理论力学课后习题答案 第6章 刚体的平面运动分析(2020年7月整理).pdf
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第 6 章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为 r 的齿轮由曲柄 OA 带动，沿半径为 R 的固定齿轮滚动。曲柄 OA 以等角加速度 绕
轴 O 转动，当运动开始时，角速度 0 = 0，转角 0 = 0。试求动齿轮以圆心 A 为基点的平面运动方程。
解： xA = (R + r) cos
（1）
yA = (R + r) sin
vA
A
C
B
解：OA 定轴 习题 6－9 图
90o vC
转动；AB、CD 平面运动O，DE 平移。 vB
1．当 = 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图
vA
D
（a）表示 = 90°情形，此时 AB 瞬时平移，vC 水平，
而 vD 只能沿铅垂， D 为 CD 之瞬心
vDE = 0 同理， = 270°时，vDE = 0 2． = 180°，0°时，杆 AB 的瞬心在 B
而曲柄 O1B 重合于 OO1 的延长线上时，杆 AB 和曲柄 O1B 的角速度。
解：杆 AB 的瞬心在 O
AB
=
vA OA
=
=
3 rad/s
vB = 3l
O1B
= vB l
=
3 = 5.2 rad/s
6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚习动题，6线-6 图上的点 A 有向右的速度 vA= 0.8m/s，试求卷轴中心 O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？
设杆 BC 在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆 BC 的
角速度和点 C 的速度。
解：杆 BC 的瞬 心在点 P，滚子 O 的瞬心在点 D
vB = BD
B
C
P
BC
vB
B
C
O
1
O
vC
习题 6-4 图
D
习题 6-4 解图
BC
=
vB BP
解：如图
O
=
vA 0.9 − 0.3
=
0.8 0.6
= 1.333 rad/s
vO
= 0.9O
= 0.9 8 6
= 1.2 m/s
2
卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度 v1 和 v 2 作同方向运动，在两齿条间夹
r，求齿轮的角速度及其中心 O 的速度。
解：如图，以 O 为基点：
v1 = vO + Or
vA
B vB C
vA = O 2r = 20 2 m/s
AB
=
vA AP
=
20 2 sin 45 1.5 cos
= 10 2 =14.1 rad/s
另一端放在
水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心 O 速度的大小为 vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA 水
平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。
解：轮 O 的速度瞬心
为点 C ，杆 AB 的速度瞬
心为点 P
O
=
vO r
=
20 0.5
= 40 rad/s
B
O vO A
O O vO A
A
A
（4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以 A 为基点的平面运动方程为：
x
A
=
(R
+ r) cos
2
t2
y
A
=
(R
+
r) sin
2
t2
A
=
1 2
R + r t 2 r
6－2 杆 AB 斜靠于高为 h 的台阶角 C 处，一端 A 以匀速 v0 沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅
垂线的夹角 表示杆的角速度。
A v1
v2 = vO − Or
O
解得：
vO
=
v1
+ v2 2
O
=
v1 − v2 2r
B v2
习题 6－8 图
习题 6-7 图
一齿轮，其半径为
A v1
O
O
vO
B v2
习题 6－8 解图
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度 = 20rad/s，试求当曲柄 OA 在两铅垂位置和两水平位置时
配汽机构中气阀推杆 DE 的速度。已知 OA = 400mm，AC = CB = 200 37 mm。
解：杆 AB 作平面运动，点 C 的
B
速度 vC 沿杆 AB 如图所示。作速度
B P
vC 和 v0 的垂线交于点 P，点 P 即为
C
杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆 AB
为
h
C
AB
vC
h
AB
=
v0 AP
=
v0 cos AC
=
v0 cos2 h
A vo 习题 6－2 图
A v0 习题 6－2 解图
6－3 图示拖车的车轮 A 与垫滚 B 的
半径均为 r。试问当拖车以速度 v 前进时，轮 A 与垫滚 B 的角速度 A 与 B 有什么关系？设轮 A 和垫滚 B
与地面之间以及垫滚 B 与拖车之间无滑动。
解
：
A
=
vA R
=
v R
B
=
vB 2R
=
v 2R
习题 6-3 图
vB = v B A
习题 6-3 解图
vA = v
A = 2B
6－4 直径为 60 3 mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆 BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块 C 铰接。
=
BD BP
= 12 60 3 cos30 270sin 30
= 8 rad/s
vC = BC PC
= 8 0.27cos30 = 1.87 m/s
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
D
A
B
A
AC
O1
C
A
O
O
BB
D
O
O1
习题 6-5 图
解：图（a）中平面运动的瞬心在点 O，杆 BC 的瞬O心在点 C。 O
为常数，当 t = 0 时， 0 = 0 = 0
（2）
= 1 t2 2
（3）
起始位置，P 与 P0 重合，即起始位置 AP 水 平，记 OAP = ，则 AP 从起始水平位置至图示
AP 位置转过
A = +
因动齿轮纯滚，故有
CP0
=
CP
，即
习题 6-1 图
R = r
= R ，
r
A
=
R+r r
图（b）中平面运动的杆 BC 的瞬心在点 P，杆 AD 做瞬时平移。
BC D
vA A
A
O1 O
O
vB
BB
vC C
D
习题 6-5 解图
1
vA A
A
O
2
vD vAB AB
D
vC
BC
C
AB
D
l
2l
B
O 5
O1 B
O1
B
O1
O
O 习题 6-6 解图
(a)
(b)
1
2
P
6－6 图示的四连杆机械 OABO1 中，OA = O1B = 1 AB，曲柄 OA 的角速度 = 3rad/s。试求当示。 = 90° 2
O
vC E
A
C
vD
=
v DE D
(a)
B
=
0°时，图（b）， vC
=
1 2
vA
（↑）
此时 CD 杆瞬时平移
E
vDE
= vD
= vC
=
1 2
vA
=பைடு நூலகம்
4 m/s（↑）
同理 = 180°时，vDE = 4m/s（↓）
(b) 习题 6－9 解图
6－10 杆 AB 长为 l = 1.5 m，一端铰接在半径为 r = 0.5 m 的轮缘上，
轴 O 转动，当运动开始时，角速度 0 = 0，转角 0 = 0。试求动齿轮以圆心 A 为基点的平面运动方程。
解： xA = (R + r) cos
（1）
yA = (R + r) sin
vA
A
C
B
解：OA 定轴 习题 6－9 图
90o vC
转动；AB、CD 平面运动O，DE 平移。 vB
1．当 = 90°，270°时，OA 处于铅垂位置，图
vA
D
（a）表示 = 90°情形，此时 AB 瞬时平移，vC 水平，
而 vD 只能沿铅垂， D 为 CD 之瞬心
vDE = 0 同理， = 270°时，vDE = 0 2． = 180°，0°时，杆 AB 的瞬心在 B
而曲柄 O1B 重合于 OO1 的延长线上时，杆 AB 和曲柄 O1B 的角速度。
解：杆 AB 的瞬心在 O
AB
=
vA OA
=
=
3 rad/s
vB = 3l
O1B
= vB l
=
3 = 5.2 rad/s
6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚习动题，6线-6 图上的点 A 有向右的速度 vA= 0.8m/s，试求卷轴中心 O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？
设杆 BC 在水平位置时，滚子的角速度＝12 rad/s，＝30，＝60，BC＝270mm。试求该瞬时杆 BC 的
角速度和点 C 的速度。
解：杆 BC 的瞬 心在点 P，滚子 O 的瞬心在点 D
vB = BD
B
C
P
BC
vB
B
C
O
1
O
vC
习题 6-4 图
D
习题 6-4 解图
BC
=
vB BP
解：如图
O
=
vA 0.9 − 0.3
=
0.8 0.6
= 1.333 rad/s
vO
= 0.9O
= 0.9 8 6
= 1.2 m/s
2
卷轴向右滚动。
6－8 图示两齿条以速度 v1 和 v 2 作同方向运动，在两齿条间夹
r，求齿轮的角速度及其中心 O 的速度。
解：如图，以 O 为基点：
v1 = vO + Or
vA
B vB C
vA = O 2r = 20 2 m/s
AB
=
vA AP
=
20 2 sin 45 1.5 cos
= 10 2 =14.1 rad/s
另一端放在
水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心 O 速度的大小为 vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA 水
平）B 点的速度以及轮和杆的角速度。
解：轮 O 的速度瞬心
为点 C ，杆 AB 的速度瞬
心为点 P
O
=
vO r
=
20 0.5
= 40 rad/s
B
O vO A
O O vO A
A
A
（4）
将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以 A 为基点的平面运动方程为：
x
A
=
(R
+ r) cos
2
t2
y
A
=
(R
+
r) sin
2
t2
A
=
1 2
R + r t 2 r
6－2 杆 AB 斜靠于高为 h 的台阶角 C 处，一端 A 以匀速 v0 沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅
垂线的夹角 表示杆的角速度。
A v1
v2 = vO − Or
O
解得：
vO
=
v1
+ v2 2
O
=
v1 − v2 2r
B v2
习题 6－8 图
习题 6-7 图
一齿轮，其半径为
A v1
O
O
vO
B v2
习题 6－8 解图
6－9 曲柄－滑块机构中，如曲柄角速度 = 20rad/s，试求当曲柄 OA 在两铅垂位置和两水平位置时
配汽机构中气阀推杆 DE 的速度。已知 OA = 400mm，AC = CB = 200 37 mm。
解：杆 AB 作平面运动，点 C 的
B
速度 vC 沿杆 AB 如图所示。作速度
B P
vC 和 v0 的垂线交于点 P，点 P 即为
C
杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆 AB
为
h
C
AB
vC
h
AB
=
v0 AP
=
v0 cos AC
=
v0 cos2 h
A vo 习题 6－2 图
A v0 习题 6－2 解图
6－3 图示拖车的车轮 A 与垫滚 B 的
半径均为 r。试问当拖车以速度 v 前进时，轮 A 与垫滚 B 的角速度 A 与 B 有什么关系？设轮 A 和垫滚 B
与地面之间以及垫滚 B 与拖车之间无滑动。
解
：
A
=
vA R
=
v R
B
=
vB 2R
=
v 2R
习题 6-3 图
vB = v B A
习题 6-3 解图
vA = v
A = 2B
6－4 直径为 60 3 mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆 BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块 C 铰接。
=
BD BP
= 12 60 3 cos30 270sin 30
= 8 rad/s
vC = BC PC
= 8 0.27cos30 = 1.87 m/s
6－5 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。
D
A
B
A
AC
O1
C
A
O
O
BB
D
O
O1
习题 6-5 图
解：图（a）中平面运动的瞬心在点 O，杆 BC 的瞬O心在点 C。 O
为常数，当 t = 0 时， 0 = 0 = 0
（2）
= 1 t2 2
（3）
起始位置，P 与 P0 重合，即起始位置 AP 水 平，记 OAP = ，则 AP 从起始水平位置至图示
AP 位置转过
A = +
因动齿轮纯滚，故有
CP0
=
CP
，即
习题 6-1 图
R = r
= R ，
r
A
=
R+r r
图（b）中平面运动的杆 BC 的瞬心在点 P，杆 AD 做瞬时平移。
BC D
vA A
A
O1 O
O
vB
BB
vC C
D
习题 6-5 解图
1
vA A
A
O
2
vD vAB AB
D
vC
BC
C
AB
D
l
2l
B
O 5
O1 B
O1
B
O1
O
O 习题 6-6 解图
(a)
(b)
1
2
P
6－6 图示的四连杆机械 OABO1 中，OA = O1B = 1 AB，曲柄 OA 的角速度 = 3rad/s。试求当示。 = 90° 2
O
vC E
A
C
vD
=
v DE D
(a)
B
=
0°时，图（b）， vC
=
1 2
vA
（↑）
此时 CD 杆瞬时平移
E
vDE
= vD
= vC
=
1 2
vA
=பைடு நூலகம்
4 m/s（↑）
同理 = 180°时，vDE = 4m/s（↓）
(b) 习题 6－9 解图
6－10 杆 AB 长为 l = 1.5 m，一端铰接在半径为 r = 0.5 m 的轮缘上，