据指数函数中第三条性质，由底数与指数的范围，判断出一个数比1大，而另一个数比1小，由此得出结论．那么请同学们继续观察（2）中两个数值有什么特点，如何判断它们的大小．生：在0.90.3中，0＜0.9＜1，0.3＞0，由指数函数性质知0.90.3＜1；在0.70.4中，0＜0.7＜1，0.4＞0，因此0.70.4＜1．师：两个数都小于1，能否比较出0.90.3与0.70.4两个数的大小吗？生：不能．师：（1）中两个数，一个比1大，一个比1小，即1在这两个数之间，我们才能比较出两个数的大小．（2）中两个数都比1小，即1不在这两个数之间，因此就不能判断这两个数的大小．那么能不能找到一个数，介于0.90.3和0.70.4之间呢？生：可以取0.70.3．师：请你比较一下．生：因为函数y=x0.3在[0，+∞）上是增函数．师：这是个什么函数呢？生：幂函数．师：好．请继续说．生：且0.9＞0.7，所以0.90.3＞0.70.3．又因函数y=0.7x在（-∞，+∞）上是减函数，且0.3＜0.4，所以0.70.3＞0.70.4．故0.90.3＞0.70.4．师：非常好．他另选了一个数0.70.3，使得0.90.3比它大，而0.70.4比它小，从而比较出这两个数的大小．在比较0.90.3与0.70.3时，利用了幂函数在第一象限的单调性，这两个数的指数相同，而底数不同；在比较0.70.3与0.70.4时，利用了指数函数在定义域上的单调性，这两个数的底数相同，而指数不同．这一技巧同学们要注意．还有什么不同的选取方法吗？生：可以取0.90.4．师：请你简述一下．生：考察0.90.3与0.90.4，可根据指数函数y=0.9x在（-∞，+∞）上是减函数，判断知：0.90.3＞0.90.4；考察0.90.4与0.70.4，可根据幂函数y=x0.4在[0，+∞）上是增函数，判断知：0.90.4＞0.70.4．因此得：0.90.3＞0.70.4．师：很好．由例3中的两组数比大小可以看到：要比较两个数a和c的大小，可在a和c之间选取适当的数b，如果a＞b且c＜b，那么a＞c；如果a＜b且c＞b，那么a＜c．选取这样的数b不是唯一的，我们把这种方法简称为“中间量”法．当我们要比较两个数的大小时，可根据数的不同特点，采取不同的方法．练习请同学们口答下列问题：1．指出下列各个幂中，哪个大于1？哪个小于1？哪个等于1？并简述理由．2．指出下列各题中m和n的大小，并说明理由．（1）1.4m＞1.4n；（2）m1.4＞n1.4；（3）0.6m＞0.6n；（4）m-0.6＞n-0.6生：因为指数函数y=1.4x在（-∞，+∞）上是增函数，且1.4m＞1.4n，所以m＞n．生：因为幂函数y=x1.4在[0，+∞）上是增函数，且m1.4＞n1.4，所以m＞n．生：因为指数函数y=0.6x在（-∞，+∞）上是减函数，且0.6m＞0.6n，所以m＜n．生：因为幂函数y=x-0.6在[0，+∞）上是减函数，且m-0.6＞n-0.6，所以m＜n．师：今天的课就讲到这里，最后我们重温这节课所学的内容．生：今天讲了什么是指数函数（复述）．师：指数函数的定义，我们是通过两个实例引入的，说明它是来自于实践，而又用于实践．掌握定义要注意：（1）它与幂函数的区别，幂函数的底数是自变量；指数函数的指数是自变量；（2）指数函数的定义域是R；（3）指数函数的底数a＞0且a≠1．数的图象，并根据图象观察归纳了指数函数的性质，请同学回答指数函数的性质．生：（复述性质）……师：对上述性质，要求同学们必须熟练掌握应用，但不要求死记硬背．函数图象是研究函数的直观工具，利用图象便于记忆函数的性质和变化规律，因此大家脑子里要有图，能够数形结合，会画图，会看图，会用图，这样才能提高对函数思想方法的认识，并利用它来解决问题．例2、例3都是利用函数性质解决问题的．“函数法”、“中间量法”都是比较两个数的大小的常用方法，要求掌握．作业：课本P70第1，2题．师：作业题1是作图题，作两个指数函数的图象．这样我们共画了五个指数函数图象，请同学们比较这五个函数图象．下节课，我们共同讨论结果．（答案：（1）底数是互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．（2）当底数大于1时，底数越大的图象越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，底数越小的图象越靠近y 轴．）补充题：1．比较下列各题中两个数的大小．（1）5.10.9和0.30.2；（2）0.71.3和0.8-0.1；（3）3.30.7和3.40.3；（4）0.62.4和0.72.3．（答案：（1）＞；（2）＜；（3）＜；（4）＜．）2．已知0.9＜a＜1，x=aa，y=ax，试比较a，x，y的大小．（提示：因为0.9＜a＜1，所以函数y=ax是减函数，又0＜a＜1，所以a1＜aa＜a0=1，即a＜x＜1．故aa ＞ax＞a，即x＞y＞a．）课堂教学设计说明1．本节课的整体设计是按照一般研究函数的规律设计的．由实例引入定义，再根据定义并利用描点法画出函数图象，通过图象得到函数的性质．学生在学习函数时，往往感到比较困难、抽象，不易理解和掌握．要让学生掌握学习函数的一般规律，再继续学习新的函数，学生就能顺理成章，而不会产生无所适从的感觉．2．本节的容量较大，为了提高效率，可采用现代化教学手段，利用投影仪或电脑．在引导学生观察分析了三种典型函数的图象性质之后，将得到的结论直接投影出来，课上的引例、例题、练习题、作业题也都可投影出来．但要注意一定要体现过程教学．比如画函数图象，不要一下就把图象投影出来，这样不利于学生掌握图象的画法，既使用了投影仪或电脑，也要将建立坐标系（要强调三要素）、描点、用光滑曲线将这些点连接起来的整个过程展现出来．又如函数性质的教学，一定先让学生观察图象，分析特点．从而提高学生观察归纳的能力和看图用图的意识．例题的解答也要让学生去分析，发现解法．这样有利于学生尽快掌握函数的性质，掌握比较两个数大小的方法，让学生在观察的过程中，发现的过程中，解决问题的过程中，建立起学好函数、学好数学的信心．。
高一数学教案：幂函数指数函数和对数函数
高一数学教案：幂函数指数函数和对数函数教学目标1．使学生理解函数单调性的概念并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性．2．通过函数单调性概念的教学培养学生分析问题、认识问题的能力．通过例题培养学生利用定义进行推理的逻辑思维能力．3．通过本节课的教学渗透数形结合的数学思想对学生进行辩证唯物主义的教育．教学重点与难点教学重点：函数单调性的概念．教学难点：函数单调性的判定．教学过程设计一、引入新课师：请同学们观察下面两组在相应区间上的函数然后指出这两组函数之间在性质上的主要区别（用投影幻灯给出两组函数的图象．）第一组：第二组：生：第一组函数函数值y随x的增大而增大；第二组函数函数值y随x的增大而减小．师：（手执投影棒使之沿曲线移动）对．他（她）答得很好这正是两组函数的主要区别．当x变大时第一组函数的函数值都变大而第二组函数的函数值都变小．虽然在每一组函数中函数值变大或变小的方式并不相同但每一组函数却具有一种共同的性质．我们在学习一次函数、二次函数、反比例函数以及幂函数时就曾经根据函数的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质．而这些研究结论是直观地由图象得到的．在函数的集合中有很多函数具有这种性质因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究这就是我们今天这一节课的内容．（点明本节课的内容既是曾经有所认识的又是新的知识引起学生的注意．）二、对概念的分析（板书课题：）师：请同学们打开课本第51页请××同学把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍．（学生朗读．）师：好请坐．通过刚才阅读增函数和减函数的定义请同学们思考一个问题：这种定义方法和我们刚才所讨论的函数值y随自变量x 的增大而增大或减小是否一致如果一致定义中是怎样描述的生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少．师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！（通过教师的情绪感染学生激发学生学习数学的兴趣．）师：现在请同学们和我一起来看刚才的两组图中的第一个函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象体会这种魅力．（指图说明．）师：图中y=f1（x）对于区间[ab]上的任意x1x2当x1＜x2时都有f1（x1）＜f1（x）因此y=f1（x）在区间[ab]上是单调递增的区间[ab]是函数y=f1（x）的单调增区间；而图中y=f2（x）对于区间[ab]上的任意x1x2当x1＜x2时都有f2（x1）＞f2（x2）因此y=f2（x）在区间[ab]上是单调递减的区间[ab]是函数y=f2（x）的单调减区间．（教师指图说明分析定义使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来使新旧知识融为一体加深对概念的理解．渗透数形结合分析问题的数学思想方法．）师：因此我们可以说增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应……（不把话说完指一名学生接着说完让学生的思维始终跟着老师．）生：较大的函数值的函数．师：那么减函数呢生：减函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数．（学生可能回答得不完整教师应指导他说完整．）师：好．我们刚刚以增函数和减函数的定义作了初步的分析通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住些关键词语才能更透彻地认识定义（学生思索．）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义）能否抓住定义中的关键词语是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件更是学好数学及其他各学科的重要一环．因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念以培养学生分析问题认识问题的能力．（教师在学生思索过程中再一次有感情地朗读定义并注意在关键词语处适当加重语气．在学生感到无从下手时给以适当的提示．）生：我认为在定义中有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．师：很好我们在学习任何一个概念的时候都要善于抓住定义中的关键词语在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的为什么生：不能．因为此时函数值是一个数．师：对．函数在某一点由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”）因而没有增减的变化．那么我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢你能否举一个我们学过的例子生：不能．比如二次函数y=x2在y轴左侧它是减函数在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数．（在学生回答问题时教师板演函数y=x2的图像从“形”上感知．）师：好．他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明是函数在某一个区间上的性质但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．师：还有没有其他的关键词语生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语．师：你答的很对．能解释一下为什么（学生不一定能答全教师应给予必要的提示．）师：“属于”意思生：就是说两个自变量x1x2必须取自给定的区间不能从其他区间上取．师：如果是闭区间的话能否取自区间端点生：可以．师：那么“任意”和“都有”又如何理解生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性而“都有”则是说只要x1＜x2f（x1）就必须都小于f（x2）或f（x1）都大于f（x2）．师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢（让学生思考片刻．）生：可以构造一个反例．考察函数y=x2在区间[22]上如果取两个特定的值x1=2x2=1显然x1＜x2而f（x1）=4f（x2）=1有f（x1）＞f（x2）若由此判定y=x2是[22]上的减函数那就错了．师：那么如何来说明“都有”呢生：y=x2在[22]上当x1=2x2=1时有f（x1）＞f（x2）；当x1=1x2=2时有f（x1）＜f（x2）这时就不能说y=x2在[22]上是增函数或减函数．师：好极了！通过分析定义和举反例我们知道要判断函数y=f （x）在某个区间内是增函数或减函数不能由特定的两个点的情况来判断而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1x2根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性．（教师通过一系列的设问使学生处于积极的思维状态从抽象到具体并通过反例的反衬使学生加深对定义的理解．在概念教学中反例常常帮助学生更深刻地理解概念锻炼学生的发散思维能力．）师：反过来如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数那么我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小也可以由函数值的大小去判定自变量的大小．即一般成立则特殊成立反之特殊成立一般不一定成立．这恰是辩证法中一般和特殊的关系．（用辩证法的原理来解释数学知识同时用数学知识去理解辩证法的原理这样的分析有助于深入地理解和掌握概念分清概念的内涵和外延培养学生学习的能力．）三、概念的应用例1图4所示的是定义在闭区间[55]上的函数f（x）的图象根据图象说出f（x）的单调区间并回答：在每一个单调区间上f（x）是增函数还是减函数（用投影幻灯给出图象．）生甲：函数y=f（x）在区间[52][13]上是减函数因此[52][13]是函数y=f（x）的单调减区间；在区间[21][35]上是增函数因此[21][35]是函数y=f（x）的单调增区间．生乙：我有一个问题[52]是函数f（x）的单调减区间那么是否可认为（52）也是f（x）的单调减区间呢师：问得好．这说明你想的很仔细思考问题很严谨．容易证明：若f（x）在[ab]上单调（增或减）则f（x）在（ab）上单调（增或减）．反之不然你能举出反例一般来说．若f（x）在[a（增或减）．反之不然．例2证明函数f（x）=3x+2在（∞+∞）上是增函数．师：从函数图象上观察固然形象但在理论上不够严格尤其是有些函数不易画出图象因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认这才是我们研究函数单调性的基本途径．（指出用定义证明的必要性．）师：怎样用定义证明呢请同学们思考后在笔记本上写出证明过程．（教师巡视并指定一名中等水平的学生在黑板上板演．学生可能会对如何比较f（x1）和f（x2）的大小关系感到无从入手教师应给以启发．）师：对于f（x1）和f（x2）我们如何比较它们的大小呢我们知道对两个实数ab如果a＞b那么它们的差ab就大于零；如果a=b那么它们的差a—b就等于零；如果a＜b那么它们的差ab就小于零反之也成立．因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系．生：（板演）设x1x2是（∞+∞）上任意两个自变量当x1＜x2时f（x1）f（x2）=（3x1+2）（3x2+2）=3x13x2=3（x1x2）＜0 所以f（x）是增函数．师：他的证明思路是清楚的．一开始设x1x2是（∞+∞）内任意两个自变量并设x1＜x2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线并标注“①→设”）然后看f（x1）f（x2）这一步是证明的关键再对式子进行变形一般方法是分解因式或配成完全平方的形式这一步可概括为“作差变形”（同上划线并标注”②→作差变形”）．但美中不足的是他没能说明为什么f（x1）f（x2）＜0没有用到开始的假设“x1＜x2”不要以为其显而易见在这里一定要对变形后的式子说明其符号．应写明“因为x1＜x2所以x1x2＜0从而f（x1）f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）．”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演并注明“③→定符号”）．最后作为证明题一定要有结论我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“④→下结论”）．这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤请同学们记住．需要指出的是第二步如果函数y=f（x）在给定区间上恒大于零也可以小．（对学生的做法进行分析把证明过程步骤化可以形成思维的定势．在学生刚刚接触一个新的知识时思维定势对理解知识本身是有益的同时对学生养成一定的思维习惯形成一定的解题思路也是有帮助的．）调函数并用定义证明你的结论．师：你的结论呢上都是减函数因此我觉得它在定义域（∞0）∪（0+∞）上是减函数．生乙：我有不同的意见我认为这个函数不是整个定义域内的减函数因为它不符合减函数的定义．比如取x1∈（∞0）取x2∈（0+∞）x1＜x2显然成立而f（x1）＜0f（x2）＞0显然有f（x1）＜f （x2）而不是f（x1）＞f（x2）因此它不是定义域内的减函数．生：也不能这样认为因为由图象可知它分别在（∞0）和（0+∞）上都是减函数．域内的增函数也不是定义域内的减函数它在（∞0）和（0+∞）每一个单调区间内都是减函数．因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“∪”连接．另外x=0不是定义域中的元素此时不要写成闭区间．上是减函数．（教师巡视．对学生证明中出现的问题给予点拔．可依据学生的问题给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分．（2）要说明三个代数式的符号：kx1·x2x2x1．要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候不等号方向要改变．对学生的解答进行简单的分析小结点出学生在证明过程中所出现的问题引起全体学生的重视．）四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容有些是应该特别注意的（请一个思路清晰善于表达的学生口述教师可从中给予提示．）生：这节课我们学习了函数单调性的定义要特别注意定义中“给定区间”、“属于”、“任意”、“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明时应该注意证明的四个步骤．五、作业1．课本P53练习第4321题．数．=a（x1x2）（x1+x2）+b（x1x2）=（x1x2）[a（x1+x2）+b]．（*）+b＞0．由此可知（*）式小于0即f（x1）＜f（x2）．课堂教学设计说明是函数的一个重要性质是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．对学生来说早已有所知然而没有给出过定义只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识对概念的理解有一定好处但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识感觉乏味．因此在设计教案时加强了对概念的分析希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西其中甚至包含着辩证法的原理．另外对概念的分析是在引进一个新概念时必须要做的对概念的深入的正确的理解往往是学生认知过程中的难点．因此在本教案的设计过程中突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识并且在以后的学习中学有所用．还有使用函数单调性定义证明是一个难点学生刚刚接触这种证明方法给出一定的步骤是必要的有利于学生理解概念也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助．另外这也是以后要学习的不等式证明方法中的比较化的基本思路现在提出要求对今后的教学作一定的铺垫．。
对数与对数函数指数函数、对数函数与幂函数课件新教材(对数运算 对数运算法则)
变式训练2求下列各式的值:
其中,数a称为对数的底数,N称为对数的真数,读作“b等于以a为底N的对数”.
(2)log39=2⇔32=9.
三、积、商、幂的对数
1.你会利用恒等式
=N 来证明“log (MN)=logaM+logaN”吗?
要引入本节课将要学习的“对数”.
课前篇自主预习
一
二
三
四
2.填空.
(1)一般地,对于指数式ab=N,我们把“以a为底N的对数b”记作
logaN,即b=logaN(a>0,且a≠1).其中,数a称为对数的底数,N称为对数
的真数,读作“b等于以a为底N的对数”.
(2)以10为底的对数称为常用对数,即log10N,记作lg N.
4.会用信息技术计算
常用对数与自然对数.
课前篇自主预习
一
二
三
四
一、对数的概念
1.你会求下列方程吗?
(1)2x=8; (2)2x=1; (3)3x=2.
提示:(1)(2)易求,满足2x=8的x=3;满足2x=1的x=0;但满足3x=2的x
没法立即写出的,但根据前面所学零点及指数函数知识,可以确定
方程3x=2存在唯一实根,但鉴于所学知识,现无法表示出来,因此需
3.做一做:使对数式log5(3-x)有意义的x的取值范围是(
A.(3,+∞)
B.(-∞,3)
C.(0,+∞)
D.(-∞,2)∪(2,3)
答案:B
)
课前篇自主预习
一
二
三
四
(1)2x=8; (2)2x=1; (3)3x=2.
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幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作
logaN=b，
其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式．
练习1 把下列指数式写成对数形式：
练习2 把下列对数形式写成指数形式：
练习3 求下列各式的值：
因为22=4，所以以2为底4的对数等于2．
因为53=125，所以以5为底125的对数等于3．
师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？
生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R．
师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．）
生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数．
师：要特别强调的是：零和负数没有对数．
师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？
生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1．
师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……．
练习4 计算下列对数：
lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125．
师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想．
生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4．
生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27．
生：10lg105=105．
生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125．
alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线）
证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N．
师：你是根据什么证明对数恒等式的？
生：根据对数定义．
师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知
识只有定义，所以显然要利用定义加以证明．而对数定义是建立在指数基础之上的，所以必须先设出指数等式，从而转化成对数等式，再进行证明．
师：掌握了对数恒等式的推导之后，我们要特别注意此等式的适用条件．
生：a＞0，a≠1，N＞0．
师：（板书）2log28=？2log42=？
生：2log28=8；2log42=2．
师：第2题对吗？错在哪儿？
师：（继续追问）在运用对数恒等式时应注意什么？
生：当幂的底数和对数的底数相同时，才可以用公式
alogaN=N．
师：负数和零有没有对数？并说明理由．
生：负数和零没有对数．因为定义中规定a＞0，所以不论b是什么数，都有ab＞0，这就是说，不论b是什么数，N=ab永远是正数．因此，由等式b=logaN可以看到，负数和零没有对数．
师：（板书）性质1：负数和零没有对数．
师：1的对数是多少？
生：因为a0=1（a＞0，a≠1），所以根据对数定义可得1的对数是零．
师：（板书）1的对数是零．
师；底数的对数等于多少？
生：因为a1=a，所以根据对数的定义可得底数的对数等于1．
师：（板书）底数的对数等于1．
生：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am·an=am+n．同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am ÷an=am-n．还有（am）n=amn；
师：下面我们利用指数的运算法则，证明对数的运算法则．（板书）
（1）正因数积的对数等于同一底数各个因数的对数的和．即
loga（MN）=logaM+logaN．
（请两个同学读法则（1），并给时间让学生讨论证明．）
师：（分析）我们要证明这个运算法则，用眼睛一瞪无从下手，这时我们该想到，关于对数我们只学了定义和性质，显然性质不能证明此式，所以只有用定义证明．而对数是由指数加以定义的，显然要利用指数的运算法则加以证明，因此，我们首先要把对数等式转化为指数等式．
师：（板书）设logaM=p，logaN=q，由对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
M·N=ap·aq=ap+q，
所以loga（M·N）=p+q=logaM+logaN．
即loga（MN）=logaM+logaN．
师：这个法则的适用条件是什么？
生：每个对数都有意义，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（1）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是一个降级运算．
师：非常好．例如，（板书）log2（32×64）=？
生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11．
师：通过此例，同学应体会到此法则的重要作用——降级运算．它使计算简化．
师：（板书）log62+log63=？
生：log62+log63=log6（2×3）=1．
师：正确．由此例我们又得到什么启示？
生：这是法则从右往左的使用．是升级运算．
师：对．对于运算法则（公式），我们不仅要会从左往右使用，还要会从右往左使用．真正领会法则的作用！
师：（板书）（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数．
师：仿照研究法则（1）的四个步骤，自己学习．
（给学生三分钟讨论时间．）
生：（板书）设logaM=p，logaN=q．根据对数的定义可以写成M=ap，N=aq．所以
师：非常好．他是利用指数的运算法则和对数的定义加以证明的．大家再想一想，在证明法则（2）时，我们不仅有对数的定义和性质，还有法则（1）这个结论．那么，我们是否还有其它证明方法？
生：（板书）
师：非常漂亮．他是运用转化归结的思想，借助于刚刚证明的法则（1）去证明法则（2）．他的证法要比书上的更简单．这说明，转化归结的思想，在化难为易、化复杂为简单上的重要作用．事实上，这种思想不但在学习新概念、新公式时常常用到，而且在解题中的应用更加广泛．
师：法则（2）的适用条件是什么？
生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1．
师：观察法则（2）的结构特点并加以记忆．
生：等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算．师：（板书）lg20-lg2=？
师：可见法则（2）的作用仍然是加快计算速度，也简化了计算的方法．
例1 计算：
生：（板书）
解
（1）log93+log927=log93×27=log981=2；
（3）log2（4+4）=log24+log24=4；
（由学生判对错，并说明理由．）
生：第（2）题错！在同底的情况下才能运用对数运算法则．（板书）
生：第（3）题错！法则（1）的内容是：
生：第（4）题错！法则（2）的内容是：
生：首先，在同底的情况下才能从右往左运用法则（1）、（2）；其次，只有在正因数的积或两个正数的商的对数的情况下，才能从左往右运用运算法则（1）、（2）．
师：（板书）（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．即
loga（N）n=n·logaN．
师：（分析）欲证loga（N）n=n·logaN，只需证
Nn=an·logaN=（a·logaN）n，
只需证N=alogaN．
由对数恒等式，这是显然成立的．
师：（板书）设N＞0，根据对数恒等式有
N=alogaN．
所以Nn=（alogaN）n=an·logaN．
根据对数的定义有
loga（N）n=n·logaN．
师：法则（3）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
生：从左往右仍然是降级运算．
师：例如，（板书）log332=log525=5log52．练习计算（log232）3．
错解：（log232）3=log2（25）3=log2215=15．
正确解：（log232）3=（log225）3=（5log22）3=53=125．
师：（板书）（4）正数的正的方根的对数等于被开方数的对数除以根指数．即
师：法则（4）的适用条件是什么？
生：a＞0，a≠1；N＞0．
师：法则（3）和法则（4）可以合在一起加以记忆．即logaNα=αlogaN（α∈R）．（师板书）例2 用logax，logay，logaz表示下列各式：
解
（注意（3）的第二步不要丢掉小括号．）
例3 计算：
解
（1）log2（47×25）=log247+log225=7log24+5log22=7×2+5×1=19．。